【精准解析】江苏省常州市2019-2020学年高二上学期期末考试数学试题
江苏省连云港市2019-2020学年度高二上学期期末考试试题 数学【含解析】
2.双曲线 的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据双曲线的渐近线的定义求得。
【详解】双曲线 的渐近线方程是 ，故选：B.
【点睛】此题是容易题，考查双曲线的基本定义。
3.“M＜N”是“ ” （ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【详解】因为 ， ， ，故 ， ，故选:BD。
【点睛】此题考查充分条件和必要条件的概念，属于基础题。
12.设P是椭圆C： 上任意一点，F1，F2是椭圆C的左、右焦点，则（ ）
A.PF1＋PF2＝ B. ﹣2＜PF1﹣PF2＜2
C. 1≤PF1·PF2≤2D. 0≤ ≤1
【答案】ACD
【解析】
【分析】
15.已知椭圆C： (a＞b＞0)的焦距为2．准线方程为x＝3，则该椭圆的标准方程是_______；直线 与该椭圆交于A，B两点，则AB＝_______．
【答案】 (1). (2).
【解析】
分析】
根据椭圆的定义和准线方程可求得第一问，联立椭圆和直线方程再通过韦达定理计算可求得第二问。
【详解】 ，解得 ，再解出 ，所以椭圆的标准方程是 。设A坐标为 ，B坐标为 ，直线AB的斜率为k。则
13.准线方程为 的抛物线的标准方程是．
【答案】
【解析】
抛物线的准线方程为 ，说明抛物线开口向左，且 ，所以抛物线的标准方程是 ．
14.中国古代数学某名著中有类似问题：“四百四十一里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人一共走了441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，毎天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了_______里．
2021-2022学年江苏省常州市教育学会高二上学期期末学业水平监测数学试题(解析版)
2021-2022学年江苏省常州市教育学会高二上学期期末学业水平监测数学试题一、单选题1．直线0x =的倾斜角为（ ） A ．-30° B ．60° C ．150° D ．120°【答案】C【分析】根据直线斜率即可得倾斜角.【详解】设直线0x +=的倾斜角为θ由已知得y x =，所以直线的斜率tan k θ== 由于0180θ≤<， 150θ∴=故选：C.2．函数f （x ）= x e x 的单调增区间为（ ） A ．（-∞，-1） B ．（-∞，e ） C ．（e ，+∞） D ．（-1，+∞）【答案】D【分析】求出()f x '，令()0f x '>可得答案.【详解】由已知得()()e e 1e x x xf x x x '=+=+，令()0f x '>，得1x >-，故函数f （x ）= xex 的单调增区间为（-1，+∞）. 故选：D.3．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，5， 11，21，37，61，则该数列的第7项为（ ） A ．95 B ．131C ．139D ．141【分析】利用已知条件，推出数列的差数的差组成的数列是等差数列，转化求解即可 【详解】由题意可知，1，5， 11，21，37，61，……，的差的数列为 4，6，10，16，24，……，则这个数列的差组成的数列为：2，4，6，8，……，是一个等差数列， 设原数列的第7项为x ，则612410x -=+，解得95x =， 所以原数列的第7项为95， 故选：A4．已知点P 是圆22:20C x y y ++=上一点，则点P 到直线:240l x y -+=的距离的最大值为（ ）A ．2B 2C 1D 1【答案】C【分析】求出圆心到直线的距离，由这个距离加上半径即得．【详解】由圆22:20C x y y ++=，可得圆心坐标()0,1C -，半径1r =，则圆心C 到直线l =P 到直线l 1.故选：C ．5．已知函数()2ln af x x x x=-+在定义域内单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞B ．(),1-∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞【答案】D【分析】由题意转化为()0f x '≤，0x >恒成立，参变分离后转化为()2max2a x x≥-+，求函数()()22,0g x x x x =-+>的最大值，即可求解.【详解】函数的定义域是()0,∞+， ()222221a x x af x x x x -+-'=--=，若函数()f x 在定义域内单调递减，即220x x a -+-≤在()0,∞+恒成立，所以22a x x ≥-+，0x >恒成立，即()2max2a x x≥-+设()()22211g x x x x =-+=--+，0x >， 当1x =时，函数()g x 取得最大值1，所以1a ≥.6．记Sn 为等差数列{an }的前n 项和，给出下列4个条件：①a 1=1；②a 4=4； ③S 3=9；④S 5=25，若只有一个条件不成立，则该条件为（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④【答案】B【分析】根据等差数列通项公式及求和公式的基本量计算，对比即可得出结果. 【详解】设等差数列{an }的公差为d ， 11a =，4134a a d =+=，3113233392S a d a d ⨯=+=+=，即13a d +=， 511545510252S a d a d ⨯=+=+=，即125a d +=. 当11a =，2d =时，①③④均成立，②不成立. 故选：B7．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦点为1F ，2F ，其渐近线上横坐标为12的点P满足120PF PF ⋅=，则=a （ ）A ．14B ．12C ．2D ．4【答案】B【解析】由题意可设1(,)22b P a ±，则1211(,),(,)2222b bPF c PF c a a=--=-，再由120PF PF ⋅=，可得22240a c c -=，从而可求出a 的值【详解】解：双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，故设1(,)22b P a ±，设12(,0),(,0)F c F c -，则1211(,),(,)2222b bPF c PF c a a=--=-， 因为120PF PF ⋅=，所以2211()()0224b c c a-+-+=，即2222224a c a b c a -==-，所以22240a c c -=，因为20c ≠，所以2410a -=， 因为0a >，所以12a =， 故选：B8．已知数列{}n a 满足11a =，()*132N n n n a a n +=+∈，1n n na b a +=.设Z t ∈，若对于*N n ∀∈，都有n b t >恒成立，则t 的最大值为【答案】A【详解】整理数列的通项公式有：()11232n n n n a a +++=+，结合1132a +=可得数列{}2n n a +是首项为3，公比为3的等比数列，则23,32n n n nn n a a +=∴=-，()113232323122323232213n n nn n nn nn n n n n nb +++--===+=+---⎛⎫- ⎪⎝⎭，原问题即：12213nt <+⎛⎫- ⎪⎝⎭恒成立，当n →+∞时，123213n+→⎛⎫- ⎪⎝⎭，即12213n+⎛⎫- ⎪⎝⎭>3，综上可得：t 的最大值为3. 本题选择A 选项.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项． 二、多选题9．已知曲线C 的方程为22126x y k k+=--（k ∈R ），则下列结论正确的是（ ）A ．当4k =时，曲线C 为圆B ．“4k >”是“曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆”的充分而不必要条件 C ．当0k =时，曲线C为双曲线，其渐近线方程为y = D ．存在实数k 使得曲线C【答案】AC【解析】根据圆锥曲线的定义及几何性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，逐一对四个选项作出判断即可.【详解】当4k =时，曲线C 的方程为22122x y +=，即222x y +=，显然曲线C 为圆心为()0,0的圆，选项A 正确；当曲线C 的方程为221x y +=（k ∈R ）表示焦点在x 轴上的椭圆时需满足：要不充分条件，选项B 错误；当0k =时，曲线C 的方程为22162y x -=，可得a =b =C 的渐近线方程为y =，选项C 正确；当曲线C 的方程为22126x y k k +=--（k ∈R c a =a b =，则26k k -=-，解得4k =，此时曲线C 的轨迹为圆，故不存在实数k 使得曲线C ，选项D 错误. 故选：AC .【点睛】关键点睛：牢记椭圆、双曲线的标准方程及其几何意义是解题的关键. 10．已知函数f （x ）=（x -a ）（x -3）2，当x =3时，f （x ）有极大值，则a 的取值可以是（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】ABC【分析】求得导数函数()(3)(332),f x x x a '=---只需3233a+>即可满足题意. 【详解】2()()(3),f x x a x =--∴22()(3)()(3)(3)(332),f x x x a x x x a '=---=--+- 令 ()0f x '=，则3x =或323ax +=， 当3233a +>时，即3a >时，()f x 在(),3-∞单调递增，323,3a +⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，32,3a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递增，此时，当x =3时，f （x ）有极大值， 则a 的取值可以是4,5,6. 故选：ABC.11．已知Sn 是等差数列{an }的前n 项和，且5678S S S S <=>，则下列命题正确的是（ ） A ．59S S < B ．该数列的公差d <0 C ．a 7=0 D ．S 12>0【答案】BCD【分析】由题意可得6780,0,0a a a >=<，从而得出等差数列{}n a 中前6项为正，从第8项起均为负，结合等差数列的性质和前n 项和的公式对选项进行判断即可.78S S >可得8780S S a -=<，所以等差数列{}n a 的公差0d <，故选项B 正确.所以123456,,,,,a a a a a a 为正，70a =，从第8项起均为负. 故选项C 正确. 所以()959876878220S S a a a a a a a -=+++=+=<，故选项A 不正确.()11212676126602a a S a a a +=⨯=+=>,故选项D 正确. 故选：BCD12．古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值m （m ≠1）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy 中，()()2,0,4,0A B -，点P 满12PA PB =.设点P 的轨迹为C ，则下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为22(4)12x y ++=B ．当A ，B ，P 三点不共线时，射线PO 是∠APB 的平分线C ．在C 上存在K 使得2KO KA =D ．在x 轴上存在异于A ，B 的两个定点D ，E ，使得12PD PE=【答案】BD【分析】设点(),P x y ，根据题意可求出C 的方程可判断A ，根据三角形内角平分线的性质可判断B ，求出点K 的轨迹方程与C 的方程联立可判断C ，设,D E .的坐标结合C 的方程可判断D.【详解】设点(),P x y ，则由12PA PB =12=， 化简可得()22416x y ++=，故A 错误；当A ，B ，P 三点不共线时，因为12PA PB =，2,4OA OB ==， 所以12OA OB=，所以PA OA PB OB =，射线PO 是APB ∠的平分线，故B 正确； 设存在()00,K x y ，则()2200416x y ++=，即2200080x x y ++=，因为2KO KA =所以()2222000042x y x y ⎡⎤+=++⎣⎦，所以220001616033x x y +++=， 又因为2200080x x y ++=，所以02x =，又因为02x =不满足()22:416C x y ++=，所以不存在K 满足条件，故C 错误； 假设x 轴上存在异于,A B 的两定点,D E ，使得12PD PE=，可设(,0),(,0)D m E n = 由P 的轨迹方程为2280x y x ++=，可得228224,40m n m n -=--=，解得6,12m n =-=-或2,4m n =-=（舍去），即存在(6,0),(12,0)D E --，故D 正确. 故选：BD.【点睛】本题考查阿波罗尼斯圆的定义及应用，属于新定义问题；证明角平分线除了可以通过线段的长度比来证明，还可以通过点到线段两边的距离相等来证明；和圆有关的线段长度问题，可以利用坐标法来解决问题. 三、填空题13．抛物线22y x =的焦点到准线的距离等于__________.【答案】14【分析】先将抛物线方程22y x =，转化为标准方程，求得焦点坐标，准线方程即可. 【详解】因为抛物线方程是22y x =，转化为标准方程得：212x y =， 所以抛物线开口方向向右，焦点坐标为1,08F ⎛⎫⎪⎝⎭准线方程为：18x =-，所以焦点到准线的距离等于14.故答案为：14【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 14．在正项等比数列{an }中，若15964a a a =，6a 与7a 的等差中项为12，则10a 等于_______.【答案】128【分析】先根据条件利用等比数列的通项公式列方程组求出首项和公差，进而可得10a . 【详解】设正项等比数列{an }的公比为,0q q >，又6724a a +=，561124a q a q ∴+=②，由①②得112,4q a ==， 99101121284a a q ∴==⨯=故答案为：128.15．美学四大构件是：史诗、音乐、造型（绘画、建筑等）和数学.素描是学习绘画的必要一步，它包括明暗素描和结构素描，而学习几何体结构素描是学习素描最重要的一步.某同学在画切面圆柱体（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体，原圆柱的母线被截面所截剩余的部分称为切面圆柱体的母线）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若切面圆柱体的最长母线与最短母线所确定的平面截切面圆柱体得到的截面图形是有一个底角为45°的直角梯形（如图所示），则该椭圆的离心率为_____.2【分析】设圆柱的底面半径为r ，由题意知，=2DE AB r =，椭圆的长轴长22CD r =，短轴长为2r ，可以求出,,a b c 的值，即可得离心率.【详解】设圆柱的底面半径为r ，依题意知，最长母线与最短母线所在截面如图所示．=2DE AB r ∴=． 从而222sin 45rCD r ︒==． 因此在椭圆中长轴长222a r =， 短轴长22b r =，2222222c a b r r r c r ∴=-=-=⇒=．222c e a ∴===， 216．定义在R 上的函数()f x 满足()()2e xf x f x -<' ，其中e 为自然对数的底数，()224e f =，则满足()2a f a ae >的a 的取值范围是__________. 【答案】(),2-∞ 【分析】设()()2exf xg x x =-，求出其导数结合条件得出()g x 在R 上单调递减，将问题转化为求解()()2g a g >，由()g x 的单调性可得答案. 【详解】设()()2exf xg x x =-，则()()()()()()2e e 2e 2e e x x xxx f x f x f x f x g x ''---'=-=由()()2e xf x f x -<'，则()0g x '<所以()g x 在R 上单调递减.又()()22224e 222220e ef g =-⨯=-⨯=由()2a f a ae >，即()20ea f a a ->，即()()2g a g >，所以2a < 故答案为：(),2-∞ 四、解答题17．等差数列{an }的前n 项和记为Sn ，且13428,4a a a a +=-=. (1)求数列{an }的通项公式an(2)记数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为Tn ，若99100n T >，求n 的最小值.【答案】(1)an =2n (2)100【分析】（1）由等差数列的通项公式列出方程组求解即可； （2）由裂项相消求和法得出n T ，再由不等式的性质得出n 的最小值.设等差数列{an }的公差为d ，依题意有()111228,34,a d a d a d +=⎧⎨+-+=⎩ 解得12,2.a d =⎧⎨=⎩，所以an =2n .(2)由（1）得2n S n n =+，则211111n S n n n n ==-++， 所以12111111111(1)()()122311n n T S S S n n n =+++=-+-++-=-++ 因为99100n T >，即19911100n ->+，解得n >99，所以n 的最小值为100. 18．设函数()32.f x x ax bx c =+++（I ）求曲线().y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（II ）设4a b ==，若函数()f x 有三个不同零点，求c 的取值范围 【答案】（1）y bx c =+（2）320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【解析】【详解】试题分析：（1）由导数几何意义得切线斜率为()0f '，再根据点斜式写切线方程；（2）由函数图像可知，极大值大于零且极小值小于零，解不等式可得c 的取值范围试题解析：解：（I ）由()32f x x ax bx c =+++，得()232f x x ax b =++'．因为()0f c =，()0f b '=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为y bx c =+．（II ）当4a b ==时，()3244f x x x x c =+++，所以()2384f x x x '=++．令()0f x '=，得23840x x ++=，解得2x =-或23x =-．()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞上的情况如下：所以，当0c >且32027c -<时，存在()14,2x ∈--，222,3x ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭， 32,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，使得()()()1230f x f x f x ===． 由()f x 的单调性知，当且仅当320,27c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()3244f x x x x c =+++有三个不同零点．19．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：2214x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，且椭圆C 1与抛物线C 2：y 2 = 2px （p >0）在第一象限的交点为Q ， 已知1260F QF ︒∠=.(1)求12F QF 的面积(2)求抛物线C 2的标准方程.【答案】(2)2.y = 【分析】（1）设12||,||QF m QF n ==，由椭圆的定义可得2m n a +=，结合余弦定理可得出mn 的值，从而可得面积.(2) 设0000(,)(0,0)Q x y x y >>,根据12F QF 的面积结合椭圆的方程求出点Q 的坐标，代入抛物线可得答案.(1)由椭圆方程知a =2， b =1，12(c F F ，设12||,||QF m QF n ==，则2222,(2)2cos60m n a c m n mn +=⎧⎨=+-︒⎩即22224,4,12,12,m n m n m n mn m n mn +=+=⎧⎧⎨⎨+-=+-=⎩⎩，求得43=mn所以12F QF 的面积为114sin 60223mn ︒=⨯=(2)设0000(,)(0,0)Q x y x y >>由（1）中1212001||2F QF S F F y =⨯⨯=013y =又220014x y +=，0x =，所以1)3Q代入抛物线方程得21()23p =p =所以抛物线的标准方程为2.y = 20．已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，且233n n S a =-，等差数列{}n b 中，3523,19b b ==． (1)求数列{}{},n n a b 的通项公式,n n a b ；(2)定义：,,*,,a a b a b b a b ≤⎧=⎨>⎩记*n n n c a b =，求数列{}n c 的前20项和20T ． 【答案】(1)3n n a =；292n b n =-(2)120【分析】（1）利用1(2)n n n a S S n -=-≥求得{}n a 递推关系得等比数列，从而得通项公式n a ，再由等差数列的基本时法求得通项公式n b ；（2）根据定义求得n c ，然后分组求和法求得和20T ．(1)由题意，当1n =时，11123330S a a =-⇒=≠．112233,23 3.n n n n n S a S a --≥=-=-当时两式相减，得1233n n n a a a -=-，即13n n a a -=．{}n a ∴是首项为3，公比为3的等比数列．3n n a ∴=．设数列{}n b 的公差为53,192342d b b d -=-=-=，1227d b ∴=-⇒=． 292n b n ∴=-．(2)由32922n n n a b n n ≤⇒≤-⇒≤．3,12,*292, 3.n n n n n c a b n n ⎧≤≤∴==⎨-≥⎩201234520T a a b b b b ∴=+++++⋯+232023113318391822b b +-=++⋅=++⋅ 12186=+⨯120.=21．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b+=（a >b >0）的左、右焦点分别为12,F F ，其离心率e =C经过点M . (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过点M 作两条不同的直线与椭圆C 分别交于点A ，B （均异于点M ）.若∠AMB 的角平分线与y 轴平行，试探究直线AB 的斜率是否为定值？若是，请给予证明；若不是，请说明理由.【答案】(1)221364x y += (2)是，证明见解析【分析】（1）根据离心率及椭圆上的点可求解；（2）根据题意分别设出直线MA 、MB ，与椭圆联立后得到相关点的坐标，再通过斜率公式计算即可证明.(1)由e =2222289c a b a a -==，所以a 2 =9b 2①，又椭圆过点M ，则221821a b+=②， 由①②解得a =6，b =2，所以椭圆的标准方程为221364x y += (2)设直线MA 的斜率为k ，点1122(,),(;)A x y B x y ， 因为∠AMB 的平分线与y 轴平行，所以直线MA 与MB 的斜率互为相反数，则直线MB 的斜率为-k .联立直线MA与椭圆方程，得221.364y kx x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩整理，得222(91)(13)162108180k x k x k k ++-+--=，所以1x =2x ，所以21x x -=，21x x +=-又()()212121y y kx kx k x x -=--=-++==所以212113ABy ykx x-===-为定值.22．已知函数()sin,xaf x x a Re=+∈，e为自然对数的底数.（1）当1a=时，证明，(,0]x∀∈-∞，()1f x≥；（2）若函数()f x在,02π⎛⎫-⎪⎝⎭上存在极值点，求实数a的取值范围.【答案】（1）证明见解析：（2）(0,1)【解析】(1)代入1a=,求导分析函数单调性,再()f x的最小值即可证明.(2) ()cosxaf x xe'-=+,若函数()f x在,02π⎛⎫-⎪⎝⎭上存在两个极值点,则()cosxaf x xe'-=+在,02π⎛⎫-⎪⎝⎭上有根.再分0a≤,01a<<与1a≥,利用函数的零点存在定理讨论导函数的零点即可.【详解】(1)证明：当1a=时,1()sinxf x xe=+,则1()cosxf x xe-'=+,当(,0]x∈-∞时,01xe<≤,则11xe-≤-,又因为cos1≤x,所以当(,0]x∈-∞时,1()cos0xf x xe'-=+≤,仅0x=时,()0f x'=,所以()f x在(,0]-∞上是单调递减,所以()(0)1f x f =,即()1f x≥.(2)()cosxaf x xe'-=+,因为,02xπ⎛⎫∈-⎪⎝⎭,所以cos0,0xx e>>,①当0a≤时,()0f x'>恒成立,所以()f x在,02π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增,没有极值点.②当0a>时,()cosxaf x xe'-=+在区间,02π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增,因为20,(0)12f a e f aππ⎛⎫''-=-⋅<=-+⎪⎝⎭.当1a≥时,,02xπ⎛⎫∈-⎪⎝⎭,01)()0(f x f a''≤=-+≤所以()f x在,02π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减,没有极值点.当01a<<时,()010f a'=-+>,所以存在,02xπ⎛⎫∈-⎪⎝⎭,使()00f x'=当0,2x xπ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时,()()0,,0f x x x'<∈时,()0f x'>所以()f x在x x=处取得极小值,x为极小值点.综上可知,若函数()f x在,02π⎛⎫-⎪⎝⎭上存在极值点,则实数(0,1)a∈.【点睛】本题主要考查了利用导函数求解函数的单调性与最值,进而证明不等式的方法.同时也考查了利用导数分析函数极值点的问题,需要结合零点存在定理求解.属于难题.。
