16第十六讲(叠加法计算梁的位移)
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第六章梁的位移及简单超静定梁-16页word资料
第六章 梁的位移及简单超静定梁内容提要一、平面弯曲时梁的变形与位移Ⅰ、梁的变形1. 挠曲线 平面弯曲时，梁的轴线弯曲成位于形心主惯性平面内的一条光滑连续的平面曲线，称为挠曲线，如图6-1中的11AC B 。
2. 弯曲变形 以挠曲线(中性层)的曲率表示梁弯曲变形程度，曲率与弯矩间的关系为()()1zM x x EI ρ=-(6—1) 式中，()M x 为弯矩，z EI 为梁的弯曲刚度，(6-1)式右端的负号，是因为在图(6-1)所示坐标系中，y 向下为正，挠曲向上凸时曲率正，于是正弯矩产生负曲率，负弯矩产生正曲率。
(6-1)是在小变形，线弹性的条件下导出的，纯弯曲时，弯矩为常量，曲率为常量，挠曲线为一段圆弧线。
横力弯曲时，不计剪力对变形的影响，曲率和弯矩均为x 的函数，曲率与弯矩成正比。
Ⅱ、梁的位移1. 挠度 横截面在垂直于原轴线方向的位移，称为挠度，用w 表示。
表示挠度随横截面位置x 变化规律的方程为挠度(或挠曲线)方程 在图6-1所示坐标系中，w 向下为正，向上为负。
2. 转角 横截面相对于其原方位的角位移，称为转角，用θ表示。
在一般细长梁中，不计剪力对变形的影响，变形后的横截面仍保持为平面，且垂直于梁的挠曲线，于是转角θ也为x 轴与挠曲线在该点的切线之间的夹角。
(图6-1)，在图6-1所坐标系中，θ以顺时针转向为正，反之为负。
在小变形的情况下，转角θ等于挠曲线在该点处的斜率，即 Ⅲ、变形与位移变形与位移是两个不同的概念，但它们又互相联系。
梁的变形(曲率)仅取决于弯矩和梁的弯曲刚度的大小，位移不仅取决于弯矩和梁的弯曲刚度，还与梁的约束条件有关。
二、挠曲线的近似微分方程及其积分Ⅰ、挠曲线的近似微分方程平面曲线在直角坐标系中曲率公式为在小变形时，()211w x '+≈，于是将此式代入(6-1)式，得到线弹性范围内，小变形情况挠曲线的近似微分方程为()()M x w x EI''=-()()EIw x M x ''=-或 (6—2) Ⅱ、通过积分求梁的位移等直梁弯矩不需分段列出时，将(6-2)式积分一次得 再积分一次得式中，1C 和2C 为积分常数，由梁的位移边界条件确定。
10.29梁的位移.叠加法
M x dx L 2 EI Z
2
轴向拉压
平面弯曲
扭 转
刚度条件
刚度条件
max L L
刚度条件
max
变形刚度条件
max
max
变形刚度条件
位移刚度条件 应变能
应变能
2 FN L V 2 EA
应变能
M 2 ( x)dx V L 2 EI Z
（2）在所求位移点加一单位力，画单位力作用下的
弯矩图，写出单位力作用下的弯矩表达式
（3）将M、MF代入求位移公式
M (x)M F (x) K L dx EI
如何施加单位荷载（求线位移、相对线位移） 求哪个方向的位移就在要求位移的方向上施加相应 的单位力。
例题9 试求图示刚架A点的竖向位移AV。各杆材料 相同，截面抗弯模量为EI。
y
ql q 2 EI " x x 2 2
ql q 2 M ( x) x x 2 2 代入微分方程并积分得
qx3 1 2 EI ( x) qlx C 6 4 4 qx 1 3 EI ( x) qlx Cx D 24 12
代入边界条件：ω(0)=0, ω(l)=0 所以
梁挠曲线近似微分方程
A
C
B
x
y
C
d tan dx 在小变形情况下，任一截面的转角等于 挠曲线在该截面处的切线斜率。
B
通过积分求弯曲位移的特征：
