2019年高三理科数学一轮复习：导数的应用—极值与最值(解析版)

2019年高三理科数学一轮复习：导数的应用—极值与最值（解析版）1．函数y ＝x 3－3x 2－9x(－2<x<2)有( ) A ．极大值为5，极小值为－27 B ．极大值为5，极小值为－11 C ．极大值为5，无极小值 D ．极大值为－27，无极小值答案 C解析 y ′＝3x 2－6x －9＝3(x 2－2x －3)＝3(x －3)(x ＋1)，∴y ′＝0时，x ＝3或x ＝－1. ∵－2<x<2，∴x ＝－1时，y ＝5；x ＝－1为极大值点，极大值为5，无极小值． 2．当函数y ＝x·2x 取极小值时，x ＝( ) A.1ln2 B ．－1ln2C ．－ln2D ．ln2答案 B解析 由y ＝x·2x ，得y ′＝2x ＋x·2x ·ln2，令y ′＝0，得2x (1＋x·ln2)＝0.∵2x ＞0，∴x ＝－1ln2. 3．设函数f(x)＝2x ＋lnx ，则( )A ．x ＝12为f(x)的极大值点B ．x ＝12为f(x)的极小值点C ．x ＝2为f(x)的极大值点D ．x ＝2为f(x)的极小值点答案 D解析 因为f(x)＝2x ＋lnx ，所以f ′(x)＝－2x 2＋1x ＝x －2x 2，且x>0.当x>2时， f ′(x)>0，这时f(x)为增函数；当0<x<2时，f ′(x)<0，这时f(x)为减函数．所以x ＝2为f(x)的极小值点．故选D.4．(2018·山西太原期中)设函数f(x)＝13x 3－x ＋m 的极大值为1，则函数f(x)的极小值为( )A ．－13B ．－1 C.13 D ．1答案 A解析 f ′(x)＝x 2－1，由f ′(x)＝0，得x 1＝1，x 2＝－1.所以f(x)在区间(－∞，－1)上单调递增，在区间(－1，1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，所以函数f(x)在x ＝－1处取得极大值，且f(－1)＝1，即m ＝13，函数f(x)在x ＝1处取得极小值，且f(1)＝13×13－1＋13＝－13.故选A. 5．(2018·苏锡常镇一调)f(x)＝e x －x(e 为自然对数的底数)在区间[－1，1]上的最大值是( ) A ．1＋1eB ．1C ．e ＋1D ．e －1答案 D解析 f ′(x)＝e x －1，令f ′(x)＝0，得x ＝0.令f ′(x)>0，得x>0，令f ′(x)<0，得x<0，则函数f(x)在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增，f(－1)＝e －1＋1，f(1)＝e －1，f(－1)－f(1)＝1e ＋2－e<12＋2－e<0，所以f(1)>f(－1)．故选D.6．若函数y ＝ax 3＋bx 2取得极大值和极小值时的x 的值分别为0和13，则( )A ．a －2b ＝0B ．2a －b ＝0C ．2a ＋b ＝0D ．a ＋2b ＝0答案 D解析 y′＝3ax 2＋2bx ，据题意，0，13是方程3ax 2＋2bx ＝0的两根，∴－2b 3a ＝13，∴a ＋2b ＝0.7．已知f(x)＝2x 3－6x 2＋m(m 为常数)在[－2，2]上有最大值3，那么此函数在[－2，2]上的最小值是( ) A ．－37 B ．－29 C ．－5 D ．以上都不对 答案 A解析 f ′(x)＝6x 2－12x ＝6x(x －2)，∴f(x)在(－2，0)上单调递增，在(0，2)上单调递减． ∴x ＝0为极大值点，也为最大值点．∴f(0)＝m ＝3，∴m ＝3. ∴f(－2)＝－37，f(2)＝－5，∴最小值是－37，选A. 8．若函数f(x)＝x 3－3bx ＋3b 在(0，1)内有极小值，则( ) A ．0＜b ＜1 B ．b ＜1 C ．b ＞0 D ．b ＜12答案 A解析 f(x)在(0，1)内有极小值，则f ′(x)＝3x 2－3b 在(0，1)上先负后正，∴f ′(0)＝－3b ＜0.∴b ＞0.f ′(1)＝3－3b ＞0，∴b ＜1.综上，b 的取值范围为0＜b ＜1.9．设函数f(x)在R 上可导，其导函数为f ′(x)，且函数f(x)在x ＝－2处取得极小值，则函数y ＝xf ′(x)的图像可能是( )答案 C解析 由f(x)在x ＝－2处取得极小值可知， 当x<－2时，f ′(x)<0，则xf ′(x)>0； 当－2<x<0时，f ′(x)>0，则xf ′(x)<0； 当x>0时，xf ′(x)>0.10．