第十章 相关和回归
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（2）求Spearman等级相关系数。
rs
l X ’Y ’
l l X ’X ‘Y ’Y ‘
59.5 0.7539 82.5 75.5
第19页/共40页
2. Spearman等级相关系数的假设检验：
H0:ρS=0
H1: ρS ≠0
=0.05
本例n=10， rs=-0.7539，查rs界值表得：
Y
Y
2
lYY
l XY
2 / l XX lYY bl XY
sy为x 各观察值y 距回归线（ ）ˆy 的标准差，反映x
的影响被扣除后y 的变异，故称为剩余标准差。
第32页/共40页
Y
Y
2
36.7324 (74.308)2
/ 228.2 12.541
12.541
SY .X
1.1199 12 2
1.1199
sb
0.0741 228.25
0.3256
tb
4.392
0.0741
3．确定P值，判断结果： 按 12 2 10 ，
查t 值表，t0.01(10)=3.169，tb> t0.01(13) ，P<0.01， 按α=0.05水准，拒绝H0 ，接受H1，认为糖尿病患 者血糖和胰岛素之间存在负的直线回归关系。
rs(10,0.02)=0.745，rs> rs(10,0.02) ，则P<0.02，按
α=0.05水准，拒绝H0，接受H1，认为rs有统计
学意义，说明患者血小板数与出血程度呈负
的等级相关关系。
第20页/共40页
第三节 直线回归
随着所探索问题的深入，研究者通常更感兴趣于 其中的一个变量如何定量地影响另一变量的取值， 如医学研究中常需要从某项指标估算另一项指标， 如果这指标分别是测量变量X 和Y，我们希望由X 推算Y的值。
第十章 直线回归与相关分析
115 125 128 143 132 121 129 112 120 130 125.5
135 137 128 127 155 132 148 117 134 132 134.5
图10-2 NaCl含量对单位叶面积干物重影响的散点图
Y . X X
含义是：对于变量X的每一个值，都有一个Y 的分布，这个分布的平均数就是该线性函数。
ˆ a bX Y
回归截距 与x值相对应的依变量y的点估计值
此方程称为Y对X的直线回归方程(linear regression equation)，画出的直线称为回归线 （ regression line）。
ˆ Y a bx
ˆi ) 2 L ( yi y
i 1 n
Y
最小
编号 1 2 3 4 5 血球体积x /mm3 45 52 56 48 42 红血球数y /106 6.53 6.30 9.52 7.50 6.99 6 7 8 9 10 编号 血球体积x /mm3 35 58 40 39 50 红血球数y /106 5.90 9.49 6.20 6.55 8.72
n n
整理后得：
an b xi yi i1 i1 n n n a xi b xi2 xi yi i1 i1 i1
解正规方程得：
x y ( x )( y ) / n b x ( x ) / n ( x x)( y y) = S S ( x x)
第二节：一元线性回归 1 散点图的绘制
2 一元正态线性回归模型 3 直线回归方程的参数估计和回归方 程的建立 4 直线回归的假设检验
5 直线回归的方差分析
6 直线回归的意义( 自学）
第十章双变量回归与相关
(9-3) (9-4)
式中 lXY 为 X 与 Y 的离均差积和:
l
XY
(X
X
)(Y
Y
)
XY
(
X
)( n
Y
)
(9 5)
除了图中所示两变量呈直线关系外，一 般还假定每个 X 对应Y 的总体为正态分布， 各个正态分布的总体方差相等且各次观测 相互独立。这样，公式（9-1）中的 Yˆ 实际上 是 X 所对应 Y 的总体均数 Y|X 的一个样本估 计值，称为回归方程的预测值（predicted value）, 而 a 、 b 分别为 和 的样本估计。
(Y Y ) 2 (Yˆ Y ) 2 (Y Yˆ ) 2
数理统计可证明：
å (Yˆ - Y )(Y - Yˆ ) = 0
上式用符号表示为
SS总 SS回 SS残
（9-6）
式中
SS总 即 (Y Y)2 ， 为 Y 的 离 均 差 平 方
和，表示未考虑 X 与Y 的回归关系时Y 的 总变异。
离 Y Yˆ 。
➢ 求解a、b实际上就是“合理 地”找到一条能最好地代表
数据点分布趋势的直线。
最小二乘法(least sum of squares)原则：即保证各实 测点至直线的纵向距离的 平方和最小。
（X，Y）
b lXY lXX
( X X )(Y Y ) (X X )2
a Y bX
5．列出回归方程（回归直线绘制见图 9-1）
Yˆ 1.6617 0.1392X
此直线必然通过点( , )X且与Y 纵坐标轴相交于 截距 a 。如果散点图没有过坐标系原点，可在 自变量实测范围内远端取易于读数的 X 值代入 回归方程得到一个点的坐标，连接此点与点 ( , )也可X绘Y出回归直线。
