数学期望及其性质
随机变量的数字特征
§1 数学期望
§1 数学期望
例 1：某班有 N 个人，其中有 ni 个人为 ai 分， i = 1,2,L k ，
∑n
i =1
k
i
= N ， 求平均成绩。
解：
k ni 1 k 平均成绩为: ∑ ai ni = ∑ ai N i =1 N i =1 ni 若用 X 表示成绩，则 P{X = ai } ≈ N k k ni ai ⋅ ≈ a i ⋅ P{ X = a i } N i =1 i =1
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第十三章 随机变量的数字特征
§1 数学期望
例4
设离散型随机变量 X 的分布律为： X 0 1 2 P 0.1 0.2 0.7
则 EXห้องสมุดไป่ตู้= 0*0.1+1*0.2+2*0.7 =1.6
若离散型随机变量 X 的分布律为： X 0 1 2 P 0.7 0.2 0.1 EX = 0*0.7+1*0.2+2*0.1 =0.4
n =1 ∞
时，才能保证级数 ∑ x n pn 的和与其级数 ∑ x n pn
n =1 n =1
∞
∞
的求和顺序无关．
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第十三章 随机变量的数字特征
§1 数学期望
例2
甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出： X：甲击中的环数；
Y：乙击中的环数；
X P
Y P
8 0.1
8 0 .2
9 0.3
9 0 .5
到站时间 8:10,9:10 概率 1/6 8:30,9:30 8:50,9:50 3/6 2/6
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第十三章 随机变量的数字特征
3、数学期望的性质
§1 数学期望
I)
Ec=c，c 是常数，若 a ≤ X ≤ b ， 则 a ≤ EX ≤ b ，
II)
EcX=cEX， c 是常数，
III)
E (a X + b Y )= a E X + b E Y
q k −1 p, k = 1,2,L, n − 1; P{ X = k } = q n −1 , k = n.
其中q = 1 − p，于是
E( X ) =
∑
k =1
n −1
kq k −1 p + nq n −1
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第十三章 随机变量的数字特征
例 8（续）
E( X ) =
=
k =1 n −1
(1) 旅客 8:00 到站，求他侯车时间的数学期望。 (2) 旅客 8:20 到站，求他侯车时间的数学期望。
解 ： 设 旅客 的 候车 时 间为 X（ 以分 记 ）
(1) X 的 分 布律 ： X 10 30 50 P 1/6 3/6 2/6 EX=10*(1/6)+30*(3/6)+50*(2/6)=33.33(分)
而X ki 服从 p = e − λk 的( 0 — 1)分布， ( X ki ) = e − λk . E
∑∑
k =1 i =1 -λ
10 100
E ( X ki ) =
∑
k =1
10
100e −kλ = 100
∑
k =1
10
e − kλ
100e (1 − e −10λ ) 1 − e −λ
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∑
∑
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第十三章 随机变量的数字特征
1、数学期望定义 (1) 离散型
设离散型随机变量 X 的分布律为： P{ X = x k } = p k ， k = 1,2, L ， 若级数 ∑ x k p k 绝对收敛，
i =1 ∞
§1 数学期望
则称级数 ∑ x k p k 的和为随机变量 X 的数学期望。
1, 第k次生产的第i件产品是正品； X ki = 否则 0， . k = 1,2,L,10, i = 1,2,L,100, 则 X=
∑∑ X
k =1 i =1
10 100
ki .
