2020年高中数学统计概率高考考点复习与解析教师版

高中数学统计概率高考考点复习与解析1．高考要求2．立体几何知识体系结构导图考试内容要求层次ABC概率事件与概率随机事件的概率√随机事件的运算√两个互斥事件的概率加法公式√古典概型古典概型√几何概型几何概型√概率取有限值的离散型随机变量及其分布列√超几何分布√条件概率√事件的独立性√n 次独立重复试验与二项分布√取有限值的离散型随机变量的均值、方差√正态分布√3.1概率统计知识点详解概率第一节：随机事件的概率：1、随机事件的概念：（1）随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。

（2）必然事件：在一定条件下必然要发生的事件。

（3）在一定条件下不可能发生的事件。

2、概率的定义：在大量进行重复试验时，事件A 发生的频率nm总是接近于某个常数，在它附近摆动。

这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作P （A ），m,n 的意义：事件A 在n 次试验中发生了m 次。

因0≤m ≤n,所以，0≤P （A ）≤1。

必然事件的概率为1，不可能发生的事件的概率0。

3、等可能事件的概率：（1）基本事件：一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。

（2）每一个基本事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，即此试验由n 个基本事件组成，而且所有出现的结果可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是n1。

（3）等可能性事件是指每个基本事件出现的可能性都相等，若某一试验由n 个基本事件组成如果某个事件A 包含的结果有m 个，那么事件A 的概率为P （A ）＝nm .第二节：互斥事件有一个发生的概率：1、互斥事件的基本概念：事件A 和事件B 不可能同时发生，这种不可能同时发生的两个事件叫做互斥事随机变量离散型随机变量离散型随机变量的数字特征正态分布数学期望方差二项分布超几何分布条件概率事件的独立性正态分布曲线3σ原则二点分布件。

如果A 1，A 2…A n 中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A 1，A 2…A n 彼此互斥。

两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件。

事件A 的对立事件记做A 。

注意：两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件。

2、事件A ＋B 的意义及其计算公式：（1）事件A ＋B ：如果事件A ，B 中有一个发生发生。

（2）如果事件A ，B 互斥时，P （A ＋B ）＝P （A ）＋P （B ），如果事件A 1，A 2…A n 彼此互斥时，那么P （A 1＋A 2＋…＋A n ）＝P （A 1）＋P （A 2）＋…＋P （A n ）。

对立事件：P （A 1＋A ）＝P （A ）＋P （A ）＝1第三节：相互独立事件同时发生的概率：1、相互独立事件：如果事件A （或B ）是否发生对事件B （A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件。

若A ，B 是两个相互独立事件，则A 与B ，B 与A ，A 与B 都是相互独立事件。

2、相互独立事件同时发生的概率：两个相互独立事件同时发生，记做A ∙B ，P （A ∙B ）＝P （A ）∙P （B ）。

若A 1，A 2…A n 相互独立，则n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P （A 1∙A 2∙…A n ）＝P （A 1）∙P （A 2）∙…P （A n ）3、独立重复试验：在同样的条件下，重复各次之间相互独立地进行的一种试验。

如果在1次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好k 次的概率记为P n （k ）=kn k k n p p C --)1(统计与分布第一节：离散型随机变量的人分布列：1、如果在随机试验中，试验结果能用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，常用字母ηξ,等来表示随机变量。

2、如果随机变量可能取的值是可数的，或者说可以按一定次序一一列出的，那么，这样的随机变量叫做离散型随机变量。

如果随机变量可以取某一区间内的一切值，那么这样的随机就是叫做连续型随机变量。

3、如果离散型随机变量ξ可能取的值为x 1,x 2,x 3…x n ,…,而ξ取每一个值x i (i=1,2,3,…)的概率P （ξ＝x i ）=p i ,那么如下表所示ξx 1x 2x 3…x n …pp 1p 2p 3…p n…就称为随机变量ξ的分布列。

4、任一随机变量的分布列都具有下列性质：（1）0≤p i ≤1，(i=1,2,3,…)，（2）p 1＋p 2＋p 3＋…p n ＋…＝1（3）离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。

5、如果在1次试验中某事件发生的概率是p ，那么在n 次独立重复的试验中这个事件发生k 次的概率是：()()1n kk kn P k C p p ξ-==-，k=0,1,2,…n.这时因为()()nP k p q ξ=+是展开式中的第k+1项，称ξ服从二项分布，记作(),B n p ξ ，并记(),,kkn kn C p q b k n p -=n ＝1时，称为贝努利分布。

