微积分曹定华课后题答案第二章习题详解
《微积分》课后答案(复旦大学出版社(曹定华 李建平 毛志强 著))第三章
(3) y x x 3 x
2
y ( x 6 )
6． 讨论函数 y= 3 x 在 x=0 点处的连续性和可导性． 解： lim 3 x 0 f (0)
x 0
lim
x 0
3 f ( x) f (0) x 0 1 lim lim x 0 x 0 3 2 x0 x x
t
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解：(1) lim
x 0
f ( x0 x) f ( x0 ) f [ x0 ( x)] f ( x0 ) lim f ( x0 ) x 0 x x
A f ( x0 )
tt
2 3
1
1 5 1 x 6 6 6 6 x5
le
5 2
x2
；(3) y=
x6
1
ar
x2
3
x2
x5
n.
．
2
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ne
t
f ( x0 h) f ( x0 h) h 0 h [ f ( x0 h) f ( x0 )] [ f ( x0 h) f ( x0 )] lim h 0 h f ( x0 h) f ( x0 ) f [ x0 (h)] f ( x0 ) lim lim h 0 h 0 h h
解：为使 f ( x) 在 x 1 处连续，必须 f (1 0) f (1 0) f (1) ，
le
为了使 f ( x) 在 x 1 处可导，必须 f (1) f (1)
f (1) lim
f ( x) f (1) ax b 1 ax a lim lim a x 1 x 1 x 1 x 1 x 1
《微积分》课后答案(复旦大学出版社(曹定华_李建平_毛志强_著))第7章
3 . 2
4． 在 xＯy 坐标面上求向量 a，使其垂直于向量 b=4i-3j+5k,且｜a｜=2｜b｜． 解：设向量 a ( x, y, 0) ,由 a b 得 a b 0 即 4x 3y 0 , 由 | a | 2 | b | 得 解方程组
(6,10, 2) (6, 6, 6) (16, 4, 12) (16, 0, 20)
5．已知两点 M1(0，1，2)和 M2(1，-1，0)，求向量 M 1M 2 ，并求 M 1M 2 及与 M 1M 2 平 行的单位向量． 解： M 1M 2 (1 0)i (1 1) j (0 2)k i 2 j 2k (1, 2, 2)
2．试用向量证明：如果平面上一个四边形的对角线互相平分，则该四边形是平行 四边形． 证： （如上题图） ，依题意有 AM MC , DM MB. 于是 AB AM MB MC DM DC. 故 ABCD 是平行四边形. 3．已知向量 a=i-2j+3k 的始点为(1，3，-2)，求向量 a 的终点坐标． 解：设 a 的终点坐标为( x, y, z ),则
即与 M 1M 2 平行的单位向量为 ,
1 3
2 2 1 2 2 , 或 , , . 3 3 3 3 3
习题 7-3
) 1． 已知 a =2, b =1, (a,b
解： （1） a a | a | 4
2
，求(1) a·a,(2) a·b,(3) (2a+3b)·(3a-b)． 3 ) 2 1 cos π 1 （2） a a | a | | b | cos(a,b 3
微积分曹定华修订版课后题答案习题详解
第9章习题9-11． 判定下列级数的收敛性：(1) 115n n a ∞=⋅∑（a ＞0）； (2) ∑∞=-+1)1(n n n ;(3) ∑∞=+131n n ; (4) ∑∞=-+12)1(2n nn ; (5) ∑∞=+11ln n n n ; (6) ∑∞=-12)1(n n;(7) ∑∞=+11n nn ; (8) 0(1)21n n n n ∞=-⋅+∑．解：（1）该级数为等比级数，公比为1a ,且0a >,故当1||1a <,即1a >时，级数收敛，当1||1a≥即01a <≤时，级数发散. （2）(1n S n =++++∴1n ∞=∑发散.（3）113n n ∞=+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11n n ∞=∑发散，故原级数113n n ∞=+∑发散.（4）1112(1)1(1)222n n nn n n n ∞∞-==⎛⎫+--=+ ⎪⎝⎭∑∑ 而1112n n ∞-=∑,1(1)2m nn ∞=-∑是公比分别为12的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质知111(1)22n n n n ∞-=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑收敛，即原级数收敛.（5）lnln ln(1)1nn n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+故lim n n S →∞=-∞,所以级数1ln 1n nn ∞=+∑发散.（6）2210,2n n S S +==-∴ lim n n S →∞不存在，从而级数1(1)2nn ∞=-∑发散.（7）1lim lim10n n n n U n→∞→∞+==≠∴ 级数11n n n ∞=+∑发散. （8） (1)(1)1, lim 21212n n n n n n U n n →∞--==++∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1(1)21n n nn ∞=-+∑发散.2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和：(1) ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛+13121n n n ； (2) ※∑∞=++1)2)(1(1n n n n ;(3) ∑∞=⋅12sin n n n π; (4) 0πcos 2n n ∞=∑．解：（1）1111, 23n n n n ∞∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则11123n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛，且其和为1+12=32.（2）11121(1)(2)212n n n n n n ⎛⎫=-+ ⎪++++⎝⎭1lim 4n n S →∞=故级数收敛，且其和为14. （3）πsin 2n U n n =,而πsinππ2lim lim 0π222n n n U n→∞→∞=⋅=≠，故级数1πsin2n n n ∞=⋅∑发散. （4）πcos 2n n U =,而4lim limcos2π1k k k U k →∞→∞==,42lim limcos(21)π1k k k U k +→∞→∞=+=-故lim n n U →∞不存在，所以级数πcos2n n ∞=∑发散. 3※． 设1nn U∞=∑ (U n ＞0)加括号后收敛，证明1nn U∞=∑亦收敛．证：设1(0)nn n UU ∞=>∑加括号后级数1n n A ∞=∑收敛，其和为S .