空间直线及其方程好
空间直线及其方程
M( x, y, z) L,
z s
L
有 M0M （x x0, y y0, z z0）
且 M0M// s
M0 o
M
y
即 x x0 y y0 z z0 x
m
n
p
直线的对称式方程 或点向式方程
说明:
在直线方程中某些分母为零时, 其分子也
理解为零.
例如
x2 y z5 002
再求已知直线与该平面的交点N, L
过M,N的直线L即为所求直线.
M
求交点：
L1
N
把已知直线化为参数方程
n1
x 3t 1
直线与平面的位置关系：
(1) L A B C . mn p
(2) L // Am Bn Cp 0.
例4 求过点(1,－2 , 4) 且与平面 垂直的直线方程.
解 取已知平面的法向量
n (2, 3, 1)
(1,－2 , 4)
n
为所求直线的方向向量.
则直线的对称式方程为
s1 s2 s1 s2
| m1m2 n1n2 p1 p2 |
m12 n12 p12 m22 n22 p22
两直线的位置关系：
(1) L1 L2 m1m2 n1n2 p1 p2 0,
(2)
L1 //
L2
m1 n1 m2 n2
p1 , p2
一、空间直线的一般方程
定义 空间直线可看成两平面的交线．
1 : A1 x B1 y C1z D1 0
2 :
A2 x B2 y C2z D2
0
z
空间直线的标准方程
空间直线的标准方程在空间解析几何中，直线是一个非常重要的概念，它是两点确定的一条直线。
在平面坐标系中，我们可以通过两点的坐标来确定一条直线的方程，而在空间中，我们同样可以通过一点和方向向量来确定一条直线的方程。
本文将重点介绍空间直线的标准方程，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
首先，我们来看一下空间直线的一般方程。
对于空间中的一条直线l，如果它通过点P0(x0, y0, z0)并且方向向量为a=(a1, a2, a3)，那么直线l上任意一点P(x, y, z)都满足以下关系式：(x x0) / a1 = (y y0) / a2 = (z z0) / a3。
这就是空间直线的一般方程，通过这个方程我们可以得到直线l上任意一点的坐标。
然而，这个方程并不是最简洁的形式，为了更方便地描述直线，我们可以将其化简为标准方程。
空间直线的标准方程形式为：(x x0) / a1 = (y y0) / a2 = (z z0) / a3 = t。
其中t为参数，通过参数t的取值可以得到直线l上的所有点。
这个方程就是空间直线的标准方程，它是一种更加简洁和方便的描述直线的方式。
接下来，我们来看一些具体的例子，以帮助读者更好地理解空间直线的标准方程。
例1，求过点P(1, 2, 3)并且与向量a=(2, -1, 3)平行的直线的标准方程。
解：直线l上任意一点P(x, y, z)满足方程：(x 1) / 2 = (y 2) / (-1) = (z 3) / 3 = t。
这就是所求直线的标准方程。
例2，已知直线l的标准方程为(x 1) / 2 = (y 2) / (-1) = (z 3) / 3 = t，求直线l上的一点坐标。
解，直线l上任意一点的坐标可以通过参数t的取值来确定，比如当t=0时，我们可以得到点P(1, 2, 3)。
当t=1时，我们可以得到另外一点，依此类推，我们可以得到直线l上的所有点。
通过以上例子，我们可以看到空间直线的标准方程在求解直线问题时具有很大的便利性，它能够简洁地描述直线的位置和方向，帮助我们更好地理解和运用空间解析几何的知识。
空间中直线的标准方程
空间中直线的标准方程在空间解析几何中，直线是一个非常基础且重要的概念，它在几何学、物理学、工程学等领域都有着广泛的应用。
而直线的标准方程是描述直线性质的一种重要方式，它可以帮助我们更好地理解直线的特性和性质。
在本文中，我们将详细介绍空间中直线的标准方程及其相关知识点。
首先，我们来看一下空间中直线的一般方程。
对于空间中的直线来说，一般可以用两点确定，假设直线上有两点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，那么直线AB的一般方程可以表示为：(x x1)/(x2 x1) = (y y1)/(y2 y1) = (z z1)/(z2 z1)。
