第三章二维和三维空间中的运动插叙矢量(vector)
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§3. 圆周运动
Circular Motion
匀速圆周运动特征
• 轨道为圆周 • 速度大小不变 • 速度方向改变
加速度
• 大小 • 方向
– 向心 – 与速度正交
证明：通过图示法用三角形相似证明； 或者在直角坐标表示下证明
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O
x
• 图像：水平（匀速运动）+竖直（匀加速运动）
水平方向：匀速直线运动
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竖直方向：匀加速直线运动
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轨迹：抛物线
射高与射程
• 运动方程
矢量描述
Q：不同轨迹的最高点构成什么图形？
• 运动合成（另一种图像）
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习题
• 一跳高运动员,身高约为2m，起跳时竖直方 向速度为约为5m/s，估算其用背跃式跳过 的最大高度。
§1. 位移、速度与加速度
位置矢量(position vector)
P
运动学方程:
轨迹(trajectory)
P
质点运动在空间中经历的曲线 可由运动学方程消去时间得到
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路程
• (质点)从一点到另一点经历的轨迹长度
北京
南京 武汉 路径依赖 不具可加性
位移(displacement)
0
例题：求斜抛运动中轨迹各点曲率 基本思路：
(下略)
• 速度与加速度
速度： 加速度：
s
0 注：如果用直角坐标求出了速度和加速度， 可以用上式反过来求轨迹的曲率半径
习题
一半径为b的圆轴上固定一半 径为 B 的同心圆盘（B>b）， 现圆轴在水平轨道上以角速 度 作匀速无滑动滚动。相对 于地面参考系 Oxy，求:（1） 圆盘边缘上一质点P的运动方 程（不妨设 t=0 时，P在 O 的 正 下 方，如 图 所示）；（2） P 点的速度和加速度；（3） P 点轨迹的曲率半径。
• 不同参考系中的观察者测量到给定粒子的 位移、速度、加速度通常不相同
[Halliday et al, Fundamentals of Physics]
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伽利略变换
• 参考系 相对与参考系S以恒定速度运动
速度的变换关系
• 绝对速度、相对速度与牵连速度
绝对速度：在 S系测量粒子速度
速度分量
加速度(acceleration)
P
指向轨迹弯曲的一侧
例题：兔子逃跑
t以秒为单位
求速度和加速度
加速度分量 已知加速度求速度和位置
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§2.抛体运动
Projectile motion
人体炮弹（Zacchini首创）
特征：二维运动
数学描述
• 运动微分方程
y
[Halliday et al, Fundamentals of Physics]
• 图示：平行四边形法则
• 标量与矢量的乘积
– 大小改变
– 方向不变（或反向）
同向 反向
• 单位矢量：大小为1的矢量 • 笛卡尔坐标的基矢（量）:{ , , }
1
• 矢量分量表示
在坐标轴上投影
• 矢量加法分量表示
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内容提要
• 1.位移、速度与加速度 • 2.抛体运动 • 3.圆周运动 • 4.自然坐标与平面极坐标 • 5.相对运动
相对速度：在 系测量粒子速度
牵连速度：粒子瞬时固连于 系，由 系的 运动诱导粒子相对于S的速度
• 绝对速度=牵连速度+相对速度
[Halliday et al, Fundamentals of Physics]
伽利略变换下加速度不变
常量
习题
• 已知河流宽度为3km，水流速度为5km/h， 小船相对于水流速度为10km/h。如果要使 小船恰好横跨河流，船头应该指向何方位？ 渡河需要多长时间？
b B
O P
