波函数与波动方程二
波函数和波动方程
满足的波动方程
量子力学与原子核物理
第二章 波函数和波动方程
边界条件和归一化条件
边界条件 － 波函数 (r)及其导数 (r) / x
在边界处保持连续。 归一化条件 － 粒子在整个空间出现的几率为1
全空间 (r,t) 2d 3r 1
量子力学与原子核物理
第二章 波函数和波动方程
几率流密度 (1)
S方程： ( 2 2 V ) (r,t) i (r,t)
2m
t
*(r,t) 为 (r,t)的复数共轭, 它满足
( 2 2 V ) *(r,t) i *(r,t)
2m
t
其中
V
*
(r )
V
(r )
量子力学与原子核物理
第二章 波函数和波动方程
光子的偏振态的叠加 (1)
设有一束线性偏振光，射向一个理想的电气石 晶片
情况(a) 当光的偏振方向与晶轴平行时，光束 将全部通过。
情况(b) 当光的偏振方向与晶轴垂直时，光束 将被完全吸收。
情况(c) 当光的偏振方向与晶轴成角，光束部
分通过:
I I0 cos2
sin 0.776n
n 1
50.90
与实验结果吻合
量子力学与原子核物理
微观粒子的状态
第二章 波函数和波动方程
经典力学的决定性观念－经典力学中，对于一 个受到已知力的粒子(或系统)，只要给定初始
条后任件意，时即刻t=0粒时子的(确或切系位统置)的与位动置量r，t 与那动么量在p以t
薛定谔方程的引入 (1)
描述一维自由粒子 的波函数
(x,t)
1
i ( pxEt)
波函数波动方程
此关系为球坐标参数表示的角动 量算符在直角系坐标下的分量。 思考：如何求得直角坐标参数表 示的角动量算法在球坐标系下的 分量？
例题 若粒子在[0,d]范围、无限深势阱作一维运动，其状态由波 x ( x ) A sin (0 x d )描述。 函数
d
求(1)归一化常数A; (2)概率密度ρ ,及最大的几率密度; (3)[0,d/2]之间粒子出现的概率。
ˆ xx) ˆ ˆ x ](x)=(xp ˆ ˆ x -p ˆ (x) [x,p d d x[i (x)] (i )[ x(x)] dx dx i (x)
ˆ xy) ˆ ˆ x ](x)=(yp ˆ ˆ x -p ˆ (x) [y,p d d y[i (x)] (i )[ y(x)] dx dx 0
ˆ r ˆ L p r ( i ) i r
在直角坐标系中
ˆ ˆ z zp ˆ y i ( y z ) Lx yp z y ˆ ˆ x xp ˆ z i ( z x ) L y zp x z ˆ ˆ y yp ˆ x i ( x y ) Lz xp y x
如果描述某一粒子的波函数在空间反演变换rr下改变符号该粒子具有奇宇称p1如果波函数在空间反演下保持不变该粒子具有偶宇称p1mrzenlmnllmnlnl且满足n几个径向波函数rnl的计算1012141618200005101014a10zra1012141618200001020320zra10121416182000010221zra10121416182000000501001530zra1012141618200000020040060080103110a31zra101214161820000005010zranlmnlmnllmnllmsinsinsindsdsdrrdrsinnlmnllmnlmnlmnlmnlm处体积元d内发现电子的几率nlmnlmnlnlnlmnlmnlmnlm在角度内发现电子的几率nlmnlmnlmnlmlmlmnlnlnlrrimlmlm球谐函数的图示0015sincossin32曲面到中心的距离表示函数值的大小电子云lmlmlmly角动量量子数的物理含义对于一个简并度为一个可以有个不同的波函数个不同的运动状态但能量相同成为简并态
量子力学中的波动方程与波函数解
量子力学中的波动方程与波函数解量子力学是描述微观世界中粒子行为的一套理论体系。
在量子力学中，波动方程与波函数解是非常重要的概念和工具。
本文将就量子力学中的波动方程以及如何求解波函数进行探讨。
