知识笔记-2.2 随机误差的分析1-随机误差的统计处理
误差分析及数据处理
+0.3,-0.2,-0.4,+0.2,+0.1,+0.4, 0.0,-0.3,+0.2,-0.3;
0.0, +0.1,-0.7,+0.2,-0.1,-0.2,+0.5,-0.2,+0.3,+0.1;
标准方法对照
(二)、空白试验
由试剂蒸馏水、器皿和环境等带进杂质而造成的系统误差，
可用空白试验来扣除。
空白是指在不加试样的情况下，按照试样分析同样的操作
手续和条件进行试验，所得结果称为空白值。
从试样分析结果中扣除空白值后，就得到比较可靠的分析
结果。
但空白值不能过大，否则会引起较大的误差，当空白值较
三、误差的表示方法
误差 E＝X
– XT
(测定结果)
(真实值)
正值表示测定结果偏高。
误差可用绝对误差和相对误差表示。
绝对误差表示测定值与真实值之差。
相对误差指误差在真实结果中所占的百分率
E 相对误差E＝ 100% XT
它能反映误差在真实结果中所占的比例， 常用百分率%表示。
分析结果和真实值之间的差值叫误差(前面已讲过)，误差
越小，准确度越高。
准确度表示分析结果与真实值接近的程度，真实值难以得
到，准确度较现实的定义是：测定值与公认的真实值相符
合的程度。
精密度为同一量的重复测定值之间，各次分析结果相互接
近的程度，即分析结果的精密度较高。
准确度与精密度的关系：准确度高一定需要精密度高但
各个偏差和等于零。 平均偏差没有正负号，平均偏差小，表明这一组分析结果
随机误差
测量条件和测量者水平皆相同，则重复测量次数愈 多，其可靠程度也愈大，因此完全可由测量的次数 来确定权的大小。 结论：每组测量结果的权与其相应的算术平均值的 标准差平方成反比。
加权算术平均值
若对同一被测量进行 ｍ 组不等权测量，得 到 ｍ 个测量结果 x1 , x2 ,L , xm ，设相应的测量 次数为 n1 , n2 ,L , nm ，即
0.001 0.0027 0.01
3、小样本标准差已知的情形
置信区间半宽度为(单次测量)
( x ) t p s
置信区间半宽度为(n次测量)
( x ) t p s / n
x ~ t ( ) s
x ~ t ( ) s n
n 自由度 n 1 ，为样本容量
x ~ N ( , n)
(单次测量) p ( x) k p p ( x ) k p n (n次测量)
2、大样本标准差已知的情形
总体标准差未知，但已知大样本标准差 s
p (x ) kp s
p ( x) k p s
n
(单次测量) (n次测量) 查表得到
p P( x k )
x ~ N ( , )
2
k
k
x 2 1 exp dx 2 2 2
2 2
k
0
t2 exp dt 2
2(k ) 1
置信区间半宽度为
x ~ N (0,1) n
这时应利用以下的公式计算：
v xi xi x
x
2 p i v xi i 1 m
( m 1) p i
随机误差的统计规律
随机误差的统计规律实验目的(1) 通过一些简单测量，加深对随机误差统计规律的认识 (2) 学习正确估算随机误差、正确表达直接测量结果的一般方法 (3) 了解运用统计方法研究物理现象的简单过程实验方法原理对某一物理量在相同条件下进行n 次重复测量(n>100),得到n 个结果,,,,21n x x x 先找出它的最小值和最大值，然后确定一个区间[]x x ''',，使这个区间包含了全部测量数据。
将区间[]x x ''',分成若干个小区间，比如K个，则每个小区间的间隔∆为 Kx x '-''=∆，统计测量结果出现在各个小区间的次数M (称为频数)。
以测量数据为横坐标，只需标明各区间的中点值，以频数M 为纵坐标，画出各小区间及其对应的频数高度，则可得到一组矩形图，这就是统计直方图。
直方图的包络表示频数的分布，它反映了测量数据的分布规律，也即随机误差的分布规律。
实验步骤(1) 用钢卷尺测量摆线长。
(2) 用游标卡尺测量摆球直径。
(3) 当摆长不变，摆角(小于5o)保持一定时，摆动的周期是一个恒量，用数字秒表测量单摆的周期至少100次，计算测量结果的平均值T 和算术平均值的标准差)(x S 。
(4) 保持摆长不变，一次测量20个以上全振动的时间间隔，算出振动周期。