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第十三章 随机变量的数字特征
例 7（续）
i = 1,2,L,100, 所以
E( X ) = =
§1 数学期望
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则
此例说明了数学期望更完整地刻化了x的均值状态。
第十三章 随机变量的数字特征
例5 按规定，火车站每天 8:00~9:00, 9:00~10:00 都恰 有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两 者到站的时间相互独立，其规律为： 到站时间 8:10,9:10 8:30,9:30 8:50,9:50 概率 1/6 3/6 2/6
10 0.6
10 0 .3
试问哪一个人的射击水 平较高？
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第十三章 随机变量的数字特征
§1 数学期望
例2（续）
解： 甲、乙的平均环数可写 为
EX = 8 ´ 0.1 + 9 ´ 0.3 + 10 ´ 0.6 = 9.5 EY = 8 ´ 0.2 + 9 ´ 0.5 + 10 ´ 0.3 = 9.1 因此，从平均环数上看 ，甲的射击水平要比乙 的好．
E(
∑ a X ) = ∑ a EX
i i i i =1 i =1
n
n
i
IV)
若x , y独立，则 EXY=EXEY
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第十三章 随机变量的数字特征
§1 数学期望 例6 一民航送客载有 20 位旅客自机场开出，旅客有 10 个车站可以下车，如到达一个车站没有旅客下车就不 停车。以 X 表示停车的次数。 求 EX（设每个旅客在各个车站下车是等可能的，并 设各旅客是否下车相互独立） 。
20
i =1
第十三章 随机变量的数字特征
例7 §1 数学期望 用某台机器生产某种产品，已知正品率随着该机器 所用次数的增加而指数下降，即 P{第k次生产出的产品是正品}= e − λk , k = 1,2,L, λ > 0. 假设每次生产100件产品，试求这台机器前10次生 产中平均生产的正品总数。 解： 设X是前10次生产的产品中的正品数，并设
的值为 X 的数学期望。记为 EX= ∫ xf ( x ) dx ，
−∞
∞
数学期望也称为均值。
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第十三章 随机变量的数字特征
§1 数学期望
说 明
(1) X 的数学期望刻划了 X 变化的平均值．
( 2)由于随机变量 X 的数学期望表示的是随 机变量 X 变化的平均值，因此， 只有当级数 ∑ x n pn 绝对收敛
k =1
§1 数学期望
∑
n −1
kq k −1 (1 − q) + nq n −1
∑
kq k −1 −
∑
k =1
n −1
kq k + nq n −1
= (1 + 2q + 3q 2 + L + ( n − 1) q n −2 ) − − ( q + 2q 2 + L + ( n − 2) q n − 2 + ( n − 1) q n −1 ) + nq n −1
= 1 + q + q 2 + L + q n −1
1 − q n 1 − (1 − p ) n = = p 1− q
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第十三章 随机变量的数字特征
§1 数学期望 例8 对产品进行抽样，只要发现废品就认为这批产品 不合格，并结束抽样。若抽样到第n件仍未发现废 品则认为这批产品合格。 假设产品数量很大，抽查到废品的概率是p，试 求平均需抽查的件数。 解： 设X为停止检查时，抽样的件数，则X的可能 取值为1,2,…,n，且
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第十三章 随机变量的数字特征
§1 数学期望
（2）旅客8：20分到达 X的分布率为
X 10 30 50 70 90 P 3/6 2/6 (1/6)*(1/6) (3/6)*(1/6) (2/6)*(1/6)
EX=10*(3/6)+30*(2/6)+50*(1/36) +70*(3/36) +90*(2/36) =27.22(分)
第i 0, 第i站没人下车 解：设 X i = ， i = 1,2, L ,10 ， 1, 第i站有人下车 10 易见 X = X 1 + L + X 10 ， EX = ∑ EX i ，
P{Xi = 0} = (9 /10)
，P{Xi = 1} = 1− (9/10)20，i = 1L,10， , EX i = 1 − ( 9 / 10 ) 20 ， i = 1此时，Xi i = 1,2,L,10 , L ,10 ， 不是相互独立的 EX = 10[1 − (9 / 10) 20 ] = 8.784(次) 。 返回主目录
i =1
∞
记为 EX，即 EX= ∑ x k pk 。
k =1
∞
数学期望也称为均值。
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第十三章 随机变量的数字特征
§1 数学期望
(2)、连续型
设连续型随机变量 X 的概率密度为 f (x ) ， 若积分 ∫ xf ( x ) dx 绝对收敛，则称积分 ∫ xf ( x ) dx
−∞ −∞ ∞ ∞
11讲数学期望及性质,函数的数学期望
3 2
3
3
4
4
3
3
；
1
3 3
, P{ X 4}
.