考虑原级数1n n U ∞=∑的部分和1n k k S U ∞==∑，并注意到0(1,2,)k U k >=，故存在0n ,使又显然1n n S S +<对一切n 成立，于是，{}n S 是单调递增且有上界的数列，因此，极限lim n n S →∞存在，即原级数1nn U∞=∑亦收敛.习题9-21． 判定下列正项级数的收敛性：(1) ∑∞=++1n n n )2)(1(1; (2) ∑∞=+1n n n1;(3) ∑∞=++1n n n n )2(2; (4) ∑∞=+1n n n )5(12；(5) 111nn a ∞=+∑ (a ＞0); (6) ∑∞=+1n n ba 1(a , b ＞0); (7)()∑∞=--+1n a n a n22(a ＞0); (8) ∑∞=-+1n n n 1214； (9) ∑∞=⋅1n nn n 23； (10) ※∑∞=1n n n n !; (11) ∑∞=+⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅1n n n )13(1074)12(753 ; (12) ∑∞=1n n n3；(13) ※∑∞=1n n n 22)!(2； (14) ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛+1n nn n 12;(15)∑∞=1πn nn3sin2; (16) ∑∞=1πn n n n 2cos 32．解：（1）因为211(1)(2)n n n <++而211n n ∞=∑收敛，由比较判别法知级数11(1)(2)n n n ∞=++∑收敛.（2）因为lim 10n n n U →∞==≠，故原级数发散. （3）因为21(1)(1)1n n n n n n n +>=+++，而111n n ∞=+∑发散，由比较判别法知，级数12(1)n n n n ∞=++∑发散.（4）321n<=,而1n ∞=是收敛的p -级数3(1)2p =>,由比较判别法知,级数1n ∞=收敛.（5）因为111lim lim lim(1)111n n n n n n n n a a a aa→∞→∞→∞+==-++ 而当1a >时，11n n a ∞=∑收敛，故111nn a ∞=+∑收敛;当1a =时，11n n a ∞=∑= 11n ∞=∑发散，故111nn a∞=+∑发散; 当01a <<时1lim101n n a →∞=≠+，故1lim1nn a →∞+发散; 综上所述，当01a <≤时，级数1lim 1n n a →∞+发散，当1a >时，1lim 1nn a →∞+收敛. （6）因为1lim lim lim(1)1n n n n n n n n b aa b a b a bb→∞→∞→∞+==-++ 而当1b >时, 11n n b ∞=∑收敛，故11nn a b ∞=+∑收敛; 当1b =时，1111n n n b ∞∞===∑∑发散，故而由0a >, 101a <<+∞+,故11nn a b ∞=+∑也发散; 当01b <<时，11lim 0n n a b a →∞=≠+故11n n a b ∞=+∑发散; 综上所述知，当01b <≤时，级数11n n a b ∞=+∑发散;当b >1时，级数11nn a b∞=+∑收敛. （7）因为lim 1n n n→∞=而11n n ∞=∑发散，故级数10)n a ∞=>∑发散. （8）因为434431121lim lim 1212n n n n n n n n →∞→∞++-==-而311n n∞=∑收敛，故级数21121n n n ∞=+-∑收敛.（9）因为1113233lim lim lim 1(1)232(1)2n n n n n n n n nU n n U n n +++→∞→∞→∞⋅⋅==>+⋅+由达朗贝尔比值判别法知，级数132n nn n ∞=⋅∑发散.（10）因为11(1)!1lim lim lim(1)1(1)!n nn n n n n nU n n e U n n n ++→∞→∞→∞+=⋅=+=>+，由达朗贝尔比值判别法知，级数1!n n n n ∞=∑发散.（11）因为1357(21)(23)4710(31)limlim 4710(31)(34)357(21)n n n nU n n n U n n n +→∞→∞⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⋅⋅⋅+232lim1343n n n →∞+==<+,由达朗贝尔比值判别法知原级数收敛.（12）因为111311lim lim lim 1333n n n n n n nU n n U n n ++→∞→∞→∞++=⋅==<，由达朗贝尔比值判别法知，级数13n n n ∞=∑收敛.（13）因为22221221(1)[(1)!]2(1)lim lim lim (!)22n n n n n n n nU n n U n +++→∞→∞→∞++=⋅= 由2212121(1)2(1)1lim lim lim 222ln 22ln 2x x x x x x x x x +++→∞→+∞→+∞+++==⋅⋅2121lim 022(ln 2)x x +→+∞==⋅知2121(1)lim lim 012n n n n nU n U ++→∞→∞+==<由达朗贝尔比值判别法知，级数221(!)2n n n ∞=∑收敛.（14）因为1lim 1212n n n n →∞==<+，由柯西根值判别法知级数121nn n n ∞=⎛⎫ ⎪+⎝⎭∑收敛. （15）因为ππ2sinsin 33lim lim 1π2π33n n nn n n n n→∞→∞==⋅而112233nn n n n ∞∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑是收敛的等比级数，它的每项乘以常数π后新得级数12π3n n n ∞=⋅∑仍收敛，由比较判别法的极限形式知，级数1π2sin3n n n ∞=∑收敛. （16）因为2πcos 322n n n n n ≤而与（12）题类似地可证级数12nn n ∞=∑收敛，由比较判别法知级数1πcos 32n n n n ∞=∑收敛.2． 试在(0，+∞)内讨论x 在什么区间取值时，下列级数收敛：(1) ∑∞=1n n n x ; (2) nn x n ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛123．解：（1）因为11lim lim lim 11n n n n n n nU x n nxx U n x n ++→∞→∞→∞=⋅==++由达朗贝尔比值判别法知，当1x >时，原级数发散;当01x <<时，原级数收敛; 而当1x =时，原级数变为调11n n ∞=∑，它是发散的.综上所述，当01x <<时，级数1nn x n ∞=∑收敛.（2）因为1313(1)2limlim 22n n n n n nx n U xU x n ++→∞→∞⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭==⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭,由达朗贝尔比值判别法知，当12x >即2x >时，原级数发散; 当012x<<即02x <<时，原级收敛. 