数据处理990.0=l m 03364.0=d m 00682.12=+=dl L m2044.40='T s051.21001001==∑=i ixT s0067240110012.)()()(=--=∑=n n x xx S i is)01.005.2()(2±=±=x S T T s022.22044.40=='T s 222/2910.94s m L T g T ==π222/5594.94s m L T g T ='='π20/80891.9s m g =%28.5%1000=⨯-=g g g E T T%54.2%1000=⨯-='g g g E T T思考1. 什么是统计直方图? 什么是正态分布曲线?两者有何关系与区别?答：对某一物理量在相同条件下做n 次重复测量，得到一系列测量值，找出它的最大值和最小值，然后确定一个区间，使其包含全部测量数据，将区间分成若干小区间，统计测量结果出现在各小区间的频数M ，以测量数据为横坐标，以频数M 为纵坐标，划出各小区间及其对应的频数高度，则可得到一个矩形图，即统计直方图。
随机误差及数据处理
概率积分表见 p.504 , 表 10.1
例：误差落在（-σ, + σ）， 即up=1的概率为0.683
20
•标准误差的统计意义： 标准误差的统计意义： 标准误差的统计意义 在一组等精密度的测量中， 个测量值有 个误差， 个测量值有n个误差 很大， 在一组等精密度的测量中，n个测量值有 个误差，若n很大， 很大 则其中有68.3%的误差值落在 的误差值落在（-σ, + σ）区间内。 则其中有 的误差值落在
π
h = π1/2 f ( 0 ) ……..精密度常数 h决定了曲线的峰高，即最小误差出现的概率密度。 ∵正态分布概率密度函数f(∆)的推导引用了三条公理，∴其 结果也满足三公理： a. f(∆)是e的负指数函数， ∆ 越小， f(∆)越大 的负指数函数， 越小， 是 的负指数函数 越大 ∆=0时， f(∆)为极大 为极大——单峰性。 单峰性。 为极大 单峰性 b. c. f(∆)是以 2为指数的函数，±∆对应的 是以∆ 指数的函数 指数的函数， 对应的f(∆)相等 相等——对称性。 对称性。 是以 对应的 相等 对称性
21
3) 算术平均值的精密度估计
各组等精密度测量得到的算术平均值有波动，即平均值有离散性 算术平均值的标准误差
σ
讨论： a.
x
x
=
σ
n
=
∑∆
i 1
n
2
n
σ <σ
b.
n
增加，
减小 σ
x
c.
反映了 x 的离散性
d. 有68.3%的把握认为实验测得的误差不大于σ x 的把握认为实验测得的误差不大于 测量结果精密度的比较 用各种不同的统计误差，在不同的概率水平下评定同一组测量 结果的离散性
实验数据误差分析和数据处理
实验数据误差分析和数据处理数据误差分析是首要的步骤，它通常包括以下几个方面：1.随机误差：随机误差是指在重复实验的过程中，由于个体差异等原因引起的测量结果的离散性。
随机误差是不可避免的，并且符合一定的统计规律。
通过进行多次重复测量，并计算平均值和标准差等统计指标，可以评估随机误差的大小。
2.系统误差：系统误差是由于仪器、测量方法或实验条件所引起的，使得测量结果与真实值的偏离。
系统误差可能是由于仪器刻度的不准确、环境温度的变化等原因导致的。
通过合理校准仪器、控制环境条件等方式可以减小系统误差。
在数据误差分析的基础上，进行数据处理是必不可少的步骤。
数据处理的目的是通过对实验结果的合理处理，得到更为准确的结论。
1.统计处理：统计方法是最常用的数据处理方法之一、通过使用统计学中的概率分布、假设检验、方差分析等方法，可以对实验数据进行科学、客观的分析和处理。
2.回归分析：回归分析是一种通过建立数学模型来研究变量之间关系的方法。
通过对实验数据进行回归分析，可以确定变量之间的数学关系，并预测未知数据。
3.误差传递与不确定度评定：在实验中，不同参数之间的误差如何相互影响，以及这些误差如何传递到最终结果中，是一个重要的问题。
通过不确定度评定方法，可以定量评估各个参数的不确定度，并估计最终结果的不确定度。
4.数据可视化和图表展示：通过绘制合适的图表，可以更直观地展示实验数据的分布规律、趋势以及变化情况。
例如，折线图、散点图、柱状图等可以有效地展示数据的分布和相关关系。
综上所述，实验数据误差分析和数据处理是进行科学研究的重要环节。
准确评估和处理数据误差可以提高实验结果的可靠性和准确性，为研究结果的正确性提供基础。
通过合理选择和应用适当的数据处理方法，可以从实验数据中得出有意义的结论，并为进一步研究提供指导。
随机误差的处理方法.
