浙江省瓯海中学高一实验班选拔考试试卷(数学)
2006年瓯海中学新高一实验班考试
2006年瓯海中学新高一实验班考试英语卷2006.7（满分80分，时间1小时）一、单选填空（共10小题；每小题1分，满分10分）从A、B、C、D四个选项中, 选出可以填入空白处的最佳选项, 并在答题卷上将该项涂黑。
1. ---Sixteen—year—olds ______to drive.---I agree. They aren’t serious enough at that age.A. shouldn’t be allowedB. shouldn’t allowC. don’t allowD. are allowed not2. ---Where would you like to go on vacation ?---I’d love to go_______.A. anywhere relaxedB. somewhere relaxingC. somewhere relaxedD. everywhere relaxing3. Because the shop ____, all the T-shirts are sold at half price.A. has closed downB. closed downC. is closing downD. had closed down4. ---I'd like to find some information about Hainan Island. Would you please teach me ________ tosurf the Internet?--- With pleasure.A. whatB. whenC. howD. where5. It is better to teach a man to fish than ________ him fish.A. to giveB. givingC. to findD. finding6. His mother thought it would be good for his character to ____ from home and earn some money on his own.A. run awayB. take awayC. keep awayD. get away7. Those are the books _____ very useful to us in the new term.A. which areB. which isC. that hasD. that have8. ---Is there anybody _________ help?---Yes, Lee says he can’t do it by himself.A. in favor ofB. in need ofC. in front ofD. in praise of9.Which of the following is not in the USA?A. Salt LakeB. Wall StreetC. Hyde ParkD.The Statue of Liberty10. --- It’s getting late. I'm afraid I must be going now.--- OK. ______ .A. Take it easyB. Go slowlyC. Stay longerD. See you二、完形填空（共20小题；每小题1分，满分20分）阅读下面短文，掌握其大意，从第11—30各题所给的四个选项（A 、B、C和D）中，选出最佳选项，并在答题卷上将该项涂黑。
2019年温州瓯海中学提前自主招生模拟考试数学试题及参考答案(含详解)
2019年温州瓯海中学提前招生模拟考试数学试题（时间：120分钟满分150分）一、选择题（共8小题，满分48分，每小题6分）1．（2017•奉化中学自主招生）实数a，b，c满足2a=5，2b=10，2c=80，则代数式2006a﹣3344b+1338c的值为（）A．2007B．2008C．2009D．2010 2．（2015•乐清中学自主招生）若﹣1＜a＜0，则一定是（）A．最小，a3最大B．最小，a最大C．最小，a最大D．最小，最大3．一列数b0，b1，b2，…，具有下面的规律，b2n+1=b n，b2n+2=b n+b n+1，若b0=1，则b2015的值是（）A．1B．6C．9D．194．如图所示，正三角形ABC的边长为2，=2，=，BD交CE于点F，则△AEF的外接圆半径长为（）A．B．C．D．第4题第6题5．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴负半轴交于A（m，0），与x正半轴交于B（n，0），4＜n＜5，与y轴负半轴交于C，且OA=OC，则a的取值范围是（）A．0＜a＜B．＜a＜C．D．＜a＜16．如图，等腰△ABC内接于圆O，底边AB是直径，E为AC的中点，点D在BC上，且CD=3BD，AD与BE相交于点F，则∠AFE的正切值为（）A．B．C．D．7．（2015•黄冈中学自主招生）如果关于x的方程x2﹣ax+a2﹣3=0至少有一个正根，则实数a的取值范围是（）A．﹣2＜a＜2B．C．D．8．如图所示，扇形AOB中，∠AOB=60°，AO=R，圆O1与AO，BO和弧AB 都相切；圆O2和圆O1，AO，BO都相切；圆O3和圆O2；AO，BO都相切；则圆O3的面积为（）A．B．C．D．第8题第10题二、填空题（共6小题，满分42分，每小题7分）9．（2017•芜湖一中自主招生）已知x、y是实数且满足x2+xy+y2﹣2=0，设M=x2﹣xy+y2，则M的取值范围是．10．如图，一次函数y=x+1的图象交x轴于点E、交反比例函数的图象于点F（点F在第一象限），过线段EF上异于E、F的动点A作x轴的平行线交的图象于点B，过点A、B作x轴的垂线段，垂足分别是点D、C，则矩形ABCD 的面积最大值为．11．如图，直角梯形OABC的直角顶点是坐标原点，边OA，OC分别在x轴，y 轴的正半轴上．OA∥BC，D是BC上一点，BD=OA=，AB=3，∠OAB=45°，E，F分别是线段OA，AB上的两个动点，且始终保持∠DEF=45°．设OE=x，AF=y，则y与x的函数关系式为．第11题第12题12．（2014•宁波重点高中自主招生）如图，在同一平面内，圆O和直线AB相切，P是圆O上一个定点，初始位置圆O和AB相切于点A（此时点P与点A重合），从A处开始圆O在直线AB上以每3分钟1圈的速度匀速向右无滑动地滚动，1分钟到达点E（圆O与AB相切于点E），此时，tan∠PAE的值为．13．（2015•黄冈中学自主招生）若直线y=b（b为实数）与函数y=|x2﹣4x+3|的图象至少有三个公共点，则实数b的取值范围是．14．射线QN与等边△ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且AC∥QN，AM=MB=2cm，QM=4cm．动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与△ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值（单位：秒）第14题三、解答题（共5小题，满分60分）15．（10分）已知关于x的一元二次方程（6﹣k）（9﹣k）x2﹣（117﹣15k）x+54=0的两个根均为整数，求所有满足条件的实数k的值．16．（10分）（2017•启东中学自主招生）已知：关于x的方程①x2﹣（m+2）x+m ﹣2=0有两个符号不同的实数根x1，x2，且x1＞|x2|＞0；关于x的方程②mx2+（n ﹣2）x+m2﹣3=0有两个有理数根且两根之积等于2．求整数n的值．17．（10分）如图，已知锐角△ABC及其外接圆⊙O，AM是BC边的中线．分别过点B，C作⊙O的切线，两条切线相交于点X，连接AX．求证：．第17题18．（14分）如图1，已知抛物线y=x2+bx+c经过原点O，它的对称轴是直线x=2，动点P从抛物线的顶点A出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点P运动的时间为t杪，连结OP并延长交抛物线于点B，连结OA，AB．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△AOB为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，⊙M为△AOB的外接圆，在点P的运动过程中，点M也随之运动变化，请你探究：在1≤t≤5时，求点M经过的路径长度．第18题19．（16分）如图，在△ABC中，∠A=90°，∠ABC=45°，BC=20，点D在线段BC上，BD=4，点M、N以相同的速度从D点同时出发，点M沿DC方向运动，点N沿DB方向运动到点B后立刻以原速返回向点C运动，以MN为直径构造⊙O，过点M作⊙O的切线交折线BA﹣AC于点E，将线段EM绕点E顺时针旋转45°得到EF，过F点作FG⊥EM于G，当M运动到点C时，N也停止运动，设DM=m．（1）当m=时，点N与点B重合，此时MN=．当4＜m≤16时，BM=，BN=（用含有m的代数式表示）（2）当线段FG长度达到最大时，求m的值；（3）在点M，N运动过程中，①当为何值时，⊙O与△ABC的一边相切？②直接写出点F所经过的路径长．（提示：当直角三角形的两直角边之比为定值时，这个直角三角形的两个锐角度数为定值）第19题2019年温州瓯海中学提前招生模拟考试数学试题参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，满分48分，每小题6分）1．【解析】∵2b÷2a=2，∴b﹣a=1，则a=b﹣1，∵2c÷2b=8，∴c﹣b=3，则c=b+3，∴2006a﹣3344b+1338c=2006（b﹣1）﹣3344b+1338（b+3）=2008．故选：B．2．【解析】∵若﹣1＜a＜0，∴a可取﹣0.001，那么a3=﹣0.000 000 001，=﹣0.1，=﹣1000，∴最小，a3最大，故选：A．3．【解析】∵b2n+1=b n，b2n+2=b n+b n+1，∴b2015=b1007=b503=b251=b125=b62=b30+b31=b14+b15+b15=b6+b7+2b7=3b3+b2+b3=4b3+b0+b1=5b1+b0 =6b0，∵b0=1，∴b2015的值是6．故选：B．4．【解析】作DH⊥AB于H，如图所示：∵正三角形ABC的边长为2，=2，=，∴BE=AD=AB=，AB=BC=AC，∠EBC=∠BAD=60°，∴AE=，在△BCE和△ABD中，，∴△BCE≌△ABD（SAS），∴∠1=∠2，∴∠DFC=∠3+∠2=∠3+∠1=60°，∴∠DFC=∠EAD=60°，∴A、D、F、E四点共圆，作DH⊥AB于H，则∠ADH=30°，∴AH=AD=，DH=AH=，∴EH=AE﹣AH=1，∴sin∠DEH==，∴∠DEH=30°，∴∠ADE=90°，∴∠AFE=∠ADE=90°，∴AE为△AEF的外接圆的直径，∴△AEF的外接圆半径长为AE=．故选：A．5．【解析】∵OA=OC，A（m，0），∴C（0，m），即c=m，则抛物线解析式为y=ax2+bx+m，根据题意知抛物线对称轴x=﹣=，可得b=﹣am﹣an ①，将点A（m，0）代入y=ax2+bx+m，得：am2+bm+m=0，即am+b+1=0，∴b=﹣am﹣1 ②，由①、②可得﹣am﹣1=﹣am﹣an，即an=1，a=，∵4＜n＜5，∴＜a＜，故选：B．6．【解析】作EH⊥AD于H，EG∥AD交BC于G，如图，设BD=a，则CD=3a，∴CA=CB=4a，∵E为AC的中点，∴AE=CE=2a，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，在Rt△ACD中，AD==5a，在Rt△BCE中，BE==2a，∵∠EAH=∠DAC，∴Rt△AEH≌Rt△ADC，∴=，即=，解得EH=a，∵EG∥AD，∴CG：DG=CE：AE=1：1，∴CG=DG=a，∵DF∥EG，∴===，∴EF=BE=a，∴HF==a，∴tan∠EFH===．故选：B．7．