工程力学课件第2章(力系的简化)
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工程力学：第2章 力系的简化
F1sin45 F2sin45 0 FAsin30 F1cos45 cos30 F2 cos45 cos30 0 FAcos30 F1cos45 sin30 F2cos45 sin30 P 0
B FB1
相同的均质杆围成正方形，求绳EF的拉力。
要求：
用最少的方 程求出绳EF受 的力
FAy
FAx
A
E
P
FDy
FDx
D
G
P
B
F
P
C
FDy FDx
D
G
P
FDy FDx
D
FCy FCx
C
FBx FT
G
P
FBy
B
F
P
C
例3-3
q
FAx A
M B
2a
P
FAy
4a
FB
ll
30
F
M
3l P
q
例3-4
F
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平
面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。
③ FR≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，
简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR 。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
④ FR 0, MO 0 ,为最一般的情况。此种情况还可以继续 简化为一个合力 FR 。
FAy
B FB1x
C
M
B
D
Cr
•
E
A
300 F E
FA
FT
C
F A1
FA
求：销钉A所受的力
M
B D
FD D C
工程力学第2章(汇交力系)
2.力在平面上的投影
FM F cos
⑴ 力在平面上的投影是矢量。 ⑵ α：力与投影平面的夹角。
3. 力在直角坐标轴上的投影 · 一次投影法 Fx F cos
Fy F cos
Fz F cos
·二次投影法
Fx Fxy cos F cos cos Fy Fxy sin F cos sin
合力FR 的大小
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
合力FR 的方向
R
F cos( F ，i )
x
cos( FR，j )
R
F Fy
F
z
F cos( F ，k ) F
二、汇交力系平衡的解析条件
汇交力系平衡的充分且必要条件是力系的合力等于零。
角为60o ，若接触面光滑，试分别求出圆柱给墙面和夹板的压 力。
解:
FA Gtan30o 500 tan30o 288.7N
G 500 FB 577.4N o o cos 30 cos 30
几何法求解汇交力系简化与平衡问题总结：
⑴ 选择研究对象，分析受力情况，画出全部的 已知力和未知力，利用二力平衡、三力平衡汇交等定 律确定某些力作用方向（必须明确力的方向，否则容 易出错）。
Fx 0 : Fy 0 : F
z
FA FC cos 30o sin 0
FB FC cos 30o cos 0 FC sin30o P 0
0:
由几何关系可得 cos 0.8 sin 0.6 解得： FA 10.39kN
FB 13.85kN FC 20kN
F2 = 4kN，F3 = 5kN，求三个力的合力。 解:
《工程力学》力系的简化
24/48
2.3 平面力系的简化----平面力系的简化结果
➢主矢、主矩与简化中心的关系： ✓主矢与简化中心的选择无关； ✓主矩与简化中心的选择有关。
➢注意： ✓主矢只有大小和方向两个要素，并不涉及作用点，可 在任意点画出； ✓合力有三要素，大小、方向和作用点。
M Oy
n i 1
M O (Fi ) y
M Oz
n
M O (Fi )
i1
z 5/48
2.1 力系等效与简化的概念----力系的主矢和主矩
力系主矢的特点： ✓对于给定的力系，主矢唯一； ✓主矢只有大小和方向，未涉及作用点。
力系主矩的特点： ✓力系主矩与矩心的位置有关； ✓对于给定的力系，主矩不唯一，同一力系 对不同的点，主矩一般不相同。
10/48
2.2 力系简化的基础——力向一点平移
－F
r F
F F
➢根据加减平衡力系原理，加上平衡力系后，力对刚 体的作用效应不会发生改变； ➢施加平衡力系后，由3个力组成的新力系对刚体的 作用与原来的一个力等效。
11/48
2.2 力系简化的基础——力向一点平移
－F
F
M=Fd
F
F
✓增加平衡力系后，作用在A点的力与作用在B的力组成一
