2019-2020学年山西省长治二中高一下学期期末(文科)数学试卷 (解析版)
2019-2020学年山西长治二中高一第二学期期末数学试卷（文科）一、选择题（共12小题）.
1．若实数a、b满足条件a＞b，则下列不等式一定成立的是（）
A．＜B．a2＞b2C．ab＞b2D．a3＞b3
2．函数f（x）＝sin（x﹣）的图象的一条对称轴是（）
A．x＝B．x＝C．x＝﹣D．x＝﹣
3．已知tanα＝2，则tan（α﹣）等于（）
A．B．C．D．
4．已知向量，满足||＝1，||＝2，且向量，的夹角为，若﹣λ与垂直，则实数λ的值为（）
A．B．C．D．
5．已知sinα+cosα＝，则tanα+的值为（）
A．﹣1B．﹣2C．D．2
6．在等差数列{a n}中，a1＝2，a3+a5＝10，则a7＝（）
A．5B．8C．10D．14
7．在△ABC中，a＝b sin A，则△ABC一定是（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
8．下列关于函数的说法正确的是（）
A．函数的图象关于点成中心对称
B．函数的定义域为
C．函数在区间上单调递增
D．函数在区间上单调递增
9．如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠A＝60°，点M在AB边上，且AM ＝AB，则等于（）
A．﹣1B．1C．﹣D．
10．若函数y＝sin（ωx﹣φ）（ω＞0，|φ|＜）在区间[﹣，π]上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）
A．B．
C．D．
11．已知函数y＝3sinωx在区间上的最小值为﹣3，则ω的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪[6，+∞）B．（﹣∞，）∪[，+∞）
C．（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）
12．定义：在数列{a n}中，a n＞0且a n≠1，若为定值，则称数列{a n}为“等幂数列”．已知数列{a n}为“等幂数列”，且a1＝2，a2＝4，S n为数列{a n}的前n项和，则S2009＝（）A．6026B．6024C．2D．4
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知正数x，y满足x+y＝18，则xy的最大值为．
14．已知x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为．
15．函数f（x）＝3sin（2x﹣+φ），φ∈（0，π）为偶函数，则φ的值为．16．△ABC中，D为边BC上的中点，动点E在线段AD上移动时，若，则s＝λ2+μ的最小值为．
三、解答题：本大题共70分
17．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2a cos A＝c cos B+b cos C．（1）求cos A的值；
（2）若b2+c2＝4，a＝，求△ABC面积．
18．已知函数f（x）＝sin x cos x+sin2x+（x∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c＝，f（C）＝2，若向量与共线，求a，b的值．
19．已知函数f（x）＝x2﹣2ax，x∈R，a∈R．
（1）当a＝1时，求满足f（x）＜0的x的取值范围；
（2）解关于x的不等式f（x）＜3a2．
20．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且2a2＝S2+＝2．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若b n＝n+1，设数列{a n b n}的前n项和为T n，求T n．
21．在△ABC中，已知角A、B、C所对的三边分别是a，b，c，且b2＝ac．（1）求证：；
（2）求函数的值域．
22．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝，且a1＝1．数列{b n}为等比数列，b1＝a3﹣4，b4＝a5+1．
（1）求{a n}和{b n}的通项公式；
（1）设c n＝，数列{c n}的前n项和为T n，求T n的最小值．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．若实数a、b满足条件a＞b，则下列不等式一定成立的是（）
A．＜B．a2＞b2C．ab＞b2D．a3＞b3
【分析】根据题意，由不等式的性质依次分析选项，综合即可得答案．
解：根据题意，依次分析选项：
对于A、a＝1，b＝﹣1时，有＞成立，故A错误；
对于B、a＝1，b＝﹣2时，有a2＜b2成立，故B错误；
对于C、a＝1，b＝﹣2时，有ab＜b2成立，故C错误；
对于D、由不等式的性质分析可得若a＞b，必有a3＞b3成立，则D正确；
故选：D．
2．函数f（x）＝sin（x﹣）的图象的一条对称轴是（）
A．x＝B．x＝C．x＝﹣D．x＝﹣
【分析】将内层函数x﹣看做整体，利用正弦函数的对称轴方程，即可解得函数f（x）的对称轴方程，对照选项即可得结果
解：由题意，令x﹣＝kπ+，k∈z
得x＝kπ+，k∈z是函数f（x）＝sin（x﹣）的图象对称轴方程
令k＝﹣1，得x＝﹣