一、波动方程的引入在量子力学中，波动方程用于描述粒子在时间演化过程中的行为。
波动方程的基本形式是薛定谔方程，也叫薛定谔波动方程。
它的一般形式如下：iħ∂Ψ/∂t = HΨ其中，i是虚数单位，ħ是普朗克常数除以2π，Ψ是波函数，t是时间，H是系统的哈密顿算符。
二、波函数的物理意义波函数Ψ是量子力学中描述粒子的状态的函数。
它包含了关于粒子位置、动量等物理量的所有信息。
波函数的模的平方|Ψ|²表示了在某个位置上找到粒子的概率密度。
三、定态薛定谔方程在某些情况下，系统的哈密顿算符H并不显含时间变量。
这时，薛定谔方程可以简化为定态薛定谔方程。
定态薛定谔方程的形式如下：HΨ = EΨ其中，E是能量本征值，Ψ是相应的能量本征函数或波函数。
四、波函数的求解方法对于简单的量子系统，我们可以通过求解薛定谔方程来得到波函数的解析表达式。
但对于一般的复杂系统，解析解往往难以获得，只能通过近似方法或数值计算来获得波函数的解。
数值方法主要包括薛定谔方程的数值求解和量子力学算符的数值模拟。
常见的数值方法有蒙特卡洛法、矩阵对角化方法、微扰理论等。
五、波函数解的物理意义和应用波函数解提供了关于粒子在量子力学体系中的行为的丰富信息。
通过波函数解，我们可以计算系统的能谱、态密度、相干性等物理量，并进一步研究系统的特性。
波函数解的应用非常广泛。
它在原子物理、凝聚态物理、量子信息等领域都有重要的应用。
例如，在原子物理中，通过求解氢原子的薛定谔方程，可以得到氢原子的波函数，从而计算能级和跃迁概率等物理量。
在凝聚态物理中，波函数解可用于研究晶体结构、电子能带等问题。
在量子信息领域，波函数解是研究量子计算和量子通信等问题的基础。
六、总结波动方程与波函数解是量子力学中的重要概念和工具。
14-2平面简谐波的波动方程
u
振动曲线 图形
A O
波形曲线
t A O t 0 P
t0 P
T
v
v
u x
研究 某质点位移随时间 对象 变化规律
由振动曲线可知
某时刻，波线上各质点 位移随位置变化规律
由波形曲线可知 该时刻各质点位移 波长 , 振幅A 只有t=0时刻波形才能提供初相
物理 周期 T 振幅 A 初相 0 意义
14-2 平面简谐波的波动方程
一、波函数的建立
波函数(wave function): 描述波传播媒质中不同质点的 运动规律,又称波动表达式(或波动方程).
y f x, t
依据：各质点沿波传播方 向相位依次落后. 平面波在传播过程中,波 线上的各质点都作同频率 同振幅的简谐运动—叫做 平面简谐行波(traveling wave). 波面为平面 传播中的波(相对于“驻波”而言)
x y A cos t u
(1)
P为任意点,波动表达式为
u O P( x )
x
方法2 波线上沿传播方向每走一个,相位落后2
P点相位比O落后
y P A cos(t
即
x
2π
x
y A cos(t
2π
P在 t=0 时刻过平衡位置向负向运动 ——波向左移
y(m)
0.2 O 1
t=0 P
2
yP(m) x(m)
0.2 O 0.1 0.2
t (s)
3 yO 0.2 cos(10πt π) 2 x 3 波向-x方向传播 y 0.2 cos[10 π(t ) π] 10 2 π π b) 以 P 为参考点 P yP 0 2cos( 10π t ) 2 2 波向-x方向传播 x 1 π 0 2 cos[10 π(t x ) π ] y 0 2 cos[10 π(t ) ] 10 2 10 2
量子力学中的波动方程和波函数演化
量子力学中的波动方程和波函数演化量子力学是描述微观世界中微粒行为的一套理论体系，其中波动方程和波函数演化是重要的概念和工具。
本文将详细介绍量子力学中的波动方程和波函数演化。
一、波动方程在量子力学中，波动方程描述了粒子在各种势场中的运动行为。
波动方程的一般形式为薛定谔方程，即薛定谔波动方程。
