2016_2017学年高中数学第二章推理与证明2.2第1课时综合法学案
高中数学 第二章 推理与证明 2.2.1 直接证明与间接证明 综合法与分析法导学案 新人教A版选修
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直接证明与间接证明综合法与分析法学习目标：1.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法．分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．2．进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异．1。
教学重点：综合法和分析法的概念及思考过程、特点．2。
教学难点：综合法和分析法的应用．方法：合作探究一新知导学综合法证明不等式1．定义利用__________和某些数学__________、__________、__________等，经过一系列的____________，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法2．综合法的特点从“已知"看“________"，逐步推向“________",其逐步推理,是由______导_______,实际上是寻找“已知”的_________条件．用综合法证明数学问题，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹，并且综合法的推理过程属于演绎推理,它的每一步推理得出的结论都是正确的，不同于合情推理．使用综合法证明问题,有时从条件可得出几个结论，哪个结论才可作为下一步的条件是分析的要点，所以如何找到“__________”和有效的__________是有效利用综合法证明数学问题的关键．3．综合法的基本思路用__________表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，__________表示所要证明的结论,则综合法的推理形式为错误!→错误!→错误!→…→错误!课堂随笔：其逻辑依据是三段论式演绎推理．牛刀小试1．a>0，b〉0，则下列不等式中不成立的是（)A．a＋b＋错误!≥2错误!B．(a ＋b）错误!≥4C．错误!≥a＋b D．错误!≥错误!2．设a〉0，b>0，c>0，若a＋b＋c＝1，则错误!＋错误!＋错误!的最小值为__________.3．设a≥b>0,求证:3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2。
2016-2017学年高中数学新2-2第二章 推理与证明2.1.1合情推理含解析
2.1。
1 合情推理明目标、知重点1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理。
2.了解合情推理在数学发现中的作用．1．归纳推理和类比推理定义特征归纳推理由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理类比推由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另类比推理是由特殊到特殊的推理理一类对象也具有这些特征的推理2．合情推理(1）含义归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．（2）合情推理的过程从具体问题出发→错误!→归纳、类比→错误!情境导学]佛教《百喻经》中有这样一则故事．从前有一位富翁想吃芒果,打发他的仆人到果园去买,并告诉他:“要甜的，好吃的，你才买．”仆人拿好钱就去了．到了果园，园主说：“我这里树上的芒果个个都是甜的，你尝一个看．”仆人说:“我尝一个怎能知道全体呢？我应当个个都尝过，尝一个买一个,这样最可靠．"仆人于是自己动手摘芒果，摘一个尝一口，甜的就都买回去．带回家去,富翁见了，觉得非常恶心，一齐都扔了．想一想：故事中仆人的做法实际吗？换作你，你会怎么做?学习了下面的知识，你将清楚是何道理．探究点一归纳推理思考1 在日常生活中我们常常遇到这样一些问题：看到天空乌云密布，燕子低飞,蚂蚁搬家等现象时，我们会得出一个判断—-天要下雨了；张三今天没来上课,我们会推断—-张三一定生病了；谚语说：“八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯"等,像上面的思维方式就是推理，请问你认为什么是推理？答根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫做推理．思考2 观察下面两个推理,回答后面的两个问题：(1）哥德巴赫猜想：6＝3＋38＝3＋510＝5＋512＝5＋714＝7＋716＝5＋11……1 000＝29＋9711 002＝139＋863……猜想：任何一个不小于6的偶数都等于两个奇质数之和．(2）铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．问题：①以上两个推理在思维方式上有什么共同特点?②其结论一定正确吗？答①共同特点：部分推出整体，个别推出一般．(这种推理称为归纳推理）②其结论不一定正确．反思与感悟归纳推理定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）．例1 已知数列{a n}的第1项a1＝1,且a n＋1＝错误!(n＝1，2，3，…)，试归纳出这个数列的通项公式．解当n＝1时，a1＝1；当n＝2时，a2＝错误!＝错误!；当n＝3时，a3＝错误!＝错误!；当n＝4时,a4＝错误!＝错误!。
高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明2.2.1第1课时综合法优化练习新人教A版选修2-
2017-2018学年高中数学第二章推理与证明2.2 直接证明与间接证明2.2.1 第1课时综合法优化练习新人教A版选修2-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第二章推理与证明2.2 直接证明与间接证明2.2.1 第1课时综合法优化练习新人教A版选修2-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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2.2.1 第1课时综合法[课时作业][A组基础巩固]1．对任意的锐角α、β,下列不等式关系中正确的是( )A．sin(α＋β）＞sin α＋sin βB．sin(α＋β）＞cos α＋cos βC．cos（α＋β)＞sin α＋sin βD．cos(α＋β）＜cos α＋cos β解析：∵α、β为锐角，∴0＜α＜α＋β＜π，∴cos α＞cos(α＋β）,又cos β＞0，∴cos α＋cos β＞cos(α＋β)．答案：D2．在不等边三角形中，a为最长边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足条件( ）A．a2＜b2＋c2B．a2＝b2＋c2C．a2＞b2＋c2D．a2≤b2＋c2解析：由余弦定理得:cos A＝错误!＜0,故b2＋c2－a2＜0，∴a2＞b2＋c2。
答案：C3．设a＝lg 2＋lg 5，b＝e x（x＜0)，则a与b大小关系为( )A．a＞b B．a＜bC．a＝b D．a≤b解析：a＝lg 2＋lg 5＝1，b＝e x，当x＜0时，0＜b＜1。
2016-2017学年高中数学(2-2)：第二章 推理与证明 2.2.1
2。
2.1综合法和分析法明目标、知重点1．了解直接证明的两种基本方法——综合法和分析法．2．理解综合法和分析法的思考过程、特点,会用综合法和分析法证明数学问题．1．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法，也是解决数学问题时常用的思维方式．2．一般地,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．3．分析法是从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．[情境导学］证明对我们来说并不陌生,我们在上一节学习的合情推理,所得的结论的正确性就是要证明的，并且我们在以前的学习中，积累了较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节我们将通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成较完整的认识．探究点一综合法思考1 请同学们证明下面的问题，总结证明方法有什么特点？已知a，b>0，求证:a(b2＋c2）＋b（c2＋a2)≥4abc。
证明因为b2＋c2≥2bc,a>0,所以a（b2＋c2)≥2abc.又因为c2＋a2≥2ac,b〉0，所以b(c2＋a2)≥2abc.因此a（b2＋c2)＋b(c2＋a2)≥4abc。
总结:此证明过程运用了综合法．综合法的定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．思考2 综合法又叫由因导果法，其推理过程是合情推理还是演绎推理？答因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理,因此所得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”，所以综合法是演绎推理．例1 在△ABC中，三个内角A,B，C的对边分别为a,b,c，且A，B，C成等差数列，a,b,c成等比数列，求证:△ABC为等边三角形．证明由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C，①由A，B，C为△ABC的三个内角，所以A＋B＋C＝π.②由①②,得B＝错误!，③由a，b，c成等比数列，有b2＝ac，④由余弦定理及③，可得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac,再由④,得a2＋c2－ac＝ac，即（a－c)2＝0，从而a＝c,所以A＝C。
高中数学 第二章 推理与证明 2.22.2.1 综合法和分析法
