4.1.1 分数指数幂
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课件2：4.1.1 n次方根与分数指数幂
[解]
4 (
(x－1))4＋6
(x2－4x＋4)3
＝(4 x－1)4＋6 (x－2)6 ∵2≤x≤3，∴x－1>0，x－2≥0， ∴原式＝(x－1)＋|x－2|＝x－1＋x－2＝2x－3.
名师提醒 有限制条件根式的化简策略
(1)有限制条件根式的化简问题，是指被开方数或被 开方的表达式可以通过配方、拆分等方式进行化简． (2)有限制条件根式的化简经常用到配方的方法．当 根指数为偶数时，在利用公式化简时，要考虑被开 方数或被开方的表达式的正负．
题型三 有限制条件的根式化简 典例 3 设 x∈[1,2]，化简(4 x－1)4＋6 x2－4x＋43.
[解]
4 (
x－1)4＋6
(x2－4x＋4)3
＝(4 x－1)4＋6 (x－2)6 ∵1≤x≤2，∴x－1≥0，x－2≤0. ∴原式＝(x－1)＋|x－2|＝(x－1)＋(2－x)＝1.
变式 若本例中的“x∈[1,2]”改为“x∈[2,3]”，其他条件 不变，化简求值．
2．若4 x－2有意义，则实数 x 的取值范围是________．
[解析] 要使4 x－2有意义，则需 x－2≥0，即 x≥2. 因此实数 x 的取值范围是[2，＋∞)． [答案] [2，＋∞)
题型二 简单根式的化简与求值 典例 2 化简下列各式： (1) 5 －25；(2) 4 －104； (3) 4 －92；(4) 4 a－b4.
4.1.1 n次方根与分数指数幂
学习目标 1．理解 n 次方根、n 次根式的概念． 2．正确运用根式运算性质化简、求值． 3．体会分类讨论思想、符号化思想的作用．
要点梳理 1．根式的概念 一般地，如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根 ，其 中 n>1，且 n∈N*. (1)当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个正数，负数 的 n 次方根是一个负数，这时，a 的 n 次方根用符号
数学人教A版必修第一册4.1.1n次方根与分数指数幂课件
（）
⋅ ； （） · .
解： (1) ⋅ = ⋅ = ；
(2) ⋅ =
⋅ =
= .
巩固练习
例4 计算下式各式(式中字母均是正数).
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4
3
8 8
（1）(2a b )(6a b ) ( 3a b )；（2）(m n ) ；
课堂检测：
3
2
1．将 5 写成根式的形式，正确的是 ( D )
5 3
3 2
3
A. 5
B.
5 C．
D. 53
2
4
2．计算 （－5）4的结果是 ( A )
A．5
B．－5
C．±5
D．不确定
1
3．若 a< ，则化简 （4a－1）2的结果是 ( B )
4
A．4a－1
B．1－4a
C．－ 4a－1
D底数不变，指数相加
同底数幂相除，底数不变，指数相减
⟹幂的乘方，底数不变，指数相乘
⟹积的乘方，等于积的每一个因式分别乘
方，再把所得的幂相乘
5.分数指数幂的运算性质
注意：①法则的逆用： ①+ = > , , ∈
② =
③ =
=
= ；
=
法二：
−
法三：
−
−
4.1.1n次方根与分数指数幂第一课时PPT课件(人教版)
万年前就存在的吗?
探究新知
【1】 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 表示.例如 = ， − = −.
【2】 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正的n次方
根用 表示，负的n次方根用− 表示.两者也可以合并成±
和果实是什么
树的吗？
银杏,是全球最古老的树种.在200多万年前,第四纪冰川出
现,大部分地区的银杏毁于一旦,残留的遗体成为了印在石头
里的植物化石.在这场大灾难中,只有中国保存了一部分活的
银杏树,绵延至今,成了研究古代银杏的活教材.所以,人们把
它称为“世界第一活化石”.
复习引入
树干化石
树叶化石
你知道考古学家是根据什么推断出银杏于200多
3
)
变式训练
5.求下列各式的值
(1) 2
5
5
2
3
，
(2)3 2
结论:an开奇次方根,则有
(2) 3 3 ，
(3)2
2
(3) 2 2 ，
4
4
4
n
3
a n a.
.
(2) 2
4
结论:an开偶次方根,则有
n
.
(3)2 3
.
