有限元中对称与反对称问题总结
有限元法及应用知识点总结
• 但是必须指出，无论是虚位移原理还是虚应力原理， 他们所依赖的几何方程和平衡方程都是基于小变形理 论的，他们不能直接应用于基于大变形理论的力学问 题。
4.最小位能原理和最小余能原理
• 明确：最小位能原理是建立在虚位移原理基础上 的，而最小余能原理建立在虚应力原理基础上。
在工程实际中较为重要的材料非线性问题有：非线性弹性 （包括分段线弹性）、弹塑性、粘塑性及蠕变等。
2）几何非线性问题
几何非线性问题是由于位移之间存在非线 性关系引起的。
当物体的位移较大时，应变与位移的关系 是非线性关系。研究这类问题一般都是假 定材料的应力和应变呈线性关系。它包括 大位移大应变及大位移小应变问题。如结 构的弹性屈曲问题属于大位移小应变问题， 橡胶部件形成过程为大应变问题。
• 最小位能原理是指在所有可能位移中，真实位移 使系统总位能取最小值。
• 总位能是指弹性体变形位能和外力位能之和。
• 最小余能原理是指在所有的应力中，真实应力使 系统的总余能取最小值。
• 总余能是指弹性体余能和外力余能总和。
4.最小位能原理和最小余能原理（续）
• 一般而言，利用最小位能原理求得位移近似解 的弹性变形能是精确解变形能的下界，即近似 的位移场在总体上偏小，也就是说结构的计算 模型显得偏于刚硬；而利用最小余能原理求得 的应力近似解的弹性余能是精确解余能的上界， 即近似的应力解在总体上偏大，结构的计算模 型偏于柔软。
平面单元划分原则（续）
• 3）划分单元的形状，一般均可取成三角形或 等参元。对于平直边界可取成矩形单元，有时 也可以将不同单元混合使用，但要注意，必须 节点与节点相连，切莫将节点与单元的边相连。 4）单元各边的长不要相差太大，否则将影响 求解精度。
对称与反对称边界条件
下载LOFTER 客户端20100416 10:01:34| 分类： 默认分类|举报| 订阅ansys 中的对称与反对称边界条件对称（反对称）边界条件是模型具有对称（反对称）时，为了减小模型和减少计算量，可以选取模型的一部分进行计算，但对称轴处的约束无法知道（有的位移可能为0，也可能不为0），使用对称边界条件后程序将会自动计算。
使用DSYM 命令在节点平面上施加对称或反对称边界条件。
该命令产生合适的DOF 约束。
生成的约束列表参见ANSYS Commands Reference （ANSYS 命令参考手册）。
例如，在结构分析中，对称边界条件指平面外移动和平面内旋转被设置为0，而反对称边界条件指平面内移动和平面外旋转被设置为0。
（参见图25。
）在对称面上的所有节点根据DSYM 命令的KCN 字段被旋转到指定的坐标系中。
对称和反对称边界条件的使用示于图26。
当在线和面上施加对称或反对称边界条件时，DL 和DA 命令的作用方式与DSYM 命令相同。
对于FLOTRAN 分析，可使用DL 和DA 命令在线和面上施加速度，压力，温度和紊流量。
在线的端点和面的边上，你可以根据判断自由施加边界条件。
注：在使用通用后处理器（POST1）时如果数据库中的节点旋转角度与正在处理的解中所用的节点旋转角度不同，POST1可能会显示不正确的结果。
如果在第二个或其后的载荷步中通过施加对称或反对称边界条件引入节点旋转，通常会导致这种状况。
当执行SET 命令(Utility Menu> List>Results>Load Step Summary)时，在POST1中错误情况显示下列信息：***警告***使用与当前存储内容不同的模型或边界条件数据的累积迭代1可能已求解。
POST1结果可能是错误的，除非你从一个与该结果相配的.db 文件中恢复。
图25 在结构分析中的对称和反对称边界条件字号图26使用对称和反对称边界条件实例ANSYS中的对称技巧2007年10月25日 星期四 11:22在有限元建模分析中，利用对称模型节省分析时间，但在需要将部分模型复原成整体对称原貌时，需要一些特殊方便的操作，如下：（APDL具体参见各help帮助文档）几何建模的镜像对称操作（方便几何部分模型扩展成整体对称模型）：Main Menu>Preprocessor>Modeling>Reflect>……后处理过程中模型的对称操作（在用于整体模型的后处理查看中较为常见）：Utility Menu>PlotCtrls>Style>Symmetry Expansion>Periodic/Cyclic Symmetry……模型的点特别的多，前期的建模主要完成了关键点和线的连接，因为是对称结构，可不可以先赋予材料属性，MESH，再对称完成整体模型，最后进入后处理计算？对称之后要注意merge重合的节点和单元，否则会出错。