2.2.1 综合法和分析法第1课时 综合法A 级 基础巩固一、选择题1．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x 中最大的一个是( ) A ．aB ．bC ．cD ．不能确定解析：∵0<x <1，∴b ＝1＋x >2x >2x ＝a .又11－x －(1＋x )＝x 21－x >0，知11－x>1＋x ∴c >b >a ，最大的数为c .答案：C2．已知函数f (x )＝lg 1－x 1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( ) A ．bB ．－b C.1b D ．－1b解析：f (x )定义域为(－1，1)，f (－a )＝lg 1＋a 1－a ＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 1＋a －1＝－lg 1－a 1＋a ＝－f (a )＝－b . 答案：B3．命题“如果数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，那么数列{a n }一定是等差数列”是否成立( )A ．不成立B ．成立C ．不能断定D ．与n 取值有关 解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －5又a 1＝S 1＝2×12－3×1＝－1适合上式．∴a n ＝4n －5(n ∈N *)，则a n －a n －1＝4(常数)故数列{a n }是等差数列．答案：B4．(2014·四川卷)若a >b >0，c <d <0，则一定有( )A.a d >b cB.a d <b cC.a c >b dD.a c <b d解析：法一：令a ＝3，b ＝2，c ＝－3，d ＝－2，则a c ＝－1，b d＝－1，排除选项C ，D ； 又a d ＝－32，b c ＝－23，所以a d <b c，所以选项A 错误，选项B 正确． 法二：因为c <d <0，所以－c >－d >0，所以1－d >1－c>0. 又a >b >0，所以a －d >b －c ，所以ad <b c. 答案：B5．在△ABC 中，已知sin A cos A ＝sin B cos B ，则该三角形是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形 解析：由sin A cos A ＝sin B cos B 得sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.所以该三角形是等腰或直角三角形． 答案：D二、填空题6．命题“函数f (x )＝x －x ln x 在区间(0，1)上是增函数”的证明过程“对函数f (x )＝x －x ln x 求导，得f ′(x )＝－ln x ，当x ∈(0，1)时，f ′(x )＝－ln x >0，故函数f (x )在区间(0，1)上是增函数”，应用了________的证明方法．解析：本命题的证明，利用题设条件和导数与函数单调性的关系，经推理论证得到了结论，所以应用的是综合法的证明方法．答案：综合法7．角A ，B 为△ABC 内角，A >B 是sin A >sin B 的________条件(填“充分”“必要”“充要”或“即不充分又不必要”)．解析：在△ABC 中，A >B ⇔a >b由正弦定理a sin A ＝b sin B，从而sin A >sin B . 因此A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ，为充要条件．答案：充要8．设a >0，b >0，若3是3a 与3b 的等比中项，则1a ＋1b的最小值为________．解析：3是3a 与3b 的等比中项⇒3a ·3b ＝3⇒3a ＋b ＝3⇒a ＋b ＝1，因为a >0，b >0，所以ab ≤a ＋b 2＝12⇒ab ≤14， 所以1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥114＝4. 答案：4三、解答题9．已知a >0，b >0，求证：a (b 2＋c 2)＋b (c 2＋a 2)≥4abc .证明：因为b 2＋c 2≥2bc ，a >0所以(b 2＋c 2)a ≥2abc又因为b >0，c 2＋a 2≥2ac所以b (c 2＋a 2)≥2abc .因此a (b 2＋c 2)＋bc (c 2＋a 2)≥4abc .10．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若函数y ＝f (x ＋1)与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，求证：函数y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12为偶函数． 证明：∵函数y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)的图象关于y 轴对称．∴f (x ＋1)＝f (－x )则y ＝f (x )的图象关于x ＝12对称 ∴－b 2a ＝12，∴a ＝－b . 则f (x )＝ax 2－ax ＋c ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋c －a 4 ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝ax 2＋c －a 4为偶函数． B 级 能力提升1．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2>0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( )A ．恒为负值B ．恒等于零C ．恒为正值D ．无法确定正负解析：由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2>0，可知x 1>－x 2，f (x 1)<f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)<0.答案：A2．已知sin x ＝55，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝________． 解析：∵sin x ＝55，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，∴cos x ＝－45， ∴tan x ＝－12，∴tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝－3. 答案：－33．如图，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，点E 是PC 的中点．(1)证明：CD ⊥AE .(2)证明：PD ⊥平面ABE .证明：(1)在四棱锥P ABCD 中，因为PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥CD .因为AC ⊥CD ，PA ∩AC ＝A ，所以CD ⊥平面PAC .又因为AE ⊂平面PAC ，所以CD ⊥AE .(2)由PA ＝AB ＝BC ，∠ABC ＝60°，可得AC ＝PA .因为点E 是PC 的中点，所以AE ⊥PC .由(1)知，AE ⊥CD ，又PC ∩CD ＝C ，所以AE ⊥平面PCD .又因为PD ⊂平面PCD ，所以AE ⊥PD .因为PA ⊥底面ABCD ，所以平面PAD ⊥平面ABCD .又AB ⊥AD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，所以AB ⊥PD .又因为AB ∩AE ＝A ，所以PD ⊥平面ABE .。
2016-2017学年高中数学选修2-2课件：第2章 推理与证明2.1.2
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3．用三段论证明命题：“任何实数的平方大于0，因为a是 实数，所以a2＞0”，你认为这个推理的错误是________．
解析： 这个三段论推理的大前提是“任何实数的平方大于 0”，小前提是“a是实数”，结论是“a2＞0”．显然这是个错误 的推理，究其原因，是大前提错误，尽管推理形式是正确的，但 是结论是错误的．
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第十九页，编辑于星期五：十七点 二十四分。
数学 选修2-2
第二章 推理与证明
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1．用三段论的形式写出下列演绎推理． (1)菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的 对角线相互垂直． (2)若两角是对顶角，则此两角相等，所以若两角不相等， 则此两角不是对顶角．
第二十五页，编辑于星期五：十七点 二十四分。
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(2)正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)
＝sin(x2＋1)是奇函数．以上推理( )
A．结论正确
B．大前提不正确
C．小前提不正确
D．全不正确
(小前提)
Rt△ABC的内角和为180°.
(结论)
第十七页，编辑于星期五：十七点 二十四分。
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(3)平行四边形的对角线互相平分．
(大ห้องสมุดไป่ตู้提)
菱形是平行四边形．
高中数学第二章推理与证明2.2.1综合法和分析法4b22b高二22数学
第七页，共三十页。
证明 ： (zhèn由gmAín，g) B，C成等差数列(děnɡ chā shù 2B=A+C. ①
l因iè)为，A有，B，C为△ＡＢC的内角(nèi jiǎo),所以Ａ+Ｂ+Ｃ=180°. ②
由① ②，得 B = π . ③ 3
由a，b，c成等比数列，有 b 2 = ac. 由余弦定理及③，可得 b 2 = a 2 + c 2 - 2 a c c o s B = a 2 + c 2 - a c . ④ 再由④，得 a2 +c2 -ac=ac, 即（a-c）2 =0.