这就是空间中直线的一般方程，它可以帮助我们确定直线在空间中的位置和方向。
但是，这种形式并不够简洁和直观，因此我们需要将其转化为标准方程的形式。
下面我们将介绍如何将直线的一般方程转化为标准方程。
首先，我们可以将直线的一般方程化简为参数方程的形式。
假设直线上的任意一点为P(x, y, z)，那么P点到A、B两点的距离分别为t和1-t（0≤t≤1），则P点的坐标可以表示为：x = x1 + (x2 x1)t。
y = y1 + (y2 y1)t。
z = z1 + (z2 z1)t。
这就是直线的参数方程形式，通过参数t的取值，我们可以得到直线上的任意一点的坐标。
接下来，我们将利用参数方程来推导直线的标准方程。
我们知道，直线上的任意一点P都满足直线的参数方程，即P(x, y, z) = (x1 + (x2 x1)t, y1 + (y2 y1)t, z1 + (z2 z1)t)。
我们可以将参数t表示为直线的标准方程的形式，即：(x x1)/(x2 x1) = (y y1)/(y2 y1) = (z z1)/(z2 z1)。
通过对比参数方程和标准方程的形式，我们可以得到直线的标准方程为：(x x1)/(x2 x1) = (y y1)/(y2 y1) = (z z1)/(z2 z1)。
空间直线的标准方程
空间直线的标准方程在空间解析几何中，直线是一种基本的几何对象，它在空间中具有重要的几何性质和应用价值。
本文将介绍空间直线的标准方程，帮助读者更好地理解和运用空间直线的相关知识。
首先，我们来回顾一下平面直线的标准方程。
在平面直角坐标系中，平面直线的标准方程通常表示为Ax + By = C，其中A、B、C为常数，且A和B不全为零。
这个方程描述了平面上所有满足这个关系的点的集合，即直线。
接下来，我们来看看空间直线的标准方程是如何表示的。
在三维直角坐标系中，空间直线的标准方程通常表示为：\[\frac{x x_0}{l} = \frac{y y_0}{m} = \frac{z z_0}{n}\]其中(x0, y0, z0)为直线上一点的坐标，l、m、n为直线的方向向量的分量。
这个标准方程的含义是非常直观的。
它表示了空间中所有满足这个关系的点的集合，即直线。
其中(x0, y0, z0)确定了直线上的一个特定点，而l、m、n确定了直线的方向。
这样，我们就可以通过这个标准方程来描述空间中的直线。
在实际应用中，我们有时候也会遇到其他形式的直线方程，比如参数方程、对称方程等。
这些方程都可以描述空间中的直线，但标准方程通常是最直观、最方便的形式，因为它直接给出了直线的一个特定点和方向。
在使用空间直线的标准方程时，我们需要注意一些细节问题。
首先，我们需要确定直线上的一个特定点和直线的方向向量，这样才能写出标准方程。
其次，我们需要注意方向向量不能为零向量，否则标准方程将无法表示直线。
最后，我们需要注意标准方程中的分式不能同时为零，否则标准方程将无法表示直线。
总之，空间直线的标准方程是描述空间中直线的重要工具，它直观、方便，能够准确地描述直线的位置和方向。
在学习和应用空间解析几何的过程中，掌握空间直线的标准方程是非常重要的。
希望本文能够帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
空间直线及其方程
s1
L2
s2
s1 s2 cos = s1 s2
=
m m2 + n1n2 + p1 p2 1
2 2 2 m + n1 + p1 1 2 2 m2 + n2 + 2 p2
i j k 直线 的方向向量为 s2 = 1 1 0 = (2, 2, 1) 1 0 2 二直线夹角 的余弦为
cos =
从而
1× 2 + (4) × (2) +1× (1)
12 + (4)2 +12
=
π
2 + (2) + (1)
2 2
2
4
(参考P45 例2 )
2. 直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时, 直线和它在平面上的投影直 线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角; 当直线与平面垂直时,规定其夹角 设直线 L 的方向向量为 s = (m, n, p) 平面 Π 的法向量为 n = ( A, B, C ) 则直线与平面夹角 满足