【解析】∵△=a2﹣4（a2﹣3）=12﹣3a2（1）当方程有两个相等的正根时，△=0，此时a=±2，若a=2，此时方程x2﹣2x+1=0的根x=1符合条件，若a=﹣2，此时方程x2+2x+1=0的根x=﹣1不符舍去，（2）当方程有两个根时，△＞0可得﹣2＜a＜2，①若方程的两个根中只有一个正根，一个负根或零根，则有a2﹣3≤0，解可得﹣≤a≤，而a=﹣时不合题意，舍去．所以﹣＜a≤符合条件，②若方程有两个正根，则，解可得a＞，综上可得，﹣＜a≤2．故选：C．8．【解析】如图所示：连接各切线与对应圆的圆心．∵OA、OB是⊙O1的切线，∴∠AOO1=∠BOO1=30°．∵圆O1与AO相切，∴∠OCO1=90°．∴OO1=2O1C．∴OA=3r11．∴r1=．∴OE=O1E=r1=．同理：可知：r2=，r3=．∴r3=．由圆的面积公式可知圆O3的面积==．故选：C．二、填空题（共6小题，满分42分，每小题7分）9．【解析】由x2+xy+y2﹣2=0得：x2+2xy+y2﹣2﹣xy=0，即（x+y）2=2+xy≥0，所以xy≥﹣2；由x2+xy+y2﹣2=0得：x2﹣2xy+y2﹣2+3xy=0，即（x﹣y）2=2﹣3xy≥0，所以xy≤，∴﹣2≤xy≤，∴不等式两边同时乘以﹣2得：（﹣2）×（﹣2）≥﹣2xy≥×（﹣2），即﹣≤﹣2xy≤4，两边同时加上2得：﹣+2≤2﹣2xy≤4+2，即≤2﹣2xy≤6，∵x2+xy+y2﹣2=0，∴x2+y2=2﹣xy，∴M=x2﹣xy+y2=2﹣2xy，则M的取值范围是≤M≤6．故答案为：≤M≤610．【解析】设A（a，a+1），则B（，a+1），∴AB=﹣a，AD=a+1，∴S矩形ABCD=（a+1）（﹣a）=2﹣a（a+1）=﹣（a+）2+，∴当a=﹣时，矩形ABCD的面积最大值为，故答案为：．11．【解析】过B作BM⊥x轴于M．在Rt△ABM中，∵AB=3，∠BAM=45°，∴AM=BM=，∴BC=OA﹣AM=4﹣=，CD=BC﹣BD=，∴D（，）．连接OD，则点D在∠COA的平分线上，所以∠DOE=∠COD=45°．又∵在梯形DOAB中，∠BAO=45°，∴由三角形外角定理得：∠1=∠DEA﹣45°，又∠2=∠DEA﹣45°，∴∠1=∠2，∴△ODE∽△AEF，∴=，即：=，∴y与x的解析式为：y=﹣x2+x．故答案为y=﹣x2+x．12．【解析】如图所示，过点P作PC⊥AB，垂足为C，过点O作OD⊥PC，垂足为D．根据题意可知∠POE==120°，AE=劣弧PE的弧长．∴AE=2πR×=．∵AB是圆O的切线，∴∠OEC=90°．∵PC⊥AB，OD⊥PC，∴∠DCE=∠ODC=90°．∴∠OEC=∠DCE=∠ODC=90°．∴四边形ODCE为矩形．∴DC=OE=R，OD=CE．∵∠POD=30°，∠PDO=90°，∴PD=，DO==．∴PC=PD+DC=，AC=AE﹣EC=﹣．∴tan∠PAE====．故答案为：．13．【解析】∵当x2﹣4x+3=0时，x=1或x=3，∴当x＜1或x＞3时，x2﹣4x+3＞0，即：y=|x2﹣4x+3|，函数值大于0，当1＜x＜3时，﹣1≤x2﹣4x+3＜0，即：y=|﹣x2+4x﹣3|，函数最大值为1，故符合条件的实数b的取值范围是0＜b≤1．14．【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC=AM+MB=4cm，∠A=∠C=∠B=60°，∵QN∥AC，AM=BM．∴N为BC中点，∴MN=AC=2cm，∠BMN=∠BNM=∠C=∠A=60°，分为三种情况：①如图1，当⊙P切AB于M′时，连接PM′，则PM′=cm，∠PM′M=90°，∵∠PMM′=∠BMN=60°，∴M′M=1cm，PM=2MM′=2cm，∴QP=4cm﹣2cm=2cm，即t=2；②如图2，当⊙P于AC切于A点时，连接PA，则∠CAP=∠APM=90°，∠PMA=∠BMN=60°，AP=cm，∴PM=1cm，∴QP=4cm﹣1cm=3cm，即t=3，当⊙P于AC切于C点时，连接P′C，则∠CP′N=∠ACP′=90°，∠P′NC=∠BNM=60°，CP′=cm，∴P′N=1cm，∴QP=4cm+2cm+1cm=7cm，即当3≤t≤7时，⊙P和AC边相切；③如图3，当⊙P切BC于N′时，连接PN′则PN′=cm，∠PN′N=90°，∵∠PNN′=∠BNM=60°，∴N′N=1cm，PN=2NN′=2cm，∴QP=4cm+2cm+2cm=8cm，即t=8；注意：由于对称性可知，当P点运动到AB右侧时也存在⊙P切AB，此时PM也是为2，即P点为N点，同理可得P点在M点时，⊙P切BC．这两点都在第二种情况运动时间内．故答案为：t=2或3≤t≤7或t=8．三、解答题（共5小题，满分60分）15．【解析】原方程可化为：[（6﹣k）x﹣9][（9﹣k）x﹣6]=0．因为此方程是关于x的一元二次方程，所以，k≠6，k≠9，于是有：x1=①，x2=②．由①得k=，由②得k=，∴=，整理得x1x2﹣2x1+3x2=0，有（x1+3）（x2﹣2）=﹣6．∵x1、x2均为整数，∴．故x1=﹣9，﹣6，﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，0，3．又k==6﹣，将x1=﹣9，﹣6，﹣5，﹣4，﹣2，﹣1，3分别代入，得k=7，，，，，15，3．16．【解析】由方程①知：∵x1•x2＜0，x1＞|x2|＞0，∴x1＞0，x2＜0，∵△=（m﹣2）2+8＞0，∴x1+x2=m+2＞0，x1•x2=m﹣2＜0，∴﹣2＜m＜2，由方程②知：，∴m2﹣2m﹣3=0，∴m=3（舍去），m=﹣1（2分）代入②得：x2﹣（n﹣2）x+2=0，∵方程的两根为有理数，∴△=（n﹣2）2﹣8=k2，∴（n﹣2）2﹣k2=8，（n﹣2+k）（n﹣2﹣k）=8，∵n﹣2+k和n﹣2﹣k奇偶性相同，∴或或或，解得n=5或n=﹣1．17．【解析】证明：设AX与⊙O相交于点A1，连接OB，OC，OA1．又M为BC的中点，所以，连接OX，它过点M．∵OB⊥BX，OX⊥BC，∴XB2=XM•XO．①又由切割线定理得XB2=XA1•XA．②由①，②得，∴△XMA∽△XA1O，∴．又∵∠BOC=2∠BAC，∴∠BOX=∠BAC，∴．18．【解析】（1）∵抛物线y=x2+bx+c经过原点O，且对称轴是直线x=2，∴c=0，﹣=2，则b=﹣4、c=0，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x；（2）设点B（a，a2﹣4a），∵y=x2﹣4x=（x﹣2）2﹣4，∴点A（2，﹣4），则OA2=22+42=20、OB2=a2+（a2﹣4a）2、AB2=（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2，①若OB2=OA2+AB2，则a2+（a2﹣4a）2=20+（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2，解得a=2（舍）或a=，∴B（，﹣），则直线OB解析式为y=﹣x，当x=2时，y=﹣3，即P（2，﹣3），∴t=（﹣3+4）÷1=1；②若AB2=OA2+OB2，则（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2=20+a2+（a2﹣4a）2，解得a=0（舍）或a=，∴B（，），则直线OB解析式为y=x，当x=2时，y=1，即P（2，1），∴t=[1﹣（﹣4）]÷1=5；③若OA2=AB2+OB2，则20=（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2+a2+（a2﹣4a）2，整理，得：a3﹣8a2+21a﹣18=0，a3﹣3a2﹣5a2+15a+6a﹣18=0，a2（a﹣3）﹣5a（a﹣3）+6（a﹣3）=0，（a﹣3）（a2﹣5a+6）=0，（a﹣3）2（a﹣2）=0，则a=3或a=2（舍），∴B（3，﹣3），∴直线OB解析式为y=﹣x，当x=2时，y=﹣2，即P（2，﹣2），∴t=[﹣2﹣（﹣4）]÷1=2；综上，当△AOB为直角三角形时，t的值为1或2或5．（3）∵⊙M为△AOB的外接圆，∴点M在线段OA的中垂线上，∴当1≤t≤5时，点M的运动路径是在线段OA中垂线上的一条线段，当t=1时，如图1，由（2）知∠OAB=90°，∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是OB的中点，∵B（，﹣），∴M（，﹣）；当t=5时，如图2，由（2）知，∠AOB=90°，∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是AB的中点，∵B（，）、A（2，﹣4），∴M（，﹣）；当t=2时，如图3，由（2）知，∠OBA=90°，∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是OA的中点，∵A（2，﹣4），∴M（1，﹣2）；则点M经过的路径长度为=．19．【解析】（1）当点N从点D向点B运动时，根据题意可得BM=4+m，BN=4﹣m，当点N与点B重合，BN=0，∴4﹣m=0，∴m=4，MN=2DN=2BD=8；当4＜m≤16时，此段内，点M，N以相同的速度向点C运动，∴MN=8，∴BM=4+m，BN=BM﹣MN=m+4﹣8=m﹣4，故答案为4；8；4+m；m﹣4；（2）如图1中，∵EM是⊙O的切线∴∠BME=90°，∵∠B=45°，∴∠BEM=45°=∠B，∴BM=EM∴FG⊥EM，∴∠FGE=90°=∠EFG，∴FG∥BC，∴∠EFG=∠B=45°，∴∠FEG=45°=∠EFG，∴FG=EG，∴FG=EF，由旋转知，EF=EM，当点E与点A重合时，ME的值最大，∵△ABC是等腰直角三角形，EM是底边的高，∴EM=BC=10，∵BM=EM，∴10=4+m，∴m=6；（3）①当0＜m≤4（N在往B运动）时，如图2中，设⊙O切AB于H，连接OH．∴∠BHD=90°，∵∠B=45°，∴DH=BD=4×=2，∴ND=m=DH=2，即m=2．当4＜m≤16（N从B向C运动）时，则MN=（4+m）﹣（m﹣4）=8，如图3中，设⊙O切AB于H．连接OH．∴OH=MN=4，则BO=OH=4，∴BM=BO+OM=4+4，即4+m=4+4，∴m=4．如图4中，设⊙O切AC于H，连接OH．在等腰直角三角形OHC中，OC=OH=4，则CM=OC﹣OM=4﹣4，∵BM=BC﹣CM，∴BM=20﹣（4﹣4）=24﹣4=4+m，∴m=24﹣4﹣4=20﹣4．综上所述，当m=2或4或20﹣4时，⊙O与△ABC的边相切．②如图5中，Ⅰ、当E在AB上时，点F的运动轨迹是F1→F2→F3．当点M和点D重合时，E1F1=BM1=E1M1=BD=4，∴BE1=BM1=4，∴BF1=BE1﹣BF1=4﹣4当点N和点B重合时，同理可得BF2=8﹣8，当点E和点A重合时，同理可得，BF3=10﹣10，∴F1F3=BF3﹣BF1=6﹣6，Ⅱ、当点E在AC上时，点F的轨迹为F3→C，在Rt△ACF3中，AF3=AM3=10，∴CF3==10，∴点F所经过的路径为F1F3+CF3=6﹣6+10．第21页（共21页）。
2022年浙江省温州市瓯海实验中学高一数学文月考试题含解析
2022年浙江省温州市瓯海实验中学高一数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入a，b分别为14，18，则输出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．14参考答案：B【考点】EF：程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，b的值，当a=b=2时不满足条件a≠b，输出a的值为2．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=14，b=18满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=4满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=10满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=6满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=2满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=2不满足条件a≠b，输出a的值为2．故选：B．2. 对于函数y=f(x)，如果存在区间[a，b]，同时满足下列条件：①f(x)在[a，b]内是单调的；②当定义域是[a，b]时，f(x)的值域也是[a，b]，则称[a，b]是该函数的“对称区间”。
