简谐振动
什么是简谐振动
什么是简谐振动简谐振动是物体在一定条件下的周期性振动，其运动规律可以用正弦或余弦函数来描述。
本文将从简谐振动的定义、特点、数学表达以及应用领域等方面进行探讨，旨在帮助读者全面了解简谐振动。
一、简谐振动的定义简谐振动是指物体在平衡位置附近，受到一个恢复力作用后产生的周期性振动。
这个恢复力与物体偏离平衡位置的位移成正比，方向恢复到平衡位置。
简谐振动系统通常包括弹簧和质点等元素。
二、简谐振动的特点1. 振动是周期性的：简谐振动在某一时间段内会重复相同的运动状态，振动周期保持恒定。
2. 运动轨迹是正弦函数：简谐振动的运动可以用正弦或余弦函数来描述，因此振幅会随时间做正弦或余弦变化。
3. 频率和周期相关：频率是指单位时间内振动的次数，周期是指完成一次完整振动所需要的时间。
它们是互为倒数的量。
4. 振动能量的转化：在简谐振动中，物体在平衡位置附近的振动会不断地在势能和动能之间转化，总能量守恒。
三、简谐振动的数学表达对于简谐振动，我们可以用如下数学表达式来描述：x = A * cos(ωt + φ)其中，x表示物体的位移，A为振幅，ω为角频率，t为时间，φ为初相位。
四、简谐振动的应用简谐振动在各个领域都有广泛应用，如：1. 物理学：简谐振动是研究其他振动的基础，例如机械振动、电磁振动等。
2. 工程学：简谐振动的特性被应用于建筑、桥梁、风力发电等领域，用于分析和设计结构的稳定性。
3. 车辆行驶：车辆在交通流中的运动可以近似地看作是简谐振动，因此简谐振动的相关理论有助于改善车辆的悬挂系统和乘坐舒适性。
4. 生物学：生物体内的各种振动，如心脏的跳动、呼吸等，都可以用简谐振动来描述和研究。
5. 音乐学：音乐中的音调和音色变化也可以用简谐振动的理论来解释。
总结简谐振动是一种周期性的振动，其运动规律可以用正弦或余弦函数来描述。
它具有振动周期恒定、振动能量转化和运动轨迹为正弦函数等特点。
简谐振动在物理学、工程学、车辆行驶、生物学以及音乐学等领域都有广泛的应用。
简谐振动的特性与公式
简谐振动的特性与公式简谐振动是指物体在回复力的作用下，以一个固定的角频率在平衡位置周围做往复运动的现象。
它是力学中的重要概念，广泛应用于物理学、工程学以及其他领域。
本文将探讨简谐振动的特性以及相关的公式。
一、简谐振动的特性1. 平衡位置与位移：简谐振动的平衡位置是物体在无外力作用下所处的位置，位移是物体相对于平衡位置的偏移量。
在简谐振动中，物体在平衡位置附近做往复运动，位移大小与方向随时间变化。
位移可以用矢量表示，方向与偏离平衡位置的方向相反。
2. 振动的周期与频率：简谐振动的周期是完成一次完整往复运动所需的时间，用符号T表示。
频率是单位时间内完成的往复运动次数，用符号f表示。
周期和频率之间存在以下关系：f=1/T。
3. 振幅与最大速度：简谐振动的振幅是位移的最大值，表示振动的幅度大小。
最大速度是物体在振动过程中达到的最大速度，与振幅相关。
振幅越大，最大速度越大。
4. 角频率与周期：角频率是简谐振动中角度随时间变化的快慢程度，用符号ω表示。
角频率与周期之间存在以下关系：ω=2πf=2π/T。
二、简谐振动的公式1. 位移与时间的关系：简谐振动的位移随时间的变化可以用正弦函数来描述。
当物体从平衡位置出发向一个方向运动时，位移的函数关系可以表示为：x(t) = A * sin(ωt)，其中x(t)为时间t时刻的位移，A为振幅，ω为角频率。
2. 速度与时间的关系：简谐振动的速度随时间的变化也可以用正弦函数来描述。
速度的函数关系可以表示为：v(t) = A * ω * cos(ωt)，其中v(t)为时间t时刻的速度。
3. 加速度与时间的关系：简谐振动的加速度随时间的变化同样可以用正弦函数来描述。
加速度的函数关系可以表示为：a(t) = -A * ω^2 *sin(ωt)，其中a(t)为时间t时刻的加速度。
以上公式是简谐振动中最基本的公式，通过它们可以计算出简谐振动过程中任意时刻的位移、速度和加速度。
三、应用举例简谐振动的特性与公式在实际应用中有着广泛的应用。
简谐振动