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平面极坐标
• 位置矢量、速度的表达式
位置矢量： （无限小）位移：
速度：
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• 基矢量（单位向量）的导数
1
• 加速度表达式
径向加速度
横向加速度
§5. 相对运动
Relative Motion
例题：已知运动方程， 求轨迹、速度、加速度
解：消掉时间，得轨迹
(阿基米德螺线)
运动的描述与参考系有关
周期与角速度
• 周期：运动一周所用的时间 • 角速度（大小）：
变速圆周运动
• 运动特征
– 轨道为圆周 – 速度大小变化 – 速度方向改变
• 加速度
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通过图示法证明如下
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§4. 自然坐标与平的特征来描述运动
弧长参数：s
切矢量：
密切圆及曲率半径
s
法矢量：
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第三章 二维和三维空间中的运动
Motion in two and three dimensions
插叙：矢量（vector）
• 三要素：
– 大小 – 方向 – 加法符合平行四边形法则
注：有些书中将矢量称为向量
• 本课程用斜体字母且上方加箭头表 示矢量，如
• 像长度、质量、时间等等没有方向 的物理量称为标量
• 从一点到另一点的矢量
不依赖于路径 具有可加性
位移的矢量定义
时刻位置矢量：
P
时刻位置矢量：
时间段内位移：
位移与路程关系
• 区别
P
– 位移是矢量
– 路程是标量
• 联系
位移的分量表示
速度(velocity)
• 平均速度
• （瞬时）速度
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速度是矢量
• 大小:速率（speed）
• 方向:轨迹切向
P
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第三章空间数据模型第3节矢量数据模型
(xn,yn) (x(1x,ny,1y)n) (x1,y1)
(a) (xn,yn)
(b)
(xn,yn)
A
KI
H
J
BC
G
FE
D
(c)
第三章空间数据模型第3节矢量数据模型
一维矢量具有方向、长度
方向：即有起始结点和终止结点
长度：可以用以下方式表达：
引入欧氏空间的距离概念：
n
长度 [(xi xi1)2 ( yi yi1)2 ]1/2 i2
一．基本概念 二．关系数据模型和关系表 三．矢量数据模型（ Spaghetti Model ） 四．矢量数据模型（拓扑数据模型）
第三章空间数据模型第3节矢量数据模型
一、基本概念
• 现实世界和矢量表达 • 位置和边界被清楚地记录 • 对象可以被识别 • 属性值与对象相联系 • 空间关系可以清晰表达
第三章空间数据模型第3节矢量数据模型
(1) 地理要素被当成单个对象对待
空间边界可以被清晰的编码
(2)对象之间没有关系
要素间的空间拓扑不被记录
第三章空间数据模型第3节矢量数据模型
矢量表达法
• 不同的空间特征具有不同的矢量维数
– 0维矢量-点：即空间中的一个点，没有大小、 方向，二维和三维欧氏空间中为：（x,y),(x,y,z)
– 一维矢量-线：空间中的线划要素或空间对象间 的边界，也称为弧段、链
用的概念，是三维空间中曲面法向矢量的 另外一种描述方法
第三章空间数据模型第3节矢量数据模型
空间曲面
• 矢量实现方法多样 • 常用等值线法、剖面法
第三章空间数据模型第3节矢量数据模型
三维矢量-体
• 指三维空间中的实体
vector向量
vector向量在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。
它可以形象化地表示为带箭头的线段。
箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。
与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。
向量的记法：印刷体记作黑体（粗体）的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”。