薛定谔方程的表达式为：$$i\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t} = \hat{H}\psi$$其中，$\psi$表示波函数，$\hat{H}$表示哈密顿算符，$i$表示虚数单位，$\hbar$为普朗克常数除以$2\pi$。
薛定谔方程是一个偏微分方程，用于描述波函数随时间的演化。
它表示波函数的时间导数与哈密顿算符作用于波函数之间的关系。
通过求解薛定谔方程，我们可以得到波函数随时间的演化规律。
二、波函数演化波函数演化是指波函数随时间的变化过程。
根据薛定谔方程，我们可以求解得到波函数在不同时间的表达式，从而了解粒子的运动状态随时间的演变。
在一维情况下，假设势能场为静态的，即不随时间变化，那么波函数的时间演化可以由薛定谔方程的定态解得到。
定态波函数一般形式为：$$\psi(x) = Ae^{ikx} + Be^{-ikx}$$其中，$A$、$B$为常数，$k$为波矢。
对于势能场为动态的情况，波函数的时间演化需要考虑势能的变化。
这时可以采用定态波函数的线性叠加形式，即波函数可以表示为各个定态波函数的叠加。
在三维情况下，波函数的时间演化可以通过薛定谔方程的定态解以及球谐函数展开得到。
定态波函数的形式为：$$\psi(r,\theta,\phi) = \sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^{l}C_{lm}Y_{lm}(\theta,\phi)\frac{e^{ikr}}{r}$$其中，$C_{lm}$为系数，$Y_{lm}(\theta,\phi)$为球谐函数，$k$为波矢。
第2章 波函数与波动方程
第2章波函数和薛定谔方程既然辐射和粒子都具有波动性和微粒性，那么，如何理解这两属性呢？它们如何统一起来？ 经典物理观点必须被修改。
主要表现：a. 波－粒两象性P （粒子） ν λ （波）ω=ν= h E （Planck 假设）Einstein 关系k P = （P h =λ，λπ=2k ） （de Broglie 假设） de Broglie 关系 ∴ 具有确定动量的自由粒子被一平面波所描述)Et r P (i )t r k (i AAe-⋅ω-⋅==ψb. 物理量取值不一定是连续的辐射体辐射的能量取值 ν=nh E ,2,1,0n = 氢原子的能量202n 8n a eE πε⋅-=cm 10529.0em 4a 82e 200-⋅=πε=由于平常粒子的波长1010-<λÅ，所以观察不到干涉, 衍射现象。
微观粒子，如电子1≈λÅ，因此在原子线度下可能显示出波动性。
而在宏观测量尺度下，几乎也不显示波动性。
将粒子所具有的微粒性和波动性统一起来，这在经典物理学中看来是不可能的，因经典粒子 经典波√原子性（整体性） ⨯实在物理量的空间分布 ⨯轨道 √干涉，衍射这两者是不相容的。
描述微观粒子既不能用经典粒子，也不能用经典波，当然也不能用经典粒子和经典波来描述。
§1 波函数的统计解释一、波函数的引入描述自由粒子可用平面波波函数)(Et r p ipAe -⋅=ψ来描述。
如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，这样的微观粒子的运动状态也可以用较复杂的波(,)r t ψ完全描述。
二、波函数的解释1、经典物理学中粒子与波的有关概念经典概念中粒子意味着： 1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定位置和速度。
经典概念中波意味着：1. 某种实在的物理量的空间分布作周期性的变化; 2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。
2、对波粒二象性的两种错误的看法 (1). 波由粒子组成波是由粒子组成的，把波看成是由大量粒子相互作用而在空间形成的一种疏密相间的周期分布。
4_2_2波动方程、波的能量、声波
§2.4 波动方程与波速