例 9.3 用一弹簧把质量各为 m1 和 m2 的两木块连起 来，一起放在地面上，弹簧的质量可不计，而 m2>m1 ， 对上面的木块必须施加多大的压力Ｆ， 问： 以便在Ｆ突然撒去而上面的木块跳起来时，恰能使 下面的木块提离地面？
F
m1
Hale Waihona Puke m2解：F 撤去后， m1 围绕其平衡位置 O 作简谐振动。
m1 在平衡位置时，弹簧的压缩量:
链接
4.2 同方向不同频率的简谐振动的合成：形成拍
4.3 相互垂直的同频率的简谐振动的合成：椭圆轨道
链接
4.4 相互垂直的同频率的简谐振动的合成：李萨如图
链接
例 9.1 如图，一正方体木块浮在水面，因外界扰动而沿 竖直方向上下振动，设木块的边长为 l，密度为 ，水的 密度为 0 ( 0 ) 。 （1）证明木块作简谐振动，并求其振动周期； （2）若已知 t 0 时木块经过平衡位置以速度 v0 向下运 动，试求出物体的振动方程（取平衡位置为坐标原点， 向下为坐标轴正方向） 。
T
a1 2 mg N ma T
1
2T
a
1 mg 3
a1 a1 mg
N
x
mg
2mg 2mg x t 0 (l0 x0 ) A k k v 0 t 0
O E
x0 -x' l0
x
2mg 4k cos( t ) k 3m
解：第一阶段：自烧断轻线至砝码1脱离弹簧。
mg x0 k T mg ma1 N mg 2T ma 1 N ma1 mg ma N k ( x0 x)
4k k a x, a1 x 3m 3m 4k x A cos( t ) 3m
简谐振动的特征和表示方法
简谐振动的特征和表示方法简谐振动是物理学中一种重要的振动现象，广泛应用于各个领域。
本文将论述简谐振动的特征和表示方法，以帮助读者更好地理解和应用简谐振动。
一、简谐振动的特征简谐振动是指受力恢复力与物体偏离平衡位置成正比的振动过程。
简谐振动具有以下主要特征：1. 平衡位置：简谐振动存在一个平衡位置，该位置处物体不受力作用，相对于该位置发生振动。
2. 振动频率：简谐振动的频率是指单位时间内完成的振动周期数。
频率与弹性系数、质量有关，表征了振动快慢。
3. 振幅：简谐振动的振幅是指物体在振动过程中偏离平衡位置的最大距离，振幅与振动能量相关。
4. 相位：简谐振动的相位是指物体在振动过程中的状态，用来描述物体与平衡位置的关系。
相位角随时间变化而变化。
二、简谐振动的表示方法简谐振动可以用多种方式表示，常见的表示方法包括：1. 位移-时间表示：用物体的位移随时间的变化来描述简谐振动。
位移随时间变化呈正弦或余弦函数关系，可表示为x(t) = Acos(ωt + φ)，其中A为振幅，ω为角速度，φ为相位角。
2. 速度-时间表示：用物体的速度随时间的变化来描述简谐振动。
速度随时间变化呈正弦或余弦函数关系，可表示为v(t) = -Aωsin(ωt + φ)。
3. 加速度-时间表示：用物体的加速度随时间的变化来描述简谐振动。
加速度随时间变化呈正弦或余弦函数关系，可表示为a(t) = -Aω^2cos(ωt + φ)。
4. 质点运动轨迹表示：简谐振动的质点运动轨迹可以用二维坐标系中的曲线来表示。
常见的简谐振动运动轨迹有直线、椭圆和圆周等形状。
5. 动能-势能图表示：简谐振动的动能-势能图是一种图形表示方法，用来描述振动系统的能量变化。
动能-势能图呈现周期性交替变化的特点，体现了能量从动能到势能再到动能的转换。
三、简谐振动的应用简谐振动在物理学、工程学和生物学等领域有广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：1. 力学系统中的弹性振动：弹簧振子、单摆等力学系统中的振动往往可以近似看作简谐振动，通过振动频率和振幅等参数来描述振动特性。
简谐振动
1 1 2 2 2 2 m A sin (t 0 ) kA cos 2 (t 0 ) 2 2
简谐振动的能量
1 2 考虑到 k m ，系统总能量为 E kA ，表明 2 简谐振动的机械能守恒。
2
能量平均值
1 T1 1 2 2 2 2 EK m A sin (t 0 ) d t kA T 0 2 4
§15-1 简谐振动