14/48
2.2 力系简化的基础——力向一点平移
z
M -F
F F
Mx
F
F
My
F
15/48
2.3 平面力系的简化
➢平面汇交力系与平面力偶系的合成结果 ➢平面一般力系向一点简化 ➢平面力系的简化结果
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2.3 平面力系的简化
----平面汇交力系与平面力偶系的合成结果
➢汇交力系：力系中所有力的作用线都会交于一点； ➢平面汇交力系：力系中所有力的作用线处于同一平面并且 汇交于一点。 ➢平面汇交力系的合力等于力系中所有力的矢量和。
2.3 平面力系的简化----平面力系的简化结果
➢主矢、主矩与简化中心的关系： ✓主矢与简化中心的选择无关； ✓主矩与简化中心的选择有关。
➢注意： ✓主矢只有大小和方向两个要素，并不涉及作用点，可 在任意点画出； ✓合力有三要素，大小、方向和作用点。
M Oy
n i 1
M O (Fi ) y
M Oz
n
M O (Fi )
i1
z 5/48
2.1 力系等效与简化的概念----力系的主矢和主矩
力系主矢的特点： ✓对于给定的力系，主矢唯一； ✓主矢只有大小和方向，未涉及作用点。
力系主矩的特点： ✓力系主矩与矩心的位置有关； ✓对于给定的力系，主矩不唯一，同一力系 对不同的点，主矩一般不相同。
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2.2 力系简化的基础——力向一点平移
－F
r F
F F
➢根据加减平衡力系原理，加上平衡力系后，力对刚 体的作用效应不会发生改变； ➢施加平衡力系后，由3个力组成的新力系对刚体的 作用与原来的一个力等效。
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2.2 力系简化的基础——力向一点平移
－F
F
M=Fd
F
F
✓增加平衡力系后，作用在A点的力与作用在B的力组成一
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2.2 力系简化的基础——力向一点平移
z
M -F
F F
Mx
F
F
My
F
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2.3 平面力系的简化
➢平面汇交力系与平面力偶系的合成结果 ➢平面一般力系向一点简化 ➢平面力系的简化结果
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2.3 平面力系的简化
----平面汇交力系与平面力偶系的合成结果
➢汇交力系：力系中所有力的作用线都会交于一点； ➢平面汇交力系：力系中所有力的作用线处于同一平面并且 汇交于一点。 ➢平面汇交力系的合力等于力系中所有力的矢量和。
工程力学(1)-第2章
力的平移定理：可以把作用在刚体上点 的力 平行移到任一 力的平移定理 可以把作用在刚体上点A的力 F 可以把作用在刚体上点 点B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶 ，但必须同时附加一个力偶。 对新作用点B的矩 的矩。 的矩等于原来的力 F对新作用点 的矩。 [证] 力F 证 力系 F,F′, F′ ′
• 简化的含义
力系的简化
力系简化的基础是力向一点平移定理 力系简化的基础是力向一点平移定理。 力向一点平移定理。
力系的简化
♣ 力向一点平移定理
力系的简化
♣ 力向一点平移定理
力向一点平移
F :力; O :简化中心; α :F与O所在平面;
r
n :α 平面的法线; en :n 方向的单位矢。
F
力系的简化ห้องสมุดไป่ตู้
平面一般力系向一点简化
向一点简化 一般力系（任意力系） 汇交力系+力偶系 一般力系（任意力系） 汇交力系 力偶系 未知力系） 已知力系） （未知力系） （已知力系） 主矢) 作用在简化中心) 汇交力系 力 ， R'(主矢 ， (作用在简化中心 主矢 作用在简化中心 主矩) 作用在该平面上) 力偶系 力偶 ，MO (主矩 ， (作用在该平面上 主矩 作用在该平面上
Ry Y −1 ∑ =tg Rx ∑X
简化中心 (与简化中心位置无关) [因主矢等于各力的矢量和]
大小： 大小 主矩M 主矩 O 方向： 方向
MO =∑mO (Fi )
方向规定 + —
