高三上学期期末调研(数学理)
人教版新课标高三上期末学业水平调研数学(理)试卷(含答案)
高中毕业班学业水平考试数学（理科）本试卷共23题，共150分，共4页，考试结束后将本试卷和答题卡一并收回．注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题目的顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数121z i i=++-的虚部是 A ．52B ．2C ．32D ．32i2．已知集合3{|0}1x A x x -=≤+，{1,1,2,3}B =-，则A B = A ．{1,2}B ．{0,1,2}C ．{1,2,3}D ．{1,1,2,3}-3．已知命题:p 若||a b >，则22a b >；命题:q m 、n 是直线，α为平面，若m //α,n α⊂，则m //n .下列命题为真命题的是 A ．p q ∧B ．p q ∧⌝C ．p q ⌝∧D ．p q ⌝∧⌝4．如图是某地区2000年至2021年环境基础设施投资额y （单位：亿元）的折线图．则下列结论中表述不正确．．．的是A.从2000年至2021年，该地区环境基础设施投资额逐年增加；B.2021年该地区环境基础设施的投资额比2000年至2004年的投资总额还多；C.2021年该地区基础设施的投资额比2004年的投资额翻了两番；D.为了预测该地区2022年的环境基础设施投资额，根据2021年至2021年的数据（时间变量t 的值依次为127，，…，）建立了投资额y与时间变量t的线性回归模型ˆ9917.5y t=+，根据该模型预测该地区2022的环境基础设施投资额为256.5亿元.5. 函数1()ln||f x xx=+的图象大致为11-1-1xyA．11-1-1xyB．11-1-1xy C．P C 1CBA6. 若,x y 满足约束条件102100x y x y x --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2x z y =-+的最小值为A ． 1B ．2C ．-2D ．-17．若2log 3a =，4log 8b =，5log 8c =，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c b a >>8．若点(2,A 在抛物线2:2C y px =上，记抛物线C 的焦点为F ，直线AF 与抛物线的另一交点为B ，则FA FB ⋅=A ．10- B3 C ．3- D ．92-9．某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为8， 则该几何体侧面积的最大值为 A ．πB ．2πC ．4πD ．16π10．已知在区间[0,]π上，函数3sin2xy =与函数y =P ，设点P 在x 轴上的射影为'P ，'P 的横坐标为0x ，则0tan x 的值为A ．12B ．43C ．45D ．81511．已知双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为12F F 、，坐标原点O 关于点2F 的对称点为P ，点P到双曲线的渐近线距离为2F 的直线与双曲线C 右支相交于M 、N 两点，若||3MN =，1F MN ∆的周长为10，则双曲线C 的离心率为A ．32B ．2C ．52D ．3OHCAP12. 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面111A B C ，∠ACB=90°，11BC CC ==，AC =P 为1BC 上的动点，则1CP PA +的最小值为A.B．1+C ．5D．1+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．821)x 的展开式中1x的系数为_______； 14．若向量(1,)a x =、(1,2)b =--不共线，且()()a b a b +⊥-，则a b ⋅=_______； 15. 已知函数3()2f x x x =+，若2(1)(2)0f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是 ；16.已知()sin[(1)]cos[(1)]33f x x x ππ=++，则(1)(2)(2019)f f f +++= .三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第23题为选考题，考生根据要求做答． （一）必考题：共60分17.（12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足13a =，123n n S a ++=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若等差数列{}n b 的前n 项和为n T ，且11T a =，33T a =，求数列11{}n n b b +的前n 项和n Q ． 18.（12分）如图，在三棱锥P-ABC 中，正三角形P AC 所在平面与等腰三角形 ABC 所在平面互相垂直，AB ＝BC ，O 是AC 中点，OH ⊥PC 于H .（1）证明：PC ⊥平面BOH ；（2）若OH OB ==，求二面角A-BH-O 的余弦值． 19.（12分）某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式，方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试；方式二：周六一天培训4小时，周日测试．公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训，甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如下表，其中第一、二周达标的员工评为优秀．（1）在甲组内任选两人，求恰有一人优秀的概率；（2）每个员工技能测试是否达标相互独立，以频率作为概率.（i ）设公司员工在方式一、二下的受训时间分别为1ξ、2ξ，求1ξ、2ξ的分布列，若选平均受训时间少的，则公司应选哪种培训方式？（ii ）按（i ）中所选方式从公司任选两人，求恰有一人优秀的概率． 20.（12分）已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的上顶点为A,以A 为圆心，椭圆的长半轴为半径的圆与y轴的交点分别为(0,1+、(0,1-. （1）求椭圆C 的方程；（2）设不经过点A 的直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，且0AP AQ ⋅=,试探究直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，请说明理由. 21.（12分）已知函数1()kxkx f x ke-=（k R ∈，0k ≠）. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1x ≥时，()ln x f x k≤，求k 的取值范围.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22. [选修4-4：坐标系与参数方程] （10分）已知曲线C 的参数方程为22x ty t=⎧⎨=⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，过极点的两射线1l 、2l 相互垂直，与曲线C 分别相交于A 、B 两点（不同于点O ），且1l 的倾斜角为锐角α.（1）求曲线C 和射线2l 的极坐标方程；（2）求△OAB 的面积的最小值，并求此时α的值． 23. [选修45：不等式选讲] (10分）已知函数()|2||2|f x x a x =--+， （1）当a =2时，求不等式()2f x <的解集；（2）当[2,2]x ∈-时不等式()f x x ≥恒成立，求a 的取值范围．1PBC 高中毕业班学业水平考试数学（理科）参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题解析：8.依题意易得2p =，(1,0)F ，由抛物线的定义得||3FA =，联立直线AF 的方程与抛物线的方程消去y 得22520x x -+=，得121,2B B xx ==,则13||(1)22FB =--=,故FA FB ⋅=92-. 9. 由三视图知，该几何体为圆锥，设底面的半径为r ，母线的长为l ，则2284r l r l +=⇒+=，又S 侧=2()42r l rl πππ+≤=（当且仅当r l =时“=”成立） 10. 依题意得0003sin sin cos 222x x x==+01tan22x ⇒=04tan 3x ⇒=. 11. 依题意得点P (2,0)c ，2b b ==⇒=1F MN ∆周长为4610a +=，由此得1a =，2c =，故2e =．12. 由题设知△1CC B 为等腰直角三角形，又11A C ⊥平面11BCC B ，故∠11A C B =90°，将二面角11A BC C --沿1BC 展开成平面图形， 得四边形11AC CB 如图示，由此，1CP PA +要取得最小值，当且 仅当1C P A 、、三点共线，由题设知∠1135CC A =,由余弦定理得22112cos135AC =+-⨯25=15A C ⇒=.二、填空题15. 因函数()f x 为增函数，且为奇函数，22(1)(2)0(2)(1)(1)f a f a f a f a f a -+≤⇔≤--=-，2210a a ⇔+-≤，解得112a -≤≤.【学生填112a -≤≤或1[1,]2-或1{|1}2a a -≤≤都给满分】 16. 依题意可得()2sin3f x x π=,其最小正周期6T =,且(1)(2)(6)0,f f f +++=故(1)(2)(2019)f f f +++=(1)(2)(3)f f f ++=三、解答题17.解：（1）当1n =时，29a =，----------------------------------------------------------------------------1分由123n n S a ++=得123n n S a -+=（2n ≥），OHCB AP 两式相减得112()n n n n S S a a -+-=-，又1n n n S S a --=，∴13n n a a +=（2n ≥）， ------------------------------------------------------------------------------3分 又213a a =，∴13n n a a +=（*n N ∈）， --------------------------------------------------------4分显然0n a ≠，13n na a +=，即数列{}n a 是首项为3、公比为3的等比数列， ∴1333n nn a -=⨯=； --------------------------------------------------------------------------------6分（2）设数列{}n b 的公差为d ，则有13b =，由33T a =得13327b d +=，解得6d =，--------8分∴36(1)3(21)n b n n =+-=-， --------------------------------------------------------------------9分 又111111()9(21)(21)182121n n b b n n n n +==--+-+--------------------------------------------10分 ∴111111[(1)()()]183352121n Q n n =-+-++--+ 11(1)1821n =-+9(21)n n =+．--------------------------------------------------------------------12分 18.解：（1）∵AB ＝BC ，O 是AC 中点，∴ BO ⊥AC ，---------------------------------------------1分 又平面P AC ⊥平面ABC ，且BO ⊂平面ABC ，平面P AC ∩平面ABC ＝AC ， ∴ BO ⊥平面P AC ，-------------------------------------3分 ∴ BO ⊥PC ，又OH ⊥PC ，BO ∩OH ＝O ，∴ PC ⊥平面BOH ；------------------------------------5分A（2）易知PO ⊥AC ，又BO ⊥平面P AC ，如图，以O 为原点，OB 所在的直线为x 轴，建立空间直角 坐标系O - xyz，由OH =易知PO =OC ＝2，3cos302H y OH =︒=，sin 302H z OH =︒=，∴ (0,2,0)A -，0,0)B，3(0,,2H ，)0,2,0(C ， )32,0,0(P ，(3,2,0)AB =，7(0,,2AH =， -----------------------------------7分 设平面ABH 的法向量为(,,)m x y z =，则00AB m AH m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴2070y y +=+=⎪⎩，取x =2，得(2,3,7)m =-，----------------------9分 由（1）知PC是平面BHO 的法向量，易知(0,2,PC =-，------10分 设二面角A-BH-O 的大小为θ，显然θ为锐角， 则cos |cos ,|m PC θ=<>||||||m PC m PC ⋅=⋅=7==， ∴ 二面角A-BH-O ．------------------------------------------------------------12分 【其它解法请参照给分】19.解：（1）甲组60人中有45人优秀，任选两人，恰有一人优秀的概率为1145152604515453059118C C C ⨯==⨯；--------------------------------------------3分 （2）（i ）1ξ的分布列为1()510152*********E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=，----------------------------------------------6分2ξ的分布列为2241441164()481216415153151515E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=⨯=， ∵12()()E E ξξ<，∴公司应选培训方式一；----------------------------------------------------9分（ii ）按培训方式一，从公司任选一人，其优秀的概率为1533124+=，则从公司任选两人，恰有一人优秀的概率为12333(1)448C ⨯⨯-=．-------------------------12分 20. 解：（1）依题意知点A 的坐标为(0,)b ，则以点A 圆心，以a 为半径的圆的方程为:222()x y b a +-=，------------------------------------------------------------------------------------1分令0x =得y b a =±，由圆A 与y 轴的交点分别为(0,1+、(0,1-可得11b a b a ⎧+=+⎪⎨-=⎪⎩，解得1,b a ==-------------------------------------------------------3分故所求椭圆C 的方程为2213x y +=.