第十章相关与回归分析
收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系
父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系
• （三）相关关系种类
• 1 按变量的多少，分单相关和复相关
• 2 按相关形式不同，分线性相关和非线性 相关(曲线相关)
• 3 按相关方向不同，分正相关和负相关
• 4 按相关程度的高低，分完全相关、不完 全相关和不相关
总体一元线性 回归方程:
Y ˆE YX
以样本统计量估计总体参数
(估计的回归方程)
样本一元线性回归方程： yˆ abx
（一元线性回归方程）
截距（回归 系数）
斜率（回归系数）
截距a 表示在没有自变量x的影响时，其它各 种因素对因变量y的影响；回归系数b 表明自
变量x每变动一个单位，因变量y变动b个单 位。
当变量 x 取某个值时，
y
变量 y 的取值可能有几
个
x
4. 各观测点分布在直线周
围
变量间的关系
（相关关系）
相关关系的例子
商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系
商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系
粮食亩产量(y)与施肥量(x1) 、降雨量(x2) 、 温度(x3)之间的关系
销售额X
111 102 90 85 66 62 58 51 48 43
利润额Y
25 22 24 21 25 13 18 12 10 9
合计
716
179
10个大型工业企业销售额与利润额散点图（亿元）
Y
25
20
利 润 15 额
10
5
40 50 60
70 80
销售额
父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系
• （三）相关关系种类
• 1 按变量的多少，分单相关和复相关
• 2 按相关形式不同，分线性相关和非线性 相关(曲线相关)
• 3 按相关方向不同，分正相关和负相关
• 4 按相关程度的高低，分完全相关、不完 全相关和不相关
总体一元线性 回归方程:
Y ˆE YX
以样本统计量估计总体参数
(估计的回归方程)
样本一元线性回归方程： yˆ abx
（一元线性回归方程）
截距（回归 系数）
斜率（回归系数）
截距a 表示在没有自变量x的影响时，其它各 种因素对因变量y的影响；回归系数b 表明自
变量x每变动一个单位，因变量y变动b个单 位。
当变量 x 取某个值时，
y
变量 y 的取值可能有几
个
x
4. 各观测点分布在直线周
围
变量间的关系
（相关关系）
相关关系的例子
商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系
商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系
粮食亩产量(y)与施肥量(x1) 、降雨量(x2) 、 温度(x3)之间的关系
销售额X
111 102 90 85 66 62 58 51 48 43
利润额Y
25 22 24 21 25 13 18 12 10 9
合计
716
179
10个大型工业企业销售额与利润额散点图（亿元）
Y
25
20
利 润 15 额
10
5
40 50 60
70 80
销售额
回归及相关分析PPT课件
或实际场景中。
05
相关分析
相关系数的计算
计算公式
相关系数r是通过两个变量之间的样本数据计算得出的，公式为r = (n Σxy - ΣxΣy) / (√(n Σx² - (Σx)²) * √(n Σy² - (Σy)²))，其中n是样本数量，Σx和Σy分别是x和y的样本总和，Σxy是x和y的样本乘积总和。
模型的评估与检验
模型的评估指标
模型的评估指标包括均方误差 （MSE）、均方根误差
（RMSE）、决定系数（R^2） 等，用于衡量模型的预测精度。
模型的检验方法
模型的检验方法包括残差分析、 正态性检验、异方差性检验等， 用于检查模型的假设是否成立。
模型的应用与推广
通过评估和检验模型，可以确定 模型在样本数据上的表现，并进 一步将其应用到更大范围的数据
回归及相关分析ppt课件
目 录
• 回归分析概述 • 一元线性回归分析 • 多元线性回归分析 • 非线性回归分析 • 相关分析
01
回归分析概述
回归分析的定义
01
回归分析是一种统计学方法，用 于研究自变量和因变量之间的相 关关系，并建立数学模型来预测 因变量的值。
02
它通过分析数据中的变量之间的 关系，找出影响因变量的重要因 素，并确定它们之间的数量关系 。
值。
模型的评估与检验
在估计多元线性回归模型的参 数后，需要对模型进行评估和 检验，以确保模型的有效性和 可靠性。
评估模型的方法包括计算模型 的拟合优度、比较模型的预测 值与实际值等。
检验模型的方法包括检验模型 的假设是否成立、检验模型的 残差是否符合正态分布等。
04
非线性回归分析
非线性回归模型
