北师大版九下何时获得最大利润教案

2．6 何时获得最大利润
教学目标
(一)教学知识点
1．经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值．
2．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力．
(二)能力训练要求
经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力．
(三)情感与价值观要求
1．体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值．增进对数学的理解和学好数学的信心．
2．认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用．
教学重点
1．探索销售中最大利润问题．
2．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值，发展解决问题的能力
教学难点
运用二次函数的知识解决实际问题．
教学方法
在教师的引导下自主学习法．
教具准备
投影片三张
第一张：(记作§2．6 A)
第二张：(记作§2．6 B)
第三张：(汜作§2．6 C)
教学过程
Ⅰ. 创设问题情境，引入新课
[师]前面我们认识了二次函数，研究了二次函数的图象和性质，由简单的二次函数y ＝x2开始，然后是y＝ax2.y＝ax2+c，最后是y=a(x-h)2，y＝a(x-h)2+k，y＝ax2+bx+c，掌握了二次函数的三种表示方式．怎么突然转到了获取最大利润呢?看来这两者之间肯定有关系．那么究竟有什么样的关系呢?我们本节课将研究有关问题．
Ⅱ．讲授新课
一、有关利润问题
投影片：(§2．6 A)
某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是2．5元．根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13．5元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件．
请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多?
没销售单价为x(x≤13．5)元，那么
(1)销售量可以表示为；
(2)销售额可以表示为；
(3)所获利润可以表示为；
(4)当销售单价是元时，可以获得最大利润，最大利润是．
[师]从题目的内容来看好像是商家应考虑的问题：有关利润问题．不过，这也为我们以后就业做了准备，今天我们就不妨来做一回商家．从问题来看就是求最值问题，而最值问题是二次函数中的问题．因此我们应该先分析题意列出函数关系式．
获利就是指利润，总利润应为每件T恤衫的利润(售价一进价)乘以T恤衫的数量，设销售单价为x元，则降低了(13．5-x)元，每降低1元，可多售出200件，降低了(13．5-x)元，则可多售出200(13．5-x)件，因此共售出500+200(13．5-x)件，若所获利润用y(元)表示，则y＝(x-2．5)[500+200(13．5-x)]．
经过分析之后，大家就可回答以上问题了.
[生](1)销售量可以表示为500+200(13．5-x)=3200—200x．
(2)销售额可以表示为x(3200-200x)=3200x-200x2．
(3)所获利润可以表示为(3200x-200x2)-2．5(3200-200x)＝-200x2+3700x-8000．
(4)设总利润为y元，则
y＝-200x2+3700x-8000
=-200(x-218225)4372 . ∵-200＜0
∴抛物线有最高点，函数有最大值．
当x ＝
4
37＝9．25元时， y 最大= 218225=9112.5元. 即当销售单价是9．25元时，可以获得最大利润，最大利润是9112．5元．
二、做一做
还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗?我们得到表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的二次函数表达式y ＝(600-5x)(100+x)＝-5x 2
+100x+60000．
我们还曾经利用列表的方法得到一个猜测，现在验证一下你的猜测是否正确?你是怎么做的?与同伴进行交流．
[生]因为表达式是二次函数，所以求橙子的总产量y 的最大值即是求函数的最大值． 所以y ＝-5x 2+100x+60000
＝-5(x 2-20x+100-100)+60000
＝-5(x-10)2+60500．
当x=10时，y 最大=60500．
[师]回忆一下我们前面的猜测正确吗?
[生]正确．
三、议一议(投影片§2．6 B)
(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系．
(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60400个以上?
[生]图象如上图．
(1)当x<10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加；当x >10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而减小．
(2)由图可知，增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵，都可以使橙子总产量在60400个以上．
四、补充例题
投影片：(§2．6 C)
已知——个矩形的周长是24 cm ．
(1)写出这个矩形面积S与一边长a的函数关系式．
(2)画出这个函数的图象．
(3)当a长多少时，S最大?
[师]分析：还是有关二次函数的最值问题，所以应先列出二次函数关系式．
[生](1)S=a(12-a)＝a2+12a＝-(a2-12a+36-36)＝-(a-6)2+36．
(2)图象如下：
(3)当a＝6时，S最大=36．
Ⅲ．课堂练习
解：设销售单价为；元，销售利润为y元，则
y=(x-20)[400-20(x-30)]
＝-20x2+1400x-20000
＝-20(x-35)2+4500．
所以当x=35元，即销售单价提高5元时，可在半月内获得最大利润4500元．
Ⅳ．课时小结
本节课经历了探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会了二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受了数学的应用价值．
学会了分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值，提高解决问题的能力．
Ⅴ．课后作业
习题2．6
Ⅵ．活动与探究
某商场销售某种品牌的纯牛奶，已知进价为每箱40元，生产厂家要求每箱售价在40～70元之间．市场调查发现：若每箱以50元销售，平均每天可销售90箱，价格每降低1元，平均每天多销售3箱，价格每升高1元，平均每天少销售3箱．
(1)写出平均每天销售(y)箱与每箱售价x(元)之间的函数关系式．(注明范围)
(2)求出商场平均每天销售这种牛奶的利润W(元)与每箱牛奶的售价x(元)之间的二次函数关系式(每箱的利润=售价-进价)．
(3)求出(2)中二次函数图象的顶点坐标，并求当x＝40，70时W的值．在坐标系中画出函数图象的草图．
(4)由函数图象可以看出，当牛奶售价为多少时，平均每天的利润最大?最大利润为多
少?
解：(1)当40≤x≤50时，则降价(50-x)元，则可多售出3(50-x)，所以y＝90+3(50-x)=-3x+240．当50<x≤70时，则升高(x-50)元，则可少售3(x-50)元，所以y=90-3(x-50)＝-3x+240．
因此，当40≤x≤70时，y=-3x+240．
(2)当每箱售价为x元时，每箱利润为(x-40)元，平均每天的利润为W＝(240-3x)(x-40)＝-3x2+360x-9600．
(3)W＝-3x2+360x-9600
＝-3(x2-120x+3600-3600)-9600
=-3(x-60)2+1200．
所以此二次函数图象的顶点坐标为(60， 1200)．
当x＝40时，W=-3(40-60)2+1200＝0；
当x＝70时，W=-3(70-60)2+1200=900．
草图略．
(4)要求最大利润，也就是求函数的最大值，只要知道顶点坐标即可．
由(3)得，当x＝60时，W最大＝1200
即当牛奶售价为每箱60元时，平均每天的利润最大，最大利润为1200元．
板书设计
§2．6 何时获得最大利润
一、1．有关利润问题(投影片§2．6 A)
2．做一做
3．议一议(投影片§2．6 B)
乙补充例题(投影片§2．6 C)
二、课堂练习
三、课时小结
四、课后作业。