----------------------------------------------------------------4分（2）解法1：由0AP AQ ⋅=得AP AQ ⊥，可知PA 的斜率存在且不为0，设直线:1PA l y kx =+---------------① 则1:1QA l y x k=-+-------------②----------------------6分 将①代入椭圆方程并整理得22(13)60k x kx ++=，可得2613P kx k=-+， 则22113P y k=-+，-------------------------------------------------------------------------------------------------8分 类似地可得2266,133Q Qk x y k k ==-++，----------------------------------------------------------9分 由直线方程的两点式可得：直线l 的方程为 21142k y x k -=-，------------------------------11分 即直线l 过定点，该定点的坐标为1(0,)2-.---------------------------------------------------------12分 【解法2：若直线l 垂直于x 轴，则AP 不垂直于AQ ，不合题意，可知l 的斜率存在，又l 不过点(0,1)，设l 的方程为y kx m =+(1)m ≠，又设点1122(,)(,)P x y Q x y 、，则1122(,1),(,1)AP x y AQ x y =-=-, 由0AP AQ ⋅=得121212()10x x y y y y +-++=，由2233y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 得222(31)6330k x kmx m +++-=，----------------------------6分 2212(31)k m ∆=-+，当0∆>即22310k m -+>时，122631kmx x k +=-+-------① 21223331m x x k -=+---------②-----------------------------------------7分 又22121212()y y k x x mk x x m =+++，1212()2y y k x x m +=++，--------------------------8分于是有221212(1)()()210k x x mk k x x m m ++-++-+=，-----------③---------------------9分将①②代入③得22222336(1)()2103131m kmk mk k m m k k -+--+-+=++ 整理得：12m =-,--------------------------------------------------------------------------------------11分 满足0∆>，这时直线l 的方程为12y kx =-，直线l 过定点1(0,)2-.------------------12分】 （21）解：（1）21(1)'()()kx kxkx ke kx kef x k e --=⋅2kx kx e -=2()kx k x k e--=．--------------------------1分 ①若0k >，当2(,)x k ∈-∞时，'()0f x >，()f x 在2(,)k-∞上单调递增； 当2(,)x k∈+∞时，'()0f x <，()f x 在2(,)k+∞上单调递减．----------------------3分②若0k <，当2(,)x k ∈-∞时，'()0f x <，()f x 在2(,)k-∞上单调递减； 当2(,)x k ∈+∞时，'()0f x >，()f x 在2(,)k+∞上单调递增．∴当0k >时，()f x 在2(,)k -∞上单调递增，在2(,)k+∞上单调递减； 当0k <时，()f x 在2(,)k -∞上单调递减，在2(,)k+∞上单调递增．-------------------5分 （2）1()ln xxx f x k ke -=≤（1x ≥）， 当0k <时，上不等式成立，满足题设条件；-----------------------------------------------------6分 当0k >时，1()ln x x x f x k ke -=≤，等价于1ln 0xx k x e --≤，设1()ln (1)x x g x k x x e -=-≥，则2'()x x k g x e x-=-22xxx x ke xe --=， 设2()2xh x x x ke =--（1x ≥），则'()2(1)0xh x x ke =--<，∴()h x 在[1,)+∞上单调递减，得()(1)1h x h ke ≤=-．-------------------------------------9分①当10ke -≤，即1k e≥时，得()0h x ≤，'()0g x ≤， ∴()g x 在[1,)+∞上单调递减，得()(1)0g x g ≤=，满足题设条件；--------------------10分②当10ke ->，即10k e<<时，(1)0h >，而0)2(2<-=ke h ， ∴0(1,2)x ∃∈，0()0h x =，又()h x 单调递减，∴当0(1,)x x ∈，()0h x >，得'()0g x >，∴()g x 在0[1,)x 上单调递增，得()(1)0g x g ≥=，不满足题设条件；综上所述，0k <或1k e≥．--------------------------------------------------------------------------12分 22. 解：（1）由曲线C 的参数方程，得普通方程为24y x =，由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得224sin cos ρθρθ=，所以曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=，[或24sin cos θρθ=] ---------------------------3分 2l 的极坐标方程为2πθα=+； --------------------------------------------------------------------5分（2）依题意设(,),(,)2A B A B πραρα+，则由（1）可得24sin cos A αρα=，同理得24sin()2cos ()2B παρπα+=+，即24cos sin B αρα=，-------------------------------------------------7分 ∴11||||||22OAB A B S OA OB ρρ∆=⋅=⋅228|sin cos |cos sin αααα⋅=⋅ ∵02πα<<∴0απ<<，∴8cos sin OAB S αα∆=⋅16sin 2α=16≥， -----------------9分 △OAB 的面积的最小值为16，此时sin 21α=， 得22πα=，∴4πα=． --------------------------------------------------------------------------10分23.解：（1）①当2x <-时，()22(2)62f x x x x =-+++=+<，解得4x <-，---------------------------------------------------------------------------------------------1分 ②当22x -≤<时，()22(2)322f x x x x =-+-+=--<， 解得423x -<<，----------------------------------------------------------------------------------------2分 ③当2x ≥时，()22(2)62f x x x x =--+=--<解得2x ≥，----------------------------------------------------------------------------------------------3分 综上知，不等式()2f x <的解集为4(,4)(,)3-∞--+∞.-----------------------------------5分 （2）解法1：当[2,2]x ∈-时，()2(2)(1)2(1)f x x a x a x a =--+=-++-，---------------6分 设()()g x f x x =-，则[2,2]x ∀∈-，()(2)2(1)0g x a x a =-++-≥恒成立，只需(2)0(2)0g g -≥⎧⎨≥⎩， -------------------------------------------------------------------------------------8分即60420a ≥⎧⎨--≥⎩，解得12a ≤-----------------------------------------------------------------------10分【解法2：当[2,2]x ∈-时，()2(2)f x x a x =--+，------------------------------------------------6分()f x x ≥，即2(2)x a x x --+≥，即(2)2(1)x a x +≤-----------------------------------7分①当2x =-时，上式恒成立，a R ∈；-----------------------------------------------------------8分 ②当(2,2]x ∈-时，得2(1)2x a x -≤+622x =-++恒成立， 只需min 61(2)22a x ≤-+=-+， 综上知，12a ≤-． --------------------------------------------------------------------------------10分】。
2023届河南省安阳市林州市林虑中学高三上学期调研(期末)数学(理)试题(解析版)
2023届河南省安阳市林州市林虑中学高三上学期调研（期末）数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}22150A x x x =--≤∣，{}3,1,1,3,5B =--，则A B =（ ） A ．{}1,3 B ．{}3,1,1-- C ．{}1,1-D ．{}1,1,3-【答案】D【分析】首先化简集合532A xx ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭∣，然后根据交集运算即可求得结果. 【详解】解22150x x --≤可得532x -≤≤，所以532A xx ⎧⎫=-≤≤⎨⎬⎩⎭∣. 所以{}{}533,1,1,3,51,1,32A B xx ⎧⎫=-≤≤--=-⎨⎬⎩⎭∣. 故选：D.2．南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数列中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，4，7，11，16，22，则该数列的第20项为（ ） A ．172 B ．183C ．191D ．211【答案】C【分析】构造数列{}1n n a a +-，并利用等差数列的性质即可求得原数列的第20项为191 【详解】高阶等差数列{}n a ： 1，2，4，7，11，16，22，，令1n n n b a a +=-，则数列{}n b ：1，2，3，4，5，6，，则数列{}n b 为等差数列，首项11b =，公差1d =，n b n =，则1n n n a a +-= 则()()()()20201919181817211a a a a a a a a a a =-+-+-++-+()19(191)1918171111912+=+++++=+= 故选：C3．已知πsin 123α⎛⎫-= ⎪⎝⎭5πcos 26α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）．A ．79-B ．59C ．59-D ．79【答案】C【分析】由条件根据二倍角余弦公式可求πcos 26α⎛⎫- ⎪⎝⎭，再结合诱导公式求5πcos 26α⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【详解】因为πsin 12α⎛⎫- ⎪⎝⎭2ππ45cos 212sin 1121299αα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即π5cos 269α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以5πππ5cos 2cos 2πcos 26669ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：C ．4．已知平面向量a ，b 满足3a =，()13b =，，211a b -=，则a 在b 上的投影为（ ）AB ．1C ．2D 【答案】B【分析】根据模的运算性质求出2a b ，再由向量投影的公式求解即可. 【详解】2222244|4|411a b a b a b a b a b -=+-⋅=+-⋅=，21(2b =+=，∴解得2a b ，所以a 在b 上的投影为1a b b⋅=，故选：B5．若函数()()()log 20,1a f x ax a a =->≠在区间()1,3内单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】根据内函数为减函数，根据其单调性知外函数也为减函数，则01a <<，再结合对数的真数大于0，则得到230a -≥，解出即可. 【详解】2y ax =-为减函数，又()()log 2a f x ax =-在区间()1,3内为增函数，则01a <<， 且当()1,3x ∈时，20y ax =->恒成立，所以230a -≥，解得23a ≤， 则203a <≤，故选：B.6．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，122AA AB AC ==，且,,AB AC D E ⊥分别是棱1,BC BB 的中点，则异面直线1A D 与1C E 所成角的余弦值是（ ）A 26B 6C 57D 30 【答案】A【分析】根据线线平行可得1A DF ∠或其补角是异面直线1A D 与1C E 所成的角，利用三角形三边关系，由余弦定理即可求解.【详解】如图，在棱1CC 上取一点F ，使得14CC CF =，取1CC 的中点M ，连接BM ,1,DF A F ， 由于,M E 分别是棱11,CC BB 的中点，所以11,//BE C M BE C M =，故四边形1BMC E 为平行四边形，进而1//C E BM ,又因为,D F 是,BC CM 的中点，所以//DF BM ,所以1//DF C E ，则1A DF ∠或其补角是异面直线1A D 与1C E 所成的角.设2AB =，则11,3,2CF C F AD CD ====从而2222221111113,32,13DF CF CD A D AA AD A F AC C F =++=+ 故126cos 2332A DF ∠=⨯⨯故异面直线1A D 与1C E 26. 故选：A7．已知函数()e 2e ln e xf x x x-=-+，若e 2e 2021e 2022e 2023202320232023f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1011()a b =-+，其中0b >，则1||2||a a b +的最小值为（ ）A ．34B 3C ．