4
于是，
E ( X ) 1 25 16 4 3
3 3
4 .
3
2
3 2
3
3
4
3
3
2 1
3
3
4
3
4
1
3 3
4
常用离散型随机变量的数学期望 1.两点分布：X ∼ B(1, p), 0 < p < 1，则 E(X)= 1p + 0(1-p) = p . 2.二项分布：X ∼ B(n, p)，其中 0 < p < 1， 则 E ( X ) np.
4 x
4 x
2e
2 y
dxdy dy
4 xe 1 2 .
dx 2 ye
0
2 y
1 4 1 8
4.1.4 期望的性质 (1). 设C是常数，则E(C)=C;
(2). 若k是常数，则E(kX)=kE(X); (3). E(X1+X2) = E(X1)+E(X2); 推广： E[ X i ] E ( X i ) ；
那么, 可否不求g(X)的分布，而只根据X 的分布来计算 E[g(X)] 呢？
设X是一个随机变量，Y=g(X)，则
X离散型 , g ( xk ) pk , E (Y ) E[ g ( X )] k 1 g ( x) f ( x) dx, X连续型 .
设
Xi 1, 如第i次试验成功, 0, 如第i次试验失败.
i=1,2,„n.
《概率论与数理统计》数学期望
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
概率论与数理统计
§4.4 协方差和相关系数
协方差 相关系数 授课内容 例题
§4.4 协方差和相关系数 协方差
1. 定义
§4.4 协方差和相关系数 协方差
2. 协方差的计算公式
概率论与数理统计
§4.1 数学期望
离散型随机变量的数学期望
连续型随机变量的数学期望
授课内容
数学期望的性质
§4.1 数学期望 离散型随机变量的数学期望
1. 定义
§4.1 数学期望 离散型随机变量的数学期望
关于定义的几点说明
(2) 级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变 而改变 , 之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量X 取可能值 的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.
§4.4 协方差和相关系数 相关系数
3. 不相关的定义
§4.4 协方差和相关系数 相关系数
4. 不相关性的判定
以下四个条件等价 (1) ρ 0; (2)Cov( X ,Y ) 0; (3) D( X Y ) DX DY;
(4)3 随机变量函数的数学期望 二维随机变量函数的数学期望
§4.3 随机变量函数的数学期望 二维随机变量函数的数学期望
一维随机变量函数的数学期望 二维随机变量函数的数学期望 授课内容 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
§4.3 随机变量函数的数学期望 例题
5 .不相关与相互独立的关系
协方差 相关系数 授课内容 例题
§4.4 协方差和相关系数 例题
数学期望的定义及性质
§ 2.4 数学期望的定义及性质我们已经知道离散型随机变量的分布全面地描述了这个随机变量的统计规律,但在许多实际总是中,这样的全面描述有时并不使人感到方便.举例来说,已知在一个同一品种的母鸡群中,一只母鸡的年产蛋量是一个随机变量,如果要比较两个品种母鸡的年产蛋量通只要比较这两个品种的母的年产蛋量的平均值就可以了。