1、适用于细长梁在线弹性范围内、小变形情况下的对称弯曲。
2、积分应遍及全梁。在梁的弯矩方程或弯曲刚度不连续处，其挠 曲线的近似微分方程应分段列出，并相应地分段积分。
04-8.3 叠加法求梁的位移
BC段弹性曲引起 wCF (↓)
结果:
wC
wCF
B
a
2qa4 3EI
注意：引起 θB的有两项 —— q 和qa2，他们的转向不同，叠加时注意正负号
梁的刚度校核
梁的设计：——利用强度条件设计，利用刚度条件校核
刚度条件：
wmax l
w l
max
w 精密机床主轴 l 吊车梁
土建
1 5000
三、方法
1.分解——每种情况都是简单模型 2.分别计算——查表 3.叠加
简单模型 ——悬臂梁
Me
l
A
A
Mel EI
wA
Mel 2 2EI
F
l
A
A
Fl 2 2EI
wA
Fl 3 3EI
q
A
A
ql 3 6EI
ql 4
wA
8EI
l
简单模型 —— 简支梁
F
A
l
C
l
B
A
Fl 2 16EI
wBF
F( l2)3 3EI
Fl 3 24EI
B
F ( l 2)2 2EI
Fll 2
wCM 2EI
结果：
wC
w BF
B
l 2 wCMe
19Fl 3 48EI
例题 3
q A
2a
已知：EI=常数，求wC
qa
q
B
CA
a
2a
qa
θB B qa2
a
qa
B
C
wCF
a
分析：AB段B截面转角引起 θB a （↑）
B
wCF
2. 分别计算
10.3 叠加法计算梁变形
10.3 按叠加原理计算梁的挠度及转角
叠加原理
叠加原理： 在材料服从胡 克定律和小变形的条件下， 当所求参数与荷载成线性 关系时，几项荷载共同作 用的某一参数等于每项荷 载单独作用时引起的该参 数值的叠加。
q qa
AA C
BB
a
a
qa
A
B
C
a
a
q
A
B
a
a
简单荷载下梁的挠度和转角
Me B
l
F B l
A 16EI
q
A
B
C wCq
a
a
5q 2a 4
wCq 384EI
q 2a3
A 24EI
叠加后
wC
=
wCF+
wCq
3qa 4 8EI
A
AF
Aq
7qa3 12EI
叠加法计算梁变形——例题 有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店 铺）
[例题2] 已知：q ， L ， EI =C。求：θB ， wB 。
qa C
a
叠加法计算梁变形——例题
q
qa
A
θB
B
qa2
2a
a
qa2
B
qa
qa a
C wC1
q A
B1
（q 2a)3 24EI
wC
wC1
B
a
qa a3 3EI
B
a
B qa2
B
B1
B2
q(2a)3 24EI
2qa 3 3EI
qa 3 3EI
A
B
B2
qa2 2 a 3EI
wC
叠加原理
叠加原理： 在材料服从胡 克定律和小变形的条件下， 当所求参数与荷载成线性 关系时，几项荷载共同作 用的某一参数等于每项荷 载单独作用时引起的该参 数值的叠加。
q qa
AA C
BB
a
a
qa
A
B
C
a
a
q
A
B
a
a
简单荷载下梁的挠度和转角
Me B
l
F B l
A 16EI
q
A
B
C wCq
a
a
5q 2a 4
wCq 384EI
q 2a3
A 24EI
叠加后
wC
=
wCF+
wCq
3qa 4 8EI
A
AF
Aq
7qa3 12EI
叠加法计算梁变形——例题 有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店 铺）
[例题2] 已知：q ， L ， EI =C。求：θB ， wB 。