而当12x =即 2x =时，原级数变为31n n ∞=∑，而由3lim n n →∞=+∞知31n n ∞=∑发散，综上所述，当02x <<时，级数31()2nn xn ∞=∑收敛.习题9-31． 判定下列级数是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛：(1) ∑∞=--1121)1(n nn ; (2) 11(1)2(1)2n n nn ∞-=-+-⋅∑; (3) ∑∞=12sin n n nx ; (４) 111π(1)sin πn n n n ∞+=-∑; (5) ∑∞=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-11210121n n n ； (6) ∑∞=+-1)1(n n x n ;(7) ∑∞=⋅1!)2sin(n n n x ．解：（1）这是一个交错级数121n U n =-, 1lim lim 021n n n U n →∞→∞==-, 1112121n n U U n n +=>=-+ 由莱布尼茨判别法知11(1)21nn n ∞=--∑. 又1111(1)2121nn n n n ∞∞==-=--∑∑，由1121lim 12n n n→∞-=,及11n n ∞=∑发散，知级数1121n n ∞=-∑发散，所以级数11(1)21nn n ∞=--∑条件收敛. （2）因为2111(1)211(1)22(1)2n n n n n ----+-=+-⋅-⋅,故 而112n n ∞=∑收敛，故132n n ∞=∑亦收敛，由比较判别法知11(1)2(1)2n n nn ∞-=-+-⋅∑收敛，所以级数11(1)2(1)2n n n n ∞-=-+-⋅∑绝对收敛.（3）因为22sin 1,nx n n ≤而级数211n n∞=∑收敛，由比较判别法知21sin n nx n ∞=∑收敛，因此，级数21sin n nxn ∞=∑绝对收敛.（4）因为121ππ|(1)sin |sin πlimlim 11πn n n n n n n n+→∞→∞-==而211n n∞=∑收敛，由比较判别法的极限形式知，级数111π|(1)sin |πn n n n ∞+=-∑收敛，从而级数11π(1)sin πn n n +-绝对收敛.（5）因为212121111111210210210n n n n n n ----≤+=+,而级数112nn ∞=∑收敛的等比级数1()2q =;由比值判别法，易知级数211110n n ∞-=∑收敛，因而21111210n n n ∞-=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛，由比较判别法知级数21111210n n n ∞-=-∑收敛，所以原级数21111210n n n ∞-=-∑绝对收敛. （6）当x 为负整数时，级数显然无意义；当x 不为负整数时，此交错级数满足莱布尼茨判别法的条件，故它是收敛的，但因11n x n ∞=+∑发散，故原级数当x 不为负整数时仅为条件收敛. （7）因为sin(2)1!!n x n n ⋅≤由比值判别法知11!n n ∞=∑收敛(1(1)!lim 01!n n n →∞+=)，从而由比较判别法知1sin(2)!n n x n ∞=⋅∑收敛，所以级数1sin(2)!n n x n ∞=⋅∑，绝对收敛. 2． 讨论级数∑∞=--111)1(n pn n 的收敛性(p ＞0)． 解：当1p >时，由于11111(1)n p p n n n n ∞∞-==-=∑∑收敛，故级数111(1)n p n n ∞-=-∑绝对收敛. 当01p <≤时，由于111,(1)n n p p u u n n +=>=+ lim 0n n u →∞=,由莱布尼茨判别法知交错级数111(1)n p n n ∞-=-∑收敛，然而，当01p <≤时，11111(1)n p p n n n n ∞∞-==-=∑∑发散，故此时，级数111(1)n p n n ∞-=-∑条件收敛. 综上所述，当01p <≤时，原级数条件收敛;当p >1时，原级数绝对收敛.3※． 设级数∑∞=12n na及∑∞=12n nb都收敛，证明级数∑∞=1n nn ba 及()∑∞=+12n n nb a也都收敛．证：因为2222||||110||222n n n n n n a b a b a b +≤≤=+ 而由已知1nn a ∞=∑及21n n b ∞=∑都收敛，故221111,22n n n n a b ∞∞==∑∑收敛，从而2211122n n n a b ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑收敛，由正项级数的比较判别法知1n nn a b∞=∑也收敛，从而级数1n nn a b∞=∑绝对收敛.又由222()2,n n n n n n a b a a b b +=++及2211,n nn n a b∞∞==∑∑,以及1n nn a b∞=∑收敛，利用数项级数的基本性质知，221(2)nn n n n aa b b ∞=++∑收剑，亦即21()n n n a b ∞=+∑收敛.习题9-41． 指出下列幂级数的收敛区间：(1) ∑∞=0!n n n x (0!=1)； (2) ∑∞=0!n nn x nn ；(3) ∑∞=⋅022n n n n x ； (4) ∑∞=++-01212)1(n n n n x ． (5) ∑∞=⋅+02)2(n n n n x ； (6) ∑∞=-0)1(2n n nx n． 解：（1）因为111(1)!limlim lim 011!n n n n na n p a n n +→∞→∞→∞+====+，所以收敛半径r =+∞，幂级数1!n n x n ∞=∑的收敛区间为(,)-∞+∞.（2）因为-111lim lim lim 1e 11n nn n n n na n p a n n +→∞→∞→∞⎛⎫===-= ⎪++⎝⎭，所以收敛半径1e r p ==. 当x =e 时，级数01!!e n n n n n n n n x n n ∞∞===∑∑，此时11(1)n n n u e u n+=+，因为1(1)n n +是单调递增数列，且1(1)nn +<e所以1n nu u +>1,从而lim 0n n u →∞≠，于是级数当x =e 时，原级数发散.类似地，可证当x =-e 时，原级数也发散(可证lim ||0n n u →∞≠),综上所述，级数0!nnn n x n∞=∑的收敛区间为(-e,e). （3）因为2111limlim ()212n n n n a n p a n +→∞→∞===+,所以收敛半径为r =2. 当2x =时，级数221012n n n n x n n∞∞===⋅∑∑是收敛的p 一级数（p =2>1）;当x =-2时，级数22011(1)2n nn n n x n n ∞∞===-⋅⋅∑∑是交错级数，它满足莱布尼茨判别法的条件，故它收敛.综上所述，级数202nn n x n∞=⋅∑的收敛区间为[-2,2].（4）此级数缺少偶次幂的项，不能直接运用定理2求收敛半径，改用达朗贝尔比值判别法求收敛区间.令21(1)21n nn x u n +=-+，则22121lim lim 23n n n nu n x x u n +→∞→∞+=⋅=+.当21x <时，即||1x <时，原级数绝对收敛.