运用二倍角公式解题的六技巧
初中二倍角解题思路
初中二倍角解题思路1. 什么是二倍角在初中数学中，我们学习了三角函数，其中包括正弦、余弦和正切等。
而二倍角是指一个角的两倍大小的角。
我们可以用一些公式来表示二倍角：•正弦的二倍角公式：sin (2θ)=2sinθcosθ •余弦的二倍角公式：cos (2θ)=cos 2θ−sin 2θ • 正切的二倍角公式：tan (2θ)=2tanθ1−tan 2θ 2. 解题思路当遇到需要计算二倍角的问题时，我们可以根据上述公式来求解。
下面将针对不同类型的题目给出解题思路。
2.1 已知一个角，求其二倍角的值如果已知一个角 θ 的值，要求计算其二倍角 2θ 的值，可以直接利用上述公式进行计算。
已知 θ=30∘，我们希望计算 2θ 的值。
根据正弦的二倍角公式：sin (2θ)=2sinθcosθ代入 θ=30∘：sin (60∘)=2sin30∘cos30∘我们知道 sin (60∘)=√32，sin30∘=12，cos30∘=√32代入上述值进行计算：√32=2⋅12⋅√32可以得到：√32=√322θ=60∘2.2 已知一个角的正弦或余弦值，求其二倍角的值如果已知一个角的正弦或余弦值，要求计算其二倍角的值，我们可以利用正弦和余弦的二倍角公式。
已知 sinθ=14，我们希望计算 sin (2θ) 的值。
根据正弦的二倍角公式：sin (2θ)=2sinθcosθ代入已知条件：sinθ=14可以得到：sin (2θ)=2⋅14cosθ我们还需要找到 θ 对应的余弦值。
可以利用三角函数中的关系来求解。
由于 sin 2θ+cos 2θ=1，我们可以用已知的 sinθ 的值来求解 cosθ 的值。
sin 2θ+cos 2θ=1(14)2+cos 2θ=1 116+cos 2θ=1 cos 2θ=1516 cosθ=±√154注意，由于已知的是正弦值为正数，所以 cosθ 的值也应该取正数。
代入已知条件：sin (2θ)=2⋅14⋅√154可以得到：sin (2θ)=√158 2.3 已知一个角的正切值，求其二倍角的值如果已知一个角的正切值，要求计算其二倍角的值，我们可以利用正切的二倍角公式。
人教版高中数学-活用二倍角公式
活用二倍角公式一、熟悉二倍角公式的各种变形.1.()222cos sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±2.()()1cos 2sin 21sin cos sin cos sin cos 2cos 2222-=-=+-=-=ααααααααα变形可得：（也称降幂公式）;22cos 1cos ,22cos 1sin22αααα+=-=（也称升幂公式）.sin 22cos 1,cos 22cos 122αααα=-=+3.ααα2tan 21tan 1tan 2=-等等. 例1 化简ααααcos sin 1cos sin 1++-+.解法一：1与αsin 组合；原式()()⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++-+=2sin 2cos2cos 2sin 2sin 2cos2cos 2sin cos sin 1cos sin 1222222αααααααααααα ＝2tan 2cos 22cos 2sin 2sin22cos 2sin ααααααα=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+.解法二：1与αcos 组合；原式＝()()2cos2sin22cos 22cos2sin 22sin 2sin cos 1sin cos 122αααααααααα++=+++- .2tan 2cos2sinααα==二、应用二倍角公式的引申结论;2tan 2cos2sin2cos 22cos2sin2cos 1sin 2αααααααα===+同理可得：,2tan sin cos 1ααα=-.2tan cos 1sin ,2cot sin cos 1αααααα=-=+例3 求证：.2tan 24tan 4tan απαπα=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛+解法一：两边角是倍的关系，而且2214ππ⨯=. 证：左边＝ααααπαπαπαπα2cos 2sin 12cos 2sin 2122sin 22cos 1222tan 222tan--++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-++ ＝.2tan 2cos 2sin 2ααα= 即证.解法二.由两角和差公式的变形：()()βαβαβαtan tan 1tan tan tan -+=+. 证：左边＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛+4tan 4tan 14tan 4tan παπαπαπα ＝.2tan 2tan 11tan 12tan tan 11tan tan 1tan 112tan 22ααααααααα=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎭⎫⎝⎛+-⋅-+- 即证. 三、适时引用代数运算由于三角运算中符号多，形式复杂，如果所涉三角函数名较集中，可以引入代数符号，起到简化运算的效果. 例4 化简：⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-2tan tan 12tan2cotαααα. 解法一.角是倍角关系或看成半角关系，函数名集中在正切，所以不妨应用上例的方法. 解：原式＝αααααααααααcos 1sin cos 2sin cos 1cos sin 1sin cos 1sin cos 1⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+⎪⎭⎫⎝⎛--+ .csc 2sin 2αα==解法二.函数名集中在2tanα，不妨将αtan 化为2tanα.解：令.2tan t =α原式2tan 22tan 122tan 2tan 1112112222αααα⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t t t t t t ααcsc 2sin 2==.。
初中二倍角解题思路
初中二倍角解题思路二倍角是初中数学中一个重要的概念，它在三角函数、三角恒等式的推导以及解方程等方面起到关键作用。