（转动效应 转动效应） 简化中心： (与简化中心有关 转动效应 简化中心： 与简化中心有关 与简化中心有关) （因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和） 因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和）
工程力学第二章(力系的平衡)
6m
F 3m 1m
E
G
6m
MAF 0,
A
FAx
FBy 12 m G 1 m
FAy
F 9m G 11 m 0
B
FBx
FBy
得： FBy= 47.5 kN
例7 如图所示为一悬臂梁，A 为固定端，设
梁上受强度为 q 的均布载荷作用，在自由端B 受一集中力 F 和一力偶 M 作用，梁的跨度为l， 求固定端的约束力。
M
F
q
45
B
A
l
解：1、 取梁为研究对象，受力分析如图
2、 选取坐标系，列平衡方程
q
M
F
45
Fx 0, FAx F cos 45o 0
第二章 力系的平衡
本章重点：
1、力系平衡方程及其应用 2、物体系统平衡问题分析 3、桁架内力分析
§2-1 力系的平衡方程
F2
z
F1
MO
z
FR′
y o
y o
x
Fn
x
空间任意力系向任意点O简化为： 主矢 FR′=∑Fi 主矩 MO=∑MO（Fi )
平衡的充分必要条件： FR' 0 Mo 0
注意：对任意一点的主矩为零。
联立求解得 FB 750 N
例2 利用铰车绕过定
滑轮B的绳子吊起一货 物重G = 20 kN，滑轮 由两端铰接的水平刚 杆AB和斜刚杆BC支持 于点B 。不计铰车的 自重，试求杆AB和BC 所受的力。
A
30°
B
30°
C
G
a
A 30° B
30°
C
G
a
解：1、取滑轮 B 轴销为研究
工程力学最新版教学课件第2章
2.3 平面任意力系的简化和平衡
3. 平面任意力系简化结果的讨论 （1） FR ′=0，MO′≠0，说明原力系与一个力偶等效，而这个力偶的力偶矩就是主矩。 （2）FR′≠0，MO′=0，则作用于简化中心的力FR ′就是原力系的合力，作用线通过简化 中心。 （3）FR ′≠0，MO′≠0，这时根据力的平移定理的逆过程，可以进一步合成为合力FR ，经 过新的简化中心O。 平面任意力系的合力矩定理：平面任意力系的合力对力系所在平面内任一点的矩等于其 各分力对同一点的矩的代数和。 （4）FR ′=0，MO′=0，此时力系处于平衡状态。
PS：投影是代数量，有正负之分。
2.1 平面汇交力系的合成和平衡
PS：力的投影和分力的区别： ➢ 力的投影是代数量，它只有大小和正负； ➢ 而力的分量是矢量，不仅有大小和方向，还有作用点，二者不可混淆。 ➢ 只有当x、y轴相垂直的时候，分力的大小是投影的绝对值。
2.1 平面汇交力系的合成和平衡
【例2-1】如图所示，分别求各力在x轴和y轴上的投影。
Fx Fy
2.1 平面汇交力系的合成和平衡
4.平面汇交力系的合成 当平面汇交力系为已知时，可先求出力系中各力在x轴和y轴上的投影， 再根据合力投影定理求得合力在x、y轴上的投影，即可求得合力。
FR FR2x FR2y ( Fx )2 ( Fy )2 cos FRx Fx
FR FR
平面力系
2.1 平面汇交力系的合成和平衡
汇交力系——各力作用线汇交于同一点的力系； 平面汇交力系——若汇交力系中各力作用线在同一平面内。
2.1.1 平面汇交力系的合成
1. 力多边形
力的可传递性和力的三角形法则
矢量关系的数学表达式为
FR F1 F2 F3 F4
工程力学02-力系的简化
《工程力学》
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
力系的等效
力系的基本特征
力的平移 力系的简化
《工程力学》
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
O Mo x
《工程力学》
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举
求此三力的合力 解： 建立直角坐标系
例
y x F1=732N
30° F3=2000N
例： 吊钩受有三个力，其数值和方向如图所示
《工程力学》
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举
求此三力的合力
例
y x F1=732N
30° F3=2000N
例： 吊钩受有三个力，其数值和方向如图所示 Fx = -1000N Fy = - 1732N 求合力和方向 F = Fx2+Fy2 = (-1000)2+(-1732)2 = 2000N = 2kN Fy tana= F = -1732 = 1.732 -1000 x
