求解线性方程组的方法

ai1 aii
12ห้องสมุดไป่ตู้
function x=gauss(A,b) n=length(b); x=zeros(n,1); for i=1:n-1 %消元过程 for k=i+1:n for j=i+1:n A(k,j)=A(k,j)+A(i,j)*(-A(k,i)/A(i,i)); end b(k)=b(k)+b(i)*(-A(k,i)/A(i,i)); A(k,i)=0; end x(n)=b(n)/A(n,n); end for i=n-1:-1:1 %回代过程 disp(A) sum=0; disp(b) for j=i+1:n pause sum=sum+A(i,j)*x(j); end x(i)=(b(i)-sum)/A(i,i); end
其准确解为X*={1.1, 1.2, 1.3}。
x1 0.1 x2 0.2 x3 0.72 x2 0.1 x1 0.2 x3 0.83 x 0.2 x 0.2 x 0.84 1 2 3
简记为： Ax b
6
(1) (1) (1) (1) (1) A ( a ) ( a ), b b. A x b 将原方程组记为 其中 i j i j
则第一步（k=1)，若a11不等于0，则可以计算乘数
(1) mi1 ai(1) / a (i 2,3,, m) 1 11
4
例1 用消去法求解方程组
x1 x2 x3 6 4 x2 x3 5 2 x 2 x x 1 2 3 1
1 1 1 6 4 -1 5 0 -4 -1 -11 1 1 1 6 4 -1 5 0 0 -2 -6
1 1 1 4 -1 2 -2 1
乘除运算量：
由于计算机中做乘除运算的时间远远超过做加减运算时间， 故估计运算量时，往往只估计乘除的次数。
第 k 步：消去第 k 列 (k) (k) (k ) 0，计算 mik aik akk 设 akk
( k 1) (k ) (k ) 计算 aij aij mikakj (k ) bi( k 1) bi(k ) mikbk
a11 a12 a1n x1 b1 a a a b2 改写成矩阵形式： 21 22 2 n x2 am1 am 2 amn xn bm
§8.1 高斯消去法
一、 高斯消去法 高斯消去法是一个古老的求解线性方程组的方法，但由 于它的改进、变形得到的选主元素消去法、三角分解法仍是 在计算机上求解系数矩阵为中、低阶稠密矩阵的线性方程组 常用的有效方法，所以本节介绍这一方法。 用高斯消去法求解n阶线性方程组Ax=b的基本思想是在 逐步消元的过程中，把方程组的系数矩阵化为上三角矩阵， 从而将原方程组约化为容易求解的等价三角方程组，然后进 行回代求解。
其准确解为X*={ 1.1, 1.2, 1.3 }。
(1)
18
3.1Jacobi迭代法
2 例题分析:
考虑解方程组
10 x1 x2 2 x3 7.2 x1 10 x2 2 x3 8.3 x x 5 x3 4.2 2 1
其准确解为X*={1.1, 1.2, 1.3}。 建立与式(1)相等价的形式：
3 n 高斯消去法总的乘除运算量为： n2 n 3 3
10
定理2 约化的主元素 akk
(k )
0(k 1,2,, n) 的充要条件是
矩阵A的顺序主子式 Di 0(i 1, 2,, k ). 即
D1 a11 0 a11 a1i Di
证明略
推论 如果矩阵A的顺序主子式 Di 0(i 1, 2,, k ). 则
* * * T x* ( x1 , x2 ,, xn )
假设 A 非奇异，则方程组有唯一解.
