人教新课标版(A)高二选修1-1 第一章常用逻辑用语综合例题
高中数学选修1-1(人教A版)第一章常用逻辑用语1.2知识点总结含同步练习及答案
第一章 常用逻辑用语 1.2 充分条件与必要条件
一、学习任务 理解必要条件、充分条件与充要条件的意义，会判断必要条件、充分条件与充要条件． 二、知识清单
充分条件与必要条件
三、知识讲解
1.充分条件与必要条件 描述： 充分条件与必要条件 一般地，“若 p ，则 q ”为真命题，是指由 p 通过推理可以得出 q ，同时也称由 p 可以推 出 q ，记作 p ⇒ q ，并且说 p 是 q 的充分条件（sufficient condition）， q 是 p 的必要 条件（necessary condition）． 充要条件 一般地，如果既有 p ⇒ q ，又有 q ⇒ p ，就记作 p ⇔ q ．此时， p 是 q 的充分必要条 件（sufficient and necessary condition），简称充要条件．如果 p 是 q 的充要条件，那么 q 也是 p 的充要条件，概括地说，如果 p ⇔ q ，那么 p 与 q 互为充要条件． 例题： 判断下列各题中 p 是 q 的什么条件． （1）在 △ABC 中，p : A > B，q : BC > AC ； （2）p : x > 1 ，q : x 2 > 1 ； （3）p : (a − 2)(a − 3) = 0，q : a = 3 ； （4）p : a < b ，q : 解：（1）由三角形中大角对大边可知，若 A > B ，则 BC > AC ；反之，若 BC > AC ，则 A > B．因此 p 是 q 的充要条件． （2）由 x > 1 可以推出 x 2 > 1；由 x2 > 1 得 x < −1 或 x > 1，不一定有 x > 1 ．因此 p 是 q 的充分不必要条件． （3）由 (a − 2)(a − 3) = 0 可以推出 a = 2 或 a = 3，不一定有 a = 3；由 a = 3 可以得出 (a − 2)(a − 3) = 0 ．因此 p 是 q 的必要不充分条件．
人教新课标版数学高二数学选修1-1【测试题】第一章 常用逻辑用语题(含详解)
第一章测试(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2010·陕西)“a>0”是“|a|>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析本题考查充要条件的判断，∵a>0⇒|a|>0，|a|>0⇒/a>0，∴“a>0”是“|a|>0”的充分不必要条件．答案 A2．(2010·广东佛山模拟)命题“∀x∈R，x2－2x＋4≤0”的否定为()A．∀x∈R，x2－2x＋4≥0B．∀x∉R，x2－2x＋4≤0C．∃x∈R，x2－2x＋4>0D．∃x∉R，x2－2x＋4>0答案 C3．(2010·上海)“x＝2kπ＋π4(k∈Z)”是“tan x＝1”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 tan(2k π＋π4)＝tan π4＝1，所以充分；但反之不成立，如tan 5π4＝1.答案 A4．(2010·湖南)下列命题中的假命题是( ) A ．∀x ∈R,2x －1>0 B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0 C ．∃x ∈R ，lg x <1D ．∃x ∈R ，tan x ＝2解析 对于B 选项x ＝1时，(x －1)2＝0，故选B. 答案 B5．若命题“如果p ，那么q ”为真，则( ) A ．q ⇒p B ．綈p ⇒綈q C ．綈q ⇒綈pD ．綈q ⇒p解析 由题可知p ⇒q 成立，则它的逆否命题成立，即綈q ⇒綈p .答案 C6．下列说法正确的是( ) ①原命题为真，它的否命题为假； ②原命题为真，它的逆命题不一定为真；③一个命题的逆命题为真，它的否命题一定为真； ④一个命题的逆否命题为真，它的否命题一定为真． A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．②③④答案 B7．(2010·山东)设{a n }是首项大于零的等比数列，则“a 1<a 2”是“数列{a n }是递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C8．下列命题中的假命题是( ) A ．∀x >0且x ≠1，都有x ＋1x >2B ．∀a ∈R ，直线ax ＋y ＝a 恒过定点(1,0)C ．∀φ∈R ，函数y ＝sin(x ＋φ)都不是偶函数D ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·x m2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减解析 A ．当x >0时，x ＋1x ≥2 x ·1x ＝2，∵x ≠1，∴x ＋1x >2，故A 为真命题．B ．将(1,0)代入直线ax ＋y ＝a 成立，B 为真命题．C ．当φ＝π2时，函数y ＝sin(x ＋π2)是偶函数，C 为假命题．D ．当m ＝2时，f (x )＝x －1是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减，∴D 为真命题，故选C.答案 C9．下列选项中，p 是q 的必要不充分条件是( ) A ．p ：a ＋c >b ＋d ，q ：a >b ，且c >dB ．p ：a >1，b >1，q ：f (x )＝a x －b (a >0，且a ≠1)的图像不过第二象限C ．p ：x ＝1，q ：x 2＝xD ．p ：a >1，q ：f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)在(0，＋∞)上为增函数答案 A10．对于命题p ：对任意的实数x ，有－1≤sin x ≤1，q ：存在一个实数使sin x ＋3cos x ＝3成立，下列结论正确的是( )A ．綈p ∨qB ．p ∧綈qC ．綈q ∧綈pD ．q ∧p解析 p 为真命题，而sin x ＋3cos x ＝2sin(x ＋π3)≤2，故q 为假命题．∴p ∧綈q 为真命题．答案 B11．下列四个命题中，其中真命题是( ) ①“若xy ＝1，则lg x ＋lg y ＝0”的逆命题； ②“若a ·b ＝a ·c ，则a ⊥(b －c )”的否命题；③“若b ≤0，则方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实根”的逆否命题； ④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题． A ．①② B ．①②③④ C ．②③④D ．①③④解析 ①逆命题：“若lg x ＋lg y ＝0，则xy ＝1”为真命题． ②逆命题：“若a ⊥(b －c )，则a ·b ＝a ·c ”为真命题，根据逆命题与否命题的等价性，则否命题也为真命题．③当b ≤0时，Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ≥0，知方程有实根，故原命题为真命题，所以逆否命题也为真命题．④真命题． 答案 B12．已知命题p ：∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0.若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≤－2或a ＝1B ．a ≤－2或1≤a ≤2C ．a ≥1D ．－2≤a ≤1解析 ∀x ∈[1,2]，x 2－a ≥0，即a ≤x 2， 当x ∈[1,2]时恒成立，∴a ≤1.∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0，即方程x 2＋2ax ＋2－a ＝0有实根， ∴Δ＝4a 2－4(2－a )≥0，∴a ≤－2，或a ≥1.又p ∧q 为真，故p ，q 都为真，∴⎩⎨⎧a ≤1，a ≤－2，或a ≥1.∴a ≤－2，或a ＝1. 答案 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知命题p ：∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋a ≤0，则綈p 为________． 答案 ∀x ∈R ，x 2＋2ax ＋a >014．已知p：x2－x≥2，q：|x－2|≤1，且p∧q与綈q同时为假命题，则实数x的取值范围为________．解析由x2－x≥2，得x≥2，或x≤－1，|x－2|≤1，得1≤x≤3，∵p∧q与綈q同时为假命题，∴q为真命题，p为假命题，∴1≤x<2.答案1≤x<215．已知直线l1：2x－my＋1＝0与l2：x＋(m－1)y－1＝0，则“m ＝2”是l1⊥l2的________条件．解析若l1⊥l2，只须2×1＋(－m)(m－1)＝0，即m2－m－2＝0，即m＝2，或m＝－1，∴m＝2是l1⊥l2的充分不必要条件．答案充分不必要16．下列四种说法：①命题“∀x∈R，都有x2－2<3x”的否定是“∃x∈R，使得x2－2≥3x”；②若a，b∈R，则2a<2b是log12a>log12b的必要不充分条件；③把函数y＝sin(－3x)(x∈R)的图像上所有的点向右平移π4个单位即可得到函数y＝sin(－3x－π4)(x∈R)的图像；④若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为2π3，则|a＋b|＝ 3.其中正确的说法是________． 解析 ①正确．②若2a <2b ，则a <b ，当a 或b 为负数时，log 12a >log 12b 不成立，若log 12a >log 12b ，∴0<a <b ，∴2a <2b .故②正确．③把y ＝sin(－3x )的图像上所有点向右平移π4，得到y ＝sin[－3(x－π4)]＝sin(－3x ＋3π4)，故③不正确． ④由题可知，a ·b ＝1×2cos 2π3＝－1，∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝3，∴|a ＋b |＝3，故④正确．答案 ①②④三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假．(1)平面内，凸多边形的外角和等于360°； (2)有一些奇函数的图像过原点；(3)∃x 0∈R,2x 20＋x 0＋1<0；(4)∀x ∈R ，sin x ＋cos x ≤ 2.