简谐振动：物体运动时，离开平衡位置的位移(或 角位移)按余弦(或正弦)规律随时间变化。
1.简谐振动的特征及其表达式
O
X
F
X
O
F
O
X
简谐振动的特征及其表达式
位移 x 之解可写为： 或
x A cos(t 0 )
i(t 0 )
x Ae
简谐振动的运动学特征:物体的加速度与位移成正 比而方向相反，物体的位移按余弦规律变化。
1 T1 2 1 2 2 EP kA cos (t 0 ) d t kA T 0 2 4
EK EP E 2
上述结果对任一谐振系统均成立。
简谐振动的能量
谐振子的动能、势能和总能量随时间的变化曲线:
E
EP
1 2 E kA 2
O
Ek
t
x
O
x A cos t
t
简谐振动的振幅、周期、频率和相位
(3)相位和初相
相位 (t 0 ) ：决定简谐运动状态的物理量。
初相位 0 ：t=0 时的相位。 相位概念可用于比较两个谐振动之间在振动 步调上的差异。 设有两个同频率的谐振动，表达式分别为： x1 A1 cos(t 10 )
x2 A2 cos(t 20 )
简谐振动理论概述
简谐振动理论概述简谐振动是物理学中一种基本的振动形式，广泛应用于机械、电子、光学等领域。
本文将概述简谐振动的理论基础及相关特性。
一、简谐振动的定义与基本特性简谐振动是指在恢复力作用下，物体围绕平衡位置做往复振动的一种运动形式。
它具有以下几个基本特性：1. 平衡位置：简谐振动的平衡位置是物体受到恢复力时的位置，也是物体运动的稳定状态。
2. 往复运动：物体在简谐振动中以一定的频率围绕平衡位置做往复运动，即向远离平衡位置的方向运动，然后再回到平衡位置。
3. 振幅：振幅是简谐振动的最大偏离平衡位置的距离，它决定了振动的强度。
4. 周期与频率：简谐振动的周期是物体完成一次完整振动所需的时间，频率是单位时间内振动的次数。
它们之间存在着倒数关系，即周期等于频率的倒数。
二、简谐振动的数学表示简谐振动可以通过数学函数来描述。
其中，最常用的是正弦函数和余弦函数。
简谐振动的数学表示形式如下：x(t) = A * sin(ωt + φ)其中，x(t)表示时间t时物体离平衡位置的距离；A表示振幅；ω表示角频率，与振动的周期和频率有关；φ表示相位，描述振动的初始时刻。
三、简谐振动的力学模型简谐振动的力学模型通常可以使用弹簧振子来描述。
弹簧振子由弹簧和质点组成，在无阻尼情况下可以实现简谐振动。
根据胡克定律，弹簧振子的恢复力与质点的位移成正比，可以通过以下公式表示：F = -kx其中，F表示恢复力的大小；k表示弹簧的劲度系数；x表示质点相对平衡位置的位移。
四、简谐振动的能量在简谐振动中，系统的总能量保持不变，由动能和势能组成。
质点的动能和势能在振动过程中相互转换。
动能和势能可以通过以下公式表示：动能 K = 1/2 * m * v^2势能 U = 1/2 * k * x^2其中，m表示质点的质量；v表示质点的速度；k表示弹簧的劲度系数；x表示质点相对平衡位置的位移。
五、简谐振动的应用简谐振动在各个领域都有重要的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 机械振动：简谐振动广泛应用于机械系统中，如弹簧振子、钟摆等。
简谐振动
x x1 x 2
x1
v0
O x0
k • 频率 ω M m
2 v A x0 2 02 ω
x
v0 φ0 tg ωx0
1
( M m) g Mg mg x0 k k k
掌握初始条件 的确定方法
14
简谐振动总结
分析振动系统 求动力学方程 求运动学方程
• •
动力学特征
1. 动能
1 1 2 2 2 Ek mv kA sin ( t ) 2 2
1 t T 1 2 Ek Ek dt kA T t 4
2. 势能
1 2 Ek max kA 2 E k min 0
1 2 1 2 E p kx kA cos 2 ( t ) 2 2
3. 机械能
1 2 E Ek E p kA （简谐振动系统机械能守恒） 2
11
例 物理摆 如图所示, 设刚体对轴的转动惯量为J. 设 t = 0 时摆角向右最大为 0. 求 振动周期和振动方程.