在解题过程中，我们经常会遇到需要计算二倍角的情况。
本文将详细介绍初中二倍角的解题思路，以帮助同学们更好地理解和应用这一概念。
一、什么是二倍角？二倍角指的是一个角的角度大小是另一个角度大小的两倍。
通常用数学符号来表示，即θ的二倍角为2θ。
二、如何计算二倍角？ 1. 根据角度的定义，我们知道一个圆的周角是360度或2π弧度。
所以要计算一个角的二倍角，我们可以直接将该角度大小乘以2，即得到二倍角的大小。
例如，一个角的度数为30°，那么它的二倍角就是30°×2=60°。
2.除了直接乘以2以外，还可以通过三角函数来计算二倍角。
根据三角函数的定义，对于任意一个角θ，其余弦函数的二倍角公式为cos2θ =cos^2θ - sin^2θ 正弦函数的二倍角公式为sin2θ = 2sinθcosθ 切线函数的二倍角公式为tan2θ = 2tanθ / (1 - tan^2θ)通过以上三角函数的公式，我们可以将角度大小代入，计算出二倍角的数值。
三、如何应用二倍角解题？在初中数学中，我们常常会遇到需要计算二倍角的题目，并将其运用到各种求解过程中。
1.应用二倍角公式进行等式推导和恒等式的证明。
根据三角函数的二倍角公式，我们可以在等式的两边同时乘以或除以二倍角，然后将角度大小代入，最终得到新的等式。
例如，要证明等式cos2θ = 1 - 2sin^2θ，我们可以根据三角函数的二倍角公式cos2θ = cos^2θ - sin2θ，将角度大小θ代入，得到cos2θ=1-2sin2θ。
2.将角度转化为二倍角来简化计算。
在求解三角函数值或解方程等问题时，有时我们可以将给定的角度转化为二倍角来简化计算。
例如，已知sinθ=1/2，要求sin2θ的值。
我们可以利用sin2θ = 2sinθcosθ的公式，将已知条件sinθ=1/2代入，得到sin2θ = 2 × (1/2) × cosθ =cosθ。
第16讲二倍角公式及其应用
一、基础知识考点1二倍角的正弦、余弦和正切公式二倍角的正弦公式： αα=αcos sin 22sin二倍角的余弦公式：α-α=α22sin cos 2cos1cos 22cos 2-α=α α-=α2sin 212cos二倍角的正切公式： α-α=α2tan 1tan 22tan考点2二倍角正弦、余弦和正切公式的应用三角函数式变形的过程就是分析矛盾、发现差异，进而消除差异的过程．在这一过程中须仔细观察到式子中各项的角、函数名称及运算式子的差异，找出角的倍、半关系，从中找到解题的突破口．对于角与角之间的关系，要充分应用角的恒等变换，以整体角来处理和解决有关问题，这样可以避免一些较复杂的计算，如：α2是α的倍角，而α是2α的倍角等． 在应用过程中要能灵活运用公式，并注意总结公式的应用经验，对一些公式不仅会正用，还要会逆用、变形用．例如θθ=θsin 22sin cos ，)2cos 1(21sin 2θ-=θ等等．二、例题精析【例题1】（1）求值=-10cos 310sin 1（ ） （2）求值=π⋅π12cos 12sin （ ） （3）求值 =︒⋅︒72cos 36cos （ ） （4）求值=-︒115cos 22（ ）A ．2B ．41C ．23D ．4【例题２】计算：︒⋅︒︒⋅︒80cos 60cos 40cos 20cos ．【例题３】化简：1cos 2cos sin 2sin +θ+θθ+θ．【例题４】（1）已知215sin -=x ，则=π-)4(2sin x ．（2）已知103cos sin =x x ，则=+π-π)4sin()4sin(4x x ．【例题５】 已知21tan -=x ，求x 2sin ，x 2cos ．三、课堂运用【基础】1. （1）求值=-π18cos 22（ ） （2）求值=π-π8cos 8sin 22（ ） （3）求值 =︒⋅︒5.22cos 5.22sin 2（ ） （4）求值=-π112cos 22（ ） A ．22- B ．23 C ．22 D ．21【巩固】2. 计算：94cos 93cos 92cos 9cos π⋅π⋅π⋅π．3. 若312tan =x ，则=+2cos 1sin x x ． A ．3 B ．31 C ．3- D ．31-【拔高】4. 若31cos -=α，)23,(ππ∈α，求α2sin ，α2cos ．四、课程小结1. 注意公式推导过程中角的变换及与公式的关系；2．注意公式的结构特点准确记忆，并注意条件角作为单角应用；3．注意公式应用中角的范围与三角函数值符号确定方法；4．注意公式逆向应用及其特点．5．证明三角恒等式通常从复杂端化向简单端；化倍角为单角；注意对数字的处理，尤其“1”的代换的妙用．五、课后作业【基础】1. 不查表，求值=+ 15cos 15sin ( )A. 32B. 23C. 26D. 232. 若332sin =α，则=αcos ( ) A. 32- B. 31- C. 32 D. 313. 下列各式中,值为23的是( ) A 2sin15°cos15° B cos 215°－sin 215°C 2sin 215°－1D sin 215°＋cos 24. 已知322cos =α，则=α-α44cos sin （ ） A. 32 B. 32- C. 1811 D. 92-5. 已知53cos =θ，则=θ+θ2sin 2cos （ ） A. 259 B. 2518 C. 2523 D. 2534【巩固】 6. =ππ52cos 5cosA. 21B. 31 C. 41 D. 27. 求︒︒︒︒70sin 50sin 30sin 10sin 的值．8. 证明θ=θ+θ+θ-θ+tan 2cos 2sin 12cos 2sin 1． 9. 已知21cos sin cos sin =α-αα+α ，求α2tan ． 10. 等腰三角形底角的正弦是54，则顶角的余弦是______．【拔高】11. 已知α2sin =135，4π<α<2π，求α4sin ，α4cos ，α4tan 的值． 12. 已知2cos 3)2(cos +=x x f ，则=π)8(sin f _________．。
微专题28 利用二倍角公式升、降幂的绝招(解析版)