结构力学对称性应用
对称性应用在工程问题中，有很多结构都具有对称性。
我们对这些结构进行受力分析的时候，常常将结构简化为杆系模型，而结构力学研究的就是结构的杆系模型，因此对称性在结构力学中有着广泛的应用。
现在就对称性在结构力学中的应用做一简单的总结。
结构的对称性是指结构的几何形状和支座形式均对称于某一几何轴线。
而荷载的对称则分为正对称荷载和反对称荷载。
另外需要注意的是杆件截面和材料的性质也要对于此轴对称。
在对称荷载作用下，结构内力呈对称分布。
在反对称荷载作用下，结构内力呈反对称分布。
如下图所示：对称性在求解结构内力中的应用：对称结构在正对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）和位移是正对称的，其反对称的内力（剪力）是反对称的；在反对称荷载作用下，其对称的内力（弯矩和轴力）和位移是反对称的，其反对称的内力（剪力）是正对称的。
因此，只要我们做出半边结构的内力图，也就知道了整个结构的内力图。
据此，我们在对对称结构进行内力分析时，就可以取半边结构进行分析。
取半边结构进行分析，可以减少超静定次数，减少基本未知量，为解题提供了很大的方便。
在用力法解决超静定问题时，对于对称的结构，可利用对称性简化计算。
简化步骤如下：1、选取对称的基本结构。
2、将未知力及荷载分组。
3、取半结构进行计算。
对于对称结构承受一般非对称荷载时，利用荷载分组，将荷载分解为正、反对称的两组，并将他们分别作用于结构上求解内力，然后将计算结果叠加。
反对称正对称在计算对称结构时，根据对称结构特性，可以选取半个结构计算。
选取半结构的原则：1、在对称轴的截面或位于对称轴的节点处2、按原结构的静力和位移条件设置相应的支撑，使半结构与原结构的内力和变形完全等效奇数跨对称结构：偶数跨对称结构：在用位移法求解超静定结构的时候，同样可以利用对称性简化计算。
分析可知，在正对称荷载时用位移法求解只有一个基本未知量；但在反对称荷载时若用位移法求解将有两个基本未知量，而用力法求解则只有一个未知量。
有限元分析轴对称问题
思考题5-1 轴对称问题的定义答：工程中又一类结构，其几何形状、边界条件、所受载荷都对称于某一轴线，这种情况下结构再载荷作用下位移、应变和应力也对称于这个轴线，这种问题成为轴对称问题。
5-2 轴对称问题一般采用的坐标系？作图说明每个坐标分量的物理意义答：在描述轴对称弹性体问题的应力及变形时常采用圆柱坐标r，θ，z。
5-3 轴对称问题中每个点有几个位移分量？各位移分量是那几个自变量的函数？答：位移分量u, w,都只是rz的函数，与θ无关。
5-4 轴对称问题中的每个点有哪几个应力分量？是那几个自变量的函数。
答：4个应力分量；5-5 轴对称问题中的每个点有哪几个应变分量？是那几个自变量的函数答：4个应变分量5-6 轴对称问题是三维问题？二维问题？最简单的轴对称单元是哪种单元？作图说明答：由于轴对称，沿θ方向的环向（周向）位移v等于零。
因此轴对称问题是二维问题；三角形环单元。
（三角形轴对称单元，这些圆环单元与r z平面（子午面）正交的截面是三角形）5-7 写出三角形环单元的位移函数。
满足完备性要求吗？答：满足完备性要求。
5-8 三角形环单元形函数的表达式？指出形函数的性质。
5-9 三角形环单元的应力和应变的特点。
其单元刚度矩阵是几阶的？答：应力分量：剪应力为常量，其他3个正应力分量均随位置变化；应变分量：面内（子五面）3个应变分量为常量，环向应变不是常应变，而是与单元中各点的位置有关。
单元刚度矩阵为六阶。
