椭圆及其标准方程
M F 1
F 2 东升高级中学师生共用讲学稿 执笔:刘华山 审核：周志明 课型：新授 时间：07年12月 日
§2.1.1椭圆及其标准方程
学习要求：1.了解椭圆的定义、焦点、焦距的概念,及标准方程的推导；
2．熟悉椭圆标准方程两种形式；
3．熟悉求曲线方程的一般方法.
4. 学会椭圆标准方程的简单应用。
学习重点：椭圆的定义和标准方程的形式
学习难点：椭圆标准方程的推导
一、学前准备
1．填空:
（1）圆的定义是什么?
（2）写出以点（a,b ）为圆心,r 为半径的圆的标准方程.
2．学具准备：细线一条，图钉两枚,直尺,铅笔，白纸。
二、新知探究
1.独立思考·解决问题
在探究题里面思考下列几个问题：
1) 在作图的过程中,有哪些物体的位置没有变?有哪些量没有变?
2) 根据作图实践回答:椭圆是满足什么条件的点的轨迹?
3）在绳长不变的条件下，改变F 1 ， F 2两点间的距离，画出的椭圆有何变化？
（a ）绳长等于21F F 时是什么图形？
（b ）绳长小于21F F 时是什么图形？
（c ）若21F F =0时，则轨迹是什么图形？
所以我们可以得到以下结论：
椭圆的定义：。
2.回顾求曲线方程的一般方法、步骤
① ② ③ ④
3．小组合作·最优组合：给椭圆建立直角坐标系，思考建系方案,哪种得到的方程更加简单?
经过建系等系列过程,我们可以得到22222222()()a c x a y a a c -+=-,这个方程比
较繁锁,我们由椭圆的定义知，22a c >，即a c >，∴22a c >，
令222a c b -=，其中0b >，代入上式，得222222b x a y a b +=， 两边除以22
a b ，得：22
221x y a b += (1)
思考: 以上方程中,a b 的大小关系如何？ （0a b >>）． 我们把方程22
221x y a b
+=（0a b >>）（1）叫做椭圆的标准方程。
它表示焦点在x 轴上，焦点坐标为1(,0)F c -，2(,0)F c ，其中222
c a b =-
拓展思考:如果焦点在y 轴,椭圆的标准方程又会是怎样的呢?
在22221x y a b +=和22
221y x a b
+=两个方程中都有0a b >>的条件.那么如何判断椭圆焦点的位置？
4.现学现用·自我检测: i)19
162
2=+y x 的焦点位置 ： 焦点坐标： ii ）22326x y +=的焦点位置 ： 焦点坐标：
iii) 22
31916
x y +=的焦点位置 ： 焦点坐标： 5.再次提升：
写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴4,1a b ==，焦点在x 轴上；
M F 1 F 2
⑵4,a c ==y 轴上；
(3)焦点坐标分别为(0,4),(0,4),5;a -=
例1 .课本P36第3题
完成这一题之后 ，我们小试下面的练习。
练习：P36的第2(3)题
三、自我测试：
2
132
x y 21.已知椭圆方程为，则这个椭圆的焦距为（ ）23+=
11266F F F F M MF MF M 2122.、是定点，且，动点满足， 则点的轨迹是（ ） (A)椭圆 (B)直线 (C)圆 (D)线段
=+=
22
132516
27
x y P P 3.已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为，则到另一焦点的距离为（ ） (A) (B)3 (C)5 (D)+=
4．设ABC 的周长为10及其A(-2,0),B(2,0), 求动点C 的轨迹方程.