微专题28 利用二倍角公式升、降幂的绝招【方法技巧与总结】1、二倍角的正弦、余弦、正切公式sin22sin cos ααα=⋅2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-222tan tan 2()1tan T αααα=-2、升幂公式：21cos22cos αα+=，21cos22sin αα-=3、降幂公式：21cos2cos 2αα+=，21cos2sin 2αα-= 【题型归纳目录】题型一：利用二倍角公式求值 题型二：利用二倍角化简、求值题型三：利用二倍角的升降幂进行化简、求值 题型四：二倍角的综合运用 【典型例题】题型一：利用二倍角公式求值 例1．求下列各式的值： （1）sin15cos15︒︒； （2）22cos sin 88ππ-；（3）2tan 22.5122.5tan ︒-︒；（4）22cos 22.51︒-．【解析】解：（1）11sin15cos15sin3024︒︒=︒=；（2）222cos sin cos8842πππ-==； （3）2tan 22.511tan 45122.522tan ︒=︒=-︒； （4）222cos 22.51cos452︒-=︒=． 例2．求下列各式的值：（1）2sin75cos75︒︒； （2）22sin cos 1212ππ-；（3）22cos 18π-；（4）212sin 6730'-︒； （5）22tan 22.5122.5tan ︒-︒；（6）sin15sin75︒︒； （7）22cos 1501︒-；（8）252tan125112tan ππ-． 【解析】解：（1）12sin 75cos75sin150sin302︒︒=︒=︒=； （2）22223sin cos (cos sin )cos121212126πππππ-=--=-= （3）222cos 1cos842ππ-==； （4）2212sin 6730cos135cos45'-︒=︒=-︒= （5）22tan 22.5tan 451122.5tan ︒=︒=-︒； （6）111sin15sin 752sin15cos15sin30224︒︒=⨯︒︒=︒=；（7）212cos 1501cos300cos602︒-=︒=︒=； （8）252tan5312tan tan 566112tan ππππ==-=-． 例3．求下列各式的值： （1）5555(sincos )(sin cos )12121212ππππ+-22（3）111tan 1tan αα--+ （4）212cos cos2θθ+- 【解析】解：（1）5555(sin cos )(sin cos )12121212ππππ+- 2255sin cos 1212ππ=- 5cos6π=- cos6π=3=； （2）44cos sin 22αα-2222(cos sin )(cos sin )2222αααα=+-22cos sin 22αα=-cos α=；（3）111tan 1tan αα--+ (1tan )(1tan )(1tan )(1tan )αααα+--=-+22tan 1tan αα=-tan2α=；（4）212cos cos2θθ+-2212cos (2cos 1)θθ=+--2=．变式1．求下列各式的值： （1）2sin15cos15︒︒； （2）22cos 22.5sin 22.5︒-︒； （3）212sin 15-︒； （4）22cos 301︒-；88（6）22tan 75175tan ︒-︒．【解析】解：（1）12sin15cos15sin302︒︒=︒=； （2）22cos 22.5sin 22.5︒-︒；2cos 45=︒= （3）2312sin 15cos30-︒=︒； （4）212cos 301cos602︒-=︒=； （5）22sin cossin884πππ==（6）22tan 753tan150tan30175tan ︒=︒=-︒=-︒． 变式2．求下列各式的值：（1）3sinsin88ππ； （2）22cos 15cos 75︒-︒； （3）252cos 112π-； （4）2tan 30130tan ︒-︒． 【解析】解：（1）312sinsinsin cos sin 888824πππππ===（2）22223cos 15cos 75cos 15sin 15cos30︒-︒=︒-︒=︒ （3）25532cos 1cos cos 1266πππ-==-=． （4）22tan3012tan3013tan 6013021tan 302tan ︒︒=⋅=︒=-︒-︒． 题型二：利用二倍角化简、求值例4．已知1sin()3cos 33παα+=，则sin(2)6πα-的值是( )A ．13B ．13-C ．79 D ．79-【解析】解：已知113sin()3sin 3sin()3323ππαααααα+==+=-，则222sin(2)cos[(2)]cos(2)cos(2)12sin ()626333ππππππααααα-=--=-=-=--171299=-⨯=，故选：C ．例5．已知1sin()cos 63παα-=+，则cos(2)(3πα+= )A ．79-B ．43C 43D ．79【解析】解：1sin()cos 63παα-=+，整理得131cos 23αα+=-，即1sin()63πα+=-，故27cos(2)12sin ()369ππαα+=-+=．故选：D ．例6．已知3cos(13)4α︒+=-，则sin(642)α-︒+的值为( )A ．18-B ．18C ．316-D ．1532【解析】解：3cos(13)4α︒+=-，则sin(642)α-︒+21cos[90(642)]cos(262)2cos (13)18ααα=-︒+-︒+=-︒+=-︒++=-，故选：A ．变式3．已知3sin()45x π-=，则cos(2)2x π-的值为( )A ．1925B ．1625C ．1425D ．725【解析】解：因为3sin()45x π-=，所以2237cos(2)cos[2()]12()12()244525x x sin x πππ-=-=--=-⨯=．故选：D ．变式4．若[4πθ∈，]2π，1cos28θ=-则sin (θ= )A ．35B ．34C 7D ．45【解析】解：21cos212sin 8θθ=-=-，29sin 16θ∴=， [4πθ∈，]2π，93sin 164θ∴=， 故选：B ．变式5．已知tan 2α=，则cos(2)4πα+的值为 72 ．【解析】解：tan 2α=，则222222222cos sin 2sin cos cos(2)2()4cos sin cos sin πααααααααααα-+=-++22221tan 2tan 214472()()1tan 1tan 2141410αααα--=-=-=-++++， 故答案为：7210-． 变式6．已知tan 2α=，则22sin 22cos 2sin 4ααα-=112． 