已知f(x)＝x 3＋px 2＋qx 的图像与x 轴相切于非原点的一点，且f(x)极小值＝－4，那么p ，q 值分别为( ) A ．6，9 B ．9，6 C ．4，2 D ．8，6答案 A解析 设图像与x 轴的切点为(t ，0)(t ≠0)，设⎩⎪⎨⎪⎧f （t ）＝t 3＋pt 2＋qt ＝0，f ′（t ）＝3t 2＋2pt ＋q ＝0，注意t ≠0， 可得出p ＝－2t ，q ＝t 2.∴p 2＝4q ，只有A 满足这个等式(亦可直接计算出t ＝－3)． 11．若函数f(x)＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1，1]总有f(x)≥0成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[2，＋∞) B ．[4，＋∞) C ．{4} D ．[2，4] 答案 C解析 f ′(x)＝3ax 2－3，当a ≤0时，f(x)min ＝f(1)＝a －2≥0，a ≥2，不合题意； 当0<a ≤1时，f ′(x)＝3ax 2－3＝3a(x ＋1a )(x －1a)，f(x)在[－1，1]上为减函数， f(x)min ＝f(1)＝a －2≥0，a ≥2，不合题意； 当a>1时，f(－1)＝－a ＋4≥0，且f(1a )＝－2a＋1≥0，解得a ＝4.综上所述，a ＝4. 12．若f(x)＝x(x －c)2在x ＝2处有极大值，则常数c 的值为________． 答案 6解析 f ′(x)＝3x 2－4cx ＋c 2，∵f(x)在x ＝2处有极大值，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′（2）＝0，f ′（x ）<0 （x>2），f ′（x ）>0 （x<2）.解得c ＝6.13．(2018·河南信阳调研)已知函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取得极值10，则f(2)的值为________． 答案 18解析 f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）＝10，f ′（1）＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋b ＋1＝10，2a ＋b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3. 当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x)＝3(x －1)2≥0，f(x)无极值． 当a ＝4，b ＝－11时，令f ′(x)＝0，得x 1＝1，x 2＝－113.当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：∴f(x)＝x 314．(2018·北京市昌平区一模)若函数f(x)＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取得极值，则a ＝________．答案 3解析 f ′(x)＝x 2＋2x －a（x ＋1）2，由f(x)在x ＝1处取得极值知f ′(1)＝0，∴a ＝3.15．已知函数f(x)＝mx ＋lnx ，g(x)＝x 3＋x 2－x.(1)若m ＝3，求f(x)的极值；(2)若对于任意的s ，t ∈[12，2]，都有f(s)≥110g(t)，求实数m 的取值范围．答案 (1)f(x)有极小值f(3)＝1＋ln3，没有极大值 (2)[1，＋∞)解析 (1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，当m ＝3时，f(x)＝3x ＋lnx.∵f ′(x)＝－3x 2＋1x ＝x －3x 2，f ′(3)＝0，∴当x>3时，f ′(x)>0，f(x)是增函数， 当0<x<3时，f ′(x)<0，f(x)是减函数．∴f(x)有极小值f(3)＝1＋ln3，没有极大值． (2)g(x)＝x 3＋x 2－x ，g ′(x)＝3x 2＋2x －1. 