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
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力系的等效
力系的基本特征
力的平移 力系的简化
《工程力学》
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O Mo x
《工程力学》
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举
求此三力的合力 解： 建立直角坐标系
例
y x F1=732N
30° F3=2000N
例： 吊钩受有三个力，其数值和方向如图所示
《工程力学》
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
举
求此三力的合力
例
y x F1=732N
30° F3=2000N
例： 吊钩受有三个力，其数值和方向如图所示 Fx = -1000N Fy = - 1732N 求合力和方向 F = Fx2+Fy2 = (-1000)2+(-1732)2 = 2000N = 2kN Fy tana= F = -1732 = 1.732 -1000 x
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
第2章—力系的简化—工程力学(静力学和材料力学)课后习题答案
工程力学（静力学与材料力学）习题详细解答(第2章)习题2－2图第2章 力系的简化2－1 由作用线处于同一平面内的两个力F 和2F 所组成平行力系如图所示。
二力作用线之间的距离为d 。
试问：这一力系向哪一点简化，所得结果只有合力，而没有合力偶；确定这一合力的大小和方向；说明这一合力矢量属于哪一类矢量。
解：由习题2－1解图，假设力系向C 点简化所得结果只有合力，而没有合力偶，于是，有∑=0)(F C M ，02)(=⋅++−x F x d F ，dx =∴，F F F F =−=∴2R ，方向如图示。
合力矢量属于滑动矢量。
2－2 已知一平面力系对A (3，0)，B (0，4)和C (－4.5，2)三点的主矩分别为：M A 、M B 和M C 。
若已知：M A ＝20 kN·m 、M B ＝0和M C ＝－10kN·m ，求：这一力系最后简化所得合力的大小、方向和作用线。
解：由已知M B = 0知合力F R 过B 点；由M A = 20kN ·m ，M C = -10kN ·m 知F R 位于A 、C 间，且CD AG 2=（习题2－2解图）在图中设OF = d ，则θcot 4=dCD AG d 2)sin 3(==+θ （1） θθsin )25.4(sin d CE CD −== （2）即θθsin )25.4(2sin )3(dd −=+ d d −=+93 3=d习题2－1图习题2－1解图R∴ F 点的坐标为（-3, 0）合力方向如图所示，作用线过B 、F 点； 34tan =θ 8.4546sin 6=×==θAG 8.4R R ×=×=F AG F M A kN 6258.420R ==F 即 )kN 310,25(R=F 作用线方程：434+=x y 讨论：本题由于已知数值的特殊性，实际G 点与E 点重合。
2－3三个小拖船拖着一条大船，如图所示。
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系原理，施加上述平
r
衡力系后，力对刚体
F 的作用效应不会发生
改变。因此，施加平
－F
衡力系后，由3个力
组成的新力系对刚体 F 的作用与原来的一个
F 力等效。
2.2力系简化的基础－力向一点平移定理
－F
F
M=Fd
F
F
增加平衡力系后，作用在A点的力
与作用在O点的力组成一力偶，这一力
偶的力偶矩M等于力对O点之矩。
2.1力系等效与简化的概念
2.1.1力系的主矢和主矩
力系的主矢
力系主矢的特点
对于给定的力系，主矢唯一；
FR
O2
FR FR
O O1
主矢等于各力的矢量和，它是由原力系中各力的大小和
方向决定的，所以，它与简化中心的位置无关。主矢仅与 各力的大小和方向有关，主矢不涉及作用点和作用线,因而 主矢是自由矢（注意与力矢的区别：滑移）。
2.2力系简化的基础－力向一点平移定理
能不能使作用在刚体上的力平 移到作用线以外的任意点，而不改 变原有力对刚体的作用效应？
答案是肯定的
2.2力系简化的基础－力向一点平移定理
平移前
r F
平移后
?
r
F
在O点作用什么力系才能使二者等效 ?