【解析】解：tan 2α=，22tan 4sin 215tan ααα∴==+，2213cos215tan tan ααα-==-+，24sin 42sin 2cos225ααα==-， ∴222243()2()sin 22cos 215524sin 41225ααα-⨯--==-． 故答案为：112． 变式7．已知θ为锐角，3cos(15)5θ+︒=，则cos(215)θ-︒= 17250 ．【解析】解：θ为锐角，32cos(15)5θ+︒=<，15(45,60)θ∴+︒∈︒︒，230120θ∴+︒<︒． 由二倍角公式可得27cos(230)2cos (15)125θθ+︒=+︒-=-， 224sin(230)1cos (230)25θθ∴+︒=-+︒=． cos(215)cos(23045)cos(230)cos45sin(230)sin 45θθθθ∴-︒=+︒-︒=+︒︒++︒︒ 7224217225225250=-+=，172变式8．（1）已知角α的终边经过点(4,3)P -，求2sin cos tan ααα++（2）已知a 为第二象限的角，3sin 5a =，求tan2α 【解析】解：（1）α的终边经过点(4,3)P -，则3sin 5α=-，cos 45α=，3tan 4α=-，2sin ∴23cos tan 20ααα++=-（2）a 为第二象限的角，3sin 5a =， cos ∴45α=-，3tan 4α∴=-，24tan 27α∴=-题型三：利用二倍角的升降幂进行化简、求值例7．21sin822cos8-+( ) A ．2sin44cos4- B ．2sin44cos4--C ．2sin 4-D ．4cos42sin4-【解析】解：544ππ<<，sin4cos40∴<<， 221sin82(sin4cos4)2|sin4cos4|2cos42sin4∴-=-=-=-，222cos84cos 42cos 4+=-， 21sin822cos82sin 4∴-+=-．故选：C ． 例8．若42ππθ<<1sin 21sin 2θθ+-( )A ．2sin θB ．2sin θ-C ．2cos θD ．2cos θ-【解析】解：若42ππθ<<，则sin cos 0θθ>>，∴221sin21sin2(sin cos )(sin cos )|sin cos ||sin cos |θθθθθθθθθθ+-+-+--(sin cos )(sin cos )2cos θθθθθ=+--=，故选：C ．例9．已知53[,]42ππθ∈1sin 21sin 2θθ-+( ) A ．2sin θB ．2sin θ-C ．2cos θ-D ．2cos θ【解析】解：因为53[,]42ππθ∈，sin cos θθ∴<，且sin cos 0θθ+<． 1sin 21sin 2|cos sin ||cos sin |2cos θθθθθθθ-+=--+=， 故选：D ．变式9．sin10sin30sin50sin70︒︒︒︒的值为( )A ．12B ．14 C ．18D ．116【解析】解：原式12sin10cos10cos20cos40sin80122cos1016cos1016︒︒︒︒︒===︒︒故选：D ．变式10．若270360a ︒<<︒1111cos 22222a ++= cos 2a- ． 【解析】解：270360a ︒<<︒，∴1351802a︒<<︒， 1111111cos 2(1cos 2)2222222a a ++++2111112cos 22222cos a a =+=+21(1cos )|cos |cos 2222a a a a cos =+===-． 故答案为：cos 2a -．变式111cos1001cos100(+︒-︒= ) A ．2sin5-︒B ．2sin5︒C ．2cos5-︒D ．2cos5︒1cos1001cos100+︒-︒2212501112sin 50cos =+︒--+︒22=︒-︒2cos(4550)=︒+︒ 2sin5=-︒．故选：A ．变式12．若2παπ-<<-1cos 1cos 22αα-+得( ) A ．2)24απ-+ B 2sin()24απ+C ．2sin()24απ-- D 2)24απ-【解析】解：2παπ-<<-， 22αππ∴-<<-，∴1cos 1cos 22αα-+ sincos22αα=-+32sin()24απ=+32()]24αππ=-+2sin()24απ=--． 故选：C ． 变式13sin 401cos8012sin 20cos 20sin10︒+︒-︒︒+︒( )A ．12B 2C 2D ．2【解析】解：原式22sin 401(2401)sin 402cos402sin802cos10(sin10cos10)sin10cos ︒⨯+︒-︒⨯︒︒===︒︒-︒+︒． 故选：B ．变式14．sin6cos24sin78cos48︒⋅︒⋅︒⋅︒的值为( )A ．116B ．116-C ．132 D ．18【解析】解：sin6cos24sin78cos48︒⋅︒⋅︒⋅︒ sin6sin(9012)cos24cos48=︒⋅︒-︒⋅︒⋅︒ sin6cos12cos24cos48=︒︒︒︒442cos6sin 6cos12cos24cos482cos6︒︒︒︒︒=︒ 342sin12cos12cos24cos482cos6︒︒︒︒=︒ 242sin 24cos24cos482cos6︒︒︒=︒442sin 48cos48sin96sin(906)cos612cos62cos616cos616cos616︒︒︒︒+︒︒=====︒︒︒︒． 故选：A ． 变式15．2212sin 20cos 202cos 101cos 1601-︒︒=︒--︒- 1 ．222(cos 20sin 20)12sin 20cos 20cos 20sin 201cos 20sin 202cos 101cos 1601︒-︒-︒︒︒-︒===︒-︒︒--︒-． 故答案为：1． 题型四：二倍角的综合运用例10．设(0,)απ∈，1sin cos 3αα+=，则22cos sin αα-的值是( )A 17B ．22C ．17D 17或17【解析】解：1sin cos 3αα+=，112sin cos 9αα∴+=，82sin cos 9αα∴=-， (0,)απ∈，sin 0α∴>，cos 0α<，217cos sin (cos sin )12cos sin αααααα∴-=---= 2217117cos sin (cos sin )(cos sin )3αααααα∴-=-+==． 故选：C ．例11．