L ⊥ L2 1
s1 s2 = 0
L // L2 1
s1 ×s2 = 0
m n1 p1 1 = = m2 n2 p2
s1 s2 夹角公式: cos = s1 s2
3. 面与线间的关系 平面 Π : Ax + By + Cz + D = 0, n = ( A, B, C ) xx y y z z 直线 L : = = , s = (m, n, p) m n p m n p = = L⊥Π s ×n = 0 A B C L // Π 夹角公式：
空间直线与平面的方程与计算
空间直线与平面的方程与计算空间几何是数学中的一个重要分支，研究的是空间中各种几何对象的性质与关系。
其中，空间直线与平面是最基本的几何对象之一。
本文将介绍空间直线和平面的方程以及相关计算方法。
一、空间直线的方程空间直线可以通过一点和一个方向来确定。
假设直线上一点为P(x₁, y₁, z₁)，且方向向量为d(a, b, c)，则空间直线的方程可以表示为：x = x₁ + at (1)y = y₁ + bt (2)z = z₁ + ct (3)其中t为参数。
根据参数t的取值不同，可以得到直线上的不同点。
例子：已知空间直线L过点A(1, 2, 3)且平行于向量V(1, -1, 2)，求直线L的方程。
解：直线L的方程可以表示为：x = 1 + ty = 2 - tz = 3 + 2t二、空间平面的方程空间平面可以通过三个不共线的点来确定。
假设平面上的三个点分别为A(x₁, y₁, z₁)，B(x₂, y₂, z₂)和C(x₃, y₃, z₃)，则空间平面的方程可以表示为：Ax + By + Cz + D = 0 (4)其中A、B、C、D为常数，可以通过已知点A、B、C来确定。
将A、B、C带入方程(4)中，可求解出常数A、B、C、D的值，进而确定平面的方程。
例子：已知空间平面P过点A(1, 2, 3)，B(2, 3, 4)和C(3, 4, 5)，求平面P的方程。
解：将点A(1, 2, 3)、B(2, 3, 4)和C(3, 4, 5)带入方程(4)，得到方程为：x + y + z + D = 0再将点A(1, 2, 3)代入方程，可得：1 +2 +3 + D = 0D = -6因此，平面P的方程为：x + y + z - 6 = 0三、空间直线与平面的关系空间直线与平面可以相互交叉、平行或重合。
下面分别介绍这三种情况的判断方法。
1. 相交情况：若空间直线的方向向量与平面的法向量（平面的法向量可以通过方程(4)中的系数A、B、C确定）不平行，则直线与平面必相交。
第六节--空间直线及其方程
第六节 空间直线及其方程教学目的：介绍空间曲线中最常用的直线，与平面同为本章的重点 教学重点：1.直线方程2.直线与平面的综合题教学难点：1.直线的几种表达式2.直线与平面的综合题教学内容：一、空间直线的一般方程空间直线可以看成是两个平面的交线。
故其一般方程为：⎩⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A 二、空间直线的对称式方程与参数方程平行于一条已知直线的非零向量叫做这条直线的方向向量。
已知直线上的一点),,(0000z y x M 和它的一方向向量},,{p n m =s ，设直线上任一点为),,(z y x M ，那么M M 0与s 平行，由平行的坐标表示式有：pz z n y y m x x 000-=-=- 此即空间直线的对称式方程（或称为点向式方程）。
（写时参照书上注释）如设t pz z n y y m x x =-=-=-000 就可将对称式方程变成参数方程（t 为参数）⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mtx x 000 三种形式可以互换，按具体要求写相应的方程。