54D 2【答案】A【分析】根据()()2f x f x +-=-e 得到2202120222022202320232023f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭e e e e 2023，即2a b +=，然后分0a >和a<0两种情况，利用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为()()()2ln 2()ln 2()x x f x f x x x x x ---+-=-++--+=--e e e e e e e e e e ， 由上面结论可得2202120222022202320232023f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭e e e e 2023， 所以2a b +=，其中0b >，则2a b =-. 当0a >时，1||121212()1525111222222224a b a b b a a b a b a b a b a b -+⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+⋅-=++-≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 当且仅当，23a =，43b =时等号成立； 当a<0时，1||112152()11222222a b a a b a b a b a b --⎛⎫⎛⎫+==+⋅++=-+++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭1523212224b a a b ⎛-≥-+⋅+= -⎝，当且仅当2a =-，4b =时等号成立；因为3544<，所以12a a b +的最小值为34.故选：A.8．在平面直角坐标系中，已知点()20M ，，()10N -，，动点()Q x y ，满足2QM QN =，过点()31-，的直线与动点Q 的轨迹交于A ，B 两点，记点Q 的轨迹的对称中心为C ，则当ABC 面积取最大值时，直线AB 的方程是（ ） A ．4y x =+ B ．4y x =-+ C ．24y x =+ D ．24y x =-+【答案】A【分析】由2QM QN =，设(),Q x y ，可得Q 的轨迹方程为22(2)4x y ++=，设点C 到AB 的距离为d ，则12S AB d =⋅，由几何关系求出AB ，结合基本不等式求得d ，由点到直线距离公式可求直线AB 的方程.【详解】设()Q x y ，，由2QM QN = 化简得Q 的轨迹方程为22(2)4x y ++=，所以点()2,0C -，设点C 到AB 的距离为d ，则AB =所以ABC 的面积2214222d d S AB d d -+=⋅=≤=，等号成立时d =ABC 面积最大时，点()20C -，到直线AB 故直线AB 不垂直于x 轴，设直线AB 方程为()13y k x -=+，即310kx y k -++==解得1k =，所以直线AB 方程为4y x =+． 故选：A9．已知抛物线22x py =()0p >的焦点为F ，A ，B 是抛物线上两动点，且AF 的最小值为1，M 是线段AB 的中点，()2,3P 是平面内一定点，则下列选项不正确的是（ ） A ．2p =B ．若8AF BF +=，则M 到x 轴的距离为3C ．若2AF FB =，则3AB =D ．AP AF +的最小值为4 【答案】C【分析】根据抛物线的定义，结合平面向量共线性质、两点间线段最短逐一判断即可. 【详解】设点()11,A x y ，()22,B x y ．该抛物线的准线为2py =-，因为12pAF y =+，所以AF 的最小值为12p =，所以2p =，故A 正确． 若1228AF BF y y +=++=，则126y y +=，所以M 到x 轴的距离为1232y y +=，故B 正确． 由向量共线可得AB 过F 点，设AB 的方程为1y kx =+，与24x y =联立可得()224210y k y -++=，则121y y =．由2AF FB =，112212(,1)2(,1)12(1)x y x y y y --=-⇒-=-，得1232y y =-，所以122,12y y =⎧⎪⎨=⎪⎩或121,1y y =⎧⎨=⎩（舍去），所以1292AB y y p =++=，故C 错误． 过点A 作抛物线的准线l ：1y =-的垂线，垂足为点E ，由抛物线的定义可得AF AE =，所以AP AF AP AE +=+，当且仅当P ，A ，E 三点共线，即当PE l ⊥时，AP AF +取得最小值314+=，故D 正确．故选：C【点睛】关键点睛：利用抛物线的定义是解题的关键.10．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右顶点分别是1A ，2A ，圆222x y a +=与C 的渐近线在第一象限的交点为M ，直线1A M 交C 的右支于点P ，若△2MPA 是等腰三角形，且2PA M ∠的内角平分线与y 轴平行，则C 的离心率为（ ）A ．2B 2C 3D 5【答案】B【分析】由题设可得2(,)a ab M c c，1(,0)A a -，2(,0)A a ，应用两点距离公式求21||MA ，22||MA ，再由已知条件知1222.5MA A ∠=︒，应用二倍角正切公式求得tan 22.51︒，结合2121||tan ||MA MA A MA ∠=构造齐次方程，即可求离心率.【详解】联立222b y x a x y a ⎧=⎪⎨⎪+=⎩且M 在第一象限，可得2(,)a abM c c ，而1(,0)A a -，2(,0)A a ，所以222221||()()2(1)a ab a MA a a c c c =++=+，222222||()()2(1)a ab a MA a a c c c =-+=-，由题设，12290A MA PMA ∠=∠=︒，故△2MPA 是等腰直角三角形， 所以245MA P ∠=︒，而2PA M ∠的内角平分线与y 轴平行， 所以1222.5MA A ∠=︒，又22tan 22.5tan 4511tan 22.5︒︒==-︒，可得tan 22.51︒，则22221211||tan ()1)||1aMA c MA A a MA c-∠===+，可得131e e -=-+所以e =故选：B11．已知0x 是函数()22e e x xf x -=-的图象与函数()1ln g x x x x=++的图象交点的横坐标，则020e ln x x =（ ）A ．2-B ．ln 2-C ．ln 2D ．2【答案】A【分析】根据题意整理可得002200001ee 2ln x x x x x x ---=-+，构建新函数()1ln h x x x x=-+，则转化为()()020e x h h x -=，求导，利用导数判断()h x 的单调性，结合单调性分析可得020e xx -=，运算整理即可.【详解】由题意可知实数0x 满足00220001e e ln x x x x x --=++，整理得002200001e e2ln x x x x x x ---=-+， 设()1ln h x x x x=-+，则()222e e e 2x x xh x --=--，可得：()()020e x h h x -=， ∵()22111131024h x x x x ⎛⎫=--=--'-< ⎪⎝⎭在()0,∞+上恒成立，则()h x 在()0,∞+上单调递减，∴020ex x -=，则0022001e=,lne ln x x x x -=，即00ln 2x x =-，故020002e ln 2x x x x -==-. 故选：A.【点睛】方法点睛：与e x 和ln x 相关的常见同构模型：（1）e ln a a b b ≤⇔e lne ln a a b b ≤，构造函数()ln f x x x =（或e ln a a b b ≤ln e ln e a b a b ⇔≤⋅，构造函数()e x g x x =）；（2）e a a <e ln lne ln a ab bb b ⇔<，构造函数()ln x f x x =（或e a a <ln e e ln ln a b b ba b ⇔<，构造函数()e x g x x =）； （3）e ln e lne ln a a a a b b b b ±>±⇔±>±，构造函数()ln f x x x =±（或ln e ln e e ln a a b a b b a b ±>±⇔±>±，构造函数()e xg x x =±）.12．已知函数()2221,0log ,0x x f x x x +⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程2[()]()40f x mf x ++=有6个不同的实数根，则m 的取值范围是（ ）A ．13(,5),43⎡⎫-∞-⋃--⎪⎢⎣⎭B ．13,43⎡⎫--⎪⎢⎣⎭C ．134,(5,)3⎛⎤⋃+∞ ⎥⎝⎦D ．134,3⎛⎤⎥⎝⎦【答案】A【分析】画出()f x 的图象，令()t f x =，则先讨论240t mt ++=的零点，根据二次函数判别式与韦达定理，结合()f x 的图象可得240t mt ++=的较小根的范围，进而根据m 与较小根的关系式结合函数的单调性求解即可.【详解】画出()f x 的图象如图，令()t f x =，则先讨论240t mt ++=的零点. 当2440m ∆=-⨯<，即44m -<<时，不合题意；当2440m ∆=-⨯=，即4m =±时，易得2t =或2t =-，此时当()2f x =或()2f x =-时均不满足有6个零点，不合题意；故2440m ∆=-⨯>，4m >或4m <-，设240t mt ++=的两根为12,t t ，不妨设12t t <，由韦达定理124t t =，且12,2t t ≠.①当12,0t t <时，()1f x t =与()2f x t =均无零点，不合题意； ②当12,0t t >时：1. 若101t <<，则24t >，此时()1f x t =有4个零点，()2f x t =有2个零点，合题意；2. 若112t ≤<，此时()1f x t =有3个零点，则()2f x t =有且仅有3个零点，此时223t <≤，故1423t ≤<； 综上可得101t <<或1423t ≤<. 又12t t m +=-，故()12114m t t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，结合4y t t =+在()0,2上为减函数可得114m t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在()0,1，4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭上为增函数. 故13(,5),43m ⎡⎫∈-∞-⋃--⎪⎢⎣⎭故选：A【点睛】本题主要考查了数形结合解决复合函数零点的问题，需要换元先分析二次函数的零点情况，数形结合判断零点所在的区间，进而得出()f x 零点所在的区间，并结合二次函数的性质与韦达定理求解.属于难题.二、填空题13．已知,a b 为单位向量，且,3a b π=，则32a b -=__________.7【分析】首先将所求模长进行平方，然后根据平面向量数量积的运算公式及运算法则进行求解即可. 【详解】已知a ，b 均为单位向量，所以1a b ==.()2222221|32|3291249||12cos4||1312732a b a b a a b b a a b b π-=-=-⋅+=-⋅⋅+=-⨯=， 所以327a b -=. 714．已知a 为常数，n *∈N ，3na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中各项系数的和与二项式系数的和均为32，则展开式中x 的系数为__________（用数字作答）. 【答案】270【分析】根据二项展开式的二项式系数和为2n ，可求得n ；采用赋值法，令1x =可得各项系数和，求得a ；根据二项式定理可得展开式通项，代入2r =即可求得x 的系数.【详解】3na x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的二项式系数和为232n =，5n ∴=；令1x =，则53a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式的各项系数和为()5332a +=，解得：1a =-；则513x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式通项为：()()55521551C 313C rr r r r r rr T x x x ---+⎛⎫=⋅-=-⋅ ⎪⎝⎭， 令521r -=，解得：2r =，则33353C 270T x x ==，∴展开式中x 的系数为270.故答案为：270.15．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F 分别为棱11,AB B C 的中点，则三棱锥1A F DE -的体积为__________. 【答案】53【分析】由线面平行，根据等体积法即可求解.【详解】解：延长11C D 到点G ，使得11D G =，连接1,A G DG ，FG ，则1DG A E ∥，所以11111113A DEF D A EF G A EF E A FG A FGV V V V AA S----====⨯⨯，在11Rt A B F 中，112,1AB B F ==则1AF在1Rt GFC 中111,3FC GC ==则GF =在11Tt A D G 中1112,1A D GD ==则1AG =所以22211GA A F GF +=所以111112522A FGGA F SA =⋅=， 所以153E A FG V -=.故答案为：5316．过抛物线2:4C y x =的焦点的直线与C 交于,A B 两点.设D 为线段AB 的中点，0a >，点(,1)P a ，若直线DP x ∥轴，且2APB π∠=，则=a __________.【答案】4【分析】根据抛物线方程以及直线过焦点，联立直线和抛物线方程，由DP x ∥轴可知，D 点纵坐标为1，根据韦达定理及焦点弦公式即可求出a 的值.【详解】解：易知C 的焦点为()1,0F ，直线斜率不存在时不符合题意； 设过F 的直线l 的斜率为k ，则():1l y k x =-， 将()1y k x =-代入24y x =，得22(1)4k x x -=，即()2222220k x k x k -++=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则()21212222,1k x x x xk++==，所以()()212122222222k k x x y y k k k k k+++=-=⋅-=，又因为点(,1)P a ，DP x ∥轴， 所以D 点纵坐标为1，即12212y y k+==，即2k = 所以1233,,12x x D ⎛⎫+= ⎪⎝⎭1225AB AF BF x x =+=++=，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可知1522DP AB ==， 所以3522a -=， 即4a =或1a =-（舍） 故答案为：4【点睛】关键点点睛：由点(,1)P a 以及DP x ∥轴可知，D 点纵坐标为1，根据韦达定理即可得出直线斜率，再根据焦点弦公式以及π2APB ∠=可得DP 的长，进而求出4a =.三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，()()1211n n n n S n S n -=＋＋＋，n *∈N ． (1)求n S ；(2)设n T 是数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求n T ．【答案】(1)()12n n n S +=； (2)21n nT n =+.【分析】（1）由已知可推出，数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列，即可解出12n S n n +=，进而解得n S ； （2）由（1）可得11121n S n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，然后求和即可得到n T . 