[1] 如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。
在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示，例如xOy平面中(2,3)是一向量。
在物理学和工程学中，几何向量更常被称为矢量。
许多物理量都是矢量，比如一个物体的位移，球撞向墙而对其施加的力等等。
与之相对的是标量，即只有大小而没有方向的量。
一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系，例如向量势对应于物理中的势能。
几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。
此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。
因此，平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。
不过，依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系，也可以透过选取恰当的定义，在向量空间上介定范数和内积，这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。
第一节发展历史向量，最初被应用于物理学。
很多物理量如力、速度、位移以及电场强度、磁感应强度等都是向量。
大约公元前350年前，古希腊著名学者亚里士多德就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的平行四边形法则来得到。
“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段。
最先使用有向线段表示向量的是英国大科学家牛顿。
从数学发展史来看，历史上很长一段时间，空间的向量结构并未被数学家们所认识，直到19世纪末20世纪初，人们才把空间的性质与向量运算联系起来，使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系。
矢量的概念与运算法则
矢量的概念与运算法则矢量是物理学中一个重要的概念，它不仅在力学、电磁学等领域中有着广泛的应用，而且在计算机图形学、数据分析等领域中也扮演着重要的角色。
本文将介绍矢量的概念以及常见的运算法则。
一、矢量的概念矢量是一个有大小和方向的量，用箭头表示。
在二维空间中，矢量可以表示为一个有序的数对(x, y)，其中x和y分别表示矢量在x轴和y轴上的分量。
在三维空间中，矢量可以表示为一个有序的数组(x, y, z)，其中x、y和z分别表示矢量在x 轴、y轴和z轴上的分量。
矢量的大小可以用长度来表示，即矢量的模。
在二维空间中，矢量的模可以通过勾股定理计算：|v| = √(x^2 + y^2)。
在三维空间中，矢量的模可以通过类似的方法计算：|v| = √(x^2 + y^2 + z^2)。
矢量的方向可以用角度来表示。
在二维空间中，矢量的方向可以通过与x轴的夹角来确定。
在三维空间中，矢量的方向可以通过与x、y和z轴的夹角来确定。
二、矢量的运算法则1. 矢量的加法矢量的加法是指将两个矢量相加得到一个新的矢量。
在二维空间中，矢量的加法可以通过将两个矢量的分量相加来进行：v1 + v2 = (x1 + x2, y1 + y2)。
在三维空间中，矢量的加法可以通过类似的方法进行：v1 + v2 = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2)。
2. 矢量的减法矢量的减法是指将一个矢量减去另一个矢量得到一个新的矢量。
在二维空间中，矢量的减法可以通过将两个矢量的分量相减来进行：v1 - v2 = (x1 - x2, y1 - y2)。
在三维空间中，矢量的减法可以通过类似的方法进行：v1 - v2 = (x1 - x2, y1 - y2, z1 -z2)。
3. 矢量的数量积矢量的数量积又称为点积，表示为v1 · v2。
在二维空间中，矢量的数量积可以通过将两个矢量的对应分量相乘再相加来计算：v1 · v2 = x1 * x2 + y1 * y2。
vectors的名词解释
vectors的名词解释在数学和物理学中，向量（vector）是一种用于描述空间中的位置或方向的量。
它由大小（长度）和方向两个属性组成，通常用一根带有箭头的线段来表示。