= 1 6 sin α (1 + c o sα ) • sin α (1 - c o sα )
co sα
co sα
sin 2α (1 - c o s 2α )
sin 2α sin 2α
= 16
co s 2α
= 1 6 co s 2α
= 1 6 sin 2α ta n 2α ，
从 而 (a 2 - b 2 )2 = 1 6 sin 2α ta n 2α . 所以，命题成立.
因此 a=c.
从而 A=C. ⑤
由 ② ③ ⑤ ,得A = B = C = π . 所以△ＡＢC为等边三角形.
第八页，共三十页。
注意
解决数学问题时，往往要先做语言的转换， 如把文字(wénzì)语言转换成符号语言，或把符号语 言转换成图形语言等.还要通过细致的分析，把其 中的隐含条件明确表示出来.
用综合法比较困难.
第十七页，共三十页。
请对综合法与分析法进行比较，说出它们各自
(gèzì)的特点.回顾以往的数学学习，说说你对这两 种证明方法的新认识.
2016-2017学年人教A版数学选修2-2课件 第二章 推理与证明 2.1.1合情推理
温馨提示 合情推理得出的结论不一定是唯一的，侧 重点不同，结论也会不同．
第七页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
[思考尝试·夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)． (1)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计 总体，这种估计属于归纳推理．( ) (2)类比推理得到的结论可以作为定理使用．( ) (3)归纳推理是由个别得到一般的推理．( )
解析：由 a1＝1＝21－1，a2＝3＝22－1，a3＝7＝23－ 1，
a4＝15＝24－1，a5＝31＝25－1，
第十七页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
可归纳猜想出 an＝2n－1(n∈N*)． 答案：2n－1(n∈N*)
第十八页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
类型 2 图形中的归纳推理 [典例 2] 有两种花色的正六边形地面砖，按下图的 规律拼成若干个图案，则第 6 个图案中有菱形纹的正六边 形的个数是( )
第八页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
解析：(1)对，用样本估计总体，是由个别得到一般， 所以，这种估计属于归纳推理．
(2)错，类比推理的结论不一定正确. (3)对，由归纳推理的概念知说法正确． 答案：(1)√ (2)× (3)√
第九页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
2.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图
△DPF 的面积为 S3，△PEF 的面积为 S，我们猜想 S2＝S21＋S22＋S23.
第二十六页，编辑于星期五：十五点 三十五分。
归纳升华 (1)在高中阶段类比方向主要集中在等差数列与等比 数列，平面几何与立体几何，平面向量与空间向量等三个 方面．在等差数列与等比数列的类比中，等差数列中的和 类比等比数列中的积，差类比商，积类比幂．
高中数学教案选修2-2《第2章 推理与证明》
目标定位：1．推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方法．和过去的教学内容（例如函数）相比，在本章中是把基本的数学（思维）方法（而不是某个数学对象）作为正面研究对象的．因此，本章的学习过程，是中学生第一次对数学活动过程的正面的系统的审视——这就是我们对本章教学活动的定位．2．推理方法与证明方法是从思维活动中抽象出来的，是由数学思维过程凝缩而成的“对象”．我们不能离开数学思维活动来谈论数学思维方法，不能满足于把数学方法看成是既定的程序、步骤和规则，不能满足于对方法做静态的逻辑的分析（这正是过去传统的教材中所强调的），而应当从（数学）活动本身，特别是从数学活动的过程来考察推理方法和证明方法建构的过程，以及这些方法是如何被运用到数学活动中成为“活”的方法的？应当着重于体会方法的特点、联系和作用（这正是传统教材中忽略的，而在苏教版教材中特别强调的）．这样一来，考察和研究数学思维过程就应该成为本模块学习的出发点和归宿了．3．与数学知识（如概念）的建构不同，在数学方法建构的过程中，数学思维活动过程本身就是被考察的对象并提供了抽象的原型．例如，在本章的引言中，教材就是通过对“摸球中的思维过程”的分析，抽象出推理、证明方法的．在这里，摸球中的思维过程本身就成为抽象的原型！正是这样的特点，决定了在有关“方法”的教学必须建立在对数学思维活动做“正面”考察的基础之上．4．课程标准明确指出：设置本模块的目的是让学生结合已学过的数学实例和生活中的实例，对合情推理、演绎推理以及数学证明的方法进行概括与总结，进一步体会合情推理、演绎推理以及两者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法，感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯，提高数学思维能力，形成对数学较为完整的认识．课程标准的上述要求．决定了本章中对思维过程的考察与分析应该是系统的，因为只有进行系统的考察才能让学生形成对数学较为完整的认识，才能通过对各种方法的比较，掌握各种方法的特点、作用以及它们之间的关系，更好地把它们运用到数学活动中去．5．本章具体的教学目标是：（1）结合已经学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含意，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．（2）结合已经学过的数学实例和生活中的实例，了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单的推理．（6）通过对实例的介绍（如欧基里德《几何原本》、马克思《资本论》、杰弗逊《独立宣言》、牛顿三定律），体会公理化思想．（7）了解计算机在自动推理领域和数学证明中的作用．教材解读：1．根据对本章教学的基本定位，为了帮助学生对数学思维过程作系统的正面的考察，教材做了如下的工作：（1）教科书为学习活动设置了数学探索发现活动的大背景，大框架．（注意引言的作用），在分别阐述了归纳、类比、演绎等推理方法以后，又专门设置了一节“推理案例赏析”所有这些，都为对思维过程进行系统的考察提供了条件．（2）教科书充分地利用案例，通过案例（这些案例大多是从学生学习过的材料中选取的）提供数学思维活动的素材，把案例当成学习活动的出发点和载体，把案例分析看成是教学活动的主要形式．因为惟有如此，才能使学生进行深刻的思考（反思），对思维活动过程做“正面的”审视．（3）教科书注意对思维活动过程做适度的形式化概括．因为惟有如此，才能把对思维过程分析的成果固定下来，形成数学方法并运用到思维活动中去．以上各点可以从第一节〈合情推理与演绎推理〉的展开框图中看出：2．和其他模块相比，在本章中，案例分析更具有举足轻重的作用．因为除了案例分析，我们实在找不到更好的方法为学生提供“数学活动过程”，让学生参与到数学活动中来体验数学方法发现的过程，看到活生生的数学方法．因此，案例分析应该成为本模块教学的出发点和载体，为考察和分析数学活动过程提供素材和讨论的平台，同时，案例分析也应该是教学活动的主要手段．教学方法与教学建议：1．在教学中不仅要重视对推理方法和证明方法的特点进行（静态）分析，更要重视这些方法被抽象出来的过程，通过对数学活动过程的分析来认识它们的特点和作用（即对它们做动态的考察）．从而正确地理解和运用这些方法，达到从整体上提高数学思维能力的目的．2．本章所学习的大部分内容如：合情推理、演绎推理、证明方法（包括反证法）都是学生熟悉的，他们早就在自觉或不自觉地把这些方法运用于学习与生活当中了．在教学中要注意从学生已学过的数学实例和生活中的实例出发，唤起学生的经验，找到知识的生长点，这是学生学习和理解本章内容的基础．3．在教学中，要通过对学生真实的思维过程和数学发现活动的典型案例的分析，让学生形成反思的意识，养成反思的良好习惯．4．教学的重点应该是对基本的数学方法的理解和运用.