2023-2024学年江苏省常州市高一上学期期末学业水平监测数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年江苏省常州市高一上册期末学业水平监测数学试题一、单选题1．设全集U =R ，集合{}{}2|650,3A x x x B x x =++<=<-，则() U A B ð为（）．A ．()3,1--B ．[)3,5-C ．[)3,1--D ．∅【正确答案】C【分析】根据一元二次不等式求集合A ，再根据集合间的运算求解.【详解】由题意可得：{}{}{}2|65051,|3U A x x x x x B x x =++<=-<<-=≥-ð，则()[) 3,1U A B =--I ð.故选：C.2．若12cos 13α=，且α为第四象限角，则tan α的值为（）A ．125B ．125-C ．512D ．512-【正确答案】D【分析】结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【详解】由于12cos 13α=，且α为第四象限角，所以5sin 13α==-，sin 5tan cos 12ααα==-.故选：D3．下列幂函数中，既在区间()0,∞+上递减，又是奇函数的是（）．A ．12y x=B ．13y x =C ．23y x -=D ．13y x -=【正确答案】D【分析】根据幂函数的奇偶性和单调性依次判断选项即可得到答案.【详解】对选项A ，12y x =在()0,∞+为增函数，故A 错误.对选项B ，13y x =在()0,∞+为增函数，故B 错误.对选项C ，23y x -=在()0,∞+为减函数，设()123321f x xx -⎛⎫== ⎪⎝⎭，定义域为{}|0x x ≠，()()()11332211f x f x x x ⎡⎤⎛⎫-===⎢⎥⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦，所以()f x 为偶函数，故C 错误.对选项D ，13y x -=在()0,∞+为减函数，设()11331f x xx -⎛⎫== ⎪⎝⎭，定义域为{}|0x x ≠，()()113311f x f x x x ⎛⎫⎛⎫-==-=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，所以()f x 为奇函数，故D 正确.故选：D4．已知扇形的圆心角为2rad ，面积为4，则扇形的周长为（）．A．B．C ．6D ．8【正确答案】D【分析】由弧度制下，扇形面积公式可得扇形半径，后可得扇形周长.【详解】设扇形半径为r ，因扇形面积为4，则212422r r ⨯⋅=⇒=.则扇形周长为228r r +=.故选：D5．设函数()123,0log ,0x x f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，若()3f a >，则实数a 的取值范围是（）．A ．()1,10,8⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭B ．()1,18⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭C ．11,8⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．1,8⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【正确答案】A【分析】根据题意分类讨论，结合指、对数函数单调性解不等式即可.【详解】当0a ≤时，则()33af a -=>，即1a ->，解得1a <-；当0a >时，则()11221log 3log 8f a a =>=，解得108a <<；综上所述：实数a 的取值范围是()1,10,8⎛⎫-∞-⋃ ⎪⎝⎭.故选：A.6．函数()1xf x x =-的图象大致形状是（）A ．B ．C．D．【正确答案】A【分析】本题为分段函数图像判断，写出分段函数，可根据特殊点进行判断.【详解】函数()1x f x x =-的定义域为1x ≠±，(),0111,011xx x x x f x xx x x x ⎧>≠⎪⎪-==⎨-⎪<≠-⎪--⎩且且(2)20f =>，排除BC 选项，(2)20f -=-<，排除D 选项.故选：A7．某工厂利用不超过64000元的预算资金拟建一长方体状的仓库，为节省成本，仓库依墙角而建（即仓库有两个相邻的侧面为墙面，无需材料），由于要求该仓库高度恒定，不靠墙的两个侧面按照其底边的长度来计算造价，造价为每米1600元，仓库顶部按面积计算造价，造价为每平方米600元．在预算允许的范围内，仓库占地面积最大为（）．A ．36平方米B ．48平方米C ．64平方米D ．72平方米【正确答案】C【分析】设不靠墙的两个侧面的长度分别为x y ，，由题有()160060064000x y xy ++≤，利用基本不等式可得答案.【详解】设不靠墙的两个侧面的长度分别为x y ，，由题有()640001600600600x y xy xy ≥++≥+.0t =>，则26003200640000t t +-≤()()2003408008t t t ⇒+-≤⇒<≤，即64xy ≤，当且仅当8x y ==时取等号.故选：C8．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，将函数()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的6倍后，再向左平移π2个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式可以是（）．A ．()2cos3x g x =B ．()π2sin 33x g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()2π2sin 33x g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()5π2sin 612x g x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【正确答案】B【分析】先根据图象求得()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据三角函数图象变换求()g x .【详解】由函数()()sin f x A x =+ωϕ的图象可得：311ππ3π2,41264A T ==-=，可得2ππT ω==，解得2ω=，则()()2sin 2f x x ϕ=+∵函数()f x 图象过点π,26⎛⎫ ⎪⎝⎭，则ππ2sin 2266f ϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即sin 13πϕ⎫⎛+= ⎪⎝⎭，由ππ,22ϕ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，可得ππ5π,366ϕ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，故ππ32ϕ+=，解得π6ϕ=，故()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的6倍，得到1π2sin 36y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向左平移π2个单位长度，得到()1ππ1π2sin 2sin 32633g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B.方法点睛：1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式的确定（1）A 由最值确定，max min2y y A -=；（2）ω由周期确定；（3）φ由图象上的特殊点确定．提醒：根据“五点法”中的零点求φ时，一般先根据图象的升降分清零点的类型．2．在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．二、多选题9．下列函数中，以3为最小值的函数有（）．A ．63cos y x =-B ．2427x x y +=-+C ．229sin 4sin y x x=+D ．e 94ex xy =+【正确答案】ABD【分析】对A ：根据余弦函数的有界性分析运算；对B ：换元结合二次函数分析运算；对C ：换元结合对勾函数分析运算；对D ：利用基本不等式分析运算.【详解】对A ：∵[]cos 1,1x ∈-，则[]63cos 3,9y x =-∈，故63cos y x =-的最小值为3，当且仅当cos 1x =时取到最小值，A 正确；对B ：令20x t =>，则()22242747233x x y t t t +=-+=-+=-+≥，故2427x x y +=-+的最小值为3，当且仅当2t =，即1x =时取到最小值，B 正确；对C ：令(]2sin 0,1t x =∈，且94y t t=+在(]0,1上单调递减，故113|4t y y =≥=，故229sin 4sin y x x =+的最小值为134，C 错误；对D ：e 934e x x y =+≥=，当且仅当e 94e x x =，即ln 6x =时等号成立，故e 94ex x y =+的最小值为3，D 正确.故选：ABD.10．下列不等式中，正确的有（）．A ．1113332.12 1.8<<B ．0.90.8.80.80.8 1.20<<C ．420.5log 9log 5log 0.1<<D ．π2π4πsinsin sin 777<<【正确答案】BCD【分析】对A ：根据幂函数单调性分析判断；对B ：根据幂函数和指数函数单调性分析判断；对C ：根据对数运算结合对数函数单调性分析判断；对D ：根据正弦函数的对称性和单调性分析判断.【详解】对A ：13y x =在()0,∞+上单调递增，则1113332.12 1.8>>，A 错误；对B ：0.8y x =在()0,∞+上单调递增，则0.8.80.8 1.20<，0.8x y =在R 上单调递减，则0.90.80.80.8<，故0.90.8.80.80.8 1.20<<，B 正确；对C ：2121420.5222log 9log 3log 3,log 0.1log 10log 10--====，2log y x =在()0,∞+上单调递增，则222log 3log 5log 10<<，故420.5log 9log 5log 0.1<<，C 正确；对D ：sin y x =关于直线π2x =对称，则4π4π3πsin sin πsin 777⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且π2π3ππ,0,7772⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π2π3πsin sin sin 777<<，故π2π4πsinsin sin 777<<，D 正确.故选：BCD.11．关于函数()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的说法正确的有（）．A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的单调增区间为()π5ππ,π1212k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z C ．()f x 的图象的对称轴方程为()ππ212k x k =-∈Z D ．关于x 的方程()1f x =的解集为π2π,12x x k k ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z 【正确答案】AC【分析】根据题意结合正弦函数的性质与图象分析运算.【详解】由题意可得：()ππ2sin 22sin 233f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对A ：()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，A 正确；对B ：令()ππ3π2π22π232k x k k +≤-≤+∈Z ，解得()5π11πππ1212k x k k +≤≤+∈Z ，故()f x 的单调增区间为()5π11ππ,π1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，B 错误；对C ：令()ππ2π32x k k -=-∈Z ，解得()ππ212k x k =-∈Z ，故()f x 的图象的对称轴方程为()ππ212k x k =-∈Z ，C 正确；对D ：令()π2sin 213f x x ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，则π1sin 232x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，故()ππ22π36x k k -=-∈Z 或()π7π22π36x k k -=+∈Z ，解得()ππ12x k k =+∈Z 或()3ππ4x k k =+∈Z ，可得关于x 的方程()1f x =的解集为ππ12x x k ⎧=+⎨⎩或3ππ,4x k k ⎫=+∈⎬⎭Z ，D 错误.故选：AC.12．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R ，都有()()11f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()21x f x =-，若函数()()log a g x f x x =-（其中1a >）恰有3个不同的零点，则实数a 可能的取值有（）．A ．5B ．6C ．7D ．9【正确答案】BC【分析】根据题意分析函数()f x 的性质，将零点问题转化为()y f x =与log a y x =的交点问题，数形结合，列式运算即可.【详解】∵()()11f x f x +=-，则函数()f x 关于直线1x =对称，又∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数，则()()()111f x f x f x +=-=--，即()()2f x f x +=-，则()()()()42f x f x f x f x +=-+=--=⎡⎤⎣⎦，故函数()f x 是以4为周期的周期函数，又∵()()()222f x f x f x +=---=--+，即()()220f x f x ++-+=，故函数()f x 关于点()2,0对称，令()()log 0a g x f x x =-=，则()log a f x x =，原题等价于()y f x =与log a y x =有3个交点，且()log 1a y x a =>的定义域为()0,∞+，如图所示，则可得log 51log 911a a a <⎧⎪>⎨⎪>⎩，解得59a <<，故B 、C 正确，A 、D 错误.故选：BC.方法点睛：利用数形结合求方程解应注意两点：（1）讨论方程的解(或函数的零点)可构造两个函数，使问题转化为讨论两曲线的交点问题，但用此法讨论方程的解一定要注意图象的准确性、全面性、否则会得到错解．（2）正确作出两个函数的图象是解决此类问题的关键，数形结合应以快和准为原则而采用，不要刻意去数形结合．三、填空题13．给定3个条件：①定义域为R ，值域为[]22-,；②最小正周期为2；③是奇函数．写出一个同时满足这3个条件的函数的解析式：__________．【正确答案】()2sin πf x x =（答案不唯一，满足题意即可）【分析】根据题意写出函数解析式即可，并根据函数性质分析判断.【详解】对于函数()2sin πf x x =的定义域为R ，()[]2sin π2,2f x x =∈-，即()f x 的值域为[]22-,，符合①；函数()2sin πf x x =的最小正周期2π2πT ==，符合②；()()()2sin π2sin πf x x x f x -=-=-=-，即()f x 是奇函数，符合③；综上所述：()2sin πf x x =符合题意.故答案为.()2sin πf x x =（答案不唯一，满足题意即可）14．已知函数()21xx a f x =+（0a >且1a ≠）为偶函数，则实数a 的值为__________．【分析】根据偶函数的定义即可求解.【详解】因为函数()21xx a f x =+（0a >且1a ≠）为偶函数，所以()2212121x x x xx x xa a a f x ---⋅-===+++，则有22x x a =，所以a =故答案为15．设函数()()2ln 1f x x x =++，使()()211f a f a +<-成立的充要条件是a I ∈（其中I 为某区间），则区间I =__________．【正确答案】()2,0-【分析】根据题意判断()f x 的单调性和奇偶性，根据函数性质解不等式即可.【详解】∵()()()()()22ln 1ln 1f x x x x x f x -=-+-+=++=，故函数()f x 在定义域内为偶函数，当0x ≥时，则()()2ln 1f x x x =++在[)0,∞+上单调递增，故()f x 在(],0-∞上单调递减，若()()211f a f a +<-，等价于211a a +<-，等价于()()22211a a +<-，整理得220a a +<，解得20a -<<，则使()()211f a f a +<-成立的充要条件是()2,0a ∈-，即()2,0I =-.故答案为.()2,0-16．某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1％，这种溶液最初的杂质含量为3％，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少13，则至少经过______次过滤才能达到市场要求．（参考数据：lg 20.301≈，lg 30.477≈）【正确答案】9【分析】根据题意列不等式20.030.0013n⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，运算求解即可.【详解】由题意可得：经过n 次过滤后该溶液的杂质含量为12130.03,33％nnn *⎛⎫⎛⎫-⨯=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭N ，则20.030.10.0013％n⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，解得22331lg 30lg 3lg10lg 31log log 308.392230lg 2lg 3lg 3lg 2lg 3n ++≥=-=--=≈--，∵n *∈N ，则n 的最小值为9，故至少经过9次过滤才能达到市场要求.故9.方法点睛：函数有关应用题的常见类型及解决问题的一般程序：（1）常见类型：与函数有关的应用题，经常涉及物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题；（2）应用函数模型解决实际问题的一般程序：读题（文字语言）⇒建模（数学语言）⇒求解（数学应用）⇒反馈（检验作答）；（3）解题关键：解答这类问题的关键是确切地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式的有关知识加以综合解答．四、解答题17．求值：(1))1213250.02719-⎛⎫+-⎪⎝⎭；(2)2350.2log 27log 82log 10log 4⨯--．【正确答案】(1)4(2)7【分析】（1）根据指数幂的运算求解；（2）根据对数的运算求解.【详解】（1）)()12131121233255351020.02710.31149310333---⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-=+-=+-=+=⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（2）()13322350.25555ln 3ln 23ln 33ln 2log 27log 82log 10log 42log 25log22log 212log 2927ln 2ln 3ln 2ln 3-⨯--=⨯-⨯-=⨯-++=-=.18．已知二次函数()21f x ax bx =++，且关于x 的不等式()0f x ≤的解集为1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦．(1)求实数a ，b 的值；(2)若不等式()22x xf m ≥⋅对[]1,1x ∈-恒成立，求实数m 的取值范围．【正确答案】(1)2,3a b ==-(2)(,3⎤-∞⎦【分析】（1）根据三个二次之间的关系列式运算；（2）换元12,22xt ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，根据恒成立问题利用参变分离可得123t m t +-≥对1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时恒成立，再结合基本不等式运算求解.