详细描述
05
相关分析
相关系数的计算
计算公式
相关系数r是通过两个变量之间的样本数据计算得出的，公式为r = (n Σxy - ΣxΣy) / (√(n Σx² - (Σx)²) * √(n Σy² - (Σy)²))，其中n是样本数量，Σx和Σy分别是x和y的样本总和，Σxy是x和y的样本乘积总和。
模型的评估与检验
模型的评估指标
模型的评估指标包括均方误差 （MSE）、均方根误差
（RMSE）、决定系数（R^2） 等，用于衡量模型的预测精度。
模型的检验方法
模型的检验方法包括残差分析、 正态性检验、异方差性检验等， 用于检查模型的假设是否成立。
模型的应用与推广
通过评估和检验模型，可以确定 模型在样本数据上的表现，并进 一步将其应用到更大范围的数据
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目 录
• 回归分析概述 • 一元线性回归分析 • 多元线性回归分析 • 非线性回归分析 • 相关分析
01
回归分析概述
回归分析的定义
01
回归分析是一种统计学方法，用 于研究自变量和因变量之间的相 关关系，并建立数学模型来预测 因变量的值。
02
它通过分析数据中的变量之间的 关系，找出影响因变量的重要因 素，并确定它们之间的数量关系 。
值。
模型的评估与检验
在估计多元线性回归模型的参 数后，需要对模型进行评估和 检验，以确保模型的有效性和 可靠性。
评估模型的方法包括计算模型 的拟合优度、比较模型的预测 值与实际值等。
检验模型的方法包括检验模型 的假设是否成立、检验模型的 残差是否符合正态分布等。
04
非线性回归分析
非线性回归模型
详细描述
第十章 简单回归分析
第十章 简单线性回归
在医学研究中，经常需要研究两个变量之间 的相互关系和相互依存关系，如血糖与胰岛 素水平、年龄与血压等，把这种统计分析方 法叫做双变量关系的统计。
相关 ---- 变量间在数量上的相互关系 回归 ---- 变量间在数量上的依存关系
第一节 线性回归
一、基本概念 1.直线回归(linear regression) ：当一变量随 另一变量有规律的依存变化时，此依存变化 的数量关系称为直线回归关系。 直线回归是回归分析中最基本、最简单的 一种，故又称为简单回归或简单线性回归。
表10-1 21例肝癌病人血清胆固醇与甘油三脂相关性研究
病人序号
血清胆固醇
甘油三脂
1
3.89
1.71
2
3.41
1.01
3
5.70
0.97
4
6.84
1.78
5
2.93
1.25
6
3.98
0.70
7ห้องสมุดไป่ตู้
4.23
1.33
8
4.43
0.72
9
2.58
0.34
10
4.40
1.24
11
3.77
1.00
12
3.42
0.79
n 21
3. 计算 lXX 、lYY 及 lXY
lXX
X 2 ( X )2 363 .33 85.012 / 21 19.20 n
lYY 23.12 20.892 / 21 2.34
lXY
87.82
85.01 20.89 21
3.26
4. 求回归系数和截距a值：
b lXY 3.26 0.1698 lXX 19.20
在医学研究中，经常需要研究两个变量之间 的相互关系和相互依存关系，如血糖与胰岛 素水平、年龄与血压等，把这种统计分析方 法叫做双变量关系的统计。
相关 ---- 变量间在数量上的相互关系 回归 ---- 变量间在数量上的依存关系
第一节 线性回归
一、基本概念 1.直线回归(linear regression) ：当一变量随 另一变量有规律的依存变化时，此依存变化 的数量关系称为直线回归关系。 直线回归是回归分析中最基本、最简单的 一种，故又称为简单回归或简单线性回归。
表10-1 21例肝癌病人血清胆固醇与甘油三脂相关性研究
病人序号
血清胆固醇
甘油三脂
1
3.89
1.71
2
3.41
1.01
3
5.70
0.97
4
6.84
1.78
5
2.93
1.25
6
3.98
0.70
7ห้องสมุดไป่ตู้
4.23
1.33
8
4.43
0.72
9
2.58
0.34
10
4.40
1.24
11
3.77
1.00
12
3.42
0.79
n 21
3. 计算 lXX 、lYY 及 lXY
lXX
X 2 ( X )2 363 .33 85.012 / 21 19.20 n
lYY 23.12 20.892 / 21 2.34
lXY
87.82
85.01 20.89 21
3.26
4. 求回归系数和截距a值：
b lXY 3.26 0.1698 lXX 19.20
相关与回归分析课件
直线回归
截距(intercept)，直线与Y轴交点的纵坐标。
斜率(slope)，回归系数(regression coefficient)。 意义：X每改变一个单位，Y平均改变b个单位。
0，Y随X的增大而增大（减少而减少）—— 斜上；
b<0，Y随X的增大而减小（减少而增加）—— 斜下；
b=0，Y与X无直线关系 —— 水平。 ｜b｜越大，表示Y随X变化越快，直线越陡峭。