4
(2)4 2
a n | a | .
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4
(1) (2a b )(6a b ) (3a b );
解析：
2
3
探究新知
【1】 当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数.
这时，a的n次方根用符号 表示.例如 = ， − = −.
【2】 当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数.正的n次方
根用 表示，负的n次方根用− 表示.两者也可以合并成±
和果实是什么
树的吗？
银杏,是全球最古老的树种.在200多万年前,第四纪冰川出
现,大部分地区的银杏毁于一旦,残留的遗体成为了印在石头
里的植物化石.在这场大灾难中,只有中国保存了一部分活的
银杏树,绵延至今,成了研究古代银杏的活教材.所以,人们把
它称为“世界第一活化石”.
复习引入
树干化石
树叶化石
你知道考古学家是根据什么推断出银杏于200多
3
)
变式训练
5.求下列各式的值
(1) 2
5
5
2
3
，
(2)3 2
结论:an开奇次方根,则有
(2) 3 3 ，
(3)2
2
(3) 2 2 ，
4
4
4
n
3
a n a.
.
(2) 2
4
结论:an开偶次方根,则有
n
.
(3)2 3
.
4
(2)4 2
a n | a | .
2
3
1
2
1
2
1
3
1
6
5
6
1
4
(1) (2a b )(6a b ) (3a b );
解析：
2
3
4.1.1n次方根与分数指数幂课件高一上学期数学人教A版
思考 6►►► n an表示 an 的 n 次方根，n an＝a 一定成立吗？如果不一定成立，那 么n an等于什么？ 【解析】 不一定成立，当 n 为奇数时，n an＝a； 当 n 为偶数时，n an＝|a|＝a－，a，a≥a0<，0.
内容索引
例 1 求下列各式的值：
(1) 3 －83； 【解析】 3 －83＝－8. (2) －102；
第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数 4.1.1 n次方根与分数指数幂
内容索引
学习目标 活动方案 检测反馈
内容索引
1. 了解n次方根的概念及其性质. 2. 了解根式的概念及其性质. 3. 理解分数指数幂的定义，把握分式与负整数指数幂、根式与正 分数指索引
此类问题的解答首先应去根号，这就要求将被开方部分化为完全平 方的形式，结合根式性质求解．
内容索引
例3中，若将“－3<x<3”变为“x≤－3”，则结果又是什么？ 【解析】 原式＝ x－12－ x＋32＝|x－1|－|x＋3|. 因为 x≤－3，所以 x－1≤－4，x＋3≤0， 所以原式＝－(x－1)＋(x＋3)＝4.
内容索引
活动五 分数指数幂
思考 7►►► 根据 n 次方根的定义和数的运算，我们知道
5 a10＝5
10
a25＝a2＝a 5
(a>0)，
4 a12＝4
12
a34＝a3＝a 4
(a>0)．
从以上式子中，你能总结出怎样的规律？
【解析】 这表明，当根式的被开方数(看成幂的形式)的指数能被根 指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式．
【解析】 由于整数指数幂、分数指数幂都有意义，因此，有理数 指数幂是有意义的，整数指数幂的运算性质，可以推广到有理数指数幂， 即：
4.1.1n次方根与分数指数幂课件(人教版)(6)
- ≤ ,
所以需满足
解得 a∈[-3,3].
+ ≥ ,
答案:(1)-2
(2)[-3,3]
实数指数幂的扩充
复习回顾
1.计算下列各式，并指出它们是哪一类计算
1
2
2
3
1
2
an
1
2
a a
4
1
2
a
n N
2.正整数指数幂：
rs
r
r
a r a
（5）
（ ）= r
b
b
r
(a 0, b 0, r , s Q)
(a 0, b 0, r , s Q)
n N
nZ
a
n
正整数指数幂
整数指数幂
分数指数幂
n Q
有理数指数幂
nR
实数指数幂
根式与分数指数幂的互换(其中字母都为正数)
5
4
3
a a;
3
3
2
3
a 4b 2 a b a
11
6
4
3
b .
Topic. 03
03 课堂小结
课堂小结
无理数指数幂
2. 计算下列各式．
7 0.5
10 2
2
2
37
－
(1) 9 ＋0.1 2＋ 27 3－3π0＋ ；
48
－
1
2 2
－ 2
×（ 2 2） 3
(2) 2
2
2
.
