3.4 轴对称场的有限元分析

3.4 轴对称场的有限元分析3.4.1轴对称场的变分问题 1. 典型边值问题若以z 轴为对称轴线，则轴对称场过z 轴的任意半平面中场的分布形态都是一样的，这就是说，如果建立圆柱坐标，场的分布只相关于ρ和z 坐标，而与角度φ坐标无关，即()()z u r u ,ρ=，于是三维场就可以转化为轴对称场来计算。

(1) 标量场的边值问题： 与二维场中的表述情况一样：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂=Ω∈-=∇ΓΓ2221fn u u u f u o β(2) 用矢量磁位A描述的恒定磁场边值问题：A应满足的旋度旋度方程J Aμ=⨯∇⨯∇展开上式z z e A e A A A e A A A 22222222121∇+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+-∇+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--∇φρφφραρρφρρφρρ ()z z e J e J e J ++-=φφρρμ在轴对称场中，只可能有 ()φφφφρe z J e J J,==，则()φφφφρe z A e A A,==代入控制方程φφφμρJ A A -=-∇221再考虑磁感应强度∵ ()()z z z z e B e B e A e z A A z e e e A B +=∂∂+∂∂-=∂∂∂∂∂∂=⨯∇=ρρφρφφφρρρρρρρφρρρ110① 设z A )(⨯∇为切向分量，ρe 方向即为其法向分量方向，有()21f H B n A tt=-=-=∂∂γρρα 是第二类边界条件② 在二维平面场中等A 线即B 线，但轴对称场中B线的微分方程：()()00=+⨯+⇒=⨯dz e d e e B e B l d B z z zρρρρ ()0d d =+-φφρρe B e z B z()()011=∂∂+∂∂ρρρρρρφφd A dz z A ⇒()()()0d d d ==∂∂+∂∂φφφρρρρρA A z zAc A =φρ 线B⇒是第一类边界条件。

∴ 以A表示的轴对称恒定磁场边值问题为：2. 等价变分问题(1) 以标量位描述的场(包含静电场、恒定电场和无电流区的恒定磁场)⎰⎰⎰ΩΓΩΓ-Ω-Ω∇=222)(21)(ud f fud d u u F ββ其中z zuu u e e ∂∂+∂∂=∇ρρ z d d d d αρρ=Ωl s d d d d αρ==Γ泛函(){}{}⎰⎰⎰⎰⎰⎰--⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=πππαρβαρραρρρβ2222222d d d d d d d d 21ol oso s l u f z fu z z u u u F 中出现π2因子，于是等价变分问题为：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎰⎰o l s l u u dl u f dz d fu z u r u u F 12222min 2212ρβπρρβπ 即(2) 以A 描述的恒定磁场：二维场中有z z e J J=，z z e A A =，相应变分问题⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎰⎰⎰ol s l S A A dl A f A f JAdxdy dxdy y A x A A F 1212222min 21121)(μμ 因y A B x ∂∂=，xA B y ∂∂-=，上述变分问题中的泛函可改写为：()⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛---=S l S l A f A f y x JA y x B A F 2d 211d d d d 22122μμ式中：第一项表示以S 为底面积、轴向单位长为高的体积内贮存的磁场能量，第三项反映第三类边界条件对磁场的影响。

按类比，并考虑π2因子，轴对称场中的等价变分问题3.4.2 轴对称场中标量位的有限元方程对于轴对称场域，实际的计算区域在子午面上，对按三角形单元剖分，积分在oz ρ坐标面上进行，π2因子相乘可形成以三角单元为半截面的旋转体积，所以实际积分只需以ρ代替x ，以z 代替y 坐标即可。

1. 轴对称场中三角形三节点单元的形状函数：其中j m m j i z z a ρρ-=，m j i z z b -=，j m i c ρρ-=，再按逆时钟轮换下标的方式可得其余的系数，∆为三角单元的面积，其特性仍有：()()()⎩⎨⎧≠===j i j i z N ij j j i 01δρ, 单元插值函数eT e u N u ][][~= e e e m jim j i e T e u B u c c cb b b u N u ][][][21][]][[]~[=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆=∇=∇ 式中：][][m j i Te N N N N =，[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂=∇z Tρ。