首先是对“推理”和“证明”在数学发现活动中的作用.这就要求学生从整体上认识本章所介绍的数学方法.如在“合情推理和演绎推理”的教学中，应通过实例，引导学生运用合情推理去探索、猜测一些数学结论，并用演绎推理确认所得结论的正确性，或者用反例推翻错误的猜想．教学的重点在于通过具体实例理解合情推理与演绎推理（它们的作用、特点、关系），理解数学发现过程，而不必追求对概念的抽象表述．在证明方法的教学中，应通过实例，引导学生认识各种证明方法的特点，掌握这些方法的思考过程，体会证明的必要性，而对证明的技巧性不宜作过高的要求．5．数学的推理方法和证明方法，不仅运用在数学中，而且在生活中的其它领域都有广泛的应用．在教学中要引用生活中和其它学科中的例子，让学生体会数学和生活的联系，体会数学应用的广泛性，认识数学的文化价值．6．公理化思想和机器证明体现了数学的文化价值．在教学中要让学生体会公理化思想中蕴涵的理性精神，和机器化证明中的算法思想．下面是具体的教学建议，供参考．引言1．华罗庚教授“摸球”的例子，为推理与证明的学习提供了一个大的背景．它具有丰富的教学意义．在教学中不仅应该让学生体会到，“推理”与“证明”是构成探索活动的两个最基本的环节，让学生体会到，探索活动是一个不断的“提出猜想——验证猜想——再提出猜想——再验证猜想”的过程，而且应当让学生体会到永不休止的探索精神正是理性精神的表现！而数学家就是通过不断地提出猜想、证明猜想来进行探索活动的！2．引言中提出的两个问题（我们怎样进行推理？我们怎样验证（证明）结论？）是本大节的中心问题．本节的教学内容就是依据它展开的．2．1 合情推理与演绎推理1．合情推理和演绎推理是数学活动中常用的两种推理形式，它们具有不同的形式、特点和作用．本节先分别研究它们的特点和作用，然后再通过对具体的数学发现过程的分析，进一步体会它们之间的联系，在具体的数学思维过程中感受它们的作用．2．演绎、归纳、类比是学生熟悉的推理方式．教材列举了3个例子，开始了对这些推理形式的考察．教学中可以让学生举出更多的例子．3．通过揭示三个推理案例的共同点概括出“推理”的概念．并根据它们在结构上的不同特点，进行分类研究，这个过程虽然简单，却体现了案例分析是本章教学的主要形式的特点．2．1．1 合情推理1．合情推理是由G·波利亚提出的概念．他通过对数学发现活动的分析注意到数学活动是由“猜想”和“论证”两个环节构成的，相应地在这两个不同的环节里使用着不同的思维方法，即合情推理与论证推理（教科书中称为演绎推理）．G·波利亚并没有为合情推理下定义．实际上，在教学中，只要让学生把合情推理看成是提出猜想的推理而演绎推理是可以给出证明的推理就行了．据此，教科书按照G·波利亚的思路，编写了引言，突出了对探索活动的分析，突出了“猜想”和“证明”两个重要的思维环节，而对合情推理的定义作淡化处理（只在阅读材料中提了一下）（《课程标准》给合情推理作了如下定义：合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某地结果的推理过程．）2．归纳、类比是合情推理的两种常用的形式，除此以外，合情推理还有其他的多种形式，如：联想、想象、直觉等等．2．1．1．1 归纳推理1．归纳推理是学生熟悉的推理方式．和过去不同，在本节中，我们专注于推理的形式，而不关注推理的内容，即专门对推理的形式进行考察，考察的重点则是归纳推理的特点和它的作用．2．归纳推理的一般模式为：S具有P，1S具有P，2……S n具有P（S，S2，…，S n是A类事物的对象）1——————————————————————————所以，A类事物具有P．教学中可以介绍给学生．3．“思考”要求列举更多的有关归纳推理的例子，下面的例子可供参考．（1）观察：1 = 12，1 + 3 = 22，1 + 3 + 5 = 32，1 + 3 + 5 +7 = 42，由此猜想：1 + 3 + 5 + 7 + …+ (2n1) = n2．（2）1640年，费马在给友人的信中谈到：220+ 1 = 3，221+ 1 = 5，222+ 1 = 17，223+ 1 = 257，224+ 1 = 65 537都是素数，由此，他猜想：任何形如22n+ 1（n N）的数（通常称为费马数，记作F n）都是素数．此后，一直未有人怀疑过这个结论．直到1732年，欧拉发现F= 225+ 1 = 4 294 967 297 = 641 6 700 417并不是素数，才推翻费马的猜5想．此例还说明，在归纳推理中，根据同一个前提，可以推出不同的结论：当n > 1时，F n的末位数字是7（猜想）．2．要让学生体会到归纳不仅是一种方法，而且体现了一种态度．欧拉说：把归纳看成是一种机会，“以便证明它或推翻它”，这就是我们对待归纳的态度，而归纳的价值就在于“在这两种情况之中我们都会学到一些有用的东西．”可以看出，归纳的态度就是探索的态度，这一点在华罗庚的“摸球”游戏中也得到了充分的体现．要让学生体会到，探索活动是在猜想的推动下进行的，没有猜想就没有探索！而归纳的价值就在于它是提出猜想的一种方法！3．在归纳推理中，根据同一个的前提，往往可以推出不同的结论．例如从例4中的推理前提出发，也可以得到当n＞1时，F n的末位数字是7的结论（猜想）．4．完全归纳法（和数学归纳法类似）实质上是一种演绎推理，它是一种必然性推理，是数学证明的工具，因此它不属于合情推理．2．1．1．2 类比推理1．类比推理是学生熟悉的推理方式．和过去不同，在本节中，我们专注于推理的形式，而不关注推理的内容，即专门对推理的形式进行考察．2．类比推理的一般模式为：A类事物具有性质a，b，c，d，B类事物具有性质a'，b'，c'，（a，b，c与a'，b'，c'相似或相同）————————————————所以，B类事物可能具有性质d'．教学中可以介绍给学生．3．例1是根据等式的性质类比不等式的性质．4．例2可以看成是系统间的类比．用现代数学的角度来看，类比就是两个具有同构关系的模型间的推理．数学（科学）发现活动中的类比绝大多数都是这类类比．在教学中要注意对类比过程的分析．5．类比可以看成是从已知的相似性，推断未知的相似性的推理．在教学中要引导学生对类比的过程进行分析，弄清在推理中究竟是从哪些已知的“相似性”推出什么样的未知的“相似性”的．6．在运用类比推理时，首先要找出两类对象之间可以确切表述的相似性（或一致性）；然后，再用一类对象的性质去推测另一类对象的性质，从而得出一个猜想；最后，检验这个猜想．在教学中不要满足于对对象相似性的模糊认识，要坚持把它们的相似性用语言确切地表述出来．只有这样，才能把类比和“比喻”区别开来．2．1．2 演绎推理1．演绎推理是一种重要的推理形式，通过数学学习，学生已经在广泛地使用它，在教学中，要让学生体会到演绎推理是严格按照逻辑法则进行的推理，是必然性推理的特点．2．三段论是演绎推理的主要形式．三段论有多种格式，教科书介绍了其中常用的一种，其用意在于让学生体会到演绎推理是一种形式化程度相当高的推理，而不是正面讲“三段论”，因此，在教学中不必拓展补充．3．除了三段论以外，演绎推理还有直接推理，关系推理、联言推理、假言推理、选言推理等多种形式．4．三段论也有多种形式，三段论的依据是不言自明的三段论公理：一类事物的全部是什么或不是什么，那么这类事物的部分也是什么或不是什么．对此教科书中用集合论的语言和图形作了说明，其目的是帮助学生理解三段论．（教学中不必提出三段论公理）5．三段论推理在数学中有重要的应用，特别是在理论初建或概念性质运用的初期．但是数学推理过程不全是三段论组合，直接用三段论推理的并不多，有些数学证明过程（如教科书中例2），虽然可以归结为三段论的组合，但却太为繁琐了，所以并不实用．6．数学并不等同于逻辑，它已独自发展几千年，尤其是它的符号系统，使得它有自身的一套简单的推理形式或规则，尽管它能用三段论解释，但大可不必去追溯它的三段论本源．因而在数学中，直接选定了若干演绎推理的规则．如：“如果q P ⇒，P 真，则q 真”、“如果b c ，，a b ⇒⇒，则c a ⇒”（三段论的“数学形式”）等等．（如课本中例2的证明就使用了这些规则）应该告诉学生，数学中的运算也是演绎推理的一种形式．7．在数学中学习演绎推理，并不等同于学习形式逻辑或数理逻辑，课程标准规定，本小节的学习目标是，“体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单的推理”，相信注意到这些，就可以理解教科书的编写意图，并掌握教学的分寸了．8．在叙述演绎推理的特点时，要和归纳、类比的特点对照，让学生理解它们是两类不同的推理．9．