qa C
a
叠加法计算梁变形——例题
q
qa
A
θB
B
qa2
2a
a
qa2
B
qa
qa a
C wC1
q A
B1
（q 2a)3 24EI
wC
wC1
B
a
qa a3 3EI
B
a
B qa2
B
B1
B2
q(2a)3 24EI
2qa 3 3EI
qa 3 3EI
A
B
B2
qa2 2 a 3EI
wC
材料力学梁的弯曲变形第3节 用叠加法求梁的变形
挠曲轴线 近似微分方程
y M (x) EI
• 叠加原理：当梁为小变形时，梁的挠度和转角均是 载荷的线性函数，可以使用叠加法计算梁的转角和 挠度，即梁在几个载荷同时作用下产生的挠度和转 角等于各个载荷单独作用下梁的挠度和转角的叠加 和，这就是计算梁弯曲变形的叠加原理。
• 叠加原理的步骤： ①分解载荷；②分别计算各载荷 单独作用时梁的变形；③叠加得最后结果。
a
x
5ql 4 384 EI
例6-5 悬臂梁AB上作用有均布载荷q，自由端作 用有集中力F = ql，梁的跨度为l，抗弯刚度为EI，如 图所示。试求截面B的挠度和转角。
解：（1）分解载荷
梁上载荷可分解成均布载 荷 q 与集中力 F 的叠加。
（2）查表得这两钟情况下
截面 B 的挠度和转角
yBq
ql3 2EI
2ql
3
（顺时针）
3EI
例6-6 如图所示，外伸梁在外伸段作用有均布 载荷q，梁的抗弯刚度为EI。求C截面的挠度。
解： 1）简化、分解载荷
2）分别计算 B 截面挠度：
悬臂梁因 B 截面产生转角引
起的挠度 yC1和悬臂梁在均布 载荷作用下产生的挠度 yC2
0.5qa2
qa
+
B
yA3
ql4 8EI
7ql 4 384EI
5Fl3 48EI
41ql4 5Fl3 384EI 48EI
代入数值得：
yA 3.89 103 m 3.89mm（）
ql 4 8EI
+
Bq
ql3 6EI
y M (x) EI
• 叠加原理：当梁为小变形时，梁的挠度和转角均是 载荷的线性函数，可以使用叠加法计算梁的转角和 挠度，即梁在几个载荷同时作用下产生的挠度和转 角等于各个载荷单独作用下梁的挠度和转角的叠加 和，这就是计算梁弯曲变形的叠加原理。
• 叠加原理的步骤： ①分解载荷；②分别计算各载荷 单独作用时梁的变形；③叠加得最后结果。
a
x
5ql 4 384 EI
例6-5 悬臂梁AB上作用有均布载荷q，自由端作 用有集中力F = ql，梁的跨度为l，抗弯刚度为EI，如 图所示。试求截面B的挠度和转角。
解：（1）分解载荷
梁上载荷可分解成均布载 荷 q 与集中力 F 的叠加。
（2）查表得这两钟情况下
截面 B 的挠度和转角
yBq
ql3 2EI
2ql
3
（顺时针）
3EI
例6-6 如图所示，外伸梁在外伸段作用有均布 载荷q，梁的抗弯刚度为EI。求C截面的挠度。
解： 1）简化、分解载荷
2）分别计算 B 截面挠度：
悬臂梁因 B 截面产生转角引
起的挠度 yC1和悬臂梁在均布 载荷作用下产生的挠度 yC2
0.5qa2
qa
+
B
yA3
ql4 8EI
7ql 4 384EI
5Fl3 48EI
41ql4 5Fl3 384EI 48EI
代入数值得：
yA 3.89 103 m 3.89mm（）
ql 4 8EI
+
Bq
ql3 6EI
材料力学 梁位移
1.梁在荷载作用下产生的变形是微小的； 2.材料在线弹性范围内工作，梁的位移与荷载呈
线性关系；
3.梁上每个荷载引起的位移，不受其他荷载的影响。
简单载荷下梁的挠度和转角见附录IV，必须记住！
例5-5 试用叠加原理求图示弯曲刚度为EIz的简支梁的跨中截面挠 度ωc和梁端截面的转角θA,θB.