【详解】（1）由题()()1112n n n n nS n S ++-+=，可得1112n n S S n n +-=+，又知11111S a ==，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为12的等差数列，所以()111122n S n n n +=+-=，即()12n n n S +=． （2）由（1）可得()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， ∴11111122121223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭． 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD 是直角三角形，且4PA AD ==，E ，F ，G 分别是线段PA ，PD ，CD 的中点．(1)证明：PB平面EFG ；(2)求三棱锥B EFG -的体积． 【答案】(1)证明见解析(2)43【分析】（1）证明平面PBC平面EFG ，根据PB ⊂平面PBC ，得到证明.（2）确定B ，D 两点到平面EFG 的距离相等，B EFG D EFG G EFD V V V ---==，计算得到答案. 【详解】（1）E ，F ，G 分别是线段PA ，PD ，CD 的中点，故EF AD BC ∥∥，FG PC ∥，EF ⊄平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，FG ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ，故EF平面PBC ，FG平面PBC ，EF FG F ⋂=，EF ⊂平面EFG ，FG ⊂平面EFG ，平面PBC平面EFG ，PB ⊂平面PBC ，故PB 平面EFG ．（2）连接DE ，平面P AD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD ＝AD ，P A ⊥AD ， 故P A ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，P A ⊥CD ，四边形ABCD 为正方形，AD ⊥CD ，PA AD A ⋂=，,PA AD ⊂平面PAD ，故CD ⊥平面P AD ．GD ＝2，12222EFD S =⨯⨯=△．BC 平面EFG ，故B ，C 两点到平面EFG 的距离相等，G 是线段CD 的中点，C ，D 两点到平面EFG 的距离相等， 即B ，D 两点到平面EFG 的距离相等，11422333B EFG D EFG G EFD EFD V V V S DG ---===⨯⨯=⨯⨯=△，三棱锥B －EFG 的体积为43．19．随着电池充电技术的逐渐成熟，以锂电池为动力的新一代无绳类电动工具以其轻巧便携､工作效率高､环保､可适应多种应用场景下的工作等优势，被广泛使用.在消费者便携无绳化需求与技术发展的双重驱动下，锂电类无绳电动工具及配套充电器市场有望持续扩大.某公司为适应市场并增强市场竞争力，逐年增加研发人员，使得整体研发创新能力持续提升，现对2017~2021年的研发人数作了相关统计，如下图：2017~2021年公司的研发人数情况（年份代码1~5分别对应2017~2021年）(1)根据条形统计图中数据，计算该公司研发人数y 与年份代码x 的相关系数r ，并由此判断其相关性的强弱；(2)试求出y 关于x 的线性回归方程，并预测2023年该公司的研发人数.（结果取整数）参考数据：()52155960i i y y=-=∑139937.4≈.参考公式：相关系数()()()()12211niii nniii i x x y y r x x y y ===--=-⋅-∑∑∑线性回归方程的斜率()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，截距ˆˆay bx =-. 附：r[]0,0.25 [)0.30,0.75 []0.75,1相关性 弱 一般强【答案】(1)0.98r ≈，y 与x 具有很强的线性相关关系(2)73.2004ˆ1.y x =+，预测2023年该公司的研发人数约为613人【分析】（1）首先求,x y ，根据参考公式求值，代入相关系数公式，即可求解； （2）根据参考公式求ˆb和ˆa ，即可求得回归直线方程，并代入7x =求预报值. 【详解】（1）由条形统计图，得()11234535x =⨯++++=，2042202983964823205y ++++==，所以()()()()()()5222222123451i i x xx x x x x x x x x x =-=-+-+-+-+-∑()()()()()222221323334353=-+-+-+-+-10=，()()()()()()()51211611000221762162732iii x x y y =--=-⨯-+-⨯-+⨯-+⨯+⨯=∑.所以()()()()515522117327327320.9823741055960201399iii i i i i x x y y r x xy y===--===≈≈⨯⨯-⋅-∑∑∑.因为相关系数0.980.75r ≈>，所以y 与x 具有很强的线性相关关系，且为正相关.（2）()()()2515173273.ˆ210iii i i x x y y bx x==--===-∑∑， 所以320ˆˆ73.23100.4ay bx =-=-⨯=， 所以73ˆˆˆ.2100.4ybx a x =+=+. 由题意知，2023年对应的年份代码7x =， 当7x =时，73.ˆˆ27100.4612.8ˆybx a =+=⨯+=， 故预测2023年该公司的研发人数约为613人.20．如图，已知四棱锥S-ABCD 的底面ABCD 为正方形，二面角S-AB-D 为直二面角，∠SAB =∠SBA ，点M 为线段AD 的中点.(1)证明：SD ⊥MC ；(2)若SA =AB ，点N 是线段BD 上靠近点B 的三等分点，求直线SA 与平面SMN 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 5【分析】（1）取AB 的中点O ，先利用等腰三角形的性质及三角形全等等知识证明线线垂直，再利用线面垂直的判定定理证明MC ⊥平面SOD ，最后利用线面垂直的性质证明线线垂直；（2）先根据垂直关系建立空间直角坐标系，然后设AB =2，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式求解即可.【详解】（1）取AB 的中点O ，连接SO ，DO ， 因为SAB SBA ∠=∠，所以SA SB =， 所以SO AB ⊥.又二面角S AB D --为直二面角，所以SO ⊥平面ABCD ，且MC ⊂平面ABCD , 所以SO MC ⊥. 在正方形ABCD 中，O ，M 分别为AB ，AD 的中点， 所以DAO CDM ≌，所以ODM MCD ∠=∠，又90MCD DMC ∠+∠=︒，所以ODM DMC ∠+∠=90︒，所以MC DO ⊥. 因为OD OS O =，OD ⊂平面SOD ，OS ⊂平面SOD ， 所以MC ⊥平面SOD ，又SD ⊂平面SOD ，所以MC SD ⊥.（2）取CD 的中点G ，连接OG ，由（1）可知OB ，OS ，OG 两两垂直.以O 为坐标原点，OB ，OS ，OG 所在直线分别为x 轴､y 轴､z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设AB =2，则(1,0,0)A -，(1,0,0)B ，3)S ，()1,1,0M -，(1,2,0)D - (1,1,3SM =-，(3,AS =，(2,2,0)BD =-，()2,1,0BM =-， 则122,,0333BN BD ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，41,,033MN BN BM ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭.设平面SMN 的法向量为(,,)n x y z =， 由题意得3041033n SM x y z n MN x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩， 令1y =，得13,1,44n ⎛= ⎝⎭. 设直线SA 与平面SMN 所成的角为θ，则sin 1AS n n ASθ⋅===故直线SA 与平面SMN 21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，点()0,2G 与椭圆的左､右顶点可以构成等腰直角三角形.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线y kx m =+与椭圆C 交于M ，N 两点，O 为坐标原点，直线OM ，ON 的斜率之积等于34-，试探求OMN 的面积是否为定值，并说明理由. 【答案】(1)22143x y += (2)是定值，理由见解析【分析】（1）根据椭圆的离心率以及点()0,2G 左､右顶点可以构成等腰直角三角形，即可求得,,a b c 的值，从而得椭圆C 的标准方程；（2）根据直线y kx m =+与椭圆相交，联立直线与椭圆得交点()11,M x y ，()22,N x y 的坐标关系，利用直线OM ，ON 的斜率之积等于34-，可得22243m k =+，分别求MN 与原点O 到l 的距离d ，求OMN 的面积，即可判断其是否为定值.【详解】（1）解：椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>离心率为12，即12c e a ==，点()0,2G 与椭圆的左､右顶点可以构成等腰直角三角形， 2a ∴=，1c =，b =C 的方程为22143x y +=.（2）解：由直线与椭圆交于M ，N 两点，设()11,M x y ，()22,N x y ，则联立22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()()222348430k x kmx m +++-=，()()()22222Δ(8)1634348430km k m k m =-+-=+->，则2243k m +>122834km x x k -∴+=+，()21224334m x x k-=+()()()22121212121212121212OM ONkx m kx m k x x mk x x m y y y y k k x x x x x x x x +++++∴⋅=⋅=== ()()()()()22222222224383434344343k m k m m k m k m m --++-===---.22243m k ∴=+，12MN x ∴=-==. 原点O 到l的距离d =2OMNMN Sd ∴=⋅==.22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为12cos ,2sin x y αα=--⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆2C 的极坐标方程为2(32cos 2)5ρθ-=.(1)求1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；(2)设P 是1C 上的点，1F ，2F 是2C 的两个焦点，求12PF PF ⋅的最大值. 【答案】(1)()212212:11;:15x C x y C y ++=+=；【分析】(1)根据1C 的参数方程和22sin cos 1αα+=化简即可求出1C 的普通方程；根据二倍角的余弦公式和222x y ρ+=、sin y ρθ=化简即可求出2C 的直角坐标方程；(2)由题意可知(12cos ,2sin )P αα--，12(2,0),(2,0)F F -，根据两点坐标求距离公式可得12PF PF⋅=. 【详解】（1）由题意知，1cos 12cos 22sin sin 2x x y y αααα+⎧=-⎪=--⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩，又22sin cos 1αα+=，所以221()()122x y+-+=， 即1C 的普通方程为22(1)4x y ++=；由2(32cos 2)5ρθ-=，得22[32(12sin )]5ρθ--=， 整理，得224(sin )5ρρθ+=，又222x y ρ+=，sin y ρθ=，所以2C 的直角坐标方程为2255x y +=，即2215xy +=；（2）因为P 是1C 上的点，所以(12cos ,2sin )P αα--， 由(1)知，12(2,0),(2,0)F F -，得1PF =2PF所以12PF PF ⋅== 由二次函数的性质知，当1cos 12α=时，12PF PF ⋅所以12PF PF ⋅. 23．设a 、b 、c 为正数，且b c c a a b a b c+++≤≤.证明： (1)a b c ≥≥；(2)()()()2324a b b c c a abc +++≥. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）由不等式的基本性质可得出111a b c≤≤，利用反比例函数在()0,∞+上的单调性可证得结论成立；（2）利用基本不等式可得出a b +≥，2b c +≥3c a +≥可证得结论成立.【详解】（1）证明：因为a 、b 、c 为正数，由b c c a a b a b c +++≤≤可得a b c a b c a b ca b c++++++≤≤， 所以，111a b c≤≤，因为函数1y x=在()0,∞+上为增函数，故a b c ≥≥.（2）证明：由基本不等式可得a b +≥2b c b b c +=++≥()322c a c a a a +=++≥≥=由不等式的基本性质可得()()()2171131573362244412232424a b b c c a a b b c a c a b c +++≥=11764122424ab a b c abc ⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b c ==时，等号成立，故()()()2324a b b c c a abc +++≥.。