四:信息技术·合作交流
如图,圆A 的半径为定长r,C 是圆A 内一点,D 是圆上任意一点,线段DC 的垂直平分线L
和半径AD 相交于点F,当点D 在圆上运动时,点F
五、小结、自我回顾:
六、课后记：在这一节课后，我还有什么疑惑？我该怎么做？并给自己作一个评价！。
椭圆的一般方程和标准公式
椭圆的一般方程和标准公式
椭圆是一个常见的二维几何图形，其一般方程和标准公式如下：
1.椭圆的一般方程：
椭圆的一般方程表示为：
A(x - h)^2 + B(y - k)^2 = 1
其中，(h, k)表示椭圆的中心坐标，A和B是正实数，且A > B。
2.椭圆的标准公式：
椭圆的标准公式表示为：
(x - h)^2/a^2 + (y - k)^2/b^2 = 1
其中，(h, k)表示椭圆的中心坐标，a和b分别表示椭圆在x轴和y轴上的半长轴长度。
具体详细解释如下：
●中心坐标(h, k)：椭圆的中心点在坐标平面上的位置，坐标为(h, k)。
●半长轴长度a：椭圆在x轴上的半长轴长度，表示椭圆沿着x轴正方向延伸
的距离。
●半短轴长度b：椭圆在y轴上的半短轴长度，表示椭圆沿着y轴正方向延伸
的距离。
椭圆的标准公式以中心点(h, k) 为中心，沿x轴和y轴方向分别以a和b为轴长度绘制。
当a和b相等时，椭圆退化为一个圆。
若a大于b，则椭圆在x轴方向上更为扁平，称为长轴椭圆；若b大于a，则椭圆在y轴方向上更为扁平，称为短轴椭圆。
注意事项：
●椭圆的方程中，A和B的值与a和b的关系为A = 1/a^2，B = 1/b^2。
●当椭圆的中心不在原点时，方程中的坐标需要进行平移，即(x - h) 和(y - k)。
●椭圆的方程也可以表示为离心率和焦点的形式，但这超出了一般方程和标准
公式的范围。
通过了解椭圆的一般方程和标准公式，您可以利用这些公式来描述和绘制椭圆的几何形状，并对椭圆的中心、半长轴和半短轴进行准确的计算和描绘。
2.1.1 椭圆及其标准方程
（3）已知两圆 C1：(x－4) ＋y ＝169，C2：(x＋
2 2
2
2
4) ＋y ＝9，动圆和圆 C1 内切，和圆 C2 外切，求 动圆圆心的轨迹方程．
解：如图所示，设动圆圆心为 M(x，y)，半径为 r. 由题意得动圆 M
和内切于圆 C1， ∴|MC1|＝13－r. 圆 M 外切于圆 C2， ∴|MC2|＝3＋r. ∴
一、椭圆的定义
平面内到两个定点F1，F2的 定义
距离之和等于常数
(大于| F1F2|)的点的集合叫作椭圆 两个 定点 F1，F2叫作椭圆的焦点 两焦点F1，F2间的 距离 叫作椭圆的焦距 P＝{M| |MF1|＋|MF2|＝2a, ＞| F1F2|}
焦点 焦距 集合语
言
椭圆的标准方程
焦点在x轴上
解： 设圆 P 的半径为 r ，又圆 P 过点 B ， ∴ |PB| ＝r，又∵圆P与圆A内切，圆A的半径为10. ∴两圆的圆心距|PA|＝10－r， 即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)． ∴点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆． ∴2a＝10,2c＝|AB|＝6， ∴a＝5，c＝3.∴b2＝a2－c2＝25－9＝16.
以过 B、C 两点的直线为 x 轴，线段 BC 的垂直平分线为 y 轴，建立直 角坐标系 xOy，如图所示．由|BC|＝8，可知点 B(－4,0)，C(4，0)，c ＝4. 由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，|BC|＝8，得|AB|＋|AC|＝10.因此，点 A
的轨迹是以 B，C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之
a2＝ 15， 解得 2 b ＝ 5.
x2 y2 所以所求椭圆的方程为 ＋ ＝ 1. 15 5 y2 x2 ②当焦点在 y 轴上时，设椭圆的标准方程为 2＋ 2＝1(a＞ b＞ 0)．依题 a b
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目 录
• 椭圆的定义 • 椭圆的方程 • 椭圆的性质 • 椭圆的图像 • 椭圆的实际应用
01
椭圆的定义
椭圆的几何定义
01
椭圆是由平面内两个定点F1、F2 的距离之和等于常数（常数大于 F1、F2之间的距离）的点的轨迹 形成的图形。
02
两个定点F1、F2称为椭圆的焦点 ，焦点的距离c满足关系式： c²=a²-b²，其中a为椭圆长轴半径 ，b为短轴半径。
椭圆的范围
总结词
椭圆的范围是指椭圆被坐标轴所限制的范围。
详细描述
这意味着椭圆永远不会出现在坐标轴之外。在x轴上，椭圆的范围是从-a到a；在y轴上，椭圆的范围是从-b到b。 其中a和b是椭圆的长轴和短轴的半径。
椭圆的顶点
总结词
椭圆的顶点是指椭圆与坐标轴的交点 。