当x ∈[12，2]时，g ′(x)>0，∴g(x)在[12，2]上是单调递增函数，g(2)＝10最大．对于任意的s ，t ∈[12，2]，f(s)≥110g(t)恒成立，即对任意x ∈[12，2]，f(x)＝mx ＋lnx ≥1恒成立，∴m ≥x －xlnx.令h(x)＝x －xlnx ，则h ′(x)＝1－lnx －1＝－lnx. ∴当x>1时，h ′(x)<0，当0<x<1时，h ′(x)>0， ∴h(x)在(0，1]上是增函数，在[1，＋∞)上是减函数， 当x ∈[12，2]时，h(x)最大值为h(1)＝1，∴m ≥1，即m ∈[1，＋∞)．16．(2018·贵州遵义联考)已知函数f(x)＝x 3－ax 2＋10. (1)当a ＝1时，求函数y ＝f(x)的单调递增区间；(2)在区间[1，2]内至少存在一个实数x ，使得f(x)<0成立，求实数a 的取值范围． 答案 (1)(－∞，0)和(23，＋∞) (2)(92，＋∞)解析 (1)当a ＝1时，f ′(x)＝3x 2－2x ， 由f ′(x)>0，得x<0或x>23，所以函数y ＝f(x)在(－∞，0)与(23，＋∞)上为增函数，即函数y ＝f(x)的单调增区间是(－∞，0)和(23，＋∞)．(2)f ′(x)＝3x 2－2ax ＝3x(x －23a)，当23a ≤1，即a ≤32时，f ′(x)≥0在[1，2]恒成立，f(x)在[1，2]上为增函数， 故f(x)min ＝f(1)＝11－a ，所以11－a<0，a>11，这与a ≤32矛盾．当1<23a<2，即32<a<3时，若1≤x<23a ，则f ′(x)<0；若23a<x ≤2，则f ′(x)>0.所以当x ＝23a 时，f(x)取得最小值，因此f(23a)<0，即827a 3－49a 3＋10＝－427a 3＋10<0，可得a>3，这与32<a<3矛盾．当23a ≥2，即a ≥3时，f ′(x)≤0在[1，2]恒成立，f(x)在[1，2]上为减函数， 所以f(x)min ＝f(2)＝18－4a ，所以18－4a<0，解得a>92，满足a ≥3.综上所述，实数a 的取值范围为(92，＋∞)．17．已知函数f(x)＝(x －k)e x . (1)求f(x)的单调区间；(2)求f(x)在区间[0，1]上的最小值．答案 (1)减区间(－∞，k －1)，增区间(k －1，＋∞) (2)k ≤1时，最小值f(0)＝－k ； 1<k<2时，最小值f(k －1)＝－e k －1；k ≥2时，最小值f(1)＝(1－k)e 解析 (1)f ′(x)＝(x －k ＋1)e x . 令f ′(x)＝0，得x ＝k －1. f(x)与f ′(x)的变化情况如下表：所以f(x)(2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f(x)在[0，1]上单调递增，所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(0)＝－k ；当0<k －1<1，即1<k<2时，由(1)知f(x)在[0，k －1]上单调递减，在(k －1，1]上单调递增， 所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(k －1)＝－e k －1；当k －1≥1，即k ≥2时，函数f(x)在[0，1]上单调递减， 所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.1．(2017·河北辛集中学月考)连续函数f(x)的导函数为f ′(x)，若(x ＋1)·f ′(x)>0，则下列结论中正确的是( )A ．x ＝－1一定是函数f(x)的极大值点B ．x ＝－1一定是函数f(x)的极小值点C ．x ＝－1不是函数f(x)的极值点D ．x ＝－1不一定是函数f(x)的极值点 答案 B解析 x>－1时，f ′(x)>0，x<－1时，f ′(x)<0.∴连续函数f(x)在(－∞，－1)递减，在(－1，＋∞)递增． ∴x ＝－1为极小值点．2．若函数y ＝e x ＋mx 有极值，则实数m 的取值范围( ) A ．m>0 B ．m<0 C ．m>1 D ．m<1答案 B解析 y ′＝e x ＋m ，则e x ＋m ＝0必有根，∴m ＝－e x <0. 3．