教科书中说“演绎推理是一种收敛性的思维方法，它较少创造性”，这并不是说，演绎推理就完全没有发现功能，更不是说演绎推理在数学发现活动中没有作用．为了让学生全面认识演绎推理在发现活动中的作用，教科书提供了阅读材料：“海王星的发现和探索性演绎法”，这个材料对全面准确地理解演绎推理在探索活动中的作用是很有帮助的．2．1．3 推理案例赏析1．《推理案例赏析》是推理方法的综合应用，是对推理方法更深层次的考察．这样，教科书就为推理的教学提供了一个“总——分——总”的结构，而本小节正是后一个“总”．它引导学生在前面学习的基础上，对各种推理方法做综合的动态的考察，帮助学生体会不同推理方法的特点和联系，感受它们在数学思维过程中的作用．2．在教学中，要注意对思维过程的分析．课本中提供的思维过程只是几种典型的解决问题的思路．面对着这些问题，学生可能会有更多的想法，应该鼓励学生谈谈自己的想法，并对课本中的思考过程做出评价．3．关于例1的教学．（1）“提出问题”是数学发现活动中重要的环节．教学中要注意分析提出问题的过程．在例1和例2中，都是通过类比提出研究课题的．（2）课本中的思路1是“归纳的方案”，总的说，它是通过归纳提出猜想的．但是应该注意到，作为归纳基础的“表”中的每个数据都是由运算提供的，也就是说，演绎提供了归纳的基础．所以说：在数学发现活动中，演绎起到了类似“实验”的作用，在这里演绎为归纳提供了前提．（3）在“归纳的方案”中，解题者原本希望从表2-1-5中归纳出一般结论，可是却失败了，但是正是失败引导他尝试计算S1（n）和S2（n）的比，找到了通向成功的路．要让学生体会到发现活动都是具有尝试的性质的，失败是经常会遇到的，所以常说“失败是成功之母”．通过教学要让学生体会到，对思维过程进行调控的重要性．对此，在“思路2”和例2中，都有体现．教学中，要让学生体会到发现过程是一个曲折的艰苦的过程，认识到思维调控的重要性．（4）尝试计算S1（n）和S2（n）的比，是导致发现的关键，这个念头是由“联想”激发的．联想也是合情推理的一种方法．（5）思路2是一个“演绎的方案”，但这并不是说，在这个方案中没有使用合情推理的方法，相反地，应该说合情推理在这个方案中同样起了关键的作用．比如，这个方案中的“初始念头”——“尝试用直接相加的方法求出自然数的平方和”就是由合情推理提供的．（6）在思路2的教学中，设置了“（2）从失败中汲取有用的信息，进行新的尝试”的环节，是为了让学生体会到思维调控的重要性，注意对思维过程的分析，进而养成反思的习惯．（7）“既然能用上面的方法求出S1（n），那么我们也应该可以用类似的方法求出S2（n）”，这也是一个猜想，它是由类比得到的．4．关于例2的教学．（1）例2通过具体的问题对类比推理的方法做了更深入的介绍．类比在数学发现活动中具有十分重要的作用，应该让学生学会自觉地科学地把类比方法运用到发现活动中去．（2）把棱台和梯形类比，开始只是模糊的念头，通过分析，清晰地认识到它们之间的“相似性”，这时才会有科学的“类比推理”．因此，“确定类比对象”和“对类比对象的进一步分析”都是重要的思维环节，是进行类比推理的前提．学生在使用类比时，经常忽略这些环节．（3）验证猜想的过程也是对猜想做调整的过程．在这个过程中，合情推理仍然发挥着重要的作用．教学中请注意合情推理在“验证猜想”中的作用．（4）从美感出发做出的判断，可以称为审美推断．本例在“验证猜想”的环节中，使用了这种方法．审美推断也是一种合情推理的方法，在科学发现活动中具有重要的价值．通过案例的分析，应该让学生体会到审美在发现活动中的作用．（5）在公式（猜想）的调整过程中，实际上使用的是“探索性演绎法”（即在猜想的基础上进行的演绎推理），这可以让学生更好地体会到“演绎推理”在数学发现活动中所具有的类似于“实验”的功能．5．关于实习作业．学生可以通过查找资料来完成实习作业．例如可以引用本书提到的数学史中的例子：如欧拉公式、哥德巴赫猜想等，也可以从教科书中选取案例如：“正弦定理的发现”、“余弦定理的发现”、“和差化积公式的推导”等等．通过反思，对自己的思维活动进行分析（如你是怎样解决某个问题的）．6．在思考以及实习作业中，教材反复提出了相同的问题，其用意是希望为学生分析思维活动时提供一个反思的框架．2．2 直接证明与间接证明教学的重点是让学生了解直接证法与间接证法的特点，知道证明的一般步骤，能使用它们证明问题，在教学中不要拘泥于“概念”，在“概念”上下功夫．2．1 直接证明1．课本中选用的两个例子都是学生熟知的，在《数学（必修5）》的基本不等式中就采用了这两个证明．现在教科书把它用作讨论综合法和分析法的素材，是为了让学生能集中精力关注这两种证明方法形式结构上的特点和区别，进而展开对证明方法的研究．2．一般地，分析法和综合法是两种常见的思维方法，人们利用它们来寻求证明问题的思路．在教科书中是把它们看成两种证明方法的（指呈现出来的证明过程）．思维方法和证明方法当然有微妙的差别，但是如果把“证明”看成是思维过程，这样做也就没有什么不可以．3．综合法，从条件出发，“由因导果”，分析法，紧抓证题目标，“执果索因”．在实际的解题活动中，总是把两者结合起来使用的．2．2 间接证明1．反证法是一种重要的间接证法（同一法也是一种重要的间接证法）．在教学中应先让学生弄清直接证明和间接证明的区别，然后再转入反证法．2．学生在学习立体几何初步时，已经使用反证法，因此他们是有经验的，但当时并没有正面介绍反证法．3．反证法的逻辑依据是矛盾律和排中律．反证法的实质在于：若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾．具体地说，反证法不直接证明命题“若p则q”，而是从原题的反论题“既p又┐q”入手，由p与┐q合乎逻辑地推出一个矛盾结果；根据矛盾律，两个互相矛盾的判断，不能同真，必有一假，断定反论题“既p又┐q”为假；进而再根据排中律，两个互相矛盾的判断，不能同假，必有一真．由此肯定命题“若p则q”为真．虽然学生没有学过排中律和矛盾律，但是由于这两个定律的“准公理性”，学生还是能理解反证法的思想的，因而在教学中没有必要提出排中律和矛盾律．2．3 公理化思想1．公理化思想体现了数学中的理性精神和求真意识.为了确保命题真实性,数学对命题提出了演绎证明的要求,这种要求直接导致公理化产生.教学中要让学生体会到这一点.2.公理是“公认正确而不需证明的命题”,是“证明其它一切命题的基础”,是“选定”和“设置”的,都体现了现代公理法的思想,在教学中不要过多地强调公理是“经过长期的实践证明的”说法.3.可以建议有兴趣的学生阅读《数学史初步》中有关非欧几何的材料．教学案例:归纳推理执教:高建国(扬州大学附属中学)点评:张乃达(江苏省扬州中学)1.概念、技能、能力、态度我们可以从不同的层面来看归纳．第一种是把它看成一个概念，这要弄清什么是推理？什么是归纳推理？这是从知识层面来看归纳的；第二种是把归纳看成是一种方法，这就要弄清怎样进行归纳？归纳有哪几步？第一步怎么做？第二步又怎么做？等等，这是从技能层面来看归纳的．第三种是把归纳看成是一种能力，提高学生的归纳能力——归纳的能力实质上就是分析，分析到位了，思维能力提高了，归纳才能得到有价值的东西．这是从能力的层面看归纳的．长期以来，我们的教师大都习惯于从上面三个层次看归纳，并以此确定本节课的教学内容和重点，这正是习惯于从知识与能力的层面看待数学教育的体现！其实，如果从文化的视角来分析，就可以看到归纳还可以被看成是一种态度，一种对待事物的态度．归纳的态度实际上就是探究的态度，它总是用探究者的眼光来看世界——看到某些现象，总想从中归纳出某种规律！促使哥德巴赫提出那个著名的猜想的正是这种态度，向中学生介绍哥德巴赫猜想的目的也正是让他们学习这种态度！这种态度正是理性精神的表现！也是这节课中最有教育价值的东西！通过上面的分析，对这节课应该怎么上就清楚了．通过这节课当然应该让学生知道什么是推理？什么是归纳？怎样进行归纳？但是这并不是重点，其实学生早就在使用归纳的方法了，现在只要正面的小结一下就可以了！提高归纳的能力也不是这节课能够实现的目标，归纳的能力，是思维能力的体现，它不能独立于思维能力之外，也不是通过这节课就能实现的目标！这节课的重点应该是归纳态度的培养和探究精神的激发！在本节课中，执教老师对课的定位是比较准确的，较好地处理了概念、技能、能力和态度的关系．渗透了归纳态度的培养，探求欲望的激发，让学生体会到，在我们的周围，到处都存在着值得探索的问题，到处都可以运用归纳的方法来提出猜想，进而展开探索的活动，这对学生理性精神的形成是很有意义的．2．用数学（家）的眼光看世界。
高中数学第2章推理与证明2.2.1综合法与分析法讲义新人教B版选修22