若1sin cos 3αα+=，0απ<<，则sin 2cos2(αα+= )A 817+B 817-± C 817-+ D 817-- 【解析】解：因为1sin cos 3αα+=①，所以112sin cos 9αα+=，即82sin cos sin 29ααα==-， 所以21712sin cos (sin cos )9αααα-=-=， 因为sin cos 0αα<且0απ<<， 所以sin 0α>，cos 0α<， 故17sin cos αα-=②， ①⨯②可得，2217cos 2cos sin ααα-==所以817817sin 2cos29αα--+=-． 故选：D ．例12．函数2()sin 3cos f x x x x =+在区间[,]42ππ上的最大值是( )A ．1B 13+C ．32D ．13+【解析】解：由1cos231()2sin(2)226x f x x x π-==+-， 5242366xx πππππ⇒-，∴13()122max f x =+=． 故选：C ．变式16．已知函数2()(2cos 1)sin 2xf x x =-，则函数()f x 的最小正周期和最大值分别为( )A ．π和1B ．π和12C ．2π和1D ．2π和12【解析】解：函数21()(2cos 1)sin cos sin sin 222x f x x x x x =-==， 故它的最小正周期为22ππ=；它的最大值为12， 故选：B ．变式17．当x θ=时，函数2()2sin 4cos 2xf x x =+-取得最大值，则cos θ= 25 ．【解析】解：2()2sin 4cos sin 2cos 5sin()2xf x x x x x ϕ=+-=-=-， 且25sin ϕ5cos ϕ 又当x θ=时函数取得最大值， 则22k πθϕπ-=+，可得22k πθπϕ=++，则25cos cos(2)sin 2k πθπϕϕ=++=-= 故正确答案为：25．变式18．已知函数()cos (3cos )(0)f x x x x ωωωω=->的两条对称轴之间的最小距离为2π． （1）求函数()f x 的最大值； （2）若3()10f α=，(0,)3πα∈，求cos2α的值．【解析】解：（Ⅰ）由三角函数公式化简可得2()3cos cos f x x x x ωωω=- 31cos212sin(2)262x x x ωπωω+=-=--， 函数()f x 图象两条对称轴之间的最小距离为2π， ∴周期2222T ππω==⨯，解得1ω=， 1()sin(2)62f x x π∴=--，()f x ∴的最大值为11122-=； （2）因为314()sin(2)sin(2)106265f ππααα==--⇒-=， (0,)3πα∈，2(66ππα∴-∈-，)2π；3cos(2)65πα∴-=．cos2cos[(2)]66ππαα∴=-+cos(2)cos sin(2)sin 6666ππππαα=---3341552=⨯ 334-=变式19．已知tan α，tan β是一元二次方程的2420x x --=两根，且0βαπ<<<，求tan2αβ+的值．【解析】解：由已知得tan tan 4αβ+=，tan tan 2αβ=-， tan tan 44tan()1tan tan 123αβαβαβ++===-+，22tan42tan()312tan αβαβαβ++==+-，23tan22tan 22αβαβ++∴=-， 即22tan 3tan2022αβαβ+++-=，则1tan22αβ+=或2-， 0βαπ<<<，tan tan 40αβ+=>，tan tan 20αβ=-<，tan α∴与tan β异号，则tan 0α>，tan 0β<，且|tan ||tan |βα>， 02πβ∴<<，2παπ<<，则322ππαβ<+<，3424παβπ+<<， 则tan 22αβ+=-．【过关测试】1．已知3cos25θ=，则44sin cos θθ+的值为( )A ．925B ．1625C ．1725D ．4150【解析】解：3cos25θ=， 4422222sin cos (sin cos )2sin cos θθθθθθ∴+=+- 2211121(12)22sin cos θθ=-=--213171[1()]2525=--=． 故选：C ．2．已知3cos25α=，则44sin cos αα-的值为( )A ．35-B ．15-C ．15D ．35【解析】解：3cos25α=， 223cos2cos sin 5ααα∴=-=，442222223sin cos (cos sin )(cos sin )(cos sin )5αααααααα∴-=-+-=--=-，故选：A ． 3．已知1tan 4tan θθ+=，则44sin cos (θθ+= ) A ．38B ．12C ．34D ．78【解析】解：由221sin cos sin cos 1tan 4tan cos sin sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθ++=+===，得1sin cos 4θθ=， 4422222sin cos (sin cos )2sin cos θθθθθθ∴+=+- 1712168=-⨯=． 故选：D ．4．若[,]42ππθ∈，37sin 2θ=sin (θ )A ．23B 3C 7D ．34【解析】解：因为[,]42ππθ∈，所以2[,]2πθπ∈，所以cos20θ<，所以，21cos21sin 28θθ=--=-．又21cos212sin 8θθ=-=-，所以29sin 16θ=．再由[,]42ππθ∈，得sin 0θ>，所以3sin 4θ=．故选：D ．5．已知角α满足1sin()43πα+=，则sin cos αα+=2，sin 2α= ． 【解析】解：角α满足1sin()43πα+=，则21cos )23αα+=，则2sin cos 3αα+=． 所以22(sin cos )9αα+=，整理得27sin 2199α=-=-．279- 6．函数111cos24cos 22y x x =-+的值域为 [2，10] ．【解析】解：2111cos24cos (cos 2)122y x x x =-+=-+，设cos x t =，所以函数2()(2)1f t t =-+该函数在(,2)-∞上单调递减， 当cos 1x =-时函数取得最大值为10，当cos 1x =时，函数取得最小值为2． 故函数的值域为[2，10]． 故答案为：[2，10]．7．