例1：用对称式方程及参数方程表示直线⎩⎨⎧=++-=+++043201z y x z y x ．解：在直线上任取一点),,(000z y x ，取10=x ⎩⎨⎧=--=++⇒063020000z y z y ，解得2,000-==z y ，即直线上点坐标)2,0,1(-．因所求直线与两平面的法向量都垂直，取}3,1,4{--=⨯=21n n s ，对称式方程为：321041-+=--=-z y x 参数方程： ⎪⎩⎪⎨⎧--=-=+=tz t y tx 3241．例2： 一直线过点)4,3,2(-A ，且和y 轴垂直相交，求其方程．解：因为直线和y 轴垂直相交，所以交点为)0,3,0(-B ，于是→==}4,0,2{BA s ，所求直线方程：440322-=+=-z y x 三、两直线的夹角： 两直线的方向向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角。
空间之中的直线方程
空间之中的直线方程一、引言直线是平面几何中的基本图形之一，其方程是数学中的基础知识。
在空间中，直线的方程也是必须掌握的重要内容。
本文将详细介绍空间中直线的方程。
二、空间直线的定义在三维坐标系中，如果两个不同点A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)确定了一条唯一的直线l，则称这条直线为由点A和点B所确定的直线。
三、空间直线方程的表示方法1. 参数式方程参数式方程是指用参数t表示空间直线上任意一点P(x,y,z)与某个已知点P0(x0,y0,z0)之间距离比值关系得到的方程。
设向量a=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)，则过点A(x1,y1,z1)且与向量a共面的平面可以表示为：a·(x-x1,y-y1,z-z1)=0即：ax+by+cz+d=0其中d=-(ax1+by1+cz1)设P(x,y,z)为该平面上任意一点，则有：AP/AB=t即：|(x-x1,y-y1,z-z1)|/|(x2-x2,y2-y1,z2-z1)|=t 化简可得：x=x_ 10 +t(x_ 20 -x_ 10 )y=y_ 10 +t(y_ 20 -y_ 10 )z=z_ 10 +t(z_ 20 -z_ 10 )其中(x_ 10 ,y_ 10 ,z_ 10 )和(x_ 20 ,y_ 20 ,z_ 20 )分别是直线上已知的两个点A和B的坐标。
因此，空间直线的参数式方程为：x=x1+t(x2-x1)y=y1+t(y2-y1)z=z1+t(z2-z1)2. 对称式方程对称式方程是指用空间中任意一点P(x,y,z)到直线l的距离表示出来，并且有两个不同点A(x1,y1,z1)和B(x2,y2,z2)在该直线上，从而得到的方程。
设P0为平面上一点，向量n为平面法向量，则过P0且垂直于l的平面可以表示为：n·(x-x0,y-y0,z-z0)=0即：ax+by+cz+d=0其中d=-(ax0+by0+cz0)设P(x,y,z)为该平面上任意一点，则有：AP与BP在l上投影相等即：|(x-x1,y-y1,z-z1)·(x2-x1,y2-y1,z2-z1)|/|(x2-x1,y2-y1,z2-z1)|=|(x-x2,y-y2,z-z2)·(x2-x1,y2-y1,z2-z1)|/|(x2-x1,y2-y1,z2-z1)|化简可得：(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1)因此，空间直线的对称式方程为：(x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1)=(z-z1)/(z2-z1)3. 一般式方程一般式方程是指将空间直线的参数式方程中的参数t消去，从而得到的方程。
空间直线及其方程
j
提示：
j j
^
^ = | ( s , n ) | s = | co s i , n ) | ns ( , . 2
方向向量为(m, n, p)的直线与法线向量为(A, B, C)的平面 的夹角j 满足 | A + B + Cp m | n s = in . 2 2 2 2 2 2 A + B + C m + n + p
y 3 x 2 z 4 例 6 = = 例 6 求 过 点 ( 2 , 1 , 2 ) 且 与 直 线 垂 直 相 交 1 1 2 的直线的方程.