向量可以在数学计算和物理理论中广泛应用。
向量的定义和表示向量的定义可以简单地理解为有方向和长度的量。
它可以表示空间中的位移、速度和力等概念。
在数学上，向量通常用有序的数对或数列来表示。
例如，二维空间中的向量可以表示为(u,v)，其中u和v是实数。
三维空间中的向量可以表示为(x,y,z)，其中x、y和z也是实数。
除了用数学符号表示，向量还可以用几何图形表示。
通常，我们用带有箭头的线段来表示向量，箭头的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的长度。
向量运算和性质向量可以进行各种运算，包括加法、减法、数量乘法等。
这些运算使得向量在数学计算和物理模型中非常有用。
向量的加法：向量的加法定义了两个向量相加后的结果。
具体来说，给定两个向量A和B，它们的和A + B等于将B的起点放在A的终点上，然后以新的终点作为和向量的终点，起点为零向量。
向量的减法：向量的减法可以看作是加法的逆运算。
给定向量A和向量B，它们的差A - B等于将B反向后与A相加。
数量乘法：向量的数量乘法是指将向量乘以一个实数。
结果是原向量的每个分量都乘以该实数。
向量的性质：向量还具有一些重要的性质。
例如，向量的长度由其各个分量平方和的平方根给出，这被称为向量的模。
向量的模为零意味着向量是零向量（所有分量均为零）。
应用领域向量广泛应用于数学、物理学以及工程等领域。
下面介绍一些应用场景。
力学：向量在力学中起着至关重要的作用。
例如，受力的物体可以表示为由力向量构成的力系统。
力的合力可以通过将所有力向量相加来计算，从而得到物体所受的合力。
几何学：向量在几何学中用于描述点、线和面的位置关系和运动情况。
例如，在平面几何中，直线可以用一个方向向量和一个点向量表示。
电磁学：向量在电磁学中用于描述电场、磁场以及电磁波等现象。
矢量的定义
矢量又称向量(Vector)，最广义指线性空间中的元素。
它的名称起源于物理学既有大小又有方向的物理量，通常绘画成箭号，因以为名。
例如位移、速度、加速度、力、力矩、动量、冲量等，都是矢量。
可以用不共面的任意三个向量表示任意一个向量，用不共线的任意两个向量表示与这两个向量共面的任意一个向量。
相互垂直的三个单位向量成为一组基底,这三个向量分别用i,j,k表示. 常见的向量运算有：加法，点积（内积）和叉积（外积）。
对于m个向量v1，v2，...，vm，如果存在一组不全为零的m个数a1,a2,...,am, 使得a1*v1+a2*v2+...+am*vm = 0, 那么, 称m个向量v1，v2，...，vm线性相关。
如果这样的m 个数不存在, 即上述向量等式仅当a1=a2=...=am=0 时才能成立, 就称向量v1，v2， (v)线性无关。
有人说，中学数学中引入向量，用向量来处理几何问题，是因为用向量比用综合几何的方法简单、容易。
这种看法是不全面的。
虽然有许多问题，用向量处理确实比用综合几何方法简单，但也可以找到用综合几何的方法处理更简单的问题。
向量之所以被引入到中学，这是因为向量在数学中占有重要的地位。
向量作为一个既有方向又有大小的量，在数学中是一个最基本的概念。
在现代数学的发展中起着不可替代的作用。
是代数、几何、泛函分析等基础学科研究的基本内容。
向量是代数的对象。
运算及其规律是代数学的基本研究对象。
向量可以进行多种运算，如，向量的加法、减法，数与向量的乘法（数乘），向量与向量的数量积（也称点乘），向量与向量的向量积（也称叉乘）等。
向量的这些运算包含了三种不同类型的代数运算。
向量的运算具有一系列丰富的运算性质。
与数运算相比，向量运算扩充了运算的对象和运算的性质。
向量是几何的对象。
向量可以用来表示空间中的点、线、面。
如果，以坐标系的原点为起点，向量就与空间中的点建立了一一对应关系；一点和一个非零向量可以唯一确定一条直线，它通过这个点且与给定向量平行；同样，一个点和一个非零向量，可以唯一确定一个平面，它过这个点且与给定向量垂直。
三维空间矢量表示
三维空间矢量表示三维空间矢量是指在三维空间中具有大小和方向的量。
它可以表示为一个有序的三元组(x, y, z)，其中x、y、z分别表示矢量在X轴、Y轴和Z轴上的分量。
三维空间矢量在物理学、工程学和计算机图形学等领域中都有广泛的应用。
它可以用来描述物体的位置、速度、加速度等物理量，也可以用来表示光线、力和电场等向量场。
在计算机图形学中，三维空间矢量常用来表示物体的位置和方向，用于构建三维模型和进行三维渲染。
