对数概念教学案例

5、“对数”概念教学案例
案例：对数的概念
教案设计：上海市华师大松江实验高级中学王兵
教学目标：
1．理解对数的意义，掌握底数、真数、对数的允许值的范围；
2．理解对数式中的底数、真数、对数与指数式中底数、幂、指数之间的对应关系，掌握对数式与指数式的互化；
3．知道常用对数和自然对数的表示方法，会利用计算器计算常用对数的值；4．经历由指数式提出对数概念的过程；养成类比、转化的思维习惯；
教学重点：对数式与指数式的互化
教学难点：对数概念的理解与同化
教学导图：
教学过程：
一、提出问题：
x
x
x
x
39x2
1
3x1
3
1
3x
2
32x?
=⇒=
=⇒=-
=⇒=
=⇒=
原有的方法不能解决，怎么办？
设计说明：教材中的引入是这样的：“假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年时的2倍？”这是一个“已知底数和幂的值，求指数的问题，也就是本章要学习的对数问题．”教材是以实际问题引出对数的基本概念．我认为教材的引入主要矛盾不突出，从
这个实际问题中抽象出一个数学等式可能会花去学生不少时间，在学生抽象出这个指数方程时，若是用对数表达，这个对数的形式也并不美观，我觉得还不如从解指数方程的角度，直截了当的提出课题.
二、 形成概念：
上面这个指数方程的解是客观存在的，而且它的范围在（0,1）间，我们如何把它表达出来呢？数学家们引入了“对数”，用对数表达上式的解为：3x log 2=.这里的“log ”是英文对数“logarithm ”的前三个字母，3叫底数，2为真数.它也是一个实数，只不过是个无理数.
设计说明：开门见山的给出对数的相关概念，从特殊的对数出发，让不太喜欢字母的学生拥有些许亲切感，有利于归纳出对数的概念.
问题：大家能写出下面指数方程的解吗？
x 1)23;= x 2)1.082;= x 3)
a N (a 0,a 1)=>≠ 设计说明：从特殊到一般，强化对数的形式.对于1），2）学生们能够快速的写出正确的形式.3)需要简单的分类讨论，当N 0≤时，该方程显然是无解的，只有当N 0>时，方程有唯一解，可以用对数的形式表示为a x log N =.以问题的形式，给出本课的研究对象，可以调动学生的学习兴趣，有利于数学概念的同化.
三、 同化概念：
一般地，如果a(a>0且a ≠1)的b 次幂等于N, 即b a
N =，那么数 b 叫做以
a 为底 N 的对数,记作 a log N
b =
其中a 叫做对数的底数.N 叫做真数.
强调对数的书写格式：用英语中的“四线三格”来规范学生的书写，一定不能写错位置.
设计说明：注意对数的书写，避免因书写不规范而产生的错误
对数式与指数式之间的互化：b a a N b log N =⇔=
各字母的对应关系： 幂底数 ← a → 对数底数
指数 ← b → 对数
幂 ← N → 真数
问题：1）为什么对数的定义中要求底数a>0且a ≠1？
2）是否是所有的实数都有对数呢？
强调：零和负数没有对数，真数为正数，即N>0
设计说明：让学生了解对数与指数的关系，明确对数式与指数式形式的区别，a 、b 和N 位置的不同，及它们的含义.对数与指数的互化体现了等价转化这个重要的数学思想.
例1.将下列指数式写成对数式
4(1)5625= 51(2)232-= a (3)381= m 1(4)() 5.733
= 设计说明：这是课本中的例题1，可以帮助学生正确的理解对数这种新数，其实它与我们之前所学的实数完全一致.
介绍对数发展史中两类重要的对数
1）常用对数：
以10为底的对数10log
N ,简记为: lgN
2）自然对数：
以无理数e=2.71828…为底的对数e log N
简记为: lnN .
强调：两个重要对数的书写与读法
设计说明：这两个重要的对数学生一定要识别，为日后的解题与换底公式作准备 例2.将下列对数式写成指数式 12(1)log 164= 2
1(2)log 7128
=- (3)lg 0.012=- (4)ln 10 2.303=
设计说明：这是课本中的例2，进一步强化指、对数的互化.
例3.求出下列对数式的值
2(1)log 4 4(2)log 2 51(3)log 25 17
log 7 设计说明：这是课后习题 3.我将它改为例题的目的是为了说明对数式可以进行化简，为后续教学作铺垫.
四、对数的相关性质
1.求下列各式的值：
3(1)log 1 (2)lg 1 0.5(3)log 1 (4)ln 1
3(5)log 3 (6)lg 10 0.5(7)log 0.5 (8)ln e
问题：你能从上面的计算发现什么规律？
结论：1.“1”的对数等于零，即01log =a 类比： 10=a
2.底数的对数等于“1”，即a log a 1= 类比： 1a a =
2.求下列各式的值：2log 5(1)2 5log 0.8(2)5 0.7log 5(3)0.7
53(4)log 3 50.8(5)log 0.8 5(6)ln e
问题：你能从上面的计算发现什么规律？
结论：3.对数恒等式:
a log N a N = 4.对数恒等式: n a n a =log
设计说明：由学生独立完成计算后，通过思考，然后分小组进行讨论，最后得出结论.通过练习与讨论的方式,让学生自己得出结论,从而能更好地理解和掌握对数的性质.培养学生类比、分析、归纳的能力.最后，将学生归纳的结论进行小结，从而得到对数的基本性质.
五、巩固练习：课后习题1,2,4
六、小结提升：
1．引入对数的必要性----对数的概念
一般地，如果a(a>0且a ≠1)的b 次幂等于N, 即b a N =，那么数 b 叫做以a 为底 N 的对数,记作a log N b =.其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.
2．指数与对数的关系（板书）
3．对数的基本性质
负数和零没有对数 a log 10= a log a 1=
对数恒等式: N a N a =log n a n a =log
设计说明：总结是一堂课内容的概括，有利于学生系统地掌握所学内容．同时，将本节内容纳入已有的知识系统中，发挥承上启下的作用.为下一课时对数的运算打下扎实的基础.
七、作业布置：练习册习题4.4 A 组——1,2,3。