解 过已知点且与已知直线相垂直的平面的方程为 (x-2)+(y-1)+2(z-2)=0, 即x+y+2z=7. 此平面与已知直线的交点为(1, 2, 2). >>> 所求直线的方向向量为 s=(1, 2, 2)-(2, 1, 2)=(-1, 1, 0),
i j k 提示： y + z = 2 y + 2 x 1 z . s = ( i + j + k ) ( 2 i j + 3 k ) = 1 1 1 = 4 i j 3 k 当 x = 1 时 , 有 , 此 方 程 组 的 解 为 y = 2 , z = 0 . = = = t 令 , 有 x = 1 + 4 t , y = 2 t , z = 3 t . y + 3 = 2 先求直线上的一点 ,z 再求这直线的方向向量 4 1 3 2 1 3 s.
提示： 我们要在通过已知直线的平面束中找出与已知平面相垂 这是平面束的法线向量 (1+l, 1-l, -1+l)与已知平面的法 直的平面 线向量 (1,, 1, 此平面与已知平面的交线就是所求的投影直线 1)的数量积. .
空间直线及其方程
m
n
p
直线的对称式方程
令 x x0 y y0 z z0 t
m
n
p
x x0 mt
y
y0
nt
z z0 pt
直线的参数方程
直线的一组方向数
方向向量的余弦称为 直线的方向余弦.
例1 用对称式方程及参数方程表示直线
x y z 2x y
1 0 3z 4
. 0
解 在直线上任取一点 ( x0 , y0 , z0 )
L1 //
L2
m1 m2
n1 n2
p1 , p2
例如，直线 L1 :
s1 {1,4, 0},
直线 L2 :
s2 {0,0,1},
s1
s2
0,
s1 s2 ,
即 L1L2 .
例 3 求过点(3, 2, 5)且与两平面x 4z 3 和
2x y 5z 1的交线平行的直线方程.
m1
n1
p1
x x2 y y2 z z2 ,
m2
n2
p2
^ cos(L1, L2 )
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m12 n12 p12 m22 n22 p22
两直线的夹角公式
两直线的位置关系：
(1) L1 L2 m1m2 n1n2 p1 p2 0,
(2)
3( x 2) 2( y 1) (z 3) 0
再求已知直线与该平面的交点N,
令 x1 y1 z t 3 2 1
x 3t 1
y
2t
1.
z t
代入平面方程得 t 3 , 交点 N (2 ,13 , 3)
7
77 7
取所求直线的方向向量为 MN
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一、空间直线的一般方程 二、空间直线的对称式方程与参数方程 三、两直线的夹角 四、直线与平面的夹角 五、杂例
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铃
一、空间直线的一般方程
空间直线可以看作是两个平面的交线.
设直线L是平面1和2的交线, 平面的方程分别为
A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0, 那么直线L可以用方程组
提示：
j =| -(s ^, n)| , sinj =|cos(s ^, n)| .
2
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方向向量为(m, n, p)的直线与法线向量为(A, B, C)的平面
的夹角j 满足
sinj =
| Am+ Bn+Cp|
.
A2 + B2 +C2 m2 + n2 + p2
•直线与平面垂直和平行的条件
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通过点M0(x0, y0, x0), 方向向量为s=(m, n, p)的直线方程: x-x0 = y- y0 = z-z0 . mn p
•直线的参数方程
设 x- x0 = y- y0 = z-z0 =t, 得方程组 mn p
x=x0 y= y0
+mt +nt
.
z=z0 + pt
当直线与平面不垂直时, 直线和它在平面上的投影直线
的夹角j称为直线与平面的夹角, 当直线与平面垂直时, 规定
直线与平面的夹角为90.
设直线的方向向量为s=(m, n, p), 平 面的法线向量为n=(A, B, C), 则直线与平
面的夹角j 满足
sinj =
| Am+ Bn+Cp|
.
A2 + B2 +C2 m2 + n2 + p2
-2)+1(-1)| = 1 = 2 , 22 +(-2)2 +(-1)2 2 2
所以j = .