2023届江西省临川第一中学高三上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2023届江西省临川第一中学高三上学期期末考试数学（理）试题一、单选题1．设集合2{|230}A x Z x x =∈--≤，{0,1}B =，则A C B = A ．{3,2,1}--- B ．{1,2,3}-C ．{1,0,1,2,3}-D ．{0,1}【答案】B【详解】由题可知{}1,0,1,2,3A =-，则{}1,2,3A B =-．故本题选B ．2．在复平面内，复数1z ，2z 对应的向量分别是(1,2)OA =-，(3,1)=-OB ，则复数12z z 对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【分析】利用复数的几何意义写出复数1z ，2z ，再结合共轭复数、复数的乘法运算求解作答.【详解】因复数1z ，2z 对应的向量分别是(1,2)OA =-，(3,1)=-OB ，则2112i,3i z z =-=-+，23i z =--， 于是得12(12i)(3i)55i z z =---=-+， 所以复数12z z 对应的点(5,5)-位于第二象限. 故选：B3．对于实数x ，条件p ：152x x +≠，条件q ：2x ≠且12x ≠，那么p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】解分式不等式，得到解集，从而作出判断. 【详解】152x x +≠，解得：2x ≠且12x ≠且0x ≠，故p q ⇒，但q p ⇒/，所以p 是q 的充分不必要条件. 故选：A4．设0a >，0b >，且21a b +=，则12a a a b++（ ）A ．有最小值为4B ．有最小值为1C ．有最小值为143D ．无最小值【答案】B【分析】0a >，0b >，且21a b +=，可得12b a =-．代入12a a a b++，化简整理利用基本不等式的性质即可得出．【详解】0a >，0b >，且21a b +=， 120b a ∴=->，解得102a <<．∴12122(1)1212122(1)()2321111a a a a a a a a b a a a a a a a a ---+=+=+-=+-+-=++-+---- 122111a aa a-+=-，当且仅当1a =，3b =-∴12aa a b++有最小值1． 故选：B ．【点睛】本题考查基本不等式的性质、方程的解法，考查推理能力与计算能力． 5．设537535714a ,,log 755b c -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则,,a b c 的大小顺序是 A ．b a c << B ．c<a<b C ．b<c<a D ．c b a <<【答案】D【分析】先利用指数函数的性质比较得a>b>1,再分析得c<1，从而得到a,b,c 的大小关系.【详解】553775577()()()755a b -==>=，30577()()1,55b =>=因为314log 5c =3log 31<=，所以c b a <<. 故答案为D【点睛】(1)本题主要考查指数对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)比较大小，一般先把所有的数分成正负两个集合，再把正数和1比，负数和-1比.6．已知(0,)4πα∈，4cos25α=，则2sin ()4πα+=（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】D【解析】首先由角(0,)4πα∈知sin20α>，再利用同角三角函数平方关系求sin 2α，二倍角余弦公式以及诱导公式求2sin ()4πα+即可.【详解】(0,)4πα∈，∴2(0,)2πα∈，又4cos25α=，∴3sin 25α=.2311cos(2)1sin 2452sin ()42225παπαα+-++∴+====. 故选：D.7．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且()()222cos cos a b c a B b A abc +-⋅+=，则角C =（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°【答案】C【分析】根据余弦定理和正弦定理将条件转化为1cos 2C =，由此可得60C =︒． 【详解】由条件及余弦定理得：()2cos cos cos ab C a B b A abc ⋅+= ∴()2cos cos cos C a B b A c ⋅+=，由正弦定理得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=， ∴2cos sin()sin C A B C +=，即2cos sin sin C C C = ∵sin 0C ≠，∴1cos 2C =， 又0180C ︒<<︒，∴60C =︒． 故选：C ．8．已知函数()()2log 3a f x x ax =-+在[]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()0,1B ．()1,4C ．()()0,11,4⋃D ．[)2,4【答案】D【分析】根据给定的函数，结合对数函数、二次函数单调性，分类讨论求解作答.【详解】函数()()2log 3a f x x ax =-+在[]0,1上是减函数，当01a <<时，22223()330244a a a x ax x -+=-+-≥->恒成立， 而函数23u x ax =-+在区间[]0,1上不单调，因此01a <<，不符合题意，当1a >时，函数log a y u =在(0,)+∞上单调递增，于是得函数23u x ax =-+在区间[]0,1上单调递减， 因此12a≥，并且21130a -⋅+>，解得24a ≤<， 所以实数a 的取值范围是[)2,4. 故选：D9．已知圆C ：()()22344x y -+-=和两点(),0A，)(),00Bm >.若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最小值为（ ）ABC ．2 D【答案】D【分析】根据点P为半径的圆上和在圆C 上，由两圆有交点求解. 【详解】解：由题意得：点P为半径的圆上， 又因为点P 在圆C 上， 所以只要两圆有交点即可，252-≤≤+，m ≤≤， 所以m故选：D10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 的坐标为,02a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点P 是双曲线在第二象限的部分上一点，且1212∠=∠F PF F PA ，112PF F F ⊥，则双曲线的离心率为（ ） A ．3 B ．2C ．32D【答案】B【分析】由角平分线的性质可得1122||||||||PF AF PF AF =及双曲线的定义，化简方程即可求双曲线的离心率. 【详解】如图，因为112PF F F ⊥，所以=-P x c ，由2222(1)ya c b-=-可得21||||b PF y a ==，由双曲线定义可知22||2b PF a a=+，由1212∠=∠F PF F PA 知：PA 平分12F PF ∠，所以1122||||||||PF AF PF AF =，即22222b ac aa b c a a-=++，整理得：222222b c a a b c a -=++， 由222b c a =-，c e a =，可化简为22121121e e e e --=++，即22211121e e -=-++，可得2121e e +=+，解得2e =或1e =（舍去）， 故选：B11．在ABC 中，4AB =，3BC =，5CA =，点P 在该三角形的内切圆上运动，若BP mBC nBA =+（m ，n 为实数），则m n +的最小值为（ ） A ．12B ．13C ．16D ．17【答案】C【分析】设该三角形的内切圆的半径为r ，CA 边上的高为 h ，由BP mBC nBA =+，得到BPm n m nBC BA m n m n+=+++，再利用平行线等比关系求解. 【详解】解：在ABC 中，4AB =，3BC =，5CA =， 设该三角形的内切圆的半径为r ， 则()113453422r ⨯++⨯=⨯⨯，解得 1r =， 设CA 边上的高为 h ，则1153422h ⨯⨯=⨯⨯，解得 125h =，因为 BP mBC nBA =+，所以()m n BP m n BC BA m n m n ⎛⎫=++⎪++⎝⎭， 因为点P 在该三角形的内切圆上运动，所以BPm n m nBC BA m n m n+=+++， 设m n BE BC BA m n m n+=++，则 ()BP m n BE =+， 因为1m n m n m n+=++， 则BP m n BE+=，且,,B P E 三点共线，E 在AC 上，由平行线等比关系得：要使m n +，即BP 与BE 之间的比例最小，则点P 内切圆的最高点，如图所示：由222BA BC AC +=，知2B π=，所以()111222ABCS BA BC h AC r BA BC AC =⋅=⋅=⋅++， 由12,5h =所以1r = 所以m n +的最小值为216h r h -=， 故选：C12．若函数()f x 的定义域为R ，且()21f x +偶函数，()31f x -关于点()1,3成中心对称，则下列说法正确的个数为（ ） ①()f x 的一个周期为2； ②()()222f x f x =-；③()f x 的一个对称中心为()6,3；④()19157i f i ==∑.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】由()()2121f x f x +=-+得到()()222f x f x =-+，故②正确；由()31f x -关于点()1,3成中心对称，得到()f x 关于()2,3中心对称，推理出()()4f x f x +=，从而得到周期为4，①错误；由函数的周期及()f x 关于()2,3中心对称，得到一个对称中心为()6,3，③正确；利用函数的周期性及对称性求出函数值的和.【详解】由题意得：()()2121f x f x +=-+，将x 替换为12x -得：11212122f x f x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+=--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，即()()222f x f x =-+，②正确；()()2121f x f x +=-+中将x 替换为12x 得：()()11f x f x +=-+，因为()31f x -向左平移13个单位得到()3f x ，而()31f x -关于点()1,3成中心对称，所以()3f x 关于2,33⎛⎫⎪⎝⎭中心对称，故()f x 关于()2,3中心对称，所以()()226f x f x ++-+=，故()()()()()2626116116f x f x f x f x f x +=--+=---=-+-=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 所以()()()()()46266f x f x f x f x +=-+=--=， 所以()f x 的一个周期为4，①错误；()f x 关于()2,3中心对称，又()f x 的一个周期为4，故()f x 的一个对称中心为()6,3，③正确；()()226f x f x ++-+=中，令1x =得：()()316f f +=，()()226f x f x ++-+=中，令0x =得：()()226f f +=，故()23f =， ()()226f x f x ++-+=中，令2x =得：()()406f f +=，又因为()()04f f =，故()246f =，所以()43f =， 所以()()246f f +=，其中()()()1717441f f f =-⨯=，()()()18181623f f f =-==，()()()1919163f f f =-=，故()()()()()()()()19141234171819i f i f f f f f f f ==++++++⎡⎤⎣⎦∑()()()()466123483657f f f =⨯++++=++=，④正确.故选：C【点睛】若()()f x a f x b c ++-+=，则函数()f x 关于,22a b c +⎛⎫⎪⎝⎭中心对称， 若()()f x a f x b +=-+，则函数()f x 关于2a bx +=对称.二、填空题13．已知P 是椭圆22110036x y +=上一点，1F ，2F 分别是椭圆的左、右焦点，若1260F PF ∠=︒，则12PF F △的面积为________.【答案】【分析】借助韦达定理得1248PF PF ⋅=，再套用面积公式即可. 【详解】易得1212220,216PF PF a F F c +====， 则222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠()21212121222cos PF PF PF PF PF PF F PF =+-⋅-⋅∠，即22121211620222PF PF PF PF =-⋅-⋅⨯，故1248PF PF ⋅=121211sin 604822PF F SPF PF =⋅︒=⨯=,故答案为：14．若(13)n x -展开式中第6项的二项式系数与系数分别为p q ､，则pq=__________. 【答案】1243-【分析】根据二项式定理中二项式系数与项系数的求解即可得. 【详解】有题意可知5C n p =，55C (3)n q =-，所以555C 1C (3)243n n p q ==--．故答案为：1243-.15．如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程、高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体ABCD 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体ABCD 棱长为26，则模型中九个球的表面积和为__________.【答案】9π【分析】先求出正四面体内切球半径与正四面体棱长和高的关系，再分析大、中、小内切于正四面体的高即可求解.【详解】如图所示正四面体A BCD -，记棱长为a ，高为h ，O 为正四面体A BCD -内切球的球心，延长AO 交底面BCD 于E ，E 是等边三角形BCD △的中心，过A 作AF CD ⊥交CD 于F ，连接BF ，则OE 为正四面体A BCD -内切球的半径， 因为3AF BF ==，233BE BF ==，133EF BF ==， 所以226h AE AF EF ==-， 所以()2222OE BO BE AE OE BE =---614r OE h ===， 由图可知最大球内切于高6264h ==大的正四面体中，最大球半径114r h ==大，中等球内切于高22h h r =-=中大大的正四面体中，中等球半径1142r h ==中中， 最小求内切于高21h h r =-=小中中的正四面体中，最小球半径1144r h ==小小， 所以九个球的表面积之和222114π1449π24V ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故答案为：9π16．若函数()3e 3ln x f x a x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的极小值点只有一个，则a 的取值范围是_________.【答案】32e e ,49【分析】对()f x 求导，利用导数与函数极值的关系，分类讨论3是否为极值点，结合2e xy x=的图像性质即可求得a 的取值范围.【详解】因为()3e 3()ln 0x f x a x x x x ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭，所以()()4222333e e xx x x x f x a a x x x x -⎛⎫--=-=- ⎪⎝⎭'，设2(e )xg x x=（0x >），因为32(e )x x g x x -'=，所以当02x <<时，()0g x '<，当2x >时，()0g x '>， 则2(e )xg x x =在()0,2上单调递减，在()2,+∞上单调递增，①若2e 0x a x -≥恒成立，即2e xa x≤在(0,)+∞上恒成立，因为2222e e e ()24x g x x =≥=，所以22min e e 4x a x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，此时令()0f x '<，解得03x <<；令0fx，解得3x >；所以()f x 在()0,3单调递减，在(3,)+∞单调递增，有唯一极小值点，满足题意； ②方程2e 0xa x-=有两个不同的根1x ，2x ，且12x x <，当10x x <<和2x x >时，2e 0x a x ->；当12x x x <<时，2e 0xa x-<，因为()f x 只有一个极小值点，所以3是2e 0x a x -=即2e xa x =的一个根，且存在另一个根02m <<，此时3e 9a =；当3e 9a =时，()()3223e e 9x x f x x x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭'， 令()0f x '<，解得0x m <<；令0fx，解得x >m ；所以()f x 在()0,m 单调递减，在(,)m +∞单调递增，满足题意， 综上：2e 4a ≤或3e 9a =，即32e e 9,4a. 故答案为：32e e ,49. 【点睛】()()223e x x f x ax x-⎛⎫=- ⎝'⎪⎭，因为函数()f x 只有一个极小值点，需对2ex y a x =-的符号进行分类讨论.三、解答题17．