第7章解非线性方程二分法和牛顿法.

3个有根区间为： [2,3],[3,4],[5,6]
显然模最小的实根 [2,3] 1 3 k 3 ( 3 2 ) 10 2 10 k 10 k 2
源自文库
牛顿法/ Newton - Raphson Method /
原理：将非线性方程线性化 —— Taylor 展开 / Taylor’s expansion /
* * *

f ( x* ) 0，即x*为根
注：Newton’s Method 收敛性依赖于x0 的选取。
x
0
x0 x 0 x*
3 2
f (1) 4 0, f ( 2) 3 0
正根x [1,2] 1 2 取中点 1.5 , 考查f (1.5 ) ? 2
*
When to stop?
a x a1 x*
x2 b
b
xk 1 xk ε1
或
f ( x ) ε2
不能保证 x 的精 度
例：求方程f ( x ) x 3 11.1 x 2 38.8 x 41.77 0 的有根区间，用二分法 求模最小的实根，若要 求准确到10 ，则至少要迭代多少次 ？
3
解：对方程的根做搜索 计算，结果如下： x 0 1 2 3 f ( x )的符号 4 5 6
用l ( x) 0的根近似代替f ( x) 0的根 0 f ( x ) 0 ( 1) 0 当f ' ( x ) 0, x x 0 f '( x ) （1 ） f ( x ) （1 ） (2) （1 ） 同理，当f ' ( x ) 0, x x （1 ） f '( x )
，当f ' ( x
（k）
) 0, x
( k 1)
x
（k）
f (x ) （k） f '( x )
（k）
几何意义
收敛性分析
若点列 x ( k ) x* , 且f ' ( x) C , f ' ( x* ) 0
f (x ) 则k 时，x x * f '( x )
(2) *
1 x (a b) 2 1 ( 1) * x x (b a ) 2
( 1)
lim( x ( k ) x * ) 0
k
总结
①简单; ② 对f (x) 要求不高(只要连续即可) . ①无法求复根及偶重根 ② 收敛慢
注：用二分法求根，最好先给出 f (x) 草图以确定根的大 概位置。或用搜索程序，将[a, b]分为若干小区间，对每 一个满足 f (ak)· f (bk) < 0 的区间调用二分法程序，可找出 区间[a, b]内的多个根，且不必要求 f (a)· f (b) < 0 。
2
x* x
二分法的收敛性分析与 误差估计
x 能否收敛到根 考察二分法构造的点列
(k )
设方程f ( x ) 0，某根为x [a , b], f (a ) f (b) 0
*
11 1 x x (b a ) 2 (b a ) 22 2 1 (k ) * x x k (b a ) 2
考虑方程f ( x ) 0 选择一估计值为起点 x0
Taylor 展开 f ( x ) f ( x 0 ) f ' ( x 0 )( x x 0 ) O(( x x 0 )2 )
截断到一阶 令l ( x ) f ( x 0 ) f ' ( x 0 )( x x 0 )
非线性方程求根
/ Solutions of Nonlinear Equations /
邹昌文
二分法
/ Bisection Method /
原理：若 f C[a, b]，且 f (a) ·f (b) < 0，则 f 在 (a, b) 上必有一根。
考虑三次方程f ( x) x x 3 x 3 0的正根