F A
wC 2 0
q 2l 2 A2 B 2
24EI
3
ql 384EI
3
wC wC1 wC 2
5ql 5ql 0 768EI 768EI
4
4
（向下）
A A1 A2
ql3 ql3 3ql3 （顺时针） 48EI 384EI 128EI
应选22a工字钢，Wz=309cm3, Iz=3400cm4
(2)校核刚度
wmax Fl 3 40 103 45003 l 11.2mm [ w] 11.25mm 3 4 48EI 48 200 10 3400 10 400
选择22a工字钢。
2、提高刚度措施
T 2L V 2GI P
作业：5-11，5-15(a)
练习题1 用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁B 截面的挠度和转角。
q0 q(x) A B x
dx l
x
y
q(x)dx
(a)
A x l
B
x
dwB
解：在任意截面x处取微段dx，则作用在微段上的微 集中荷载为：
q0 x q ( x )d x dx l
w 其中， 与 l
max
为许可值，可查设计手册。
例5-9 图示简支梁，F=40kN, l=4.5m, [σ]=150MPa, [w/l]=1/400, E=200GPa, 选择工字钢型号。 A F l
线性关系；
3.梁上每个荷载引起的位移，不受其他荷载的影响。
简单载荷下梁的挠度和转角见附录IV，必须记住！
例5-5 试用叠加原理求图示弯曲刚度为EIz的简支梁的跨中截面挠 度ωc和梁端截面的转角θA,θB.
F A
wC 2 0
q 2l 2 A2 B 2
24EI
3
ql 384EI
3
wC wC1 wC 2
5ql 5ql 0 768EI 768EI
4
4
（向下）
A A1 A2
ql3 ql3 3ql3 （顺时针） 48EI 384EI 128EI
应选22a工字钢，Wz=309cm3, Iz=3400cm4
(2)校核刚度
wmax Fl 3 40 103 45003 l 11.2mm [ w] 11.25mm 3 4 48EI 48 200 10 3400 10 400
选择22a工字钢。
2、提高刚度措施
T 2L V 2GI P
作业：5-11，5-15(a)
练习题1 用叠加原理求图示弯曲刚度为EI的悬臂梁B 截面的挠度和转角。
q0 q(x) A B x
dx l
x
y
q(x)dx
(a)
A x l
B
x
dwB
解：在任意截面x处取微段dx，则作用在微段上的微 集中荷载为：
q0 x q ( x )d x dx l
w 其中， 与 l
max
为许可值，可查设计手册。
例5-9 图示简支梁，F=40kN, l=4.5m, [σ]=150MPa, [w/l]=1/400, E=200GPa, 选择工字钢型号。 A F l
02-6-4 叠加法求梁的变形 课件在线观看
q
A
B
C
l
a
q
B
C
a
wC1
qa4 8EI
(
)
C1
qa3 6EI
(
)
10
叠加法求梁的变形
刚化BC,可视AB为简支梁
A
qa/2 B
qa2/2
C
B=-
qa2l 6EI(
)
l
a
qa2/2
C2
=-
qa2l 6EI
(
)
A
B
C
wC2
Ba
qa3l 6EI
(
)
l
a
11
叠加法求梁的变形
A
q
C1
qa3 6EI
(
)
叠加法求梁的变形
1
叠加法求梁的变形
一、叠加原理
梁的变形微小,且梁在线弹性范围内工作时， 梁在几项荷载(可以是集中力，集中力偶或分布力) 同时作用下的挠度和转角，就分别等于每一荷载 单独作用下该截面的挠度和转角的叠加。 当每一 项荷载所引起的挠度为同一方向(如均沿y 轴方向)， 其转角是在同一平面内(如均在xy平面内)时，则 叠加就是代数和， 这就是叠加原理。
Bm
B
l
5
叠加法求梁的变形
ql3 θAq= 24EI ( ) A
θBq=
ql 3 24EI
()
wCq
=
5ql4 384EI
(
)
q
w C Aq
Cq
l
Bq
B
6
叠加法求梁的变形
wCM
=
Ml2 16EI
(
)
M
θAM=
Ml 3EI
A
B
C
l
a
q
B
C
a
wC1
qa4 8EI
(
)
C1
qa3 6EI