已知函数存在“对称区间”，则实数m的取值范围是A．（0，1）B.C．（0，2）D．（1，3）参考答案：A3. 已知函数f（x）满足f（x）=﹣f（x﹣1），则函数f（x）的图象不可能发生的情形是（）A．B．C．D．参考答案：C【分析】根据图象变换规律即可得出答案．【解答】解：∵f（x）=﹣f（x﹣1），∴f（x）的图象向右平移一个单位后，再沿x轴对折后与原图重合，显然C不符合题意．故选C．4. 等比数列{a n}中，若a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，那么a4＋a5等于()A．27 B．81或－81C．81 D．27或－27参考答案：D5. 光线沿着直线y＝－3x＋b射到直线x＋y＝0上，经反射后沿着直线y＝ax＋2射出，则有( ) A．a＝，b＝6 B．a＝－，b＝－6C．a＝3，b＝－D．a＝－3，b＝参考答案：B由题意，直线y＝－3x＋b与直线y＝ax＋2关于直线y＝－x对称，故直线y＝ax＋2上点(0,2)关于y＝－x的对称点(－2,0)在直线y＝－3x＋b上，∴b＝－6，y＝－3x－6上的点(0，－6)，关于直线y＝－x对称点(6,0)在直线y＝ax＋2上，∴a＝－选B.6. 设集合A={x|x＞a}，集合B={x|x2﹣2x﹣15＜0}，若B∩（?R A）≠?，则实数a的取值范围是( )A．a≤﹣3 B．a＞﹣3 C．﹣3＜a＜5 D．a≥5参考答案：B【考点】集合关系中的参数取值问题．【专题】计算题；探究型．【分析】先化简集合B，然后利用B∩（?R A）≠?，求实数a的取值范围．【解答】解：集合B={x|x2﹣2x﹣15＜0}={x|﹣3＜x＜5}，∴?U A═{x|x≤a}，要使B∩（?R A）≠?，则a＞﹣3．故选B．【点评】本题主要考查集合关系的应用，比较基础．7. 如果函数只有一个零点2，那么函数的零点是A．0，2 B．0，－ C．0， D．2，参考答案：B8. 一条线段长为，其侧视图长为5，俯视图长为，则其正视图长为（▲ ）A．B．C．6 D．5参考答案：A9. 对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是（）A．相离B．相切C．相交但直线不过圆心D．相交且直线过圆心参考答案：C【考点】直线与圆的位置关系．【分析】对任意的实数k，直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在，（0，1）在圆x2+y2=2内，故可得结论．【解答】解：对任意的实数k，直线y=kx+1恒过点（0，1），且斜率存在∵（0，1）在圆x2+y2=2内∴对任意的实数k，直线y=kx+1与圆x2+y2=2的位置关系一定是相交但直线不过圆心故选C．10. 已知，则的值为（）A．1 B. C.D. 2参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （5分）已知函数f（x）=sin（x﹣），x∈[0，]，那么这个函数的值域为．参考答案：考点：三角函数的最值．专题：三角函数的求值．分析： 根据x 的范围求得x ﹣的范围，再根据正弦函数的定义域和值域求得该函数的值域． 解答： 由于x∈[0，]，∴x﹣∈[﹣，]，故当x ﹣=时，函数取得最小值为﹣，当x ﹣=时，函数取得最大值为，故函数的值域为．故答案为：．点评： 本题主要考查正弦函数的定义域和值域，属于中档题．12. 已知定义域为R 的偶函数f （x ）在区间[0，+∞）上是增函数，若f （1）＜f （lgx ），则实数x 的取值范围是 ．参考答案：【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据偶函数在对称区间上单调性相反，结合已知我们可分析出函数的单调性，进而根据f （1）＜f （lgx ），可得1＜|lgx|，根据绝对值的定义及对数函数的单调性解不等式可得答案． 【解答】解：∵函数f （x ）是定义域为R 的偶函数 且函数f （x ）在区间[0，+∞）上是增函数， 则函数f （x ）在区间（﹣∞，0]上是减函数， 若f （1）＜f （lgx ）， 则1＜|lgx|即lgx ＜﹣1，或lgx ＞1 解得x∈ 故答案为：13. 已知函数f （x ）=，则f （x ）﹣f （﹣x ）＞﹣1的解集为 ．参考答案：[﹣1，﹣）∪﹙0，1] 【考点】函数单调性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】由已知中函数的解析式为分段函数，故可分当﹣1≤x＜0时和0＜x≤1时两种情况，结合函数的解析式，将不等式f （x ）﹣f （﹣x ）＞﹣1具体化，最后综合讨论结果，可得答案．【解答】解：当﹣1≤x＜0时，则：0＜﹣x≤1 f （x ）=﹣x ﹣1，f （﹣x ）=﹣（﹣x ）+1=x+1f （x ）﹣f （﹣x ）＞﹣1， 即：﹣2x ﹣2＞﹣1， 得：x ＜﹣ 又因为：﹣1≤x＜0 所以：﹣1≤x＜﹣当0＜x≤1时，则：﹣1≤﹣x ＜0此时：f （x ）=﹣x+1，f （﹣x ）=﹣（﹣x ）﹣1=x ﹣1 f （x ）﹣f （﹣x ）＞﹣1， 即：﹣2x+2＞﹣1， 得：x ＜3/2 又因为：0＜x≤1 所以：0＜x≤1综上，原不等式的解集为：[﹣1，﹣）∪（0，1] 故答案为：[﹣1，﹣）∪（0，1]【点评】本题考查的知识点是分段函数，不等式的解法，其中利用分类讨论思想根据函数解析式将抽象不等式具体化是解答的关键．14. 直线3x ﹣4y ﹣12=0在x 轴、y 轴上的截距之和为 ．参考答案：1【考点】直线的截距式方程．【分析】直线3x ﹣4y ﹣12=0化为截距式：=1，即可得出．【解答】解：直线3x ﹣4y ﹣12=0化为截距式：=1，∴直线3x ﹣4y ﹣12=0在x 轴、y 轴上的截距之和=4﹣3=1． 故答案为：1．15. 函数为减函数的区间是______________.参考答案：略16. 若一直线经过点P （1，2），且与直线的垂直，则该直线的方程是▲ .参考答案：17. f （x ）=x 2+2x+1，x∈[﹣2，2]的最大值是 ．参考答案：9【考点】二次函数的性质． 【专题】计算题．【分析】先求对称轴，比较对称轴和区间的位置关系，看谁离对称轴最远即可． 【解答】解：∵f（x ）=x 2+2x+1， ∴开口向上，对称轴x=﹣1，∵开口向上的二次函数离对称轴越远函数值越大 ∴f（x ）在[﹣2，2]上的最大值为f （2）=9 故答案为 9．【点评】本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题，开口向上的二次函数离对称轴越远函数值越大，开口向下的二次函数离对称轴越近函数值越小．三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
2019年温州瓯海中学提前自主招生模拟考试数学试题及参考答案评分标准
2019年瓯海中学提前自主招生模拟考试 数学试题考生须知1. 本试卷满分150分，考试时间120分钟.2. 必须在答题纸的对应答题位置上答题，写在其他位置无效.3. 本场考试不得使用计算器等任何计算工具. 一、选择题（共10题，每小题5分，共50分） 1. 若x 为实数，则︱-x ︱-x 的值一定（ ▲ ）A. 大于 0B.小于 0C.小于或等于0D.大于或等于 02. 在2，2-，0三个整数中，任取一个，恰好使分式x x-+22有意义．．．的概率是(▲)． A.B .c.D.3.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点P ，则tan ∠APD 的值是（▲）A. B.C. 2D.4. 已知b a ,都是正实数且0111=--+b a b a ，则ab的值为（▲） A ．B.2C.D. 25.如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在CD 边上，AD=DE=EC,BD 交AE 于点F ，点O 在线段AB 上，以OA 为半径的⊙O 与BD 恰好相切于点F ，并交AB 于点G ，交AD 于点H ，则的值为（▲）第3题图第5题图第7题图A .B.C.D.6. 已知正数,a b 满足3ab a b =++，则ab 的取值范围是（▲）A.ab ≥9B.ab ≤3C. 0≤ab ≤9D. ab ≥37. 如图，在ABC Rt ∆中，BC AC ⊥，过C 作AB CD ⊥，垂足为D ，若3=AD ，2=BC ，则ABC ∆的内切圆的面积为（ ▲ ）A ．π B. ()π324- C. ()π13- D. π28. 方程06522=+---y x y x 的正整数解有（ ▲ ）组 A. 1 B. 2 C. 4 D. 69. 如图在矩形ABCD 中,AB=4，BC=6，P 是线段AD 上一点(不与端点A,D 重合)连结PC ，过点P 作PE ⊥PC 交AB 于E ，则BE 的取值范围是( ▲ ) A.744BE ≤< B.04BE << C.24BE ≤< D.704BE <≤10.如图，G 为⊿ABC 的重心，点D 在CB 延长线上，且BD=BC ，过D,G 的直线交AC于点E ，则=( ▲ )A.B.C.D.二、填空题（共5小题，每小题6分，共30分） 11. 分解因式：233+-x x = ▲ .12. 如图，AB 为⊙O 的直径，AB =4，C 为半圆AB 的中点，P 为上一动点，延长BP 至点Q ，使BP •BQ =AB 2．若点P 由A 运动到C ，则点Q 运动的路径长为▲ ．13. 在平面直角坐标系中，已知双曲线和直线y=-x+3k 都经过点P ，若点P 到坐标原点的距离等于，则K 的值为_▲_.第9题图 第12题图第10题图14. 如图，已知四边形ABCD 中，,,120AB BC AD DC BAD ⊥⊥∠=︒，点,M N 分别在,BC CD 上，当AMN △周长最小时，MAN ∠=_▲_.15. 如图，二次函数y=-x 2+2x+3与y 轴交于点B,BC ∥x 轴，交抛物线于点C,且BC=2,点A 的坐标是（4，0），若P 点在抛物线上，并以P 点为圆心作圆与直线AB 、BC 都相切，则点P 的坐标是_▲_.16.如图，正方形ABCD的边长为E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE ，DB 分别交于点M ，N ，则△DMN 的面积是 ▲ . 三、解答题（本题共6小题，共70分）17. （本题满分8分）已知111242+=++a x x x ，用含a 的式子表示12+x x.第14题图15题图 第16题图18. （本题满分12分） 如图在△ABC 中,AD 是角平分线 (1)求证:DCACBD AB = (2)设I 是△ABC 的内心,若BC=6,AB+AC=10. 求AIID的值.19. （本题满分12分）若关于x 的方程2(3)20x a x a --+-=有两个不相等的整数根，求a 的值。
2014级高一自主招生数学试卷