25 1
64 2
37
(1)原式＝ 9 2＋102＋ 27 3－3＋
4.1.1分数指数幂概念
4.1.1 分数指数幂【明确目标】1.理解分数指数幂的概念.2.会对根式、分数指数幂进行互化. 3．培养学生用联系观点看问题. 【自主学习】 1．根式 (1)定义：若（，n>1），则称x 为a 的n 次实数方根．当n=2，n=3时．X 2=4,则x 的平方根是 算术平方根是 x 3=8则x 的立方根是若n 为奇数，用符号 表示a 的n 次方根，这时．若n 为偶数，则要求a ≥0，用符号 表示a 的n 次方根． (2)性质①当n 为任意正整数时，(n a )n =②当n 为奇数时，n n a = ；当n 为偶数时，n n a = =.③当a ≠0时， a 0= a -n=3．观察当a ＞0时①51025101052)(a a a a a ==⇒=②31243121234)(a a a a a ==⇒= 2．正数的正分数指数幂的意义n m nm a a = (m ,n ∈N *,且n ＞1)注意：⑴分数指数幂是根式的另一种表示形式；⑵根式与分数指数幂可以进行互化.⑶当n 是奇数时a ∈R ； 当n 是偶数时a ≧0另外，我们还要对正数的负分数指数幂和0的分数指数幂作如下规定.2.规定： (1)nm nm aa1=- (a ≠0，m ,n ∈N *,且n ＞1)(2)0的正分数指数幂等于0. (3)0的负分数指数幂无意义. 【合作探究】例1用根式的形式表示下列各式： ① ② a 53 ③ a 23-例2用分数指数幂的形式表示下列各式： ①32x ②34a ③531a【拓展训练】 1.填空.① 43)(b a +(式中a ＞0)=②③ a 54_写成根式的形式为 ④ 根式化a a -为分数指数幂为 ⑤ 计算()23π-= ⑥ 若a ∈R 则① a-n=na1 ②a a =33③2a =a ④313a a = ⑤ a 0=1恒成立的有2． 求下列各式的值： ① 832 ②10021_ ③ (-27)-34 ④ 43_)8116(3.解下列方程 ⑴ 151243=-x ⑵ 1634=x4．①(a-b)0=1,(a-b)-1=ba -1恒成立吗？②如何将根式写成分数指数幂的形式？【要点归纳】： 1.(1)若（，n>1），则称x 为a 的n 次实数方根． 若n 为奇数，用符号表示a 的n 次方根，这时．若n 为偶数，则要求a ≥0，用符号表示a 的n 次方根．(2)性质：①当n 为任意正整数时，(n a )n =a. ②当n 为奇数时，nna =a ；当n 为偶数时，nna =|a|=⎩⎨⎧<-≥)0()0(a a a a ③当a ≠0时， a 0=1 a -n=na 12．正数的正分数指数幂的意义：n m nm a a = (m ,n ∈N *,且n ＞1)3.规定：(1)nm nm aa1=-(a ≠0，m ,n ∈N *,且n ＞1)()=-447()=-557。
4.1.1n次方根与分数指数幂 课件-高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
整数指数幂
分数指数幂
p
q
正数 a a a a (n个a相乘)
n
负数
0
a
n
1
n
a
a a
a
p
q
q
1
a
p
q
无理数指数幂
a (为无理数)
p
1
q
a
p
如 : 5 2 ,3
3
a 1
0
实数指数幂的运算性质(a>0 ; r,s∈R)：
①ar·
as=ar+s ②(ar)s=ars ③(ab)r=ar·
a
n N
n个
其中a是底数，n是指数，an是幂
(0指数幂 ) a 0 1
(负整数指数幂 ) a
( a 0)
n
1
n
a
(a 0,n N )
2、运算性质
(1)a m a n a m n
( 2)( a m ) n a mn
( 3)( a b ) n a n b n
(3). 0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义.
5.有理指数幂的运算性质;
作业： (1)课本P96 , 习题3.4
T 1，2
(2)做完《一线课堂》对应习题
谢谢
【4】 0的任何次方根都是0.记作：
= .
因为在实数的定义里，任
意实数的偶次方是非负数. 因
此负数没有偶次方根.