5-10 有限元方法求解对称问题的基本步骤？1.结构离散化：对整个结构进行离散化，将其分割成若干个单元，单元间彼此通过节点相连；2.求出各单元的刚度矩阵[K](e)：[K](e)是由单元节点位移量{Φ}(e)求单元节点力向量{F}(e)的转移矩阵，其关系式为:{F}(e)= [K](e) {Φ}(e);3.集成总体刚度矩阵[K]并写出总体平衡方程：总体刚度矩阵[K]是由整体节点位移向量{Φ}求整体节点力向量的转移矩阵，其关系式为{F}= [K] {Φ}，此即为总体平衡方程。
有限元第六章空间与轴对称问题有限元分析
问题复杂，精确积分参见Zienkiewicz (Finite
Element Method, 5th Ed，2000)。
实践证明采用近似积分也能达到一定的精度，
具体对于三角形环单元用形心处坐标代替应变矩阵
中的坐标变量。如何进一步改进积分精度？
教材上对三角形环单元具体介绍了ke和FEe的有 关计算过程。请自学相关内容。
空间及轴对称问题有限元
概述 空间问题(四面体、六面体类)
轴对称问题 轴对称问题非轴对称荷载
概述
三个方向尺寸属于同一数量级，所受荷载或形
体复杂，不可能像上一章那样简化成平面问题处
理，这时必建须立按网空格间自问动题生求成解前。
与平面分析不处同理，程空序间有限元分析有如下两个
困难：
采用高阶单元来提
1）对空间物体进行离散化高时单不元像精平度面问题那样
r
w
z
u
r
u z
w r
r
0
1 r z
0
径向位移
z 0
u w
r
轴向位移
根据具体单元,代入所建立的位移模式,即可得应变矩
阵B。由于算子中有1/r，所以三角形环单元B不再是常
非轴对称荷载的分解：
R0、Z0 与θ无关，是
轴对称荷载；T0 与θ 无关、沿θ 方向，是 扭转荷载；
Ri(r,z)cosiθ等是关于θ=0 平面的对称荷载；
对称
反对称
Ri(r,z)siniθ等是关于θ=0 平面的反对称荷载；
轴对称问题非轴对称荷载
将位移作类似的分解：
有限元课程问题汇总(完整版)(1)
1、有限元方法与传统力学方法的比较，有限元的一般概念及基本思路。
叙述有限元方法的基本步骤。
答：比较：运用有限元方法解决工程实际问题时，不管是简单结构或者是复杂的结构，其求解过程是完全相同的，由于每个步骤都具有标准化和规范性的特征，可以在计算机上进行编程而自行实现，这是常规解析方法无法实现的。
即技术核心所在就是采用分段离散的方式来组合出全场几何域上的试函数，而不是直接寻找全场上的试函数。
概念：有限元方法是求解各种复杂数学物理问题的重要方法，是处理各种复杂工程问题的重要分析手段，也是进行科学研究的重要工具。
该方法的应用和实施包括三个方面：计算原理、计算机软件、计算机硬件。
有限元方法的基本思路：将连续系统分割成有限个分区或单元，对每个单元提出一个近似解，再将所有单元按标准方法组合成一个与原有系统近似的系统。
（在具备大规模计算能力的前提下，将复杂的几何物体等效离散为一系列的标准形状几何体，再在标准的几何体上研究规范化的试函数表达及其全场试函数的构建，然后利用最小势能原理建立起力学问题的线性方程组。
）有限单元法解题步骤：①结构的离散化，即单元网格划分；②选择位移模式；③分析单元的力学特征，利用几何方程导出结点位移表示的单元应变，利用本构方程建立单元内任意一点的应力与应变的关系，利用变分原理建立单元的平衡方程；④集合所有单元的平衡方程，建立整个结构的平衡方程（即总的平衡方程），包括将刚度集成总刚，以及将单元的等效结点力列阵集成总的荷载列阵；⑤求解结点位移和计算单元应力，包括边界条件修正；⑥解方程，得到未知问题的节点值；⑦后处理。
2、掌握位移函数和形函数的概念，掌握二者之间的关系。
答：位移函数：是单元内部位移变化的数学表达式，设为坐标的函数，由于有限元法采用能量原理进行单元分析，因而必须事先设定位移函数。
在弹性力学中，恰当选取位移函数不是一件容易的事情；但在有限元中，当单元划分得足够小时，把位移函数设定为简单的多项式就可以获得相当好的精确度。
有限元 第4讲 轴对称问题与空间问题有限元法
u z v 0 w y x
© BIPT
3.物理方程
r D z rz 1 1 E (1 ) D (1 )(1 2 ) 1 0
1 rc (ri r j rm ) z c 1 ( zi z j z m ) 3 3
实践证明采用近似积分也能达到一定的精度，具体对于三角形环单元 用形心处坐标代替应变矩阵中的坐标变量。
© BIPT
应变矩阵变成：
B Bi