2
引言
在自然科学和工程技术中许多问题的解决转化为解线性方 程组，而这些方程组的系数矩阵大致分为两种，一种是低阶稠 密矩阵，一种是高阶稀疏矩阵。 解线性方程组的数值解也有两种： 直接法，就是经过有限步算术运算，可以求得线性方 程组的解，但实际计算时有舍入误差的存在和影响，所以 求得的结果也只能是近似解对低阶稠密矩阵和部分大型稀 疏矩阵有效。 迭代法，就是用某种极限过程去逐步逼近精确解，是解 决大型稀疏矩阵的重要方法。从一个初始向量出发，按照 一定的迭代格式，构造出一个趋向于真解的无穷序列。 3
计算方法
第八章 线性方程组的解法
计算方法课程组
1
§8.0
引 言
重要性：解线性代数方程组的有效方法在计算数学和
科学计算中具有特殊的地位和作用。如弹性力学、电
路分析、热传导和振动、以及社会科学及定量分析商 业经济中的各种问题。 求解线性方程组 Ax b 的求解方法，其中
A Rnn
，x, b R n 。
程序设计
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程序执行
A=[1 1 1;0 4 -1;2 -2 1]; b=[6 5 1]'; x=gauss(A,b) 消元后的A 1 1 1 0 4 -1 0 0 -2 消元后的b 6 5 -6 x= 1 2 3 14
§8.2 雅可比Jacobi迭代法 (AX=b)
一、迭代法的基本思想
二、例题分析 三、 Jacobi迭代公式
（消元过程）
由上述方程组很快可以求出：
(n) xn bn( n ) / ann , （回代过程） n (k ) (k ) (k ) x ( b a x ) / a k kj j kk ,( k n 1, n 2, ,1) k j k 1
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乘除运算量
(1) (1) (1) (1) x a a a b 1 11 12 1n 1 即 (2) (2) (2) 0 a22 a2 n x2 b2 (n) (n) 0 0 ann xn bn
用-mi1 乘方程组的第一个方程加到第i个方程，则原方程组同 解方程组为： (1) (1) (1) (1) a11 x a12 a1 b 1 n 1 (2) (2) (2) x a22 a2 n 2 b2 0 (2) (2) (2) 0 am 2 amn xn bm 简记为 A(2) x b(2)
(k ) kk
0 计算乘数 mik a
(k ) ik
/a
(k ) kk
(i k 1,, m)
用-mik乘上面的线性方程组的第k个方程加到第i个方程，可 以消去xk元,得到同解方程组 A( k 1) x b( k 1) ( k 1) (k ) (k ) 其中 a a m a i j i j ik k j (i k 1,, m, j k 1, n).
( n) ( n) 回代求解： xn bn ann
n
n–k次 (i k 1, ..., n)
(n – k)2 次 ( i = k+1, …, n ) n – k 次 n (n+1)/2 次
(i) aii
xi bi(i )
(
j i 1
a x)
(i) ij j
( i = k+1, …, n )
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AX b
x( k 1) Bx( k ) f
问题:
(a) 如何建立迭代格式？
(b) 向量序列{ x(k) }是否收敛以及收敛条件?
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3.1Jacobi迭代法
2 例题分析:
考虑解方程组
10 x1 x2 2 x3 7.2 x1 10 x2 2 x3 8.3 x x 5 x3 4.2 2 1
( k 1) ( k ) (k ) b b m b (i k 1,, m) i ik k i
8
重复上述过程，可以将方程组化为等价的简单方程组 ( s 1) 为上梯形阵。 A( s 1) x b( s 1) , s min(m 1, n) 其中A 当m=n时，与原方程组等价的方程组为 A( n ) x b( n)
(1)
x1 0.1 x2 0.2 x3 0.72 x2 0.1 x1 0.2 x3 0.83 x 0.2 x 0.2 x 0.84 1 2 3
(2)
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2 例题分析:
考虑解方程组 建立与式(1)相等价的形式：
10 x1 x2 2 x3 7.2 x1 10 x2 2 x3 8.3 x x 5 x3 4.2 2 1
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§8.1 雅可比Jacobi迭代法 (AX=b)
迭代法的基本思想 与解f (x)=0 的不动点迭代相类似，将AX=b改写
为X=BX+f 的形式，建立雅可比方法的迭代格式：
x( k 1) Bx( k ) f
其中，B称为迭代矩阵。其计算精度可控，特别 适用于求解系数为大型稀疏矩阵(sparse matrices)的 方程组。
6 5 1
还原为方程组
x1 x2 x3 6 4 x2 x3 5 2 x 6 3
（消元过程）
x3=3， x2=2， x1=1
（回代过程）
5
一般线性方程组的高斯消去法
设有方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 , a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2 , a x a x a x b , m2 2 mn n m m1 1