2
4
11
16
121
44
3
6
11
36
121
66
4
8
14
64
196
112
5
10
22
100
484
220
6
12
23
144
529
276
7
14
32
196
1024
448
8
16
29
256
841
464
9
18
32
324
1024
576
10
20
34
400
1156
680
11
22
33
484
1089
726
合计
132
246
2024
第十章 线性相关与回归 regression and correlation
叶孟良
—— 相关分析
06
—— 回归分析
04
变量间关系问题：年龄~身高、肺活量~体重、药物剂量与动物死亡率等。
01
依存关系：应变量(dependent variable) Y 随自变量(independent variable) X变化而变化。
截距(intercept)，直线与Y轴交点的纵坐标。
斜率(slope)，回归系数(regression coefficient)。 意义：X每改变一个单位，Y平均改变b个单位。
0，Y随X的增大而增大（减少而减少）—— 斜上；
b<0，Y随X的增大而减小（减少而增加）—— 斜下；
b=0，Y与X无直线关系 —— 水平。 ｜b｜越大，表示Y随X变化越快，直线越陡峭。
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1089
726
合计
132
246
2024
第十章 线性相关与回归 regression and correlation
叶孟良
—— 相关分析
06
—— 回归分析
04
变量间关系问题：年龄~身高、肺活量~体重、药物剂量与动物死亡率等。
01
依存关系：应变量(dependent variable) Y 随自变量(independent variable) X变化而变化。
第10章 回归分析
7
解： 依题意，实验次数n＝5，y～x为一元线性关系y=a+bx。根据最小二乘 法原理，有：
i 1 2 3 4 5
xi 2 4 5 8 9 28
yi 2.01 2.98 3.50 5.02 5.07 18.58
x i2 4 16 25 64 81 190
yi2 4.04 8.88 12.25 25.20 25.70 76.07
xiyi 4.02 11.92 17.50 40.16 45.63 119.23
解得a＝1.155，b＝0.4573。 因此关系式为：y＝1.155+0.4573x。
如果用简化算法，则有：
故关系式为：y=1.155+0.4573x，即两种计算方法结果是一致的。 可见，根据实验数据建立回归方程，可采用最小二乘法，基本步骤为： ① 根据实验数据画出散点图； ② 确定经验公式的函数类型； ③ 通过最小二乘法得到正规方程组； ④ 求解正规方程组，得到回归方程的表达式。 其实①②两点正是第9章建立数学模型的过程，所以建立数学模型是回 归分析的前提。
13
[例10-2] 试用相关系数检验法对例10-l中得到的经验公式进行显著性检验 （α＝0.05）。 解：
当α＝0.05，n＝5时，查得相关系数临界值 r0.05，3＝0.8783。所以r＞r, f， 所得的经验公式有意义。
14
应当指出的是，相关系数r有一个明显的缺点：即它接近于1的程度与实 验数据组数n有关。当n较小时，｜r｜容易接近于1；当n较大时，｜r｜ 容易偏小。特别是当n＝2时，因两点确定一条直线，｜r｜总等于1。所 以，只有当实验次数n较多时，才能得出真正有实际意义的回归方程。
2
回归分析的主要内容: 确定回归方程，检验回归方程的可信性 10.2 一元线性回归分析 10.2.1 一元线性回归方程的建立 一元线性回归分析又称直线拟合，是处理两个变量x和y之间关系的方法。 所谓一元是指只有一个自变量x，因变量y在某种程度上是随x变化的。 设有一组实验数据，实验值为 (xi, yi) (i=1，2，…，n)。若x，y符合线性关 系，或已知经验公式为直线形式，就可拟合为直线方程，即：
医学统计学第十章线性相关
3 选择合适的方法
根据变量的类型和相关性 的形态选择合适的相关系 数计算方法。
偏相关系数的计算方法
控制其他变量
偏相关系数可以通过计算两个变 量在控制其他变量影响下的相关 性得出。
计算公式
偏相关系数的计算需要考虑各个 变量的相关系数和协方差。
解读结果
偏相关系数的值可以告诉我们， 在控制其他变量的情况下，感兴 趣变量之间的纯粹相学统计学中的重要概念之一，它描述了变量之间的关系。本章 将介绍线性相关的定义、分析方法和计算公式，并探讨相关系数的性质和显 著性检验。
散点图的分析方法
Visualizing Relationships
使用散点图可以直观地展示变 量之间的关系，通过观察点的 分布和走势，可以初步判断是 否存在线性相关。
用于衡量线性相关的强度和方向，取值范围为-1到1，绝对值越接近1，相关性越强。
Spearman 相关系数
用于衡量变量之间的单调关系，不受线性假设的限制，适用于有序和无序数据。