平均值大就意味着这个品种的母鸡产蛋量高，当然是较好的品种，这时如果不去比较它们的平均值，而只看它们的分布列，虽然全面，去合人不得要领，既难以掌握，又难以迅速地作出判断.这样的例子可以举出很多:例如要比较不同班级的学习成绩,通常就比较考试中的平均成绩;要比较不同地区的粮食收成,一般也只要比较平均亩产量等.既然平均值这么有用,那是值得花力气来研究一番的.例 2.13 (略) 见P 79例 2.14 若随机变量ξ服从二项分布),;(p n k b ,试求它的数学期望ξE 解 这时n k q p k n k P P k n k k ≤≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡===-0,)(ξ所以k n k nk nk k q p k n k P k E -==⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=⋅=∑∑00ξ)1()1(1011----=∑⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=k n k nk q p k n nP np q p nP n =+=-1)( (2.22)例 2.15 (略)P 80定义 2.5 若离散型随机变量ξ可能取值为),,2,1( =i a i 其分布列为),,2,1( =i P i 则当∞<∑∞=1||i i ip a(2.24)时,称ξ存在数学期望,并且数学期望为∑∞==1i i i p a E ξ (2.25)如果∞=∑=i i ip a||1则称ξ的数学期望不存在.对于这个定义,读者也许会问,既然数学期望∑==1i ii pa E ξ,那么只要∑∞=1i ii pa 收剑就可以了,为什么还要求∞<∑∞=1||i i ip a是不是有点多余?我们已经知道,离散型随机变量的取值是可依某种次序一一列举的,对同一个随机变量,它的取值的列举次序可以有所不同,当改变列举次序时它的数学期望是不应该改变的,这就意味着无穷级数∑∞=1i ii pa 的求和次序可以改变而其和要保持不变,由无穷级数的理论知道,必须有∑∞=1i ii pa 绝对收剑即∞<∑∞=1||i i ip a,才能保证它的和不受求和次序变动的影响.定理 2.2 若ξ是一个离散型随机变量,其分布列为又g(x)是实变量x 的单值函数,如果∞<∑∞=1||i i ip a,则有∑∞==0)()(i i i p a g Eg ξ (2.26)证明 令),(ξηg =则η仍是一个离散型随机变量,设其可能取的值为)2,1( =j b j ,于是由(2.20)式有∑====ji b a g ij a P b P )()()(ξη由数学期望定义有∑∞====1)()(j i j b p b E Eg ηηξ∑∑=∞===ji b a g ij ja pb )(1)(ξ∑∑=∞===ji b a g iij a p a g )(1)()(ξ∑∞==⋅=1)()(i i i a p a g ξ即为所证类似还可以证下述定理.定理 2.3 若(ξ,η)是一个二维离散型随机变量,其联合分布列为2,1,,),(====j i p b a p ij j i ηξ又),(y x g 是实变量x,y 的单值函数,如果∞<∑∑∞=∞=11|),(|i j ijjipb a g则有∑∑∞=∞==11),(),(i j ij j i p b a g Eg ηξ (2.27)对一般的n 维随变量的函数,也有相应的定理成立,这里就不再叙述了.由于这些定理,在求离散型随机变量函数的数学期望时,就可以直接利用原来随机变量的分布,而不必先求随机变量函数的分布列.现在进一步讨论数学期望的性质.随机变量的数学期望具有下述基本性质:(1) 若b a ≤≤ξ,则ξE 存在,且有b E a ≤≤ξ.特别,若C 是一个常数,则EC=C. (2) 对于一二维离散型随机变量(ξ,η),若ξE ,ηE 存在,则对任意的实数),(,,2121ηξk k E k k 存在且ξξηξE k E k k k E 2121)(+=+ (2.28)(3) 又若ξ,η是相互独立的,则ξηE 存在且ηξξηE E E ⋅=)( (2.29)性质(1)的证明是显然的,下面证明性质(2)和(3). 