详细描述
椭圆的顶点是椭圆与x轴和y轴的交点 。这些点是椭圆的边界点，并且它们 位于椭圆的长轴和短轴上。具体来说 ，椭圆的顶点是(-a,0)，(a,0)，(0,-b) 和(0,b)。
小和形状。
平移变换
将椭圆在坐标系中移动，可以实现 椭圆的平移变换。平移变换不会改 变椭圆的大小和形状，只会改变椭 圆的位置。
旋转变换
通过旋转椭圆，可以实现椭圆的旋 转变换。旋转变换会改变椭圆的方 向，但不会改变椭圆的大小和形状 。
椭圆的图像应用
天文学
在天文观测中，行星和卫星的轨道通常可以用椭圆来近似 描述。通过研究椭圆的性质，可以更好地理解天体的运动 规律。
焦点位置
离心率
定义为c/a，其中c是焦点到椭圆中心 的距离，a是椭圆长轴的半径。离心率 越接近0，椭圆越接近圆；离心率越 大，椭圆越扁。
椭圆的标准方程及性质
椭圆的标准方程及性质椭圆作为二维空间中的图形，具有一些独特的性质和特点。
本文将介绍椭圆的标准方程以及其相应的性质。
一、椭圆的标准方程椭圆的标准方程可以通过平面几何的推导得出。
设椭圆的中心为点（h，k），椭圆的长轴为2a，短轴为2b，则可得出椭圆的标准方程：（x-h）^2/a^2 +（y-k）^2/b^2 = 1其中，h和k分别是椭圆的中心在x轴和y轴上的坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半。
二、椭圆的性质1. 中心：椭圆的中心即标准方程中的点（h，k），表示椭圆在平面上的位置。
2. 焦点：椭圆上的每个点到两个焦点的距离之和等于定值2a，即椭圆的长轴长度。
焦点是椭圆的重要特点，用于定义椭圆的几何性质。
3. 长轴和短轴：标准方程中a和b分别表示椭圆的长轴和短轴的一半。
长轴是椭圆的最长直径，短轴是椭圆的最短直径。
4. 离心率：椭圆的离心率定义为焦距与长轴之比，通常用e表示。
离心率决定了椭圆的扁平程度，e＜1时表示椭圆，e=0时表示圆。
5. 直径：椭圆上的两个端点同时到椭圆内一点的距离相等，则这两个端点和该内点连成的线段叫做该椭圆的直径。
6. 弦：椭圆上任意两点连线和椭圆的直径所围内部的线段叫做椭圆的弦。
7. 准线：椭圆上与两个焦点连线垂直的直线，与椭圆的侧弦相切。
8. 焦散性：入射到椭圆的平行光线在反射后会汇聚到另一个焦点上，这是椭圆焦散性的一个重要表现。
三、椭圆的应用椭圆作为一种常见的数学曲线，在现实生活中有广泛的应用。
以下是一些椭圆应用的例子：1. 天体运动：行星围绕太阳的轨迹、人造卫星轨道等可以近似看作椭圆。
2. 光学器件：抛物面镜、椭圆面镜等。
3. 固定时间下的最短路径问题。
4. 卫星通信：卫星的定位和通信领域中使用椭圆轨道。
4. 造船工业：船体的椭圆剖面设计，可以减少水的阻力。
5. 圆锥曲线中的一类，在几何光学中，椭球曲面可以聚焦光线。
总结：本文介绍了椭圆的标准方程及其性质。
椭圆作为一种重要的数学曲线，其在几何和物理学中有着广泛的应用。
椭圆及标准方程
椭圆及标准方程椭圆是平面上到定点F1、F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
设F1(-c,0)，F2(c,0)，点P(x,y)，则PF1+PF2=2a。
椭圆的标准方程为，x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)。
椭圆的性质：1.椭圆的离心率0<e<1，焦点到中心的距离为ae。
2.椭圆的长轴2a，短轴2b，焦距2ae。
3.椭圆的离心角θ满足e=cosθ，离心率e与离心角θ的关系为e=cosθ。
4.椭圆的面积为πab。
5.椭圆的焦点到直径的距离等于直径的一半。
6.椭圆的焦点到切线的距离等于焦点到法线的距离。
7.椭圆的切线与法线的交点坐标分别为(x1,y1)和(x1,-y1)。
8.椭圆的渐近线方程为y=±b/ax。
9.椭圆的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ。
10.椭圆的极坐标方程为r=a(1-e^2)/(1+ecosθ)。
椭圆的标准方程推导：设椭圆的长轴为2a，短轴为2b，焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，中心为O(0,0)，点P(x,y)。
则有PF1+PF2=2a，根据两点之间的距离公式可得。
√((x+c)^2+y^2)+√((x-c)^2+y^2)=2a。
整理得到。
(√((x+c)^2+y^2))^2+(√((x-c)^2+y^2))^2=4a^2。
化简得到。
x^2/a^2+y^2/b^2=1。
从而得到椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程性质：1.椭圆的标准方程为x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)。