【详解】（1）由题意可得：方程210ax bx ++=的两根为1,12，且0a >则032112a b a a ⎧⎪>⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得23a b =⎧⎨=-⎩，故2,3a b ==-.（2）由（1）可得()2231f x x x =-+，令12,22xt ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则2231t t mt -+≥对1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时恒成立，故123t m t +-≥对1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时恒成立，∵123323t t +-≥=，当且仅当12t t =，即1,222t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦时成立，∴3m ≤，即实数m的取值范围为(,3⎤-∞⎦.19．已知角θ是第二象限角，其终边与以坐标原点为圆心的单位圆交于点4,5P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭．(1)求sin θ，cos θ，tan θ的值；(2)求()()πsin tan sin π2cos θθθθ⎛⎫-⋅+- ⎪⎝⎭-的值．【正确答案】(1)343sin ,cos ,tan 554θθθ==-=-(2)32-【分析】（1）利用三角函数的定义求出cos θ，再根据同角三角关系求sin θ，tan θ；（2）利用诱导公式化简函数的解析式，结合第一问即可得到结果．【详解】（1）由题意可得：4cos 5θ=-，且角θ是第二象限角，则3sin 3sin ,tan 5cos 4θθθθ====-，故343sin ,cos ,tan 554θθθ==-=-.（2）由（1）可得：3tan 4θ=-，则()()πsin tan sin πcos tan sin 2sin 322tan cos cos cos 2θθθθθθθθθθθ⎛⎫-⋅+- ⎪⋅+⎝⎭====--.20．某同学用“五点法”画函数()()sin f x A x =+ωϕ（其中A ，ω，ϕ为常数，且0A >，0ω>，π2ϕ<）在某一个周期内的图象时，列表并已经正确地填入了部分数据，如下表：x ωϕ+0π2π3π22πx5π1211π12()sin A x ωϕ+0505-0(1)请将上表数据补充完整，并求函数()f x 的解析式；(2)将()y f x =图象上所有点向左平移()0θθ>个单位长度，得到()y g x =的图象．若()y g x =图象的一个对称中心为7π,012⎛⎫⎪⎝⎭，求θ的最小值．【正确答案】(1)()π5sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，表格见详解；(2)π12【分析】（1）利用三角函数的性质可得，进而可补充表格并求出函数的解析式；（2）利用三角函数的平移变换原则可得π()5sin(22)3g x x θ=+-，根据整体代入法可得π22πZ,3x k k θ+-=∈，解方程即可求解.【详解】（1）根据表中的数据，得5A =，11π5ππ,212122T =-=2ππ,2T Tω∴=∴==，又5πππ2,1223ϕϕ⨯+=∴=-，函数的解析式为()5sin(2).3f x x π=-分别令π20,23π,x π-=，依次解得6π2,63π7,x π=数据补全如下表：x ωϕ+0π2π3π22πxπ65π122π311π127π6sin()A x ωϕ+0505-0所以函数的解析式为()5sin(23f x x π=-；（2）由（1）知π()5sin(2)3f x x =-得π()5sin(223g x x θ=+-，因为函数sin y x =图像的对称中心为Z ,0()k k π∈，令π22πZ,3x k k θ+-=∈，解得ππ,Z 26k x k θ=+-∈.因为函数()y g x =图像的一个对称中心为7π(,0)12，所以ππ7π,Z 2612k k θ+-=∈，解得π5π,Z 212k k θ=-∈.由0θ>可知，当1k =时，θ取得最小值为π12.21．已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，定义域均为R ，且()()1233x xf xg x +-+=-．(1)求()f x ，()g x 的解析式；(2)判断()g x 在R 上的单调性，并用函数单调性的定义证明；(3)解关于x 的不等式()28029g x x +<．【正确答案】(1)()33x xf x -=+，()33x xg x -=-.(2)函数()33x x g x -=-在R 上单调递增，证明见详解.(3)(11---+【分析】(1)根据函数的奇偶性，利用解方程组法即可求解；(2)利用指数函数的单调性判断函数为R 上的增函数，然后利用定义即可证明；(3)结合（2）的结论，利用函数的单调性列出不等式解之即可求解.【详解】（1）由()()1233x xf xg x +-+=-①可得：()()1233x x f x g x -+-+-=-，又因为()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，所以()()1233x xf xg x -+--=②，①+②可得：()33x xf x -=+，则()33x xg x -=-，所以()33x xf x -=+，()33x xg x -=-.（2）函数()33x x g x -=-在R 上单调递增，证明如下：设任意的12,R x x ∈，且12x x <，则2111221212121212331()()3333(33)(33)(1)33x x x x x x x x x x x x x x g x g x --++--=--+=--=-+，因为12x x <，所以12121330,103x xx x +-<+>，则12()()0g x g x -<，所以12()()<g x g x ，故函数()33x x g x -=-在R 上单调递增.（3）因为()33x x g x -=-，所以180(2)999g =-=，则不等式()28029g x x +<可化为()22(2)g x x g +<，由（2）可知：函数()33x x g x -=-在R 上单调递增，所以222x x +<，解得：11x -<<-，所以不等式()28029g x x +<为(11---+.22．已知函数()()2log 1f x x =+，()g x 是定义在R 上的奇函数，且当01x ≤≤时，()()g x f x =，且对任意x ∈R ，都有()()20g x g x ++=．(1)求使得()()tan 13tan 10f x f x -+-<成立的x 的取值集合；(2)求证：()g x 为周期为4的周期函数，并直接写出．．．．()g x 在区间[]22-,上的解析式；(3)若不等式()()2sin sin 4e e y yg x x a --++<+对任意,x y ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)()ππ,π6k k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z (2)证明见详解，()()(]()[]()[)()[)2222log 3,1,2log 1,0,1log 1,1,0log 3,2,1x x x x g x x x x x ⎧-+∈⎪+∈⎪=⎨--+∈-⎪⎪-+∈--⎩(3)211log 5,2⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意结合对数函数、正切函数运算求解；（2）根据题意结合周期的定义分析证明，再根据函数()g x 的性质求解析式；（3）先利用换元令[]sin 1,1t x =∈-，结合二次函数求得2172sin sin 44x x ≤-++≤，再根据()g x 的性质求()2sin sin 4g x x -++的最大值，再利用基本不等式求得e e 2y y -+≥，结合恒成立问题分类讨论分析求解.【详解】（1）由题意可得：()()()()()2222log ta ta n 13t n log 3tan log an 13tan 0x f x f x x x -+=+=<-，则2tan 03tan 03tan 1x x x >⎧⎪>⎨⎪<⎩，解得0tan 3x <<，则()πππ6k x k k <<+∈Z ，故使得()()tan 13tan 10f x f x -+-<成立的x 的取值集合()ππ,π6k k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z .（2）∵()()20g x g x ++=，即()()2g x g x +=-，则()()()()42g x g g g x x x =--=⎡⎤⎣-⎦+=+，∴()g x 为周期为4的周期函数，又∵()g x 是定义在R 上的奇函数，则()()()2g x g x g x +=-=-，即()()2g x g x =-，当(]1,2x ∈时，则[)20,1x -∈，故()()()()222log 21log 3g g x x x x -=-+=-+=；又∵()g x 是定义在R 上的奇函数，则有：当[)1,0x ∈-时，则(]0,1x -∈，故()()()2log 1g x g x x -=---+=；当[)2,1x ∈--时，则(]1,2x -∈，故()()()2log 3g x g x x -=--+=；综上所述：当[]2,2x ∈-时，则()()(]()[]()[)()[)2222log 3,1,2log 1,0,1log 1,1,0log 3,2,1x x x x g x x x x x ⎧-+∈⎪+∈⎪=⎨--+∈-⎪⎪-+∈--⎩.（3）对于2sin sin 4m x x =-++，令[]sin 1,1t x =∈-，则22117424m t t t ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭的对称轴为12t =，故当12t =时，24m t t =-++取到最大值174，故当1t =-时，24m t t =-++取到最小值2，故2172sin sin 44x x ≤-++≤，由（2）可知：()g x 在[)2,1--上单调递减，在11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且()()221512,20,log 2log 5044g g g ⎛⎫-=--===-+> ⎪⎝⎭，故当12,4x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，则()g x 的最大值为22log 5-+，又∵()g x 为周期为4的周期函数，则当172,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则()g x 的最大值为22log 5-+，∴()2sin sin 4g x x -++的最大值为22log 5-+，则()22log 5e e y ya --+<+对任意y ∈R 恒成立，又∵e e 2y y -+≥=，当且仅当e e y y -=，即0y =时等号成立，则有：当0a ≤时，则()22log 5e e y ya --+>+，不合题意，舍去；当0a >时，则22log 52a -+<，解得211log 52a >-+，综上所述：实数a 的取值范围为211log 5,2⎛⎫-++∞ ⎪⎝⎭.结论点睛：（1）对()(),,x M y N f x g y ∀∈∀∈≥，则()()min max f x g y ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（2）对()(),,x M y N f x g y ∀∈∃∈≥，则()()min min f x g y ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（1）对()(),,x M y N f x g y ∃∈∀∈≥，则()()max max f x g y ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；（1）对()(),,x M y N f x g y ∃∈∃∈≥，则()()max min f x g y ≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦.。
江苏省扬州市2020-2021学年高二上学期期末数学试题(解析版)
2020-2021学年度第一学期期末检测试题高二数学全卷满分150分，考试时间120分钟一､单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求).1. 命题“0x ∀≤，210x x ++≥”的否定是（ ） A. 0x ∃≤，210x x ++> B. 0x ∃≤，210x x ++< C. 0x ∀≤，210x x ++< D. 0x ∀>，210x x ++>【答案】B 【解析】 【分析】全称命题的否定为特称命题：∀→∃，并否定原结论即可.【详解】命题“0x ∀≤，210x x ++≥”的否定为“0x ∃≤，210x x ++<”， 故选：B2. 双曲线2214x y -=的顶点到其渐近线的距离等于（ ）A.B. 1C.D. 2【答案】A 【解析】 【分析】首先求顶点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式，直接求解， 【详解】根据双曲线的对称性可设顶点()2,0A ，其中一条渐近线方程是1202y x x y =⇔-=，那么顶点到渐近线的距离d ==故选：A3. 若平面α，β的法向量分别为()1,2,4a =-，(),1,2b x =--，并且//αβ，则x 的值为（ ）A. 10B. 10-C.12D. 12-【答案】C 【解析】 【分析】根据两个法向量共线可得x 的值. 【详解】因为//αβ，,a b 共线，故12124x --==-，故12x =， 故选：C.4. 《张邱建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今三十织迄……”其大意为：有一女子不善于织布，每天比前一天少织同样多的布，第一天织5尺，最后一天织一尺，三十天织完…….则该女子第11天织布（ ） A.113尺 B.10529尺 C.6529尺 D.73尺 【答案】B 【解析】 【分析】女子每天的织布数成等差数列，根据首项和末项以及项数可求公差，从而可得第11天的织布数. 【详解】设女子每天的织布数构成的数列为{}n a ，由题设可知{}n a 为等差数列， 且1305,1a a ==，故公差15430129d -==--， 故()1114401051115292929a a ⎛⎫=+-⨯-=-= ⎪⎝⎭， 故选：B. 5. 不等式121x ≥-的解集为（ ） A. 31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. ()3,1,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭D. (]3,1,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法转化为231xx-≤-，解不等式.【详解】1122011x x≥⇔-≥--，即231xx-≤-，即()()231010x xx⎧--≤⎨-≠⎩，解得：312x<≤，所以不等式的解集为31,2⎛⎤⎥⎝⎦.故选：A6. 已知正方体1111ABCD A B C D-的棱长为2，则点A到平面11A B CD的距离为（）A.23B. 2C. 2D. 22【答案】B 【解析】【分析】由垂直关系可知1AD⊥平面11A B CD，根据边长关系直接求点到平面的距离. 【详解】连结1AD，与1A D交于点M，11A D AD⊥，且11A B⊥平面11ADD A111A B AD∴⊥，且1111A D A B A=，1AD∴⊥平面11A B CD，∴点A到平面11A B CD的距离为1122AM AD==. 故选：B7. 在数列{}n p中，如果对任意()*2n n N≥∈，都有11nnn np pkp p+--=(k为常数)，则称数列{}n p为比等差数列，k称为比公差.则下列说法正确的是（）A. 等比数列一定是比等差数列，且比公差1k =B. 等差数列一定不是比等差数列C. 若数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b ⋅一定是比等差数列D. 若数列{}n a 满足121a a ==，()112n n n a a a n +-=+≥，则该数列不是比等差数列 【答案】D 【解析】 【分析】根据数列新定义，由比等差数列的性质()*2n n N ≥∈有11nn n n p p k p p +--=，判断各项描述是否正确即可. 【详解】A ：若{}n a 为等比数列,公比0q ≠，1n n a q a +=，1n n a q a -=，所以1101n n n n a ak a a +--==≠，A 错误.B ：若1,{}n n b b =为等差数列,故有110n nn n b b b b +--=，为比等差数列，B 错误. C ：令0,1n n a b ==，则0n n a b =，此时1111n n n n n n n n a b a ba b a b ++---无意义，C 错误. D ：由题设知：342,3a a ==，故33242132112a a a a a a a a -=≠-=-，不是比等差数列，正确. 故选：D8. 已知a ，b 均为正数，且20a b ab +-=，则22124b a a b -+-的最大值为（ ）A. 9-B. 8-C. 7-D. 6-【答案】C 【解析】 【分析】先利用条件化简222212144b b a a a b +⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，巧用“1”的代换证明42b a +≥，再证明222242b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥+，即得到2214b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭+的取值范围，根据等号条件成立得到最值.【详解】依题意，0,0a b >>，20a b ab +-=可知121a b +=，则222212144b b a a a b +⎛⎫-+-=- ⎪⎝⎭，122224222b b b a a a a b a b ⎛⎫⎛⎫+=+⋅+=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当22b a a b=时，即2ba =时等号成立. 22242b ba a ab ≥⋅⋅=+，当且仅当2b a =时，等号成立，则左右同时加上224b a +得，则222222442b b b a a ab a ⎛⎫≥+=⎛⎫+++ ⎪⎝⎝⎭⎭ ⎪， 即222242b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥+，当且仅当2b a =时等号成立， 故2222428422b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥≥=+，当且仅当2b a =时，即2,4a b ==时等号成立， 故2222121744b b a a a b ⎛⎫-+-=-≤- ⎪⎝⎭+当且仅当2b a =时，即2,4a b ==时等号成立. 即22124b a a b -+-的最大值为7-. 故选：C.【点睛】关键点点睛：本题解题关键在于利用基本不等式证明的常用方法证明42b a +≥和222242b a b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥+，进而突破难点，取最值时要保证取等号条件成立.二､多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分.有选错的得0分，部分选对的得3分)9. （多选题）已知a ，b ，c 为实数，且0a b >>，则下列不等式正确的是（ ） A.11a b< B. 22ac bc >C.b a a b> D. 22a ab b >>【答案】AD 【解析】 【分析】根据所给条件，结合不等式的性质，判断选项. 【详解】A.1y x =在()0,∞+上单调递减，所以当0a b >>时，11a b<，故A 正确； B.当0c时，22ac bc >不成立，故B 不正确；C.当0a b >>时，22a b >，两边同时除以ab 得，a bb a>，故C 不正确； D. 当0a b >>时，两边同时乘以a 得，2a ab >，或两边同时乘以b 得，2ab b >，所以22a ab b >>，故D 正确. 故选：AD10. 下列命题正确的是（ ）A. 已知u ，v 是两个不共线的向量.若a u v =+，32b u v =-，23c u v =+则a ，b ，c 共面B. 若向量//a b ，则a ，b 与任何向量都不能构成空间的一个基底C. 若()1,0,0A ，()0,1,0B ，则与向量AB共线的单位向最为2,e ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭D. 在三棱锥O ABC -中，若侧棱OA ，OB ，OC 两两垂直，则底面ABC 是锐角三角形 【答案】ABCD 【解析】 【分析】根据空间向量的共面定理可判断A ；由构成空间向量的基底不能共面可判断B ；根据单位向量的计算公式AB AB可判断C ；利用空间向量的数量积可判断D.【详解】对于A ，u ，v 是两个不共线的向量，不妨假设a ，b ，c 共面 则c ma nb =+，即()()3223c m n u m n v u v =++-=+， 可得131,55m n ==-，存在一对实数,m n ，使得c ma nb =+，即假设成立，故A 正确； 对于B ，向量//a b ，则a ，b 与任何向量都共面，所以a ，b 与任何向量都不能构成空间一个基底，故B 正确；对于C ，()1,1,0AB =-，所以ABAB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，故C 正确；对于D ， OA ，OB ，OC 两两垂直，()()20AB AC OB OA OC OA OA ∴⋅=-⋅-=>，所以AB 与AC 的夹角为锐角，即BAC ∠为锐角，同理ABC ∠，BCA ∠为锐角，ABC ∴是锐角三角形，故D 正确. 故选：ABCD11. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()1*11,221,21n n n a n ka k N a n k --+=⎧=∈⎨+=+⎩.则下列选项正确的为（ ） A. 614a =B. 数列{}()*213k a k N-+∈是以2为公比的等比数列C. 对于任意的*k N ∈，1223k k a +=-D. 1000n S >的最小正整数n 的值为15 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题设的递推关系可得2212121,21k k k k a a a a -+=-=-，从而可得22222k k a a +-=，由此可得{}2k a 的通项和{}21k a -的通项，从而可逐项判断正误.【详解】由题设可得2212121,21k k k k a a a a -+=-=-， 因为11a =，211a a -=，故2112a a =+=，所以22212121,12k k k k a a a a +++--==，所以22222k k a a +-=， 所以()222222k k a a ++=+，因为2240a +=≠，故220k a +≠， 所以222222k k a a ++=+，所以{}22k a +等比数列，所以12242k k a -+=⨯即1222k k a +=-，故416214a =-=，故A 对，C 错. 