一、波动方程 简谐波的波函数为： 简谐波的波函数为： y(x,t)=Acosk(ut-x) 2 y y = k 2u2 A sin k(ut x) = kuAsin k(ut x) 2 t t y 2 y = kAsin k(ut x) = k 2 A sin k(ut x) x x 2 2 2 y 2 y =u --- 平面波的波动方程 平面波的波动方程 2 2 t x 其通解为 y = f1 ( x + ut ) + f 2 ( x ut ) --- 平面波函数 平面波函数 u 为波速
w = w
k
W V
p
1 y = E 2 x
2
2
+ w
p
1 y 1 y = ρ + E t x 2 2
2
3.能量密度 能量密度 w = w
k
+ w
p
1 y 1 y = ρ + E t 2 2 x
E ρ
2
2
棒中纵波速度 u =
E = ρu 2
1 2 y w p = ρu 2 x
1 y = ρ t 2
2
2.势能密度 势能密度
--- 与弹性（形变）有关 与弹性（形变）
考虑一棒的线变， 考虑一棒的线变， 棒长： 截面： 棒长：l ，截面：S 两端拉力： 两端拉力：由0 → F 相应形变：增至 ， 应变。 相应形变：增至l，应力 ∝ 应变。
F ES l =E F= l = kl S l l 1 2 k (l ) 势能： W p = 势能： 2
波动方程
轴正向传播,波速为u,已知原点的振动 y(0, t ) A cos(t 0 ) 求波线上任意位置x处质点的振动方程 y ( x, t ) 。
解: X处的振 动规律y(x,t) 与原点的振动 规律的关系：
i)时间法 点O 的振动状态 t 时刻点 P 的运动
x y( x, t ) y[0,(t t )] A cos[ (t ) 0 ] u
(1.0m) sin( π m ) x
1
y/m
1.0
o
-1.0
2.0
x/m
t 1.0 s 时刻波形图
x 0.5m 处质点的振动规律并做图 . t x π y (1.0m) cos[ 2 π( ) ] 2.0s 2.0m 2 x 0.5m 处质点的振动方程
3）பைடு நூலகம்
y (1.0m) cos[(π s )t π] y/m y
2、从无穷远处来到无穷远处去
y( x0 , t ) A cos(t 0 ) 已知 x x0 的振 动 求波线上任意位置x处质点的振动方程: y( x, t )
（2）后退波
y( x, t ) y( x0 , t t )
· · · · · · o· · · · · · · · x x ·· · x
xB xC
平面简谐波后退波的波函数（表达式、波函数、波动 方程、运动学方程）：
点 P 振动方程：
x 2π
A
x
t x x y ( x, t ) A cos[ (t ) 0 ] A cos[2 ( ) 0 ] T ux A cos(t 2 0 ) A cos(t kx 0 )
y(0, t ) A cos(t 0 )
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r r dr 中，发现粒子的概率为
(r, t) 2 dr
2
(r ', t) dr '
若
(r,
t)
2
dr
A2
则归一化的波函数为
(r, t)
1 A
(r,
t)
（可差一相因子
ei ，
为实数）
这时 (r, t) 2 dr 才代表在 r r dr 区域中
发现粒子的概率。
例：
r it
(r, t) e 2a
a. 波粒二象性 E h P k
具有确定动量的自由粒子被一平面波 来描述
Aei(krt) Ai(PrEt ) 这从经典物理学来看，是不可思议的。
b. 物理量取值不一定是连续的 辐射体辐射的能量取值
E nh n 0,1,2,
氢原子的能量
En
e2 80a0n2
a0
4 02 mee2
描述 Aei(krt )
Aei(PrEt)
k＝P
＝E
这一平面波称为德布罗意波（物质波）
通常物质微粒不显示出波动性，而电 子在通常情况下也不显示，仅在原子尺度 下才显示。
我们给出了波长的计算公式
2 197.3MeV fm [Ek (Ek 2m0c2 )]1 2