（1）已知角α的终边经过点(4,3)P -，求2sin cos tan ααα++ （2）已知a 为第二象限的角，3sin 5a =，求tan2α 【解析】解：（1）α的终边经过点(4,3)P -， 则3sin 5α=-，cos 45α=，3tan 4α=-，2sin ∴23cos tan 20ααα++=-（2）a 为第二象限的角，3sin 5a =， cos ∴45α=-，3tan 4α∴=-，24tan 27α∴=-8．（1）已知445sin cos 9θθ+=．求sin 2θ的值； （2）已知3cos25θ=，求44sin cos θθ+的值．【解析】解：已知445sin cos 9θθ+=．所以222225(sin cos )2sin cos 9θθθθ+-=，整理得2511(2sin cos )92θθ-=， 所以214(sin 2)29θ=，故：22sin 2θ=（2）已知3cos25θ=，所以4sin 25θ=±，44sin cos θθ+的2222211617(sin cos )2sin cos 122525θθθθ=+-=-⨯=． 9．（1）已知3cos 5θ=-，32ππθ<<，求2(sin cos )22θθ-的值；（2）已知1sincos225αα-=，求sin α的值； （3）已知445sin cos 9θθ+=，求sin 2θ的值； （4）已知3cos25θ=，求44sin cos θθ+的值．【解析】解：（1）由3cos 5θ=-，32ππθ<<，得24sin 1cos 5θθ=--=-，所以22249(sincos )sin 2sin cos cos 1sin 122222255θθθθθθθ-=-+=-=+=； （2）由1sin cos225αα-=， 所以2221(sincos )sin 2sin cos cos 1sin 22222225ααααααα-=-+=-=， 解得24sin 25α=； （3）由445sin cos 9θθ+=， 得2224422251(sin cos )sin cos 2sin cos sin 2192θθθθθθθ+=++=+=， 解得28sin 29θ=，则22sin 2θ=（4）由3cos25θ=，得：4422222sin cos (sin cos )2sin cos θθθθθθ+=+- 211sin 22θ=-211(1cos 2)2θ=--21131()225=-+⨯ 1725=． 10．已知324ππα<<，110tan tan 3αα+=-． （1）求3tan()4απ+的值；（2）求225sin 8sincos11cos 822223sin()2ααααπα++--的值．【解析】解：由110tan tan 3αα+=-，得23tan 10tan 30αα++=， 解得：tan 3α=-或1tan 3α=-．324ππα<<，1tan 3α∴=-， （1）131tan tan 334tan()23141tan tan 1()(1)43απαπαπ--++===----⨯-； （2）225sin 8sincos11cos 822223sin()2ααααπα++--41cos 1cos 354sin 1184sin 3cos 4tan 353223cos 3cos 339αααααααα-+-+⋅++⋅-++=====-----．11．已知4tan 2,223θπθπ=<<（1）求tan θ的值；（2）求22cos sin 12sin()cos θθπθθ---+的值． 【解析】解：（1）22tan 4tan 21tan 3θθθ==-，∴122tan tan θθ=-=或， 2πθπ<<，∴2πθπ<<，tan 2θ∴=-．（2）22cos sin 1cos sin 1tan 23sin()cos sin cos tan 1θθθθθπθθθθθ----===--+++． 12．已知sin 3cos 022x x-=（1）求tan x 的值； （2）求cos 22cos()sin 4x x x π+的值．【解析】解：（1）由sin 3cos 022x x -=，可得tan 32x =，∴22tan632tan 1941tan 2xx x ===---． （2）原式22cos sin 111sin tan 3222(cos sin )sin 22x x x x x x x +===+=--．13．不用计算器，求值：tan10tan20tan30tan40tan50tan60tan70tan80︒︒︒︒︒︒︒︒．【解析】解：tan cot(90)αα=︒-．∴原式cot80cot70cot60cot50tan50tan60tan70tan80=︒︒︒︒︒︒︒︒1=．故答案为：1．。
运用二倍角公式解题的六技巧
运用二倍角公式解题的六技巧(总3页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除运用二倍角公式解题的五技巧二倍角公式变化多姿，在求值以及恒等变换中应用很广。
若熟练掌握二倍角公式以及变通公式并能灵活运用，则往往能出奇制胜，获得新颖别致的解法。
一、二倍角公式的直接运用例1 若1sin cos 3αα+=，0απ<<，求sin 2cos2αα+的值。
分析：由条件式两边平方，可求得sin 2α的值。
注意到22cos 2cos sin ααα=-(cos sin )(cos sin )αααα=+-，还需求cos sin αα-的值，于是先求22(cos sin )(sin cos )4sin cos αααααα-=+-的值，然后开方，从而要进一步界定α的范围。
解：由1sin cos 3αα+=两边平方得112sin cos 9αα+=，所以4sin cos 9αα=-。
又0απ<<，所以sin 0α>，cos 0α<，所以α为钝角。
所以8sin 22sin cos 9ααα==-，cos sin αα-===，所以22cos 2cos sin ααα=-(cos sin )(cos sin )αααα=+-1(339=⨯-=-，从而sin 2cos 2αα+=。
点评：挖掘隐含得到α为钝角是解题的一个重要环节。
注意导出公式21sin 2(sin cos )ααα±=±。
二、二倍角公式的逆用例2 求tancot 88ππ-的值。
解：tan cot 88ππ-sin cos 88cos sin 88ππππ=-22sin cos 88cos sin 88ππππ-=cos 41sin 24ππ-=2cot 24π=-=-。
点评：本题通分后逆用正弦与余弦的二倍角公式，从而转化为特殊角函数的求值问题。
数学--谈构造二倍角公式解题