设(ξ,η)的联合分布列和边际分布列为:,,,),(j i p b a P ij j i ===ηξ2,1,)(===⋅i P a P i i ξ 2,1,)(===⋅j P b P j j η由定理2.32有∑∑∞=∞=+=+112121)()(i j ij j i P b k a k k k E ηξ∑∑∑∑∞=∞=∞=∞=+=112111i j ij j i j ij i p b k p a k∑∑∞=⋅∞=⋅+=1211j j j i i i p b k p a kηξE k E k 21+=这里级数∑∑∞=∞=+1121)(i j ij j ip b k ak 绝对收剑是明显的,所以)(21ηξk k E +存在且(2.28)式成立,性质(2)证得.仍得用定理2.3并由独立性有ηξξηE E p b p a p b a E j j j i i i i j ij j i ∙=∙==∑∑∑∑∞=⋅∞=⋅∞=∞=1111)(这里级数∑∑∞=∞=11i j ij jip ba 的绝对收剑也是显然的,所以ξηE 存在且(2.28)式成立,性质(3)得证.性质(2)和(3)都可以推广到任意n 维随机变量的场合,当然,就性质(3)来说,要求这n 维随机变量是相互独立的.一个随机变量η,如果它的分布列是0---1分布:⎥⎦⎤⎢⎣⎡-p p 110则显然有ηE =⋅P例 2.14 (略)见P 87。
《数学期望》课件
在计算过程中需要注意积分的上下 限以及概率密度函数的取值范围。
连续型随机变量的数学期望的性质
01
02
03
非负性
E(X) ≥ 0，即数学期望的 值总是非负的。
可加性
如果X和Y是两个独立的随 机变量，那么E(X+Y) = E(X) + E(Y)。
线性性质
如果a和b是常数，那么 E(aX+b) = aE(X)+b。
方差是数学期望的度量，表示随机变量取值 与数学期望的偏离程度。
04
CATALOGUE
连续型随机变量的数学期望
连续型随机变量的定义
连续型随机变量
如果一个随机变量X的所有可能 取值是实数轴上的一个区间变量。
概率密度函数
描述连续型随机变量X在各个点 上取值的概率分布情况，其数学
《数学期望》PPT课件
CATALOGUE
目 录
• 引言 • 数学期望的基本性质 • 离散型随机变量的数学期望 • 连续型随机变量的数学期望 • 数学期望的应用 • 总结与展望
01
CATALOGUE
引言
数学期望的定义
数学期望是概率论和统计学中的 一个重要概念，它表示随机变量
取值的平均数或加权平均数。
数学期望的定义基于概率论的基 本原理，通过将每个可能的结果 与其对应的概率相乘，然后将这
些乘积相加得到。
数学期望具有一些重要的性质， 如线性性质、期望值不变性质等 ，这些性质在概率论和统计学中
有着广泛的应用。
数学期望的起源和历史
数学期望的起源可以追溯到17世纪，当时的一些数学家开始研究概率论和统计学中 的一些基本概念。
通过计算投资组合的数学期望， 我们可以了解投资组合的预期收 益，从而制定更加合理的投资策
数学期望的性质与条件期望
η
的条件期望, 的条件期望 记作
E{η ξ = xi },
有
同样可以定义给定的 η = y j 时关于 ξ 的条件期望为
E ξ η = y j = ∑ xi P{ξ = x i η = yi }
i
E { ξ = xi } = ∑ y j P{η = y j ξ = xi } η
{
}
对于二元连续型随机变量 (ξ ,η ), 定义
ξ 表示 名射手所需子弹数目， 则 ξ = ∑ ξ i , 表示9名射手所需子弹数目 名射手所需子弹数目， i =1 的分布如下： 并且 ξi 的分布如下：
9
2 3 1 P 0.8 0.16 0.04 Eξ i = 0.8 + 2 × 0.16 + 3 × 0.04 = 1.24