6、在独立重复的试验中，某事件第一次发生时所作试验的次数ξ也是一个取值为正整数的离散型随机变量，“ξ＝k ”表示在第k 次独立重复的试验时事件第一次发生。

如果把第k 次试验时事件A 发生记为k A ,事件A 不发生记为k A ，()(),k k P A p P A q ==，那么ξ服从几何分布。

记()()()()()()()1121121,k k k k k g k p P k P A A A A P A P A P A P A q pξ---===== 其中q=1-p,k=1,2,3,…第二节：离散型随机变量的期望与方差：1、称1122n n E x p x p x p ξ=++++ 为ξ的数学期望或平均数，均值，数学期望又简称为期望，它反映了随机变量取值的平均水平。

2、称()()()2221122n D x E p x E p x E ξξξξ=-∙+-∙++-+ 为ξ的均方差，简称为方差，D ξ叫做随机变量ξ的标准差，记作：σξ。

3、易证：（1）()2D E E ξξξ=-，()22E E E ξξξ=-。

（2）若()()()()2,,1,2,3,,,i i a b P ax b P x i E a b aE b D a b a D ηξηξξξξξ=+=+===∴+=++=（3）若()(),,,,1B n p E np D npq q p ξξξ===- 那么（4）若ξ服从几何分布，则21,qE D p pξξ==第三节：抽样方法：如何通过对样本的分析、整理及计算，通过样本的有关情况来推断，分析总体的有关情况，是概率统计的基本方法和主要任务。

因此从总体中抽取样本是使得统计结果客观、准确的关键步骤。

常用的抽样方法有下列三种：1、简单随机抽样：设一个总体中的个体数为N ，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，则称这样的抽样方法为简单随机抽样。

注意：（1）从个体数为N 的总体中任意抽取一个个体时，每个个体被抽到的概率都是1/N ，（2）从个体数为N 中总体中随机抽取一个容量为n 的样本时，每个个体被抽到的概率都是n/N 。

因此简单随机抽样又叫等概率抽样。

常用的简单随机抽样方法有:（1）抽签法：即将总体中所有个体进行统一编号，并将号码写在形状、大小相同的号签上，再将这些号签放在同一个盒子里，每次从中抽取一个号码，连续抽取n 次，便得到的一个容量为n 的样本。

（2）随机数表法:事先制作一张表，使表中共出现0,1，2，…,9这十个数字，并且表中每个位置上的数字是等概率出现的。

2、系统抽样：当整体中个体数较多时，将整体均分为几个部分，然后按一定的规则，从每一个部分抽取1个个体而得到所需要的样本的方法叫系统抽样。

步骤如下：（1）采用随机方式将总体中的个体编号，（2）将整个编号进行均匀分段在确定相邻间隔k后，若不能均匀分段，即n/N=k不是整数时，可采用随机方法从总体中剔除一些个体，使总体中剩余的个体数NN kn''=满足是整数。

（3）在第一段中采用简单随机抽样方法确定第一个被抽得的个体编号l,（4）依次将l加上ik,i=1,2,…，（n-1），得到其余被抽取的个体的编号，从而得到整个样本。

3、分层抽样：当总体是由差异明显的几个部分组成时，为了更加切实了解总体状况而将总体按照各种差异分成几个部分，然后按照各部分所占比例进行随机抽样的方法叫分层抽样。

4.1概率统计典型例题1.离散型随机变量随机变量就是“其值随机会而定”的变量，正如随机事件是“其发生与否随机会而定”的时间一样。

机会表现为实验结果，一个随机试验有许多可能的结果，到底出现哪一个要看机会，即有一定的概率。

最简单的例子没入掷骰子，掷出的点数X是一个随机变量，它可以取1,2，------，6等6个值。

到底取哪一个值，要等掷了骰子以后才知道。

随机变量一般用大写字母X、Y、Z，或用小写希腊字母、、ξηζ表示。

解题步骤：认清所研究的随机现象是什么？明确一次试验的含义是什么？一次试验的结果有哪些？即随机变量的取值是什么？如何计算每一个随机变量对应的概率．学生在这一部分错误主要集中在两个方面：找不准随机变量（不重不漏），计算不正确相应的概率．注意：有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但还是可以用数量来表达，如在掷硬币的试验中，我们可以定义：“X=0，表示正面向上，X=1，表示反面向上”补充例题例1．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；解：(1)ξ可取3，4，5ξ=3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；ξ=4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；ξ=5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3或3，4，5(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η.解：（2）η可取0，1，…,n，…η=i，表示被呼叫i次，其中i=0,1,2,…例2．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ> 4”表示的试验结果是什么？解：因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种结果之一，由已知得－5≤ξ≤5，也就是说“ξ>4”就是“ξ=5”所以，“ξ>4”表示第一枚为6点，第二枚为1点2.离散型随机变量的分布列首先应该使学生认识到在这一部分教学中研究概率分布的方法是：从具体的概率分布入手，借助具体的离散型随机变量的概率分布体会随机变量及其分布的意义。

在研究随机变量的分布时，人们也是讨论一些最常见最重要的分布。