解 M m g h sin J
mgh sin 0 J
5 时 , sin
mgh 0 J
振动方程
mgh J
单 摆
J T 2 mgh
h T 2 g
12
0 cosω t
例
竖直方向的弹簧振子，求振动方程。 解 分析系统受力
线性回复力
l0
k O
f
x
i
mg k (Δl x ) mg k Δ l kx kx
l
m
x
d x k x0 2 dt m
简谐振动的概念
简谐振动的概念
简谐运动随时间按余弦（或正弦）规律的振动，或运动。
又称简谐振动。
简谐运动是最基本也最简单的机械振动。
当某物体进行简谐运动时，物体所受的力跟位移成正比，并且总是指向平衡位置。
它是一种由自身系统性质决定的周期性运动。
（如单摆运动和弹簧振子运动）实际上简谐振动就是正弦振动。
故此在无线电学中简谐信号实际上就是正弦信号。
扩展资料
简谐振动位移公式：x=Asinωt
简谐运动恢复力：F=-KX=-md^2x/dt^2=-mω^2x
ω^2=K/m
简谐运动周期公式：T=2π/ω=2π(m/k)^1/2
如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律，即它的振动图像（x-t图像）是一条正弦曲线，这样的振动叫做简谐运动。
R是匀速圆周运动的半径，也是简谐运动的振幅；ω是匀速圆周运动的角速度，也叫做简谐运动的圆频率,ω=√(k/m)；
φ是t=0时匀速圆周运动的物体偏离该直径的角度(逆时针为正方向)，叫做简谐运动的初相位。
在t时刻，简谐运动的位移x=Rcos(ωt+φ)，简谐运动的速度v=-ωRsin(ωt+φ)，简谐运动的加速度a=-(ω^2)Rcos(ωt+φ),这三个式子叫做简谐运动的方程。
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tan
A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos 1 A2 cos 2
结论：合振动 x 仍是简谐振动
2. 旋转矢量法 分振动
A2
x1 A1 cos( t 1 ) x2 A2 cos( t 2 )
合振动
2
O
x2
A 2 1 A1
A
特点:直观方便.
t
a
x(t ) A cos(t ) v A sin(t )
A cos( t ) 2 Av cos( t v )
v o
·
x
·
t=0 x
a 2 A cos( t ) Aa cos( t a )
x(t ) A cos(ω t )
x 是描述位置的物理量,如 y , z 或 等.
特点: (1)等幅振动 (2)周期振动 x(t ) x(t T ) 研究简谐振动的意义: O
m m x
x
Ⅰ
Ⅱ
O
T
2T t
谐振子 1. 受力特点 机械振动的力学特点
l0
x m
线性回复力
2. 动力学方程
1
x
x x1 x2 A cos( t )
2 A A12 A2 2 A1 A2 cos(2 1 )
x1 x x1 x2
A1 sin 1 A2 sin 2 tan A1 cos 1 A2 cos 2
结论：与解析法求得的结果一致，方法直观、简捷.
3. 机械能
EP
1 2 E Ek E p kA 2
（简谐振动系统机械能守恒）
Ek
−A
O
A x
例 如图所示，一质点作简谐振动，在一个周期内相继通过距 离为12cm的两点A和B，历时2s，并且在A，B两点处具有 相同的速度；再经过2s后，质点又从另一方向通过B点。
求 质点运动的周期和振幅。
则A=|A1-A2|, 两分振动相互减弱， 当 A1=A2 时, A=0
3. n 个同方向同频率谐振动的合成 例 设有 n 个同方向、同频率、振幅 a 相同、初相差依次为一 常量ε的谐振动，它们的振动分别为
x1 a cos t x2 a cos(t )
x3 a cos(t 2 ) …… …… xn a cos[(t (n 1) ]
x r - r0
F ( F ) r r0
F (
dF 1 d2F ( ) r r0 x ( 2 ) r r0 x 2 dr 2 dr （在平衡位处置幂级数展开）
（对于微小振动，高阶小量可略去）
dF ) r r0 x dr
dF 2a 3b a4 ( ) r r0 ( 3 4 ) b 3 dr r r ra b
4. 振幅和初相位的确定
x(t ) A cos(ω t ) v ω A sin(ω t )
2 v0
x0 A cos v 0 ω A sin
v0 arctan( ) x0
A x0
2
2
注意: 如何确定最后的 .