当21x >时，即||1x >时，级数0||n n u ∞=∑发散，从而210(1)21n nn x n +∞=-+∑发散，当1x =时，级数变为01(1)21nn n ∞=-+∑;当1x =-时，级数变为11(1)21n n n ∞+=-+∑;它们都是交错级数，且满足莱布尼茨判别法的条件，故它们都收敛. 综上所述，级数21(1)21n nn x n +∞=-+∑的收敛区间为[-1,1].（5）此级数为（x +2）的幂级数. 因为11limlim 2(1)2n n n n a n p a n +→∞→∞===+. 所以收敛半径12r p==，即|2|2x +<时，也即40x -<<时级数绝对收敛.当|2|2x +>即4x <-或0x >时，原级数发散.当4x =-时，级数变为1(1)nn n∞=-∑是收敛的交错级数， 当x =0时，级数变为调和级数11n n∞=∑,它是发散的. 综上所述，原级数的收敛区间为[-4,0).（6）此级数（x -1）的幂级数 故收敛半径12r =.于是当1|1|2x -<即1322x <<时，原级数绝对收敛. 当1|1|2x ->即12x <或32x >时，原级数发散.当32x =时，原级数变为01n n ∞=∑是调和级数，发散.当12x =时，原级数变为11(1)n n n ∞=-∑，是收敛的交错级数.综上所述，原级数的收敛区间为13,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 2． 求下列幂级数的和函数：(1) ∑∞=-1)1(n n nn x ； (2) ∑∞=-1122n n nx ；(3) nn x n n ∑∞=+1)1(1； (4) ∑∞=+0)12(n n x n ． 解：（1）可求得所给幂级数的收敛半径r =1.设1()(1)n nn x S x n ∞==-∑,则1111()(1)(1)1n n n n n n x S x x n x ∞∞-=='⎡⎤'=-=-=-⎢⎥+⎣⎦∑∑ 又当x =1时，原级数收敛，且()S x 在x =1处连续.（2）所给级数的收敛半经r =1，设211()2n n S x nx∞-==∑,当||1x <时，有于是22222()1(1)x x s x x x '⎛⎫== ⎪--⎝⎭又当1x =±时，原级数发散.故2122122 (||1)(1)n n xnx x x ∞-==<-∑（3）可求所给级数的收敛半径为1.令1111()(0)(1)(1)n n n n x x s x x n n x n n +∞∞====≠++∑∑ 令11()(1)n n x g x n n +∞==+∑,则111()1n n g x x x ∞-=''==-∑所以0()ln(1)d ln(1)ln(1)xg x x x x x x x =--=+---⎰;所以1()11ln(1),||1,S x x x x ⎛⎫=+--< ⎪⎝⎭且0x ≠. 当1x ±时，级数为11(1)n n n ∞=+∑和11(1)(1)n n n n ∞=-+∑,它们都收敛.且显然有(0)0S =. 故111ln(1)(1,0)(0,1)()00,1x x S x x x x ⎧⎛⎫+--∈-⋃⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪=±⎩. （4）可求得所给级数的收敛半径为r =1且1x ±时，级数发散，设10()n n S x nx ∞-==∑,则001()d .1xn n s x x x x∞===-∑⎰ 于是211()()1(1)S x x x '==--,即1211(1)n n nx x ∞-==-∑. 所以1101(21)2n n n n n n n xx nx x ∞∞∞-===+=+∑∑∑ 3． 求下列级数的和： (1) ∑∞=125n n n ； (2) ∑∞=-12)12(1n n n ； (3) ∑∞=--112212n n n ； (4) 1(1)2n n n n ∞=+∑． 解：（1）考察幂级数21n n n x ∞=∑，可求得其收敛半径1r = ，且当1x ±时，级数的通项2n n u n x =，2lim ||lim n n n u n →∞→∞==+∞，因而lim 0n n u →∞≠，故当1x ±时，级数21n n n x ∞=∑发散，故幂级数21n n n x ∞=∑的收敛区间为（-1，1）.设21() (||1)n n S x n x x ∞==<∑，则211()n n S x x n x ∞-==∑ 令2111()n n S x n x∞-==∑,则11011()d x n n n n S x x nx x nx ∞∞-====∑∑⎰. 再令121()n n S x nx∞-==∑,则201()d 1x n n x S x x x x∞===-∑⎰. 故221()(||1)1(1)x S x x x x '⎛⎫==< ⎪--⎝⎭，从而有120()d (1)x x S x x x =-⎰.于是 213()() (||1)(1)x x S x xS x x x +==<- 取15x =，则223111()11555()5532115n n n S ∞=+===⎛⎫- ⎪⎝⎭∑. （2）考察幂级数21121n n x n ∞=-∑，可求得收敛半径r =1，设 令21111()21n n S x x n ∞-==-∑,则221211()1n n S x x x ∞-='==-∑. 即 1111()(0)ln (,(0)0)21x S x S s x+-==-. 于是 111()ln ,(||<1)21x S x x x +=-，从而取x =则11(21)21n n S n ∞===--∑（3）考察幂级数211(21)n n n x∞-=-∑，可求得其级数半经为r =1,因为 令2111()2n n S x nx∞-==∑，则221201()d 1x n n x S x x xx ∞===-∑⎰. 所以212222() (||1)1(1)x x S x x x x '⎛⎫==< ⎪--⎝⎭,于是 取12x =，得 3212111()121102212291()2n n n S ∞-=+-⎛⎫=== ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭∑. （4）考察幂级数1(1)n n n n x∞=+∑，可求得其收敛半径r =1. 设1()(1) (||1)n n S x n n xx ∞==+<∑ 则121011()d xn n n n S x x nx x nx ∞∞+-====∑∑⎰.又设111()n n S x nx∞-==∑则101()d 1x n n x S x x x x∞===-∑⎰. 从而121()1(1)x S x x x '⎛⎫== ⎪--⎝⎭, 取12x =，则 习题9-51． 将下列函数展开成x 的幂级数： (1) 2cos 2x ; (2) 2sin x ； (3) 2x x -e ; (4) 211x -； (5)πcos()4x -． 解：（1）2201cos 11cos (1)2222(2)!n n n x x x n ∞=+==+-∑ （2）2101sin (1) ()2(21)!2n n n x x x n +∞=⎛⎫=--∞<<+∞ ⎪+⎝⎭∑ （3）22210011e ()(1) ()!!x n n n n n x x x x x n n ∞∞-+===-=--∞<+∞∑∑ （4）211111211x x x ⎡⎤=+⎢⎥--+⎣⎦（5）πππcos cos cos sin sin 444x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭ 2． 