三维空间矢量的运算包括加法、减法、数量乘法和点乘法等。
矢量的加法和减法可以通过对应分量的相加和相减来进行。
数量乘法是指将矢量的每个分量都乘以一个标量。
点乘法是指将两个矢量的对应分量相乘后再相加。
这些运算满足一些基本的性质，例如交换律、结合律和分配律等。
三维空间矢量可以用来表示物体的位移。
例如，一个物体在三维空间中的位置可以用一个矢量来表示。
当物体发生位移时，可以通过将位移矢量与物体的初始位置矢量相加来得到物体的最终位置矢量。
这种表示方法可以方便地描述物体在空间中的运动轨迹。
三维空间矢量还可以用来表示力的大小和方向。
例如，一个力可以用一个矢量来表示，力的大小由矢量的长度表示，力的方向由矢量的方向表示。
在力学中，力可以通过对物体施加一个力矩来使物体发生转动。
力矩是由力的大小、力的方向和力的作用点的位置共同决定的。
在计算机图形学中，三维空间矢量常用来表示物体的方向。
例如，光线的方向可以用一个矢量来表示，光线从光源出发，沿着矢量的方向传播。
在进行三维渲染时，可以通过计算光线与物体表面的交点来确定物体的颜色和亮度。
三维空间矢量是一种在三维空间中表示大小和方向的量。
它在物理学、工程学和计算机图形学等领域中有着广泛的应用。
通过对三维空间矢量进行加法、减法、数量乘法和点乘法等运算，可以方便地描述物体的位置、速度、加速度、力和光线等物理量。
三维空间矢量的运算满足一些基本的性质，这些性质对于进行复杂的物理计算和图形渲染是非常重要的。
大学物理：矢量 (VECTOR)
dt t0
t
一个矢量既有大小又有方向
A AAˆ
因此： dA dA Aˆ A dAˆ
dt dt
dt
物理教研室，药大
显然可以区分为三种情况： 矢量的大小变化，矢量的方向不变 矢量的方向变化，大小不变 矢量的大小和方向都发生变化
能否找到一个坐标系，不论上面的那种情况发生， 都可以归咎为矢量的分量的大小发生变化吗？
物理教研室，药大
因为有如下关系：
ii j j k k 1 i j jk k i 0
A B ( Ax i Ay j Az k ) (Bx i By j Bz k ) Ax Bx Ay By Az Bz
物理教研室，药大
同样因为有 如下关系：
ii j j k k 0 i j k, j k i,k i j
• m>0: 与A同向; • m<0: 与A反向; • m=0: 零矢量 • m=-1: mA = -A,其中,-A表示一个与A大小相等方向相反的矢量
• 性质:
– 分配律:(associative law)
( )A A A (A B) A B
– 交换律:(commutative law)
3) 两个矢量的夹角
cos A B
AB
4) 性质：
交换律(commutative law): 分配律(distributive law): 结合律(associative law):
AB B A ( A B) C AC B C ( A B) A (B), 为实数
物理教研室，药大
例3.
t2 t1
( Axi
Ay
j
Azk )dt
(
t2 t1
Axdt)i
(
《大学物理》第3章 二、三维运动
经过的水平距离）为:
xmax
v02 sin 2
g
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飞行的射高（即高出抛射点的距离）为
ymax
v02
sin 2
2g
若 0 ，则 ymax 0 ， 此时为平抛运动；
若
4
，则 xmax
v02 g
，此时射程最大；
若
2
，则 xmax
0 ，此时为竖直抛体运动.
在t=0时刻坐标
原点重合，对于同一
o'
个质点P，在任意时
刻两个坐标系中的质 点对应的位置矢量： zz'
v
r
x'
P
r
x
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K'系rr原 点rr相对RRK系原r点的vt位矢Ry t t
P点在K系和K'系的空间坐 标、时间坐标的对应关系 o
(4) t=2s内的平均速度 (5) t=2s末的速度及速度大小 (6) t=2s末加速度及加速度大小
解：(1) 先写运动方程的分量式
x 2t
y
2
t
2
消去 t 得轨迹方程： y 2 x2
4
抛物线
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(2)
位置矢量：
r
2j
t os
r 4i 2 j
（6）加速度
a dv 2 j
dt
a 2 j
t2s