Eξ = E ( ∑ ξ i ) = ∑ Eξ i = 9 × 1.24 = 11.16
ξ 与 η 是否独立？ 是否独立？
ξ /η
−1 1
0 .3 0.6 解 ξ⋅η − 1 0 1 0 .1 0 .2 0 .1 0.4 P 0.4 0.2 0.4 η 0.4 0.2 0.4 1 1.因为 p−1,0 = 0 ≠ P{ξ = −1} ⋅ P {η = 0} = 0.6 × 0.2 0
2. Eξ = −1 × 0.6 + 1 × 0.4 = −0.2, Eη = −1 × 0.4 + 0 × 0.2 + 1 × 0.4 = 0 E (ξ ⋅ η ) = −1 × 0.4 + 0 × 0.2 + 1 × 0.4 = 0
( 2) j
= ∑ x i p (i 1) ⋅ ∑ y j p (j2 ) = Eξ ⋅ Eη
i
常用分布的数学期望及方差
方差的性质
方差具有可加性
对于两个独立的随机变量X和Y，有Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)。
方差具有对称性
对于一个常数a和随机变量X，有Var(aX) = |a|^2 * Var(X)。
方差具有非负性
对于随机变量X，有Var(X) >= 0，其中 Var(X) = 0当且仅当X是一个常数。
05 数学期望与方差的应用
在统计学中的应用
描述性统计
数学期望和方差用于描述一组数据的中心趋势和 离散程度，帮助我们了解数据的基本特征。
参数估计
通过样本数据的数学期望和方差，可以对总体参 数进行估计，如均值和方差的无偏估计。
假设检验
在假设检验中，数学期望和方差用于构建检验统 计量，判断原假设是否成立。
常见分布的数学期望
均匀分布的数学期望为
$E(X) = frac{a+b}{2}$，其中a和b是均匀分布的下限和上 限。
柯西分布的数学期望为
$E(X) = frac{pi}{beta} sinh(frac{1}{beta})$，其中β是柯西 分布的参数。
拉普拉斯分布的数学期望为
$E(X) = frac{beta}{pi} tan(frac{pi}{beta})$，其中β是拉普 拉斯分布的参数。
03
泊松分布
正态分布是一种常见的连续型随机变量 分布，其方差记作σ²。正态分布的方差 描述了随机变量取值的分散程度。
二项分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在n次独立重复的伯努利试验 中成功的次数。其方差记作σ²，且σ² = np(1-p)，其中n是试验次数，p是单次 试验成功的概率。
泊松分布是一种离散型随机变量分布， 用于描述在一段时间内随机事件发生的 次数。其方差记作σ²，且σ² = λ，其中 λ是随机事件发生的平均速率。
3.3期望的性质与随机变量函数的期望
P X 1
因此出售一台设备净赢利Y 的分布律为
Y
100
1 e 4
4
100 300
1 1 e 4
- 1 4
p
E (Y ) = 100e
- 1
- 200 (1 - e
)
33.64 (元).
发行彩票的创收利润 某一彩票中心发行彩票10万张, 每张2元. 设头等奖1个, 奖金 1万元, 二等奖2个, 奖金各 5千元; 三等奖10个, 奖金各1千元; 四等奖100 个, 奖金各1百元; 五等奖1000个, 奖金各10元. 每张彩票的成本费为0.3元, 请计算彩票发行单 位的创收利润. 解: 设每张彩票中奖的金额为随机变量X, 则
二、 随机变量函数的数学期望
1. 问题的提出
数学期望 X g(X) 数学期望 E(X)
E( X ) =
E ( X ) xk pk
k
ò
+
-
xf (x )dx
E轾 g (X ) = 臌
g(x)是连续函数, g(X) 是 随机变量, 如: aX+b, X2等 等.
2. 随机变量函数数学期望的计算 如何计算随机变量函数的数学期望?
