三角函数与平面向量过关检测

过关检测(二)三角函数与平面向量(时间：90分钟满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．(2012·重庆)设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的两根，则tan(α＋β)的值为()．A．－3 B．－1 C．1 D．32．(2012·济南三模)已知非零向量a，b满足向量a＋b与向量a－b的夹角为π2，那么下列结论一定成立的是()．A．a＝b B．|a|＝|b|C．a⊥b D．a∥b3．函数y＝3cos(x＋φ)＋2的图象关于直线x＝π4对称，则φ的可能取值是()．A.3π4B．－3π4 C.π4 D.π24．(2012·惠州模拟)已知向量a，b，则“a∥b”是“a＋b＝0”的________条件()．A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要5．(2012·哈尔滨四校联考三模)已知角2α的顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边过点－12，32,2α∈[0,2π)，则tan α＝()．A．－ 3 B. 3 C.33D．－336．(2012·皖南八校联考)设向量a，b满足|a|＝2，a·b＝32，|a＋b|＝22，则|b|等于( )．A.12 B ．1 C.32 D ．27．已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则( )．A ．ω＝1，φ＝π6B ．ω＝1，φ＝－π6C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π68．若△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2OA →＋AB →＋AC →＝0，|OA →|＝|AB →|，则CA →·CB→的值是 ( )．A ．3B ．2C ．1D ．09．(2012·陕西)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2＝2c 2，则cos C 的最小值为( )．A.32B.22C.12 D ．－12 10．给出下列四个命题：①f (x )＝sin2x －π4的对称轴为x ＝k π2＋3π8，k ∈Z ； ②函数f (x )＝sin x ＋3cos x 的最大值为2； ③函数f (x )＝sin x cos x －1的周期为2π；④函数f (x )＝sin x ＋π4在－π2，π2上是增函数．其中正确命题的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)11．(2012·北京顺义模拟)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P (－3，3)，则sin 2α－tan α＝________.12．(2012·肇庆调研)已知向量a ＝(4,3)，b ＝(－2,1)，如果向量a ＋λb 与b 垂直，则|2a －λb |的值为________．13．函数y ＝tan π4x －π2(0＜x ＜4)的图象如图所示，A 为图象与x 轴的交点，过点A 的直线l 与函数的图象交于B 、C 两点，则(OB →＋OC →)·OA→等于________．14．(2012·太原调研)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝2，sin B ＋sin C ＝3sin A ，且△ABC 的面积为43sin A ，则角A ＝________. 三、解答题(本大题共5小题，共54分)15．(10分)(2012·临沂一模)已知f (x )＝cos x －3π4－sin x －5π4. (1)求f (x )的最小正周期和最小值； (2)若f (α)＝85，求sin 2α－2sin 2 α1－tan α的值．16.(10分)(2012·安徽)设函数f (x )＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin 2x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)设函数g (x )对任意x ∈R ，有g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝g (x )，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )．求g (x )在区间[－π，0]上的解析式．17．(10分)(2013·郑州二模)郑州市某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC 、△ABD ，经测量AD ＝BD ＝7米，BC ＝5米，AC ＝8 米，∠C ＝∠D . (1)求AB 的长度；(2)若环境标志的底座每平方米造价为5 000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低(请说明理由)，最低造价为多少？(3＝1.732，2＝1.414)18．(12分)(2012·湖南)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)x ∈R ，ω＞0，0＜φ＜π2的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－f (x ＋π12)的单调递增区间． 19．(12分)(2012·陕西五校联考)已知向量m ＝(sin x ，3sin x )，n ＝(sin x ，－cos x )，设函数f (x )＝m ·n .若函数g (x )的图象与f (x )的图象关于坐标原点对称． (1)求函数g (x )在区间－π4，π6上的最大值，并求出此时x 的值；(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，A 为锐角，若f (A )－g (A )＝32，b ＋c ＝7，△ABC 的面积为23，求边a 的长．参考答案1．A [由题意可知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3.]2．B [由(a ＋b )·(a －b )＝0，得：a 2＝b 2，∴|a |＝|b |.]3．A [∵y ＝cos x ＋2的对称轴为x ＝k π(k ∈Z )，∴x ＋φ＝k π(k ∈Z )，即x ＝k π－φ(k ∈Z )，令π4＝k π－φ(k ∈Z )得φ＝k π－π4(k ∈Z )，显然在四个选项中，只有3π4满足题意．故正确答案为A.]4．B [a ∥b 只要求两向量共线，而“a ＋b ＝0”要求反向共线且模相等．] 5．B [由三角函数定义知：tan 2α＝32－12＝－3，又2 α∈[0,2π)且2α的终边在第二象限．∴2α＝2π3，∴α＝π3，∴tan α＝ 3.] 6．B [|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝4＋3＋b 2＝8，∴|b |＝1.]7．D [由题图知：T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2，又2×π3＋φ＝π2，∴φ＝－π6.] 8．A [仔细分析式子：2OA→＋AB →＋AC →＝0，易得△ABC 是直角三角形，且A 为直角，又|OA →|＝|AB →|，故C ＝30°，由此|AC →|＝3，|BC →|＝2，CA →·CB →＝|CA →|·|CB →|·cos 30°＝3.]9．C [由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C . 又c 2＝12(a 2＋b 2)， 所以2ab cos C ＝12(a 2＋b 2)， 即cos C ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝12.]10．