a =2 m / s2 沿 -y 方向，与时间无关。
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例题 3-5 位置是时间的函数 质点的位置是时间的函 数，表示为
三维空间中的力学问题矢量力学的应用
三维空间中的力学问题矢量力学的应用在物理学中，力学是研究物体运动以及其产生的力和作用的学科。
而在三维空间中的力学问题中，矢量力学是一种非常重要的工具和方法。
本文将探讨三维空间中矢量力学的应用，并讨论其在解决力学问题中的重要性。
1. 矢量力学的基本概念在三维空间中矢量力学的应用之前，我们首先来了解一些基本概念。
矢量力学是一种利用矢量和矢量运算来描述和分析力学问题的方法。
在三维空间中，力被描述为具有大小和方向的矢量。
具体来说，力可以用一个有向线段来表示，线段的长度代表力的大小，线段的方向代表力的方向。
2. 三维空间中的力的合成与分解在解决三维空间中的力学问题时，矢量力学可以帮助我们进行力的合成与分解。
力的合成是指将多个力合并成一个力的过程。
根据力的三角形法则，我们可以利用矢量的几何相加来求解合力。
力的分解则是将一个力分解为不同方向上的多个力的过程。
根据力的分解法则，我们可以利用矢量的几何相减来求解分力。
3. 牛顿定律的矢量形式牛顿定律是力学的基本定律之一，在三维空间中也存在其矢量形式。
根据牛顿定律的矢量形式，当多个力作用在一个物体上时，物体所受合力等于所有作用力的矢量和。
这个矢量和可以通过矢量力学中的力的合成来求解。
利用牛顿定律的矢量形式，我们可以更方便地分析和计算物体的受力情况。
4. 力矩与力矩平衡力矩是描述力对物体旋转效果的物理量，在三维空间中也有其矢量形式。
利用矢量力学的方法，我们可以计算力对物体的力矩，并通过力矩平衡条件来解决力矩平衡问题。
力矩平衡条件要求物体所受的合力矩为零。
通过矢量力学的计算方法，我们可以求解物体上所有力的力矩，并判断物体是否处于力矩平衡状态。
5. 三维空间中的摩擦力与滑动问题在三维空间中，摩擦力是物体运动中常常遇到的力之一。
利用矢量力学，我们可以分析和计算物体所受的摩擦力。
摩擦力可以分为静摩擦力和动摩擦力，它们与物体之间的接触力以及物体的质量有关。
对于滑动问题，我们可以利用静摩擦力和动摩擦力之间的比较来判断物体是否会滑动。
三维空间矢量表示
三维空间矢量表示三维空间矢量在物理学和数学中有着广泛的应用，它们可以用来描述物体在三维空间中的位置、速度、加速度等物理量。
本文将从几何、物理和数学三个角度，介绍三维空间矢量的定义、性质和应用。
一、几何角度在几何中，三维空间矢量可以用箭头表示，箭头的长度表示矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。
矢量的起点可以任意选取，不影响矢量本身。
两个具有相同大小和方向的矢量被认为是相等的，记作AB=CD。
矢量的加法满足交换律和结合律，即A+B=B+A，(A+B)+C=A+(B+C)。
几何中的三维空间矢量可以用来描述物体的位移、速度和加速度等。
二、物理角度在物理学中，三维空间矢量可以用来描述物体的运动状态。
位移矢量表示物体从初始位置到最终位置的位移，速度矢量表示物体在单位时间内的位移量，加速度矢量表示物体在单位时间内速度的变化量。
根据牛顿第二定律，物体的受力与加速度成正比，可以用矢量方程F=ma表示。
三维空间矢量在物理学中有着广泛的应用，如描述物体的运动轨迹、力的合成与分解等。
三、数学角度在数学中，三维空间矢量可以用坐标表示。
假设有一个三维坐标系，其中的三个坐标轴分别为x轴、y轴和z轴。
一个三维矢量可以表示为(x, y, z)，其中x、y和z分别表示在x轴、y轴和z轴上的分量。
两个矢量的加法可以分别对应相应分量的加法，即(Ax+Bx, Ay+By, Az+Bz)。
矢量的数量积和向量积可以用矩阵和行列式表示。
数量积的结果是一个标量，表示两个矢量之间的夹角的余弦值；向量积的结果是一个矢量，其大小等于两个矢量之间构成的平行四边形的面积，方向垂直于平行四边形所在的平面。
总结起来，三维空间矢量在几何、物理和数学中都有着重要的应用。
在几何中，矢量可以用箭头表示，表示物体的位移、速度和加速度等；在物理中，矢量可以用来描述物体的运动状态和受力情况；在数学中，矢量可以用坐标表示，并进行加法、数量积和向量积等运算。
通过对三维空间矢量的研究和应用，可以更好地理解和描述物体在三维空间中的运动和相互作用，为科学研究和工程实践提供有力的工具和方法。