函数f(x)＝xe x ，x ∈[0，4]的最大值是( )A ．0 B.1e C.4e 4 D.2e 2 答案 B4．函数f(x)＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f(x)在x ＝－3时取得极值，则a ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 答案 D解析 f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋3，令f ′(－3)＝0，得a ＝5.5．设a ∈R ，若函数y ＝e ax ＋3x ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a<－13B ．a>－13C ．a<－3D ．a>－3 答案 C解析 ∵y ′＝ae ax ＋3，由y ′＝0，得x ＝1a ln(－3a )．∴－3a >0，∴a<0.又∵y ＝ae ax ＋3x 有正根， ∴必有⎩⎪⎨⎪⎧a<0，0<－3a <1，得a<－3.故选C. 6．已知e 为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e x －1)(x －1)k (k ＝1，2)，则( ) A ．当k ＝1时，f(x)在x ＝1处取到极小值B ．当k ＝1时，f(x)在x ＝1处取到极大值C ．当k ＝2时，f(x)在x ＝1处取到极小值D ．当k ＝2时，f(x)在x ＝1处取到极大值 答案 C解析 当k ＝1时，f ′(x)＝e x (x －1)＋e x －1，此时f ′(1)≠0，故排除A 、B 项；当k ＝2时，f ′(x)＝e x (x －1)2＋(e x －1)(2x －2)，此时f ′(1)＝0，在x ＝1附近左侧，f ′(x)<0，在x ＝1附近右侧，f ′(x)>0，所以x ＝1是f(x)的极小值点．7．函数f(x)＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则a ，b 的值为( ) A ．a ＝3，b ＝－3，或a ＝－4，b ＝11 B ．a ＝－4，b ＝1，或a ＝－4，b ＝11 C ．a ＝－1，b ＝5 D ．以上都不正确 答案 D解析 f ′(x)＝3x 2－2ax －b ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝0，f （1）＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3－2a －b ＝0，1－a －b ＋a 2＝10.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝11，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－3. 当a ＝3且b ＝－3时，f ′(x)＝3x 2－6x ＋3≥0，函数f(x)无极值点，故符合题意的只有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝11.故选D. 8．若函数f(x)＝x 3－3x 在(a ，6－a 2)上有最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－5，1) B ．[－5，1) C ．[－2，1) D ．(－5，－2]答案 C解析 f ′(x)＝3x 2－3＝0，解得x ＝±1，且x ＝1为函数的极小值点，x ＝－1为函数的极大值点．因为函数f(x)在区间(a ，6－a 2)上有最小值，所以函数f(x)的极小值点必在区间(a ，6－a 2)内，即实数a 满足a<1<6－a 2，且f(a)＝a 3－3a ≥f(1)＝－2.由a<1<6－a 2，解得－5<a<1.不等式a 3－3a ≥f(1)＝－2，所以a 3－3a ＋2≥0，所以a 3－1－3(a －1)≥0，所以(a －1)(a 2＋a －2)≥0，所以(a －1)2(a ＋2)≥0，即a ≥－2.故实数a 的取值范围是[－2，1)．故选C. 9.设函数f(x)在R 上可导，其导函数为f ′(x)，且函数y ＝(1－x)f ′(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B ．