2. 泛函中第一项单元分析()[][][][][][][][]{}[]eS e Te T e e e Te T e S S e u z B B u z u B B u z uu F eee⎰⎰⎰=⋅=∇=d d 221d d 221d d 2221ρρβπρρβπρρβπ~单元系数矩阵：[][][]⎰=eSe Te e z B B k d d 2ρρβπ 式中e B ][的元素已不是z ,ρ的坐标函数，利用积分公式：即以单元重心点的c ρ近似代替ρ其中：()()()()m j i q p c c b b c c b b k q p q p C q p q p m j i e pq,,=+∆⋅=+++∆=、426βπρρρρβπ3. 泛函第二项单元分析()()[][][]{}[]e ST e S e T e e e u z N f z u N f u F u F ee⎰⎰===d d 2d d 222ρρπρρπ~ 对应的e p ][[][]⎰=eS ee z Nf p d d 2ρρπ设单元中e f f =，取重心点处的c ρ代替ρ，得：4. 泛函中第三项单元分析()⎰=222l ez dl u f u F ρβπ在2l 边上对u进行线性插值，令ol lt = mj tu u t u +-=)1(~ 对ρ也进行线性插值()m j t t ρρρ+-=1令)(2l jm 上e f f 22=，则()()[]()[]()()[]()[]{}⎰⎰+-+-+-=+-+-=1222123d 1112d 112om m j j m jo eoo m j m j e e tu t t t u t t t l f tl t t tu u t f u F ρρρρπβρρπβ~()1332323233232312⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--=m m j j m j e o u t t t u t t t f l ρρρρπβ[][][][]eT ee m j m j e o p u uf l '=++=ρρρρβπ22032式中：5. 综合集成先将单元分析的矩阵全域化：e e k k ][][→、e e p p ][][→、e e p p ][]['='∴ )(][][][][]][[][21][][][][])[][(][21][][][][][][][21)]~()~()~([)~()()(321i T T eT e T e T eT e T eT e e e e e u F p u p u u k u p u p u u k u p u p u u k u u F u F u F u F u F u F ='--='∑-∑-∑='∑-∑-∑=++∑=∑=∑=T 由多元函数极值理论：),2,1(0)(o ii N i u u F ==∂∂得有限元方程][][]][[p p u k '+=应当指出：由场的轴对称性，计算域只是过z 轴的半平面内的一部份，若对称轴z 也是场域的边界，其上应是第二类齐次边界：0=∂∂ρu。

可将标位轴对称场与二维平面场的有限元方程相比较，其系数矩阵元素，已知列向量元素在计算方向的不同点。

3.4.3 矢量位轴对称场的有限元方程 1. 剖分与插值将场域剖分为0Z 个单元，0N 个节点。

任取一单元，取A 的插值函数：eT e l l A N A N A ][][~=∑= 式中e N ][仍为三角形单元三节点内插所得基函数序列。

2. 分析泛函的第一项⎰=se e z B F d d 21221ρρμπ∵()[]e T eA z N z A z AB ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-=∂∂-=∂∂-=~ρρρ1()[]e T ec c c z A N A A A A A A B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+=∂∂+=∂∂+=∂∂=ρρρρρρρρρ~~ 1∴ [][]⎰⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂=e S e T e c c e T e e z A N A A z N F d d 212221ρρρρμπ 又考虑：∆=⎰C Se z ρρρ d d ，经过推导整得e e Te e A k A A F ][][][21)~(1=式中：3. 分析泛函的第二项()()⎰==soe e z ρA J A F A F d d 222ρπ~~设e J J=在单元中为常数，A ~用重心点的c A 代替，ρ用重心点的cρ代替： ∴()()m j i c e C C e SeC e e A A A J A J dz A J A F ++∆=∆==⎰ρπρπρρπ2312d 22~[][][]eTe c e c e ce m j i p A J J J A A A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆∆∆=ρπρπρπ323232∴4. 分析泛函中的第三项()⎰⎪⎭⎫⎝⎛-=2d 21122213e l e l A f A f A F ρμπ 在jm 边上A 和ρ作线性插值： m j tA A t A A +-==)1(~()mj t t ρρρρ+-==1~ 代入)(3A F e 中：()()[]()[]()[]()()()()()()()()[]}()[][]e Te m j m m j m j j m j o m m j m m j j j m m mm j m j j m j m j j j o o m j m j m j e p A A A A A f l tA t A t t tA t A t f A t A A t t A t t A t t A A t t A t f l t l t t tA A t f tA A t f A F '-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-------+-+-+⎩⎨⎧-+-+-=+-⎭⎬⎫⎩⎨⎧+--+-=⎰⎰22122223222102222311022133********d 111121112122d 111212ρρρρρρμπρρρρρρρρρρμπρρμπ][~式中的e p ]['目标量位轴对称场单元分析中的e p ]['。