又112122123k k k a ++-=--=-，故12132k k a +-+=，所以2121323k k a a +-+=+，即{}()*213k a k N -+∈是以2为公比的等比数列，故B 正确.()()141214117711S a a a a a a a =+++=++++++()()2381357911132722323237981a a a a a a a =+++++++=⨯-+-++-+=，15141598150914901000S S a =+=+=>，故1000n S >的最小正整数n 的值为15，故D 正确. 故选：ABD.【点睛】方法点睛：题设中给出的是混合递推关系，因此需要考虑奇数项的递推关系和偶数项的递推关系，另外讨论D 是否成立时注意先考虑14S 的值.12. 在平面直角坐标系xOy 中，(),P x y 为曲线22:4224C x y x y +=++上一点，则（ ）A. 曲线C 关于原点对称B. 1x ⎡∈-+⎣C. 曲线C 围成的区域面积小于18D. P 到点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】ACD 【解析】 【分析】当0x >，0y >时，曲线C 为()2211142x y -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，根据点(),x y -，(),x y -，(),x y --都在曲线C 上，可得曲线C 图象关于x 轴，y 轴和原点对称，作出其图象，即可判断四个选项的正确性，即可得正确答案. 【详解】当0x >，0y >时，曲线22:4224C x yx y +=++即()2211142x y -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，将2214x y +=中心平移到11,2⎛⎫ ⎪⎝⎭位于第一象限的部分；因为点(),x y -，(),x y -，(),x y --都在曲线C 上，所以曲线C 图象关于x 轴，y 轴和原点对称，作出图象如图所示：对于选项A ：由图知曲线C 关于原点对称，故选项A 正确；对于选项B ：令2214x y +=中0y =可得2x =，向右平移一个单位可得横坐标为3，根据对称性可知33x -≤≤，故选项B 不正确；对于选项C ：令2214x y +=中0x =可得1y =，向上平移12个可得纵坐标最大值为32， 曲线C 第一象限的部分被包围在矩形内，矩形面积为39322⨯=，所以曲线C 围成的区域面积小于94182⨯=，故选项C 正确； 对于选项D ：令()2211142x y -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭中0x =，可得132y =±，所以到点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭3故选项D 正确， 故选：ACD【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是去绝对值得出曲线C 在第一象限的图象，根据对称性可得曲线C 的图象，数形结合、由图象研究曲线C 的性质.三､填空题(本大题共4小题.每小题5分，共20分)13. 若存在实数x ，使得不等式20x ax a -+<成立，则实数a 的取值范围为______________. 【答案】()(),04,-∞+∞【解析】 【分析】结合一元二次不等式对应的二次函数图象性质直接判断0∆=>，计算即得结果.【详解】二次函数2()f x x ax a =-+是开口向上的抛物线，故要使2()0f x x ax a =-+<有解，则需240a a ∆=->，即()40a a ->，解得0a <或4a >.故实数a 的取值范围为()(),04,-∞+∞.故答案为：()(),04,-∞+∞.14. 已知数列{}n a 是等比数列，24a =，816a =，则5a =___________. 【答案】8± 【解析】 【分析】利用等比数列的性质：若m n p q +=+，则m n p q a a a a ⋅=⋅，即可求解. 【详解】由数列{}n a 是等比数列，24a =，816a =， 则252841664a a a =⋅=⨯=，所以58a =±. 故答案为：8±15. 设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左焦点为F ､右准线为l ，若l 上存在点P ，使得线段PF 的中点恰好在椭圆C 上，则椭圆C 的离心率的最小值为_____________.1 【解析】 【分析】利用根据椭圆的准线方程，设点2(,2)a P y c，得中点坐标，代入椭圆方程，整理得2y ，又20y ≥，解不等式即可得离心率的最小值.【详解】由()2222:10x y C a b a b+=>>，得(,0)F c -，2a l x c =：，设点2(,2)a P y c ，故中点为22(,)2a c y c-，又中点在椭圆上，故代入椭圆方程得2222222()14a c y a c b-+=， 整理得2222222()[1]04a c y b a c -=⋅-≥，故22222()104a c a c --≥，又(0,1)ce a=∈，整理得2(3)8e -≤，233e -≤≤+，即2231)e ≥-=，1e ≥，故答案为：21-.【点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)．16. 已知函数()()()()244422f x a x a x a a R =-++++∈，则该函数()f x 的图象恒过定点________；若满足()0f x <的所有整数解的和为6-，则实数a 的取值范围是________. 【答案】 (1). 1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭(2). 108,75⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】将函数()f x 的解析式变形为()()()21221f x a x a x =-++⋅+⎡⎤⎣⎦，即可求得函数()f x 的图象所过定点的坐标； 【详解】()()()()()4442221221f x a x a x a a x a x =-++++=-++⋅+⎡⎤⎣⎦，当10a -=时，令()0f x =，得12x =-；当10a -≠时，令()0f x =，得()221a x a +=-或12x =-.综上所述，函数()f x 的图象必过点1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭. 分以下三种情况讨论：①当10a -=时，即当1a =时，由()()3210f x x =+<，可得12x <-，不合乎题意； ②当10a ->时，即1a >时，()()213021221a a a +⎛⎫--=< ⎪--⎝⎭，则()21212a a +<--， 解不等式()0f x <，可得()21212a x a +<<--，由于不等式()0f x <所有的整数解的和为6-，则不等式()0f x <的所有整数解有3-、2-、1-，所以，()24321a a +-≤<--，解得10875a ≤<；③当10a -<时，即1a <时，()()213021221a a a +⎛⎫--=> ⎪--⎝⎭，可得()21212a a +>--. 解不等式()0f x <，可得12x <-或()221a x a +>-，不等式()0f x <的解中有无数个整数，不合乎题意. 综上所述，实数a 的取值范围是108,75⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 故答案为：1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭；108,75⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】方法点睛：解含参数的一元二次不等式分类讨论的依据：（1）二次项中若含有参数应讨论是小于0，等于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式；（2）当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式∆与0的关系；（3）确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．四､解答题(本大题共6小题.计70分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤)17. 命题p ：实数m 满足不等式()223200m am a a -+<>；命题q ：实数m 满足方程22115x y m m +=--表示双曲线.（1）若命题q 为真命题，求实数m 的取值范围； （2）若Р是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）15m <<；（2）512a ≤≤ 【解析】 【分析】（1）由题意可得()()150m m --<，即可求解.（2）若p 是q 的充分不必要条件，则{}|2a a m a <<是{}|15m m <<的真子集，根据集合的包含关系求出实数a 的取值范围即可.【详解】（1）若实数m满足方程221 15x ym m+=--表示双曲线，则()()150m m--<，解得15m<<，（2）实数m满足不等式()223200m am a a-+<>，解得2<<a m a，若p是q的充分不必要条件，则{}|2a a m a<<是{}|15m m<<的真子集，所以125aaa≥⎧⎪≤⎨⎪>⎩，解得512a≤≤，所以若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围是512a≤≤.【点睛】易错点睛：若p是q的充分不必要条件则{}|2a a m a<<是{}|26m m<<的真子集，一般情况下需要考虑{}|2a a m a<<=∅的情况，此情况容易被忽略，但题目中已经给出0a>，很明显{}|2a a m a<<≠∅.18. 如图，在三棱锥M中，M为BC的中点，3PA PB PC AB AC=====，26BC=.（1）求二面角P BC A--的大小；（2）求异面直线AM与PB所成角的余弦值.【答案】（1）23π；（2）36【解析】【分析】（1）连接PM，则可证得PMA∠就是二面角P BC A--的平面角，根据勾股定理和余弦定理求解；（2）取PC中点N，连接,MN AN，则AMN∠就是异面直线AM与PB所成的角，根据余弦定理求解即可.【详解】解：（1）连接PM ，因为M 为BC 的中点，3PB PC AB AC ====， 所以,PM BC AM BC ⊥⊥，所以PMA ∠就是二面角P BC A --的平面角. 在直角PMC △中，3,6PC MC ==，则3PM =,同理可得3AM =，在PMA △中，由余弦定理得1cos 2233PMA ∠==-⨯⨯，所以23PMA π∠=，即二面角P BC A --的大小为23π（2）取PC 中点N ，连接,MN AN ，则//MN PB ，故AMN ∠或其补角就是异面直线AM 与PB 所成的角， 因为等边PAC △中，PC 中点为N ，所以333AN == 又13,22MN PB ==3AM =所以在AMN 中9273344cos 3232AMN +-∠==，因为异面直线所成角的范围为(0,]2π，所以直线AM 与PB 3【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角； （2）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角； （3）计算：求该角的值，常利用解三角形；（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是(0,]2π，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角.19. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 为正项等比数列，其满足112a b ==，453S a b =+，328a b +=.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若_______，求数列{}n c 的前n 项和n T . 在①11n n n n c b a a +=+，②n n n c a b =，③112n n n n n a c a a b +++=这三个条件中任一个补充在第（2）问中；并对其求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）1n a n =+，2nn b =；（2）见解析.【解析】 【分析】（1）由题设条件可得公差和公比的方程组，解方程组后可得两个数列的通项. （2）根据所选数列分别选分组求和、错位相减法、裂项相消法可求n T .【详解】（1）设等差数列的公差为d，公比为q，则2434224222228d d qd q⨯⎧⨯+⨯=++⎪⎨⎪++=⎩，解得21qd=⎧⎨=⎩或36qd=-⎧⎨=⎩（舍），故()2111na n n=+-⨯=+，1222n nnb-=⨯=.（2）若选①，()()111221212n nncn n n n=+=-+++++，故()121211111111222334121222nnnTn n n+-=-+-++-+=-+-++-+，若选②，则()12nnc n=+，故()2322324212nnT n=⨯+⨯+⨯+++，所以()234+1222324212nnT n=⨯+⨯+⨯+++，所以()23114222122n n nnT n n++-=++++-+=-⋅即12nnT n+=⋅.若选③，则()()()()113111221222n n n nncn n n n+++==-++++，故()()()12231111111111223232********* n n n nTn n n++ =-+-++-=-⨯⨯⨯⨯+++.【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法.20. 如图，在直三棱柱111ABC A B C-中，12AA AB AC===，AB AC⊥，M是棱BC的中点，点P在线段A1B上.（1）若P 是线段1A B 的中点，求直线MP 与平面11ABB A 所成角的大小； （2）若N 是1CC 的中点，平面PMN 与平面CMN 所成锐二面角的余弦值为537，求线段BP 的长度. 【答案】（1）4π；（2）423. 【解析】 【分析】（1）过M 作MH AB ⊥于H ，连接PH ，由已知条件知1//PH AA 且112PH AA =，即PM 与面11ABB A 所成角为MPH θ=∠，即可求其大小.（2）构建空间直角坐标系，由已知线段长度标识,,M N C 的坐标，令(,0,2)P a a -，由向量坐标表示NP ，MN ，NC ，MC ，进而求得面PMN 与面CMN 的法向量，由二面角余弦值即可求参数a ，即可求BP 的长度.【详解】（1）过M 作MH AB ⊥于H ，连接PH ，又AB AC ⊥ ，∴//MH AC ，M 是棱BC 的中点，所以H 是AB 的中点，而P 是线段1A B 的中点， ∴1//PH AA 且112PH AA =， PM 与面11ABB A 所成角为MPH ∠，设MPH θ=∠则12tan 12ACMH AA PH θ===，[0,]2πθ∈， ∴4πθ=，（2）构建以A 为原点，1,,AB AC AA 分别为x 、y 、z 轴正方向，则(1,1,0),(0,2,1),(0,2,0)M N C ，由等腰1Rt A AB ，可令(,0,2)P a a -，∴(,2,1)NP a a =--，(1,1,1)MN =-，(0,0,1)NC =-，(1,1,0)MC =-，若(,,)m x y z =为面PMN 的一个法向量，则2(1)0ax y a z x y z -+-=⎧⎨-++=⎩，令1y =，有(3,1,2)m a a =--，若()111,,n x y z =为面CMN 的一个法向量，则110{0z x y -=-+=，令11x =，有(1,1,0)n =，∴由题意，知：253737||||221014m n m n a a ⋅==⋅-+，整理得22168360a a -+=，解得187a =或23a =，而P 在线段A 1B 上，有23a =则24(,0,)33P ，∴423BP =.【点睛】关键点点睛：（1）根据线面角的几何定义，找到直线MP 与平面11ABB A 所成角的平面角，进而求角.（2）构建空间直角坐标系，设(,0,2)P a a -，求二面角的两个半面的法向量，根据二面角的余弦值求参数a ，进而求线段长.21. 设抛物线()220x py p =>的焦点为F ，其准线与y 轴交于M ，抛物线上一点的纵坐标为4，且该点到焦点F 的距离为5. （1）求抛物线的方程；（2）自M 引直线交抛物线于,P Q 两个不同的点，设MP MQ λ=.若47PQ ⎛∈ ⎝⎦，求实数λ的取值范围.【答案】（1）24x y =；（2）(]1,11,33⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】（1）根据抛物线定义：抛物线线上一点到焦点距离等于到准线距离，得452p+=化简即可； （2）设:1PQ y kx =-，联立直线与抛物线方程设1122(,),(,)P x y Q x y ，用弦长公式表示PQ ，由MP MQ λ=及韦达定理将k 用λ表示出来，此时PQ 用λ表示，结合470,3PQ ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦解不等式.【详解】解：（1）根据题意作图如下：因为抛物线上一点的纵坐标为4，且该点到焦点F 的距离为5， 又抛物线线上一点到焦点距离等于到准线距离， 所以4522pp +=⇒=，故抛物线的方程为24x y =.（2）由题意直线PQ 斜率存在，设:1PQ y kx =-，由2214404y kx x kx x y=-⎧⇒-+=⎨=⎩，22161601k k ∆=->⇒>， 设1122(,),(,)P x y Q x y ，则121244x x kx x +=⎧⎨=⎩，① 所以22222121116164444PQ k x k k k k =+-=+-=+-因为MP MQ λ=，所以112212(,1)(,1)x y x y x x λλ+=+⇒=代入①化简得()2214k λλ+=令()2214t k λλ+==，则24416PQ t t t +-=-因为470,3 PQ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以21129PQ<≤，即2211225616016499316tt t<≤⇒<⇒<≤-≤，所以()22211210164133310303λλλλλλλλ≠⎧+⎧-+>⎪<≤⇒⇒⎨⎨≤≤-+≤⎩⎪⎩即(]1,11,33λ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭所以实数λ的取值范围(]1,11,33⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭.【点睛】在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多.22. 已知直线:l y kx m=+与椭圆()2222:10x yC a ba b+=>>交于A，B两个不同的点，点M为AB中点，点O为坐标原点.且椭圆C的离心率为22，长轴长为4.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若OA，OB的斜率分别为1k，2k，2k=12k k为定值；（3）已知点(2N，当AOB的面积S最大时，求OM ON⋅的最大值.【答案】（1）22142x y+=；（2）见解析；（3）2.【解析】【分析】（1）求出,a b 后可得椭圆的方程.（2）设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理化简1212y y x x 可得所求的定值. （3）联立直线方程和椭圆方程，利用弦长公式和点到直线的距离可求面积，结合基本不等式可求AOB 何时取最大值，再用,k m 表示OM ON ⋅，利用基本不等式可求()2OM ON ⋅的最大值，从而得到OM ON ⋅的最大值.【详解】（1）因为长轴长为4，故2a =，又离心率为2，故c =b = 故椭圆方程为：22142x y +=. （2）直线:2l y x m =+，()()1122,,,A x y B x y ，由22224y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩可得22242x x m ⎛⎫++= ⎪ ⎪⎝⎭，整理得2220x m +-=，故2820m ∆=->即22m -<<.又()211121212121212122x m x m x x m y k y x x x x x k x ⎫++⎪++⎝⎭⎝⎭===+，而12x x +=，2122x x m =-，故()2122112222k m m k ⨯+=+=-即12k k 为定值. （3）设()()1122,,,A x y B x y ，由2222y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得()222124240k x kmx m +++-=， 又()()2222221641224163280k m k m k m ∆=-+-=+->，故2224k m +>，又12AB x =-=故12OABS AB==因为222224122k m mk+-+≤=+，故OABSm=时等号成立，此时2224k m+>成立.而12222,21212M Mx x km mx yk k+-===++，故(2222212122=1m kkmk k kOM ON--+=++⋅+，所以2=kOM ON=⋅，2221211212kk k+-==-++，因为212k+≥-，故2112k-≤+2≤≤当且仅当k=时等号成立.所以OM ON⋅的最大值为2，故OM ON⋅的最大值为2，当且仅当k=，m=时取最大值.【点睛】方法点睛：直线与椭圆位置关系中的最值、定值问题，一般需联立直线方程和椭圆方程，消元得到关于x或y的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有1212,x x x x+或1212,y y y y+，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题.。
人教版数学高三期末测试精选(含答案)8
【答案】C
x 0,
9．设点
P(
x,
y)
在不等式组
2x
y
0,
表示的平面区域上，则 z
x y 3 0
(x 1)2 y2 的
最小值为（ ）
A．1
B． 5 5
C． 2
D． 2 5 5
【来源】辽宁省沈阳市东北育才学校 2019 届高三第五次模拟数学（文)试题
【答案】D
10．已知各项均为正数的等比数列an 单调递增，且 a1 a3 36，a1 a2 a3 26 ，
人教版数学高三期末测试精选（含答案)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人 得分
一、单选题
1．在 ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c .若 ABC 的面积为
b2 c2 a2 ，则角 A =（
A． ab ac
B． c b a 0
C． cb2 ab2
D． ac a c 0
【来源】2019 年上海市格致中学高三上学期第一次检测数学试题
【答案】C
6．已知 a，b ∈ R，则 a > |b|是 a|a| > b|b|的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
则 Ð B =___________． 【来源】重庆市綦江实验中学校 2017-2018 学年高一下学期半期考试数学（理)试题.