分析 找出命题中所含的全称量词或存在量词，没有的结合命题的具体含义进行判断．解 (1)可以改写为“平面内，所有凸多边形的外角和等于360°”，故是全称命题，且为真命题．(2)“有一些”是存在量词，故该命题为特称命题，显然是真命题．(3)是特称命题．∵2x 20＋x 0＋1＝2(x 0＋14)2＋78>0，∴不存在x 0∈R ，使2x 20＋x 0＋1<0，故该命题为假命题．(4)是全称命题．∵sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≤2恒成立，∴对任意的实数x ，sin x ＋cos x ≤2都成立，故该命题是真命题．18．(12分)写出命题“已知a ，b ∈R ，若关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集，则a 2≥4b ”的逆命题，并判断其真假．解 逆命题为：“已知a ，b ∈R ，若a 2≥4b ，则关于x 的不等式x 2＋ax ＋b ≤0有非空解集”．由a 2≥4b 知，Δ＝a 2－4b ≥0.这说明抛物线y ＝x 2＋ax ＋b 与x 轴有交点，那么x 2＋ax ＋b ≤0必有非空解集．故逆命题是真命题．19．(12分)设集合M ＝{x |y ＝log 2(x －2)}，P ＝{x |y ＝3－x }，则“x ∈M 或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的什么条件？解 由题设知，M ＝{x |x >2}，P ＝{x |x ≤3}． ∴M ∩P ＝(2,3]，M ∪P ＝R当x ∈M ，或x ∈P 时x ∈(M ∪P )＝R ⇒/ ∈(2,3]＝M ∩P . 而x ∈(M ∩P )⇒x ∈R∴x ∈(M ∩P )⇒x ∈M ，或x ∈P .故“x ∈M ，或x ∈P ”是“x ∈(M ∩P )”的必要不充分条件．20．(12分)写出下列各命题的否定形式并分别判断它们的真假． (1)面积相等的三角形是全等三角形； (2)有些质数是奇数；(3)所有的方程都不是不等式； (4)自然数的平方是正数． 解 原命题的否定形式：(1)面积相等的三角形不一定是全等三角形，为真命题． (2)所有质数都不是奇数，为假命题． (3)至少存在一个方程是不等式，为假命题． (4)自然数的平方不都是正数，为真命题．21．(12分)已知p ：2x 2－9x ＋a <0，q ：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，x 2－6x ＋8<0，且綈q是綈p 的必要条件，求实数a 的取值范围．解由⎩⎨⎧x 2－4x ＋3<0，x 2－6x ＋8<0，得⎩⎨⎧1<x <3，2<x <4，即2<x <3.∴q ：2<x <3.设A ＝{x |2x 2－9x ＋a <0}，B ＝{x |2<x <3}， ∵綈p ⇒綈q ，∴q ⇒p .∴B ⊆A . 即2<x <3满足不等式2x 2－9x ＋a <0.设f (x )＝2x 2－9x ＋a ，要使2<x <3满足不等式2x 2－9x ＋a <0，需⎩⎨⎧f (2)≤0，f (3)≤0，即⎩⎨⎧8－18＋a ≤0，18－27＋a ≤0.∴a ≤9，故所求实数a 的取值范围是{a |a ≤9}．22．(12分)已知a >0，a ≠1，设p ：函数y ＝log a (x ＋3)在(0，＋∞)上单调递减，q ：函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图像与x 轴交于不同的两点．如果p ∨q 真，p ∧q 假，求实数a 的取值范围．解 对于命题p ：当0<a <1时，函数y ＝log a (x ＋3)在(0，＋∞)上单调递减．当a >1时，函数y ＝log a (x ＋3)在(0，＋∞)上单调递增，所以如果p 为真命题，那么0<a <1.如果p 为假命题，那么a >1.对于命题q ：如果函数y ＝x 2＋(2a －3)x ＋1的图像与x 轴交于不同的两点，那么Δ＝(2a －3)2－4>0， 即4a 2－12a ＋5>0⇔a <12，或a >52.又∵a >0，所以如果q 为真命题， 那么0<a <12或a >52.高中数学-打印版精心校对 如果q 为假命题，那么12≤a <1，或1<a ≤52. ∵p ∨q 为真，p ∧q 为假，∴p 与q 一真一假．如果p 真q 假，那么⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a <1，12≤a <1，或1<a ≤52，⇔12≤a <1.如果p 假q 真，那么⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，0<a <12，或a >52，⇔a >52. ∴a 的取值范围是[12，1)∪(52，＋∞)．。
人教版高二数学选修1-1 第一章《常用逻辑用语》教案2(有答案)
选修1-1 第一章《常用逻辑用语》§1.2.2 充要条件【知识要点】●p是q的充分条件同时p又是q的必要条件则称p是q的充要条件．●充要性的证明注意分清充分性及必要性进行证明．【例题精讲】【例1】设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的必要条件，那么( )A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件分析1：由丙乙甲且乙丙，即丙是甲的充分不必要条件．分析2：画图观察之．答：选A．点评：抽象命题之间的逻辑关系通常靠画图观察比较方便【例2】设有非空集合A、B、C，若“a∈A”的充要条件是“a∈B且a∈C ”，则“a∈B”是“a∈A”的（）A．充分而不必要条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：选B【例3】ax2＋2x＋1＝0 至少有一个负实根的充要条件是（）A．0＜a≤1B．a＜1 C．a≤1D．0＜a≤1 或a＜0【例4】设α，β是方程x2－ax＋b＝0 的两个实根，试分析a＞2 且b＞1 是两根α，β均大于1的什么条件?【基础达标】1．不等式的解集为R的充要条件是（）A．B．C．D．2．p是q的充要条件的是（）A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5B．p：a＞2，b＜2，q：a＞bC．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形D．p：a≠0，q：关于x的方程a x＝1有惟一解3．设A、B、C三个集合，为使A(B∪C)，条件A B是（）A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．x∈R，|x|(1＋x)是正数的充分必要条件是（）A．|x|＜1 B．x＜1C．x＜－1 D．x>－1且x≠05．三个实数a、b、c不全为零的充要条件是（）A．a、b、c都不是零B．a、b、c中至多有一个是零C．a、b、c中只有一个是零D．a、b、c中至少有一个不是零6．p：x－4＝0，q：，则p是q的．7．在平面直角坐标系中，点(x2＋5x，1－x2)在第一象限的充要条件是．1~5：BDADD6．充分不必要条件7．0<x<1【能力提高】8．求证：关于x的方程有一个根为1的充要条件是．9．已知，求证的充要条件是．10．集合，若“a=1”是“”的充分条件，求b的取值范围．§1.3.1 简单的逻辑联结词“或”、“且”、“非”【知识要点】●如果用p，q，r，s……表示命题，则复合命题的形式接触过的有以下三种：p或q记作p∨q 当且仅当p、q同为假时为假p且q记作p∧q 当且仅当p、q同为真时为真非p记作⌝p 与p的真假性相反●常见词语的否定【例题精讲】【例1】命题“方程的解为”，使用逻辑联结词的情况是（）A．没有使用联结词B．使用了联结词“或”C．使用了联结词“非”D．使用了联结词“且”答案：B说明：常见的表示是用“或”还是“非”，要根据实际情况定，比如“x=1，y=2．则x+y=3 成立”中的x=1，y=2 所用的联结词为且．【例2】分别写出由下列各种命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的复合命题：1．p：李明是高中一年级学生q：李明是共青团员2．p：q：是无理数【例3】命题“非空集合A∩B中的元素既是A中的元素也是B中元素”是形式；命题“非空集合A∪B中的元素是A的元素或是B的元素”是形式．分析：x∈A∩B则x∈A且x∈B，填p且q．x∈A∪B则x∈A或x∈B．填p或q．答：填p且q；p或q．【例4】命题①梯形不是平行四边形；②等腰三角形的底角相等；③有两个内角互补的四边形是梯形或圆内接四边形或是平行四边形；④60是5或2的公倍数，其中复合命题有（）A．①③④B．③④C．③D．①③分析：②是简单命题，其余的均为复合命题．选A．【例5】分别指出下列各命题的形式及构成它的简单命题，并指出复合命题的真假．(1)8 或6是30 的约数；(2)矩形的对角线垂直平分；(3)方程x2－2x＋3＝0 没有实数根．分析：分清形式结构，判断简单命题真假，利用真值表再判断原复合命题真假．解：(1)p或q；p：8 是30 的约数(假)，q：6 是30 的约数(真)．“p或q”为真．(2)p且q；p：矩形的对角线互相垂直(假)，q：矩形的对角线互相平分(真)．“p且q”为假．(3)非p；p：x2－2x＋3＝0 有实根(假)．非p为真．点评：将简易逻辑知识负载在其它知识之上．【基础达标】1．命题“方程x2－4＝0 的解是x＝±2”中，使用的逻辑联结词的情况是（）A．没有使用联结词B．使用了逻辑联结词“或”C．使用了逻辑联结词“且”D．使用了逻辑联结词“非”2．以下判断正确的是（）A．若p是真命题，则“p且q”一定是真命题B．命题“p且q”是真命题，则命题p一定是真命题C．命题“p且q”是假命题时，则命题p一定是假命题D．命题p是假命题时，则命题“p且q”不一定是假命题3．如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，那么（）A．命题p不一定是假命题B．命题q一定是真命题C．命题q不一定是真命题D．命题p与命题q的真值相同4．若p、q是两个简单命题，且“p或q”的否定是真命题，则必有（）A．p真q真B．p假q假C．p真q假D．p假q真5．如果命题“p或q”是真命题，那么（）A．命题p与命题q都是真命题B．命题p与命题q的真值是相同的，即同真同假C．命题p与命题q中只有一个是真命题D．命题p与命题q中至少有一个是真命题6．