第11章 含有耦合电感的电路

耦合电感电压方程的相量形式：
3. 耦合电感的T型去耦等效电路（互感化除法）
1、互感线圈的一对同名端连在一起：
三支路共一节点、其中有两条支路存在互感。
di1 di1 di1 di2 u1 L1 M M M dt dt dt dt
di1 d i1 i2 L1 M M dt dt
di 2 di1 M u1 L1 dt dt
di1 di 2 M u2 L2 dt dt
用实验方法确定同名端：
开关闭和，电压表正向偏转，c点电位高， 则a,c为同名端;若反向偏转，a,d为同名端。
3. 耦合电感电压方程的相量形式：
i1
+ * u1
L1
M
i2 + *
L2
u2
-
-
di1 di2 u1 L1 M dt dt di2 di1 u 2 L2 M dt dt

求： I1、 U 2 （直接用网孔法求）
jωM


I2
jωL2

jωL1
解:
U jMI （R1 R2 jL1） I 1 R2 I 2 S 2 jMI （RL R2 jL2） I 2 R2 I 1 1


4. 有互感电路的计算 (1) 在正弦稳态情况下，有互感的电路的计算 仍应用前面介绍的相量分析方法。
线圈 2
定义互感系数 Mutual inductance ：
左式：线圈1对线圈2的互感系数M21，等于穿 越线圈2的互感磁链与激发该磁链的线圈1中的 电流之比。
可以证明： M21=M12=M
单位：henry（H）
∵Φ21≤Φ11 ，Φ12≤Φ22
M L1L2
耦合系数： K

M L1 L2
di2 di2 di2 di1 u2 L2 M M M dt dt dt dt di2 d i1 i2 L 2 M M dt dt
di1 d i1 i2 u1 L1 M M dt dt di2 d i1 i2 u 2 L 2 M M dt dt
i1 + u1 * L1
M * L2
i2 + u2
–
–
I

-jM
j(L1+M)
I1 I 2


+ j(L2+M)
I1

I2

j(L1－M)
j(L2－M) jM
+
U 1
–
U 2
–
例：已知： U S 、、L1、L2、M、R1、R2、RL，

求： I1、 U 2 （用T形去耦等效电路求）
求内阻Z1 ：
U S
+ _
R1
jωM jωL1 jωL2 R2
I 0
+ _
I a
I b
U 0
Z1
方法一: 加压求流： 列网孔电流方程：
方法二: 去耦等效：
R1
jωM jωL1 jωL2 R2
R1 j( L1 M ) j ( L2 M )
Z1 j ( L2 M ) [ R1 j ( L1 M )](R2 jM ) R1 j ( L1 M ) R2 jM


由：
Leq+=L1+L2+2M Leq-=L1+L2–2M
可由下式确定互感量:
1 M ( Leq Leq ) 4
2. 耦合电感的并联 (1)同侧并联：
I

I I I 由KCL： 1 2
jM
I1

U jL1 I1 jM I 2
I2




U

jL1
jL2
变压器
牵引电磁铁
电流互感器
调压器
整流器
§11-1
复习：
一个电感:
互感
d u dt
: 磁链
N

N : 匝数; : 磁通
u
d 当： L di
1. 互感
互感磁通 （耦合磁通）
i1
i2
一个载流线圈的磁通与另一个线圈相交链的现 象，称为磁耦合，即互感。
i1
i2
线圈 1
自感磁链 ψ11 =N1Φ11 互感磁链 ψ12=N1Φ12 自感磁链 ψ22=N2Φ22 互感磁链 ψ21=N2Φ21
( R2 j L2 ) I 2 j L2 I 3 =-j M ( I1 I 3 ) kI1 1 ( j L1 j L2 j ) I 3 j L1 I1 j L2 I 2 C =-j M ( I 3 I1 ) j M ( I 3 I 2 )
磁耦合线圈在电子工程、通信工程和测量 仪器等方面应用广泛。耦合电感元件 coupled inductors就是实际耦合线圈的电路模型。 耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，
如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，
整流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，
熟悉其特性并掌握包含这类多端元件的电路问
题的分析方法是非常必要的。




3.耦合电感的受控电源模型：
可将耦合电感的特性用电感元件和受控电 压源来模拟。
I1

I2

+
j L1 j L2
+ + U2 jM I 1 – –

U1

+ jM I 2 – –

含受控源模型 （不再出现同名端）
去耦等效分析举例：
对含互感的电路进 行去耦等效，变为 无互感的电路，再 进行分析。
确定互感电压极性的方法： 同名端规则: 当施感电流从同名端流进线圈时，就会 在另一同名端处产生“+”极性的互感电压。 i
+ di M dt _
i
_
di M dt +
i1
M
i2
?
u1
L1
L2
u2
?
di1 di2 u1 L1 M dt dt di2 di 1 u2 L2 M dt dt
例3:已知: L1 L2 10 , M 5 , R1 R2 6 , U S 6V , 求：其戴维南等效电路。
I
R1 jωM jωL2 jωL1 – U + 1 R2 _ +
U 2
Z1 + + _
U S
+
–
U oc
_
U oc
(6 j 5) 0.384 39.8 30 V
反接:
同名端相接
jM
I


U 1 jL1 I jM I


+
jL1
U1
2 jL2 I jM I




U2

_
U U 1 U 2 j ( L1 L2 2 M ) I jLeq I
总电感量： Leq-=L1+L2–2M

时
同 向 耦 合
coil1 11 12 coil 2 22 21
磁通“增助”
同向耦合：磁通“增助”
线圈的电压、电流为关联参考方向
线圈的电流与该电流产生的磁通 符合右手螺旋法则 自感磁通与互感磁通方向一致
相反地：磁通相消：
1 11 12 L1i1 Mi2 2 22 21 L2i2 Mi1
jωM


I2
jωL2

jωL1
解:
U （R1 R2 j ( L1 M ) jM） I 1 ( R2 jM ) I 2 S



0 （RL R2 j ( L2 M ) jM） I 2 ( R2 jM ) I 1
例： 已知：U S 、、L1、L2、M、R1、R2、RL，
互感线圈的T型 去耦等效电路
T型等效电路
I1
1 jL1

j M * *
I2
2 jL2

1
I1

I2
2 j(L2-M) jM 3

j(L1-M)
3
I

I

耦合电感模型
T型等效电路
如果同名端在异侧
注意:等效电路中的参数与参考方向无关，与同名端有关。
i + u – i1 * L1
M i2 L2 *




L1 L2 M U j I L1 L2 2 M
2
同名端

a
u

c
i1 + u1 _ * L1
M
* L2
i2


u u d
+ u2 _
b
耦合电感模型 具有磁耦合的两线圈，当电流分别从两线圈各自的某端 同时流入（或流出）时，若两者产生的磁通增助，则这两 端叫作互感线圈的同名端，用黑点“· ”或星号“*”作标 记。
0≤K≤1，用k 表示两个线圈磁耦合的紧密程度:
k < 0.5 松耦合; k > 0.5 紧耦合。 k与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质 有关。
K≈1
K<<1
2.耦合电感上的电压、电流关系
当
1 12 Mi2 1 11 11 12 L 1 1i1 1 2 2 21 Mi1 2 22 22 21 L2 2i2 2 1
ωM:互感抗