B. 物质粒子波动性的实验证据
2
(r,t) dr
r it
e 2a
e
r 2a
it
r
2drd
e
r
ar
2dr
4
0
8a3
得到归一化波函数
(r, t)
1 (8a3 )1
2
r it
e 2a
而在 r0 r0 dr中的概率为
r02
r0
e a dr
2a 3
在 0 0 d 中的概率为
1 2
s
in
0d
在 0 0 d 中的概率为 1 d 2
当然，也可计算 x0 x0 dx 中的概率
1
4a 2
a x0
e x0 / adx
2. 波函数的自然条件： 一般而言，波函数必须连续，有界，单 值。
◉ 连续：由于 (r, t) 2 dr 是粒子处于 r r dr 中的概率。所以在 r 0 和 r 0 处概率当然应该相等。因此， 在任何条件下 (r, t) 都应连续；
1．位置平均值 设： (x, y,z, t) 是归一化波函数。由 于测得 x 值在 xi xi xi 的概率为
2
xi (xi , y j, zk ,t) y jzk
j,k
从平均值的定义，则 x 的平均值应表为
x
lim
xi
xi
(
(xi
,
y
j
,
zk
,
t)
2
y
jzk
)
xi 0 i
j,k
y j0
动量平均值能否仍按上述表示给出呢？即
P *(x, y, z, t)P(x, y, z)(x, y, z, t)dxdydz
原则上讲，这是完全错的。一般而 言，一个波函数 (r, t) 是由很多不同波长的 平面波叠加而成的。在某一点（ x, y,z ） 处，其波长不是一个，而是有很多不同大
小的波长，即在（ x, y, z）处并不是有确定
P(r, t)dr (r, t) 2 dr
（ P(r, t)dr 1）
注意两点： ① (r, t) 不是对物理量的波动描述。 它有意义的是，在体积元 r r dr 中发现 粒子的 概率为 (r, t) 2dr ，所以它不代表 物理实体，仅是一概率波； ② 粒子是由波函数 (x, t) 来描述，但波 函数并不能告诉你 t0 时刻测量时，粒子在 什么位置。粒子位置可能在 x1 ，可能在
而实验得 P1 P2 P12
c. 不能认为衍射可能是通过缝后，电 子相互作用所导致（稀疏时，也有同样现 象）。
总之，电子（量子粒子）不能看作经 典粒子，也不能用经典波来描述（经典波 是物理量在空间分布）。
电子的双缝干涉
水波有这种类似的干涉现象
类似水波通过双缝后的描述，电子的 双缝干涉的现象也可用 1, 2 函数来 描述（它们一般应是复函数）
P(x) (x) 2
P(x)dx 1
是电子出现在 x 附近的概率密度. 电子通过双缝的描述，尽管类似水波
那样用一波函数来描述 。但本质是不同的 ，(r, t) 是描述一个电子的概率密度幅。
玻恩概率诠释：
如果在 t 时刻，对以波函数 (r,t)
描述的粒子进行位置测量，测得的结果可 以是不同的；而在一小区域 r r dr 中发现该粒子的概率为
ni
nm
(xi ,t) 2dx
m
体系的波函数 (r, t) 给出了体系所有
信息（可能范围内的），它给于体系一个
完全的描述。可以说：
波函数描述了体系所处的量子状态
Ⅲ . 波函数的性质，态叠加原理
既然体系状态的波函数 (r, t) 给出了 体系有可能得到的信息，那么它有什么共 同性质呢？
A. 波函数的性质 1. 归一化条件：
第二讲 回顾
Ⅲ. 物质粒子的波动性 A. 德布罗意假设 德布罗意认为物质微粒具有波动性，
他假设：粒子的动量与波长的关系为
h P
即
P
k（
k
2
）
加上普朗克假设
E h
粒子的动力学变量
P， E
与 波的特征量
，
联系起来。
一个具有确定能量和动量的自由粒
子， 应由一个有确定的频率和波长（波
数）及一定的传播方向 P P 的平面波来
1. 戴维孙-革末实验 当可变电子束（ 30 600eV ）照射到 抛光的镍单晶上，发现在某角度 方向有 强的反射（即有较多电子被接收），而 满足
asin nh P
这证实了，电子入射到晶体表面，发 生干涉散射，所以电子具有波动性.
