函数的定义域、解析式、值域

函数的定义域一、几类函数的定义域（1）如果f(x ）是整式，那么函数的定义域是实数集R ；（2）如果f(x)是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合；（3）如果f(x ）是二次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数的集合。

（4）如果2[()]f x ，那么函数的定义域是使f(x)不等于0的实数的集合。

（5）如果f(x)是由几个部分的数学式子构成的，那么函数定义域是使各部分式子都有意义的实数的集合（即求各集合的交集）（6）满足实际问题的意义。

二、例题讲解例1 求下列函数的定义域：① 21)(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ xx x f -++=211)(例2 求下列函数的定义域： ①14)(2--=x x f ②2143)(2-+--=x x x x f ③=)(x f x 11111++ ④x x x x f -+=)1()( ⑤373132+++-=x x y例3 若函数a ax ax y 12+-=的定义域是R ，求实数a 的取值范围例4 若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域例5 已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x －1)的定义域。

例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x 2)的定义域。

练习：设)(x f 的定义域是[-3，2]，求函数)2(-x f 的定义域例7已知f(2x －1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域已知f(x 2)的定义域为[－1，1]，求f(x)的定义域若()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()()121f x f x ++-的定义域是 （） Ａ．[]1,1- Ｂ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21 Ｃ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21 Ｄ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦已知函数()11xf x x +=-的定义域为Ａ，函数()y f f x =⎡⎤⎣⎦的定义域为Ｂ，则（ ）Ａ．A B B = Ｂ．B A ∈ Ｃ．A B B = Ｄ． A B =例8、若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，求实数m 的取值范围练习、若函数222(1)(1)1y a x a x a =-+-++的定义域为R ，求实数a 的取值范围例9、（1）设二次函数f （x ）满足f （x-2）=f （-x-2），且图像在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为22，求f （x ）的解析式；（2）已知,2)1(x x x f +=+求f （x ）（3）已知f （x ）满足x xf x f 3)1()(2=+，求f （x ）例10、若函数()f x 的定义域为[,]a b ，且0b a >->，则函数()()()g x f x f x =--的定义域是_______________________例11. 已知函数m mx mx y ++-=862的定义域为R.(1)求实数m 的取值范围;(2)当m 变化时,若y 的最小值为f(m),求函数f(m)的值域.例12. 若函数y=x 2-6x-16的定义域为[0,m],值域为[-25,-16],则m 的取值范围( )A.(0,8]B.[3,8]C.[3,6]D.[3,+∞)例13. 已知1()1f x x =+，则函数(())f f x 的定义域是( ). A ．{|1}x x ≠- B ．{|2}x x ≠-C ．{|12}x x x ≠-≠-且D ．{|12}x x x ≠-≠-或函数的解析式我们知道，把两个变量的函数关系用一个等式表示，这个等式就叫做函数的解析表达式，简称解析式.下面我们通过例题来说明求函数解析式的几种常用方法（一）待定系数法待定系数法是求函数解析式的常用方法之一，它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目，它在函数解析式的确定中扮演着十分重要的角色。

其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。

例1、已知()f x是二次函数，若(0)0,f=且(1)()1f x f x x+=++试求()f x的表达式。

小结：我们只要明确所求函数解析式的类型，便可设出其函数解析式，设法求出其系数即可得到结果。

类似的已知f(x)为一次函数时，可设f(x)=ax+b(a≠0)；f(x)为反比例函数时，可设f(x)=kx(k≠0)；f(x)为二次函数时，根据条件可设①一般式：f(x)=ax2+bx+c(a≠0)②顶点式：f(x)=a(x-h)2+k(a≠0)③双根式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)例2、已知f(x)是一次函数，且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)；例3、设f(x)是一次函数,且f[f(x)]=4x+3,求f(x)例4、二次函数()f x 满足(3)(1)f x f x +=-，且()0f x =的两实根平方和为10，图像过点(0,3)，求()f x 解析式（二）换元法换元法也是求函数解析式的常用方法之一，它主要用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。