为了使平移后与平移前力对刚体的 作用等效，需要应用加减平衡力系原理。
移动，又作转动。乒乓球运动员用球拍打乒乓球时，之所以 能打出“旋球”，就是根据这个原理。
•又如攻丝时，必须用两手握扳手，而且用力要相等。如果用单手攻丝， 如图a所示，由于作用在扳手AB一端的力F 向点C简化的结果为一个 力F' 和一个力偶M，如图b所示。这个力偶使丝锥转动，而这个力F' 却往往使攻丝不正，影响加工精度，
力向一点平移的结果: 一个力和一 个力偶,力偶的力偶矩等于原来力对平 移点之矩。
M＝MO F Fh Fd
2.2力系简化的基础－力向一点平移定理
－F
F
F
M=Fd
F
施加平衡力系后由3个力所组成的 力系，变成了由作用在O点的力和 作用在刚体上的一个力偶矩为M的 力偶所组成的力系。
2.2力系简化的基础－力向一点平移定理
2.1.1力系的主矢和主矩
力系的主矢
F2
一般力系中所有力的矢
F1
量和，称为力系的主矢量，
mn m1
简 称 为 主 矢 （ principal
vector），即
m2
n
F3 Fn
FR ＝ Fi i 1
其中FR为力系主矢；Fi为力 系中的各个力。
2.1力系等效与简化的概念
2.1.1力系的主矢和主矩
第2章 力系的简化
2.1力系等效与简化的概念 2.2力系简化的基础－力向一点 平移定理 2.3平面力系的简化 2.4 固定端约束的约束力 2.5结论与讨论
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重点内容
1）力系基本特征量（主矢，主矩） 2）力向一点平移定理和方法 3）力系等效原理 4）平面力系简化
第2章 力系的简化
2.1力系等效与简化的概念
力系的主矩
F2 F1
mn m1 m2
F3 Fn
力系中所有力对于同 一点之矩的矢量和，称为 力系对这一点的主矩 （principal moment）， 即
n
MO ＝ MO Fi i 1
2.1力系等效与简化的概念
2.1.1力系的主矢和主矩
F2 F1
mn m1
m2
MO
FR
O
F3 Fn
力系中的主矢和主矩完全确定了 力系对刚体的总效应
力向一点平移定理
作用于刚体上的力可以平移到任一点，而不改 变它对刚体的作用效应，但平移后必须附加一个力 偶，附加力偶的力偶矩等于原力对平移点之矩。此 即力向一点平移定理。
力向一点平移结果表明，一个力向任一点平 移，得到与之等效的一个力和一个力偶；反之，作 用于同一平面内的一个力和一个力偶，也可以合成 作用于另一点的一个力。
2.2力系简化的基础－力向一点平移定理
假设在任意刚体
上的A点作用一力，
r
为了使这一力能够等
F 效地平移到刚体上的
其他任意一点(例如O
点)，先在O点施加一
－F
对大小相等、方向相
反的平衡力系，这一 F 对力的数值与作用在
F A点的力数值相等，
作用线与平行。
2.2力系简化的基础－力向一点平移定理
根据加减平衡力
2.3平面力系的简化
2.3.1平面一般力系向一点简化
平面汇交力系 平面力偶系
+
简化的结果，得到一个作用线都通过 O点的力系,这种由作用线处于同一平面并 且汇交于一点的力所组成的力系，称为平 面汇交力系。
简化的结果，还得到由若干处于同一 平面内的力偶所组成的平面力偶系。
2.3平面力系的简化
2.3.1平面一般力系向一点简化
力系主矩的特点 力系主矩MO与矩心( O )的位置有关; 力系主矩是定位矢,其作用点为矩心。
而主矩等于各力对简化中心之矩的代
数和，简化中心选择不同时，各力对简 化中心的矩也不同，所以在一般情况下 主矩与简化中心的位置有关。 以后在说到主矩时，必须指出是力系对 哪一点的主矩。
MO2
MO O2
OO
M ＝rOA F
其中为O点至A点的矢径。
2.2力系简化的基础－力向一点平移定理