学习目标核心素养1．理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点．(重点、易混点)2．会用综合法、分析法解决问题．(重点、难点)通过学习证明数学问题的两种重要方法，提升学生的逻辑推理素养.高中数学第2章推理与证明2.2.1综合法与分析法讲义新人教B版选修22一、综合法1．直接证明(1)直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性．(2)常用的直接证明方法有综合法与分析法．2．综合法(1)定义：综合法是从原因推导到结果的思维方法，也就是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论．(2)符号表示：P0(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒P n(结论)．二、分析法1．定义：分析法是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法．也就是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．2．符号表示：B(结论)⇐B1⇐B2⇐…⇐B n⇐A(已知)1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法是执果索因的逆推证法．( )(2)分析法就是从结论推向已知．( )(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件的过程．分析法的推理过程实际上是寻求结论成立的充分条件的过程．( )[答案](1)×(2)×(3)√2．已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1≥8.证明过程如下：∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋b c>0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ab abc＝8， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴不等式成立． 这种证法是__________(填综合法、分析法)．[解析] 本题从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论，这种证法是综合法． [答案] 综合法3.6－22与5－7的大小关系是________． [解析] 假设6－22>5－7，由分析法可得， 要证6－22>5－7，只需证6＋7>5＋22， 即证13＋242>13＋410，即42>210. 因为42>40，所以6－22>5－7成立． [答案]6－22>5－7综合法的应用__________．(2)已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成一个首项为12的等比数列，则|m －n |＝__________.(3)下面的四个不等式：①a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )；②a (1－a )≤14；③b a ＋a b ≥2；④(a2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.其中恒成立的有__________．[解析] (1)∵cos A cos B >sin A sin B ， ∴cos A cos B －sin A sin B >0，∴cos(A ＋B )>0，即cos(π－C )>0，∴cos C <0， 又0<C <π，∴π2<C <π，所以△ABC 是钝角三角形．(2)设方程的四个根分别为x 1，x 2，x 3，x 4，则由题意可知，x 1＝12，x 1x 4＝x 2x 3＝2，∴x 4＝4.设公比为q ，则x 4＝x 1q 3，∴4＝12·q 3，∴q ＝2，∴x 2＝1，x 3＝2，由根与系数的关系可得，m ＝x 1＋x 4＝92，n ＝x 2＋x 3＝3，∴|m －n |＝32.(3)①a 2＋b 2＋3＝a 22＋32＋b 22＋32＋a 22＋b 22≥2a 22×b 22＋2a 22×32＋2b 22×32＝ab ＋3(a ＋b )(当且仅当a 2＝b 2＝3时，等号成立)．②a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14≤14.③当a 与b 异号时，不成立．④∵a 2d 2＋b 2c 2≥2abcd ，∴(ac ＋bd )2＝a 2c 2＋b 2d 2＋2abcd ≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2＝(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)，故不等式恒成立，所以①②④恒成立．[答案] (1)钝角三角形 (2)32(3)①②④1．综合法处理问题的三个步骤2．用综合法证明不等式时常用的结论(1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )；(2)a ＋b ≥2ab (a ≥0，b ≥0)．1．综合法是( ) A ．执果索因的逆推证法 B ．由因导果的顺推证法 C ．因果分别互推的两头凑法 D ．原命题的证明方法 [答案] B分析法的应用【例2】 设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )． [思路探究] 待证不等式中含有根号，用平方法去根号是关键． [解] 当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 当a ＋b >0时，用分析法证明如下： 要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤22(a ＋b )2，即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab .∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 综上所述，不等式成立．1．当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误．2．逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解．2．已知a >0，1b －1a>1，求证：1＋a >11－b.[证明] 由已知1b －1a>1及a >0可知0<b <1，要证1＋a >11－b，只需证1＋a ·1－b >1， 只需证1＋a －b －ab >1， 只需证a －b －ab >0，即a －bab>1， 即1b －1a>1，这是已知条件，所以原不等式得证．综合法与分析法的综合应用1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．2．综合法与分析法有什么区别？提示：综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．【例3】 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 为等差数列，且a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，求证：(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1．[思路探究] 先求出角B ，然后利用余弦定理转化为边之间的关系解决． [解] 法一：(分析法)要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1， 即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c＝3， 化简，得c a ＋b ＋ab ＋c＝1，即c (b ＋c )＋(a ＋b )a ＝(a ＋b )(b ＋c )， 所以只需证c 2＋a 2＝b 2＋ac .因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，即a 2＋c 2－b 2＝ac 成立．