下列命题中：；（2）集合是的子集；（1）11（3）周长相等的两个三角形全等或面积相等的两个三角形全等．其中为真命题的序号依次为．7．有下列四个命题：（1）40 能被3或5整除；（2）不存在实数x，使x2＋x＋1＜0；（3）对任意实数x，均有x＋1＞x；（4）方程x2－2x＋3＝0 有两个不等的实根；其中假命题为_ ．(只填序号)1~5：BBBBD6．①②7．(4)【能力提高】8．分别指出下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”、“非p”形式的复合命题的真假．（1）p：3是无理数，q：3是实数；（2）p：4＞6，q：4＋6≠10．解：(1)p或q：真；p且q：真；非p：假．(2)p或q：假；p且q：假；非p：真．9．已知命题p、q，写出“p或q”、“p且q”、“非p”并判断真假．（1）p：2 是偶数，q：2 是质数；（2）p：0的倒数还是0，q：0 的相反数还是0．(1) p或q：2 是偶数或质数，真命题p且q：2 是偶数且是质数，真命题非p：2 不是偶数，假命题．(2)p或q：0 的倒数还是0或0的相反数还是0，真命题．p且q：0的倒数还是0且0的相反数还是0，假命题．非p：0的倒数不是0，真命题．10．写出命题“5>2 且4>6”的否定，并判断其真假，由此分别讨论“p或q”、“p且q”的否定形式．§1.4.1 全称量词与存在量词及其否定【知识要点】●短语“对所有的”“对任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用“∀”表示．含有全称量词的命题叫全称命题．●短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用“∃”表示．含有存在量词的命题叫特称命题．●【例题精讲】【例1】下列真命题的个数（）A．0 B．1 C．2 D．3答案：D【例2】下列命题中真命题的个数是（）(1)所有的素数是奇数；(2)∀x∈R，(x－1) 2+1≥1；(3)有的无理数的平方是无理数A．0 B．1 C．2 D．3答案：C【例3】下列特称命题中假命题的个数是（）(1)∃x∈R，使2x2+x +1=0；(2)存在两条相交直线垂直于同一个平面；(3)∃x∈R，x2≤0A．0 B．1 C．2 D．3答案：C【例4】下列全称命题的否命题中，假命题的个数是（）(1)所有能被3整除的数能被6整除；(2)所有实数的绝对值是正数；(3)∀x∈Z，x2的个位数不是2A．0 B．1 C．2 D．3答案：B【例5】命题：∃x∈N，x3 ≤x2的否定是．命题：∀x∈R，x2－x+1> 0 的否定是_．【例6】命题：“存在一个四边形，它的对角线互相垂直且平分”的否定是．答案：所有四边形的对角线互相垂直或平分．【例7】写出下列命题的否定．（1）所有自然数的平方是正数；（2）任何实数x都是5x－12=0 的根；（3）对任意实数x，存在实数y，使x+y>0；（4）有些质数是奇数．解：（1）存在自然数的平方是负数或0；（2）存在实数x，它不是5x－12=0 的根；（3）存在实数x，同时存在实数y，使x+y≤0；（4）任何质数都不是奇数．点评：简单全称命题及特称命题的否定，对于条件的否定仅否定全称量词及存在量词．【基础达标】1．下列命题为真命题的是（）A．所有的质数都是奇数B．有些三角形不是锐角三角形C．实数的平方都是正数D．存在一个三角形，它的内角和小于180°2．下列命题中假命题的个数是（）（1）有的梯形是等腰梯形；（2）有的菱形是正方形；（3）每个正方形都是平行四边形；（4）每个矩形都是正方形．A．0 B．1 C．3 D．43．命题“原函数与反函数的图象关于直线y=x对称”的否定是（）A．原函数与反函数的图象关于直线y=－x对称B．原函数不与反函数的图象关于直线y=x对称C．存在一个原函数与反函数的图象不关于直线y=x对称D．存在原函数与反函数的图象关于直线y=x对称4．命题“对任意的x∈R，x3－x2+1≤0”的否定是（）A．不存在x∈R，x3－x2+1≤0B．存在x∈R，x3－x2+1≤0C．存在x∈R，x3－x2+1>0 D．对任意的x∈R，x3－x2+1>05．已知命题p：∀x∈R，s in x≤1，则（）A．⌝p：∃x∈R，s in x≥1B．⌝p：∀x∈R，s in x≥1C．⌝p：∃x∈R，s in x>1 D．⌝p：∀x∈R，s in x>16．命题“”的否定为．7．命题“”的否定为．1～5：BBCCC【能力提高】8．用符号“∀”与“∃”表示下列含有量词的命题：（1）能被4整除的整数能被2整除；（2）任何大于2的偶数可表示为两个素数之和；（3）有些数的平方小于0．9．判断以下命题的真假：(1) ∀x∈R，－x2+x－1<0；①真；②真；③真；④假10．指出下列命题是特称命题还是全称命题，并写出其否命题，并判断否命题的真假．（1）直线与x轴都有交点；（2）正方形都是菱形；（3）梯形的对角线相等；（4）存在一个三角形，它的内角和大于180°（1）全称命题：否命题为有些直线与x轴没有交点真命题（2）全称命题：否命题为有些正方形不是菱形假命题（3）全称命题：否命题为有些梯形对角线不相等真命题（4）特称命题：否命题为所有三角形内角和小于或等于180 度真命题《常用逻辑用语》全章复习掌握四种命题，充要条件逻辑联结词“且”“或”“非”，全称量词与存在量词及其否定．会判断充要条件，并能证明．【例题精讲】【例1】分别写出命题“若x2＋y2＝0，则x、y全为0”的逆命题、否命题和逆否命题．【例2】“若P＝{x|x|＜1}，则0∈P”的等价命题是．【例3】A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【基础达标】1．命题“若A∪B＝A，则A∩B=B”的否命题是（）A．若A∪B≠A，则A∩B≠B B．若A∩B＝B，则A∪B=AC．若A∩B≠A，则A∪B≠B D．若A∪B＝B，则A∩B＝A2．命题“若a＞b，则ac2＞bc2”(这里a、b、c都是实数)与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（）A．4 个B．3 个C．2 个D．0 个3．下列说法：（1）四种命题中真命题的个数一定是偶数．（2）若一个命题的逆命题是真命题，则它的否命题一定是真命题．（3）逆命题与否命题之间是互为逆否的关系．（4）若一个命题的逆否命题是假命题，则它的逆命题与否命题都是假命题．其中正确的有（）个．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个4．x∈R，(1－x)(1＋x)是正数的充分必要条件是（）A．－1＜x＜1 B．x＜1 C．x＜－1 D．x＜1 且x≠－15．下列说法正确的是（）A．x≥3是x＞5 的充分而不必要条件B．x≠±1 是|x|≠1的充要条件C．若⌝p⇒⌝q，则p是q的充分条件D．一个四边形是矩形的充分条件是：它是平行四边形6．集合A＝{x|x＞1}，B＝{x|x＜2}；则“x∈A或x∈B”是“x∈A∩B”的条件．7．命题“非空集A∪B中的元素是A中的元素或B中的元素”是的形式．命题“CA中的元素是I中的元素但不是A中的元素”是的形式．I1．A2．C 3．C 4．D 5．B 6．必要非充分条件7．p或q；p且q【能力提高】8．写出“∃x∈R，使得”的否命题．9．写出“∀x > 0 ，x2+x+2≥0”的否命题．10．用反证法证明：钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半．。
高中数学人教a版高二选修1-1_第一章常用逻辑用语_学业分层测评2 有答案
高中数学人教a版高二选修1-1_第一章常用逻辑用语_学业分层测评2 有答案(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是()A．原命题、否命题B．原命题、逆命题C．原命题、逆否命题D．逆命题、否命题【解析】因为原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题．【答案】 C2．有下列四个命题：(1)“若x2＋y2＝0，则xy＝0”的否命题；(2)“若x＞y，则x2＞y2”的逆否命题；(3)“若x≤3，则x2－x－6＞0”的否命题；(4)“对顶角相等”的逆命题．其中真命题的个数是()A．0B．1 C．2D．3【解析】3．下列说法中错误的个数是()①命题“余弦函数是周期函数”的否命题是“余弦函数不是周期函数”；②命题“若x＞1，则x－1＞0”的否命题是“若x≤1，则x－1≤0”；③命题“两个正数的和为正数”的否命题是“两个负数的和为负数”；④命题“x＝－4是方程x2＋3x－4＝0的根”的否命题是“x＝－4不是方程x2＋3x －4＝0的根”．A．1B．2 C．3D．4【解析】①错误，否命题是“若一个函数不是余弦函数，则它不是周期函数”；②正确；③错误，否命题是“若两个数不全为正数，则它们的和不为正数”；④错误，否命题是“若一个数不是－4，则它不是方程x2＋3x－4＝0的根”．【答案】 C4．已知命题p：若a＞0，则方程ax2＋2x＝0有解，则其原命题、否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为()A．3B．2 C．1D．0【解析】易知原命题和逆否命题都是真命题，否命题和逆命题都是假命题．故选B.【答案】 B5．在下列四个命题中，真命题是()A．“x＝3时，x2＋2x－3＝0”的否命题B．“若b＝3，则b2＝9”的逆命题C．若ac>bc，则a>bD．“相似三角形的对应角相等”的逆否命题【解析】A中命题的否命题为“x≠3时，x2＋2x－3≠0”，是假命题；B中命题的逆命题为“若b2＝9，则b＝3”，是假命题；C中当c<0时，为假命题；D中原命题与逆否命题等价，都是真命题．故选D.【答案】 D二、填空题6．“若x，y全为零，则xy＝0”的否命题为________．【答案】若x，y不全为零，则xy≠07．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②正方形的四条边相等；③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．(填序号)【答案】②和③①和③①和②8．给出下列命题：①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；②命题“△ABC中，若AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；③命题“若a>b>0，则3a>3b>0”的逆否命题；④“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题．