高等动力学习题(附答案)

12－8机构如图，已知OA = O 1B = l ，O 1B ⊥OO 1，力偶矩M 。

试求机构在图示位置平衡时，力F 的大小。

解：应用虚位移原理：0δδ=⋅-⋅θM r F B （1）
如图所示，e a δsin δr r =θ；其中：θδδa l r =；
δδe l l
r
r B =所以：B r l δsin sin δθθθ=，
代入式（1）得：l
M
F =
12－13在图示结构中，已知F = 4kN ，q = 3kN/m ，M = 2kN · m ，BD = CD ，AC = CB = 4m ，θ = 30º。

试求固定端A 处的约束力偶M A 与铅垂方向的约束力F Ay 。

解：解除A 处约束力偶，系统的虚位移如图（a ）。

0δsin δ2δ=-+D A r F r q M θϕ（1）
其中：ϕδ1δ⋅=r ；
ϕδ4δδδ⋅===B D C r r r 代入式（1）得：
0δ)sin 42(=-+ϕθF q M A m kN 22sin 4⋅=-=q
F M A θ
解除A 处铅垂方向位移的 约束，系统的虚位移如图（b ）。

应用虚位移原理：
0δδ2cos δ=+-BC D A Ay M r F r F ϕθ（2）
其中：BC C A r r ϕθδcos 4δδ==；BC D r ϕδ2δ
=
代入式（2）得：0δ)22cos cos 4(=+⋅-⋅BC Ay M F F ϕθθ；kN 577.030cos 41=︒
-⋅=
M
F F Ay
习题12-8解图
B
5-27质量为1m 的滑块1M 可沿光滑水平面滑动，质量为2m 的小球2M 用长为l 的杆AB 与滑块连接，杆可绕轴A 转动，如图所示。

若忽略杆的重量，试求系统的首次积分。

解：
取整个系统为研究对象，该系统有二个自由度，取滑块的位移x ，以及杆AB 与铅垂方向的夹角ϕ为广义坐标。

系统的动能为：
22212
121B A v m v m T +=
])sin ()cos [(21
2122221ϕϕϕϕl l x m x m +++=
22222212
1
cos )(21ϕϕϕ l m x l m x
m m +++=
设0=ϕ时势能为零，系统的势能为： )cos 1(2ϕ-=gl m V 拉格朗日函数：
)cos 1(2
1
cos )(2122222221ϕϕϕϕ--+++=
-=gl m l m x l m x
m m V T L 拉格朗日函数中不显含广义坐标x 和时间t ，存在循环积分和广义能量积分，即：
=++=∂∂=∂∂ϕϕcos )(221 l m x
m m x T
x L 常数 =-++++=
+)cos 1(2
1
cos )(2122222221ϕϕϕϕgl m l m x l m x
m m V T 常数
5-28图示质量为2m 的滑块B 沿与水平成倾角
α的光滑斜面下滑，质量为1m 的均质细杆OD
借助铰链O 和螺旋弹簧与滑块B 相连，杆长为
l ，弹簧的刚度系数为k 。

试求系统的首次积分。

解：
取整个系统为研究对象，该系统有二个自由度，取滑块B 沿斜面的位移s ，以及杆OD 与铅垂方向的夹角ϕ为广义坐标。

杆OD 作平面运动，
系
A
v BA v
B v
CB
v C
φ
α
统的动能为：
2
2221212
1)121(2121B C v m l m v m T ++=
ϕ
2222122121
241}]2)cos([)]sin({[21s m l m l s s m ++-+++=
ϕϕαϕαϕ 22112216
1
)cos(21)(21ϕαϕϕ l m s l m s
m m ++-+=
设0
90,0==ϕs 时势能为零，系统的势能为：
22112
1
sin )(cos 2ϕαϕk gs m m l g m V ++-=
拉格朗日函数V T L -=中不显含时间t ，存在广义能量积分，即：
221122161
)cos(21)(21ϕαϕϕ l m s l m s
m m V T ++-+=
+
=++-+22112
1
sin )(cos 2ϕαϕk gs m m l g m 常数。