2
c.介于(3 ,3 )之间的随机误差出现的概率为： 3f ( )d 0.Fra bibliotek9733
《传感器应用技术》二、随机误差的处理
（三）随机误差的计算
2、实用算法
该结果含义:如果用算术平均值作为真值，100次测量有68次离真值的距离 在1倍标准误差范围之内，有95次离真值的距离在2倍标准误差范围之内， 有99.7次离真值的距离在3倍标准误差范围之内。1000次只可能有3次超出 3倍标准误差范围.
在测量次数为有限值时，推导出标准误差的估计值，作为标准误差使用：
ˆ
1 n 1
n i 1
( xi
x)2
《传感器应用技术》二、随机误差的处理
（三）随机误差的计算
2、实用算法
a.介于 ( , ) 之间的随机误差出现的概率为：
f ( )d 0.6827
2
b.介于(2 ,2 ) 之间的随机误差出现的概率为： f ( )d 0.9545
抵偿性 测量次数无限多时，全体结果代数和为0。 概率密度曲线左右面积相等。
有界性 误差绝对值不会超出一定范围。 概率密度曲线在两侧呈接近于0的降落。
《传感器应用技术》二、随机误差的处理
（三）随机误差的计算
1、理论依据
连续的概率密度理论表达式
f ( )
1
2
2 exp( 2 2 )
测量值下的绝对误差
概率是研究随机事件的一个统计概念，是对大量重复实验的统计结果。 当在同一条件下对某个量进行多次重复测量时，粗大误差可以剔除；系统误差可以 修正；随机误差可以借助于对随机数值的统计概率，求出其估计值及其可能性。
《传感器应用技术》二、随机误差的处理
（一）概率与统计的几个概念
1.2.1 随机误差的统计处理
s
0.0062 0.026 10 1
5 85.69 0.01 6 85.69 0.01
0.0001 0.0001
0.026 0.008 0.01
7
x
10
8
x x x 85.68 0.01, P 68.27% 9
或x x 3 x 85.68 0.03, P 99.73% 10
limlim15图15不同的正态分布曲线因为被测量是在重复性条件下进行有限次测量用算术平均值代替真值此时表征测量值随机误差分散性的量用标准差的估计值也有偏差的均方根偏差
1.2.1 随机误差的统计处理
随机误差一般具有以下几个性质： ① 绝对值相等的正误差与负误差出现的次数大致相等，
误差所具有的这个特性称为对称性。 ② 在一定测量条件下的有限测量值中，其随机误差的
x2
xn )
1 n
n i1
xi
vi xi x
vi为xi的残余误差（简称残差）。
2
随机误差的数字特征
（2） 标准偏差σ 标准偏差简称为标准差，又称均方根误差。标准差σ
刻划总体的分散程度，图1-5给出了L相同，σ不同 （σ=0.5，σ=1，σ=1.5）的正态分布曲线，σ值愈
绝对值不会超过一定的界限，这一特性称为有界性。 ③ 绝对值小的误差出现的次数比绝对值大的误差出现 的次数多，这一特性称为单峰性。 ④ 对同一量值进行多次测量，其误差的算术平均值随 着测量次数n的增加趋向于零，这一特性称为误差的抵 偿性。
1
随机误差的数字特征
(1) 算术平均值x
x
1 n
(
x1
k k
随机误差及数据处理
（2）误差（Error） 误差—测量值与真值之差 （3）误差的性质和分类 •系统误差：符号和数值总保持不变，或按一定 规律。 •随机误差：就某一次具体的测量来讲其误差的 大小与正负都不确定，而在大量重 复测量中遵守统计规律的误差。 •过失误差：观察、记录、操作等错误造成的。 Δi= x i-A