其中，真命题的序号为________.【解析】①否命题：若b2－4ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，真命题；②逆命题：若△ABC为等边三角形，则AB＝BC＝CA，真命题；③因为命题“若a>b>0，则3a>3b>0”是真命题，故其逆否命题是真命题；④逆命题：若mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集是R，则m>1，假命题．所以应填①②③.【答案】①②③三、解答题9．写出命题“已知a，b∈R，若a2>b2，则a>b”的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．【解】逆命题：已知a，b∈R，若a>b，则a2>b2；否命题：已知a，b∈R，若a2≤b2，则a≤b；逆否命题：已知a，b∈R，若a≤b，则a2≤b2.原命题是假命题．逆否命题也是假命题．逆命题是假命题．否命题也是假命题．10．已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．(1)写出命题p的否命题；(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．【解】(1)命题p的否命题为“若ac＜0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”．(2)命题p的否命题是真命题．证明如下：∵ac＜0，∴－ac＞0⇒Δ＝b2－4ac＞0⇒二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．∴该命题是真命题．[能力提升]1．原命题为“若a n＋a n＋12<a n，n∈N＋，则{a n}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是() A．真，真，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假【解析】a n＋a n＋12<a n⇔a n＋1<a n⇔{a n}为递减数列．原命题与其逆命题都是真命题，所以其否命题和逆否命题也都是真命题，故选A.【答案】 A2．下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x＝0，且y＝0”的逆否命题；②“正方形是矩形”的否命题；③“若x＝1，则x2＝1”的逆命题；④若m＞2，则x2－2x＋m＞0.其中真命题的个数为()A．0B．1 C．2D．3【解析】命题①的逆否命题是“若x≠0，或y≠0，则x＋y≠0”，为假命题；命题②的否命题是“若一个四边形不是正方形，则它不是矩形”，为假命题；命题③的逆命题是“若x2＝1，则x＝1”，为假命题；命题④为真命题，当m＞2时，方程x2－2x＋m＝0的判别式Δ＜0，对应二次函数图象开口向上且与x轴无交点，所以函数值恒大于0.【答案】 B3．已知命题“若m －1＜x ＜m ＋1，则1＜x ＜2”的逆命题为真命题，则m 的取值范围是________.【解析】 由已知得，若1＜x ＜2成立，则m －1＜x ＜m ＋1也成立． ∴⎩⎨⎧m －1≤1，m ＋1≥2， ∴1≤m ≤2.【答案】 [1,2]4．判断命题：“若b ≤－1，则关于x 的方程x 2－2bx ＋b 2＋b ＝0有实根”的逆否命题的真假．【解】 (利用原命题)因为原命题与逆否命题真假性一致，所以只需判断原命题真假即可．方程判别式为Δ＝4b 2－4(b 2＋b )＝－4b ，因为b ≤－1，所以Δ≥4＞0，故此方程有两个不相等的实根，即原命题为真，故它的逆否命题也为真．。
人教新课标版数学高二选修1-1检测 第1章《常用逻辑用语》综合检测
综合检测(一)第一章常用逻辑用语(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列语句是命题的为()A．你到过北京吗？B．对顶角相等C．啊！我太高兴啦！D．x2＋2x－1＞0【解析】A是疑问句，C是感叹句都不是命题，D不能判断真假，只有B 是命题．【答案】 B2．下列说法正确的是()A．一个命题的逆命题为真，则它的否命题为假B．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题为真C．一个命题的逆否命题为真，则它的否命题为真D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题为真【解析】一个命题的逆命题与否命题是互为逆否命题，它们同真同假，只有D正确．【答案】 D3．命题“∃x0∈R，x20－2x0＋1＜0”的否定是()A．∃x0∈R，x20－2x0＋1≥0B．∃x0∈R，x20－2x0＋1＞0C．∀x∈R，x2－2x＋1≥0D．∀x∈R，x2－2x＋1＜0【解析】特称命题的否定是全称命题，“x20－2x0＋1＜0”的否定是“x2－2x ＋1≥0”．【答案】 C4．(2013·石家庄高二检测)若p 是真命题，q 是假命题，则( )A ．p ∧q 是真命题B ．p ∨q 是假命题C ．綈p 是真命题D ．綈q 是真命题【解析】 由真值表知，若p 真q 假，则p ∧q 假，p ∨q 真，綈p 假，綈q 真，只有D 正确．【答案】 D5．(2013·东营高二检测)若a ，b ，c 为实数，且a ＜b ＜0，则下列命题正确的是( )A ．ac 2＜bc 2B ．a 2＞ab ＞b 2 C.1a ＜1bD.b a ＞a b【解析】 ∵a ＜b ＜0，∴a 2＞ab ，且ab ＞b 2，B 正确．【答案】 B6．“若x 2＝1，则x ＝1或x ＝－1”的否命题是( )A ．若x 2≠1，则x ＝1或x ＝－1B ．若x 2＝1，则x ≠1且x ≠－1C ．若x 2≠1，则x ≠1或x ≠－1D ．若x 2≠1，则x ≠1且x ≠－1【解析】 否命题是命题的条件与结论分别是原命题条件的否定和结论的否定，“或”的否定是“且”．【答案】 D7．设p ：log 2x ＜0，q ：(12)x －1＞1，则p 是q 的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】由log2x＜0，得0＜x＜1，即p：0＜x＜1；由(1x－1＞1得x－1＜0，∴x＜1，即q：x＜1；2)因此p⇒q但q p.【答案】 B8．下列命题的否定是真命题的是()A．有理数是实数B．末位是零的实数能被2整除C．∃x0∈R,2x0＋3＝0D．∀x∈R，x2－2x＞0【解析】只有原命题为假命题时，它的否定才是真命题，A、B、C为真命题，D为假命题．【答案】 D9．下列有关命题说法正确的是()A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0”的必要不充分条件C．“1是偶数或奇数”为假命题D．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为真命题【解析】“若x2＝1，则x＝1”的否命题应为“若x2≠1，则x≠1”，故A错；∵由x＝－1⇒x2－5x－6＝0，而x2－5x－6＝0时x＝－1或x＝6，∴由x 2－5x－6＝0x＝－1.因此x＝－1是x2－5x－6＝0的充分不必要条件，故B错；∵1是奇数，∴C错．D中原命题为真，其逆否命题也为真，故D正确．【答案】 D10．下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x ＞4x －3成立；②若log 2x ＋log x 2≥2，则x ＞1；③命题“若a ＞b ＞0且c ＜0，则c a ＞c b ”的逆否命题；④若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋1≥1.命题q ：∃x 0∈R ，x 20－2x 0－1≤0，则命题p ∧綈q 是真命题．其中真命题有( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【解析】 ①中，x 2＋2x ＞4x －3⇒(x －1)2＋2＞0恒成立，①真．②中，由log 2x ＋log x 2≥2，且log 2x 与log x 2同号，∴log 2x ＞0，∴x ＞1，故②为真命题．③中，易知“a ＞b ＞0且c ＜0时，c a ＞c b ”．∴原命题为真命题，故逆否命题为真命题，③真．④中，p 、q 均为真命题，则命题p ∧綈q 为假命题．【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上)11．“若x 2＜1，则－1＜x ＜1”的逆否命题是________．【答案】 若x ≥1或x ≤－1，则x 2≥1.12．已知f (x )＝x 2＋2x －m ，如果f (1)＞0是假命题，f (2)＞0是真命题，则实数m 的取值范围是________．【解析】 依题意，⎩⎨⎧f (1)＝3－m ≤0f (2)＝8－m ＞0，∴3≤m ＜8. 【答案】 [3,8)13．已知p ：－4＜x －a ＜4，q ：(x －2)(3－x )＞0，若綈p 是綈q 的充分条件，则实数a 的取值范围是________．【解析】 p ：a －4＜x ＜a ＋4，q ：2＜x ＜3，∵由綈p 是綈q 的充分条件(即綈p ⇒綈q )，∴q ⇒p ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤2a ＋4≥3，∴－1≤a ≤6. 【答案】 [－1,6]14．在下列四个结论中，正确的序号是________．①“x ＝1”是“x 2＝x ”的充分不必要条件；②“k ＝1”是“函数y ＝cos 2kx －sin 2kx 的最小正周期为π”的充要条件； ③“x ≠1”是“x 2≠1”的充分不必要条件；④“a ＋c ＞b ＋d ”是“a ＞b 且c ＞d ”的必要不充分条件．【解析】 ①当x ＝1时，x 2＝x 成立，反之，不一定，所以“x ＝1”是“x 2＝x ”的充分不必要条件，故①正确；②函数y ＝cos 2kx －sin 2kx ＝cos 2kx ，其最小正周期T ＝2π|2k |＝π|k |，当k ＝1时，T ＝π；当π|k |＝π时，k ＝±1，所以②不正确；③转化为等价命题，即判断“x 2＝1”是“x ＝1”的充分不必要条件，由于x 2＝1时，x ＝±1，不一定x ＝1，所以不充分，即③不正确；④a ＋c ＞b ＋da ＞b 且c ＞d ，但a ＞b 且c ＞d 时，必有a ＋c ＞b ＋d ，所以④正确．综上可知，正确结论为①④.