4
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方向向量分别为(m1, n1, p1)和(m2, n2, p2)的直线的夹角余弦:
cosj =
|m1m2 +n1n2 + p1 p2 |
.
m12 +n12 + p12 m22 +n22 + p22
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三、两直线的夹角
两直线的方向向量的夹角(通常指锐角)叫做两直线的夹
角.
设直线L1和L2的方向向量分别为 s1=(m1, n1, p1)和s2=(m2, n2, p2),
那么L1和L2的夹角j满足 cosj =|cos(s1 ^, s2)|
=
|m1m2 +n1n2 + p1 p2 |
设直线L的方向向量为s=(m, n, p), 平面 的法线向量为
n=(A, B, C), 则
L A = B = C ;
mn p
L// Am+Bn+Cp=0.
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设直线L的方向向量为s=(m, n, p), 平面 的法线向量为
n=(A, B, C), 则
.
m12 +n12 + p12 m22 +n22 + p22
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方向向量分别为(m1, n1, p1)和(m2, n2, p2)的直线的夹角余弦:
cosj =
|m1m2 +n1n2 + p1 p2 |
.
m12 +n12 + p12 m22 +n22 + p22
例例22
求直线
此方程组就是直线的参数方程.
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例例11
用对称式方程及参数方程表示直线
x + y + z =1 2x - y +3z =
4
.
解 在直线的一般方程中令x=1, 可得y=-2, z=0.
于是(1, -2, 0)是直线上的一点.
以平面x+y+z=-1和2x-y+3z=4的法线向量的向量积作为 直线的方向向量 s:
设M(x, y, z)为直线上的任一点,
则从M0到M的向量平行于方向向量: (x-x0, y-y0, z-z0)//s ,
从而有
x-x0 = y- y0 = z- z0 .>>>注
m
n
p
这就是直线的方程, 叫做直线的对称式方程.
直线的任一方向向量s的坐标m、n、p叫做这直线的一 组方向数. 向量s的方向余弦叫做该直线的方向余弦.
•两直线垂直与平行的条件
设有两直线
L1:
x - x1 m1
=
y - y1 n1
=
z - z1 p1
,
L2:
x - x2 m2
=
y - y2 n2
=
z - z2 p2
,
则
L1 L2m1m2+n1n2+p1p2=0;
L1
L2
m1 m2
=
n1 n2
=
p1 p2
.
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四、直线与平面的夹角
s=(i+j+k)(2i-j+3k) =4i-j-3k.
所给直线的对称式方程为
x -1 4
=
y+2 -1
=
z -3
.
所给直线的参数方程为 x=1+4t, y=-2-t, z=-3t .
提示先：当s令求=x(直xi=4+-1线1j时=+上ky,-的)+有12一(2=i点-y--z+y3,j++z再==33t求kz-,=)2=这有221,i直x此-=线111j方+的k314程t方,=组y4向=i的--向2j解-量-t3为,skz.=.y-=3-t2., z=0.
L1:
x -1= y = z +3 1 -4 1
和
L2:
x 2
=
y + 2 = z 的夹角. -2 -1
解 两直线的方向向量分别为(1, -4, 1)和(2, -2, -1).
设两直线的夹角为j , 则
cosj = |12+(-4)(-2)+1(-1)| = 1 = 2 ,
12 +(-4)2 +12 22 +(-2)2 +(-1)2 2 2
A1 x+B1 y+C1 z+D1=0 A2 x+B2 y+C2 z+D2 =0
.
来表示. 这就是空间直线的一般方程.
分析：点M在直线L上点M同时在这两个平面上, 点M的坐标同时满足这两个平面的方程.
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二、空间直线的对称式方程与参数方程
•方向向量 如果一个非零向量平行于一条已知直线, 这个向量就叫
做这条直线的方向向量. 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量.
•确定直线的条件 当直线L上一点M0(x0, y0, x0)和它的
一方向向量s=(m, n, p)为已知时, 直线L 的位置就完全确定了.
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•直线的对称式方程
求通过点M0(x0, y0, x0), 方向向量为s=(m, n, p)的直线的方 程.