∴(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1成立．法二：(综合法)因为△ABC 的三内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°. 由余弦定理，有b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°. 所以c 2＋a 2＝ac ＋b 2， 两边加ab ＋bc ，得c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，两边同时除以(a ＋b )(b ＋c )，得ca ＋b ＋ab ＋c＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋b ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋1＝3，即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1．综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程.3．设x ≥1，y ≥1，证明：x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy .[证明] 因为x ≥1，y ≥1，所以要证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ，只需证明xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2. 将上式中的右式减左式，得 [y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1] ＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )] ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1)． 因为x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而可得不等式x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy 成立.1．下面叙述正确的是( ) A ．综合法、分析法是直接证明的方法 B ．综合法是直接证法，分析法是间接证法 C ．综合法、分析法所用语气都是肯定的 D ．综合法、分析法所用语气都是假定的 [解析] 直接证明包括综合法和分析法． [答案] A2．欲证不等式3－5＜6－8成立，只需证( ) A ．(3－5)2＜(6－8)2B ．(3－6)2＜(5－8)2C ．(3＋8)2＜(6＋5)2D ．(3－5－6)2＜(－8)2[解析] 要证3－5＜6－8成立，只需证3＋8＜6＋5成立，只需证(3＋8)2＜(6＋5)2成立．[答案] C3．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证__________________，即证__________．由于__________显然成立，因此原不等式成立． [解析] 用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤为：要证a 2＋b 22≥ab 成立，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证a 2＋b 2－2ab ≥0，即证(a －b )2≥0.由于(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立．[答案] a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥04．设a ＞0，b ＞0，c ＞0，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值为________．[解析] 因为a ＋b ＋c ＝1，且a ＞0，b ＞0，c ＞0，所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋c a≥3＋2b a ·ab＋2c b ·b c ＋2c a ·ac＝3＋6＝9. 当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．。
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2.2第一课时 综合法一、课前准备 1．课时目标（1）结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法之一：综合法； （2）了解综合法的思考过程、特点；（3）能够利用综合法证明一些相关等式或不等式。
2．基础预探（1）直接证明：直接从 逐步推得命题成立的证明方法称为直接证明。
（2）直接证明的形式为通过① ② ③ ④ 直接推出结论。
（3）综合法:一般地，利用 和某些已经学过的 等，经过一系列 的， 最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。
（4）综合法的思维特点是： ，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法（5）用P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q 表示所要证明的结论，则用综合法证明命题的逻辑关系是： 二、学习引领综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。
对于解答证明来说，综合法表现为由因导果，是寻求解题思路的基本思考方法，应用十分广泛. 三、典例导析题型一 用综合法来证明等式例1. 已知数列{}n a 中，n S 是它的前n 项和，并且142n n S a +=+（n =1，2，…），11a =。
设12n n n b a a +=-（n =1，2，…），求证：数列{}n b 是等比数列。
思路导析: 观察题设条件中数列之间的相互关系，着眼于问题的合理转化。
解：（1）∵142n n S a +=+，∴2142n n S a ++=+， 两式相减得21144n n n n S S a a +++-=-（n =1，2，…）， 即2144n n n a a a ++=-，变形得()211222n n n n a a a a +++-=-。
∵12n n n b a a +=-（n =1，2，…），∴12n n b b +=， 由此可知，数列{}n b 是公比为2的等比数列；由212142S a a a =+=+，11a =，得25a =，12123b a a =-=。
故132n n b -=⋅。
所以数列{}n b 是等比数列。
规律总结: 本题从已知条件入手，分析数列间的相互关系，合理实现了数列间的转化，从而使问题获解。
综合法是直接证明中最常用的表述方法。
变式练习1在△ABC 中,三个内角A,B,C 的对边分别为,,a b c ,且A,B,C 成等差数列, ,,a b c 成等比数列,求证△ABC 为等边三角形. 题型二 用综合法证明不等式例2.已知a 、b 、c 是不全相等的正数，且01x <<。
求证：log log log log log log 222xx x x x x a b b c a ca b c +++++<++ 思路导析: 分析思维通常采用分析法多，这是因为分析法目标明确，追求充分条件。
要证明log log log log log log 222xx x x x x a b b c a c a b c +++++<++， 只需要证明()log log 222x x a b b c a c abc +++⎡⎤⋅⋅<⎢⎥⎣⎦， 由已知01x <<，只需证明222a b b c a cabc +++⋅⋅>。
证明： 由公式知02a b +≥>，02b c +≥>，02a c+≥>，∵a 、b 、c 不全相等，上面三式相乘，222a b b c a cabc +++⋅⋅>=， 即222a b b c a cabc +++⋅⋅>成立， ∴log log log log log log 222xx x x x x a b b c a ca b c +++++<++成立。