故选：C．
3．已知tanα＝2，则tan（α﹣）等于（）
A．B．C．D．
【分析】利用两角差的正切公式计算即可．
解：tanα＝2，
则tan（α﹣）＝＝＝．
故选：B．
4．已知向量，满足||＝1，||＝2，且向量，的夹角为，若﹣λ与垂直，则实数λ的值为（）
A．B．C．D．
【分析】＝＝，根据﹣λ与垂直，可得（﹣λ）?＝﹣＝0，解得λ．
解：＝＝．
﹣λ与垂直，
∴（﹣λ）?＝﹣＝﹣4λ＝0，
解得λ＝．
故选：C．
5．已知sinα+cosα＝，则tanα+的值为（）
A．﹣1B．﹣2C．D．2
【分析】通过sinα+cosα＝，求出sinαcosα的值，然后正切化为正弦、余弦化简tanα+，即可求出值．
解：sinα+cosα＝，所以2sinαcosα＝1，tanα+＝＝
＝2
故选：D．
6．在等差数列{a n}中，a1＝2，a3+a5＝10，则a7＝（）
A．5B．8C．10D．14
【分析】由题意可得a4＝5，进而可得公差d＝1，可得a7＝a1+6d，代值计算即可．解：∵在等差数列{a n}中a1＝2，a3+a5＝10，
∴2a4＝a3+a5＝10，解得a4＝5，
∴公差d＝＝1，
∴a7＝a1+6d＝2+6＝8
故选：B．
7．在△ABC中，a＝b sin A，则△ABC一定是（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形【分析】由正弦定理可得sin A＝sin B sin A，可得sin B＝1，B＝，可作出判断．解：∵在△ABC中，a＝b sin A，
∴由正弦定理可得sin A＝sin B sin A，
同除以sin A可得sin B＝1，B＝
∴△ABC一定是直角三角形，
故选：B．
8．下列关于函数的说法正确的是（）
A．函数的图象关于点成中心对称
B．函数的定义域为
C．函数在区间上单调递增
D．函数在区间上单调递增
【分析】根据正切函数的单调性，对称性以及定义域分别进行判断即可．
解：A．f（）＝tan≠0，即函数的图象关于点不成中心对称，故A错误，
B．由x+≠kπ+，k∈Z，得x≠kπ+，即函数的定义域为{x|x≠kπ+，k∈Z}，故B正确，
C．∵x≠kπ+，∴当x＝时，函数无意义，故C不存在单调性，故C错误，D．由C知函数在区间上不具备单调性，故D错误，
故选：B．
9．如图，平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠A＝60°，点M在AB边上，且AM
＝AB，则等于（）
A．﹣1B．1C．﹣D．
【分析】由题意可得，，代入＝（）?（）＝
，整理可求
解：∵AM＝AB，AB＝2，AD＝1，∠A＝60°，
∴
∴＝（）?（）
＝
＝
＝1+×4
＝1
故选：B．
10．若函数y＝sin（ωx﹣φ）（ω＞0，|φ|＜）在区间[﹣，π]上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是（）
A．B．
C．D．
【分析】结合图象可判断ω＞1，sin（﹣φ）＜0；从而解得．
解：由题意，T＝＜π﹣（﹣）＝，
故ω＞1；
故结合选项可知ω＝2；
∵sin（﹣φ）＜0，
结合选项可知，φ＝，
故选：A．
11．已知函数y＝3sinωx在区间上的最小值为﹣3，则ω的取值范围是（）A．（﹣∞，）∪[6，+∞）B．（﹣∞，）∪[，+∞）
C．（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）D．（﹣∞，﹣2]∪[，+∞）
【分析】分ω的正负讨论，要使函数y＝3sinωx在区间上的最小值为﹣3可知，﹣+2kπ∈[﹣ω，ω]或﹣+2kπ∈[ω，﹣ω]，分别求出ω的范围即可．
解：当ω＞0时，要使函数y＝3sinωx在区间上的最小值为﹣3，则﹣ω≤﹣+2kπω，k∈Z，即，k∈Z，则可得ω；
当ω＜0，则ω+2kπ≤﹣ω，k∈Z，，k∈Z，则可得ω≤﹣2，故选：D．
12．定义：在数列{a n}中，a n＞0且a n≠1，若为定值，则称数列{a n}为“等幂数列”．已知数列{a n}为“等幂数列”，且a1＝2，a2＝4，S n为数列{a n}的前n项和，则S2009＝（）A．6026B．6024C．2D．4
【分析】由题意可知a3＝2，a4＝4，a5＝2，这是一个周期数列．所以S2009＝×（2+4）+2，计算可得答案．
解：＝24＝16＝＝，
得a3＝2，同理得a4＝4，a5＝2，
这是一个周期数列．
∴S2009＝×（2+4）+2＝6026．
故选：A．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知正数x，y满足x+y＝18，则xy的最大值为81．
【分析】由基本不等式的性质知，x+y≥2，代入已知数据即可得解．
解：由基本不等式的性质可知，x+y≥2，即18≥2，
所以xy≤81，即xy的最大值为81．
故答案为：81．
14．已知x，y满足约束条件，则z＝x+2y的最大值为2．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
解：由约束条件作出可行域如图，
化目标函数z＝x+2y为．
由图可知，当直线过C（0，1）时，直线在y轴上的截距最大，此时z有最大值为0+2×1＝2．
故答案为：2．
15．函数f（x）＝3sin（2x﹣+φ），φ∈（0，π）为偶函数，则φ的值为．【分析】直接利用函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