已知数列{}n a 满足数列{}1n n a a +-为等比数列，11a =，22a =，且对任意的n *∈N ，2132n n n a a a ++=-. (1)求{}n a 的通项公式；(2)n n b n a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和S n .【答案】(1)12n n a -=(2)()121nn -+【分析】(1)利用等比数列的定义以及累加法求通项； (2)利用错位相减法求和.【详解】（1）设{}1n n a a +-的公比为q ，2132n n n a a a ++=-，()2112n n n n a a a a +++-=-又211a a -=，112n n n a a -+∴-=，()()()1211213211211221212n n n n n n a a a a a a a a -----∴=+-+-++-=++++=+=-，又11a =符合上式，所以{}n a 的通项公式为12n n a -=．（2）()1122n n n n b n a n n --=⋅=⋅=⋅，{}n b 的前n 项和为01211222322n n -⋅+⋅+⋅++⋅记01211222322n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅， 则12321222322n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅，作差可得01211222222212nn nn n S n n ---++++-⋅=-⋅-＝，()121n n S n ∴=-+，因此，数列{}n b 的前n 项和为()121nn -+.18．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E ，F ，G 分别为线段111,B C B B 及AC 的中点，P 为线段1A B 上的点，1,8,62BG AC AB BC ===，三棱柱111ABC A B C -的体积为240．(1)求点F 到平面1A AE 的距离；(2)试确定动点P 的位置，使直线FP 与平面11A ACC 所成角的正弦值最大． 【答案】2473(2)P 为1BA 中点【分析】（1）由题意，建立空间直线坐标系，求解平面法向量，根据点面距向量计算公式，可得答案；（2）由（1）的空间直角坐标系，求解平面法向量以及直线方向向量，根据线面角与向量夹角的关系，结合二次函数的性质，可得答案. 【详解】（1）在ABC 中，12BG AC =，G 为AC 的中点，=90ABC ∴∠，即AB BC ⊥， 由直三棱柱111ABC A B C -的体积111==2ABC V BB SBB AB BC ⋅⋅⋅⋅，则11×8?6=2402BB ⋅，解得110BB =， 以B 为原点，并分别以1,,BA BC BB 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，则()8,0,0A ，()18,0,10A ，()10,0,10B ，()10,6,10C ，()0,0,0B ， 由E 为11B C 的中点，则()0,3,10E ，由F 为1BB 的中点，则()0,0,5F ，在平面1AA E 中，取()10,0,10AA =，()=8,3,10AE -，设该平面的法向量为(),,n x y z =， 则1=0=0n AA n AE ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，即10=08+3+10=0z x y z ⎧⎨-⎩，令=3x ，则8,0y z ==，故平面1AA E 的一个法向量为()3,8,0n =，取()=8,0,5AF -，由点面距公式，可得F 到平面1AA E 的距离242473==9+64AF n d n⋅-（2）由（1）可知：()8,0,0A ，()18,0,10A ，()0,6,0C ，()10,6,10C ，()0,0,5F ， 由1P A B ∈，1A B ⊂平面11AA B B ，则设(),0,P a b ，08,010a b ≤≤≤≤， 设1==(4,0,5)2kBP BA k k ，即()4,0,5P k k ，02k ≤≤，在平面11AA B B 内，取()10,0,10AA =，()=8,6,0AC -，设其法向量(),,m x y z '''=， 则1=0=0m AA m AC ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩，即10=08+6=0z x y ''-'⎧⎨⎩，令=3x '，则=4,=0y z ''，故平面11AA B B 的一个法向量()3,4,0m =，取()=4,0,55FP k k -，设直线FP 与平面11A ACC 所成角为θ，则sin =|cos ,|m FP θ， 则212sin ==53m FP m FP⋅θ⋅⋅ 当=0k 时，P 与B 重合，sin 0θ= 当0k ≠时，12sin =5θ⋅令11=[,)2x k +∞∈，1212sin =55=θ⋅当=1x 时，即=1k ，P 为1BA 中点时，()max 123sin 55θ== 19．在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从这10张中任抽2张. （1）该顾客中奖的概率；（2）该顾客获得的奖品总价值X （元）的分布列. 【答案】（1）23；（2）分布列见解析.【分析】（1）根据古典概型的概率公式，结合组合数即可求解；（2）求得X 所有可能的取值为（单位：元）：0，10，20，50，60，求出对应的概率，即可列出分布列.【详解】（1）记顾客中奖为事件A ，11204646210302()453C C C C P A C ⋅+⋅===，即该顾客中奖的概率为23； （2）X 所有可能的取值为（单位：元）：0，10，20，50，60，且02462101(0)3C C P X C ⋅===，11362102(10)5C C P X C ⋅===， 232101(20)15C P X C ===，11162102(50)15C C P X C ⋅===，11132101(60)15C C P X C ⋅===， 故X 的分布列为：20．已知抛物线C ：22y px =，抛物线上两动点()11,A x y ，()22,B x y ，12x x ≠且126x x +=(1)若线段AB 过抛物线焦点，且10AB =，求抛物线C 的方程.(2)若2:8C y x =,线段AB 的中垂线与x 轴交于点C ，求ABC 面积的最大值. 【答案】(1)28y x =【分析】(1)假设,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，利用12AF BF x x p +=++辨析即可；(2)先计算AB 方程：()0043y y x y -=-，联立抛物线方程，结合韦达定理得AB ，再计算出d =，进而计算三角形面积.【详解】（1）(1)取抛物线焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，12p AF x =+，22p BF x =+，126AF BF x x p p +=+=++因为AF BF AB +≥，AB 最大值为10， 所以610p +=，4p =，抛物线方程为28y x =.（2）令()11,A x y ，()22,B x y ，设M 为AB 中点，()00,M x y , 又因为126x x +=，所以03x =，()03,,M y 212112084AB y y k x x y y y -===-+， 所以AB 中垂线方程为：()0034y y y x -=--，令()07,0y C =⇒ 所以AB 方程为：()0043y y x y -=- 与抛物线方程联立()022000243222408y y x y y y y y y x ⎧-=-⎪⇒-+-=⎨⎪=⎩，显然，()22000442240y y y ∆=-->⇒-<<.1202y y y +=，2120224y y y ⋅=-AB，.()C 7,0到AB 的距离为d ，12ABC S AB d =⋅==△≤所以ABC S21．已知()2e x f x x x =+-，()2g x x ax b =--，,a b ∈R(1)若()f x 与()g x 在1x =处的切线重合，分别求a ，b 的值. (2)若b ∀∈R ，()()()()f b f a g b g a -≥-恒成立，求a 的取值范围. 【答案】(1)1a e =-，0b = (2)0a =【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得()()11f g =且()()11f g ''=，即可得到方程组，解得即可；（2）依题意可得()()e e 10b ab a a -+--≥对b ∀∈R 恒成立，令()()()e e 1b a H b b a a =-+--，求出函数的导函数，由()0H a =可得()0H a '=，从而求出a 的值，再验证即可.【详解】（1）解：因为()2e x f x x x =+-，()2g x x ax b =--，所以.()e 21xf x x '=+-，()2g x x a '=-，因为()()11f g =且()()11f g ''=， 即e 212a +-=-且22e 1111a b +-=-⨯-， 解得1a e =-，0b =.（2）解：因为()()()()f b f a g b g a -≥-对b ∀∈R 恒成立，.()()()22222e e b a b b a a b ab b a a b ∴+--+-≥-----对b ∀∈R 恒成立，即()()e e 10b ab a a -+--≥对b ∀∈R 恒成立，令()()()e e 1b a H b b a a =-+--，()e 1bH b a '=+-因为()0H a =，所以a 是()H b 的最小值点，且a 是()H b 的极值点，即()e 10aH a a '=+-=，因为()a H '在R 上单调递增，且()00H '=，所以0a =，下面检验：当0a =时，()e 10bH b b =--≥对b ∀∈R 恒成立，因为()e 1bH b '=-，所以当0x <时()0H b '<，当0x >时()0H b '>，所以()H b 在(),0∞-上单调递减，在()0,∞+上单调递增. 所以()()00H b H ≥=，符合题意， 所以0a =.22．在平面直角坐标系xOy中，已知直线1:12x l y t⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)与圆23cos :3sin x C y θθ=+⎧⎨=⎩(θ为参数)相交于,A B 两点.(1)求直线l 及圆C 的普通方程； (2)已知()1,0F ，求FA FB +的值. 【答案】(1) ()2229x y -+=(2)【分析】（1）利用代入消元法可得直线l 普通方程；利用平方关系可得圆C 的普通方程； （2）将直线参数方程代入圆的标准方程得280t -=，再利用参数的几何意义求解.【详解】解：(1)由112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去t，得10x -=，即直线l的普通方程为10x -=，由23cos 3sin x y θθ=+⎧⎨=⎩，得3cos 23sin x y θθ=-⎧⎨=⎩，两式平方相加得()2229x y -+=， 即圆C 的普通方程为()2229x y -+=.(2)将1:12x l y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入()2229x y -+=，得280t -=.设方程的两根为12,t t ，则12t t +=128t t =-.所以1212FA FB t t t t +=+=-=23．已知0a >，0b >.（1）求证：3322a b a b ab +≥+； （2）若3a b +=，求14a b+的最小值.【答案】（1）证明见解析；（2）3.【分析】（1）根据条件得33220a b a b ab -+-≥，从而证明不等式成立；（2）根据条件得()141143a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，然后利用基本不等式，即可求14a b +的最小值，注意等号成立的条件.【详解】（1）证明：∵0a >，0b >.∴()()332222a b a b ab a a b b b a +--=-+-()()()()2220a b a b a b a b =--=-+≥，∴3322a b a b ab +≥+.（2）∵0a >，0b >，3a b +=，∴()1411414455333b a a a b a b a b a b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即1a =，2b =时取等号，∴14a b+的最小值为3.。
山东省济南市2022届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版含答案
高三教学质量调研考试数学(理科)本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共5页。
满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 留意事项：1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类写在答题卡和试卷规定的位置上．2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦洁净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效．3．第II 卷必需用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必需写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效．4．填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 参考公式：假如大事A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+；假如大事A ，B 独立，那么()()()P AB P A P B =.1.若()12z i i +=+（i 是虚数单位），则z = A.322i+ B.322i -C. 322i -- D. 322i -+ 2.设集合{}{}1,0,1,2A x x x R B =+<3,∈=，则A B ⋂= A. {}02x x << B. {}42x x -<< C. {},1,2xD. {}0,13.在ABC ∆中，“60A ∠=”是“3sin 2A =”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件4.要得到函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只要将函数sin 2y x =的图象 A.向左平移3π个单位 B. 向右平移3π个单位 C.向左平移6π个单位D. 向右平移6π个单位5.一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为A.6πB.3π C.2πD. π6.已知,x y 满足约束条件40400x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则32z x y =+的最大值为A.6B.8C.10D.127.过双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM （切点为M ），交y 轴于点P.若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率为 A.2B.3C.2D.58.已知向量 的夹角为60，且2,=1a b a xb =-，当取得最小值时，实数x 的值为 A.2B. 2-C.1D. 1-9.