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C ．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D ．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 答案 D解析 (1)当x<－2时，1－x>0. ∵(1－x)f ′(x)>0，∴f ′(x)>0，即f(x)在(－∞，－2)上是增函数． (2)当－2<x<1时，1－x>0. ∵(1－x)f ′(x)<0，∴f ′(x)<0，即f(x)在(－2，1)上是减函数． (3)当1<x<2时，1－x<0. ∵(1－x)f ′(x)>0，∴f ′(x)<0，即f(x)在(1，2)上是减函数． (4)当x>2时，1－x<0. ∵(1－x)f ′(x)<0，∴f ′(x)>0，即f(x)在(2，＋∞)上是增函数． 综上，f(－2)是极大值，f(2)是极小值．10．下列关于函数f(x)＝(2x －x 2)e x 的判断正确的是________． ①f(x)>0的解集是{x|0<x<2}； ②f(－2)是极小值，f(2)是极大值； ③f(x)既没有最小值，也没有最大值． 答案 ①②③解析 若f(x)＝(2x －x 2)e x >0，则0<x<2，①正确；∵f ′(x)＝－e x (x ＋2)(x －2)，∴f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上单调递减，在(－2，2)上单调递增．∴f(－2)是极小值，f(2)是极大值，②正确；易知③也正确． 11．(2015·重庆)已知函数f(x)＝ax 3＋x 2(a ∈R )在x ＝－43处取得极值．(1)确定a 的值；(2)若g(x)＝f(x)e x ，讨论g(x)的单调性．答案 (1)a ＝12 (2)g(x)在(－∞，－4]和[－1，0]上为减函数，在[－4，－1]和[0，＋∞)上为增函数解析 (1)对f(x)求导得f ′(x)＝3ax 2＋2x ， 因为f(x)在x ＝－43处取得极值，所以f ′(－43)＝0，即3a ×169＋2×(－43)＝16a 3－83＝0，解得a ＝12.(2)由(1)得g(x)＝(12x 3＋x 2)e x .g ′(x)＝(12x 3＋52x 2＋2x)e x＝12x(x ＋1)(x ＋4)e x . 令g ′(x)＝0，解得x ＝0，x ＝－1或x ＝－4. 当x<－4时，g ′(x)<0，故g(x)为减函数； 当－4<x<－1时，g ′(x)>0，故g(x)为增函数； 当－1<x<0时，g ′(x)<0，故g(x)为减函数； 当x>0时，g ′(x)>0，故g(x)为增函数．综上，知g(x)在(－∞，－4]和[－1，0]上为减函数，在[－4，－1]和[0，＋∞)上为增函数． 12．已知函数f(x)＝1＋lnxx.(1)若函数f(x)在区间(a ，a ＋23)(其中a>0)上存在极值，求实数a 的取值范围；(2)如果当x ≥1时，不等式f(x)≥mx ＋1恒成立，求实数m 的取值范围．答案 (1)13<a<1 (2)m ≤2解析 (1)因为函数f(x)＝1＋lnx x ，且定义域为{x|x>0}，所以f ′(x)＝－lnxx 2.当0<x<1时，f ′(x)>0；当x>1时，f ′(x)<0，∴f(x)在(0，1)上单调递增；在(1，＋∞)上单调递减，∴函数f(x)在x ＝1处取得极大值1.∵函数f(x)在区间(a ，a ＋23)(其中a>0)上存在极值，∴⎩⎪⎨⎪⎧a<1，a ＋23>1，解得13<a<1.(2)当x ≥1时，不等式f(x)≥mx ＋1， 即为（x ＋1）（1＋lnx ）x ≥m.记g(x)＝（x ＋1）（1＋lnx ）x，∴g ′(x)＝[（x ＋1）（1＋lnx ）]′x －（x ＋1）（1＋lnx ）x 2＝x －lnxx 2.令h(x)＝x －lnx ，则h ′(x)＝1－1x，∵x ≥1，∴h ′(x)≥0，∴h(x)在[1，＋∞)上单调递增，∴h(x)min ＝h(1)＝1>0，从而g ′(x)>0，故g(x)在[1，＋∞)上也是单调递增，∴g(x)min ＝g(1)＝2，∴m ≤2.。