【答案】150
23．已知等差数列an 的公差为 2，若 a1，a3 ，a4 成等比数列，则 a2 ________．
【来源】安徽省阜阳三中 2018-2019 学年高二上学期第一次调研考试数学（文)试题
2022-2023学年江苏省常州市溧阳市高二上学期期中数学试题(解析版)
2022-2023学年江苏省常州市溧阳市高二上学期期中数学试题一、单选题1．若一条直线经过两点()1,3-和，则该直线的倾斜角为（ ）A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 【答案】C【分析】由题意结合直线的斜率公式求出该直线的斜率，即可求出直线的倾斜角.【详解】因为一条直线经过两点()1,3-和，所以该直线的斜率为：31k -====所以该直线的倾斜角为23π. 故选：C.2．已知圆221:20C x y x +-=，圆222:40C x y y ++=，则这两个圆的位置关系为（ ）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切【答案】C【分析】求出两圆圆心距，与两圆半径和与差的绝对值比较大小，可得出结论. 【详解】圆1C 的标准方程为()2211x y -+=，圆心为()11,0C ，半径为11r =，圆2C 的标准方程为()2224x y ++=，圆心为()20,2C -，半径为22r =，因为12C C 121212r r C C r r -<<+，故这两个圆相交. 故选：C.3．点()3,0到双曲线221169x y -=的一条渐近线的距离为（ ） A ．95B ．85C ．65D ．45【答案】A【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可. 【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：220169x y -=，即340x y ±=，结合对称性，不妨考虑点()3,0到直线340x y +=的距离：95d ==. 故选：A.4．如果0AC <，0BC >，那么直线0Ax By C ++=不通过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】B【解析】把直线方程化为A Cy x B B=--，根据0AC <，0BC >，对C 分类讨论即可得出． 【详解】把直线0Ax By C ++=化为A Cy x B B=--． 因为0AC <，0BC >，假设0C >，则0B >，0A <．所以0A B ->，0CB-<， 则直线0Ax By C ++=不通过第二象限． 假设0C <，则0B <，0A >．所以0A B ->，0CB-<， 则直线0Ax By C ++=不通过第二象限． 故选：B ．5．过圆x 2+y 2＝5上一点M （1，﹣2）作圆的切线l ，则l 的方程是（ ） A ．x +2y ﹣3＝0 B ．x ﹣2y ﹣5＝0 C ．2x ﹣y ﹣5＝0 D ．2x +y ﹣5＝0【答案】B【分析】本题先根据圆的切线的几何意义建立方程求切线的斜率，再求切线方程即可. 【详解】解：由题意：点M （1，﹣2）为切点，则1OM l k k ⋅=-，20210OM k --==--， 解得：12l k =， ∴l 的方程：1(2)(1)2y x --=-，整理得：250x y --=， 故选：B.【点睛】本题考查圆的切线的几何意义，点斜式直线方程，两线垂直其斜率相乘等于1-，是基础题.6．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，四点()11,1P ，()20,1P ，3P ⎛- ⎝⎭，4P ⎛ ⎝⎭中恰有三个点在椭圆C 上，则这三个点是（ ） A ．1P ，2P ，3P B ．1P ，2P ，4P C ．1P ，3P ，4P D ．2P ，3P ，4P【答案】D【分析】根据椭圆的对称性可知：椭圆经过34,P P 两点，进一步比较判断即可求解. 【详解】因为34,P P 两点关于y 轴对称，所以椭圆经过34,P P 两点， 又因为222211134a b a b +>+，所以椭圆不经过1P 点，故椭圆经过2P ，3P ，4P 点， 故选：D .7．已知点A (－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( ) A ．12B ．23C ．34D ．43【答案】D【详解】试题分析：由于点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，所以，设直线AB 的方程为(3) 2......()x k y =--*，将()*与28y x =联立，即2(3)2{8x k y y x=--=2824160......()y ky k ⇒-++=⊗，则264966402k k k =--=∴=（负值舍去），将k=2代入()⊗得y=8，即可求出x=8，故B （8,8），所以804823BF k -==-，故选D. 【解析】1.直线与抛物线的位置关系；2.斜率公式.8．已知1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P ，Q 是C 上位于x 轴上方的任意两点，且12//PF QF ．若12PF QF b +≥，则C 的离心率的取值范围是（ ） A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3⎛ ⎝⎦D ．3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【答案】C【分析】根据题意延长1PF 交椭圆另一交点为A ，由条件结合椭圆性质可知11PF F A PA +=， 再通过通径的性质有2min2PA b b a=≤即可得解. 【详解】由点P ，Q 是C 上位于x 轴上方的任意两点， 延长1PF 交椭圆另一交点为A ， 由12//PF QF 再结合椭圆的对称性， 易知11PF F A =，所以11PF F A PA +=， 由椭圆过焦点的弦通径最短， 所以当PA 垂直x 轴时，PA 最短， 所以2min2PA b b a=≤， 所以22ab b ≤，解得0e <≤. 故选：C二、多选题9．已知直线()()()12:4340,:21250R l x y l m x m y m m -+=+-+++=∈，则（ ） A ．直线2l 过定点()3,1-- B ．当1m =时，12l l ⊥ C ．当2m =时，12l l ∥D ．当12l l ∥时，两直线12,l l 之间的距离为1 【答案】ACD【分析】根据直线过定点的求法，可判断A,根据直线的一般式在垂直平行满足的条件可判断BC,根据两平行线间距离公式即可求解D.【详解】对A;()()()2:21250R l m x m y m m +-+++=∈变形为()2250,m x y x y -++-+=令2=0250x y x y -+⎧⎨-+=⎩，则31x y =-⎧⎨=-⎩，因此直线2l 过定点()3,1--，A 正确；对于B;当1m =时，()()12:4340,:327043320l x y l x y -+=-+=⨯+-⨯-≠，，故两直线不垂直，故B 错误；对于C;当2m =时，12:4340,:4390l x y l x y -+=-+=，439434-=≠-，故两直线平行，C 正确； 对于D;当12l l ∥时,则满足()12252434m m m m -+++=≠⇒=-，此时12:4340,:4390l x y l x y -+=-+=，，故D 正确；故选：ACD10．已知方程F ：()2210x y mn m n-=≠，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．若0m n +=，则方程F 表示的图形是圆B ．若0mn >，则方程F 表示的图形是双曲线，且渐近线方程为y =C ．若0mn <且0m n +≠，则方程F 表示的图形是椭圆D ．若01m <<且1n <-，则方程F 【答案】BD【分析】对于A ，由题知方程F 为()2210x y mn m m+=≠，再根据0m >，0m <时的情况判断A ； 对于B ，分0,0m n >>和0,0m n <<两种情况讨论判断B ； 对于C ，分0,0m n ><和0,0m n <>两种情况讨论判断C ；对于D ，由题知方程()2210x y mn m n-=≠表示焦点在y 轴上的椭圆，再求离心力判断D. 【详解】解：对于A 选项，由于0m n +=且0mn ≠得m n =-，故方程为()2210x y mn m m+=≠， 所以，当0m >时，方程F 表示的图形是圆；当0m <时，方程F 不表示任何图形，故A 选项错误； 对于B 选项，若0mn >，则方程F 表示的图形是双曲线，当0,0m n >>时，焦点在x 轴上，22,a m b n ==，渐近线方程为b y x a =±=；当0,0m n <<时，焦点在y 轴上，22,a n b m =-=-，渐近线方程为a y x b =±=； 所以，B 选项正确；对于C 选项，由于0mn <且0m n +≠，所以当0,0m n ><时，方程()2210x y mn m n -=≠表示焦点在x 轴上的椭圆； 当0,0m n <>时，方程()2210x y mn m n-=≠不表示任何图形； 所以，C 选项错误；对于D 选项，若01m <<且1n <-，方程()2210x y mn m n-=≠表示焦点在y 轴上的椭圆，其中222,,a n b m c n m =-==--，所以，离心率为c e a ===D 选项正确. 故选：BD11．已知直线l ：()430R kx y k k --+=∈，圆C ：2268210x y x y +--+=，O 是坐标原点，则下列结论正确的是（ ）A ．当1k =时，直线l 在y 轴上的截距为1B ．O 到直线l 的距离的最大值为5C ．存在实数k ，使得直线l 与圆C 相切D ．当1k =时，直线l 被圆C 截得的弦长最短 【答案】BD【分析】对于A ，利用斜截式方程即可求解； 对于B ，利用点斜式及两点间的距离公式即可求解； 对于C ，利用点与圆的位置关系即可求解；对于D ，利用垂径定理及两直线垂直斜率的关系即可求解.【详解】对于A ，当1k =时，直线l 的方程为：10x y --=，即1y x =-，由直线的斜截式方程可知，所以直线l 在y 轴上的截距为1-，故A 错误对于B ，由430kx y k --+=，得()34y k x -=-，直线l 恒过定点()4,3P , 所以O 到直线l 的距离的最大值就是点O 与定点P 的连线的距离，5OP =，故B 正确；对于C ，由2268210x y x y +--+=，得()()22344x y -+-=，所以圆C 的圆心坐标为()3,4C ，半径为2r =，因为直线l 过定点()4,3P ，所以()()22433424-+-=<，所以P 在圆C 内，所以直线l 与圆C 相交，故C 错误；对于D ，当1k =时，直线l 的方程为：10x y --=，即1y x =-,由直线l 恒过定点()4,3P ，由2268210x y x y +--+=，得()()22344x y -+-=，所以圆C 的圆心坐标为()3,4C ，半径为2r =，43134CP k -==--，所以()111CP l k k ⋅=⨯-=-，所以l CP ⊥， 所以当1k =时，直线l 被圆C 截得的弦长最短，故D 正确. 故选：BD12．平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼在研究土星及其卫星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0M -，()2,0N ，动点P 满足5PM PN ⋅=，其轨迹为一条连续的封闭曲线C ，则下列结论正确的是（ ）A ．曲线C 与y 轴的交点为()0,1和()0,1-B ．曲线C 关于y 轴对称，不关于x 轴对称 C ．坐标原点O 是曲线C 的对称中心D ．OP 的取值范围为[]1,3 【答案】ACD【分析】根据给定条件，求出曲线C 的方程，由0x =判断A ；由曲线方程对称性判断B ，C ；求出2x 的范围计算判断D 作答.【详解】设点(,)P x y ，依题意，2222[(2)][(2)]25x y x y ++-+=，整理得：224x y +=， 对于A ，当0x =时，解得 1y =±，即曲线C 与y 轴的交点为()0,1-，()0,1，A 正确；对于B 、C ，因2222()4x y x y +-=+，由y -换y 方程不变，曲线C 关于x 轴对称，因为()222244x y x y -+=+==，由x -换x 方程不变，曲线C 关于y 轴对称，所以坐标原点O 是曲线C 的对称中心，B 不正确，C 正确；对于D ，由2240y x =-≥得：42890x x --≤，解得209x ≤≤，于是得222||4[1,9]OP x y =+∈，解得13OP ≤≤，D 正确. 故选：ACD三、填空题13．若方程2224240x y mx y m m ++-+-=表示圆，则实数m 的取值范围为_______． 【答案】1m >-【分析】方程2224240x y mx y m m ++-+-=表示圆，需要²²40D E F +-> 计算得到答案. 【详解】方程2224240x y mx y m m ++-+-=表示圆 则22²²416416401D E F m m m m +-=+-+>⇒>-【点睛】本题考查了二元二次方程表示圆的条件，属于简单题.14．抛物线22(0)y px p =>上一点(3,)M t 与焦点F 的距离||MF p =，则M 到坐标原点的距离为___________.【答案】【分析】写出抛物线的准线，再利用抛物线的定义直接列式计算作答. 【详解】抛物线22y px =的准线为：2px =-，由抛物线定义得：3()2p p --=，解得6p ，抛物线方程为212y x =，而(3,)M t 在抛物线上，则236t =，原点为O ，即有22||335MO t =+=， 所以M 到坐标原点的距离为35. 故答案为：3515．已知直线20kx y k -+=与直线20x ky +-=相交于点P ，点()4,0A ，O 为坐标原点，则tan OAP ∠的最大值为_____________. 【答案】33133 【分析】根据给定条件，求出点P 的轨迹，结合图形利用几何意义求解作答. 【详解】直线20kx y k -+=恒过定点(2,0)M -，直线20x ky +-=恒过定点(2,0)N ， 显然直线20kx y k -+=与直线20x ky +-=垂直，当0k ≠时，PM PN ⊥， 点P 在以MN 为直径的圆224x y +=（除点M ，N 外）上，当0k =时，点(2,0)P , 因此，点P 的轨迹是以原点O 为圆心，2为半径的圆（除点(2,0)M -外），如图，观察图形知，点A 在圆O ：224(2)x y x +=≠-外，当直线AP 与圆O 相切时，OAP ∠为锐角且最大，tan OAP ∠最大，所以max 22(tan 3)42OAP ∠=-316．已知椭圆C ：22143x y +=的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F .过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于,D E 两点，则ADE 的周长为.________. 【答案】8【分析】根据已知条件及等边三角形的性质，再利用等腰三角形的三线合一定理及椭圆的定义，结合三角形的周长公式即可求解.【详解】由22143x y +=，得24a =，23b =，222431c a b =-=-=，解得2a =，1b c ==，因为椭圆C 的上顶点为A ，两个焦点为1F ，2F ，所以22112,22A AF a F F c F =====， 所以1212AF AF F F ==，即12AF F △为等边三角形， 因为过1F 且垂直于2AF 的直线与C 交于,D E 两点， 所以22,,AD DF AE EF ==由椭圆的定义可知，212224DF DF a +==⨯=，212224EF EF a +==⨯=, 所以ADE 的周长为22114428AD AE DE DF EF DF EF a ++=+++==⨯=. 故答案为：8四、解答题17．设k 为实数，已知直线1l ：3y kx =+，2l ：15y x k=-. (1)若1l 与2l 平行，求k 的值；(2)若1l 与2l 的交点在直线y x =上，求k 的值. 【答案】(1)1k =±； (2)35k =.【分析】（1）根据直线平行则斜率相等，列出等式求解即可； （2）求得两直线的交点坐标，再根据其满足y x =，解方程即可. 【详解】（1）因为两直线平行，则斜率相等， 故可得1k k=，解得1k =±. （2）联立315y kx y x k =+⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得两直线的交点坐标为222853,11k k k k ⎛⎫--- ⎪--⎝⎭，又因为其满足直线y x =，则22285311k k k k ---=--，即25380k k --+=，解得1k =或35k =，当1k =时，两直线平行，无交点，故舍去，则35k =. 18．已知圆M ：224230x y x y +-+-=和圆N ：229x y +=. (1)若直线l 过点()0,3P -，且被圆M 截得的弦长为4，求l 的方程： (2)求圆M 与圆N 的公共弦的长. 【答案】(1)0x =或=3y -【分析】（1）先求得圆M 的标准方程，由此求得2d =，再分类讨论直线l 斜率存在的情况，利用点线距离公式即可求得直线l 的方程；（2）先由圆心距判断得两圆相交，再由圆的一般方程相减得到公共弦方程，由此利用弦长公式即可求得公共弦长.【详解】（1）由224230x y x y +-+-=得()()22218x y -++=，故圆M 的圆心为()2,1M -，半径为r =设圆心M 到直线的距离为d ，由弦长公式得4，故2d =，若直线l 斜率不存在，则0x =，此时圆心()2,1M -到直线l 的距离为2，符合题意； 若直线l 斜率存在，设直线方程为3y kx =-，即30kx y --=，故2d ==，解得0k =，则直线方程为=3y -，所以直线l 得方程为0x =或=3y -.（2）因为圆N ：229x y +=，所以圆N 的圆心为()0,0N ，3R =，所以MN ==33R r R r +=+-=- 故MN R r R r -<<+，即圆M 与圆N 相交，联立222242309x y x y x y ⎧+-+-=⎨+=⎩，两式相减得公共弦方程为230x y --=，所以圆心()0,0N 到公共弦的距离为1d ==又因为3R =，所以公共弦长为. 19．（1）已知圆经过三点()1,12A ，()7,10B ，()9,2C -，求该圆的方程；（2）若一个圆过点()3,1P -，且与圆C ：222650x y x y ++-+=相切于点()1,2M ，求此圆的方程.【答案】（1）2224950x y x y +---=；（2）222015845714196x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【分析】（1）利用待定系数法设出圆的方程，结合点在圆上即可求解；（2）根据已知条件及两圆的位置关系，再利用垂径定理及直线的点斜式方程，结合半径的定义及圆的标准方程即可求解.【详解】（1）设圆方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->， 因为A ，B ，C 三点在圆上，所以1144120491007100814920D E F D E F D E F ++++=⎧⎪++++=⎨⎪+-++=⎩，解得2D =-，4E =-，95F =-，所以圆方程为2224950x y x y +---=.（2）圆C 方程为()()22135x y ++-=，所求圆与圆C 外切∵()1,3C -，()1,2M ，∴CM 方程为250x y +-=① ∵()3,1P -，()1,2M ，∴PM 中点为12,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，32PM k =- ∴PM 中垂线方程：()12223y x -=-即4650x y --=② 由①②解得圆心2015,714⎛⎫ ⎪⎝⎭. 222201584512714196r ⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭② 所以所求圆方程为222015845714196x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 20．