根式的概念
式子 叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
根指数
被开方数
根据n次方根的定义，
可得：
分数指数幂
p
q
正数 a a a a (n个a相乘)
n
负数
0
a
n
1
n
a
a a
a
p
q
q
1
a
p
q
无理数指数幂
a (为无理数)
p
1
q
a
p
如 : 5 2 ,3
3
a 1
0
实数指数幂的运算性质(a>0 ; r,s∈R)：
①ar·
as=ar+s ②(ar)s=ars ③(ab)r=ar·
a
n N
n个
其中a是底数，n是指数，an是幂
(0指数幂 ) a 0 1
(负整数指数幂 ) a
( a 0)
n
1
n
a
(a 0,n N )
2、运算性质
(1)a m a n a m n
( 2)( a m ) n a mn
( 3)( a b ) n a n b n
(3). 0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义.
5.有理指数幂的运算性质;
作业： (1)课本P96 , 习题3.4
T 1，2
(2)做完《一线课堂》对应习题
谢谢
【4】 0的任何次方根都是0.记作：
= .
因为在实数的定义里，任
意实数的偶次方是非负数. 因
此负数没有偶次方根.
根式的概念
式子 叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.
根指数
被开方数
根据n次方根的定义，
可得：
4.1.1分数指数幂
m 当an
明
概念
a
m n
1
n
说
m
有意义，且 a 0 ，
a
明
m、n N且n ＞1
强调演示
巩固知识
典型例题
3 （2） a 5
3 2
例 1 将下列各分数指数幂写成根式的形式
4 （1） a 7
；
； （3） a
．
例 2 将下列各根式写成分数指数幂的形式： （1） x ； （2） a ； （3）
(2)
3 ； 4
(3)
1
7
a4
；
(4) 4 4.35 ．
习 2．将下列各分数指数幂写成根式的形式：
(1) 4
3 5
；
3 （ 2） 32
；
(3)4) 2 4
．
解决问题
复习引入
如果x2=9，则x= ±3 ；x叫做9的 平方根 .
如果x2=5，则x=
5 ；x叫做5的
平方根 .
如果x3=8，则x= 2 ；x叫做8的 立方根 .
如果x3=-8，则x= -2 ；x叫做-8的立方根 .
2 x a ，那么 x a 叫做 a 的平方根（二次方 如果
归 3 x a ， a a 根） ，其中 叫做 的算术平方根；如果 纳
1． 读出下列各根式，并计算出结果． （1） 3 27 ； （2） 25 ； （3） 2． 填空： （1）12 的 4 次算术根可以表示为 被开方数为 ； ，根指数为 ， ，根指数为 ，
4
81 ；
（4） 3 8 ．
（2）-7 的 5 次方根可以表示为 被开方数为 ；
知识回顾
计 算
3
复习引入
明
概念
a
m n
1
n
说
m
有意义，且 a 0 ，
a
明
m、n N且n ＞1
强调演示
巩固知识
典型例题
3 （2） a 5
3 2
例 1 将下列各分数指数幂写成根式的形式
4 （1） a 7
；
； （3） a
．
例 2 将下列各根式写成分数指数幂的形式： （1） x ； （2） a ； （3）
(2)
3 ； 4
(3)
1
7
a4
；
(4) 4 4.35 ．
习 2．将下列各分数指数幂写成根式的形式：
(1) 4
3 5
；
3 （ 2） 32
；
(3)4) 2 4
．
解决问题
复习引入
如果x2=9，则x= ±3 ；x叫做9的 平方根 .
如果x2=5，则x=
5 ；x叫做5的
平方根 .
如果x3=8，则x= 2 ；x叫做8的 立方根 .
如果x3=-8，则x= -2 ；x叫做-8的立方根 .
2 x a ，那么 x a 叫做 a 的平方根（二次方 如果
归 3 x a ， a a 根） ，其中 叫做 的算术平方根；如果 纳
1． 读出下列各根式，并计算出结果． （1） 3 27 ； （2） 25 ； （3） 2． 填空： （1）12 的 4 次算术根可以表示为 被开方数为 ； ，根指数为 ， ，根指数为 ，
4
81 ；
（4） 3 8 ．
（2）-7 的 5 次方根可以表示为 被开方数为 ；
知识回顾
计 算
3
复习引入
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10
（3）式子(a－b)－4 ＝
问题1：观察
5
12 ， a10 a 2 , 4 a a3
结果的指数与被开方数的指数，根指数有什么关系？
a 10 a
5
10 5
a 2 , 4 a 12 a
12 3
a4
问题2：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除 时，根式是否可以写成分数指数幂的形式？
a 3 a12 _______ (4) a ______, a ；
5 10
2
4
2 3 3 3 (5) （ 2） ____, ( 3) _____; 2
5 . 4 4 54 ______ (6) ( 4) 2 _____,
一、正整数指数幂
一般地，a n（n N＋）叫做 a 的 n 次幂．
. -2 ；x叫做8的 立方根（三次根式）
一般地，如果 x n a(n N *且n 1), 那么x叫做a的n次方根 .