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足201620170,0S S ><，对任意正整数n ，都有n k a a ≥，则k 的值为 A.1006B.1007C.1008D.100910.已知R 上的奇函数()f x 满足()2f x '>-，则不等式()()2132ln f x xx -<-+()312x -的解集是A. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. ()0,1C. ()1,+∞D. (),e +∞第II 卷（共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分. 11.某高校为了了解教科研工作开展状况与老师年龄之间的关系，将该校为[)[)35,40,40,45，不小于35岁的80名老师按年龄分组，分组区间[)[)[)45,5050555560，，，，，由此得到频率分布直方图如图，则这80名老师中年龄小于45岁的老师有________人.12. 执行右图的程序框图，则输出的S=_________.13. 二项式636ax ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭的开放式中5x 的系数为3，则20ax dx =⎰_________.14.已知M,N 是圆22:20A x y x +-=与圆22:240B x y x y ++-=的公共点，则BMN ∆的面积为___________.15.对于函数()[]()()sin ,0,212,2,2x x f x f x x π⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，有下列5个结论：①任取[)12,0,x x ∈+∞，都有()()122f x f x -≤； ②函数()y f x =在区间[]4,5上单调递增；③()()()22f x kf x k k N +=+∈，对一切[)0,x ∈+∞恒成立； ④函数()()ln 1y f x x =--有3个零点；⑤若关于x 的方程()()f x m m =<0有且只有两个不同实根12,x x ，则123x x +=. 则其中全部正确结论的序号是_________.（请写出全部正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共75分. 16.（本小题满分12分） 已知向量()()3sin ,cos ,cos ,cos ,m x n x x x R ==∈，设()f x m n =（I ）求函数()f x 的解析式及单调增区间；（II ）在ABC ∆中，,,a b c 分别为ABC ∆内角A,B,C 的对边，且()1,2,1a b c f A =+==，求ABC ∆的面积.17. （本小题满分12分）如图，边长为2的正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面相互垂直，其中AB//CD ，112AB BC CD BC AB ⊥===，，点M 在线段EC 上. （I ）证明：平面BDM ⊥平面ADEF ；（II ）若2EM MC =，求平面BDM 与平面ABF 所成锐二面角的大小.18. （本小题满分12分）某卫视的大型消遣节目现场，全部参演的节目都由甲、乙、丙三名专业老师投票打算是否通过进入下一轮，甲、乙、丙三名老师都有“通过”“待定”“淘汰”三类票各一张，每个节目投票时，甲、乙、丙三名老师必需且只能投一张票，每人投三类票中的任意一类票的概率均为13，且三人投票相互没有影响，若投票结果中至少有两张“通过”票，则该节目获得“通过”，否则该节目不能获得“通过”。
高三数学上学期期末质量调查试卷理含解析试题
2021-2021学年河西区高三〔上〕期末数学试卷〔理科〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日一、选择题〔本大题一一共8小题，一共分〕，，那么=〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：，或者，所以，应选D.考点：集合的运算【此处有视频，请去附件查看】2.变量x，y满足约束条件，那么z=x-2y的最大值为〔〕A. B. 1 C. 3 D. 0【答案】B【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，再将目的函数z＝x﹣2y 对应的直线进展平移，可得当x＝1，y＝0时，z获得最大值1．【详解】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A〔﹣1，1〕，B〔2，1〕，C〔1，0〕设z＝F〔x，y〕＝x﹣2y，将直线l：z＝x﹣2y进展平移，当l经过点C时，目的函数z到达最大值∴z最大值＝F〔1，0〕＝1应选：B．【点睛】此题给出二元一次不等式组，求目的函数z＝x﹣2y的最大值，着重考察了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于根底题．3.设为向量，那么“〞是“〞的〔〕A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】利用向量的数量积公式推断与的充分必要关系.【详解】∵假设向量一个或者都为零向量，显然成立；假设，，那么，假设，那么，从而，是的充要条件．应选C.【点睛】要证明p是q的充要条件，要分别从p和，两个方面验证。
4. 某空间几何体的三视图及尺寸如图，那么该几何体的体积是A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：根据题意可知该三视图的几何体表示的为三棱柱，且棱柱的高为2，底面为直角三角形，两直角边分别为1和2，根据底面积乘以高可知体积为v=，故可知答案为A.考点：三视图点评：主要是考察根据三视图复原几何体，来求解几何体的体积，属于根底题。
高三上学期数学理科期末调研试卷及答案
绝密★启用前揭阳市—高中毕业班期末质量测试数学试题(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时l20分钟． 参考公式：球的体积公式343V R π=,其中R 表示球的半径． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}0A x x =≥，{0,1,2}B =，则A ．AB ⊂≠B ．B A ⊂≠C ．A B B =D ．A B =∅2．已知复数z 满足3)3i z i =，则z 为A ．32 B. 34 C. 32 D. 343．已知幂函数()y f x =的图象过点1(22，则2log (2)f 的值为 A.12 B. －12C.2D.－2 4．直线220x y -+=经过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为．A.B.12 D. 235．已知11tan ,tan()43ααβ=-=则tan β=. A.711 B.117- C. 113- D.1136．定积分⎰的值为．A.9πB.3πC.94π D.92π 7．若2012(1)n n n x a a x a x a x +=++++（n N *∈）且1221a a +=，则展开式的各项中系数的最大值为A.15B.20C. 56D. 708．从一个正方体的8个顶点中任取3个，则以这3个点为顶点构成直角三角形的概率为 A.23 B.47 C.57 D.67二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9－13题）9．命题P ：“2,12x R x x ∃∈+<”的否定P ⌝为： 、P ⌝的真假为 . 10由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸（单位：cm 积为 .第10题图 11．如果执行上面的框图，输入5N =，则输出的数S= .12．不论k 为何实数，直线:1l y kx =+恒过的定点坐标为 、若该直线与圆0422222=--+-+a a ax y x 恒有交点，则实数a 的取值范围是 ．13．已知121cos,cos cos ,32554πππ==231cos cos cos 7778πππ=，，根据以上等式，可猜想出的一般结论是 ． （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．(坐标系与参数方程选做题)已知曲线C 的参数方程为23,2 1.x t y t =⎧⎨=+⎩（t 为参数）,则过曲线C上横坐标为1的点的切线方程为 .15．(几何证明选讲选做题) 已知圆的半径为，从圆外一点 引切线和割线，圆心到的距离为，， 则切线的长为 ____ _． 三．解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本题满分12分）O 3O A AD ABC O AC 223AB =AD24131452[185,190)[180,185)[175,180)[170,175)[165,170)[160,165)频数身高（cm ）身高（cm ）频数[150,155)[165,170)[170,175)[175,180)[155,160)[160,165)1712631男生样本频率分布直方图0.02频率/cm已知函数()cos f x x x ππ=+, x R ∈. (1)求函数()f x 的最大值和最小值；(2)设函数()f x 在[1,1]-上的图象与x 轴的交点从左到右分别为M 、N ，图象的最高点为P, 求PM 与PN 的夹角的余弦. 17．（本题满分14分）为了解高中一年级学生身高情况，某校按10%的比例对全校700名高中一年级学生按性别进行抽样检查，测得身高频数分布表如下表1、表2. 表1:男生身高频数分布表表2：:女生身高频数分布表（1）求该校男生的人数并完成下面频率分布直方图；（2）估计该校学生身高（单位：cm ）在[165,180)的概率；（3）在男生样本中，从身高（单位：cm ）在[180,190)的男生中任选3人，设ξ表示所选3人中身高（单位：cm ）在[180,185)的人数，求ξ的分布列和数学期望. 18. （本题满分12分）甲DCBAF E乙DCBA已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>1F ，2F 是它的左，右焦点．（1）若P C ∈，且120PF PF ⋅=，12||||4PFPF ⋅=，求1F 、2F 的坐标； （2）在（1）的条件下，过动点Q 作以2F 为圆心、以1为半径的圆的切线QM （M 是切点），且使1QF ，求动点Q 的轨迹方程．19．（本题满分14分）如图甲，在平面四边形ABCD 中，已知45,90,A C ∠=∠=105ADC ∠=,AB BD =,现将四边形ABCD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BDC （如图乙），设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点. （1）求证：DC ⊥平面ABC ；（2）求BF 与平面ABC 所成角的正弦； （3）求二面角B －EF －A 的余弦.20．（本题满分14分）在数列{}n a 中，已知1112332n nn n a a a ++==+-，，()n *∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S . 21．（本题满分14分）设函数2()()()xf x x ax b e x R =++∈.（1）若1,1a b ==-，求函数()f x 的极值； （2）若23a b +=-，试确定()x f 的单调性； （3）记|()|()xf xg x e =，且()g x 在]1,1[-上的最大值为M ，证明：21≥M ．揭阳市—高中毕业班期末质量测试 数学试题(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一．选择题：BDAA CCBD解析：2．34z ===，选D.3．由幂函数()y f x =的图象过点1(,)22得12111()()222n n ==⇒=,故选A.4．直线220x y -+=与坐标轴的交点为（－2，0），（0，1），依题意得2,1c b a e ==⇒==，选A. 5．tan tan[()]βααβ=--11tan tan()14311tan tan()13112ααβααβ---===-+-+，选C. 6．由定积分的几何意义知⎰是由曲线y =0,3x x ==围成的封闭图形的面积，故⎰＝23944ππ⋅=，选C. 7．由1221a a +=得1221n n C C +=6n ⇒=，故各项中系数的最大值为3620C =,选B.8.解法1：从正方体的8个顶点中任取3个有3856C =种取法，可构成的三角形有56种可能，正方体有6个表面和6个对角面，它们都是矩形（包括正方形），每一个矩形中的任意3个顶点可构成4个直角三角形，共有12448⨯=个直角三角形，故所求的概率：486567P ==,选D. 解法2：从正方体的8个顶点中任取3个有3856C =种取法，可构成的三角形有56种可能，所有可能的三角形分为直角三角形和正三角形两类，其中正三角形有8种可能（每一个顶点对应一个），故所求的概率：5686567P -==,选D. 二．填空题：9.2:,12P x R x x ⌝∀∈+≥、真；10.3110003cm π；11. 45；12. （0，1）、31≤≤-a ；13. 21coscoscos2121212n n n n n πππ=+++，n N *∈． 14. 4970x y -+=；15. . 解析：10．该几何体为圆柱上面叠一半球，其体积23321100010301033V cm πππ=⨯⨯+⨯= 11．根据框图所体现的算法可知此算法为求和：1111012233445S =++++⨯⨯⨯⨯11111111411223344555=-+-+-+-=-=. 12．题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，等价于点（0，1）到圆42)(22+=+-a y a x 的15圆心的距离不超过半径，解得31≤≤-a . 14．曲线C 普通方程为2219y x =+，则切点坐标为11(1,)9，由4'9y x =得切线斜率14'|9x k y ===，故所求的切线方程为4970x y -+=. 15．依题意，=2，5，由=15，得=三．解题题：16．解：（1）∵()cos f x x x ππ=+=12(cos )22x x ππ+ =2sin()6x ππ+------------------------------------4分∵x R ∈ ∴1sin()16x ππ-≤+≤，∴函数()f x 的最大值和最小值分别为2，-2.----------------------6分 （2）解法1：令()2sin()06f x x ππ=+=得,6x k k Z πππ+=∈,∵[1,1]x ∈- ∴16x =-或56x = ∴15(,0),(,0),66M N -------------------8分 由sin()16x ππ+=，且[1,1]x ∈-得13x = ∴1(,2),3P ---------------------------9分∴11(,2),(,2),22PM PN =--=-从而∴cos ,||||PM PNPM PN PM PN ⋅<>=⋅1517=.--------------------------------------------------12分解法2：过点P 作PA x ⊥轴于A ,则||2,PA =由三角函数的性质知1||12MN T ==,-----------8分 ||||2PM PN ===,-------------------------------------------------------9分由余弦定理得222||||||cos ,2||||PM PN MN PM PN PM PN +-<>=⋅=1721154171724⨯-=⨯.