瓯海中学2014年高一自主招生测试数学试卷(考试时间:90分钟 分值:100分)一、选择题（每小题3分，共24分）1. 已知535-++=cx bx ax y .当3-=x 时，y =7，当x =3时，y =（ ） A.-3 B.-17 C.-7 D.72. 将甲、乙、丙三人随机地分到高一(1)班和高一(2)班去，甲、乙同班的概率是( ) A.12 B.13 C.14 D.183. 设a =71-，则3a 3+12a 2−6a −12= （ ） A.24 B. 25 C. 47+10 D. 47+124. 在△ABC 中，c b a ,,是三角形的三边，且211a b c=+，则A ∠ （ ） A.一定是直角 B.一定是锐角 C.一定是钝角 D.锐角、直角、钝角都有可能 5. 如图,在等腰直角△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA ＝15，则AD 的长为（ ） A.2 B.22 C.2 D.16. 已知b 2－4ac 是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的一个实数根，则ab 的取值范围为（ ） A.18ab ≥B. 18ab ≤C.14ab ≥D.14ab ≤ 7. 如图，一个“凸轮”放置于直角坐标系x 轴上方，其“底端”落在原点O 处，一顶点及中心M 在y 轴正半轴上，它的外围由以正三角形的顶点为圆心，以正三角形的边长为半径的三段等弧组成.今使“凸轮”沿x 轴正向滚动前进，在滚动过程中“凸轮”每时每刻都有一个“最高点”，其中心也在不断移动位置，则在“凸轮”滚动一周的过程中，将其“最高点”和“中心点”所形成的图形按上、下放置，应大致为（ ）第5题图D CBA第7题图A. B. C.D.朱青朱青青CBA第13题图8. 已知二次函数2(1)y x =+，若存在实数t ，当1x m ≤≤时，2(1)y x t =++的图象总在直线y x =下方，则实数m 的最大值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（每小题3分，共24分）9. 已知()()22201420131a a -+-=，则()()20142013a a -⋅-=_________.10. 若关于x 的一元一次不等式3x -2a ≤-2只有一个正整数解，则a 的取值范围_____________. 11. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则顶角为_______________. 12. 如图，OA ⊥l 于点A ，OA =13，以O 为圆心，12为半径作圆，若⊙O 绕着A 点顺时针旋转角θ(θ为锐角)与直线l 相切，则tan θ= _________. 13. 如图三个正方形是中国古代证明勾股定理所用的“出入相补图”，已知最大的正方形面积是10，最小的正方形面积是1，则图中△ABC 的面积是____________.14. 已知n 多边形123(4)n A A A A n >L 的所有内角都是15︒的整数倍，且123285A A A ∠+∠+∠=︒，其余的内角都相等，那么n 等于_________．15. 二次函数232y x tx t =++的最小值为M ，则M 的最大值为___________. 16. 在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(3,1)-，点B 是x 轴上的一动点，以AB 为边作等边△ABC ，当C (x ,y )在第一象限时，y 与x 的函数关系是___________.三、解答题（第17题10分，第18题12分，第19~21题各10分，共52分） 17. 已知非负实数x ，y ，z 满足433221-=-=-z y x ，记z y x W 543++=.求W 的最大值与最小值.第16题图∙lOA第12题图18.我们知道：斜边上的中线可把直角三角形分成两个等腰三角形(图①).又比如，顶角为36°的等腰三角形也能分成两个等腰三角形（图②）.(1)试试看，你能把图③、图④、图⑤中的三角形分成两个等腰三角形吗？(2)△ABC中，有一内角为36°，过某一顶点的直线将△ABC分成两个等腰三角形，则满足上述条件的不同形状的△ABC最多有5种，除了图②、图③中的两种，还有三种，请你画出来(画出草图，标明角度).19.如图，在一条平直的公路的前方有一陡峭的山壁，一辆汽车正以30m/s的速度沿着公路向山壁驶去.(1)在距离山壁925m处时汽车鸣笛一声，则经过多长时间后司机听到回声？(2)当司机听到第一次回声时再次鸣笛，并放慢车速，匀速行驶4.5s后司机听到第两次鸣笛的回声，求减速后汽车的行驶速度.（已知声音在空气中的传播速度是340m/s）20. 在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD 如图所示，其中DC ∥OB ，OB =6， BC =4，CD =4.将梯形OBCD 分成面积相等的两部分的直线l 我们称之为等积线.(1)梯形OBCD 的面积为________，若等积线l 过C 点，请在图中画出直线的位置(标明与x 轴交点坐标)；(2)若等积线l 过O 点，则其解析式为________________；(3)若等积线l 过点P (4，3)，求l 的解析式；(4)过BC 的中点是否存在等积线l ，若存在，求出l 的解析式，若不存在请说明理由.21. 已知二次函数2y ax bx c =++，且不等式0y >的解为13x <<.(1)试说明二次函数图象向上(或下)平移几个单位顶点落在x 轴上； (2)若函数2y x -的最大值为正数，求a 的取值范围.xyBDCO瓯海中学2014年高一自主招生测试数学答题卷一、选择题（共24分）1 2 3 4 5 6 7 8二、填空题（共24分）9．. 10． . 11． . 12． . 13． . 14． . 15． . 16． . 三、解答题（共52分）17．（10分）试场号 座位号初中学校_____________________ 姓名_____________________ 准考证号________________………★密 封 线 内 不 许 答 题★………………………★密 封 线 内 不 许 答 题★………………………★密 封 线 内 不 许 答 题★……………………………18．（12分）19．（10分）(1)_________________.(2)________________________. (3) (4)20．（10分） xyBDCOxyBDCOxyBDCO21.(10分)瓯海中学2014年高一自主招生测试数学参考答案一.选择题1. B2.A3.A4.B5.C6.B7.A8.D7提示：根据中心M 的位置，可以知道中心并非是最低与最高中间的位置，而是稍微偏上，随着转动，M 的位置会先变高，当三角形顶点到底时，M 最高，排除C 、D 选项，而对于最高点，当M 最高时，最高点的高度应该与旋转开始前相同，因此排除B,选A. 8提示:由图象右移知,当3t =-时,即右移3个单位时,m 可取到最大值4.故选D. 二.填空题 9. 0 10.542x ≤< 11. 40︒或140︒ 12. 512 13. 5314. 10 提示:7(2)18028515(3)(3)1243,123n k n n k n k n -⨯=+-⇒-=-∴=-- 37,3 1.10,4n n n n ∴-=-=∴==(舍).15.49提示:2299442()4499M t t t =-+=--+. 16.32(0)y x x =+>提示: 作A 关于x 轴的对称点A ′(3,1)--，由BC =BA =BA ′知A ′、A 、C 在点B 为圆心的圆上，再由圆心角与圆周角的关系知:∠AA ′C =12∠ABC =30º，则13,32(0)3y y x x x +=∴=+>+. 三.解答题: 17. 解：设k z y x =-=-=-433221，则12+=k x ，23+-=k y ，34+=k z .（3分） 因为 x ，y ，z 均为非负实数，所以 ⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥+-≥+034023012k k k 解得 －21≤k ≤32 （6分）于是 3453(21)4(32)5(43)1426W x y z k k k k =++=++-+++=+（8分）所以 －21×14＋26≤14k ＋26≤32×14＋26，即 19≤W ≤3135 所以W 的最大值是1353,最小值是19. (10分)18.解: 如图:(每图2分)19.解: (1)如图，设经过ts 后司机听到回声，则有30t +340t =2×925，解得t =5. 所以，经过5s 后司机听到回声. （5分） (2) 设汽车的行驶速度是v ， 则4.5 4.5340(925150)2v +⨯=-⨯.409v ∴=.（10分） 20.解: (1)面积为20，（1分）过(1，0)点和C 点作直线；（2分） (2)59y x =；（4分） (3)求出中位线的中点E (3.5，2)，则过EP 的直线为所求.25y x =- . （7分）(4)BC 的中点为M (6，2)，中位线MN =5,S 梯形OBMN =11.则S △MGN =1.故G 到MN 的距离为25，G 到x 轴的距离为85.直线OD 的表达式为y =2x . 故G 点坐标为48(,)55.则直线l 的解析式为1201313y x =+.（10分）21.解: (1) ∵不等式0y >的解为13x << ,∴2(1)(3)(2)y a x x a x a =--=--且0a <, (3分)函数图象向下平移||a 个单位为2(2)y a x =-其顶点在x 轴上. (5分)(2) 222214122(21)3()a a a y x ax a x a a x a a+++-=-++=--及0a <得: 2y x -的最大值为241a a a++-. (8分)2410,0.a a a a ⎧++->⎪⎨⎪<⎩解得23a <--或230a -+<<. (10分)。
2019年浙江省温州瓯海中学重点高中提前自主招生模拟试题(一)
22019 年温州瓯海中学重点高中提前自主招生模拟试题（一）（考试时间：100 分钟 满分：120 分）一、选择题（共 8 小题，满分 32 分，每小题 4 分）1．已知函数 y ＝3﹣（x ﹣m ）（x ﹣n ），并且 a ，b 是方程 3﹣（x ﹣m ）（x ﹣n ）＝0 的两个根，则实数 m ，n ， a ，b 的大小关系可能是（ ）A ．m ＜n ＜b ＜aB ．m ＜a ＜n ＜bC ．a ＜m ＜b ＜nD ．a ＜m ＜n ＜b2．如图，点 A 在双曲线 （x ＞0）上，过点 A 作 AB ⊥x 轴，垂足为点 B ，分别以点 O 和点 A 为圆心， 大于OA 的长为半径作弧，两弧相交于 D ，E 两点，作直线 D E 交 x 轴于点 C ，交 y 轴于点 F （0，2），连 接 AC ．若 AC ＝1，则 k 的值为（ ）A ．2 C ． D ．第 1 第 4 题第 6 题 3．若关于 x 的方程 x 2+2mx +m 2+3m ﹣2＝0 有两个实数根 x 1、x 2，则 x 1（x 2+x 1）+x 2 的最小值为（ ）A ．1B ．2 D ．4．如图四边形 ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD ＝90°，AB ＝BC +AD ，∠DAC ＝45°，E 为 CD 上一点，且∠BAE ＝45°．若 CD ＝4，则△ABE 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．5．已知一组数据 6，8，10，x 的中位数与平均数相等，这样的 x 有（ ）A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个以上（含 4 个）6．如图，等边△OPQ 的边长为 2，以 O 为圆心，AB 为直径的半圆经过点 P ，点 Q ．连接 A Q ，BP 相交于点C ，将等边△OPQ 从OA 与OP 重合的位置开始，绕着点 O 顺时针旋转120°，则交点C 运动的路径是（ ）A ．长度 的线段B ．半径为 2 的一段圆弧C ．半径的一段圆弧D ．无法确定7．如图，P 为等边三角形 A BC 内的一点，且 P 到三个顶点 A ，B ，C 的距离分别为 3，4，5，则△ABC 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．第7 题 第8 题 8．如图，将正方形 A BCD 折叠，使顶点 A 与 C D 边上的一点 H 重合（H 不与端点 C ，D 重合），折痕交 AD 于点 E ，交 B C 于点 F ，边 A B 折叠后与边 B C 交于点 G ．设正方形 A BCD 的周长为 m ，△CHG 的周长为 n ，的值为（ ）二、填空题（共 8 小题，满分 32 分，每小题 4 分）9．