问题2：如果x n a, 那么x怎样表示？对 a有要求吗？
当n是偶数时，正数a的n次方根用符号± n a 表示. 当n是奇数时，实数a的n次方根用符号 n a表示；
例1.求下列各式的值
（ 1） (8) ;
3 3
(2)
(10)2 ;
(3)
4
(3 )4 ;
3 3
(4)
(a b)2 (a b).
解 ： 1
8 = -8; 2 2 10 | 10 | =10; 4 4 3 3 | 3 | 3; 2 | a b | a b a b . 4 a b
第四章 指数函数与对数函数
4.1实数指数幂
4.1.1 分数指数幂
授课教师：游彦
如果x2=9，则x= 如果x2=5，则x= 如果x3=8，则x= 如果x3=-8，则x=
±3；x叫做9的 平方根（二次根式） .
5 ± ； x叫做5的 平方根（二次根式） .
2 ；x叫做8的
立方根（三次根式） .
零的n次方根是零。
（1）求81的4次方根和-32的5次方根
4
81 3
5
32 2
4 81 3
（2）用根式表示12的4次算术根，并指出其中的 根指数与被开方数.
根指数
4
12
被开方数
当n是偶数时，正数a的n次方根用符号± n a 表示. 当n是奇数时，实数a的n次方根用符号 n a表示；
4
5
(2) 2;
2 2 2
⑵ （ 3 ） [ ( 3) ] 9 9;
(3) （ 2 3 ） | 2 3 | 3 2;
2
(4) 5 2 6 （ 2 3 ） 3 2.
2
如：
3
a 2 a 是否可行？
2 3
分数指数幂的意义:
根指数
a
a
m n
=
1 a
m n
n
a
n
m
被开方数的指数
（m、n∈N*,n>1）
a
m n
?
m n
m n
1 am
a 1
0
当a 有意义，a 0, m, n N , n 1
例题分析
例1 将下列各分数指数幂写成根式的形式：
【1】下列各式中, 不正确的序号是( ①
④ ).
①
③
5 5
4 5
16 2
5
5
② ( 3) 3
( 3) 3
10
④ ( 3) 3
⑤
4
( 3) 3
4
【2】求下列各式的值.
⑴ 32;
5
⑵ （ 3）;
4
⑶ （ 2 3）;
2
⑷ 5 2 6.
5
解: ⑴ 5 32
零的n次方根是零。
形如 n a 的式子叫做a的n次根式， 其中，n叫做根指数，a叫做被开方数。
4 5 32 ______ 2 ； (1) 3 64 ______,
2 2 (2) 4 ______, 4 ______;
6 ； 5 3 (3)( 4 3)4 ______,( 6)5 ______
(1) a
4 7
(2)a
3 5
(3)a
3 2
例2 将下列根式写成分数指数幂等形式：
(1) x
3 2
(2) a
3
4
(3)
1
5
a3
a ?
3
a ?
1 2
a
?
练习
1、求值：
2、用分数指数幂的形式表示下列各式：
a
3
a ；a
2
3
a
2
；
a
3
a
1.平方根，立方根，n次根式； 2.分数指数幂的意义； 3.分数指数幂与根式的互化。
8
a n a a a 指数（nN＋）
底数 规定： a 1＝ a ．
二、零指数幂 a 0 ＝ 1（a ≠ 0 ）
9
练习2
（1）8 0 ＝
；
；
（2）(－0.8 ) 0 ＝
（3）式子 ( a－b ) 0 ＝1 是否恒成立？为什么？
三、负整数指数幂 a－1 ＝ 1 （ a ≠ 0） a a－n ＝ 1n （a ≠ 0，n N＋ ) a 练习3 （1）8－2 ＝ （2）0.2－3 ＝ ； ； 1 是否恒成立？为什么？ 4 (a－b)