Bj
Bm
其中：
单元刚度矩阵的近似表达式为：
其中：
1 A 1 rj 2 1 rm
1
ri
zi zj zm
ai rj zm zmrj a j rm zi zi rm
bi z j zm bj zm zi bm zi z j
ci rm rj c j ri rm cm rj ri
am ri z j z j ri
x y y w 0 z z u v xy y x y yz v w 0 zx z y w u x z z y 0 x z 0
1.离散化 由于可视为子午面内平面物体绕轴旋转一周的结果，因此轴对称问 题分析可在子午面内划分单元，实际是取子午面内图形绕对称轴旋转所得“圆环 形单元”对物体进行离散。因此可用的单元与平面问题一样。 2.应力和应变 对轴对称问题进行分析一般取柱坐标系，对称轴为Z轴，径向 为r 轴，环向为θ轴。 z
有限元中对称与反对称问题总结
对称与反对称问题总结一、什么是对称或者反对称约束？1、对称边界条件在结构分析中是指：不能发生对称面外（out-of-plane）的移动（translations）和对称面内（in-plane）的旋转（rotations）。
这句话可以理解为：在结构中施加对称条件为指向边界的位移和绕边界的转动被固定。
例如，若对称面的法向为X，如果你在对称面上的节点上施加了对称边界条件，那么：1）不能发生对称面外的移动导致节点处的UX（法向位移）为0。
2）不能发生对称面内的旋转导致ROTZ，ROTY（绕两个切线方向的转角）也为0。
2、反对称边界条件在结构分析中是指：不能发生对称面内（in-plane）的移动（translations）和对称面外（out-of-plane）的旋转（rotations）。
这句话可以理解为：在结构中施加反对称条件为平行边界的位移和绕垂直边界的转动被固定。
例如，若对称面的法向为X，如果你在对称面上的节点上施加了反对称边界条件，那么：1）不能发生对称面的移动导致节点处的UY，UZ（切向位移）为0。
2）不能发生对称面外的旋转导致ROTX（绕法线方向的转角）也为0。
建立对称约束的目的就是为了建模方便和减少计算量，这样就可以大大节省计算机的资源，从而更加细化网格，得到比研究整个模型更精确的结果！注意：模态分析的时候应用对称约束会漏掉对称模态！二、HM中的对称约束和反对称约束这个功能在ansys中对应的为Symmetry或者unsymmetry。
HM中不能施加对称约束，但是可以直接对对称面上的节点施加单点约束就行，施加面外位移约束和面内转动约束。
即对垂直于对称面的方向施加位移约束，另外两个方向施加转动约束。
对于对称，对称面的法向移动和对称面内的转动全约束。
比如对称面是yz平面，在HM 中：dof1＝0 dof5＝0 dof6＝0。
反对称和对称正好相反，其意思对于同一个对称面，反对称和对称所约束的自由度正好相反。
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对称与反对称问题总结
一、什么是对称或者反对称约束？
1、对称边界条件在结构分析中是指：不能发生对称面外（out-of-plane）的移动（translations）和对称面内（in-plane）的旋转（rotations）。
这句话可以理解为：在结构中施加对称条件为指向边界的位移和绕边界的转动被固定。
例如，若对称面的法向为X，如果你在对称面上的节点上施加了对称边界条件，那么：1）不能发生对称面外的移动导致节点处的UX（法向位移）为0。
2）不能发生对称面内的旋转导致ROTZ，ROTY（绕两个切线方向的转角）也为0。
2、反对称边界条件在结构分析中是指：不能发生对称面内（in-plane）的移动（translations）和对称面外（out-of-plane）的旋转（rotations）。
这句话可以理解为：在结构中施加反对称条件为平行边界的位移和绕垂直边界的转动被固定。
例如，若对称面的法向为X，如果你在对称面上的节点上施加了反对称边界条件，那么：1）不能发生对称面的移动导致节点处的UY，UZ（切向位移）为0。
2）不能发生对称面外的旋转导致ROTX（绕法线方向的转角）也为0。