B [①由2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )得，x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )，即f (x )＝sin2x －π4的对称轴为x ＝k π2＋3π8，k ∈Z ，正确；②由f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin x ＋π3知，函数的最大值为2，正确；③f (x )＝sin x cos x －1＝12sin 2x －1，函数的周期为π，故错误；④函数f (x )＝sin x ＋π4的图象是由f (x )＝sin x 的图象向左平移π4个单位得到的，故错误．] 11．解析 因为角α终边经过点P (－3，3)， 所以sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33，∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36. 答案 －3612．解析 a ＋λb ＝(4,3)＋λ(－2,1)＝(4－2λ，3＋λ)， ∵(a ＋λb )⊥b ，∴(4－2λ，3＋λ)·(－2,1)＝0， 解得λ＝1,2a －λb ＝(8,6)－(－2,1)＝(10,5)， |2a －λb |＝102＋52＝5 5.答案 5 513．解析 (OB →＋OC →)·OA →＝2OA →2，由题图知|OA →|＝2， ∴(OB →＋OC →)·OA →＝8. 答案 814．解析 由正弦定理得： b ＋c ＝3a ＝23，① 又S △ABC ＝12bc sin A ＝43sin A ，∴bc ＝83，②由①平方得：b 2＋c 2＝203，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝203－4163＝12，∴A ＝60°.答案 60°15．解 (1)f (x )＝cos x －34π－sin x －54π ＝sin x －π4＋sin x －π4＝2sin x －π4.∴f (x )的最小正周期为2π，最小值为－2. (2)由f (α)＝85，得sin α－π4＝45， ∴22(sin α－cos α)＝45， ∴2sin αcos α＝－725.∴sin 2α－2sin 2α1－tan α＝2sin α(cos α－sin α)1－sin αcos α＝2sin α(cos α－sin α)cos α－sin αcos α＝2sin αcos α＝－725.16．解 (1)f (x )＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋sin 2x＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x cos π4－sin 2x sin π4＋1－cos 2x 2＝12－12sin 2x ，故f (x )的最小正周期为π.(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，g (x )＝12－f (x )＝12sin 2x ，故①当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0时，x ＋π2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.由于对任意x ∈R ，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝g (x )，从而g (x )＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝12sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝12sin(π＋2x )＝－12sin 2x .②当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π，－π2时，x ＋π∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2.从而g (x )＝g (x ＋π)＝12sin[2(x ＋π)]＝12sin 2x . 综合①、②得g (x )在[－π，0]上的解析式为 g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12sin 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π，－π2，－12sin 2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，0.17．解 (1)在△ABC 中，由余弦定理得， cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝82＋52－AB 22×8×5，在△ABD 中，由余弦定理得， cos D ＝AD 2＋BD 2－AB 22AD ·BD ＝72＋72－AB 22×7×7.由∠C ＝∠D 得，cos C ＝cos D ，AB ＝7，所以AB 长度为7米． (2)小李的设计符合要求．理由如下： S △ABD ＝12AD ·BD sin D ， S △ABC ＝12AC ·BC sin C ，因为AD ·BD ＞AC ·BC ，所以S △ABD ＞S △ABC .故选择△ABC 建造环境标志费用较低．因为AD ＝BD ＝AB ＝7，所以△ABD 是等边三角形，∠D ＝60°， 故S △ABC ＝12AC ·BC sin C ＝103，所以，总造价为：5 000×103＝50 000 3.答：小李的设计使建造费最低，最低造价为50 0003元．18．解 (1)由题设图象知，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12－5π12＝π，所以ω＝2πT ＝2.因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0在函数图象上，所以A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋φ＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝0.又因为0＜φ＜π2，所以5π6＜5π6＋φ＜4π3. 从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6.又点(0,1)在函数图象上，所以A sin π6＝1，解得A ＝2. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π12＋π6－2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋π6 ＝2sin 2x －2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin 2x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin 2x ＋32cos 2x＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z . 所以函数g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z .19．解 (1)由题意得：f (x )＝sin 2x －3sin x cos x ＝1－cos 2x 2－32sin 2x ＝12－sin2x＋π6，所以g (x )＝－12－sin2x －π6.因为x ∈－π4，π6，所以2x －π6∈－2π3，π6. 所以当2x －π6＝－π2即x ＝－π6时， 函数g (x )在区间－π4，π6上的最大值为12.(2)由f(A)－g(A)＝32得：1－sin2A＋π6＋sin2A－π6＝32，化简得：cos 2A＝－1 2，又因为0＜A＜π2，所以A＝π3，由题意知：S△ABC＝12bc sin A＝23，解得bc＝8，又b＋c＝7，所以a2＝b2＋c2－2bc cos A ＝(b＋c)2－2bc(1＋cos A)＝49－2×8×（1＋12）＝25.故所求边a的长为5.。