偏相关系数
用于控制一个或多个变量的影响，测量剩余变量与感兴趣变量之间的相关性。
相关系数的性质
1
正相关
当变量之间存在正相关时，它们的值会同时增加或减少。
Identifying Outliers Exploring Patterns
散点图还可以帮助我们识别异 常值，即偏离正常关系的数据 点，这对于后续的分析和处理 非常重要。
通过散点图，我们可以发现各 种有趣的模式和趋势，这有助 于深入了解变量之间的关系。
相关系数的计算公式
Pearso n 相关系数
2
负相关
当变量之间存在负相关时，一个变量的增加会导致另一个变量的减少。
3
第10章相关分析及回归分析
第八章相关与回归分析一、本章重点1.相关系数的概念及相关系数的种类。
事物之间的依存关系，能够分为函数关系和相关关系。
相关关系又有单向因果关系和互为因果关系；单相关和复相关；线性相关和非线性相关；不相关、不完全相关和完全相关；正相关和负相关等类型。
2.相关分析，着重掌握如何画相关表、相关图，如何测定相关系数、测定系数和进行相关系数的推断。
相关表和相关图是变量间相关关系的生动表示，对于未分组资料和分组资料计算相关系数的方式是不同的，一元线性回归中相关系数和测定系数有着紧密的关系,取得样本相关系数后还要对整体相关系数进行科学推断。
3.回归分析，着重掌握一元回归的大体原理方式，一元回归是线性回归的基础，多元线性回归和非线性回归都是以此为基础的。
用最小平方式估量回归参数，回归参数的性质和显著性査验，随机项方差的估量，回归方程的显菁性査验, 利用回归方程进行预测是回归分析的主要内容。
4.应用相关与回归分析应注意的问题。
相关与回归分析都有它们的应用范围，必需明白在什么情形下能用，什么情形下不能用。
相关分析和回归分析必需以定性分析为前提，不然可能会闹岀笑话，在进行预测时选取的样本要尽可能分散，以减少预测误差，在进行预测时只有在现有条件不变的情形下才能进行，若是条件发生了转变，原来的方程也就失去了效用。
二、难点释疑本章难点在于计算公式多，不容易记忆，所以更要注重计算的练习。
为了辜握大体计算的内容,最少应认真理解书上的例题，做完本指导书上的全数计算题。
初学者可能会感到本章公式多且复杂，难于记忆，其实只要抓住Lxx、Lxy. Lyy 这三个记号，记住它们的展开式，几个主要的公式就不难记忆了。
若是能自己把这些公式推证一下，弄清其关系，那就更易记住了。
三、练习题（一）填空题1事物之间的依存关系，按照其彼此依存和制约的程度不同，能够分为（）和（）两种。
2.相关关系按相关关系的情形可分为（）和（）;按自变量的多少分（）和（）；按相关的表现形式分（）和（）；按相关关系的紧密程度分（）、（）和（）；按相关关系的方向分（）。
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第十章 相关与回归
第一节 相关分析概述 第二节 等级相关与品质相关 第三节 简单线性回归模型 第四节 多元线性回归模型
第十章 相关与回归
《统计学》第十章 相关与回归
联系与相互影响是普遍的现象
事物相互间关系的质的解释：自然 的、社会的、经济的、心理的… 事物受育教 的相互间工 后关作 的 系的量的预疾分防病析：疾 的两病 发变 量或水平多变量收间入 的数量关支系出。在病可率以 解释的质的关系基础上进行相关分 析和回归分析
分组相关表
20个同类工业企业固定资产原值与平均每昼夜产量
平均每昼 夜产量
（吨）
600～650 550～600 500～550 450～500 400～450 350～400 300～350
fX
35～ 40
2 2
固定资产原值（百万元）
40～ 45～ 50～55 55～60 60～
45
50
65
12 21 151 22
37887
相关系数的计算
【例】计算工业总产值与能源消耗量之间的相
关系数
资料
解结：论已：知工n 业16总, 产x值与916能, 源y消耗62量5, 之间存 在高xy 度 3的788正7 相, 关x2关系550，86能, 源y消2 耗2量617x5的变 r化能够解释n工业xy总 产x值y变y 化的95.2﹪。
Br 160250 25600 250 0.0082 000549.45 -7.55 -7
t4 .41 t1(8 )2.31 GCDHEFI检接于t 验受零111111166677671r2480462统备，0n1计择相45665673n 2850202157 量假关xr692222223122 02 6688079落设关20282925549207582 入。系4640664(090 拒即是523332341.30679875x8 0 60200042绝可显4).45040411 70 026域以著04 .8111127982 0200中认的7080 41n0124 7241889916.60018 0022，为。5 8708 01故5555666y4 138045223.......59367025拒明0 2 329168451 70绝(显2 03---8 1357531原2地 .......02533208459y948假不4)5.274 设等01---5342925，31