规律总结: 应用综合法可以使证明过程表述于简短的形式，所以非常适宜于叙述证明。
但用综合法论证命题时，必须首先想到从哪里开始起步，而这一点正是我们所感到困难的。
变式练习2 已知,,+∈R b a 求证.abbab a b a ≥题型三 用综合法证明几何问题例3如图所示，正四棱锥ABCD P -棱长均为13，M ，N 分别是PA ，BD 上的点，且85：：：==ND BN MA PM ．（1）求证：直线//MN 平面PBC ；（2）求直线MN 与底面ABCD 所成角的正弦．思路导析: （1）要证明//MN 平面PBC ，根据线面平行的判定定理，需证明MN 与平面PBC 内某一条直线平行．为此连AN 并延长交BC 于E ，连PE ．需证明PE MN //即可．（2）若能证明PE MN //，则PEO ∠即为直线MN 与底面所成的角．证明：（1）连AN 并延长交BC 于E ，再连PE ．∵AD BE //，∴ND BN AN EN ：：=， 又MA PM ND BN ：：=，∴MA PM AN EN ：：=，∴MN PE //，又⊂PE 平面PBC ，⊄MN 平面PBC ，∴//MN 平面PBC ． （2）设O 为底面中心，连PO ，EO ，则⊥PO 平面ABCD ．又PE MN //，则PEO ∠为直线MN 与平面ABC 所成的角．由85：：：==ND BN AD BE 及13=AD ，得865=BE ，在△PBE 中，60=∠PBE ，13=PB ，865=BE ，由余弦定理，得891=PE ．在Rt △POE 中，2213=PO ，891=PE ，则724sin ==∠PE PO PEP ． 规律总结:在立体几何证明中，若要证明线面平行，则可转化为证明线线平行，证明线线平行，多利用三角形的中位线，补形，相似比来证明。
在这种证明中，充分利用综合法，确实是一种分析问题、解决问题的有效方法。
变式练习3如图，在三棱锥ABC P -中，⊥PA 底面ABC ，BC AC =，D 、G 分别是PA 和AB 的中点，E 为PB 上一点，且PB BE 31=，21：：=AB AP ．求证：⊥EG 平面CDG。
四、随堂练习 一、选择题1．已知正六边形ABCDEF ，在下列表达式①++；②+2；③+；④-2中，与等价的有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．函数]2,0[)44sin(3)(ππ在+=x x f 内（ ） A ．只有最大值 B ．只有最小值C ．只有最大值或只有最小值D ．既有最大值又有最小值3．已知b a ,是不相等的正数，b a y b a x +=+=,2，则y x ,的大小关系是_________。
4. 已知a>0,b>0,求证a(b 2+c 2)+b(c 2+a 2)≥4abc 五、课后作业1．如果821,,a a a ⋅⋅⋅为各项都大于零的等差数列，公差0≠d ，则（ ） A ．5481a a a a > B ．5481a a a a <C ．5481a a a a +>+D ．5481a a a a =2． 若234342423log [log (log )]log [log (log )]log [log (log )]0x x x ===，则x y z ++=（ ）A ．123B ．105C ．89D ．58 3．函数xy 1=在点4=x 处的导数是 ( )A ．81 B ．81- C ．161 D ．161- 4．若正整数m 满足m m 102105121<<-，则)3010.02.(lg ______________≈=m5. 设)(),0)(2sin()(x f x x f <<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是8π=x .（1）求ϕ的值；（2）求)(x f y =的增区间；（3）证明直线025=+-c y x 与函数)(x f y =的图象不相切。
第一课时综合法答案解析一、基础预探（1）答案：题目条件（2）答案：本题条件；已知定义；已知公理；已知定理 （3）答案：已知条件；定义、定理、公理；推理、论证 （4）答案：由因导果（5）答案：()()()11223().....n P Q Q Q Q Q Q Q ⇒→⇒→⇒→→⇒ 三．典例导析变式训练1. 证明：由 A, B, C 成等差数列，有 2B=A + C ． ① 因为A,B,C 为△ABC 的内角，所以A + B + C=π．②由①②得B=3π③.由a, b ，c 成等比数列有2b ac =.由余弦定理及③，可得222222cos b a c ac B a c ac =+-=+-④. 再由④得22a c ac ac +-=.2()0a c -=, 因此a c =.从而A=C ⑤.由②③⑤得:A=B=C=3π.所以△ABC 为等边三角形．2. 证明：法1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于b a ,对称，不妨设.0>≥b a0)(0≥-=-∴≥---b a b a b b a b b a b a b a b a b a b a ，从而原不等式得证。
法2）商值比较法：设,0>≥b a,0,1≥-≥b a b a .1)(≥=∴-b a a b b a b aba b a 故原不等式得证。
3. 证明：∵⊥PA 平面ABC ，且⊂PA 平面PAB ∴平面⊥PAB 平面ABC ，且相交于AB在△ABC 中，∵BC AC =，CG 是AB 边上的中线 ∴AB CG ⊥．∴⊥CG 平面PAB ∵⊂EG 平面PAB ，∴CG EG ⊥利用两个平面垂直的性质定理可以证明⊥CG 平面PAB 在Rt △PAB 和△GEB 中设x PA =，则x AB 2=，x PB 3=，x BE 33=，x BG 22= ∵61322==x x PB BG ，61233==x x AB BE ∵PBA GBE ∠=∠，∴△PAB ～△GEB∵90=∠PAB ，∴90=∠GEB ∴PB EG ⊥．∵PB DG //利用相似三角形的性质，得到90=∠GEB ∴DG EG ⊥∵G CG DG = ，∴⊥EG 平面CDG ． 四、随堂练习 1．D解析：①BC CD EC BD EC AE EC AC++=+=+= ；②2B C D C A D D C A C+=+=③FE ED FD AC +== ；④2ED FA FC FA AC -=-=，都是对的2．D 提示：利用三角函数的性质可得。
3．x y <提示：2222()2a b y a b x +==+=>=4. 证明：因为b 2+c 2≥2bc,a>0所以a(b 2+c 2)≥2abc.又因为c 2+b 2≥2bc,b>0所以b(c 2+a 2)≥ 2abc.因此a(b 2+c 2)+b(c 2+a 2)≥4abc.五、课后作业1. B 提示：由1845a a a a +=+知道C 不对，举例1845,1,8,4,5n a n a a a a ===== 2．C 提示：3234344log [log (log )]0,log (log )1,log 3,464x x x x =====4342422log [log (log )]0,log (log )1,log 4,216x x x x ===== 423233log [log (log )]0,log (log )1,log 2,9x x x x ====89x y z ++=3．D 提示：13''22(4)111,216244y x y x y --===-==-=-⨯164'-==x y 4．155 提示：*512lg2512lg21,154.112155.112,,155m m m N m <<+<<∈= 5. 解：（1）由对称轴是8π=x ，得si n ()1,,4424k k ππππϕϕπϕπ+=±+=+=+)(Z k ∈，而0πϕ-<<，所以34ϕπ=-（2）33()sin(2),2224242f x x k x k ππππππ=--≤-≤+ 588k x k ππππ+≤≤+，增区间为5[,],()88k k k Z ππππ++∈ （3）'33()sin(2),()2cos(2)244f x x f x x ππ=-=-≤，即曲线的切线的斜率不大于2，而直线025=+-c y x 的斜率522>，即直线025=+-c y x 不是函数)(x f y =的切线。