将下列函数在指定点处展开成幂级数，并求其收敛区间： (1)x -31,在x 0＝１； (2) cos x,在x 0=3π; (3) 3412++x x ,在x 0=1; (4) 21x, 在x 0＝３． 解：（1）因为11113212x x =⋅---,而 0111 (||112212nn x x x ∞=--⎛⎫=< ⎪-⎝⎭-∑即13x -<<). 所以100111(1) (13)3222nnn n n x x x x ∞∞+==--⎛⎫=⋅=-<< ⎪-⎝⎭∑∑. 收敛区间为：（-1，3）.（2）πππ2π2cos cos ()cos cos()sin sin()333333x x x x ⎡⎤=+-=---⎢⎥⎣⎦ 收敛区间为(,)-∞+∞.（3）211111111()1143213481124x x x x x x =-=⋅-⋅--++++++ 由112x -<且114x -<得13x -<<，故收敛区间为（-1，3） （4）因为011113(1)()333313n n n x x x ∞=-=⋅=-⋅-+∑ 而21011(3)(1)3n n n n x x x ∞+=''⎡⎤-⎛⎫=-=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑ 由313x -<得06x <<. 故收敛区间为（0，6）.。
微积分二课后题答案
第五章习题5-11.求下列不定积分：125)x -d x ; 2 2⎰x ; 3 3e x x ⎰d x ； 4 2cos2x⎰d x ； 5 23523x x x⋅-⋅⎰d x ； 6 22cos 2d cos sin x x x x ⎰.解 5151732222222210(1)5)(5)573d d d d x x x x x x x x x x C -=-=-=-+⎰⎰⎰2. 解答下列各题：1 一平面曲线经过点1,0,且曲线上任一点x ,y 处的切线斜率为2x -2,求该曲线方程；2 设sin x 为fx 的一个原函数,求()f x '⎰d x ；3 已知fx 的导数是sin x ,求fx 的一个原函数；4 某商品的需求量Q 是价格P 的函数,该商品的最大需求量为1000即P=0时,Q =1000,已知需求量的变化率边际需求为Q ′P =-10001()3Pln3,求需求量与价格的函数关系. 解 1设所求曲线方程为y =fx ,由题设有f′x =2x -2,又曲线过点1,0,故f 1=0代入上式有1-2+C =0得C =1,所以,所求曲线方程为2()21f x x x =-+.2由题意有(sin )()x f x '=,即()cos f x x =, 故 ()sin f x x '=-, 所以()sin sin cos d d d f x x x x x x x C '=-=-=+⎰⎰⎰.3由题意有()sin f x x '=,则1()sin cos d f x x x x C ==-+⎰于是12()(cos )sin d d f x x x C x x C x C=-+=-++⎰⎰.其中12,C C 为任意常数,取120C C ==,得()f x 的一个原函数为sin x -. 注意 此题答案不唯一.如若取121,0C C ==得()f x 的一个原函数为sin x x --. 4由1()1000()ln 33PQ P '=-得 将P =0时,Q =1000代入上式得C =0所以需求量与价格的函数关系是1()1000()3P Q P =.习题5-21.在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数,使等式成立： 1 d x = d ax +ba ≠0； 2 d x = d7x -3； 3 x d x = d52x ； 4 x d x = d1-2x ； 5 3x d x = d3x 4-2; 6 2e x d x = d 2e x； 7 2ex -d x = d1+2ex -; 8d xx= d5ln ｜x ｜;= d1-arcsin x = d112d 19x x += darctan3x ; 12 2d 12xx += darctan x ;13 32x -2d x = d2x -3x ； 14 cos 23x -1d x = dsin 23x -1.解 1(1)()(0)()d d d d ax b a x a x ax b a+=≠∴=+2.求下列不定积分：1 5e d t t ⎰;2 3(32)x -⎰d x ;3d12xx -⎰; 45t ; 6 d ln ln ln x x x x ⎰; 7 102tan sec d x x x ⎰; 8 2ed x x x -⎰;9dsin cos x x x ⎰; 10 ⎰; 11de e x xx-+⎰; 12 x ; 13 343d 1x x x -⎰; 14 3sin d cos x x x ⎰; 15x ⎰; 16 32d 9x x x +⎰; 172d 21xx -⎰; 18 d (1)(2)x x x +-⎰; 19 2cos ()d t t ωϕ+⎰; 20 2cos ()sin()d t t t ωϕωϕ++⎰;21 sin2cos3d x x x ⎰; 22 cos cosd 2x x x ⎰; 23 sin5sin 7d x x x ⎰; 24 3tan sec d x x x ⎰;25x ; 26 ;27ln tan d cos sin xx x x⎰; 28 21ln d (ln )x x x x +⎰; 292,0x a >; 30 ⎰31x⎰; 32 ;33⎰; 34,0x a >⎰; 352d x x ⎰; 36 2d x x⎰; 372sec ()d 1tan x x x+⎰; 38 (1)d (1e )x x x x x ++⎰提示：令xt e =. 解 5555111(1)5(5)555e d e d e d e tt t tt t t C =⋅==+⎰⎰⎰ 利用教材§例16及公式20可得:原式=22211arcsin arcsin arcsin 2222x a x a x a C C a a a --=-. 30令tan ,(,)22ππx t t =∈-,则2sec d d x t t =. 所以2sec cos sin sec d d d d tt t t t t C t ====+⎰⎰tan ,sin 原式x t t C =∴=∴=.31令3sec ,(0,)2πx t t =∈,可求得被积函数在x >3上的不定积分,此时 故223tan 3sec tan 3tan 3(sec 1)3sec d d d d tx t t t t t t t x t=⋅⋅==-⎰⎰⎰⎰ 3tan 3t t C =-+.由3sec ,(0,)2πx t t =∈得tan t =,又由3sec x t =得33sec ,cos ,arccos 3x tt t x x===, 又令x =3sec t ,类似地可得被积函数在x <-3上的不定积分. 综上所述有33arccos d x C x x=+⎰. 