当 H0： 0成立时，则统计量
tr n 2 1 r2~t(n 2 )
有：t 0.9757162 10.97572 16.6616 t 16.6616t n2t0.025142.1448
2
拒绝H0，表示总体的两线 变性 量相 间关性显
《统计学》第十章 相关与回归
变量，将两个变量间相对应的变量值用坐标
点的形式描绘出来，用以表明相关点分布状
况的图形。
y
y
y
y
正 相 关 x 负 相 关 x 曲线相关 x 不 相 关 x
180
Y
170
《统计学》第十章 相关与回归
身高
160
150
30
40
50
60
70
80
90
体重
X
相关关系的测定
相关系数
在直线相关的条件下，用以反映两变量间
使用相关系数时应注意的问题： •相关关系不等于因果关系；
•相关系数只度量变量间的线性关系， 因此，弱相关不一定表明变量间没有 关系；
•极端值可能影响相关系数。
•注意相关关系成立的数据范围。
•警惕虚假相关
第二节 等级相关与品质相关
等级相关 定序尺度的变量之间的相关关系。
由于社会经济现象的复杂性，有许多情形难以以精确数 字形成统计数列，而只能根据主观判断，评定等级，依 次排列。如对事态轻重、才智高低、艺术水平等的评价， 都只能依据评判者的知识、经验、感受、有关规则等， 作出相对大小的等级评定。
QaPb1Ib2
相关关系可用统计模型：
yf(x 1 ,x 2 , ,x n )或：Y=F（X）+ε
式中，为影响Y的除X外的其他随机因素。
相关关系的种类：
1、按相关关系涉及变量的多少可分为：
单相关
是两个变量之间存在的相关关
系，即一个因变量与一个自变量 之间的依存关系。因此也称为一 元相关。
第一节 相关分析概述
相关分析的意义
社会经济现象中，一些现象与另一些现象之间 往往存在着依存关系，当我们用变量来反映这 些现象的的特征时，便表现为变量之间的依存 关系。 在分析变量的依存关系时，我们把变量分为 两种：
自变量 引起其他变量发生变化的量。
因变量 受自变量的影响发生对应变化的量
相关分析的意义
n x2 x2 n y2 ( y)2
16 37887 916 625
0.9757
16 55086 916 2 16 26175 625 2
r 2 0.9757 2 0.9520
相关系数的统计检验
根据样本的相关系数，在一定的置信度 水平下，总体的相关系数将在什么范围 内?计算相关系数的样本，是否来自并 无相关的总体?对这些的问题的研究， 就是我们所要回答的相关系数的统计推 断问题。
180
线性正相关
170
身高
160
150
30
40
50
60
70
80
90
体重
100
线性负相关
80
60
40
非线性相关
20
0
200
300
400
500
600
700
支出
成绩
100
无（不）相关
80
60
40
成绩
20
0
30
40
50
60
70
80
90
体重
相关关系的种类：
4、按相关关系的密切程度分为：
完全相关
因变量完全随自变量变动而变动，存在着 严格的依存关系。即变量间的关系为函数 关系。
916
工业总产值 （亿元）y
24 25 24 28 32 31 37 40 41 40 47 50 49 51 48 58
625
x2
y2
xy
1225 1444 1600 1764 2401 2704 2916 3481 3844 4096 4225 4624 4761 5041 5184 5776
55086
23 5 43
65～ 70
fY
11
3
3
7
4
0
2
1 20
相关关系的测定
相关图
将变量之间的伴随变动绘于坐标图上 所形成的统计图。又称散点图。
简单相关图
根据未分组资料的原始数据直接 绘制的相关图。
分组相关图 根据分组资料绘制的相关图。
相关关系的测定
相关图的绘制
用直角坐标系的x轴代表自变量，y轴代表因
分组 相关表
适用于所观察的样本单位数 较少，不需要分组的情况
适用于所观察的样本单位数 较多，标志变异又较复杂， 需要分组的情况
简单相关表
八个同类工业企业的月产量与生产费用
企业编号 1 2 3 4 5 6 7 8
月产量（千吨）X 1.2 2.0 3.1 3.8 5.0 6.1 7.2 8.0
生产费用（万元）Y 62 86 80 110 115 132 135 160
复相关
也称多元相关，是指三个或三个 以上变量之间存在的相关关系， 通常涉及一个因变量与两个或更 多个自变量，也称多元相关。
相关关系的种类：
2、按相关关系形式可分为：
直线相关
当自变量X值每变动一个单位， 因变量Y值则随着发生大致均等 的变动，这就是直线相关。亦称 为简单相关或一元线性相关。
曲线相关
当自变量X值每变动一个单位， 因变量Y值则随之发生不均等的 变化，这就曲线相关。亦称为一 元非线性相关 。
0<|r|<1表示存在不同程度线性相关：
|r| < 0.4 为低度线性相关；
0.4≤ |r| ＜0.7为显著性线性相关； 0.7≤|r| ＜1.0为高度显著性线性相关。