例 设随机变量 X 的概率分布为 1 2 3 X
1 求 E ( ) , E ( X 2 2). X 1 1 1 解: E ( ) 1 0.1 0.7 0.2 0.52 X 2 3
P
0.1
0.7
0.2
E ( X 2)
2
(1 2) 0.1 (2 2) 0.7 (3 2) 0.2 6.7
X 10000 p 1 105
第29讲 数学期望的性质
第29讲数学期望的性质2数学期望的性质:可推广到任意有限个随机变量线性组合的情况：0011()().n ni i i i i i E c c X c c E X ==+=+∑∑1. 设c 是常数, 则有();E c c =2. 设X 是一个随机变量, c 是常数, 则有()();E cX cE X =3. 设X, Y 是两个随机变量, 则有()()();E X Y E X E Y +=+()()();E aX bY c aE X bE Y c ++=++将上面三点合起来，则有3可推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况：11()(),,1,2,,, n ni i i i i E X E X X i n ==∏=∏= 其中 相互独立.4. 设X , Y 是相互独立的两个随机变量, 则有()()();E XY E X E Y =4()().E X E Y =+1.()1,()()1.c P X c E c E X c c ====⨯=是常数，2. ()()()().X X E cX cx f x dx c xf x dx cE X +∞+∞-∞-∞===⎰⎰ 3. ()()(,) (,)(,)E X Y x y f x y dxdy xf x y dxdy yf x y dxdy+∞+∞-∞-∞+∞+∞+∞+∞-∞-∞-∞-∞+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰证明：((),(,)(,))X X f x X Y f x y ~~下面仅对连续型随机变量给予证明 设（利用随机变量函数的数学期望的两个定理来证）54. ()(,) ()() ()() ()().X Y X Y E XY xyf x y dxdyxyf x f y dxdyxf x dx yf y dyE X E Y +∞+∞-∞-∞+∞+∞-∞-∞+∞+∞-∞-∞====⎰⎰⎰⎰⎰⎰数学期望的性质:1. 设c是常数, 则有();E c c=2. 设X是一个随机变量, c是常数, 则有()();E cX cE X=3. 设X, Y是两个随机变量, 则有()()();+=+E X Y E X E Y 将上面三点合起来，则有()()();++=++E aX bY c aE X bE Y c4. 设X, Y是相互独立的两个随机变量, 则有=E XY E X E Y()()().672~(,)().X N E X μσμ= 设 ，证明: 例1:, , (0.)X Z Z E Z μσ-==令 则服从标准正态分布且证明:()()()()()0.E X E Z E E Z E Z μσμσμσμσμ=+=+=+=+= 故 2(,) .N μσμ服从 的随机变量的期望为即,X Z μσ=+此时8~(,),01,1,().X B n p p n E X <<≥ 设 求 例2:,, (). X n A P A p =由题意知随机变量可看成是重贝努里试验中事件发生的次 解: 数此时 引入随机变量1,;1,2,,.0,,k A k X k n A k ⎧==⎨⎩ 在第次试验发生在第次试验不发生()()12 ,,,,01,(),, n k X X X p E X p k -=∀ 于是相互独立服从同一分布参数为 121.nn k k X X X X X ==+++=∑ 且 11()()(),n n k k k k E X E X E X np =====∑∑故 ,.() B n p np 服从 的随机变量的期望为即注: 以n , p 为参数的二项分布的随机变量,可分解为n 个相互独立且都服从以p 为参数的(0-1)分布的随机变量之和.9(),1,2,,,,1,2,,.,,,,().n n n X n E X 配对问题一个小班有个同学 编号为号 中秋节前每人准备一件礼物 相应编号为将所有礼物集中放在一起 然后每个同学随机取一件 若取到自己的礼物 就认为配对成功.以表示个同学配对成功的个数求 例3: 1, ;1,2,,.0,,i i X i n i ⎧==⎨⎩ 第号同学配对成功引入随机变量 第号同学未配对成功解:121,01,. n i X X X X X n=+++- 易知： 且服从分布参数为1111()()() 1.n n n i i i i i E X E X E X n=======∑∑∑故 X 注: 不服从二项分布！