【答案】 ①④三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)π为圆周率，a 、b 、c 、d ∈Q ，已知命题p ：若a π＋b ＝c π＋d ，则a ＝c 且b ＝d .(1)写出p的否定并判断真假；(2)写出p的逆命题、否命题、逆否命题并判断真假．【解】(1)綈p：“若aπ＋b＝cπ＋d，则a≠c或b≠d”．∵a、b、c、d∈Q，由aπ＋b＝cπ＋d，∴π(a－c)＝d－b∈Q，则a＝c且b＝d.故p是真命题，∴綈p是假命题．(2)逆命题：“若a＝c且b＝d，则aπ＋b＝cπ＋d”．真命题；否命题：“若aπ＋b≠cπ＋d，则a≠c或b≠d.”真命题；逆否命题：“若a≠c或b≠d，则aπ＋b≠cπ＋d”．真命题．16．(本小题满分12分)分别指出由下列各组命题构成的“p且q”“p或q”“非p”形式的命题的真假．(1)p：x＝2是方程x2－6x＋8＝0的一个解，q：x＝4是方程x2－6x＋8＝0的一个解；(2)p：不等式x2－4x＋4＞0的解集为R，q：不等式x2－2x＋2≤1的解集为∅.【解】(1)p或q：x＝2是方程x2－6x＋8＝0的一个解或x＝4是方程x2－6x＋8＝0的一个解．(真)p且q：x＝2是方程x2－6x＋8＝0的一个解且x＝4是方程x2－6x＋8＝0的一个解．(真)非p：x＝2不是方程x2－6x＋8＝0的一个解．(假)(2)p或q：不等式x2－4x＋4＞0的解集为R或不等式x2－2x＋2≤1的解集为∅.(假)p且q：不等式x2－4x＋4＞0的解集为R且不等式x2－2x＋2≤1的解集为∅.(假)非p：不等式x2－4x＋4＞0的解集不为R.(真)17．(本小题满分12分)(2013·抚州高二检测)p：x∈A＝{x|x2－2x－3≤0，x ∈R}，q：x∈B＝{x|x2－2mx＋m2≤9，x∈R，m∈R}．(1)若A∩B＝[2,3]，求实数m的值．(2)若p是綈q的充分条件，求实数m的取值范围．【解】(1)A＝{x|－1≤x≤3，x∈R}，B＝{x|m－3≤x≤m＋3，x∈R，m∈R}，∵A∩B＝[2,3]，∴m＝5.(2)∵p是綈q的充分条件，∴A⊆∁R B，∴m－3＞3或m＋3＜－1，∴m＞6或m＜－4.18．(本小题满分14分)给出两个命题：命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为∅，命题乙：函数y ＝(2a2－a)x为增函数．分别求出符合下列条件的实数a的范围．(1)甲、乙至少有一个是真命题；(2)甲、乙中有且只有一个是真命题．【解】甲命题为真时，Δ＝(a－1)2－4a2＜0，即a＞13或a＜－1.乙命题为真时，2a2－a＞1，即a＞1或a＜－12.(1)甲、乙至少有一个是真命题时，即上面两个范围取并集，∴a的取值范围是{a|a＜－12或a＞13}．(2)甲、乙中有且只有一个是真命题，有两种情况：甲真乙假时，13＜a≤1，甲假乙真时，－1≤a＜－12，∴甲、乙中有且只有一个真命题时，a的取值范围为{a|13＜a≤1或－1≤a＜－12}．。
高中数学选修1-1(人教A版)第一章常用逻辑用语1.3知识点总结含同步练习及答案
p
真 真 假 假
q
真 假 真 假
p∨q
真 真 真 假
非（not）
非（not） 一般地，对一个命题 p 全盘否定，就得到一个新命题，记作 ¬p 读作“非 p ”或“ p 的否 定”．若 p 是真命题，则 ¬p 必是假命题；若 p 是假命题，则 ¬p 必是真命题．
p
真 假
¬p
假 真
复合命题 不含有逻辑联结词的命题是简单命题，由简单命题与逻辑联结词“或”、“且”、“非”构成的 命题是复合命题． 例题： 将下列命题用“且”和“或”联结成新的命题，并判断它们的真假． （1）p : √2 是无理数，q : 3 不是无理数； （2）p : 方程 x 2 + 2x + 1 = 0 有两个不相等的实数根，q : 方程 x2 + 2x + 1 = 0 两根的绝对 值相等； （3）p : 3 是 19 的约数，q : 3 是 27 的约数． 解：（1） p ∧ q ：√2 是无理数且 3 不是无理数；p ∨ q ：√2 是无理数或 3 不是无理数． 由于 p 是真命题，q 是真命题，所以 p ∧ q 是真命题， p ∨ q 是真命题． （2） p ∧ q ：方程 x 2 + 2x + 1 = 0 有两个不相等的实数根且两根的绝对值相等；p ∨ q ：方程 x2 + 2x + 1 = 0 有两个不相等的实数根或两根的绝对值相等． 由于 p 是假命题，q 是真命题，所以 p ∧ q 是假命题，p ∨ q 是真命题． （3）p ∧ q ：3 是 19 的约数且 3 是 27 的约数；p ∨ q ：3 是 19 的约数或 3 是 27 的约 数． 由于 p 是假命题，q 是真命题，所以 p ∧ q 是假命题，p ∨ q 是真命题． 写出下列命题的否定，并判断真假． （1）p ：y = cos x 是奇函数； （2）p ： （3）p ：四个角都相等的四边形是正方形； （4）p ：一元二次方程至多有两个解． 解：（1）¬p : y = cos x 不是奇函数．是真命题． （2）¬p : （3）¬p : 四个角都相等的四边形不都是正方形．是真命题． （4）¬p : 一元二次方程至少有三个解．是假命题．
人教A版选修1-1第一章常用逻辑用语综合检测题(解析版)
人教A 版选修1-1第一章常用逻辑用语综合检测题（解析版）一、单选题 1．命题“c R ，22ac bc <”的否定是（ ）.A ．c R ∀∉，22ac bc ≥B ．c R ∃∉，22ac bc ≥C ．c R ，22ac bc ≥D ．c R ∃∈，22ac bc ≥【答案】D 【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可. 【详解】 因为命题“c R ，22ac bc <”为全称命题，所以其否定为特称命题，即c R ∃∈，22ac bc ≥.故选：D .2．已知命题p ：∃x 0∈（1,+∞），0012x x +=；命题q ：∀x ∈R ，9x 2﹣6x +2＞0.那么下列命题不正确的是（ ） A ．p q ⌝∨ B ．p q ∨⌝C ．p q ⌝∨⌝D ．p q ∨【答案】B 【分析】由命题描述知p 为假，q 为真，判断由它们用逻辑联结词构成命题的真假，进而确定假命题的选项即可. 【详解】当且仅当x 0＝1时，0012x x +=，故命题p 为假；对于方程9x 2﹣6x +2＝0的2(6)4920∆=--⨯⨯<.故命题q 为真，∴p ⌝为真，q ⌝为假，故选项中只有p q ∨⌝为假， 故选：B.3．“0a b >>”是“222a b ab +<”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【分析】由题意分别考查充分性和必要性是否成立即可. 【详解】2202a b a b ab >>⇒+>，充分性成立，222a b ab a b +<⇒≠，a ，b R ∈，必要性不成立，故选A ．【点睛】本题主要考查了充分性和必要性的判断，属于基础题.4．已知命题,cos()cos p x R x x π∃∈-=:；命题2:,10q x R x ∀∈+>.则下面结论正确的是（ ） A ．p q ∧是真命题 B ．p q ∧是假命题C ．p ⌝是真命题D ．p 是假命题【答案】A 【分析】先确定命题,p q 真假性，再判断复合命题真假性. 【详解】,cos()cos 2x x x ππ∃=-=∴命题,cos()cos p x R x x π∃∈-=:为真命题；2,110x R x ∀∈+≥>∴命题2:,10q x R x ∀∈+>为真命题；因此p q ∧是真命题，p ⌝是假命题， 故选：A 【点睛】本题考查判断命题真假以及复合命题真假，考查基本分析判断能力，属基础题. 5．已知集合A ={x |x >5}，集合B ={x |x >a }，若命题“x ∈A ”是命题“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(-∞，5) B ．(-∞，5] C ．(5，+∞) D ．[5，+∞)【答案】A 【解析】 【分析】由“x ∈A ”是命题 “x ∈B ”的充分不必要条件可得A 是B 的真子集，结合数轴即可得解. 【详解】由题意可知，A ⫋B ，又A ={x |x >5}， B ={x |x >a }，如图所示， 由图可知，a <5. 故选：A. 【点睛】本题考查了充分必要条件，考查了命题语言和集合语言的转化，考查转化思想，整体计算量不大，属于简单题.6．设m R ∈，命题“若0m <，则方程20x x m ++=有实根”的逆否命题是（ ） A ．若方程20x x m ++=有实根，则0m < B ．若方程20x x m ++=有实根，则0m ≥ C ．若方程20x x m ++=没有实根，则0m < D ．若方程20x x m ++=没有实根，则0m ≥ 【答案】D 【分析】直接利用逆否命题的定义写出结果判断选项即可. 【详解】“0m <”的否定是“0m ≥”，“方程2+0x x m +=有实根”的否定是“方程2+0x x m +=没有实根”， 因此原命题的逆否命题是“若方程2+0x x m +=没有实根，则0m ≥”， 故选：D ． 【点睛】该题考查的是有关写出命题的逆否命题的问题，在解题的过程中，注意原命题与逆否命题之间的关系，原命题确定之后，其逆否命题的形式，属于基础题.7．已知命题p ：()22xxf x -=+是偶函数，命题q ：若21a ≤，则1a ≤，则下列命题为真命题的是（ ） A ．p q ∧ B ．()p q ∧⌝ C ．()p q ⌝∧ D ．()()p q ⌝∧⌝【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性的判断可得命题p 是真命题，利用不等式的解法可得命题q 为真命题，再由复合命题的真假判断可得选项. 【详解】 因为()()22xx f x f x --=+=，所以函数()f x 是偶函数，所以p 是真命题，p ⌝是假命题，又21a ≤，解得11a -≤≤，满足1a ≤，所以q 是真命题，q ⌝是假命题，所以p q ∧是真命题，()p q ∧⌝是假命题，()p q ⌝∧是假命题，()()p q ⌝∧⌝是假命题，故选：A.8．已知1:2310l x y +-=，2:320l mx y +-=，则命题“m ∃∈R ，使1l 与2l 平行”的否定是（ ）A ．m ∃∈R ，使1l 与2l 平行B ．m ∃∈R ，使1l 与2l 不平行C ．m R ∀∈，使1l 与2l 平行D ．m R ∀∈，使1l 与2l 不平行【答案】D 【分析】根据特称命题的否定变换形式即可得出结果. 