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 合计
能源消耗量（十 万吨）x 35 38 40 42 49 52 54 59 62 64 65 68 69 71 72 76
例如：家庭收入决定消费支出，收入的变 化必然引起消费支出的变化，这两个变量 中收入是自变量，而消费支出则是因变量。
现象之间的相互关系，可以概括为两 种不同的类型：
（一）函数关系 （二）相关关系
函数关系
指变量之间存在着确定性依存关 系。即当一个或一组变量每取一 个值时，相应的另一个变量必然 有一个确定值与之对应 。
相关关系的种类：
3、按相关的方向可分为：
正相关
当自变量X值增加（或减少）时， 因变量Y值也随之增加（或减 少），这样的相关关系就是正相 关，也叫同向相关。
负相关
当自变量X的值增加（或减少） 时，因变量Y的值随之而减少 （或增加），这样的相关关系就 是负相关，也叫异向相关。
《统计学》第十章 相关与回归
J 173630605 3095746204225 11440 66.71 9.71 8
1670 57 279220 33032 95546 -
0
0
【例】检验工业总产值与能源消耗量之间 的线性相关性是否显著 资料
解： n1 已 ,6 r知 0.97, 57 0.0,则 5 提出H 0 假 :0 设 H 1:： 0
第一节 相关分析概述 第二节 等级相关与品质相关 第三节 简单线性回归模型 第四节 多元线性回归模型
第十章 相关与回归
《统计学》第十章 相关与回归
联系与相互影响是普遍的现象
事物相互间关系的质的解释：自然 的、社会的、经济的、心理的… 事物受育教 的相互间工 后关作 的 系的量的预疾分防病析：疾 的两病 发变 量或水平多变量收间入 的数量关支系出。在病可率以 解释的质的关系基础上进行相关分 析和回归分析
分组相关表
20个同类工业企业固定资产原值与平均每昼夜产量
平均每昼 夜产量
（吨）
600～650 550～600 500～550 450～500 400～450 350～400 300～350
fX
35～ 40
2 2
固定资产原值（百万元）
40～ 45～ 50～55 55～60 60～
45
50
65
12 21 151 22
37887
相关系数的计算
【例】计算工业总产值与能源消耗量之间的相
关系数
资料
解结：论已：知工n 业16总, 产x值与916能, 源y消耗62量5, 之间存 在高xy 度 3的788正7 相, 关x2关系550，86能, 源y消2 耗2量617x5的变 r化能够解释n工业xy总 产x值y变y 化的95.2﹪。
Br 160250 25600 250 0.0082 000549.45 -7.55 -7
t4 .41 t1(8 )2.31 GCDHEFI检接于t 验受零111111166677671r2480462统备，0n1计择相45665673n 2850202157 量假关xr692222223122 02 6688079落设关20282925549207582 入。系4640664(090 拒即是523332341.30679875x8 0 60200042绝可显4).45040411 70 026域以著04 .8111127982 0200中认的7080 41n0124 7241889916.60018 0022，为。5 8708 01故5555666y4 138045223.......59367025拒明0 2 329168451 70绝(显2 03---8 1357531原2地 .......02533208459y948假不4)5.274 设等01---5342925，31
当 H0： 0成立时，则统计量
tr n 2 1 r2~t(n 2 )
有：t 0.9757162 10.97572 16.6616 t 16.6616t n2t0.025142.1448
2
拒绝H0，表示总体的两线 变性 量相 间关性显
《统计学》第十章 相关与回归
变量，将两个变量间相对应的变量值用坐标
点的形式描绘出来，用以表明相关点分布状
况的图形。
y
y
y
y
正 相 关 x 负 相 关 x 曲线相关 x 不 相 关 x
180
Y
170
《统计学》第十章 相关与回归
身高
160
150
30
40
50
60
70
80
90
体重
X
相关关系的测定
相关系数
在直线相关的条件下，用以反映两变量间
使用相关系数时应注意的问题： •相关关系不等于因果关系；
•相关系数只度量变量间的线性关系， 因此，弱相关不一定表明变量间没有 关系；
•极端值可能影响相关系数。
•注意相关关系成立的数据范围。
•警惕虚假相关
第二节 等级相关与品质相关
等级相关 定序尺度的变量之间的相关关系。
由于社会经济现象的复杂性，有许多情形难以以精确数 字形成统计数列，而只能根据主观判断，评定等级，依 次排列。如对事态轻重、才智高低、艺术水平等的评价， 都只能依据评判者的知识、经验、感受、有关规则等， 作出相对大小的等级评定。