构造公式得佳解谈构造二倍角公式解题利用已知条件，通过构造二倍角公式解题，思路自然，方法简捷.一、添分母凑公式例1．求值.70sin 50sin 30sin 10sin解法1：原式70cos 270cos 70sin 250cos 250cos 50sin 210cos 210cos 10sin 221⋅⋅⋅=70cos 140sin 50cos 100sin 10cos 20sin 161⋅⋅⋅=70cos 50cos 10cos 50cos 10cos 70cos 161⋅= .161=解法2：原式 80cos 40cos 20cos 21⋅=20sin 280cos 40cos 20cos 20sin 221⋅=20sin 280cos 40cos 40sin 21⋅=20sin 80cos 80sin 81⋅=20sin 160sin 161⋅= .161= 点评：利用二倍角公式，适当添分母，或构造对偶式可巧求三角函数值.二、构造对偶式例2．求)34(cos )32(cos cos 222παπαα++++的值. 解：设)34(cos )32(cos cos 222παπαα++++=x ， )34(sin )32(sin sin 222παπαα++++=y ， 则有 )34(sin )32(sin sin )34(cos )32(cos cos 222222παπααπαπαα+++++++++=+y x3=， （1） 又)382cos()342cos(2cos παπαα++++=-y x ααααα2sin 232cos )21(2sin 232cos )21(2cos --++-+= .0= （2）由（1）、（2）解得.23==b a 于是，得.23)34(cos )32(cos cos 222=++++παπαα 例3．同例1. 解：设70sin 50sin 30sin 10sin =m ，.70cos 50cos 30cos 10cos =n则 70cos 70sin 50cos 50sin 30cos 30sin 10cos 10sin =mn 140sin 100sin 60sin 20sin 214=70cos 50cos 30cos 10cos 161= .61n = 0≠n ，161=∴m ，即.16170sin 50sin 30sin 10sin = 点评：构造对偶式，通过解方程求出所要求的函数值.三、施行换元法例3．（1990年全国卷改编）已知41sin sin =+βα，31cos cos =+βα，求)tan(βα+的值.解：令B A B A -=+=βα,，代入已知，展开整理，41cos sin 2=B A ，.43tan 31cos cos 2=⇒=A B A 于是，.724)43(1432tan 1tan 22tan )tan(22=-⨯=-==+A A A βα 点评：通过和差换元，给利用二倍角公式创造了条件.跟踪练习：1．下列四项中值为12的是（ ） （A ）sin15cos15 （B ）22cos112π- （C ）2tan 22.51tan 22.5-（D2．求值：2(sin 54sin18).sin18sin 54-3．βα,为锐角, 且02sin 22sin 3,1sin 2sin 322=-=+βαβα, 求证：.22πβα=+4．（2005年全国卷Ⅰ）当20π<<x 时，函数x x x x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（ ）（A ）2 （B ）32 （C ）4 （D ）332 答案与提示：1．11sin15cos15sin 3024==；22cos 1cos 126ππ-==； 2tan 22.511tan 451tan 22.522==-，故选（C ） 2．提示：令54,18αβαβ+=-=，则36,18αβ==则2(sin 54sin18)2[sin()sin()]sin18sin 54sin18sin 54αβαβ-+--== 4cos sin sin18sin 54αβ=4cos36sin18 4.sin18cos36== 3． ,sin 3sin 212cos 22αββ=-=又ααβcos sin 32sin =，所以βαβαβα2sin sin 2cos cos )2cos(-=+.0cos sin 3sin sin 3cos 2=⋅-⋅=ααααα （1）4．提示：xx x x x x x x x x x f cos sin 2sin 8sin cos cos sin 2sin sin 82cos 1)(222222+-++=++= .44)tan 1tan 2(tan 1tan 4cos sin cos sin 4222≥+-=+=+=xx x x x x x x 当且仅当21tan =x 上式取等号，故函数)(x f 的最小值为4，选.C 又βα,为锐角, 所以，πβα2320<+<， （2） 根据（1）、（2）得.22πβα=+。
二倍角在相似中的应用
DB KC a b-a 1 1 1 = Þ = Þ = + BT CA c a a b c TA TD b+c c 1 1 1 = Þ = Þ = + AK DB b 【平行线段】AK∥BD Þ 【法七系 上翻+二倍角．等腰法】
【法 18】 【对称角法与等腰法】DB=BE=EA=AC=b，AD=b+c △ABC∽△DAE Þ
220.【
】 【二倍角边长公式】△ABC，∠C =2∠B，求证：AB2=AC2+AC × BC
AD AC AC 2 Þ AD= = AC AB AB
【简释】 【美人鱼相似】 【平方差=2 倍角邻边积】 【法 1】 【二倍角．角分线法】△ADC∽△ACB，
DC AC AC × BC AC 2 AC Þ BD=DC= = ， + .BC=AB Þ AB2=AC2+AC × BC BC AB AB AB AB
【法 2】 【九天揽月】 【对称角法与角分线定理】
【法 3】 （同法 2 图） 【对称角法】△EKA∽△EAD Þ 【法 4】 【对称角与等腰梯形】FC∥AB Þ
FC EF a b-a 1 1 1 = Þ = Þ = + AB EA c b a b c
【法二系 上翻 两等腰】 【法 5】 【对称角法】△CED∽△CAB Þ 【法 6】 【对称角法】蓝黄△∽ Þ
AB DA c b+c 1 1 1 = Þ = Þ = + BC AE a b a b c
第5卷
相似及其相关问题
【法九系 二倍角．角分线法】 【法 19、法 20】 【角分线对称法】△CBM ∽△CAB Þ 【法 21、法 22】 【对称法与双等腰】蓝黄△∽ Þ
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运用二倍角公式解题的五技巧 二倍角公式变化多姿，在求值以及恒等变换中应用很广。