【详解】命题“m ∃∈R ，使1l 与2l 平行”， 命题的否定：m R ∀∈，使1l 与2l 不平行， 故选：D9．下列选项叙述错误的是（ ）A ．命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =”B ．若命题:p x AB ∈，则命题p ⌝是x A ∉或x B ∉C ．若p q ∨为真命题，则p ，q 均为真命题D ．“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件【答案】C 【分析】根据逆否命题的定义，即可判断A 的正误；根据命题的否定，可判断B 的正误；根据“或”命题的性质，可判断C 的正误；根据充分、必要条件的定义，可判断D 的正误，即可得答案. 【详解】对于A ：命题“若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =”，故A 正确，所以A 不符合题意； 对于B ：若命题:p x AB ∈，即x A ∈且x B ∈，则命题p ⌝是x A ∉或x B ∉，故B正确，所以B 不符合题意；对于C ：若p q ∨为真命题，则p ，q 有一个为真命题或两个都为真命题，故C 错误，所以C 符合题意；对于D ：因为2320x x -+>，所以2x >或1x <，所以2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件，故D 正确，所以D 不符合题意. 故选：C10．有下列四个命题：①“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题； ②“面积相等的三角形全等”的否命题；③“若1m ，则x 2﹣2x +m ＝0有实数解”的逆否命题； ④“若AB B =，则A B ⊂”的逆否命题．其中为真命题的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．④ D ．①②③【答案】D 【分析】根据四种的形式及命题的等价关系，逐项判定，即可求解. 【详解】①中，命题“若xy ＝1，则x ，y 互为倒数”的逆命题是 “若x ，y 互为倒数，则xy ＝1”是真命题，故①正确；②中，命题“面积相等的三角形全等”的否命题是：“面积不相等的三角形不全等”是真命题，故②正确；③中，命题若x 2﹣2x +m ＝0有实数解，则440m ∆=-≥，解得1m ，所以若1m ，可得x 2﹣2x +m ＝0有实数解”是真命题，所以“若1m ，则x 2﹣2x +m ＝0有实数解”的逆否命题是“若x 2﹣2x +m ＝0没有有实数解，则m ＞1”是真命题，故③正确；④中，若A ∩B ＝B ，则B A ⊆，故原命题错误，所以若A ∩B ＝B ，则A ⊂B ”的逆否命题是错误， 故④错误； 故选：D ．11．若命题P :1x ≠或2y ≠，命题Q :3x y +≠，则P 是Q 的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分又不必有 【答案】B 【分析】通过举反例，判断出P 成立推不出Q 成立，通过判断逆否命题的真假，判断出原命题的真假得到后者成立能推出前者成立，由充分条件、必要条件的定义得到结论． 【详解】当0x =，3y =时，Q 不成立，即P Q ⇒不成立，即充分性不成立； 判断必要性时，写出原命题：1x ≠或2y ≠时，则3x y +≠， 由于原命题不好判断，故转化为逆否命题进行判断，即原命题变为：若3x y +=，则有1x =且2y =，对于该命题，明显成立，所以，原命题也成立；即必要性成立；所以P 是Q 的必要而不充分条件， 故选B 【点睛】关键点睛：判断一个命题是另一个命题的什么条件，一般先判断前者成立是否能推出后者成立，再判断后者成立能否推出前者成立；本题难点在于：利用逆否命题的真假性判断原命题的真假性，属于中档题．12．在整数集Z 中，被6除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[]k ，即[]{}6k n k n Z =+∈，1k =，2，3，4，5给出以下五个结论：①[]55-∈；②[][][][][][]012345=⋃⋃⋃⋃⋃Z ；③“整数a 、b 属于同一“类””的充要条件是“[]0a b -∈”；④“整数a 、b 满足[]1∈a ，[]2b ∈”的充要条件是“[]3+∈a b ”，则上述结论中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】根据“类”的定义逐一进行判断可得答案. 【详解】①因为[]{}565|n n Z =+∈，令655n +=-，得10563n =-=-Z ∉，所以[]55-∉，①不正确；②[][][][][][]012345⋃⋃⋃⋃⋃{}{}{}1122336|61|62|n n Z n n Z n n Z =∈+∈+∈{}4463|n n Z +∈{}5564|n n Z +∈{}6665|n n Z +∈Z =，故②正确；③若整数a 、b 属于同一“类”，则整数,a b 被6除所得余数相同，从而-a b 被6除所得余数为0，即[]0a b -∈；若[]0a b -∈，则-a b 被6除所得余数为0，则整数,a b 被6除所得余数相同，故“整数a 、b 属于同一“类””的充要条件是“[]0a b -∈”，所以③正确；④若整数a 、b 满足[]1∈a ，[]2b ∈，则161a n =+，1n Z ∈，262b n =+，2n Z ∈， 所以126()3a b n n +=++，12n n Z +∈，所以[]3+∈a b ；若[]3+∈a b ，则可能有[][]2,1a b ∈∈，所以“整数a 、b 满足[]1∈a ，[]2b ∈”的必要不充分条件是“[]3+∈a b ”，所以④不正确. 故选：B 【点睛】关键点点睛：对新定义的理解以及对充要条件的理解是本题解题关键.二、填空题13．设r 是q 的充分条件，s 是q 的充要条件，t 是s 的必要条件，t 是r 的充分条件，那么r 是t 的_____． 【答案】充要根据题目已知的关系，分别列出推出关系即可得解. 【详解】由题意知，r q ⇒，q s ⇔，s t ⇒，t r ⇒，所以r t ⇔． 故答案为：充要 【点睛】此题考查充分条件和必要条件的判断，根据已知条件的关系，利用推出关系进行分析.14．若“0[1,2],x ∃∈20010x ax -->”为真命题，则实数a 的取值范围为________.【答案】32a < 【分析】将问题转化为“001x a x ->在[]1,2能成立”，根据函数的单调性以及最值，计算出实数a 的取值范围. 【详解】因为0[1,2],x ∃∈20010x ax -->，所以001x a x ->在[]1,2能成立，所以00max 1a x x ⎛⎫<- ⎪⎝⎭且[]01,2x ∈，又因为()1f x x x=-在[]1,2上是增函数，所以()()max 132222f x f ==-=，所以32a <. 故答案为：32a <. 【点睛】本题考查已知特称命题的真假求解参数范围，难度较易.()f x a ≥区间上恒成立的问题可转化为()min f x a ≥；()f x a ≥区间上能成立的问题可转化为()max f x a ≥. 15．已知命题:p x ∃∈R ，||10m x +≤，若p ⌝为假命题，则实数m 的取值范围是________.【答案】{|0}m m < 【分析】p ⌝为假命题，则p 为真命题，对m 进行分类讨论，即可求得答案.若p ⌝为假命题，则p 为真命题.当0m ≥时，||110m x +≥>，p 为假命题；当0m <时，取2x m=，则2||112110m x m m -++==-+<=，p 为真命题. 因此若p ⌝为假命题，则实数m 的取值范围是{|0}m m <. 故答案为：{|0}m m <. 【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定及其真假性判断、不等式的性质，考查函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意参变分离法的运用. 16．下列几个命题①方程2(3)0x a x a +-+=有一个正实根，一个负实根，则0a <．②函数y =是偶函数，但不是奇函数．③函数()f x 的值域是[2,2]-，则函数(1)f x +的值域为[3,1]-．④ 设函数()y f x =定义域为R ，则函数(1)y f x =-与(1)=-y f x 的图象关于y 轴对称．⑤一条曲线2||3y x =-和直线()y a a R =∈的公共点个数是m ，则m 的值不可能是1． 其中正确的有___________________． 【答案】①⑤ 【详解】因为命题①中，利用根与系数的关系可知成立，命题②中，由于函数化简为y=0，因此是奇函数还是偶函数，故错误，命题③，值域不变，错误，命题④中，应该是关系与x=1对称，错误，命题⑤成立，故填写正确命题的序号为①⑤三、解答题17．已知0,1a a >≠，命题:p “函数()x f x a =在()0,∞+上单调递减”；命题:q “关于x 的不等式21204x ax -+≥对一切的x ∈R 恒成立”，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数a 的取值范围. 【答案】1,12⎛⎫⎪⎝⎭根据()f x 的单调递减，可得a 的取值范围；根据命题q 恒成立，可得a 的取值范围．由p q ∧为假命题，p q ∨为真命题可知命题p 与命题q 一真一假，通过分类讨论即可得a的取值范围． 【详解】p 为真：01a <<q 为真：2410a ∆=-≤，得1122a -≤≤又0,1a a >≠，102∴<≤a 因为p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，所以,p q 命题一真一假（1）当p 真q 假0111122a a a <<⎧⎪⇒<<⎨>⎪⎩ （2）当p 假q 真1102a a >⎧⎪⎨<≤⎪⎩，无解综上，a 的取值范围是1,12⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查了复合命题真假的关系，不等式分类讨论的应用，属于基础题． 18．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0（其中a≠0），q ：实数x 满足302x x -≤- (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围． 