32令sin ,(,)22ππx t t =∈-,则cos d d x t t =. 33令sin ,(,)22ππx t t =∈-,则cos ,d d x t t =3421(2d d x a x x a =+=⎰arcsin xa C a=⋅. 35令2sin ,(,),2cos 22ππd d x t t x t t =∈-=,所以2222cos 2cos cot csc 4sin d d d d tx t t t t t t t t=⋅==-⎰⎰⎰⎰⎰cot arcsin 2x t t C C x =--+=--+.3622d d x x x x ==+⎰⎰ 由被积函数知x ≤-2或x >0,令1x t=, 当x >0时,此时t >0 当x ≤-2时,此时102t -≤<综上所述:原式= ln1C x -++. 37 2222sec sec 11()(1tan )1tan (1tan )(1tan )1tan d d d x x x x x C x x x x==+=-+++++⎰⎰⎰. 38令e x=t ,则x =ln t ,d x =1td t .习题5-31.求下列不定积分：1 sin d x x x ⎰;2 e d xx x -⎰; 3 arcsin d x x ⎰; 4 e cos d xx x -⎰;5 2esin d 2xxx -⎰; 6 2tan d x x x ⎰;7 2e d t t t -⎰; 82(arcsin )d x x ⎰;9 2e sin d x x x ⎰; 10 x ⎰;11cos(ln )d x x ⎰; 122(1)sin 2d x x x -⎰;13ln(1)d x x x -⎰; 1422cosd 2x x x ⎰; 1532ln d xx x⎰; 16sin cos d x x x x ⎰;172cot csc d x x x x ⎰; 18 22(1)e d x x x x +⎰;191(ln ln )d ln x x x+⎰; 20e ln(1e )d x x x +⎰; 21 23sin d cos x x x ⎰; 22x ; 232e d (1)x x x x +⎰; 24arctan 322e d (1)xx x x +⎰. 解 (1)sin cos cos cos cos sin d d d x x x x x x x x x x x x C =-=-+=-++⎰⎰⎰而cos 2cos 2cos 22sin 2cos 22sin 2e d de e e d e de x x x x x xx x x x x x x x ==+=+⎰⎰⎰⎰10t =,则32,3d d x t x t t ==11令ln x =t ,则,e d e d ttx x t ==,于是 213sin 2tan sec ln sec tan cos d xx x x C x x x =-++⎰, 所以 23sin 11tan sec ln sec tan cos 22d x x x x C x x x =-++⎰.22211(22)ln(()211121ln(12(1)2d d d x x xx x x x =-+=++++=-++⎰⎰令x =tan t , (,)22ππt ∈-,则d x =sec 2t d t∴原式C +.于是arctan arctan 13222(1)e e d x xx x C x =++⎰,所以arctan arctan 322(1)e e d x x x x C x =+⎰.习题5-4求下列不定积分：1 21d 1x x +⎰; ２ 5438d x x x x x +--⎰; ３sin d 1sin x x x +⎰; 4 cot d sin cos 1xx x x ++⎰.解 1令322111(1)(1)11A Bx C x x x x x x x +==+++-++-+ 则 2331()()()11A B x B C A x A C x x +++-++=++ 从而 001A B B C A A C +=⎧⎪+-=⎨⎪+=⎩ 解得 131323A B C ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩于是注 本题亦可用万能代换法4令tan 2xt =,则 则。
《微积分》课后答案(复旦大学出版社(曹定华_李建平_毛志强_著))第四章
f (0) 0 ,依题意知 f ( x0 ) 0 .即有 f (0) f ( x0 ) .由罗尓定理,至少存在一点 (0, x0 ) ,使
得 f ( ) 0 成立,即
a0 n n 1 a1 (n 1) n 2 … an 1 0
成立,这就说明 是方程 a0 nx n 1 a1 (n 1) x n 2 an 1 0 的一个小于 x0 的正根. 7. 设 f(a) = f(c) = f(b),且 a＜c＜b, f ″(x)在 ［a,b］ 上存在， 证明在(a,b)内至少存在一点ξ， 使 f ″(ξ) = 0. 证: 显 然 f ( x ) 分 别 在 a , c 和 c, b 上 满 足 罗 尓 定 理 的 条 件 , 从 而 至 少 存 在
x x x
由 e 在 , 上连续,可导, f ( x) 在 a, b 上连续,在 a, b 内可导,知 F ( x) 在 a, b 上连
x
续,在 a, b 内可导,而且 F ( a ) e f ( a ) 0, F (b) e f (b) 0, 即F ( a ) F (b) ,
(4) lim
(a x) x a x ,(a＞0)； x 0 x2
(6) lim sin x ln x ;
x 0
1 ln(1 ) x ; (7) lim x arc cot x
(9) lim(1 sin x) x ;
x 0
1
(8) lim(
x 0
ex 1 ); x ex 1
x 0
f ( x) 在 0,π 上不连续,
显 然 f ( x) 在
0, π
经济数学基础 微积分 第二章习题解答
1 ex x0 15.设有函数f ( x) a x x 0
解： e 0 lim
x 0 1 x x 0
问常数a为何值时， f ( x)存在？ lim
x0
lim (a x) a
当a 0时， f ( x)存在. lim
x0
16.求下列极限： tan 2 x 2 arctan 5 x 3x sin 3 x (2) lim (3) lim 5 (1) lim lim 6 x 0 sin 5 x x 0 arcsin x x 0 x 0 x x 5 sin 2 2 1 x2 sin x2 (5) lim 1 lim 4 x 1 x 0 (4) lim x sin lim 2 x x 0 x 2 sin ( ) x ( ) x x 1 2 2 x tan 2 x sin x tan 2 x sin x 2 1 1 (6) lim lim lim x 0 x 0 x 0 x x x
e 4
x x x 1 2 3 lim (17 ) lim ln(1 x x x ) x 0 x 0 x x
2
3
1
1
1 n 2 n 3 n n n n n n (18) lim(1 2 3 4 ) lim 4 [1 ( ) ( ) ( ) ] 4 x x 4 4 4 17.求下列极限：
x 1 x 1
1 或 lim 2 0 n x
y
解：lim f ( x) lim f ( x) 2 f (1)
x 2是第一类可去间断点
0
x
若f (1) 2, 则为连续 .