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：()20y ax a =>的焦点F 到其准线的距离为2，直线l 过点()0,1P 且与C 交于A B 、两点.(1)求a 的值及直线l 的斜率的取值范围；(2)若8AF BF +=，求直线l 的方程.【答案】(1)4a =，直线l 的斜率的取值范围为()(),00,1-∞⋃(2)1y x =-+或213y x =+.【分析】（1）结合题意，根据抛物线的焦准距得4a =，再设直线l 的方程为1y kx =+，进而与抛物线联立，结合判别式求解即可；（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，进而结合韦达定理与焦半径公式得24228k k -+=，再解方程即可得答案.【详解】（1）解：因为抛物线C ：()20y ax a =>的焦点F 到其准线的距离为2， 所以，22a =解得4a =. 所以抛物线方程为24y x =，因为直线l 过点()0,1P 且与C 交于AB 、两点， 所以，设直线l 的斜率为k ，方程为1y kx =+，所以，联立214y kx y x=+⎧⎨=⎩得()222410k x k x +-+=，故方程有两个不等的实数解. ()22202440k k k ⎧≠⎪⎨∆=-->⎪⎩，解得1k <且0k ≠ 所以，直线l 的斜率的取值范围为()(),00,1-∞⋃（2）解：设()11,A x y ，()22,B x y ，由（1）知，12242k x x k -+= 又由焦半径公式得1228AF BF x x +=++=， 所以，24228k k-+=，即2320k k +-=，解得1k =-或23k =. 所以，直线l 的方程为1y x =-+或213y x =+.21．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,0F ，直线l ：4x =，动点P 到点F 的距离是到直线l 的距离的12，点P 的轨迹记为曲线C .(1)求曲线C 的方程(2)已知()2,0A -，()2,0B ，点M 是曲线C 上异于A 、B 的任意一点，①求证：直线AM ，BM 的斜率之积为定值：②设直线AM 与直线l 交于点N ，求证：2MFB NFB ∠=∠.【答案】(1)22143x y +=； (2)①证明见解析；②证明见解析. 【分析】（1）设出点P 的坐标，根据题意，列出,x y 满足的等量关系，整理化简即可；（2）①设出点M 的坐标，表达出直线的斜率，结合点M 的坐标满足曲线C ，即可证明； ②设出点M 的坐标，求得直线AN 的方程以及点N 的坐标，结合直线,MF NF 的斜率与倾斜角之间的关系，证明tan 2tan NFB MFB ∠=∠即可.【详解】（1）设(),P x y ，因为动点P 到点F 的距离是到直线l 的距离的12， 故可得()221142x y x -+=-，化简得223412x y +=，即22143x y +=， 故曲线C 的方程为22143x y +=. （2）①设()00,M x y ，则2200143x y +=，即2200314x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭故202000220000314322444MA MB x y y y k k x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===-+---. ②设()00,M x y ，且在x 轴的上方时，若MF AB ⊥，不妨取31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，满足曲线C 的方程22143x y +=， 则AM 方程为()122y x =+，则()4,3N ， 此时45NFB ∠=︒，又90MFB ∠=︒，故2MFB NFB ∠=∠；若MF 不垂直于AB ，设NFB θ∠=，MFB α∠=，则由()00,M x y ，()1,0F 得00tan 1MF y k x α==-， 又直线AM 的方程为：()0022y y x x =++，联立4x =可得：0064,2y N x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，故0000622tan 32NF y x y k x θ+===+， 则()()00002222000044222tan tan 21tan 24212y y x x x y y x θθθ++===-+-⎛⎫- ⎪+⎝⎭，又22003412x y +=，则()()()()()()0000022000004242tan 2tan 4121234y x y x y x x x x x θα++====-+-+--， 又0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,απ∈，故2θα=即2MFB NFB ∠=∠； 当点M 在x 轴的下方时，根据对称性，显然也满足2MFB NFB ∠=∠；综上：2MFB NFB ∠=∠得证.【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆方程的求解，以及椭圆中定值问题和角度问题的证明，处理问题的关键是合理转化所证问题2MFB NFB ∠=∠为证明其正切值相等的问题，属综合中档题. 22．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆1C 与双曲线2C 有公共顶点()2,0，且1C 的短轴长为2，2C 的一条渐近线为20x y -=.(1)求1C ，2C 的方程：(2)设00(,)P x y 是椭圆1C 上任意一点，判断直线0014x x y y +=与椭圆1C 的公共点个数并证明； (3)过双曲线2C 上任意一点()(),0Q m n n ≠作椭圆1C 的两条切线，切点为S 、T ，求证：直线ST 与双曲线2C 的两条渐近线围成的三角形面积为定值，并求出该定值.【答案】(1)2214x y -=，2214x y += (2)只有一个公共点，证明见解析(3)证明见解析，2【分析】（1）由题知双曲线焦点在x 轴上，椭圆焦点在x 轴上，再设出方程，待定系数求解即可；（2）联立方程，结合220014x y +=解方程判断即可； （3）设()11,S x y ，()22,T x y ，进而结合（2）中的结论得直线ST 的方程为440mx ny +-=，再与双曲线的渐近线联立，求解AB ，计算O 点到直线ST 的距离，进而计算面积即可.【详解】（1）解：由题，双曲线的顶点为()2,0，所以双曲线焦点在x 轴上，设双曲线2C 方程为()2222222210,0x y a b a b -=>>， 因为2C 的一条渐近线为20x y -= 所以，222212a b a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得21b =， 所以双曲线方程为2214x y -= 又因为椭圆的短轴长为2，所以椭圆焦点在x 轴上，设椭圆1C 方程为()2211221110x y a b a b +=>>， 所以，12a =，11b =.即椭圆方程为2214x y +=. （2）解：根据题意，联立方程22001414x y x x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22220000104162y x x x x y ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭ 又因为220014x y +=，所以，220014164y x +=，220014x y =- 所以，22220000104162y x x x x y ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭变形为()200x x -=，解得0x x =. 所以，方程组只有一解 所以，直线0014x x y y +=与椭圆1C 只有一个公共点. （3）解：设()11,S x y ，()22,T x y由（2）知，直线0014x x y y +=与椭圆1C 只有一个公共点. 所以，直线0014x x y y +=是过点00(,)P x y 的椭圆的切线方程. 所以，直线SQ 方程为1114x x y y +=，点Q 在直线SQ 上，故1114x m ny += 直线TQ 方程为2214x x y y +=，点Q 在直线TQ 上，故2214x m ny += 所以，直线ST 的方程为14m x ny +=，即440mx ny +-=.由44012mx ny y x +-=⎧⎪⎨=⎪⎩得42,22A m n m n ⎛⎫ ⎪++⎝⎭ 由44012mx ny y x +-=⎧⎪⎨=-⎪⎩得42,22B m n m n -⎛⎫ ⎪--⎝⎭所以AB =又O点到直线ST 的距离d又2244m n -=所以，所围三角形面积122S =⨯=为定值. 【点睛】关键点点睛：本题第三问解题的关键在于结合（1）中的结论，得到过点()11,S x y ，()22,T x y 的切线方程，进而得直线ST 的方程440mx ny +-=，再与双曲线的渐近线联立放求解得42,22A m n m n ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，42,22B m n m n -⎛⎫ ⎪--⎝⎭，再计算面积即可.。
2023-2024学年江苏省常州市联盟学校高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年江苏省常州市联盟学校高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若过A （4，y ），B （2，﹣3）两点的直线的倾斜角为π4，则y ＝（ ）A ．﹣1B ．﹣5C ．1D ．52．椭圆x 225+y 216=1的焦距是（ ）A ．3B ．6C ．8D ．103．抛物线y ＝x 2的准线方程是（ ） A ．y =−14 B ．y =−12C ．x =−14D ．x =−124．方程x 22−k+y 2k−1=1表示实轴在x 轴上的双曲线，则实数k 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，1）B ．（2，+∞）C ．（1，2）D ．（﹣∞，1）∪（2，+∞）5．已知点M （a ，b ）在圆O ：x 2+y 2＝1内，则直线l ：ax +by ＝1与圆O 的位置关系是（ ） A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定6．如图，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是（ ）A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．圆7．过点P （2，1）的直线l 与两坐标轴的正半轴分别交于A ，B 两点．当△AOB 的面积最小时，l 的方程为（ ） A ．x +2y ﹣4＝0B ．2x +y ﹣5＝0C ．x +3y ﹣5＝0D ．3x +y ﹣7＝08．设曲线y =√−x 2+2x 上点到直线3x ﹣4y +5＝0的距离为m ，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[35，85]B ．[35，115]C ．[1，115]D ．[1，135]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．已知圆C ：x 2+y 2﹣2x +4y ﹣k ＝0，则下列说法正确的有（ ）A ．实数k 的取值范围是k ＞﹣5B ．圆C 的圆心为（1，2） C ．若k ＝4，则圆C 的半径为3D ．若圆C 与x 轴相切，则k ＝﹣410．已知直线l 1：（a +2）x +y +a +1＝0与l 2：3x +ay ﹣2a ＝0，则下列说法正确的有（ ） A ．直线l 1恒过点（﹣1，1）B ．当a ＝1时，则l 1在y 轴上的截距为2C ．若l 1⊥l 2，则a =32D ．若l 1∥l 2，则l 1与l 2之间的距离为2√10511．已知O 为坐标原点，M （5，3），点P ，Q 是抛物线C ：y 2＝4x 上两点，F 为C 的焦点，则下列说法正确的有（ ）A ．若PF →=λFQ →，则PQ 最小值为4 B ．△PMF 周长的最小值为10C ．PF 为直径的圆与y 轴相切D ．若直线PQ 经过点F ，则k OP •k OQ ＝﹣412．已知椭圆x 225+y 216=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，△PF 1F 2的面积为6，则（ ）A ．点P 的横坐标为5√32B ．△PF 1F 2的周长为16C ．△PF 1F 2的内切圆的半径为34D ．△PF 1F 2的外接圆的半径为7316三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．双曲线x 24−y 22=1的离心率e ＝ ．14．与双曲线x 24−y 23=1有相同焦点，且经过点(2，3√32)的椭圆的标准方程为 ． 15．与两坐标轴都相切，且圆心在直线2x ﹣y +6＝0上的圆的标准方程是 ．16．已知O 为坐标原点，P （a ，0）（a ＞0），Q 为抛物线y 2＝x 上任意一点，且PQ ≥PO 恒成立，则实数a 的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知抛物线C 的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右，且经过点P （1，2）． （1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点M （2，0）且斜率为2的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，求AB 的长． 18．（12分）已知△ABC 的顶点为A （0，2），B （6，4），C （4，0）． （1）求边AC 的垂直平分线的一般式方程； （2）求△ABC 的外接圆的方程．19．（12分）已知圆C ：x 2+（y ﹣2）2＝1和定点A （3，0），P 为圆C 外一点，直线PQ 与圆C 相切于点Q ，且PQ =√2PA ． （1）求点P 的轨迹方程；（2）经过点A 的直线l 与点P 的轨迹相交于M ，N 两点，且MN ＝8，求直线l 的方程． 20．（12分）已知动圆P 与圆M ：（x +3）2+y 2＝1外切，与圆N ：（x ﹣3）2+y 2＝81内切． （1）求动圆圆心P 的轨迹方程； （2）求1PM+1PN的取值范围．21．（12分）已知M （2，5），N （﹣2，4），动点P 在直线l ：x ﹣2y +3＝0上． （1）求PM +PN 的最小值； （2）求PM 2+PN 2的最小值．22．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b2=1(a ＞0，b ＞0)的离心率为√52，右焦点F 到渐近线的距离为1．（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 过定点M （4，0）且与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，点N 是双曲线C 的右顶点，直线AN ，BN 分别与y 轴交于P ，Q 两点，以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．2023-2024学年江苏省常州市联盟学校高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若过A （4，y ），B （2，﹣3）两点的直线的倾斜角为π4，则y ＝（ ）A ．﹣1B ．﹣5C ．1D ．5解：由题意可得：tan π4=y−(−3)4−2=1，解得y ＝﹣1．故选：A ． 2．椭圆x 225+y 216=1的焦距是（ ）A ．3B ．6C ．8D ．10解：x 225+y 216=1中，∵a 2＝25，b 2＝16， ∴c =√25−16=3， ∴x 225+y 216=1的焦距2c ＝6．故选：B ．3．抛物线y ＝x 2的准线方程是（ ） A ．y =−14B ．y =−12C ．x =−14D ．x =−12解：因为抛物线的标准方程为：x 2＝y ，焦点在y 轴上； 所以：2p ＝1，即p =12， 所以：p2=14，所以准线方程y =−p 2=−14． 故选：A ． 4．方程x 22−k+y 2k−1=1表示实轴在x 轴上的双曲线，则实数k 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，1）B ．（2，+∞）C ．（1，2）D ．（﹣∞，1）∪（2，+∞）解：∵方程x 22−k+y 2k−1=1表示实轴在x 轴上的双曲线，∴{2−k＞0k−1＜0，解得k＜1．∴实数k的取值范围为（﹣∞，1）．故选：A．5．已知点M（a，b）在圆O：x2+y2＝1内，则直线l：ax+by＝1与圆O的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离D．不确定解：∵点P（a，b）是圆x2+y2＝1内不同于原点的一点，∴√a2+b2＜1，∵圆心到直线ax+by＝1的距离，d=1√a2+b1．故直线和圆相离．故选：C．6．如图，一圆形纸片的圆心为O，F是圆内一定点，M是圆周上一动点，把纸片折叠使M与F重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与OM交于点P，则点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆解：由题意知，CD是线段MF的垂直平分线．∴|MP|＝|PF|，∴|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|（定值），又显然|MO|＞|FO|，∴根据椭圆的定义可推断出点P轨迹是以F、O两点为焦点的椭圆．故选：A．7．过点P（2，1）的直线l与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点．当△AOB的面积最小时，l的方程为（）A．x+2y﹣4＝0B．2x+y﹣5＝0C．x+3y﹣5＝0D．3x+y﹣7＝0解：由题意设直线的截距式方程为xa +yb=1（a，b＞0），∵直线过P（2，1），∴2a +1b=1，∴1=2a +1b ≥2√2a ⋅1b ，∴ab ≥8，当且仅当2a=1b 即a ＝4且b ＝2时取等号，∴△AOB 的面积S =12ab ≥4，∴△AOB 面积的最小值为4，此时直线l 的方程为x4+y 2=1，化为一般式方程可得x +2y ﹣4＝0． 故选：A ．8．设曲线y =√−x 2+2x 上点到直线3x ﹣4y +5＝0的距离为m ，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[35，85]B ．[35，115]C ．[1，115]D ．[1，135]解：由﹣x 2+2x ≥0，解得0≤x ≤2．由曲线y =√−x 2+2x ，得（x ﹣1）2+y 2＝1（0≤x ≤2）， 如图：（1，0）到直线3x ﹣4y +5＝0的距离为√32+(−4)2=85，（2，0）到直线3x ﹣4y +5＝0的距离为√32+(−4)2=115．∴实数m 的取值范围为[85−1，115]＝[35，115]．故选：B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分． 9．已知圆C ：x 2+y 2﹣2x +4y ﹣k ＝0，则下列说法正确的有（ ） A ．实数k 的取值范围是k ＞﹣5 B ．圆C 的圆心为（1，2） C ．若k ＝4，则圆C 的半径为3D ．若圆C 与x 轴相切，则k ＝﹣4解：将圆C 的方程化为标准方程可得（x ﹣1）2+（y +2）2＝k +5， 对于A 选项，有k +5＞0，解得k ＞﹣5，A 对； 对于B 选项，圆C 的圆心坐标为（1，﹣2），B 错；对于C 选项，当k ＝4时，圆C 的半径为√k +5=√9=3，C 对； 对于D 选项，若圆C 与x 轴相切，则k +5＝22，解得k ＝﹣1，D 错． 故选：AC ．10．已知直线l 1：（a +2）x +y +a +1＝0与l 2：3x +ay ﹣2a ＝0，则下列说法正确的有（ ） A ．直线l 1恒过点（﹣1，1）B ．当a ＝1时，则l 1在y 轴上的截距为2C ．若l 1⊥l 2，则a =32D ．若l 1∥l 2，则l 1与l 2之间的距离为2√105解：A ．