QaPb1Ib2
相关关系可用统计模型：
yf(x 1 ,x 2 , ,x n )或：Y=F（X）+ε
式中，为影响Y的除X外的其他随机因素。
相关关系的种类：
1、按相关关系涉及变量的多少可分为：
单相关
是两个变量之间存在的相关关
系，即一个因变量与一个自变量 之间的依存关系。因此也称为一 元相关。
第一节 相关分析概述
相关分析的意义
社会经济现象中，一些现象与另一些现象之间 往往存在着依存关系，当我们用变量来反映这 些现象的的特征时，便表现为变量之间的依存 关系。 在分析变量的依存关系时，我们把变量分为 两种：
自变量 引起其他变量发生变化的量。
因变量 受自变量的影响发生对应变化的量
相关分析的意义
n x2 x2 n y2 ( y)2
16 37887 916 625
0.9757
16 55086 916 2 16 26175 625 2
r 2 0.9757 2 0.9520
相关系数的统计检验
根据样本的相关系数，在一定的置信度 水平下，总体的相关系数将在什么范围 内?计算相关系数的样本，是否来自并 无相关的总体?对这些的问题的研究， 就是我们所要回答的相关系数的统计推 断问题。
180
线性正相关
170
身高
160
150
30
40
50
60
70
80
90
体重
100
线性负相关
80
60
40
非线性相关
20
0
200
300
400
500
600
700
支出
成绩
100
无（不）相关
80
60
40
成绩
20
0
30
40
50
60
70
80
90
体重
相关关系的种类：
4、按相关关系的密切程度分为：
完全相关
因变量完全随自变量变动而变动，存在着 严格的依存关系。即变量间的关系为函数 关系。
916
工业总产值 （亿元）y
24 25 24 28 32 31 37 40 41 40 47 50 49 51 48 58
625
x2
y2
xy
1225 1444 1600 1764 2401 2704 2916 3481 3844 4096 4225 4624 4761 5041 5184 5776
55086
23 5 43
65～ 70
fY
11
3
3
7
4
0
2
1 20
相关关系的测定
相关图
将变量之间的伴随变动绘于坐标图上 所形成的统计图。又称散点图。
简单相关图
根据未分组资料的原始数据直接 绘制的相关图。
分组相关图 根据分组资料绘制的相关图。
相关关系的测定
相关图的绘制
用直角坐标系的x轴代表自变量，y轴代表因
分组 相关表
适用于所观察的样本单位数 较少，不需要分组的情况
适用于所观察的样本单位数 较多，标志变异又较复杂， 需要分组的情况
简单相关表
八个同类工业企业的月产量与生产费用
企业编号 1 2 3 4 5 6 7 8
月产量（千吨）X 1.2 2.0 3.1 3.8 5.0 6.1 7.2 8.0
生产费用（万元）Y 62 86 80 110 115 132 135 160
复相关
也称多元相关，是指三个或三个 以上变量之间存在的相关关系， 通常涉及一个因变量与两个或更 多个自变量，也称多元相关。
相关关系的种类：
2、按相关关系形式可分为：
直线相关
当自变量X值每变动一个单位， 因变量Y值则随着发生大致均等 的变动，这就是直线相关。亦称 为简单相关或一元线性相关。
曲线相关
当自变量X值每变动一个单位， 因变量Y值则随之发生不均等的 变化，这就曲线相关。亦称为一 元非线性相关 。
0<|r|<1表示存在不同程度线性相关：
|r| < 0.4 为低度线性相关；
0.4≤ |r| ＜0.7为显著性线性相关； 0.7≤|r| ＜1.0为高度显著性线性相关。
序号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 合计
能源消耗量（十 万吨）x 35 38 40 42 49 52 54 59 62 64 65 68 69 71 72 76
例如：家庭收入决定消费支出，收入的变 化必然引起消费支出的变化，这两个变量 中收入是自变量，而消费支出则是因变量。
现象之间的相互关系，可以概括为两 种不同的类型：
（一）函数关系 （二）相关关系
函数关系
指变量之间存在着确定性依存关 系。即当一个或一组变量每取一 个值时，相应的另一个变量必然 有一个确定值与之对应 。
相关关系的种类：
3、按相关的方向可分为：
正相关
当自变量X值增加（或减少）时， 因变量Y值也随之增加（或减 少），这样的相关关系就是正相 关，也叫同向相关。
负相关
当自变量X的值增加（或减少） 时，因变量Y的值随之而减少 （或增加），这样的相关关系就 是负相关，也叫异向相关。
《统计学》第十章 相关与回归
J 173630605 3095746204225 11440 66.71 9.71 8
1670 57 279220 33032 95546 -
0
0
【例】检验工业总产值与能源消耗量之间 的线性相关性是否显著 资料
解： n1 已 ,6 r知 0.97, 57 0.0,则 5 提出H 0 假 :0 设 H 1:： 0