解：函数f（x）＝3sin（2x﹣+φ），φ∈（0，π）为偶函数，
所以φ﹣＝，解得φ＝（k∈Z），
由于φ∈（0，π），
当k＝0时，φ＝．
故答案为：
16．△ABC中，D为边BC上的中点，动点E在线段AD上移动时，若，则s＝λ2+μ的最小值为．
【分析】根据条件表示出＝（1﹣k）+k，对应，用k表示出λ、μ，代入s，结合二次函数性质即可得到答案．
解：如图，
因为D为边BC上的中点，所以，
又因为A、D、E共线，不妨设＝k，
则＝＝+k＝+k（）＝+k（）＝（1﹣k）+k，
因为，
所以λ＝k，μ＝，
则s＝λ2+μ＝k2+＝k2﹣+＝（k﹣）2+，
故当k＝时，s取最小值，
故答案为：．
三、解答题：本大题共70分
17．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，2a cos A＝c cos B+b cos C．（1）求cos A的值；
（2）若b2+c2＝4，a＝，求△ABC面积．
【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得2sin A cos A＝sin A．结合sin A≠0，可求cos A的值．
（2）利用同角三角函数基本关系式可求sin A的值，由余弦定理可求bc的值，进而根据三角形的面积公式即可计算求解．
解：（1）由于2a cos A＝c cos B+b cos C，
由正弦定理得2sin A cos A＝sin C cos B+sin B cos C，
即2sin A cos A＝sin A．
又∵0＜A＜π，
∴sin A≠0，
∴．
（2）∵由，
∴由0＜A＜π，得．
∵由余弦定理，得a2＝b2+c2﹣2bc cos A，
∵b2+c2＝4，a＝，可得3＝4﹣2bc×，
∴可得：bc＝1．
∴．
18．已知函数f（x）＝sin x cos x+sin2x+（x∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，c＝，f（C）＝2，若向量与共线，求a，b的值．
【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式，根据正弦函数的周期公式即可求解．
（2）由，结合范围0＜C＜π，可求，利用向量共线的坐标运算可得b＝2a，进而由余弦定理即可解得a，b的值．
解：（1）∵函数，
∴，
∴函数的最小正周期为π．
（2）∵，，
∵0＜C＜π，
∴，解得
∵向量共线，
∴b＝2a①
由余弦定理，得，
∴a2+b2﹣ab＝3，②
由①②得a＝1，b＝2．
19．已知函数f（x）＝x2﹣2ax，x∈R，a∈R．
（1）当a＝1时，求满足f（x）＜0的x的取值范围；
（2）解关于x的不等式f（x）＜3a2．
【分析】（1）由题意可得x2﹣2x＜0，解不等式可得f（x）＜2的解集．（2）由题意可得（x﹣3a）（x+a）＜0，分类讨论即可求解．
解：（1）当a＝1时，f（x）＝x2﹣2x，
所以f（x）＜0，即x2﹣2x＜0，
解得0＜x＜2．
所以f（x）＜2的解集为（0，2）．
（2）由f（x）＜3a2，得x2﹣2ax﹣3a2＜0，
所以（x﹣3a）（x+a）＜0，
当a＞0时，解集为（﹣a，3a）；
当a＝0时，解集为空集；
当a＜0时，解集为（3a，﹣a）．
20．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且2a2＝S2+＝2．（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）若b n＝n+1，设数列{a n b n}的前n项和为T n，求T n．
【分析】（1）利用数列的关系式，求出数列的公比，然后求解通项公式；
（2）化简数列的通项公式，然后利用错位相减法求解数列的和即可．解：（1）由题意知，，
设等比数列{a n}的公比为q，又a3＝2，∴，
化简得q2﹣4q+4＝0，解得q＝2，
（2）由题，
∴……①
……②
由①②可得，
化简可得．
21．在△ABC中，已知角A、B、C所对的三边分别是a，b，c，且b2＝ac．（1）求证：；
（2）求函数的值域．
【分析】（1）利用余弦定理表示出cos B，进而利用基本不等式求得cos B的范围，则B 的范围可得．
（2）利用同角三角函数的基本关系把1+sin2B整理成（sin B+cos B）2，进而利用两角和公式整理后，利用正弦函数和B的范围求得函数的值域．
解：（1）cos B＝∴
（2）
∴
22．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝，且a1＝1．数列{b n}为等比数列，b1＝a3﹣4，b4＝a5+1．
（1）求{a n}和{b n}的通项公式；
（1）设c n＝，数列{c n}的前n项和为T n，求T n的最小值．
【分析】（1）通过，推出，利用累积法求解数列的通项公式．然后转化求解{b n}的通项公式．
（2）化简，利用裂项消项法求解数列的和，判断数列的单调性，求解最小值即可．
解：（1），
当n≥2时，，为，
即有a n＝＝，
上式对n＝1也成立，则；{b n}为公比设为q的等比数列，b1＝a3﹣4，b4＝a5+1．
可得b1＝6﹣4＝2，b4＝15+1＝16，则q3＝8，即q＝2，∴，n∈N*；
（2），
前n项和为，
，
即T n+1＞T n，可得T n递增，则T n的最小值为．