建立对称约束的目的就是为了建模方便和减少计算量，这样就可以大大节省计算机的资源，从而更加细化网格，得到比研究整个模型更精确的结果！
注意：模态分析的时候应用对称约束会漏掉对称模态！
二、HM中的对称约束和反对称约束
这个功能在ansys中对应的为Symmetry或者unsymmetry。
HM中不能施加对称约束，但是可以直接对对称面上的节点施加单点约束就行，施加面外位移约束和面内转动约束。
即对垂直于对称面的方向施加位移约束，另外两个方向施加转动约束。
对于对称，对称面的法向移动和对称面内的转动全约束。
比如对称面是yz平面，在HM 中：dof1＝0 dof5＝0 dof6＝0。
反对称和对称正好相反，其意思对于同一个对称面，反对称和对称所约束的自由度正好相反。
对称中自由度如果是自由，反对称时被约束；对称中被约束的自由度，反对称时自由。
如果是实体单元，则没有旋转自由度；只需要约束UX或者UY,或者UZ即可。
三、HM中的3D对称问题
1、平面对称约束的施加方法？
OXY平面对称：等价于约束UZ,RotZ
OXZ平面对称：等价与约束UY,ROtY
OYZ平面对称:等价于约束UX,RotX;
以上所说的约束应该施加在正好位于对称平面上的面上的节点上。
2、轴对称约束（周期对称约束）比如1/3轴对称？
hyperworks中的radioss 可以做轴对称约束，只不过是通过间接方法实现的。
首先必须满足下面的三个必要条件：
1、几何模型完全对称
2、约束完全对称
3、载荷完全对称
注意：
左边的图形其上面的载荷是不满足轴对称要求的；
右边的图形其下面的约束是不满足轴对称要求的。
具体的操作步骤：
第一步、首先建立一个圆柱坐标系，坐标系的Z轴是圆柱的轴线方向，X轴为径向，Y 轴为切向。
第二步、将模型中保留下来的简化模型（圆柱部分）所有节点assign给坐标系（set displacement）。
第三步、约束简化模型的切向自由度（Y方向自由度），因为这些节点切向方向相互挤压，相互限制自由度。
对于需要导入ANSYS的情况，可以把对称面上的节点选中，放到set中保存，然后到ANSYS中施加对称约束。
在ANSYS中，施加对称约束条件和反对称约束条件的GUI分别为：
MainMenu>Preprocessor>Loads>DefineLoads>Apply>Structural>Displacement>Antisymm B.C.>On Nodes
MainMenu>Preprocessor>Loads>DefineLoads>Apply>Structural>Displacement>Symmetry
B.C.>On Nodes
2、在ANSYS中，施加对称约束条件和反对称约束条件的命令操作为：
DSYM，Lab，Normal，KCN
其中：Lab为对称的方式：正对称（Lab=SYMM）或反对称（Lab=ASYM）。
Normal为对称面在目前坐标系统（KCN）的法线方向Normal=（X、Y、Z）。
当坐标系为非笛卡儿坐标系时，X代表R，Y代表θ，Z为Φ（坐标系为球坐标系或者环坐标系）。
四、HM中的2D对称或者反对称问题
1、首先需要明确的是：如果使用2D 实体单元，由于都只有Ux 和Uy 两个自由度，无论对称还是反对称约束，都不可能去约束转角自由度。
同样的，如果是3D问题，但是采用实体单元建模，也不可能去约束转角自由度，只有在使用了梁单元(2D或3D) 或壳体单元的情况，才可能约束转角自由度。
2、对于2D 问题，建模平面平行于总体坐标系的XOY 平面，2D 问题的对称平面实际上是通过2D 建模平面中的对称线并垂直于2D 建模平面的一个平面，其两个切线一个在2D 平面中，即该对称线，另一个垂直于2D 建模平面；其法线在2D 建模平面中，与对称线垂直。
因此，对于2D 平面中对称和反对称条件的设置应为：
（1）对称条件：沿对称线法向的位移和绕对称线的转角为零；
（2）反对称条件：沿对称线的位移和在建模平面内的转角为零。
此外仍需注意，根据前一点所述，如果只定义2D 实体单元，则没有转角的条件；如果定义了2D 梁单元，才有转角的条件。
有限元中的对称与反对称问题总结
有限元中对称与反对称问题总结
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