【答案】(1) (2,3) (2) (1,2] 【详解】试题分析：(1)当a ＝1时，解得1＜x ＜3，即p 为真时实数x 的取值范围是1＜x ＜3. 2分由2260280x x x x ⎧--≤⎨+->⎩，得2＜x≤3，即q 为真时实数x 的取值范围是2＜x≤3. 4分 若p ∧q 为真，则p 真且q 真，5分 所以实数x 的取值范围是(2,3)．7分(2)p 是q 的必要不充分条件，即q ⇒p ，且p/⇒q ，8分设A ＝{x|p(x)}，B ＝{x|q(x)}，则A ⊂B ，又B ＝(2,3]，由x 2－4ax ＋3a 2＜0得(x －3a)(x －a)＜0，9分当a ＞0时，A ＝(a,3a)，有233a a ≤⎧⎨<⎩，解得1＜a≤2；11分 当a ＜0时，A ＝(3a ，a)，显然A∩B ＝∅，不合题意．13分所以实数a 的取值范围是(1,2]．15分考点：解不等式及复合命题，集合包含关系点评：复合命题p ∧q 的真假由命题p ，q 共同决定，当两命题中有一个是真命题时复合后为假命题，由若p 是q 的必要不充分条件可得集合p 是集合q 的真子集19．已知命题p ：函数()log 1a y x =+在定义域上单调递增；命题q ：不等式()()222210a x a x -+-+>对任意实数x 恒成立．（1）若q 为真命题，求实数a 的取值范围；（2）若“()p q ∧￢”为真命题，求实数a 的取值范围．【答案】（1）23a ≤<（2）()1,2[3⋃，).+∞【分析】（1）分类讨论2a =恒成立和20a ->时，0<，结果求并集；2p （）为真时，1a >；q ￢为真，即q 为假时，2a <或3a ≥，结果再相交．【详解】解（1）因为命题q ：不等式()()222210a x a x -+-+>对任意实数x 恒成立为真命题，所以2a =或()2024(2)421023a a a a ->⎧=---⨯<⇒<<⎨⎩综上所述：23a ≤<（2）因为“()p q ∧￢为真命题，故p 真q 假．因为命题p ：函数()log 1a y x =+在定义域上单调递增，所以 1.a >q 假，由()1可知2a <或3a ≥所以()[)2311,23,a a a a <≥⎧>⇒∈⋃+∞⎨⎩或 所以实数a 的取值范围为()1,2[3⋃，).+∞【点睛】本题考查了复合命题及其真假，属基础题．20．已知命题p ：实数x 满足3a x a -<<（其中0a >），命题q ：实数x 满足14x << （1）若1a =，且p 与q 都为真命题，求实数x 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【答案】（1）()1,3；（2）4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【分析】记命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈（1）当1a =时，求出A ，B ，根据p 与q 均为真命题，即可求出x 的范围； （2）求出A ，B ，通过p 是q 的必要不充分条件，得出B A ⊆，建立不等式组，求解即可.【详解】记命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈（1）当1a =时，{}13A x x =-<<，{}14B x x =<<， p 与q 均为真命题，则x A B ∈，∴x 的取值范围是()1,3.（2）{}3A x a x a =-<<，{}14B x x =<<， p 是q 的必要不充分条件，∴集合B A ⊆，∴134a a -≤⎧⎨≥⎩，解得43a ≥， 综上所述，a 的取值范围是4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】1.命题真假的判断（1）真命题的判断方法：真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确地逻辑推理的一个过程，判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法．（2）假命题的判断方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．（3）一些命题的真假也可以依据客观事实作出判断．2.从逻辑关系上看，若p q ⇒，但q p ⇒/，则p 是q 的充分不必要条件；若p q ⇒/，但q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件；若p q ⇒，且q p ⇒，则p 是q 的充要条件；若p q ⇒/，且q p ⇒/，则p 是q 的既不充分也不必要条件. 21．已知幂函数f （x ）＝（3m 2﹣2m ）x 12m -在（0，+∞）上单调递增，g （x ）＝x 2﹣4x +t . （1）求实数m 的值；（2）当x ∈[1，9]时，记f （x ），g （x ）的值域分别为集合A ，B ，设命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若命题q 是命题p 的必要不充分条件，求实数t 的取值范围.【答案】（1）m ＝1（2）﹣42≤t ≤5【分析】(1)利用幂函数的性质即可求解;(2)先求出()f x ,()g x 的值域A ,B ,再利用命题q 是命题p 的必要不充分条件可以推出“A ⫋B ,”,由此即可求解.【详解】(1)∵f (x )=(3m 2﹣2m )x 12m -为幂函数,且在(0,+∞)上单调递增; ∴2321102m m m ⎧-=⎪⎨-⎪⎩＞⇒m =1; (2)由(1)可得12()f x x =,当x ∈[1,9]时,f (x )值域为:[1,3],g (x )=x 2﹣4x +t 的值域为:[t ﹣4,t +45],∴A =[1,3],B =[t ﹣4,t +45];∵命题p :x ∈A ,命题q :x ∈B ,且命题q 是命题p 的必要不充分条件,∴A ⫋B ,∴41453t t -≤⎧⎨+≥⎩425t ⇒-≤≤, 故实数t 的取值范围为[42,5]-.【点睛】本题考查了幂函数的性质以及条件的充分性与必要性,考查学生分析与推理能力,属于中档题.22．设a R ∈，命题2:[1,2],0p x x a ∃∈->，命题2:,10q x R x ax ∀∈++>.（1）若命题p 是真命题，求a 的范围；（2）若命题()p q ⌝∨为假，求a 的取值范围.【答案】（1）4a <（2）2a ≤-或24a ≤<.【分析】（1）根据存在性问题的求解方法，得到a 与2x 之间的关系，即可求解出a 的范围； （2）根据()p q ⌝∨为假，判断出,p q 的真假，列出对应的不等式即可求解出a 的取值范围.【详解】（1）当p 为真命题时，则()2max a x <在[1,2]x ∈成立，解得4a <，∴p 为真时4a <；（2）当q 为真命题时，则240a -<，解得22a -<<，由（1）知p 为真时4a <，由()p q ⌝∨为假可得p 为真q 为假，则42a a <⎧⎨≤-⎩或42a a <⎧⎨≥⎩，则2a ≤-或24a ≤<. 【点睛】本题考查根据命题、含逻辑联结词的复合命题的真假求解参数范围，难度较易.其中对于存在性的分析，是求解问题的关键：若()a f x <存在解，则()max a f x <；若()a f x >存在解，则()min a f x >.。
高中数学人教a版高二选修1-1_第一章常用逻辑用语_学业分层测评4 有答案
高中数学人教a版高二选修1-1_第一章常用逻辑用语_学业分层测评4 有答案(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题中为真命题的是() A．p∧q B．p∨qC．¬p D．¬p∧¬q【解析】命题p真，命题q假，所以“p∨q”为真．【答案】 B2．如果命题“¬(p∨q)”为假命题，则()A．p、q均为真命题B．p、q均为假命题C．p、q中至少有一个为真命题D．p、q中至多有一个为假命题【解析】∵¬(p∨q)为假命题，∴p∨q为真命题，故p、q中至少有一个为真命题．【答案】 C3．由下列各组命题构成“p∨q”“p∧q”“¬p”形式的命题中，“p∨q”为真，“p∧q”为假，“¬p”为真的是()A．p：3为偶数，q：4是奇数B．p：3＋2＝6，q：5＞3C．p：a∈{a，b}；q：{a}{a，b}D．p：Q R；q：N＝N【解析】由已知得p为假命题，q为真命题，只有B符合．【答案】 B4．已知全集U＝R，A⊆U，B⊆U，如果命题p：3∈(A∪B)，则命题“¬p”是()A.3∉AB.3∈(∁U A)∩(∁U B)C.3∈∁U BD.3∉(A ∩B )【解析】 由p ：3∈(A ∪B )，可知¬p ：3∉(A ∪B )，即3∈∁U (A ∪B )，而∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )，故选B.【答案】 B5．已知命题p ：所有有理数都是实数，命题q ：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是( )A ．(¬p )∨qB ．p ∧qC ．(¬p )∧(¬q )D ．(¬p )∨(¬q )【解析】 由于命题p ：所有有理数都是实数，为真命题，命题q ：正数的对数都是负数，为假命题，所以¬p 为假命题，¬q 为真命题，故只有(¬p )∨(¬q )为真命题．【答案】 D二、填空题6．设命题p ：2x ＋y ＝3，q ：x －y ＝6，若p ∧q 为真命题，则x ＝________，y ＝________.【解析】 由题意有⎩⎨⎧ 2x ＋y ＝3，x －y ＝6， 解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－3. 【答案】 3 －37．命题“若a <b ，则2a <2b ”的否命题是____________，命题的否定是________.【解析】 命题“若p ，则q ”的否命题是“若¬p ，则¬q ”，命题的否定是“若p ，则¬q ”．【答案】 若a ≥b ，则2a ≥2b 若a <b ，则2a ≥2b8．已知命题p ：1∈{x |(x ＋2)(x －3)＜0}，命题q ：∅＝{0}，则下列判断正确的是________．(填序号)(1)p 假，q 真 (2)“p ∨q ”为真(3)“p ∧q ”为真 (4)“¬p ”为真【解析】 p 真，q 假，故p ∨q 为真．【答案】 (2)三、解答题9．写出由下列各组命题构成的“p∨q”“p∧q”“¬p”形式的命题，并判断其真假：(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解；(3)p：集合中元素是确定的，q：集合中元素是无序的．