直线l 1：（a +2）x +y +a +1＝0化为：a （x +1）+2x +y +1＝0，令x +1＝0，则2x +y +1＝0，解得x ＝﹣1，y ＝1，∴直线l 1恒过点（﹣1，1），因此A 不正确；B ．当a ＝1时，直线l 1：3x +y +2＝0化为y ＝﹣3x ﹣2，l 1在y 轴上的截距为﹣2，因此B 不正确；C ．若l 1⊥l 2，则3（a +2）+a ＝0，解得a =−32，因此C 不正确；D ．由a （a +2）﹣3＝0，化为（a +3）（a ﹣1）＝0，解得a ＝﹣3或1，经过验证a ＝﹣3时，两条直线重合，舍去，∴a ＝1，此时两条直线化为：3x +y +2＝0，3x +y ﹣2＝0， ∴l 1与l 2之间的距离为d =|−2−2|√3+1=2√105，因此D 正确． 故选：AD ．11．已知O 为坐标原点，M （5，3），点P ，Q 是抛物线C ：y 2＝4x 上两点，F 为C 的焦点，则下列说法正确的有（ ）A ．若PF →=λFQ →，则PQ 最小值为4 B ．△PMF 周长的最小值为10C ．PF 为直径的圆与y 轴相切D ．若直线PQ 经过点F ，则k OP •k OQ ＝﹣4解：已知抛物线C ：y 2＝4x ， 则F （1，0），准线方程为x ＝﹣1， 对于选项A ，由PF →=λFQ →， 则直线PQ 过点F ，设直线PQ 的方程为x ＝ky +1， 联立{x =ky +1y 2=4x ，消x 得y 2﹣4ky ﹣4＝0， 设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则y 1+y 2＝4k ，y 1y 2＝﹣4，则|PQ |＝x 1+x 2+2＝k （y 1+y 2）+4＝4k 2+4≥4， 即|PQ |最小值为4， 所以选项A 正确；对于选项B ，过M 作MN 垂直直线x ＝﹣1，且交于点N ，则△PMF 的周长为|PM |+|PF |+|MF |≥6+√(5−1)2+(3−0)2=6+5＝11， 所以选项B 错误；对于选项C ，已知抛物线y 2＝4x 的焦点F （1，0）， 因为P 为抛物线上一点， 不妨设P （x 1，y 1），则以线段PF 为直径的圆的圆心为（x 1+12，y 12），由抛物线的定义知|PF |与点P 到直线x ＝﹣1的距离相等， 所以以线段PF 为直径的圆的半径为x 1+12，此时以线段PF 为直径的圆与y 轴相切，即选项C 正确， 对于选项D ，由选项A 可得k OP •k OQ =y 1y2x 1x 2=16y 1y 2=−4，即选项D 正确； 故选：ACD ．12．已知椭圆x 225+y 216=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆上，△PF 1F 2的面积为6，则（ ）A ．点P 的横坐标为5√32B ．△PF 1F 2的周长为16C ．△PF 1F 2的内切圆的半径为34D ．△PF 1F 2的外接圆的半径为7316解：∵椭圆方程为x 225+y 216=1，∴a ＝5，b ＝4，c ＝3，∴△PF 1F 2的面积为12×2c ×|y P |=3|y P |＝6，∴|y P |＝2，对A 选项，将|y P |＝2代入x 225+y 216=1，可得|x P |=5√32，∴A 选项错误； 对B 选项，∵△PF 1F 2的周长为2a +2c ＝16，∴B 选项正确； 对C 选项，设△PF 1F 2的内切圆的半径为r ，则△PF 1F 2的面积为12(2a +2c)r =8r ＝6，∴r =34，∴C 选项正确；对D 选项，根据对称性，不妨设P 在第一象限， 则由A 选项分析可得P （5√32，2），又F 1（﹣3，0），F 2（3，0），∴PF 1→=(−3−5√32，−2)，PF 2→=(3−5√32，−2)，∴cos ＜PF 1→，PF 2→＞=PF 1→⋅PF 2→|PF 1→||PF 2→|=554(−3−5√32)2(3−5√32)2=5573，∴sin ＜PF 1→，PF 2→＞=√1−cos 2＜PF 1→，PF 2→＞=√1−(5573)2=4873， 设△PF 1F 2的外接圆的半径为R ， 则2R =2csin ＜PF 1→，PF 2→＞=64873，∴R =7316，∴D 选项正确． 故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．双曲线x 24−y 22=1的离心率e ＝√62． 解：由题意可知：双曲线x 24−y 22=1，焦点在x 轴上，a ＝2，b =√2，则c 2＝a 2+b 2＝4+2＝6，则c =√6， 由双曲线的离心率公式可知：e =c a =√62， 故答案为：√62． 14．与双曲线x 24−y 23=1有相同焦点，且经过点(2，3√32)的椭圆的标准方程为 x 216+y 29=1 ．解：∵双曲线x 24−y 23=1中c =√4+3=√7， ∴可设椭圆方程为：x 2λ+7+y 2λ=1，（λ＞0），把点(2，3√32)的坐标代入，解得λ＝9，即所求椭圆方程为：x 216+y 29=1．故答案为：x 216+y 29=1．15．与两坐标轴都相切，且圆心在直线2x ﹣y +6＝0上的圆的标准方程是 （x +2）2+（y ﹣2）2＝4或（x +6）2+（y +6）2＝36 ．解：由圆心在直线2x ﹣y +6＝0上，可设圆心为C （a ，2a +6）， 由圆与两坐标轴都相切，可得|a |＝|2a +6|， 解得a ＝﹣6，或a ＝﹣2．若a ＝﹣6，则圆心为（﹣6，﹣6），半径为6，圆的方程为 （x +6）2+（y +6）2＝36； 若a ＝﹣2，则圆心为（﹣2，2），半径为2，圆的方程为 （x +2）2+（y ﹣2）2＝4． 故答案为：（x +2）2+（y ﹣2）2＝4或（x +6）2+（y +6）2＝36．16．已知O 为坐标原点，P （a ，0）（a ＞0），Q 为抛物线y 2＝x 上任意一点，且PQ ≥PO 恒成立，则实数a 的取值范围是 （0，12] ．解：设抛物线C ：y 2＝x 上任意一点Q （m 2，m ）， 点P （a ，0）（a ＞0），|PQ |≥|OP |，PM |≥|OM |，即a 2≤（m 2﹣a ）2+m 2，即（2a ﹣1）m 2≤m 4， 转化为2a ﹣1≤m 2恒成立，故a ≤12． 即a 的取值范围是（0，12]．故答案为：（0，12]．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知抛物线C 的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右，且经过点P （1，2）． （1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点M （2，0）且斜率为2的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，求AB 的长． 解：（1）已知抛物线C 的顶点在原点，对称轴为坐标轴，开口向右， 不妨设抛物线的方程为y 2＝2px （p ＞0）， 因为抛物线C 经过点P （1，2）， 所以22＝2p ×1， 解得p ＝2，则抛物线C 的标准方程为y 2＝4x ；（2）不妨设直线AB 的方程为y ＝2（x ﹣2），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立{y =2x −4y 2=4x ，解得{x 1=1y 1=−2或{x 2=4y 2=4，则|AB |=√(4−1)2+(4+2)2=3√5．18．（12分）已知△ABC 的顶点为A （0，2），B （6，4），C （4，0）． （1）求边AC 的垂直平分线的一般式方程； （2）求△ABC 的外接圆的方程． 解：（1）设AC 中点为D ， 因为A （0，2），C （4，0）． 所以D （2，1）， 由题意得k AC =0−24−0=−12，所以边AC 上高的斜率为2， 又因为AC 的垂直平分线过点D （2，1），所以AC 的垂直平分线的方程为：y ﹣1＝2（x ﹣2），即2x ﹣y ﹣3＝0． （2）设△ABC 的外接圆的方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F ＝0．将A ，B ，C 三点坐标代入上式得{2E +F +4=06D +4E +F +52=04D +F +16=0，解得{D =−6E =−6F =8．所以圆M 的方程为x 2+y 2﹣6x ﹣6y +8＝0，即（x ﹣3）2+（y ﹣3）2＝10．19．（12分）已知圆C ：x 2+（y ﹣2）2＝1和定点A （3，0），P 为圆C 外一点，直线PQ 与圆C 相切于点Q ，且PQ =√2PA ． （1）求点P 的轨迹方程；（2）经过点A 的直线l 与点P 的轨迹相交于M ，N 两点，且MN ＝8，求直线l 的方程． 解：（1）设点P 坐标为（x ，y ）， PQ =√2PA ， 则PQ 2＝2P A 2， A （3，0），所以x 2+（y ﹣2）2﹣1＝2（（x ﹣3）2+y 2）， 化简得x 2+y 2﹣12x +4y +15＝0．（2）由x 2+y 2﹣12x +4y +15＝0得（x ﹣6）2+（y +2）2＝25，由MN ＝8得圆心到直线l 的距离为3， 当直线l 不垂直与x 轴时，可设直线l 的方程为y ＝k （x ﹣3），即kx ﹣y ﹣3k ＝0．所以√k 2+1=3，解得k =512，所以5x ﹣12y ﹣15＝0，当直线l 垂直与x 轴时，直线l ：x ＝3，满足条件， 综上所述，直线l 的方程为x ＝3或5x ﹣12y ﹣15＝0．20．（12分）已知动圆P 与圆M ：（x +3）2+y 2＝1外切，与圆N ：（x ﹣3）2+y 2＝81内切． （1）求动圆圆心P 的轨迹方程； （2）求1PM+1PN的取值范围．解：（1）圆M ：（x +3）2+y 2＝1的圆心为M （﹣3，0），半径r 1＝1． 圆N ：（x ﹣3）2+y 2＝81的圆心为N （3，0），半径r 2＝9， MN ＝6＜r 2﹣r 1，所以圆M 与圆N 的关系是内含． 设动圆圆心为P （x ，y ），动圆半径为r ，动圆P 与圆M ：（x +3）2+y 2＝1外切，则PM ＝r +1， 动圆P 与圆N ：（x ﹣3）2+y 2＝81内切，则PN ＝9﹣r ， 则PM +PN ＝r +1+9﹣r ＝10＞MN ，所以P 点的轨迹是以M ，N 为焦点，长轴长为10的椭圆，从而c ＝3，a ＝5，所以b ＝4， 所以点P 的轨迹方程为x 225+y 216=1．（2）a ﹣c ≤PM ≤a +c ，即2≤PM ≤8，1PM+1PN=PM+PN PM⋅PN=2a PM(2a−PM)=10PM(10−PM)=10−PM 2+10PM=10−(PM−5)2+25，当PM ＝5时，﹣（PM ﹣5）2+25取得最大值为25； 当PM ＝2或8时，﹣（PM ﹣5）2+25取得最小值为16， 即25≤10−(PM−5)2+25≤58，即25≤1PM+1PN≤58，所以1PM+1PN的取值范围为[25，58]．21．（12分）已知M （2，5），N （﹣2，4），动点P 在直线l ：x ﹣2y +3＝0上． （1）求PM +PN 的最小值； （2）求PM 2+PN 2的最小值．解：（1）设M （2，5）关于直线l ：x ﹣2y +3＝0对称点坐标为M ′（x ′，y ′），则{y′−5x′−2×12=−1x′+22−2×y′+52+3=0，解得M ′（4，1）， 由对称性可得PM +PN =PM ′+PN ≥M ′N =3√5，所以PM +PN 的最小值为3√5； （2）设点P 坐标为（x ，y ），则PM 2+PN 2＝（x ﹣2）2+（y ﹣5）2+（x +2）2+（y ﹣4）2＝2（x 2+y 2﹣9y ）+49=2[x 2+(y −92)2]+172， 当且仅当x 2+(y −92)2最小时，PM 2+PN 2取得最小值，即点P 到线段MN 中点Q 距离最小， ∵由点到直线的距离公式可得：PQ min =|0−2×92+3|√1+2=65， ∴PM 2+PN 2=2×(65)2+172=22910．∴PM 2+PN 2的最小值为22910．22．（12分）已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的离心率为√52，右焦点F 到渐近线的距离为1． （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 过定点M （4，0）且与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，点N 是双曲线C 的右顶点，直线AN ，BN 分别与y 轴交于P ，Q 两点，以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由． 解：（1）由双曲线C 的离心率为√52，得e =c a =√52， 所以a ＝2b ，则渐近线方程为y =±x 2即x ±2y ＝0，右焦点F （c ，0）到渐近线距离为√1+22=1，所以c =√5，a =2，b =1， 则双曲线C 的方程是x 24−y 2=1；（2）以线段PQ 为直径的圆过x 轴上的定点．当直线l 斜率不存在时，以PQ 为直径的圆的方程为：x 2+y 2＝3，恒过定点(±√3，0)． 当直线l 斜率存在时，设y ＝k （x ﹣4），（k ≠0）．由{y =k(x −4)x 24−y 2=1得：（1﹣4k 2）x 2+32k 2x ﹣64k 2﹣4＝0．当k ≠±12时，Δ＝192k 2+16＞0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则有x 1+x 2=−32k 21−4k2，x 1x 2=−64k 2−41−4k2．又N 是椭圆C 的右顶点，则N （2，0）．由题意知：直线AN 为y =y 1x 1−2(x −2)，故P(0，−2y1x 1−2)．直线BN 为：y =y 2x 2−2(x −2)，故Q(0，−2y2x 2−2)．若以PQ 为直径的圆过x 轴上的定点T （x 0，0），则等价于PT →⋅QT →=0恒成立．又PT →=(x 0，2y 1x 1−2)，QT →=(x 0，2y 2x 2−2)，∴PT →⋅QT →=x 02+2y 1x 1−2⋅2y 2x 2−2=0恒成立． 又(x 1−2)(x 2−2)=x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=−64k 2−41−4k2−2×−32k 21−4k2+4=−16k 21−4k2， y 1y 2=k(x 1−4)k(x 2−4)=k 2(x 1x 2−4(x 1+x 2)+16)=k 2(−64k 2−41−4k2−−128k 21−4k2+16)=12k21−4k2．∴x 02+4y 1y2(x 1−2)(x 2−2)=x 02+48k21−4k2−16k21−4k2=x 02−3=0，解得x 0=±√3．故以PQ 为直径的圆过x 轴上的定点(±√3，0)．。
江苏省常州市2019-2020年度高一上学期数学期末考试试卷(I)卷
江苏省常州市2019-2020年度高一上学期数学期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）(2017·襄阳模拟) 已知全集U=R，集合A={x|x2﹣x﹣6≤0}，，那么集合A∩（∁UB）=（）A . [﹣2，4）B . （﹣1，3]C . [﹣2，﹣1]D . [﹣1，3]2. （2分）下列命题中正确的个数是（）①向量与是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上；②向量与向量平行，则方向相同或相反；③若下列向量、满足，且与同向，则；④若，则的长度相等且方向相同或相反；⑤由于零向量方向不确定，故不能与任何向量平行.A . 0B . 1C . 2D . 33. （2分）下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（）A . y=-B . y=﹣log2xC . y=3xD . y=x3+x4. （2分）要得到函数y=cos2x的图象，只需将y=cos（2x+）的图象（）A . 向左平移个单位长度B . 向右平移个单位长度C . 向左平移个单位长度D . 向右平移个单位长度5. （2分）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin（x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（）A . 5B . 6C . 8D . 106. （2分）已知，则的值为（）A .B .C .D .7. （2分）设函数y=g（x）在（﹣∞，+∞）内有定义，对于给定的整数k，定义函数：gk（x）= ，取函数g（x）=2﹣ex﹣e﹣x ，若对任意x∈（﹣∞，+∞）恒有gk（x）=g（x），则（）A . k的最大值为2﹣e﹣B . k的最小值为2﹣e﹣C . k的最大值为2D . k的最小值为28. （2分）已知函数，如果关于x的方程f（x）=k只有一个实根，那么实数k的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共6题；共6分)9. （1分） (2016高一上·海安期中) 函数f（x）=|x2﹣2x﹣3|的单调增区间是________．10. （1分） (2018高一上·大港期中) 已知函数，且在区间上单调递减，则的取值范围是________.11. （1分） (2017高一上·天津期末) 在平行四边形ABCD中，AD=1，AB=2，∠BAD=60°，E是CD的中点，则 =________．12. （1分）(2017·齐河模拟) 若对任意的x∈D，均有g（x）≤f（x）≤h（x）成立，则称函数f（x）为函数g（x）到函数h（x）在区间D上的“任性函数”．已知函数f（x）=kx，g（x）=x2﹣2x，h（x）=（x+1）（lnx+1），且f（x）是g（x）到h（x）在区间[1，e]上的“任性函数”，则实数k的取值范围是________．13. （1分）对于任意实数x，不等式（a﹣2）x2﹣2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立，则实数a的取值范围是________．14. （1分） (2015高一下·自贡开学考) 已知．若，则自变量x的取值范围是________．三、解答题 (共5题；共50分)15. （10分） (2017高一下·潮安期中) 已知△ABC三个顶点的直角坐标分别为A（3，4）、B（0，0）、C（c，0）．（1）若，求c的值；（2）若c=5，求sinA的值．16. （10分） (2018高一下·濮阳期末) 已知函数的最大值为 .（1）求的值及的最小正周期；（2）在坐标系上作出在上的图像，要求标出关键点的坐标.17. （5分）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx+a，且当x∈[0，]时，f（x）的最小值为2．（1）求a的值，并求f（x）的单调递增区间；（2）先将函数y=f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，求方程g（x）=4在区间[0，]上所有根之和．18. （10分）已知函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为x．（1）求f（）；（2）在给定的坐标系中，用列表描点的方法画出函数y=f（x）在区间[﹣， ]上的图象，并根据图象写出其在[﹣， ]上的单调递减区间．19. （15分） (2019高二上·上海月考) 已知函数 .（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）设，问函数的图像是否关于某直线成轴对称图形，如果是，求出的值，如果不是，请说明理由；（可利用真命题：“函数的图像关于某直线成轴对称图形”的充要条件为“函数是偶函数”）（3）设，函数，若函数与的图像有且只有一个公共点，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共6题；共6分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共5题；共50分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、第11 页共11 页。
2019-2020年高二下学期期末数学试卷(文科)含解析