(2) x 0第二类无穷间断点 (3) x 0第一类跳跃间断点 (4) x 0第一类可去间断点 x 1第二类无穷间断点 (5) x 0第一类跳跃间断点 (6) x 0第一类可去间断点
《微积分》课后答案(复旦大学出版社(曹定华_李建平_毛志强_著))第三章
第三章习题3-11．设s =12gt ２，求2d d t s t =．解：22221214()(2)2lim lim 22t t t g g ds s t s dt t t t →→=-⨯-==--21lim (2)22t g t g →=+=2．设f (x )=1x，求f '(x 0)(x 0≠0)．解：1211()()()f x x x x--'''===00201()(0)f x x x '=-≠3．试求过点（3，8）且与曲线2y x =相切的直线方程。
解：设切点为00(,)x y ，则切线的斜率为002x x y x ='=，切线方程为0002()y y x x x -=-。
由已知直线过点(3,8),得00082(3)y x x -=-(1)又点00(,)x y 在曲线2y x =上，故200y x =(2)由(1),(2)式可解得002,4x y ==或004,16x y ==，故所求直线方程为44(2)y x -=-或168(4)y x -=-。
也即440x y --=或8160x y --=。
4．下列各题中均假定f ′(x 0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出A 表示什么：(1)0limx ∆→00()()f x x f x x-∆-∆=A ;(2)f (x 0)=0,0limx x →0()f x x x-＝A ；(3)0limh →00()()f x h f x h h+--=A ．解：(1)0000000()()[()]()limlim ()x x f x x f x f x x f x f x xx →-→--+--'=-=-- 0()A f x '∴=-(2)000000()()()limlim ()x x x x f x f x f x f x x x x x →→-'=-=--- 0()A f x '∴=-(3)000()()limh f x h f x h h→+-- 00000[()()][()()]lim h f x h f x f x h f x h→+----=000000()()[()]()lim lim h h f x h f x f x h f x h h →-→+-+--=+-000()()2()f x f x f x '''=+=02()A f x '∴=5．求下列函数的导数：(1)y；(2)y；(3)y2．解：(1)12y x==11221()2y x x -''∴===(2)23y x-=225133322()33y x x x ----''∴==-=-=(3)2152362y x x xx-==15661()6y x x -''∴===6．讨论函数y在x =0点处的连续性和可导性．解：00(0)x f →==000()(0)0lim lim 0x x x f x f x x →→→--===∞-∴函数y =在0x =点处连续但不可导。
微积分(曹定华)(修订版)课后题答案第二章习题详解
第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞x n +k =a .证：由lim n n x a →∞=，知0ε∀>，1N ∃，当1n N >时，有n x a ε-<取1N N k =-，有0ε∀>，N ∃，设n N >时（此时1n k N +>）有n k x a ε+-<由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=.2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若li m n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明上述结论反之不成立.证：lim 0,,.使当时，有n x n x aN n N x a εε→∞=∴∀>∃>-<而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>，,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞=，所以前面所证结论反之不成立。
3. 利用夹逼定理证明：(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭=0； (2) lim n →∞2!nn =0.证：（1）因为222222111112(1)(2)n n nn n n n n nn++≤+++≤≤=+而且 21lim0n n →∞=，2lim 0n n→∞=， 所以由夹逼定理，得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭. （2）因为22222240!1231n n n n n<=<-，而且4lim 0n n →∞=，所以，由夹逼定理得2lim 0!nn n →∞= 4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x n =11ne +，n =1,2,…；(2) x 1,x n +1n =1,2,…. 证：（1）略。
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第二章习题2-11、 试利用本节定义5后面的注(3)证明:若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ,有lim n →∞x n +k =a 、证:由lim n n x a →∞=,知0ε∀>,1N ∃,当1n N >时,有n x a ε-<取1N N k =-,有0ε∀>,N ∃,设n N >时(此时1n k N +>)有n k x a ε+-<由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞=、2、 试利用不等式A B A B -≤-说明:若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|、考察数列x n =(-1)n ,说明上述结论反之不成立、证:lim 0,,.使当时，有n x n x aN n N x a εε→∞=∴∀>∃>-<Q而 n n x a x a -≤- 于就是0ε∀>,,使当时，有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 lim n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-,知lim n n x →∞不存在,而1n x =,lim 1n n x →∞=,所以前面所证结论反之不成立。
3、 利用夹逼定理证明:(1) lim n →∞222111(1)(2)n n n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭L =0; (2) lim n →∞2!n n =0、 证:(1)因为222222111112(1)(2)n n n n n n n n n n++≤+++≤≤=+L 而且 21lim0n n →∞=,2lim 0n n→∞=, 所以由夹逼定理,得222111lim 0(1)(2)n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭L 、 (2)因为22222240!1231n n n n n<=<-g g g L g g ,而且4lim 0n n →∞=, 所以,由夹逼定理得2lim 0!nn n →∞= 4、 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在、 (1) x n =11ne +,n =1,2,…;(2) x 1,x n +1n =1,2,…、 证:(1)略。