而相应波长为 h P
2. G.P.Thomson 的电子衍射实验 电子通过单晶粉末，出现衍射图象。正 象 x 射线照到单晶粉末压成的金箔上，满足
当比较远时，两束电子分开，所以分 别收集到动量为 P1 ，P2 的电子束（在 1 ， 2 方向）
这时镍晶体好似一谱分离器，可认为
1
CP1 (t)
1 eiP1r L3
2
CP2 (t)
1 eiP2r L3
因此，在远处接收到动量为 P1 的电子
数目
N1(1) CP1 (t)
1 eiP1r L3
2
4. 多粒子体系波函数的形式 N 个粒子体系的波函数为
(r1,r2, rN, t)
2
(r1,r2, rN, t) dr1 drN
是描述粒子 1 处于 r1 r1 dr1，， N 粒子 处于 rN rN drN 的概率。
现指的 N 个粒子是不同粒子。
粒子 1 处于 r10 r10 dr1 的概率为
2
dr1 (r10, r2, rN ) dr2 drN
同样，在整个空间中找到这些粒子的概率
应为 1 。
所以，物质粒子的波动性本质上是与 经典波不一样的。经典波是指描述某种实
在的物理量在三维空间中的波动现象，而 物质粒子波函数是在多维空间（位形空间 ）中的概率波。
第三讲
第二章 波函数与波动方程 Ⅲ . 波函数的性质，态叠加原理 B. 位置和位能的平均值 C. 动量平均值 D. 态叠加原理
zk 0
2
x (x,y,z,t) dxdydz
x *(r, t)x(r, t)dr
2．位能平均值（假设位能表示中不依赖
动量）
V lim V(xi , y j, zk ) (xi , y j, zk ,t) 2 xiy jzk xi 0 ijk y j 0 zk 0 2 V(x,y,z) (x,y,z,t) dxdydz V *(r, t)V(r)(r, t)dr
L3
实际上，镍晶体就是一制备仪器，制 备一个体系的状态是以这一波函数来描述 的。这才是描述散射后，一个电子的波函 数。 而电子动量为 P1 的概率是
（系数是为了使它们归一化到 (P P') ） 所以，以单色平面波来描述粒子时，
则粒子具有完全确定的动量，而平均值就 是确定的值 P 。
一般而言，描述粒子是由一波包来实 现(局限于空间某一区域，所以是由许多平 面波叠加而成），即动量有一分布，可由 实验来定。
一束具有动量 P 的电子束垂直入射
到抛光的镍金属晶体上（即戴维孙和革末
函数 1 2 的模的平方 1 2 2来描述。
但是，这种描述没有回答， 电子是一个个出现的问题；
也没有回答， 空间电子稀疏时，但时间足够长
后，干涉花纹照样出现。
Ⅱ. 波函数的玻恩概率诠释—概率波
从上面分析可以看到，如电子用一波 函数 (x)来描述，则
① 在 x x dx 范围内，接收到电子多 少是与
的动量值.
h P(x, y,z) (x, y,z)
因此不能仿上述平均值来表示。
C. 动量平均值 根据 de Broglie 关系，具备一定动量 和能量的自由粒子，其波长,频率
h P
ω E
即以一平面波来描述
P(r, t)
1 (2 )3
2
e i ( kr t )
1 (2 )3
2
ei(PrEPt)
P1 1 2
P2 2 2
P12 1 2 2 1 2 2 2 (1*2 1*2 )
P1 P2 2 P1P2 cos δ 1 2
1, 2 称为波函数（描述粒子波动性 的函数称为波函数），也就是说，接收器 上某位置电子数的多少，将由波函数的模
的平方 2 来表征。 空间若有两个波，粒子数多少则应由波