2019-2020年高二下学期期末数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞04．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．58．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.0049．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=_______．12．函数y=的值域为_______．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是_______．14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于_______．15．已知函数则的值为_______．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行_______次才停止；若运算进行3次才停止，则x的取值范围是_______．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？20．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．2015-2016学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出不等式x（x﹣2）＜0的解集，即求出A，再由交集的运算求出A∩B．【解答】解：由x（x﹣2）＜0得，0＜x＜2，则A={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，∴A∩B═{x|1＜x＜2}=（1，2），故选D．2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即a n2﹣a n﹣12=3从而利用等差数列通项公式an2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1=20，得解，n=7【解答】解：数列…，各项的平方为：2，5，8，11，…则a n2﹣a n﹣12=3，又∵a12=2，∴a n2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，令3n﹣1=20，则n=7．故选B．3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0 C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞0【考点】四种命题的真假关系．【分析】注意判断区分∃和∀．【解答】解：A错误，因为，不存在x0∉ZB错误，因为C错误，x=3时不满足；D中，△＜0，正确，故选D答案：D4．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】导数的运算．【分析】先求原函数的导函数，再把x=1的值代入即可．【解答】解：∵y′=，∴y′|x=1==1．故选：A．5．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．【分析】把a=﹣2代入复数，可以得到复数是纯虚数，当复数是纯虚数时，得到的不仅是a=﹣2这个条件，所以得到结论，前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：a=﹣2时，Z=（22﹣4）+（﹣2+1）i=﹣i是纯虚数；Z为纯虚数时a2﹣4=0，且a+1≠0∴a=±2．∴“a=2”可以推出“Z为纯虚数”，反之不成立，故选A．6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】a=30.2＞1，利用换底公式可得：b=log64=，c=log32=，由于1＜log26＜log29，即可得出大小关系．【解答】解：∵a=30.2＞1，b=log64=，c=log32==，∵1＜log26＜log29，∴1＞b＞c，则a＞b＞c，故选：B．7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．5【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．8．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004【考点】独立性检验的应用．【分析】本题考查的知识点是独立性检验公式，我们由列联表易得：a=11，b=34，c=8，d=37，代入K2的计算公式：K2=即可得到结果．【解答】解：由列联表我们易得：a=11，b=34，c=8，d=37则K2===0.6004≈0.60故选A9．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【考点】抽象函数及其应用．【分析】首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B 选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C 选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D 选项正确；故选C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=﹣1+i．【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果．【解答】解：∵复数z满足（1﹣i）z=2i，则z====﹣1+i，故答案为：﹣1+i．12．函数y=的值域为{y|y≠2} ．【考点】函数的值域．【分析】函数y===2+，利用反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：函数y===2+，当x＞1时，＞0，∴y＞2．当x＜1时，＜0，∴y＜2．综上可得：函数y=的值域为{y|y≠2}．故答案为：{y|y≠2}．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是P＞Q．【考点】不等式比较大小．【分析】利用作差法，和平方法即可比较大小．【解答】解：∵P=﹣1，Q=﹣，∴P﹣Q=﹣1﹣+=（+）﹣（+1）∵（+）2=12+2，（ +1）2=12+2∴+＞+1，∴P﹣Q＞0，故答案为：P＞Q14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于0.9．【考点】线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵==1.5，==3，∴这组数据的样本中心点是（1.5，3）把样本中心点代入回归直线方程，∴3=1.4×1.5+a，∴a=0.9．故答案为：0.9．15．已知函数则的值为﹣．【考点】函数的值；函数迭代．【分析】由题意可得=f（﹣）=3×（﹣），运算求得结果．【解答】解：∵函数，则=f（﹣）=3×（﹣）=﹣，故答案为﹣．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行4次才停止；若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是（10，28] ．【考点】循环结构．【分析】本题的考查点是计算循环的次数，及变量初值的设定，在算法中属于难度较高的题型，处理的办法为：模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中各变量的值进行管理，并分析变量的变化情况，最终得到答案．【解答】解：（1）程序在运行过程中各变量的值如下表示：x x 是否继续循环循环前5∥第一圈15 13 是第二圈39 37 是第三圈111 109 是第四圈327 325 否故循环共进行了4次；（2）由（1）中数据不难发现第n圈循环结束时，经x=（x0﹣1）×3n+1：x 是否继续循环循环前x0/第一圈（x0﹣1）×3+1 是第二圈（x0﹣1）×32+1 是第三圈（x0﹣1）×33+1 否则可得（x0﹣1）×32+1≤244且（x0﹣1）×33+1＞244解得：10＜x0≤28故答案为：4，（10，28]三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．【分析】（1）使函数各部分都有意义的自变量的范围，即列出不等式组，解此不等式组求出x范围就是函数的定义域；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．【解答】解：（1）由题得，使解析式有意义的x范围是使不等式组成立的x范围，解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）函数f（x）为奇函数，证明：由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣log a（1+x）+log a（1﹣x）=﹣[log a（1+x）﹣log a （1﹣x）]=﹣f（x）所以函数f（x）为奇函数．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先将命题p，q分别化简，然后根据若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，判断出p，q一真一假，分类讨论即可．【解答】解：由题意命题P：x2+mx+1=0有两个不等的实根，则△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2，命题Q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根，则△＜0，解得﹣3＜m＜﹣1，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假，（1）当P真q假时：，解得m≤﹣3，或m＞2，（2）当P假q真时：，解得﹣2≤m＜﹣1，综上所述：m的取值范围为m≤﹣3，或m＞2，或﹣2≤m＜﹣1．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积，再利用导数的方法解决，应注意函数的定义域．【解答】解：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积（0＜x＜60）．（0＜x＜60）令=0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V（40）=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm320．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，又切点（1，2），所以切线方程为y﹣2=3（x﹣1）），即3x﹣y﹣1=0故曲线y=f（x）在x=1处切线的切线方程为3x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max．g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g （x）max=2由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，，所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（I）由{a n}伴随数列{b n}的定义可得前5项为1，1，1，2，3．（II）由a n=3n﹣1≤m，可得n≤1+log3m，m∈N*，分类讨论：当1≤m≤2时，m∈N*，b1=b2=1；当3≤m≤8时，m∈N*，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20时，m∈N*，b9=b10=…=3；即可得出数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【解答】解：（Ⅰ）数列1，4，5，…的伴随数列{b n}的前5项1，1，1，2，3；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m（m∈N*）．∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1；当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20，m∈N*时，b9=b10=…=b20=3．∴b1+b2+…+b20=1×2+2×6+3×12=50．2016年9月9日。
江苏省南通市如皋市2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题含解析
即 ，所以 ， 。
所以函数 在 上为减函数。
（2） ，
若 为奇函数，则 ，即 。
所以
，
所以 ，所以 , 或 .
【点睛】本题考查了单调性的证明,根据奇偶性求参数，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.
20.某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角 和以 为直径的半圆拼接而成，点 为半圈上一点（异于 ， ），点 在线段 上，且满足 。已知 , ，设 .
设 ， ，
故 ，整理得 ，
又 ，即 ，
所以 。②
联立①②，据平面向量其本定理，得 解得 ， ,
所以实数 值为 .
（2）因为 ，所以 ，即 ，
所以
。
【点睛】本题考查了根据向量平行求参数,向量的数量积,意在考查学生对于向量知识的综合应用能力.
22.已知函数 ，其中 。
（1）若 ，求函数 的单调区间；
(2)若关于 的不等式 对任意的实数 恒成立，求实数 的取值范围；
【详解】A. ， 正确；
B。 ， 正确；
C。 ， 错误；
D。 ， 正确；
故选: 。
【点睛】本题考查了向量的基本定理的应用，意在考查学生的应用能力.
12。设函数 ，则下列结论正确的是( ）
A. 函数 的最小正周期为 B. 函数 在 上是单调增函数
C。 函数 的图象关于直线 对称D。 函数 的值域是
【答案】ACD
【详解】如图所示：当 时，函数 有 个不同的零点，不满足；
当 时，不妨设 ，根据对称性知 ，故 。
，故 ,故 .
故答案为： .
【点睛】本题考查了函数 零点问题，画出函数图像是解题的关键。
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故选 C .
【点睛】这个题目考查了抛物线方程的求法，可称为待定系数法，较为基础.
4.命题“ x 0, ， ln x x 1”的否定是（ ）
A. x 0, ， ln x x 1
B. x 0, ， ln x x 1
C. x 0, ， ln x x 1
江苏省常州市教育学会 2019—2020 学年上学期学生学业水平监测
高二数学试卷
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共计 60 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）
1.如果 a b 0 ， c R ，那么（ ）
A. a b 0
所以正确；
选项
D，因为
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0,
2
，所以
sin
x
0,1
，所以
y
sin
x
1 sin
x
2
，当且仅当
sin
x
1 sin
x
，即
x
2
时，等号成立，而
x
0,
2
，所以不正确.
故选：C.
【点睛】本题考查基本不等式求和的最小值，基本不等式的使用条件，属于简单题.
7.已知空间向量 m 1,3, x ， n
8.若 x 0 ， y 0 ，且 x y S ， xy P ，则下列说法中正确的是（ ）
A. 当且仅当 x y 时 S 取得最小值 2 P
x2 , 1, 2
，则“ x 1 ”是“ m n ”的（
）
A. 必要不充分条件
B. 充分不必要条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据向量垂直的点积运算得到 x 的值，进而得到结果.
【详解】
m
n
，
x2
2
x
3
0
，x
1
或-3.故
x=1
是
m
n
的充分不必要条件.
5.椭圆
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 的左、右顶点分别是
A ，B
，左右焦点分别是 F1 ，F2 ，若
AF1 ，
-2-
F1F2 ， F1B 成等比数列，则此椭圆的离心率为（
1
A.
4
【答案】B
B. 5 5
【解析】
【分析】
）
1
C.
2
D. 5 2
根据题意表示出 AF1 ， F1F2 ， F1B ，根据它们成等比数列，得到 a ， c 的关系式，整理化简得
故答案为 B. 【点睛】这个题目考查了向量垂直的坐标表示，也考查了充分必要条件的判断，题目基础. 判 断充要条件的方法是：①若 p⇒q 为真命题且 q⇒p 为假命题，则命题 p 是命题 q 的充分不必 要条件；②若 p⇒q 为假命题且 q⇒p 为真命题，则命题 p 是命题 q 的必要不充分条件；③若 p⇒q 为真命题且 q⇒p 为真命题，则命题 p 是命题 q 的充要条件；④若 p⇒q 为假命题且 q⇒p 为假命题，则命题 p 是命题 q 的即不充分也不必要条件．⑤判断命题 p 与命题 q 所表示的范 围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题 p 与命题 q 的关系．
D. x 0, ， ln x x 1
【答案】A 【解析】 【分析】 根据命题的否定的要求，写出原命题的否定，得到答案.
【详解】原命题为命题“ x 0, ， ln x x 1”
所以命题的否定为“ x 0, ， ln x x 1”
故选：A. 【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于简单题.
B. ac bc
C. a2 b2
【答案】D
D. 1 1 ab
【解析】
【分析】
根据不等式的性质，对四个选项进行判断，从而得到答案.
【详解】因为 a b ，所以 a b 0 ，故 A 错误； 因为 a b ，当 c 0 时，得 ac bc ，故 B 错误；
因为 a b 0 ，所以 a2 b2 ，故 C 错误； 因为 a b 0 ，所以 1 1 ，故 D 正确.
D. 无法确定
【答案】C 【解析】 【分析】 分情况设出抛物线的方程，代入已知点即可得到具体方程．
【 详 解 】 由 题 设 知 抛 物 线 开 口 向 右 或 开 口 向 上 ， 设 其 方 程 为 y2 2 px p 0 或 x2 2 py p 0 ，将点 2, 4 代入可得 p 4 或 p 1 ，所以所求抛物线的标准方程为
因为 a1 1， a3 a5 8 ， 所以1 2d 1 4d 8 ，解得 d 1
所以 a7 a1 6d 7
故选：C.
-1-
【点睛】本题考查等差数列通项中的基本量计算，属于简单题.
3.经过点 2, 4 的抛物线的标准方程为（ ）
A. y2 8x
B. x2 y
C. y2 8x 或 x2 y
A. y x 5 （ x R 且 x 0 ） 5x
B. y lg x 1 1 x 10
lg x
C. y 3x 3x x R
D.
y
sin
x
1 sin
x
0
x
2
【答案】C 【解析】
【分析】
根据基本不等式的使用条件，对四个选项分别进行判断，得到答案.
【详解】选项 A，当 x 0 时， y 0 ，所以最小值为 2 不正确；
ab
故选：D.
【点睛】本题考查不等式的性质，属于简单题.
2.在等差数列 an 中，已知 a1 1 ， a3 a5 8 ，则 a7 （ ）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】
设等差数列an 的公差为 d ，根据条件，得到 d 的值，求出答案.
【详解】设等差数列an 的公差为 d ，
选项 B，因为 x 1,10 ，所以 lg x 0,1 ，所以 y lg x 1 2 ，当且仅当 lg x 1 ，
lg x
lg x
-3-
即 x 10 时等号成立，而 x 1,10 ，所以等号不成立，所以不正确；
选项 C， 因为 3x 0 ，所以 y 3x 3x 2 ，当且仅当 3x 3x ，即 x 0 时，等号成立，
到答案.
【详解】由题意， AF1 a c ， F1F2 2c ， F1B a c ，
因为 AF1 ， F1F2 ， F1B 成等比数列，
所以 2c2 a ca c
4c2 a2 c2 ，即 5c2 a2
所以椭圆离心率 e c 5 . a5
故选：B.
【点睛】本题考查椭圆的几何性质，求椭圆的离心率，属于简单题. 6.在下列函数中，最小值为 2 的是（ ）