(
)
10
叠加法求梁的变形
刚化BC,可视AB为简支梁
A
qa/2 B
qa2/2
C
B=-
qa2l 6EI(
)
l
a
qa2/2
C2
=-
qa2l 6EI
(
)
A
B
C
wC2
Ba
qa3l 6EI
(
)
l
a
11
叠加法求梁的变形
A
q
C1
qa3 6EI
(
)
叠加法求梁的变形
1
叠加法求梁的变形
一、叠加原理
梁的变形微小,且梁在线弹性范围内工作时， 梁在几项荷载(可以是集中力，集中力偶或分布力) 同时作用下的挠度和转角，就分别等于每一荷载 单独作用下该截面的挠度和转角的叠加。 当每一 项荷载所引起的挠度为同一方向(如均沿y 轴方向)， 其转角是在同一平面内(如均在xy平面内)时，则 叠加就是代数和， 这就是叠加原理。
Bm
B
l
5
叠加法求梁的变形
ql3 θAq= 24EI ( ) A
θBq=
ql 3 24EI
()
wCq
=
5ql4 384EI
(
)
q
w C Aq
Cq
l
Bq
B
6
叠加法求梁的变形
wCM
=
Ml2 16EI
(
)
M
θAM=
Ml 3EI
积分法是求解梁变形的基本方法
C
BC刚化C
l
C
F
F
F
a
B
A
B
wA A1
B Fa w3
A
B
1. AB弯曲(BC刚化） Fa 3
w A1 3EI () 2. BC扭转(AB刚化)
wA2
B
a
Fal GI p
a
Fa 2l GI p
3. BC弯曲(AB刚化)
Fl 3
wA3 wB 3EI
wA wA1 wA2 wA3 Fa2l Fl 3 Fa3
Page5
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
例2：E常数, I 2 2I1 ,求 wC ， C
I2
I1
A B
刚化AB段：
A B
P
C
仅考虑BC段变形：
P C
C1
Pa 2 2EI1
Pa3 wC1 3EI1
BC段刚化：
M Pa
B
C
A
B
FP
仅考虑AB段变形：
C2 B B,F B,M
材料物质点应力状况·应力微体 材态
通过构件内一点，所作各微截面的 应力状况，称为该点处的应力状态
三、怎么研究应力状态
x
研究构件内的一点的应力状态时， z
通常是围绕该点取出一个微小立方体（简 称微体）作为研究对象
y
y y
d
x
x
d
y
x
d
x
z
y
Page18
BUAA
BUAA
MECHANICS OF MATERIALS
上讲回顾
挠曲轴的近似微分方程
d 2w M(x) dx2 = EI
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三峡大学 工程力学系
材料力学教案
第十六讲：弯曲位移的叠加法
图c中所示简支梁BC的受力情况以及支座约束情况与原 外伸梁BC段完全相同，因此再注意到简支梁B支座左侧的外
力2qa将直接传递给支座B而不会引起弯曲后，便可知道按
图d和图e所示情况由本教材附录Ⅳ中的资料求qBq， q BM 和 wDq，wDM 并叠加后得到的就是原外伸梁的q B和wD。
材料力学教案
第十六讲：弯曲位移的叠加法
例题 试按叠加原理求图a所示等直梁的跨中截面挠度 wC
和两支座截面的转角qA 及 qB。
(a)
解：此梁 wC 及qA，qB 实际上可不按叠加原理而直接 利用本教材附录Ⅳ表中序号13情况下的公式得出。这里是
作为灵活运用叠加原理的例子，假设这个公式怎么求解。
三峡大学 工程力学系
变化（简支、悬臂），只进行荷载变化，再
叠加；二是把外伸梁化为简支+悬臂，再叠加。 三峡大学 工程力学系
本讲小结
三峡大学 工程力学系
材料力学教案
第十六讲：弯曲位移的叠加法
图b所示悬臂梁AB的受力情况与原外伸梁AB段相同，
但要注意原外伸梁的B支座截面是可以转动的，其转角就是 上面求得的qB，由此引起的A端挠度w1=|qB|· a应叠加到图b 所示悬臂梁的A端挠度w2上去才是原外伸梁的A端挠度wA：
wA w1 w2 1 qa3 2q a 4 3 EI a 8 EI 7 qa4 12 EI
材料力学教案 上一讲我们学到
第十六讲：弯曲位移的叠加法
梁的弯曲变形可以用挠度和转角来描述；由于每个 点处的变形不同，因此可以通过积分法求出挠度和转角