它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。

例5、已知(1)21,f x x x +=++求()f x 的解析式。

例6、已知f(x 1)=xx -1求f(x)的解析式例7、2134(31)x xf x +-+=，求()f x 解析式(三)配凑法已知复合函数[()]f g x 的表达式，要求()f x 的解析式时，若[()]f g x 表达式右边易配成()g x 的运算形式，则可用配凑法，使用配凑法时，要注意定义域的变化。

例8、已知(1)2,f x x x +=+求()f x 的解析式。

例9、2(31)965f x x x +=-+，求()f x 解析式例10、已知2211(),f x x x x-=+求()f x .实质上，配凑法也缊含换元的思想，只是不是首先换元，而是先把函数表达式配凑成用此复合函数的内函数来表示出来，在通过整体换元。

和换元法一样，最后结果要注明定义域。

(四)消元法，此方法的实质是解函数方程组。

消元法适用的范围是：题高条件中，有若干复合函数与原函数()f x 混合运算，则要充分利用变量代换，然后联立方程组消去其余部分。

例11、设()f x 满足1()2(),f x f x x-=求()f x 的解析式。

例12、()()1f x f x x +-=-，求()f x 解析式例13、已知f(x)+2f(-x)=x 2+2x 求f(x)的解析式例14、已知2f(x)+f(-x)=3x+2 求f(x)的解的式例15、已知12)1(5)(3+=+x xf x f ，则求函数)(x f 的解析式。

（五）赋值法赋值法是依据题条件的结构特点，由特殊到一般寻找普遍规律的方法。

其方法：将适当变量取特殊值，使问题具体化、简单化，依据结构特点，从而找出一般规律，求出解析式。

例14、已知(0)1,()()(21),f f a b f a b a b=-=--+求()f x。

函数的值域总之，求函数解析式的常用方法有：配凑法、换元法、待定系数法、消元法等。

如果已知函数解析式的类型，可用待定系数法；已知复合函数解析式时，可用换元法，这时要注意“元”的取值范围；当已知的表达式比较简单时，可用配凑法；若已知抽象的函数表达式，根据题目的条件特征，可用赋值法或解方程组消元的方法求解析式1．直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。

例1.求函数y= 3 -x的值域。

练习：求函数y=1x+2的值域。

2．配方法配方法是求二次函数或含二次函数型函数值域最基本的方法之一。

(注意自变量的范围)例2.①求函数y=2x-2x+5的值域。

②求函数y=2x-2x+5，x∈[-3，2]的值域。

③求函数y=2x-2x+5，x∈[3，6]的值域。

例3. 函数y = )40(422≤≤--x x x 的值域是 ( )(A) [-2,2] (B) [1,2] (C) [0,2] (D) [-2,2]练习：1.方程24420x m x m -++=的两实根为,αβ，则22αβ+最小值为___________________2.已知二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－2,3]上的最大值为6，则a 的值为________.3.3. 若213()22f x x x =-+的定义域和值域都是[1,]b (1)b >，试确定b 的值。

3．判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用。

（形如222111122222(0)a x b x c y a a a x b x c ++=+≠++的函数）例4.求函数y = 2211x x x +++的值域。

练习：已知函数的值域是,求的值.4．分离常数法 对于形如(0)cx dc dy a ax b a b +=≠≠+且的值域。

例5.求函数y=6543++x x 值域。

练习：求函数125x y x -=+的值域5．换元法 通过简单的换元把一个函数变为简单函数，代数换元对形如(0)y ax b cx d a =+±+≠的函数常设d cx t +=来求值域。

(注意：新元的取值范围)例 6.求函数y =x +1-x 的值域。

练习：函数212y x x =+-的值域为___________________.6． 数形结合法例7.求函数|2||1|-++=x x y 的值域。

练习：1.若43x x a -+-≤对任意实数恒成立，则a 的取值范围为________.7. 函数单调性法例8.、函数()31,3y x x x =-++≥的值域为___________________.例9、已知函数222()1x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。

例10、求函数12)(2--=ax x x f 在区间[ 0 , 2 ]上的最值例11、若函数2()22,[,1]f x x x x t t =-+∈+当时的最小值为()g t ，求函数()g t 当∈t [-3,-2]时的最值。