一长阶梯，每步跨 2 阶，最后剩下 1 阶；每步跨 3 阶，剩下 2 阶；每步跨 5 阶，剩下 4 阶；每步跨 7阶，刚好走完．问一共有 阶．10．已知关于 x 的二次函数 y ＝ax 2+（a 2﹣1）x ﹣a 的图象与 x 轴的一个交点的坐标为（m ，0）．若 2＜m ＜ 3，则 a 的取值范围是 ．11．在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个半径为 1cm 的圆形，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为 ．第 11 第 13 题 12．如果关于 x 的不等式的整数解仅有 1，2，那么适合这个不等式组的整数 a ，b 组成的有序数对（a ，b）共有 个．13．如图，过锐角△ABC 的顶点 A 作 DE ∥BC ，AB 恰好平分∠DAC ，AF 平分∠EAC 交 BC 的延长线于点F ．在 A F 上取点 M ，使得 AF ，连接 C M 并延长交直线 D E 于点 H ．若 A C ＝2，△AMH 的面积，的值是 ．14．如图，在 Rt △OAB 中，OA ＝4，AB ＝5，点 C 在 OA 上，AC ＝1，⊙P 的圆心 P 在线段 BC 上，且⊙P 与边 A B ，AO 都相切．若反比例函数 y ＝ （k ≠0）的图象经过圆心 P ，则 k ＝ ．第 14 题 第15 题 15．如图 1，一副含 30°和 45°角的三角板 ABC 和 DEF 叠合在一起，边 BC 与 EF 重合，BC ＝EF ＝12，点 G 为边 E F 的中点，边 F D 与 A B 相交于点 H ，如图 2，将三角板 D EF 绕点 G 按顺时针方向旋转到 60°的过程中，BH 的最大值是 ，点 H 运动的路径长是 ．16．如图，△ABC 是等腰直角三角形，AC ＝BC ＝a ，以斜边 A B 上的点 O 为圆心的圆分别与 A C ，BC 相切于点 E ，F ，与 A B 分别交于点 G ，H ，且 E H 的延长线和 C B 的延长线交于点 D ，则 C D 的长为 ．第 16 题 三．解答题（共 5 小题，满分 56 分）17．（8 分）（1）计算：+（x ﹣2）0﹣﹣2cos45°（2）先化简，再求值：（ + ）÷（1+ ），其中 m ＝﹣3．18．（10分）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i 叫做虚数单位．那么和我们所学的实数对应起来就叫做复数，表示为a+bi（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：（2+i）+（3﹣4i）＝5﹣3i．（1）填空：i3＝，i4＝．（2）计算：①（2+i）（2﹣i）；②（2+i）2；（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：（x+y）+3i＝（1﹣x）﹣yi，（x，y为实数），求x，y的值．（4）试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成a+bi 的形式．19．（12分）如图，矩形A BCD中，AB＝4，BC＝6，E是B C边的中点，点P在线段A D上，过P作P F⊥AE于F，设PA＝x．（1）求证：△PFA∽△ABE；（2）当点P 在线段AD 上运动时，设PA＝x，是否存在实数x，使得以点P，F，E 为顶点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由；（3）探究：当以D为圆心，DP 为半径的⊙D 与线段A E 只有一个公共点时，请直接写出x满足的条件：．第19 题20．（12分）已知：平面直角坐标系中，四边形O ABC的顶点分别为O（0，0）、A（5，0）、B（m，2）、C（m﹣5，2）．（1）问：是否存在这样的m，使得在边BC 上总存在点P，使∠OPA＝90°？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．（2）当∠AOC 与∠OAB 的平分线的交点Q 在边BC 上时，求m 的值．21．（14分）若三个非零实数x，y，z满足：只要其中一个数的倒数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数x，y，z 构成“和谐三组数”．（1）实数1，2，3 可以构成“和谐三组数”吗？请说明理由；（2）若M（t，y1），N（t+1，y2），R（t+3，y3）三点均在函数y＝（k为常数，k≠0）的图象上，且这三点的纵坐标y1，y2，y3 构成“和谐三组数”，求实数t 的值；（3）若直线y＝2bx+2c（bc≠0）与x轴交于点A（x1，0），与抛物线y＝ax2+3bx+3c（a≠0）交于B（x2，y2），C（x3，y3）两点．①求证：A，B，C 三点的横坐标x1，x2，x3 构成“和谐三组数”；②若a＞2b＞3c，x2＝1，求点P（，）与原点O 的距离OP 的取值范围．。
2019年温州瓯海中学重点高中提前自主招生数学模拟试题(二)_20191216183243
2019年温州瓯海中学重点高中提前自主招生模拟试题（二）（考试时间：100分钟满分：120分）一、选择题（共8小题，满分32分，每小题4分）1．二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（）A．t≥﹣1B．﹣1≤t＜3C．﹣1≤t＜8D．3＜t＜8第1题第2题第3题2．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（）A．2B．C．D．33．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6．将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是（）A．6B．3C．2.5D．24．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△P AB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（）A．B．C．5D．第4题第6题第7题5．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：Max{2，4}＝4，按照这个规定，方程Max{x，﹣x}＝的解为（）A．1﹣B．2﹣C．1+或1﹣D．1+或﹣16．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（）A．B．2C．D．7．如图，一个半径为r的圆形纸片在边长为a（）的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）A．B．C．D．πr28．正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F．若AE＝．下列结论：①AD垂直平分EE′，②tan∠ADE﹣C△ODE＝2﹣1，④S四边形AEFB＝，其中结论正确的个数是（）＝﹣1，③C△ADEA．4个B．3个C．2个D．1个第8题第10题第12题二、填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）9．A，B，C，D，E，F，G，H是⊙O上的八个等分点，任取三点能构成直角三角形的概率是．10．如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是cm．11．已知点A（a﹣2b，2﹣4ab）在抛物线y＝x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为．12．如图，已知点A（1，y1）、B（2，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，动点P（x，0）在x轴的正半轴上运动，当线段AP与线段BP的长度之差达到最大时，点P的坐标是．13．某种产品从生产流水线上下线后，需要包装人库，通常的办法是，流水线先工作一段时间，包装工人再开始工作．某次包装工人工作一段时间后，因临近下班，又抽调了一部分工人来帮忙，使包装人库的速度提高了一倍．如图是下线后待包装人库的产品数量y（件）与流水线开始工作时间t（h）的函数关系的图象．以下结论正确的有．（1）流水线上每小时有150件产品下线；（2）工人包装人库的速度是100件/h；（3）线段BC的解析式是y ＝﹣400x+1700；（4）开始工作后，下线产品要在半天（4h）时全部包装人库，原有包装工人应该在流水线工作1.6h时开始包装．第13题第14题第16题14．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，以顶点D为圆心，2为半径作⊙D，过边BC上的一点P作射线PQ与⊙D相切于点Q，且交边AD于点M，连接AP，若AP+PQ＝4，∠APB＝∠QPC，则AD等于．15．某学校九年级的一个研究性学习小组对学生中午在学校食堂的就餐时间进行了调查．发现在单位时间内，每个窗口买走午餐的人数和因不愿长久等待而到小卖部就餐的人数各是一个固定数．并且发现若开1个窗口，45分钟可使等待人都能买到午餐；若同时开2个窗口，则需30分钟．还发现，若在25分钟内等待的学生都能买到午餐，在单位时间内，外出就餐的人数可减少80%．在学校学生总人数不变且人人都要就餐的情况下，为了方便学生就餐，调查小组建议学校食堂20分钟内卖完午餐，则至少要同时开个窗口．16．如图，⊙P的半径为5，A、B是圆上任意两点，且AB＝6，以AB为边作正方形ABCD（点D、P在直线AB两侧）．若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的面积为．三、解答题（共5小题，满分56分）17．（8分）已知a、b为有理数且a+b、a﹣b、ab、中恰有三个数相等，求（2a）b的值．18．（10分）如图，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，连接FC．（1）求证：∠FBC＝∠CDF；（2）作点C关于直线DE的对称点G，连接CG，FG，猜想线段DF，BF，CG之间的数量关系，并证明你的结论．第18题19．（12分）我们知道，解一元一次方程，可以把它转化为两个一元一次方程来解，其实用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x ﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．（1）方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝，x3＝．（2）用“转化”思想求方程＝x的解．（3）如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝14m，宽AB＝12m，小华把一根长为28m的绳子的一端固定在点B处，沿草坪边沿BA、AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P处，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C处，求AP的长．第19题20．（12分）问题提出（1）如图①，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则△ABC的外接圆半径R的值为．问题探究（2）如图②，⊙O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值．问题解决（3）如图③所示，AB、AC、是某新区的三条规划路，其中AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，所对的圆心角为60°，新区管委会想在路边建物资总站点P，在AB，AC路边分别建物资分站点E、F，也就是，分别在、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷、环保和节约成本．