12.1.3 谐振动旋转矢量表示法
求 合振动的振动方程。 解
C Rε π n 2 2
n ε A ε
ε
x xn A cos(t )
2 sin n / 2 Aa sin / 2 a 2 R sin
O a
ε
ε P x
n A 2 R sin 2 1 1 n 1 ( π ) ( π n ) 2 2 2
12.1.2 描述谐振动的特征量
1. 振幅 A
2. 周期T 和频率 v v = 1/T (Hz)
m O
x
3. 相位 (1) ( t + ) 是 t 时刻的相位
(2) 是 t =0 时刻的相位 —— 初相
相位的意义: x(t ) A cos(ω t )
相位确定了振动的状态. 相位每改变 2 振动重复一次,相位 2 范围内变化,状态不重复.
v A sin(t ) a 2 A cos( t )
x
A
= 2
O -A
t
相位差
x1 A1 cos(1t 1 ) x2 A2 cos( 2t 2 )
(2t 2 ) (1t 1 )
k1 k2 m2 O
n sin 2 cos[t (n 1) ] x A cos(t ) a 2 sin 2
讨论:
极大值:
2k π
A na
C Rε π n 2 2
极小值:
2k ' π ，k ' nk n
n ε A ε ε ε P x
A0
次极大: … …
dF a4 F ( ) r r0 x 3 x kx dr b
a4 其中 k 3 ，为等效劲度系数. b
结论: 原子在平衡位置附近的微振动是谐振动. 周期为：
m b3 T 2 2π 4 m k a
a4 角频率为： 3 bm
§12.3 谐振动的合成
主要内容：
振幅相同不同频率的简谐振动的合成
分振动 : 合振动 :
x1 A cos 1t x2 A cos 2t
x x1 x2 A cos 1t A cos 2t 2 1 2 1 2 A cos( ) t cos( )t 2 2
2 - 1 2 + 1 ，令
12.2.2 复摆（物理摆） 以物体为研究对象 设 角沿逆时针方向为正
O( z )
h
mgh sin J Z
（刚体绕定轴转动定律）
C m
P
小角度时
mgh 0 JZ
2 令
mgh JZ
2 0
结论: 小角度摆动时，复摆的运动是谐振动.
2
2 0
结论: 在扭转角不太大时，扭摆的运动是谐振动. 周期和角频率为： T 2 J Z
D
D JZ
双原子分子 某些双原子分子中，原子间的相互作用力可以用为 a b F 2 3 （其中，r 为原子间的距离，a 和 b 均为正的常数） r r 证明原子在平衡位置附近的微振动是谐振动,并确定其周期. 证明: a b b 平衡位置 F 2 3 0 r0 r0 r0 a 设原子偏离平衡位置的位移为
v l
m
P
沿切向方向的分量方程为
dv P sin m dt g 0 l
令
1 sin 3 （小角度时） 6
2
g l
2 0
g l
结论: 小角度摆动时，单摆的运动是谐振动.
l T 2 周期和角频率为： g
当 2 1 时 ,
x A(t ) cos t
其中 A(t ) 2 A cos(
随 t 缓变
2 1
2
t)
cos t cos(
2 1
2
t)
随 t 快变
结论：合振动 x 可看作是振幅缓变的简谐振动。
1. 同方向同频率谐振动的合成 2. 同方向不同频率谐振动的合成 拍
3. 相互垂直谐振动的合成
12.3.1 同方向同频率谐振动的合成 1. 解析法
分振动 :
合振动 :
x1 A1 cos( t 1 ) x2 A2 cos( t 2 )
x x1 x2 A1 cos( t 1 ) A2 cos( t 2 )
周期和角频率为：T 2
JZ mgh
mgh JZ
12.2.3 扭摆 以圆盘为研究对象 在 （扭转角）不太大时， 圆盘受到的力矩为
z
金属丝
M z D
D J Z
（D为金属丝的扭转系数） （刚体绕定轴转动定律）
x
y
D 0 JZ
D 令 JZ
2 ) 8 2
A 6 2 cm
§12.2 简谐振动的实例分析
主要内容：
1. 单摆 2. 复摆
3. 扭摆
4. 双原子分子内原子的振动
12.2.1 单摆 以小球为研究对象，作受力分析. P 重力, T 绳的拉力. 设 角沿逆时针方向为正.
T
l
P T ma（牛顿第二定律）
F kx
k
O
x
F kx ma
x(t ) A cos(ω t )
k 其中 为 固有角频率 ω m
3. 速度和加速度
d2 x 2 x0 2 dt
运动微分方程
v ω A sin(ω t ) ω A cos(ω t ) 2 a 2 A cos( t ) 2 A cos( t π)
第12章 机械振动
“喷水鱼洗”实质上是一个盆边带有双耳的铜盆. 当用手 摩擦盆边的双耳时，盆内的水会浪花飞溅.
§12.1 简谐振动
主要内容：
1. 什么是简谐振动？ 2. 简谐振动动力学和运动学特征
3. 用牛顿运动定理分析谐振子的运动规律 4. 简谐振动振动的旋转矢量表述
5. 谐振动振动的能量
12.1.1 简谐振动 定义:
A sin A cos x A cos cos t A sin sin t A cos( t )