2.椭圆的中心在原点O(0,0)。
3.椭圆的长轴在x轴上，短轴在y轴上。
4.椭圆的焦点为F1(-c,0)，F2(c,0)，离心率e=c/a。
5.椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距2ae。
6.椭圆的面积为πab。
7.椭圆的离心角θ满足e=cosθ，离心率e与离心角θ的关系为e=cosθ。
8.椭圆的参数方程为x=acosθ，y=bsinθ。
椭圆及其标准方程
A.5
B.8
C.3或5
D.3
x2 y 2 3.已知 F1、F2 是椭圆 25 49 1 的两个焦点，过 F 的直 1 线与椭圆交于A、B两点，则 ABF2 的周长是 （ ）
A. 8 6 B.20 C.24 D.28 4.方程 Ax 2 By 2 1 什么时候表示椭圆？什么时候表示 焦点在x轴上的椭圆?什么时候表示焦点在y轴上的椭圆?
椭圆实物图
椭 圆 相 框
椭圆双层茶几
椭圆形钻戒
动画演示
椭圆的画法
通过试验形成概念
椭圆定义：
平面内与两定点 F 1、F2 的距离的和等于 常数（大于 F1F2 ）的点的轨迹是椭圆。
王新敞
奎屯 新疆
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点
间的距离叫做椭圆的焦距.
2、椭圆的标准方程
椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1、F2的距离的和为2a 怎样建立平面直角坐标系呢？
【关系】
c2 a2 b2
b 2x 2 a2 y 2 a2b 2
a c
2
2
0
x y2 2 1(a b 0) 2 a b
y
x y 2 1 (a b 0) 2 a b
它表示： (1)椭圆的焦点在x轴上 (2)焦点是F1（-C，0）,F2（C，0） (3)C2= a2 - b2
F1
2
2
这里c 2 a 2 b2
y
F2 M O F1
焦点F1 (0,c ), F2 (0, c )
x
y x 2 1(a b 0) 2 a b
2
2
这里c a b
2 2
2
y
椭圆及其标准方程ppt课件
课后作业
1.必做题：P51 练习4,5.
2.选做题：求与圆(x 2)2 y2 1 外切，且与圆 (x 2)2 y2 49 内切的动圆圆心的轨迹方程 3.思考题：Ax2 By 2 1什么时候表示椭圆？焦 点在哪个轴？
椭圆光学性质欣赏及探索
感谢大家的指导 谢谢
椭圆及其标准方程
01
圆锥曲线
现场演示观察
用一个圆锥形杯子，往杯子里倒入有色的 液体，然后倾斜杯子，请观察液体的水平 面是什么形状？
圆锥曲线
用一个平面去截圆锥面，当圆锥的 轴与截面所成的角不同时，可以得到不 同的截口曲线，它们分别是圆、椭圆、 抛物线和双曲线，我们这些曲线统称为 圆锥曲线.
生活中的椭圆
实例（-2，0）,（2，0),
，并且 并解由2所解由2所解由2所aaa：=：=椭以椭以且：=椭以经由由圆圆由圆bb((经b(552222522于于的的过 于的===过aa椭椭定定22a椭定222))2－－)点 22点－圆圆义义2圆义ccc的的知知((22的知(2===(焦焦2323焦cc236652c6))==..)=22点点.2点222,，，，在在在(((2355xx225x2轴轴)轴222， 上上))上)22求2，，，(((椭可可可232323设设))圆设)222其其其的22标标2标标11准准1准000，，方方准，方程程程方解解解为为为得得程得aaxxax2222aa.22a===
图形
标准方程 x2 y2 = 1(a>b>0)
a2 b2
y2 a2
x2 b2
=
1(a>b>0)
a, b, c的关系
a2__b2=c2
焦点
(－c, 0)，(c, 0)
(0, －c)，(0, c)
椭圆及标准方程
椭圆及标准方程椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
F1和F2称为椭圆的焦点，2a称为椭圆的长轴。
椭圆的标准方程为：\(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)。
其中a为长轴的一半，b为短轴的一半。
在椭圆的标准方程中，a和b的大小决定了椭圆的形状，当a>b时，椭圆的长轴水平；当a<b时，椭圆的长轴垂直。
椭圆的离心率e定义为焦距与长轴的比值，即e=\(\frac{c}{a}\)，其中c为焦距之一。
离心率决定了椭圆的形状，当e=0时，椭圆退化为圆；当0<e<1时，椭圆是一个扁平的椭圆；当e=1时，椭圆是一个狭长的椭圆；当e>1时，椭圆不存在，退化为双曲线。