必须剔除的误差。
3
只有实验观察为准确可靠时才可能发现认识或证实 某自然规律。 为了得到正确可靠的实验数据需要掌握必要的误差理 论。 • 误差理论包括： • 减少实验误差的方法——系统误差理论。 • 实验误差的数据处理——指从带有偶然性的观察值中 用数学方法导出规律性结论的过程。 在不少实验中，尤其是现代物理实验中，现象的随机 性质是十分突出的，物理过程的规律性往往被现象表面 的偶然性所掩盖，因而必须用适当的数学工具才能恰当 地设计实验，才能由观察数据得出正确的结论。
5
(3)测量的准确度、精密度与精确度
• 准确度——描述测量结果与真值的偏离程度，反映系统 误差的 大小。
• 精密度——描述重复测量结果之间的离散程度，反映偶 然误差大小。 • 精确度——准确度和精密度的结合。
精密度较好 准确度较好 精确度最好
精密度最差 准确度最好 精确度居中
精密度最好 准确度最差 精确度最差
∵ Δi= x i-A ∴
d i 1 dA
d ln f n ∴ d ln f 1 d ln f 2 0 d 1 d 2 d n
6
(4)最可信值与真值
真值——测量对象真正的数值。
最可信值——实验测量所得的最可能接近真值将证明最可信值就是大量重复测量的算术平均值。 因为真值是不知道的，误差因此无法求得。只能引入残 差概念对误差大小作一估计。 残差：
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§ 2.2随机误差的分析
§ 2.2.1随机误差的统计处理
1、测量值的数学期望：对某一被测量进行n 次等精度测量，得到x 1,x 2...x n ,其算数平均值为：1
1n
i i x x n ==∑，也称为样本平均值。
当测量次数n →∞时，样本平均值x 的极限称为测量值的数学期望。
2、方差：当n →∞时，测量值与期望值之差的平方的统计平均值，可写为：
2
221111lim ()lim n n i x i n n i i x E n n σδ→∞→∞===-=∑∑ 3、标准差：
21
1lim n i n i n σδ→∞==∑ 标准差反映了测量的精密度。
4、正态分布
根据概率论中的中心极限定理和随机误差的性质可知，在多数情况下，随机误差服从正态分布。
其分布密度可以写为如下公式：
22-(x -E )1(x )=exp[]2σ2πσ
i x i ϕ 测量值x i 的分布曲线如图所示：可以看出，测量值对称的分
布在数学期望的两侧。
根据随机误差的正态分布曲线，可以得出以下结论：
☆ δ愈小、Φ(δ)愈大，说明绝对值小的随机误差出现的概
率大；
☆随着δ的加大, Φ(δ)很快趋于0，即超过一定界限的随机
误差实际上几乎不出现(有界性；
☆ σ愈小，正态分布愈尖，表明测得值愈集中，精密度高；
☆ 大小相等符号相反的误差出现的概率相等 (对称性、补
偿性)。
5、残差：
i i u x x =-
注意两点：☆ 残差的代数和等于0.
☆当测量次数趋于无穷时，残差等于随机误差.
6、有限次测量的标准差：
贝塞尔公式：∑-==∧
σn u i i n 1112 用极差法求标准差：=σC
R x ˆ 其中R 为测量结果中的最大值和最小值之差。
C 为极差系数，可以通过查表得到。
7、算术平均值的标准差：当n 为有限次测量时，平均值的标准差课表示为：=σ
σn x /ˆˆ 有缘学习更多＋谓ｙｇｄ３０７６考证资料或关注桃报：奉献教育（店铺）。