要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE+EF+FP的最小值．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）第20题21．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y＝x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y＝x于点C，交x轴于点G，EF⊥x轴，垂足为F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PQ⊥x轴，垂足为点Q，△PCQ为等边三角形（1）求该抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）求证：CE＝EF；（4）连接PE，在x轴上点Q的右侧是否存在一点M，使△CQM与△CPE全等？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．第21题2019年温州瓯海中学重点高中提前自主招生模拟试题（二）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题，满分32分，每小题4分）1．二次函数y＝x2+bx的图象如图，对称轴为直线x＝1，若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是（）A．t≥﹣1B．﹣1≤t＜3C．﹣1≤t＜8D．3＜t＜8【解析】对称轴为直线x＝﹣＝1，解得b＝﹣2，所以二次函数解析式为y＝x2﹣2x，y＝（x﹣1）2﹣1，x＝1时，y＝﹣1，x＝4时，y＝16﹣2×4＝8，∵x2+bx﹣t＝0相当于y＝x2+bx与直线y＝t的交点的横坐标，∴当﹣1≤t＜8时，在﹣1＜x＜4的范围内有解．故选：C．2．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，E、F分别是AD、CD的中点，连接BE、BF、EF．若四边形ABCD的面积为6，则△BEF的面积为（）A．2B．C．D．3【解析】连接AC，过B作EF的垂线交AC于点G，交EF于点H，∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，∴AC＝＝＝4，∵△ABC为等腰三角形，BH⊥AC，∴△ABG，△BCG为等腰直角三角形，∴AG＝BG＝2＝•AB•BC＝×2×2＝4，∵S△ABC＝2，∴S△ADC∵＝2，∵△DEF∽△DAC，∴GH＝BG＝，∴BH＝，又∵EF＝AC＝2，＝•EF•BH＝×2×＝，∴S△BEF故选C．＝S四边形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△FED，方法二：S△BEF+S△BCF＝S四边形ABCD＝3，S△EDF＝，易知S△ABE＝S四边形ABCD﹣S△ABE﹣S△BCF﹣S△FED＝6﹣3﹣＝．∴S△BEF故选：C．3．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝4，BC＝6．将该矩形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中剩余部分面积的最小值是（）A．6B．3C．2.5D．2【解析】如图以BC为边作等腰直角三角形△EBC，延长BE交AD于F，得△ABF是等腰直角三角形，作EG⊥CD于G，得△EGC是等腰直角三角形，在矩形ABCD中剪去△ABF，△BCE，△ECG得到四边形EFDG，此时剩余部分面积的最小＝4×6﹣×4×4﹣×3×6﹣×3×3＝2.5．故选：C．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，动点P满足S△P AB＝S矩形ABCD，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为（）A．B．C．5D．【解析】设△ABP中AB边上的高是h．＝S矩形ABCD，∵S△P AB∴AB•h＝AB•AD，∴h＝AD＝2，∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上，如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，连接BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB＝5，AE＝2+2＝4，∴BE＝＝＝，即PA+PB的最小值为．故选：D．5．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：Max{2，4}＝4，按照这个规定，方程Max{x，﹣x}＝的解为（）A．1﹣B．2﹣C．1+或1﹣D．1+或﹣1【解析】当x＜﹣x，即x＜0时，所求方程变形得：﹣x＝，去分母得：x2+2x+1＝0，即x＝﹣1；当x＞﹣x，即x＞0时，所求方程变形得：x＝，即x2﹣2x＝1，解得：x＝1+或x＝1﹣（舍去），经检验x＝﹣1与x＝1+都为分式方程的解．故选：D．6．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为（）A．B．2C．D．【解析】∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠PAB＝∠PBC，∴∠BAP+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∴OP＝OA＝OB（直角三角形斜边中线等于斜边一半），∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，在RT△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，∴OC＝＝5，∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．∴PC最小值为2．故选：B．7．如图，一个半径为r的圆形纸片在边长为a（）的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（）A．B．C．D．πr2【解析】如图，当圆形纸片运动到与∠A的两边相切的位置时，过圆形纸片的圆心O1作两边的垂线，垂足分别为D，E，连AO1，则Rt△ADO1中，∠O1AD＝30°，O1D＝r，．∴．由．∵由题意，∠DO1E＝120°，得，∴圆形纸片不能接触到的部分的面积为＝．故选：C．8．正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE平分∠ADO交AC于点E，把△ADE沿AD翻折，得到△ADE′，点F是DE的中点，连接AF，BF，E′F．若AE＝．下列结论：①AD垂直平分EE′，②tan∠ADE﹣C△ODE＝2﹣1，④S四边形AEFB＝，其中结论正确的个数是（）＝﹣1，③C△ADEA．4个B．3个C．2个D．1个【解析】如图，连接EB、EE′，作EM⊥AB于M，EE′交AD于N．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，AO＝OB＝OD＝OC，∠DAC＝∠CAB＝∠DAE′＝45°，根据对称性，△ADE≌△ADE′≌△ABE，∴DE＝DE′，AE＝AE′，∴AD垂直平分EE′，故①正确，∴EN＝NE′，∵∠NAE＝∠NEA＝∠MAE＝∠MEA＝45°，AE＝，∴AM＝EM＝EN＝AN＝1，∵ED平分∠ADO，EN⊥DA，EO⊥DB，∴EN＝EO＝1，AO＝DO＝+1，∴tan∠ADE＝tan∠ODE＝＝﹣1，故②正确，∴AB＝AD＝AO＝2+，﹣C△ODE＝AD+AE﹣DO﹣EO＝，故③错误，∴C△ADE＝S△AED＝×1×（2+）＝1+，S△BDE＝S△ADB﹣2S△AEB＝1+，∴S△AEB∵DF＝EF，＝，∴S△EFB＝S△AEB+S△BEF＝，故④错误，∴S四边形AEFB故选：C．二、填空题（共8小题，满分32分，每小题4分）9．A，B，C，D，E，F，G，H是⊙O上的八个等分点，任取三点能构成直角三角形的概率是．【解析】根据圆上的八个点如同东南西北四个方位及其偏位，那么只要有两点过圆心，则一定有直角存在，∴任取三点能构成直角三角形的概率是＝，故答案为．10．如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C在圆周上，将剪下的扇形作为一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是cm．【解析】AB＝＝＝12cm，∴＝＝6π∴圆锥的底面圆的半径＝6π÷（2π）＝3cm．故答案为：3．11．已知点A（a﹣2b，2﹣4ab）在抛物线y＝x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为．【解析】把A（a﹣2b，2﹣4ab）代入y＝x2+4x+10得（a﹣2b）2+4（a﹣2b）+10＝2﹣4ab，整理得a2+4a+4b2﹣8b+8＝0，（a+2）2+4（b﹣1）2＝0，解得a＝﹣2，b＝1，则点A的坐标为（﹣4，10），因为抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，所以点A（﹣4，10）关于直线x＝﹣2的对称点的坐标为（0，10）．故答案为（0，10）．12．如图，已知点A（1，y1）、B（2，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，动点P（x，0）在x轴的正半轴上运动，当线段AP与线段BP的长度之差达到最大时，点P的坐标是．【解析】∵把A（1，y1），B（2，y2）代入反比例函数y＝得：y1＝2，y2＝1，∴A（1，2），B（2，1），∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP﹣BP|＜AB，∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA﹣PB＝AB，即此时线段AP与线段BP之差达到最大，设直线AB的解析式是y＝kx+b，把A、B的坐标代入得：，解得：k＝﹣1，b＝3，∴直线AB的解析式是y＝﹣x+3，当y＝0时，x＝3，即P（3，0）．故答案为（3，0）．13．某种产品从生产流水线上下线后，需要包装人库，通常的办法是，流水线先工作一段时间，包装工人再开始工作．某次包装工人工作一段时间后，因临近下班，又抽调了一部分工人来帮忙，使包装人库的速度提高了一倍．如图是下线后待包装人库的产品数量y（件）与流水线开始工作时间t（h）的函数关系的图象．以下结论正确的有．（1）流水线上每小时有150件产品下线；（2）工人包装人库的速度是100件/h；（3）线段BC的解析式是y＝﹣400x+1700；（4）开始工作后，下线产品要在半天（4h）时全部包装人库，原有包装工人应该在流水线工作1.6h时开始包装．【解析】（1）由图象，得流水线上每小时下线产品数为：300÷2＝150件，故本答案正确；（2）由图象，得（300﹣100）÷（4﹣2）＝100件/时；故本答案正确；（3）∵原来包装工人的包转速度为100件/时，又抽调了一部分工人来帮忙，使包装人库的速度提高了一倍，∴现在包装工人的包装速度是200件/时．100÷200＝0.5小时．∴C（4.5，0）．设线段BC的解析式为y＝kx+b，由图象，得，解得：，∴线段BC的解析式为y＝﹣200x+900（4＜x≤4.5）；故本答案错误；（4）设原有包装工人应该在流水线工作xh时开始包装，由图象，得150x＝100（4﹣x），解得：x＝1.6．故本答案正确．综上所述，正确的有：（1），（2），（4）．故答案为：（1），（2），（4）．14．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，以顶点D为圆心，2为半径作⊙D，过边BC上的一点P作射线PQ与⊙D相切于点Q，且交边AD于点M，连接AP，若AP+PQ＝4，∠APB＝∠QPC，则AD等于．