根据椭圆的标准方程，我们可以得到椭圆的一些重要性质。
首先，椭圆的中心在原点O(0,0)，长轴与x轴平行，短轴与y轴平行。
其次，椭圆的焦点坐标为F1(-c,0)和F2(c,0)，其中c=\(\sqrt{a^2-b^2}\)。
最后，椭圆的顶点坐标为A(a,0)和B(-a,0)，其中a为长轴的一半。
除了标准方程外，椭圆还可以有其他形式的方程。
例如，椭圆的参数方程为：\(\begin{cases} x = a \cos t \\ y = b \sin t \end{cases}\)。
其中t为参数，a和b同样为长轴和短轴的一半。
利用参数方程，我们可以更加灵活地描述椭圆上的点的运动规律。
另外，椭圆还可以通过矩形方程来表示，即：\( \frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1 \)。
其中(h,k)为椭圆的中心坐标。
通过矩形方程，我们可以方便地得到椭圆的中心和长短轴的信息。
总之，椭圆是一种重要的几何图形，具有许多独特的性质和形式。
通过标准方程、参数方程和矩形方程，我们可以更加深入地理解和描述椭圆的形状和特点。
对于数学和物理学的学习和应用都有着重要的意义。
椭圆及其标准方程ppt课件
( 3)2
(-2)2
+ 2
2
(-2 3)2
1
+ 2
2
2
轴上时,设椭圆的标准方程为 2
= 1,
2 = 15,
解得 2
=
5,
= 1,
2
故所求椭圆的标准方程为
15
+
2
=1.
5
+
2
=1(a>b>0).
2
②当焦点在 y
(-2)2
( 3)2
+
2
2
1
(-2 3)2
+ 2
2
接设所求椭圆方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).
解 (1)因为椭圆的焦点在 x 轴上,
2
所以设它的标准方程为 2
+
2
=1(a>b>0).
2
因为 2a= (5 + 4)2 + (5-4)2 =10,所以 a=5.
又 c=4,所以 b2=a2-c2=25-16=9.
2
故所求椭圆的标准方程为25
O
为什么？
D
解1：(相关点代入法) 设点M的坐标为(x, y)，点P的坐标
为(x0, y0)，则点D的坐标为(x0, 0).
y0
寻求点M的坐标(x,y)中x, y
.
由点M是线段PD的中点，得 x x0 ,y
2
与x0, y0之间的关系,然后消
∵点P ( x0 ,y0 )在圆x 2 y 2 4上， ∴x02 y02 4，
2
a
a c
椭圆及其标准方程
椭圆及其标准方程椭圆是一个非常重要的几何图形，它在数学和物理学中都有着广泛的应用。
在本文中，我们将探讨椭圆的定义、性质以及其标准方程。
首先，让我们来看一下椭圆的定义。
椭圆可以被定义为平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的集合。
这两个定点被称为焦点，而常数2a 则被称为椭圆的长轴长度。
椭圆还有一个与长轴垂直的短轴，其长度为2b。
椭圆的形状可以由长轴和短轴的长度来描述，而这个描述也可以用椭圆的标准方程来表示。
接下来，让我们来看一下椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程可以写成(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是长轴和短轴的长度。
如果椭圆的长轴与x轴平行，那么它的标准方程可以简化为(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1。
如果椭圆的长轴与y轴平行，那么它的标准方程可以简化为(y-k)^2/a^2 + (x-h)^2/b^2 = 1。
通过这个标准方程，我们可以轻松地确定椭圆的中心、长轴、短轴以及焦点的位置。
除了标准方程之外，椭圆还有许多重要的性质。
例如，椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于常数2a，这个性质被称为椭圆的焦点性质。
此外，椭圆还具有对称性，关于长轴和短轴都有对称轴。
这些性质使得椭圆在数学和物理学中有着广泛的应用，例如在天体运动、工程设计以及密码学中都可以看到椭圆的身影。
总之，椭圆是一个非常重要的几何图形，它具有许多重要的性质和应用。
通过椭圆的标准方程，我们可以轻松地描述和理解椭圆的形状和位置。
希望本文对您理解椭圆有所帮助，谢谢阅读！。