(2)因为12x =,不妨设2k x <,则12k x +=<=故有对于任意正整数n ,有2n x <,即数列{}n x 有上界,又 1n n x x +-=,而0n x >,2n x <,所以 10n n x x +-> 即 1n n x x +>, 即数列就是单调递增数列。
综上所述,数列{}n x 就是单调递增有上界的数列,故其极限存在。
习题2-21※、 证明:0lim x x →f (x )=a 的充要条件就是f (x )在x 0处的左、右极限均存在且都等于a 、证:先证充分性:即证若0lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→==,则0lim ()x x f x a →=、 由0lim ()x x f x a -→=及0lim ()x x f x a +→=知: 10,0εδ∀>∃>,当010x x δ<-<时,有()f x a ε-<,20δ∃>当020x x δ<-<时,有()f x a ε-<。
取{}12min ,δδδ=,则当00x x δ<-<或00x x δ<-<时,有()f x a ε-<, 而00x x δ<-<或00x x δ<-<就就是00x x δ<-<,于就是0,0εδ∀>∃>,当00x x δ<-<时,有()f x a ε-<, 所以 0lim ()x x f x a →=、再证必要性:即若0lim ()x x f x a →=,则0lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→==, 由0lim ()x x f x a →=知,0,0εδ∀>∃>,当00x x δ<-<时,有()f x a ε-<,由00x x δ<-<就就是 00x x δ<-<或00x x δ<-<,于就是0,0εδ∀>∃>,当00x x δ<-<或00x x δ<-<时,有()f x a ε-<、所以 0lim ()lim ()x x x x f x f x a -+→→== 综上所述,0lim x x →f (x )=a 的充要条件就是f (x )在x 0处的左、右极限均存在且都等于a 、2、 (1) 利用极限的几何意义确定0lim x → (x 2+a ),与0lim x -→1e x; (2) 设f (x )= 12e ,0,,0,xx x a x ⎧⎪<⎨⎪+≥⎩,问常数a 为何值时,0lim x →f (x )存在、解:(1)因为x 无限接近于0时,2x a +的值无限接近于a ,故2lim()x x a a →+=、当x 从小于0的方向无限接近于0时,1e x 的值无限接近于0,故10lim e 0xx -→=、 (2)若0lim ()x f x →存在,则00lim ()lim ()x x f x f x +-→→=, 由(1)知 22lim ()lim()lim()x x x f x x a x a a +--→→→=+=+=, 1lim ()lim e 0xx x f x --→→== 所以,当0a =时,0lim ()x f x →存在。
3、 利用极限的几何意义说明lim x →+∞sin x 不存在、解:因为当x →+∞时,sin x 的值在-1与1之间来回振摆动,即sin x 不无限接近某一定直线y A =,亦即()y f x =不以直线y A =为渐近线,所以lim sin x x →+∞不存在。
习题2-31、 举例说明:在某极限过程中,两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定就是无穷小量,也不一定就是无穷大量、解:例1:当0x →时,tan ,sin x x 都就是无穷小量,但由sin cos tan xx x=(当0x →时,cos 1x →)不就是无穷大量,也不就是无穷小量。
例2:当x →∞时,2x 与x 都就是无穷大量,但22xx=不就是无穷大量,也不就是无穷小量。
例3:当0x +→时,tan x 就是无穷小量,而cot x 就是无穷大量,但tan cot 1x x =g 不就是无穷大量,也不就是无穷小量。
2、 判断下列命题就是否正确:(1) 无穷小量与无穷小量的商一定就是无穷小量; (2) 有界函数与无穷小量之积为无穷小量; (3) 有界函数与无穷大量之积为无穷大量; (4) 有限个无穷小量之与为无穷小量; (5) 有限个无穷大量之与为无穷大量;(6) y =x sin x 在(-∞,+∞)内无界,但lim x →∞x sin x ≠∞;(7) 无穷大量的倒数都就是无穷小量; (8) 无穷小量的倒数都就是无穷大量、 解:(1)错误,如第1题例1; (2)正确,见教材§2、3定理3;(3)错误,例当0x →时,cot x 为无穷大量,sin x 就是有界函数,cot sin cos x x x =g 不就是无穷大量;(4)正确,见教材§2、3定理2;(5)错误,例如当0x →时,1x 与1x -都就是无穷大量,但它们之与11()0x x+-=不就是无穷大量;(6)正确,因为0M ∀>,∃正整数k ,使π2π+2k M >,从而ππππ(2π+)(2π+)sin(2π+)2π+2222f k k k k M ==>,即sin y x x =在(,)-∞+∞内无界,又0M ∀>,无论X 多么大,总存在正整数k ,使π>k X ,使(2π)πsin(π)0f k k k M ==<,即x →+∞时,sin x x 不无限增大,即lim sin x x x →+∞≠∞;(7)正确,见教材§2、3定理5;(8)错误,只有非零的无穷小量的倒数才就是无穷大量。
零就是无穷小量,但其倒数无意义。
3、 指出下列函数哪些就是该极限过程中的无穷小量,哪些就是该极限过程中的无穷大量、(1) f (x )=234x -,x →2; (2) f (x )=ln x ,x →0+,x →1,x →+∞; (3) f (x )= 1e x,x →0+,x →0-; (4) f (x )=2π-arctan x ,x →+∞;(5) f (x )=1x sin x ,x →∞; (6) f (x )= 21xx →∞、解:(1)22lim(4)0x x →-=因为,即2x →时,24x -就是无穷小量,所以214x -就是无穷小量,因而234x -也就是无穷大量。
(2)从()ln f x x =的图像可以瞧出,1lim ln ,limln 0,lim ln x x x x x x +→→+∞→=-∞==+∞,所以,当0x +→时,x →+∞时,()ln f x x =就是无穷大量;当1x →时,()ln f x x =就是无穷小量。
(3)从1()e xf x =的图可以瞧出,110lim e ,lim e 0x xx x +-→→=+∞=, 所以,当0x +→时,1()e xf x =就是无穷大量; 当0x -→时,1()e xf x =就是无穷小量。
(4)πlim (arctan )02x x →+∞-=Q ,∴当x →+∞时,π()arctan 2f x x =-就是无穷小量。
(5)Q 当x →∞时,1x就是无穷小量,sin x 就是有界函数, ∴1sin x x就是无穷小量。
(6)Q 当x →∞时,21x就是无穷小量,∴习题2-41、若0lim x x →f (x )存在,0lim x x →g (x )不存在,问0lim x x →［f (x )±g (x )］, 0lim x x →［f (x )·g (x )］就是否存在,为什么?解:若0lim x x →f (x )存在,0lim x x →g (x )不存在,则(1)0lim x x →［f (x )±g (x )］不存在。
因为若0lim x x →［f (x )±g (x )］存在,则由()()[()()]g x f x f x g x =--或()[()()]()g x f x g x f x =+-以及极限的运算法则可得lim x x →g (x ),与题设矛盾。