【解析】如图，延长MP和AB交于点N，连接DN、DQ，∵射线PQ与⊙D相切于点Q，∴DQ⊥NQ，DQ＝2，∵∠APB＝∠QPC，∠QPC＝∠BPN，∴∠APB＝∠BPN，∵BP⊥AN，∴AP＝PN，∴AB＝BN，∴NQ＝AP+PQ＝4，AN＝2AB＝8，由勾股定理得：DN＝＝10，∴AD＝＝6，故答案为：6．15．某学校九年级的一个研究性学习小组对学生中午在学校食堂的就餐时间进行了调查．发现在单位时间内，每个窗口买走午餐的人数和因不愿长久等待而到小卖部就餐的人数各是一个固定数．并且发现若开1个窗口，45分钟可使等待人都能买到午餐；若同时开2个窗口，则需30分钟．还发现，若在25分钟内等待的学生都能买到午餐，在单位时间内，外出就餐的人数可减少80%．在学校学生总人数不变且人人都要就餐的情况下，为了方便学生就餐，调查小组建议学校食堂20分钟内卖完午餐，则至少要同时开个窗口．【解析】设每个窗口每分钟能卖x人的午餐，每分钟外出就餐有y人，学生总数为z人，并设至少要同时开n 个窗口，依题意得：45x＝z﹣45y①2•30x＝z﹣30y②20nx≥z﹣0.2×20y③由①、②得y＝x，z＝90x，代入③得20nx≥90x﹣4x，所以n≥4.3因此，至少要同时开5个窗口．故答案为：5．16．如图，⊙P的半径为5，A、B是圆上任意两点，且AB＝6，以AB为边作正方形ABCD（点D、P在直线AB两侧）．若AB边绕点P旋转一周，则CD边扫过的面积为．【解析】连接PD，过点P作PE⊥CD与点E，PE交AB于点F，则CD边扫过的面积为以PD为外圆半径、PE为内圆半径的圆环面积，如图所示．∵PE⊥CD，AB∥CD，∴PF⊥AB．又∵AB为⊙P的弦，∴AF＝BF，∴DE＝CE＝CD＝AB＝3，∴CD边扫过的面积为π（PD2﹣PE2）＝π•DE2＝9π．故答案为：9π．三、解答题（共5小题，满分56分）17．（8分）已知a、b为有理数且a+b、a﹣b、ab、中恰有三个数相等，求（2a）b的值．【解析】∵b≠0，∴a+b≠a﹣b，于是，解得a＝0或b＝±1，若a＝0，则必须b＝0，矛盾，若b＝1，则ab，，a+b，a﹣b中不可能有三个数相等，当b＝﹣1时，有ab＝＝a+b或ab＝＝a﹣b，对应的a值分别为，∴（2a）b＝（±1）﹣1＝±1．18．（10分）如图，正方形ABCD中，点E是BC延长线上一点，连接DE，过点B作BF⊥DE于点F，连接FC．（1）求证：∠FBC＝∠CDF；（2）作点C关于直线DE的对称点G，连接CG，FG，猜想线段DF，BF，CG之间的数量关系，并证明你的结论．【解析】（1）∵ABCD为正方形，∴∠DCE＝90°．∴∠CDF+∠E＝90°，又∵BF⊥DE，∴∠FBC+∠E＝90°，∴∠FBC＝∠CDF（2）如图所示：在线段FB上截取FM，使得FM＝FD．∵∠BDC＝∠MDF＝45°，∴∠BDM＝∠CDF，∵＝＝，∴△BDM∽△CDF，∴＝＝，∠DBM＝∠DCF，∴BM＝CF，∴∠CFE＝∠FCD+∠CDF＝∠DBM+∠BDM＝∠DMF＝45°，∴∠EFG＝∠EFC＝45°，∴∠CFG＝90°，∵CF＝FG，∴CG＝CF，∴BM＝CG，∴BF＝BM+FM＝CG+DF．19．（12分）我们知道，解一元一次方程，可以把它转化为两个一元一次方程来解，其实用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x ﹣2）＝0，解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．（1）方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝1，x3＝﹣2．（2）用“转化”思想求方程＝x的解．（3）如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝14m，宽AB＝12m，小华把一根长为28m的绳子的一端固定在点B处，沿草坪边沿BA、AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P处，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C处，求AP的长．【解析】（1）∵x3+x2﹣2x＝0，∴x（x2+x﹣2）＝0，∴x（x﹣1）（x+2）＝0，则x＝0或x﹣1＝0或x+2＝0，解得：x1＝0、x2＝1、x3＝﹣2．故答案为：1、﹣2．（2）∵＝x，∴2x+3＝x2，即x2﹣2x﹣3＝0，∴（x+1）（x﹣3）＝0，则x+1＝0或x﹣3＝0，解得：x1＝﹣1、x2＝3，又x≥0，所以x＝3；（3）设AP＝x，则DP＝14﹣x，∵AB＝CD＝12，∠A＝∠D＝90°，∴PB＝＝、PC＝＝，∵PB+PC＝28，∴+＝28，＝28﹣，两边平方，整理可得：＝，再两边平方，整理可得：x2﹣14x+45＝0，解得x1＝5、x2＝9，则AP的长为5m或9m．20．（12分）问题提出（1）如图①，在△ABC中，∠A＝120°，AB＝AC＝5，则△ABC的外接圆半径R的值为5．问题探究（2）如图②，⊙O的半径为13，弦AB＝24，M是AB的中点，P是⊙O上一动点，求PM的最大值．问题解决（3）如图③所示，AB、AC、是某新区的三条规划路，其中AB＝6km，AC＝3km，∠BAC＝60°，所对的圆心角为60°，新区管委会想在路边建物资总站点P，在AB，AC路边分别建物资分站点E、F，也就是，分别在、线段AB和AC上选取点P、E、F．由于总站工作人员每天都要将物资在各物资站点间按P→E→F→P的路径进行运输，因此，要在各物资站点之间规划道路PE、EF和FP．为了快捷、环保和节约成本．要使得线段PE、EF、FP之和最短，试求PE+EF+FP的最小值．（各物资站点与所在道路之间的距离、路宽均忽略不计）【解析】（1）设O是△ABC的外接圆的圆心，∴OA＝OB＝OC，∵∠A＝120°，AB＝AC＝5，∴△ABO是等边三角形，∴AB＝OA＝OB＝5，（2）当PM⊥AB时，此时PM最大，连接OA，由垂径定理可知：AM＝AB＝12，∵OA＝13，∴由勾股定理可知：OM＝5，∴PM＝OM+OP＝18，（3）设连接AP，OP分别以AB、AC所在直线为对称轴，作出P关于AB的对称点为M，P关于AC的对称点为N，连接MN，交AB于点E，交AC于点F，连接PE、PF，∴AM＝AP＝AN，∵∠MAB＝∠PAB，∠NAC＝∠PAC，∴∠BAC＝∠PAB+∠PAC＝∠MAB+∠NAC＝60°，∴∠MAN＝120°∴M、P、N在以A为圆心，AP为半径的圆上，设AP＝r，易求得：MN＝r，∵PE＝ME，PF＝FN，∴PE+EF+PF＝ME+EF+FN＝MN＝r，∴当AP最小时，PE+EF+PF可取得最小值，∵AP+OP≥OA，∴AP≥OA﹣OP，即点P在OA上时，AP可取得最小值，设AB的中点为Q，∴AQ＝AC＝3，∵∠BAC＝60°，∴AQ＝QC＝AC＝BQ＝3，∴∠ABC＝∠QCB＝30°，∴∠ACB＝90°，∴由勾股定理可知：BC＝3，∵∠BOC＝60°，OB＝OC＝3，∴△OBC是等边三角形，∴∠OBC＝60°，∴∠ABO＝90°∴由勾股定理可知：OA＝3，∵OP＝OB＝3，∴AP＝r＝OA﹣OP＝3﹣3，∴PE+EF+PF＝MN＝r＝3﹣9∴PE+EF+PF的最小值为（3﹣9）km．21．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为B（2，1），且过点A（0，2），直线y＝x与抛物线交于点D，E（点E在对称轴的右侧），抛物线的对称轴交直线y＝x于点C，交x轴于点G，EF⊥x轴，垂足为F，点P在抛物线上，且位于对称轴的右侧，PQ⊥x轴，垂足为点Q，△PCQ为等边三角形（1）求该抛物线的解析式；（2）求点P的坐标；（3）求证：CE＝EF；（4）连接PE，在x轴上点Q的右侧是否存在一点M，使△CQM与△CPE全等？若存在，试求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．[注：3+2＝（+1）2]．【解析】（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2）2+1，将点A（0，2）代入，得a（0﹣2）2+1＝2，解这个方程，得a＝，∴抛物线的表达式为y＝（x﹣2）2+1＝x2﹣x+2；（2）将x＝2代入y＝x，得y＝2∴点C的坐标为（2，2）即CG＝2，∵△PCQ为等边三角形∴∠CQP＝60°，CQ＝PQ，∵PQ⊥x轴，∴∠CQG＝30°，∴CQ＝4，GQ＝2．∴OQ＝2+2，PQ＝4，将y＝4代入y ＝（x﹣2）2+1，得4＝（x﹣2）2+1解这个方程，得x1＝2+2＝OQ，x2＝2﹣2＜0（不合题意，舍去）．∴点P的坐标为（2+2，4）；（3）把y＝x代入y ＝x2﹣x+2，得x ＝x2﹣x+2解这个方程，得x1＝4+2，x2＝4﹣2＜2（不合题意，舍去）∴y＝4+2＝EF∴点E的坐标为（4+2，4+2）∴OE ＝＝4+4，又∵OC ＝＝2，∴CE＝OE﹣OC＝4+2，∴CE＝EF；（4）不存在．如图，假设x轴上存在一点，使△CQM≌△CPE，则CM＝CE，∠QCM＝∠PCE∵∠QCP＝60°，∴∠MCE＝60°又∵CE＝EF，∴EM＝EF，又∵点E为直线y＝x上的点，∴∠CEF＝45°，∴点M与点F不重合．∵EF⊥x轴，这与“垂线段最短”矛盾，∴原假设错误，满足条件的点M不存在．第21页（共21页）。
浙江省温州市瓯海区实验中学2018-2019学年高一数学理模拟试题含解析
浙江省温州市瓯海区实验中学2018-2019学年高一数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列函数中,在区间（0,1）上是增函数的是A. B. C.参考答案：A略2. 在空间中，a、b是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列说法正确的是（）A．若a∥α，b∥a，则b∥αB．若a∥α，b∥α，a?β，b?β，则β∥αC．若α∥β，b∥α，则b∥βD．若α∥β，a?α，则a∥β参考答案：D【考点】LJ：平面的基本性质及推论．【分析】对于A、B、C、D各项逐个加以分析：根据线面平行的判定及性质得到A错误；根据面面平行的判定得到B错误；根据面面平行的性质得到C错误；根据面面平行的性质，可得D正确．【解答】解：对于A，若a∥α，b∥a，说明b与平面α的平行线a平行，b可能在平面α内，它们的位置关系应该是平行或直线在平面内，故A错；对于B，若a∥α，b∥α，a?β，b?β，说明在平面α和平面β内各有一条直线与另一个平面平行，但是条件并没有指明平面α、β的位置关系，平面α、β也可能相交，故不一定α∥β，故B错；对于C，若α∥β，b∥α，说明直线b∥β或b?β，故不一定b∥β，故C错；对于D，若α∥β，a?α，根据面面平行的性质：两个平行平面中的一个平面的直线必定平行于另一个平面，知a∥β，故D正确．故选D．3. 图是函数的图像，是图像上任意一点，过点A作轴的平行线，交其图像于另一点B（A，B可重合），设线段AB的长为，则函数的图像是( )A B C D参考答案：A略4. 三个数，，的大小顺序是( )A．B．C．D．参考答案：C略5. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在（0，+∞）上单调递增，若f（﹣1）=0，则不等式f（2x﹣1）＞0解集为（）A．B．C．（0，1）D．参考答案：【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数的奇偶性、单调性可作出函数的草图及函数所的零点，根据图象可对不等式等价转化为具体不等式，解出即可．【解答】解：因为f（x）在（0，+∞）上单调递增且为奇函数，所以f（x）在（﹣∞，0）上也单调递增，f（﹣1）=﹣f（1）=0，作出草图如下所示：由图象知，f（2x﹣1）＞0等价于﹣1＜2x﹣1＜0或2x﹣1＞1，解得0＜x＜或x＞1，所以不等式的解集为（0，）∪（1，+∞），故选A．6. 如图，三点在地面同一直线上，，从两点测得点仰角分别是，则点离地面的高度等于（）(A) (B)(C) (D)参考答案：7. 