若熟练掌握二倍角公式以及变通公式并能灵活运用，则往往能出奇制胜，获得新颖别致的解法。
一、二倍角公式的直接运用
例1 若1
sin cos 3
αα+=，0απ<<，求sin 2cos2αα+的值。
分析：由条件式两边平方，可求得sin 2α的值。
注意到22
cos 2cos sin ααα=- (cos sin )(cos sin )αααα=+-，还需求cos sin αα-的值，于是先求
22(cos sin )(sin cos )4sin cos αααααα-=+-的值，
然后开方，从而要进一步界定α的范围。
解：由1
sin cos 3
αα+=
两边平方得112sin cos 9αα+=，所以4sin cos 9αα=-。
又
0απ<<，
所以sin 0α>，cos 0α<，所以α为钝角。
所以8
sin 22sin cos 9
ααα==-，
cos sin αα-=
==，所以22cos 2cos sin ααα=-(cos sin )(cos sin )αααα=+
-1(339
=⨯-
=-，从
而sin 2cos 2αα+=。
点评：挖掘隐含得到α为钝角是解题的一个重要环节。
注意导出公式21sin 2(sin cos )ααα±=±。
二、二倍角公式的逆用 例2 求tan
cot
8
8
π
π
-的值。
解：tan
cot
8
8
π
π
-sin cos 88cos
sin
8
8
πππ
π
=-2
2sin cos 8
8cos
sin
88
π
π
ππ
-=
cos
41sin 24
π
π-=
2cot 24π=-=-。
点评：本题通分后逆用正弦与余弦的二倍角公式，从而转化为特殊角函数的求值问题。
三、二倍角公式的连用
例3 求cos12cos 24cos 48cos96的值．
分析：24212=⨯，48224=⨯，96248=⨯，联想二倍角的正弦公式αααcos sin 22sin =，若逐步逆用将是一条通途．
解：cos12cos 24cos 48cos96sin12cos12cos 24
cos 48cos96
sin12
=
sin19216sin12=
sin121
16sin1216
-==-。
点评：对形如αααα1
2cos 4cos 2cos cos -n 的求值问题可考虑此法．若逆用诱导公式ααπcos )2sin(=±可知74cos 72cos 7cos πππ14
5sin 143sin 14sin π
ππ-=，即对于正弦之
积或正弦余弦混合积的求值问题先利用诱导公式转化为余弦之积的形式利用此法求解． 四、整体配对使用二倍角公式
例4．求值：
78sin 66sin 42sin 6sin
分析：本题可按例２的点评部分所说的方法处理，这里介绍整体构造法．
解：设 78sin 66sin 42sin 6sin =A ，构造
78cos 66cos 42cos 6cos =B 则 156sin 132sin 84sin 12sin 161=
AB 66cos 42cos 6cos 78cos 16
1
= B 161=，因为0≠B ，所以16
1
=A ， 即16178sin 66sin 42sin 6sin = ．
点评：将已知式视为一个整体，然后构造一个与之对称的对偶式，通过联立这两个式子，求得原问题的解即为整体构造法．本题的值可求出，实质上是
78sin 66sin 42sin 6sin
12cos 24cos 48cos 84cos = 96cos 48cos 24cos 12cos -=．
五、二倍角公式的变用（升次或降次）
二倍角公式的变用包括公式形式上的变用（如将αααcos sin 22sin =变为
αααcos 22sin sin =
，α
α
αsin 22sin cos =；二倍角余弦公式变形得到升幂公式
1cos 22cos 2-=ααα2sin 21-=或得到降幂公式2
2cos 1sin 2α
α-=或
2
2cos 1cos 2α
α+=；）和与诱导公式等结合的综合变用（如导出万能公式和半角公式等）．
例5 求值：22
cos 5cos 102cos5cos10cos15+-
解：原式1cos101cos 20
2cos5cos10cos1522
++=
+- 1
1(cos10cos 20)2
=++(cos15cos5)cos15-+
21cos15cos5cos 15cos5cos15=+--21cos 15=-
1cos302124
+-=-=
六、整体思考运用二倍角公式
诱导公式与二倍角公式结合可以导出：cos 2sin 2()4
π
αα=+
2sin()cos()44ππαα=++，cos 2sin 2()4παα=-2sin()cos()44
ππ
αα=--。
例6．已知)4,0(π∈x ，且135
)4sin(=-x π，求)4
cos(2cos x x +π的值．
分析：若由135)4sin(=-x π展开后与1cos sin 2
2=+x x 联立并结合)4
,0(π∈x 是可以
求出x sin 和x cos ，但这样求解运算量是非常大的且容易出错．应将x -4
π
视为一个整体进行求解．
解：因为)4,
0(π∈x ，所以)4,0()4(ππ∈-x ，所以)4
cos(x -π)4(sin 12x --=π
1312=．所以)22sin(2cos x x -=π)4cos()4sin(2x x --=ππ13121352⨯⨯=169
120
=．
)]4(2cos[)4cos(x x --=+πππ)4sin(x -=π13
5=．
故原式13
24
513169120=⨯=
． 点评：在运用整体思想的条件下，要立足一个“变”字，善变则活．一是角的拆变，二是通过诱导公式实现角的变换而得到统一．要观察到2
)4
(
)4
(
π
π
π
=
++-x x ，
x x 22
)4
(
2-=
-π
π
而想到利用诱导公式和倍角公式．
例7．设a =α2sin ，b =α2cos ，求)4
tan(απ
+．
分析：要把απ
+4视为一个整体，并注意到απ
απ22
)4(2+=+，需要利用诱导公式来实现转化．
解：由sin 2cos(
2)2π
αα=-+，a =α2sin ，2cos(2)2cos ()124
ππ
αα+=+-得a -=+1)4
(
cos 22απ
① 由)22
sin(
2cos απ
α+=，b =α2cos 及二倍角的正
弦公式得b =++)4cos()4sin(
2απαπ
② 由②÷①得)4tan(απ+a
b
-=1．。