方程，来描述整个梁的位移情况，从而可以进一步分析
哪里最大，最大的当然最危险。 积分法的优点在于计算流程化，缺点是计算量大； 有时我们可以通过经验判断出哪个点变形最大，因此可 只求该点的变形。这就是我们本节要讲的叠加法。
q / 2l 3 q A1
24EI 24EI
ql3 48EI ql3 48EI
q / 2l 3 q B1
三峡大学 工程力学系
材料力学教案
第十六讲：弯曲位移的叠加法
在集度为q/2的反对称均布荷 载作用下，由于挠曲线也是与跨
C
中截面反对称的，故有
wC 2 0
三峡大学 工程力学系
材料力学教案
第十六讲：弯曲位移的叠加法
叠加原理
当梁的变形微小，且梁的材料在线弹性范围内工作时，梁 的挠度和转角均与梁上的荷载成线性关系。（可验证）
在此情况下，当梁上有若干荷载或若干种荷载作用时，梁
的某个截面处的挠度和转角就等于每个荷载或每种荷载单 独作用下该截面的挠度和转角的代数和。 利用附录IV中，1、2、4、6、7、8、10简单结构和荷载时的 挠度和转角，计算复杂结构和荷载作用下的挠度和转角。 三峡大学 工程力学系
注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，而且该 截面上的弯矩亦为零，但转角不等于零，因此可将左半跨
梁 AC 和右半跨梁 CB分别视为受集度为 q/2 的均布荷载作
用而跨长为 l/2 的简支梁。于是利用附录Ⅳ表中序号8情况 下的公式有
3 q / 2l / 2 q A2 q B 2
三峡大学 工程力学系
材料力学教案
第十六讲：弯曲位移的叠加法
对于外伸梁，就需要先从结构上把它转化为悬臂梁和 简支梁，然后再分别利用附录IV的结论，按照前述的
方法计算挠度和转角。
三峡大学 工程力学系
材料力学教案
第十六讲：弯曲位移的叠加法 第十六讲小结
（1）叠加法计算挠度和变形。
（ 2 ） 叠加法着重关注重点部位 的变形，计算量比积分法小。 （3）叠加法分两种题十六讲：弯曲位移的叠加法
解：为利用本教材附录Ⅳ中简支梁和悬臂梁的挠度和
转角资料，将图a所示外伸梁看作由悬臂梁(图b)和简支梁
(图c)连接而成。原来的外伸梁在支座B左侧截面上的剪力 1 和弯矩 FS B 2qa M B 2q a 2 qa 2 应当作为外力和 2 外力偶矩施加在悬臂梁和简支梁上，它们的指向和转向也 应与 FSB 和M B 的正负相对应，如图b及图c中所示。
24EI
ql3 384EI
三峡大学 工程力学系
材料力学教案
按叠加原理得
wC wC1 wC 2
第十六讲：弯曲位移的叠加法
5ql 4 5ql 4 0 768EI 768EI
ql3 ql3 3ql3 q A q A1 q A2 48EI 384EI 128EI ql3 ql3 7ql3 q B q B1 q B 2 48EI 384EI 384EI
材料力学教案
第十六讲：弯曲位移的叠加法
作用在该简支梁左半跨上的均布荷载可视为与跨中截面 C正对称和反对称荷载的叠加(图b)。
(a)
(b)
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C
第十六讲：弯曲位移的叠加法
在集度为q/2的正对称均布荷载作用下，利用本教材 附录Ⅳ表中序号8的公式有
5q / 2l 4 5ql 4 wC1 384EI 768EI
对于悬臂梁和简支梁，在结构上不需改动，可直接利用 附录IV的结论，把各种荷载对应的挠度和转角相加即可。 这时需要特别注意下挠度的方向，转角的转向。 三峡大学 工程力学系
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第十六讲：弯曲位移的叠加法
例题 试按叠加原理求图a所示等直外伸梁其截面B的转角
qB，以及A端和BC段中点D的挠度wA和wD。
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第十六讲：弯曲位移的叠加法
q B q Bq q BM
q2a qa2 2a 1 qa3 24EI 3EI 3 EI
3 4 2
wD wDq wDM
5 q2a qa2 2a 1 qa4 () 384 EI 16EI 24 EI