【解】(1)p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．∵q：梯形有一组对边相等是假命题，∴命题p∧q是假命题．p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．∵p：梯形有一组对边平行是真命题，∴命题p∨q是真命题．¬p：梯形没有一组对边平行．∵p是真命题，∴¬p是假命题．(2)p∧q：－3与－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，是真命题．p∨q：－3或－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，是真命题．¬p：－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解．∵p是真命题，∴¬p是假命题．(3)p∧q：集合中的元素是确定的且是无序的，是真命题．p∨q：集合中的元素是确定的或是无序的，是真命题．¬p：集合中的元素是不确定的，是假命题．10．已知命题p：1∈{x|x2<a}，命题q：2∈{x|x2<a}．(1)若“p或q”为真命题，求实数a的取值范围；(2)若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．【解】若p为真，则1∈{x|x2<a}，所以12<a，即a>1；若q为真，则2∈{x|x2<a}，所以22<a，即a>4.(1)若“p或q”为真，则a>1或a>4，即a>1.故实数a的取值范围是(1，＋∞)．(2)若“p且q”为真，则a>1且a>4，即a>4.故实数a的取值范围是(4，＋∞)．[能力提升]1．p：点P在直线y＝2x－3上；q：点P在曲线y＝－x2上，则使“p∧q”为真命题的一个点P(x，y)是()A．(0，－3)B．(1,2)C．(1，－1) D．(－1,1)【解析】要使“p∧q”为真命题，须满足p为真命题，q为真命题，既点P(x，y)既在直线上，也在曲线上，只有C满足．【答案】 C2．下列命题中的假命题是()A．∃x∈R，lg x＝0 B．∃x∈R，tan x＝1C．∀x∈R，x3＞0 D．∀x∈R,2x＞0【解析】易知A，B，D项中均为真命题，对于C项，当x＝0时，x3＝0，C为假命题．【答案】 C3．已知条件p：(x＋1)2＞4，条件q：x＞a，且¬p是¬q的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．【解析】由¬p是¬q的充分而不必要条件，可知¬p⇒¬q，但¬q⇒/¬p，又一个命题与它的逆否命题等价，可知q⇒p但p⇒/q，又p：x＞1或x＜－3，可知{x|x＞a}{x|x ＜－3或x＞1}，所以a≥1.【答案】[1，＋∞)4．设有两个命题，命题p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是∅；命题q：函数f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数．如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围.【解】对于p：因为不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集为∅，所以Δ＝[－(a＋1)]2－4<0.解这个不等式，得－3<a<1.对于q：f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数，则有a＋1>1，所以a>0.又因为p∧q为假命题，p∨q为真命题，所以p，q必是一真一假．当p真q假时，有－3<a≤0，当p假q真时，有a≥1. 综上所述，a的取值范围是(－3,0]∪[1，＋∞)．。
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人教新课标版（A ）高二选修1-1 第一章 常用逻辑用语综合例题
例1. 把下列各命题作为原命题，分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题。
（1）若β=α，则β=αsin sin ；
（2）若对角相等，则梯形为等腰梯形； （3）已知a 、b 、c 、d 都是实数，若b a =，d c =，则d b c a +=+。
分析：先明确原命题的条件p 与结论q ，把原命题写成“若p ，则q ”形式，再去构造其他三种命题，对具有大前提的原命题，在写出其他三种命题时，应保留这个大前提。
解：（1）逆命题：若β=αsin sin ，则β=α；
否命题：若β≠α，则β≠αsin sin ；
逆否命题：若β≠αsin sin ，则β≠α。
（2）逆命题：若梯形为等腰梯形，则它的对角线相等；
否命题：若梯形的对角线不相等，则梯形不是等腰梯形；
逆否命题：若梯形不是等腰梯形，则对角线不相等。
（3）逆命题：已知a 、b 、c 、d 是实数，若b a ≠或d c ≠，则b a =，d c =；
否命题：已知a 、b 、c 、d 是实数，若b a ≠或d c ≠，则d b c a +≠+；
逆否命题：已知a 、b 、c 、d 是实数，若d b c a +≠+，则b a ≠或d c ≠。
例2. “已知a ，b ，c ，d 是实数，若c a >，d b >，则d c b a +>+”，写出上述命题的逆命题，否命题与逆否命题，并分别判断它们的真假。
分析：按照定义写出各命题，再分析。
解法1：逆命题；已知a ，b ，c ，d 是实数，若d c b a +>+，则a ，b 都分别大于c 、d ； 否命题：已知a ，b ，c ，d 是实数，若a ，b 不都分别大于c ，d ，则d c b a +≤+； 逆否命题：已知a ，b ，c ，d 是实数，若d c b a +≤+，则a ，b 不都分别大于c ，d 。
逆命题为假命题，例如3215+>+，但25>，31<，根据逆命题与否命题的等价性知否命题为假命题。
因为原命题为真命题，根据原命题与逆否命题的等价性得逆否命题为真命题。
因为原命题为真命题，根据原命题与逆否命题的等价性是逆否命题为真命题。
解法2：逆命题：已知a ，b ，c ，d 是实数，若d c b a +>+，则c a >，d b >；
否命题：已知a ，b ，c ，d 是实数，若c a ≤或d b ≤，则d c b a +≤+；
逆否命题：已知a ，b ，c ，d 是实数，若d c b a +≤+，则c a ≤或d b ≤。
点拨：“已知 a ，b ，c ，d 是实数”是大前提，写四种命题时应该保留，解法1的写法是把原命题的条件写成“a ，b 都分别大于c ，d ”，把原命题的结论写成“d c b a +>+”，把条件用文字语言来表述，写否定也用文字语言表述，但要注意其否定到底是用“不都”还是“都不”，解法2把原命题的条件和结论作了符号化处理，这样写的好处是否定时有规律可循：“p 且q ”的否定是“p ⌝或q ⌝”。
例3. 若p ：2xh x 23x =-，:q 2x x 23=-，则p 是q 的
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
分析：方程2x x 23=-，即03x 2x 2=-+的解集为{}3x 1x |x -==或，关键是方程
2x x 23x =-的解集是什么，可有以下两种解法。
方法1：2x x 23x =-
()()()()1
x ,3x ,0x 01x 3x x 0
3x 2x x x x 23x 2224
2=-==⇒=-+⇒=-+⇒=-⇒
经检验3x -=不是原方程的解，因此原方程的解集为{}1x 0x |x ==或。
方法2：2x x 23x =-
()⎪⎩⎪⎨⎧=-≥-≥⇔42x x 23x 0x 230x ，()
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+≤≥⇔03x 2x x 23x 0x 22。
0x =⇔或1x =，
即原方程的解集为{}1x 0x |x ==或。
答案：D
点拨：从集合的角度分析p 与q 的逻辑关系，直观简明，不失为一种好的方法。
例4. 已知x 为实数，2
1x a 2+=，x 2b -=，1x x c 2+-=，用反证法证明：a ，b ，c 中至少有一个不小于1。
证明：假设a ，b ，c 均小于1，则有3c b a <++， 而321x 2x 21x x x 221x c b a 222++-=+-+-++
=++ 321x 232≥⎪⎭⎫ ⎝
⎛-+=， 这与3c b a <++矛盾，
所以a ，b ，c 中至少有一个不小于1。
点拨：用反证法证明命题的一般步骤如下：
（1）假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）由矛头判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。
例5. 求实数a 的取值范围，使得关于x 的方程()06a 2x 1a 2x 2=++-+。
（1）有两个都大于1的实数根； （2）至少有一个正实数根。
解：（1）方程()06a 2x 1a 2x 2=++-+的两实根1x 、2x 匀大于1的充要条件是： ⎪⎩⎪⎨⎧>>≥1x 1x 021△，()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-->-+-≥⇔01x 1x 01x 1x 021
21△
()⎪⎩⎪⎨⎧<-+>+≥⇔1x x x x 2x x 02121
21△
()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<+--->--≥+--⇔16a 21a 221a 206a 241a 42，⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-><≥-≤⇔45a 0a 5a 1a 或。
∴1a 4
5-≤<-为所求。
（2）由题意
①当一根为正，一根为负时，06a 2<+，△0>，
∴3a -<；
②当一根为正，一根为零时， ()⎪⎩
⎪⎨⎧>>--=+001a 206a 2△
∴3a -=；
③当两根均为正时，
()⎪⎩⎪⎨⎧>+=>--=+≥06a 2x x 01a 2x x 02121△，∴⎪⎩
⎪⎨⎧-><≥-≤3a 1
a 5a 1a 或 即1a 3-≤<-。
综上所述，至少有一个正实根的a 的取值范围是1a -≤。
点拨：利用充要条件解题，要时刻注意充分性与必要性同时成立，即保证推导过程中的每一步都不要有缺漏。