已知，，，则的大小关系是（）A． B． C．D．参考答案：D略8. 当时,在同一坐标系中，函数的图像可能是 ( )A B C D参考答案：C略9. 设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,则（）A．8 B．4 C．2 D．1参考答案：C10. 函数的最小值为（）A. 2017B. 2C. -2017D. 2019参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数单调减区间是__________．参考答案：，去绝对值，得函数，当时，函数的单调递减区间为，当时，函数的单调递减区间为，综上，函数的单调递减区间为，．12. 已知某扇形的周长是16，圆心角是2弧度，则该扇形的面积是．参考答案：16【考点】扇形面积公式．【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值．【分析】设出扇形的半径，求出扇形的弧长，利用周长公式，求出半径，然后求出扇形的面积．【解答】解：设扇形的半径为：R，所以2R+2R=16，所以R=4，扇形的弧长为：8，半径为4，扇形的面积为：S=×8×4=16故答案为：16．【点评】本题是基础题，考查扇形的面积公式的应用，考查计算能力．13. = ．（其中e是自然对数的底数，e=2.718828…）参考答案：7【考点】有理数指数幂的化简求值．【分析】根据指数的运算法则求值即可．【解答】解： =3+=3+=7，故答案为：7．14. 已知f（x）=ax3+bx﹣2，若f（2015）=7，则f（﹣2015）的值为．参考答案：﹣11【考点】函数奇偶性的性质．【专题】转化思想；构造法；函数的性质及应用．【分析】根据条件构造函数g（x）=f（x）﹣1，判断函数的奇偶性，进行求解即可．【解答】解：∵f（x）=ax3+bx﹣2，∴f（x）+2=ax3+bx，是奇函数，设g（x）=f（x）+2，则g（﹣x）=﹣g（x），即f（﹣x）+2=﹣（f（x）+2）=﹣2﹣f（x），即f（﹣x）=﹣4﹣f（x），若f（2015）=7，则f（﹣2015）=﹣4﹣f（2015）=﹣4﹣7=﹣11，故答案为：﹣11．【点评】本题主要考查函数值的计算，根据条件构造函数，判断函数的奇偶性是解决本题的关键．15. 已知f(x5)＝lg x，则f(10)＝_______。
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浙江省瓯海中学高一实验班选拔考试试卷（数学）注意：(1) 试卷共有三大题16小题，满分120分，考试时间80分钟. (2) 请把解答写在答题卷的对应题次上, 做在试题卷上无效.一、 选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项前的字母填在答题卷中相应的格子内.1．在直角坐标系中，若一点的横坐标与纵坐标互为相反数，则该点一定不在( ) (A) 直线y = –x 上 (B) 抛物线 y =2x 上 (C) 直线y = x 上 (D) 双曲线xy = 1上2．以等速度行驶的城际列车，若将速度提高25%，则相同距离的行车时间可节省k%，那么k 的值是 ( )(A) 35 (B) 30 (C) 25 (D) 20 3．若－1＜a ＜0，则aa a a 1,,,33一定是 ( ) (A) a1最小，3a 最大 (B) 3a 最小，a 最大(C)a 1最小，a 最大 (D) a1最小， 3a 最大4．如图，将△ADE 绕正方形ABCD 的顶点A 顺时针旋转90°，得△ABF ，连结EF 交AB 于H ，则下列结论错误的是（ ）(A) AE ⊥AF （B ）EF ：AF =2：1 (C) AF 2= FH ·FE （D ）FB ：FC = HB ：EC5．在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且CD 与BE 相交于点F ，已知△BDF 的面积为10，△BCF 的面积为20，△CEF 的面积为16，则四边形区域ADFE 的面积等于（ ） (A) 22 (B) 24 (D) 36 (D)446．某医院内科病房有护士15人，每2人一班，轮流值班，每8小时换班一次，某两人同值一班后，到下次两人再同班，最长需要的天数是（ ） （A ）30 （B ）35 （C ）56 （D ） 448 二、填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分）7．若4sin 2A – 4sinAcosA + cos 2A = 0, 则tanA = ___ ___ .第4题8．在某海防观测站的正东方向12海浬处有A 、B 两艘船相会之后，A 船以每小时12海浬的速度往南航行，B 船则以每小时3海浬的速度向北漂流. 则经过 小时后，观测站及A 、B 两船恰成一个直角三角形.9．如右图，在坐标平面上，沿着两条坐标轴摆着三个相同的长方形，其长、宽分别为4、2，则通过A,B,C 三点的拋物线对应的函数关系式是 .10．桌面上有大小两颗球，相互靠在一起。
已知大球的半径为20cm ，小球半径5cm, 则这两颗球分别与桌面相接触的两点之间的距离等于 cm.11．物质A 与物质B 分别由点A(2,0)同时出发，沿正方形BCDE 的周界做环绕运动，物质A 按逆时针方向以l 单位/秒等速运动，物质B 按顺时针方向，以2单位/秒等速运动，则两个物质运动后的第11次相遇地点的坐标是 . 12．设,C ,C ,C 321… … 为一群圆, 其作法如下：1C 是半径为a 的圆, 在1C 的圆内作四个相等的圆2C (如图), 每个圆2C 和圆1C 都内切, 且相邻的两个圆2C 均外切, 再在每一个圆2C 中, 用同样的方法作四个相等的圆3C , 依此类推作出,C ,C ,C 654…… , 则 (1) 圆2C 的半径长等于(用a表示)；(2) 圆k C 的半径为( k 为正整数，用a 表示，不必证明)三、解答题（本题有4个小题，共60分）解答应写出文字说明，证明过程或推演步骤。
13.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 内接于圆O ，且AD是圆O 的直径，DC 与AB 的延长线相交于E 点，OC ∥AB. (1) 求证AD = AE ；(2) 若OC=AB = 4，求△BCE 的面积.(第9题)(第11题)第12题第13题14.（本题满分14分）已知抛物线y = x2 + 2px + 2p –2的顶点为M，(1) 求证抛物线与x 轴必有两个不同交点；(2) 设抛物线与x 轴的交点分别为A，B，求实数p的值使△ABM面积达到最小.15 （本小题满分16分）某次足球邀请赛的记分规则及奖励方案如下表：A队共积19分。
(1) 试判断A队胜、平、负各几场?(2) 若每一场每名参赛队员均得出场费500元，设A队中一位参赛队员所得的奖金与出场费的和为W（元），试求W的最大值.16（本小题满分18分）已知：矩形ABCD ，（字母顺序如图）的边长AB=3，AD=2，将此矩形放在平面直角坐标系xOy 中，使AB 在x 轴正半轴上，而矩形的其它两个顶点在第一象限，且直线y =23x －1经过这两个顶点中的一个. （1）求出矩形的顶点A 、B 、C 、D 的坐标；（2）以AB 为直径作⊙M ，经过A 、B 两点的抛物线，y = ax 2＋bx ＋c 的顶点是P 点.① 若点P 位于⊙M 外侧且在矩形ABCD 内部，求a 的取值范围；② 过点C 作⊙M 的切线交AD 于F 点，当PF ∥AB 时，试判断抛物线与y 轴的交点Q 是位于直线y =32x －1的上方？还是下方？还是正好落在此直线上？并说明理由.（第16题）2005年高一实验班选拔考试数学卷评分标准一、 选择题（本题有6小题，每小题5分，共30分）1．D 2．D 3．A 4．C 5．D 6．B 二、填空题（本题有6个小题，每小题5分，共30分） 7．21. 8．2. 9． y = –125x 2 –21x +320.10．20. 11．( –34,–2). 12．(1) 圆2C 的半径 a )12(-； (2)圆k C 的半径 (2 –1 )n – 1 a . 三、解答题13.（本小题满分12分）（1）证1.∵AD 是圆O 的直径，点C 在圆O 上， ∴∠ACD = 90︒，即AC ⊥DE. 又∵OC ∥AE ，O 为AD 中点，∴AD = AE. 4分证2 ∵O 为AD 中点，OC ∥AE ，∴2OC = AE ，又∵AD 是圆O 的直径，∴ 2OC = AD ，∴AD = AE. 4分（2）由条件得ABCO 是平行四边形，∴BC ∥AD ，又C 为中点，∴AB =BE = 4， ∵AD = AE ，∴BC = BE = 4， 4分 连接BD ，∵点B 在圆O 上， ∴∠DBE= 90︒， ∴CE = BC= 4， 即BE = BC = CE= 4，∴ 所求面积为43. 4分14.（本题满分14分）解：(1) ∵⊿ = 4p 2 – 8p + 8 = 4 ( p –1)2+ 4 >0 ,∴抛物线与x 轴必有两个不同交点. 4分 (2) 设A (x 1, 0 ), B( x 2, 0),则|AB|2 = |x 2 – x 1|2 = [ (x 1 + x 2)2 – 4x 1x 2]2 = [4p 2 – 8p + 8 ]2 = [4 ( p –1)2 + 4]2, ∴|AB| = 21)1p (2+-. 5分 又设顶点M ( a , b ), 由y = ( x – p)2 – ( p – 1 )2 – 1 . 得b = – ( p – 1 )2 – 1 .当p =1时，|b|及|AB|均取最小，此时S △ABM = 21|AB||b|取最小值1 . 5分15 （本小题满分16分）解：（1）设A 队胜x 场，平y 场，负z 场， 得⎩⎨⎧=+=++19y x 312z y x ，可得：⎩⎨⎧-=-=7x 2z x319y 4分依题意，知x ≥0,y ≥0,z ≥0,且x 、y 、z 均为整数，∴⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≥-0x 07x 20x 319 解得：27≤x ≤319 ，∴ x 可取4、5、6 4分∴ A 队胜、平、负的场数有三种情况： 当x=4时， y=7,z=1； 当x=5时，y= 4,z = 3 ；当x=6时，y=1,z= 5. 4分 （2）∵W=（1500+500）x + (700+500)y +500z= – 600x+19300当x = 4时，W 最大，W 最大值= – 60×4+19300=16900（元） 答略. 4分16（本小题满分18分）解：(1)如图，建立平面直有坐标系， ∵矩形ABCD 中，AB= 3，AD =2，设A(m 0)（ m > 0 ), 则有B(m ＋3 0)；C(m ＋3 2), D(m 2);若C 点过y =32x －1；则2=32(m ＋3)－1, m = －1与m ＞0不合； ∴C 点不过y=32x －1；若点D过y=32x－1，则2=32m－1, m=2,∴A (2, 0), B(5,0)，C(5,2 )，D(2,2)；5分（2）①∵⊙M以AB为直径，∴M(3.5 0)，由于y = ax2＋bx＋c过A(2, 0)和B(5 ,0)两点，∴0420255=++=++⎧⎨⎩a b ca b c∴b ac a=-=⎧⎨⎩7102分∴y = ax2－7ax＋10a( 也可得：y= a(x－2)(x－5)= a(x2－7x＋10) = ax2－7ax＋10a )∴y = a(x－72)2－94a；∴抛物线顶点P(72, －94a) 2分∵顶点同时在⊙M内和在矩形ABCD内部,∴32＜－94a ＜2,∴－98＜a＜–32. 3分②设切线CF与⊙M相切于Q，交AD于F，设AF = n, n＞0；∵AD、BC、CF均为⊙M切线，∴CF=n＋2, DF=2－n; 在Rt∆DCF中，∵DF2＋DC2=CF2；∴32＋(2－n)2=(n＋2)2, ∴n=98, ∴F(2,98)∴当PF∥AB时，P点纵坐标为98；∴－94a =98，∴a = －12;∴抛物线的解析式为：y= －12x2＋72x－5 3分抛物线与y轴的交点为Q（0，－5），又直线y =32x－1与y轴交点（0，－1）；∴Q在直线y=32x－1下方. 3分。