-F
F
F
F
转动平面
2.2力系简化的基础－力向一点平移定理
z
M
-F
F
F
F
乒乓球
•如图a所示，力F 作用线通过球中心C时，球向前移动，如果力F 作用 线偏离球中心，如图b所示，根据力的平移定理，力F 向点C简化的结 果为一个力F‘ 和一个力偶M，这个力偶使球产生转动，因此球既向前
力的平移定理既是复杂力系简化的理论依据， 又是分析力对物体作用效应的重要方法。
力的平移定理表明
• 一个力可以等效于一个力和一个力偶。 而其逆定理则表明，可以将同一平面内 的一个力和一个力偶等效于一个力。
2.2力系简化的基础－力向一点平移定理
M=Fd
F
rOA
需要指出的是，力偶矩与力矩一样也 是矢量，因此，力向一点平移所得到的力 偶矩矢量，可以表示成
对于平面力系，在Oxy直角坐标系中，上式可
FR 以写成力的投影形式;合矢量在某一轴上的投影等 于各分矢量在同一轴上投影的代数和
n
FRx
Fi x
i 1
n
FRx
Fi x
i 1
FRx和FRy分别为力系中所有的力在x轴和y轴上投影的代数 和。这就是合力投影定理。
FR
FRx 2 FRy 2
个力系：平面汇交力系和平面力偶系，然后，再 将两个力系分别合成。
2.3平面力系的简化
2.3.1平面一般力系向一点简化
设刚体上作用有由任 意多个力所组成的平面力 系。现在将力系向其作用 平面内任一点简化，这一 点称为简化中心，用O表 示。
简化的方法是：将力系中 所有的力逐个向简化中心O 点平移，每平移一个力，便 得到一个力和一个力偶。
＝
O
Mi
M O Fi
i1
i1
这一结果表明，平面力系简化所得平面力
偶系合成一合力偶，合力偶的力偶矩等于原 力系中所有力对简化中心之矩的代数和。
2.3 平面力系的简化
2.3.3平面力系的简化结果
2.3平面力系的简化
2.3.3平面力系的简化结果
平面力系向作用面内任意一点简化， 一般情形下，得到一个力和一个力偶。
2.1力系等效与简化的概念
2.1.2力系等效的概念
力系等效的含义
FP
FP'
对于运动效应
二者பைடு நூலகம்效
FP
FP'
刚体
2.1力系等效与简化的概念
2.1.2力系等效的概念
力系等效的含义
FP
FP´
变形体
FP
FP´
对于变形效应 二者不等效
2.1力系等效与简化的概念
2.1.3力系简化的概念
2.1力系等效与简化的概念
力向一点平移
得到两个力系
+
得到一个合力与
一个合力偶
平面力系向一点简化的思想方法是应用力的平移定理，将平面力系分解成 两个力系：平面汇交力系和平面力偶系，然后，再将两个力系分别合成。
2.3平面力系的简化
2.3.2平面汇交力系与 平面力偶系的简化结果
2.3平面力系的简化
2.3.2平面汇交力系与平面力偶系的简化结果
所得力的作用线通过简化中心，其 矢量称为力系的主矢，它等于力系中所 有力的矢量和；
2.1.2 力系等效的概念
如何判断力系等效
FB
MC
MD
力系1
FA
FC
力系2
ME
怎样判断不同力系的运动效应是否相同？
2.1力系等效与简化的概念
2.1.2力系等效的概念
如果两个力系的主矢和主矩 分别对应相等，二者对于同一 刚体就会产生相同的运动效应， 因而称这两个力系为等效力系 (equivalent system of forces)。
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2.1力系等效与简化的概念
2.1.2力系等效的概念
2.1力系等效与简化的概念
2.1.2 力系等效的概念
所谓力系等效是指不同的力系对 于同一物体所产生的运动效应是相 同的，
即：不同的力系使物体所产生 的线动量对时间的变化率以及角动 量对时间的变化率分别对应相等。
2.1力系等效与简化的概念
第2章 力系的简化