10,,.X 本题是将分解成数个随机变量之和 然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望 这种处理方法具有一定的普遍意义1110010010011()()() 4.5.i i i i E Y E X E X ===∏=∏=从而 0~9,100,,1,2,,100.100,,,().i X i i Y E Y = 计算机程序随机产生中的数字 独立进行次记为第次产生的数字将这个数进行乘积运算得到一数记为求 例4:12100,,,,,,{}1/10,0,1,,9.i X X X P X k k === 由题意知独立同分布其分布律均为 解：901() 4.5,10i k E X k ==⋅=∑故 100121001,i i Y X X X X ===∏ 又。
数学期望(均值)、方差和协方差的定义与性质
均值、方差和协方差的定义和基本性质1 数学期望（均值）的定义和性质定义：设离散型随机变量X 的分布律为{}, 1,2,k k P X x p k === 若级数1k k k xp ∞=∑绝对收敛，则称级数1k k k xp ∞=∑的和为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。
即()1k k k E X x p ∞==∑。
设连续型随机变量X 的概率密度为()f x ，若积分()xf x dx ∞−∞⎰ 绝对收敛，则称积分()xf x dx ∞−∞⎰的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。
即 ()()E X xf x dx ∞−∞=⎰ 数学期望简称期望，又称为均值。
性质：下面给出数学期望的几个重要的性质（1）设C 是常数，则有()E C C =；（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()E CX CE X =；（3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()E X Y E X E Y +=+，这一性质可以推广至任意有限个随机变量之和的情况；（4）设X 和Y 是相互独立的随机变量，则有()()()E XY E X E Y =。
2 方差的定义和性质定义：设X 是一个随机变量，若(){}2E X E X −⎡⎤⎣⎦存在，则称(){}2E X E X −⎡⎤⎣⎦为X的方差，记为()D X 或()Var X ，即性质：下面给出方差的几个重要性质（1）设C 是常数，则有()0D C =；（2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()2D CX C D X =，()()D X C D X +=；（3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()()()()(){}2D X Y D X D Y E X E X Y E Y +=++−−特别地，若X 和Y 相互独立，则有()()()D X Y D X D Y +=+ （4）()0D X =的充分必要条件是以概率1取常数()E X ，即(){}1P X E X ==。
期望和期望的性质
期望和期望的性质1. 若E[X]和E[Y]均有限，在(X,Y)连续的情况下：E[X+Y]=E[X]+E[Y]E[X1+X2+...X n]=E[X1]+E[X2]+...+E[X n](上式不要求X,Y独⽴)2. 若X,Y具有⼆元分布列p(x,y)，那么：E[g(X,Y)]=∑∑g(x,y)p(x,y)若X,Y具有联合分布密度，那么：E[g(X,Y)]=∫∫g(x,y)f(x,y)dxdy3. 若X,Y独⽴，那么：E[X1X2...X n]=E[X1]E[X2]...E[X n]4. 样本均值的期望等于其分布的均值。
5. 若X,Y独⽴，那么：E[g(X)h(Y)]＝E[g(X)]E[h(Y)]6. 协⽅差Cov(X,Y)=E[(X-E[X])(Y-E[Y])]=E[XY]-E[X]E[Y]7. 若X1,...X n两两独⽴，那么Var(∑X i)=∑Var(X i)即，独⽴随机变量和的⽅差等于他们⽅差的和。
8. 两个随机变量X,Y的相关系数ρ=Cov(X,Y)/sqrt(Var(X)·Var(Y))相关系数是两个随机变量间线性依赖程度的⼀种度量。
-1≤ρ≤1ρ接近0，表⽰两者缺乏线性依赖性。
ρ=0，X,Y不相关。
ρ取正值，X增加时Y趋于增加；ρ取负值，X增加时Y趋于下降。
9. 浙江⼤学，概率论与数理统计，数学期望，产品产量、销售量与利润期望的问题：销售量Y是个随机变量，产品产量x是⼀个待求的⾮随机变量。
如果把这两者画在数轴上，Y的位置是随机游动的。
根据Y与x的相对位置，利润有不同的表达式（Y在x左侧，产品有积压；Y在x右侧，产品⽆积压）。
这样将期望表达式的积分区间分为[0,x]和[y,+∞]。