------------12分解法3：过点P 作PA x ⊥轴于A ,则||2,PA =由三角函数的性质知1||12MN T ==,----------8分||||PM PN ===--------------------------------------------------9分BC =∴AC =2AD =.AB AC AD 15MoF 2F 1Q(x,y)yx男生样本频率分布直方图1851801751701651601900.01频率组距身高/cm0.060.070.050.04在Rt PAM ∆中，||417cos ||17172PA MPA PM ∠===------------------------------------11分 ∵PA 平分MPN ∠ ∴2cos cos 22cos 1MPN MPA MPA ∠=∠=∠-217152(11717=⨯-=.---------------------------------------------------12分 17.解（1）样本中男生人数为40 ，由分层抽样比例为10%可得全校男生人数为400.-------2分 频率分布直方图如右图示：------------------------------------------------6分 （2）由表1、表2知，样本中身高在[165,180)的学生人数为： 5+14+13+6+3+1=42，样本容量为70 ，所以样本中学生身高在[165,180)的频率423705==f ----8分 故由f 估计该校学生身高在[165,180)的概率35=p .-9分（3）依题意知ξ的可能取值为：1,2,3∵14361(1)5C P C ξ===,2142363(2)5C C P C ξ===, 34361(3)5C P C ξ===------------------------12分∴ξ的分布列为： --------------13分ξ的数学期望1311232555E ξ=⨯+⨯+⨯=.-------------------------------14分18．解：（1）依题意知3a b =-----------------①-------------1分 ∵021=⋅PF ∴12PF PF ⊥， ∴()22222212248PF PF c (a b )b +==-=---------2分又P C ∈，由椭圆定义可知122PF PF a +=，()22212884PF PF b a +=+=------②--------4分由①②得2262a ,b ==⇒2c =． ∴()120F -，、()220F ，------------------------------------6分 （2）由已知12QF QM =，即2212QF QM =∵QM 是2F 的切线 ∴222||||1QM QF =-------------------8分yX∴()221221QF QF =--------------------------------------9分 设(,)Q x y ，则()()22222221x y x y ⎡⎤++=-+-⎣⎦即()22634x y -+=（或221220x y x +-+=）-------------------------------------------11分综上所述，所求动点Q 的轨迹方程为：()22634x y -+=---------------------------------12分 19．（1）证明：在图甲中∵AB BD =且45A ∠= ∴45ADB ∠= ,90ABC ∠=即AB BD ⊥------------------------------------------------------------------------------------2分在图乙中，∵平面ABD ⊥平面BDC ， 且平面ABD 平面BDC ＝BD∴AB ⊥底面BDC ，∴AB ⊥CD .-----------------------------------------4分 又90DCB ∠=，∴DC ⊥BC ,且ABBC B =∴DC ⊥平面ABC . -----------------------------------------------------5分 （2）解法1：∵E 、F 分别为AC 、AD 的中点∴EF//CD ，又由（1）知，DC ⊥平面ABC ， ∴EF ⊥平面ABC ，垂足为点E∴∠FBE 是BF 与平面ABC 所成的角------------------------------------7分在图甲中，∵105ADC ∠=, ∴60BDC ∠=,30DBC ∠= 设CD a =则2,BD a BC ==,BF ==,1122EF CD a ==------9分 ∴在Rt △FEB中，1sin 4aEF FBE FB ∠=== 即BF 与平面ABC所成角的正弦值为4.---------------------------------10分 解法2：如图，以B 为坐标原点，BD 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系如下图示，设CD a =，则2,BD AB a ==BC =，AD =-------------6分可得(0,0,0),(2,0,0)B D a ,(0,0,2)A a,3(,,0)22C a a ，(,0,)F a a ，∴1(,,0)2CD a =,(,0,)BF a a =-------------8设BF 与平面ABC 所成的角为θ由（1）知DC ⊥平面ABC∴212cos()24||||aCD BF CD BF a πθ⋅-===⋅⋅∴sin 4θ=--------------------------------------------10分 （3）由（2）知 FE ⊥平面ABC ，又∵BE 平面ABC ，AE 平面ABC ，∴FE ⊥BE ，FE ⊥AE，∴∠AEB 为二面角B －EF －A 的平面角-------------------------------------------------12分在△AEB 中，12AE BE AC ==== ∴2221cos 27AE BE AB AEB AE BE +-∠==-⋅ 即所求二面角B －EF －A 的余弦为17-.--------------------------------------------------------14分 （其他解法请参照给分）20.解：（1）解法1：由11332()n n n n a a n +*+=+-∈N可得1112213333n nn n n n a a +++⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，----------------------------------3分 ∴数列233nn n a ⎧⎫⎪⎪⎛⎫-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭是首项为12033a -=，公差为1等差数列，∴2133nn n a n ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， -------------------------------------------------------------------6分 ∴数列{}n a 的通项公式为(1)32n nn a n =-+．-------------------------------------7分 解法2：由11332()n n n n a a n +*+=+-∈N可得111213333nn n n n a a ++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭-------------------------------------------------------------2分令3n n na b =，则1121()33nn n b b +-=------------------------------------------------------3分 ∴当2n ≥时1123221n n n n b b b b b b b b ----+-++-+-211222(1)[()()()]3333n n -=--+++-----5分122(1)[1()]33n n -=---⊂⊂∴1122(1)[1()]33n n b b n -=+--- 2(1)()3n n b n =-+-------------------------------------------------------------------------6分 ∴32(1)3n n n n n a b n ==+------------------------------------------7分解法3：∵2222133232a a =+-=+，----------------------------------------------------1分22323333(32)32232a =++-=⋅+，--------------------------------------------2分33434443(232)32332a =⋅++-=⋅+．---------------------------------3分由此可猜想出数列{}n a 的通项公式为(1)32n n n a n =-+．----------------------------4分以下用数学归纳法证明．①当1n =时，12a =，等式成立．②假设当n k =（,2k N k *∈≥）时等式成立，即(1)32k k k a k =-+，那么11332k k k k a a ++=+-13[(1)32]32k k k k k +=-++-11[(1)1]32k k k ++=+-+．------------------------------------------------------------6分这就是说，当1n k =+时等式也成立．根据①和②可知，等式(1)32n n n a n =-+对任何n N *∈都成立．----------------------------------------------------------------------------------------------------7分（2）令234132333(2)3(1)3n n n T n n -=+⋅+⋅++-+-，--------------------------①-----8分3451332333(2)3(1)3n n n T n n +=+⋅+⋅++-+- -----------------②------9分 ①式减去②式得：122311332333(1)3(1)32n n n n n T n n +++--=+++--=--⋅，------------------10分 ∴1121(1)333(23)39244n n n n n n T +++---⋅+=-=．----------------------------12分 ∴数列{}n a 的前n 项和2131(23)39(23)3212244n n n n n n n S ++++-+-++=+-=．------14分 21．解：（1）若1,1a b ==-，则2()(1)xf x x x e =+-有22()(21)(1)(3)x x x f x x e x x e e x x '=+++-=+令()0f x '=得13x =-,20x =-----------------------------------1分∵当(,3)x ∈-∞-时'()0f x >，当(3,0)x ∈-时'()0f x <，当(0,)x ∈+∞时，'()0f x > ∴当3x =-时,函数()f x 有极大值，35()(3)f x f e-=极大值＝，-----------------------2分 当0x =时，函数()f x 有极小值，()(0)1f x f ==-极小值.-----------------------------3分(2)∵23a b +=- 即 23b a =--又22()(2)()[(2)()]x x x f x x a e x ax b e e x a x a b '=++++=++++∴2()[(2)(3)]x f x e x a x a '=+++--＝(1)[(3)]x e x x a -++--------------------------5分当31a --=即4a =-时，2'()(1)0x f x e x =-≥∴函数()x f 在(,)-∞+∞上单调递增；---------------------------------------------------------6分当31a -->，即4a <-时，由()0f x '>得3x a >--或1x <，由()0f x '<得13x a <<--；------------------------------------------------------------------7分当31a --<，即4a >-时，由()0f x '>得3x a <--或1x >，由()0f x '<得31a x --<<；------------------------------------------------------------------8分综上得：当4a =-时，函数()x f 在(,)-∞+∞上单调递增；当4a <-时，函数()x f 在(,1)-∞和(3,)a --+∞上单调递增，在(1,3)a --上单调递减---9分 当4a >-时,函数()x f 在(,3)a -∞--和(1,)+∞上单调递增，在(3,1)a --上单调递减.---10分（3）根据题意|()|()x f x g x e=＝2||x ax b ++， ∵()g x 在]1,1[-上的最大值为M ，∴(1),(0),(1)g M g M g M -≤≤≤即|1|,||,|1|a b M b M a b M -+≤≤++≤ ---------------------------12分2＝|(1)(1)2||1||1||2|4a b a b b a b a b b M -++++-≤-+++++≤ ∴21≥M -------------------------------------------------------14分。
高三数学上学期期末调研考试试题 理 试题
2021—2021学年度第一学期高三期末调研考试数学试题〔理〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日本套试卷分第I卷〔选择题〕和第II卷〔非选择题〕两局部，满分是150分，考试时间是是120分钟第I卷〔选择题一共60分〕考前须知：1．答第I卷前，所有考生必须将本人的姓名、学号、、考试科目用铅笔涂写在答题卡上2．每一小题在选出答案以后，用铅笔把答题卡上对应题目之答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上．3．在在考试完毕之后以后，监考人员将本套试卷和答题卡一并收回．一、选择题〔本大题一一共12个小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合题目要求的1．复数z的实部为1,虚部为一2,那么=〔〕A．10+5i B ．5+10i C．－5—10i D．— 2+i2．的值是〔〕A．2 B．O C．D．3．向1, 且,那么等于〔〕A．3 B．C．一3 D．4．P:, q：“直线x+y=0与圆相切〞，那么p是q的〔〕A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件5．右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是〔〕A．B．C．D．6．点P〔x, y〕满足，集合，在集合M中任取一点，那么恰好取到点P的概率为〔〕A． B C D．17．m,n表示直线，表示平面，给出以下四个命题，其中真命题为〔〕A．①、② B③、④C．②、③D．②、④8．执行右面的程序框图，那么输出的S＝〔〕A．48!B．49!C．50!D．51!9．函数的图象如下图，m∈R,那么的值一定〔〕A．等于0 B．不小于0C．小于0 D．不大于010．数列满足,且总等于的个位数字，那么的值是〔〕A．1 B．3C．7 D．911．假设双曲线〔a〉b>0〉的左、右焦点分别为F1,F2,拋物线的焦点恰好为线段F1F2的黄金分割点，那么此双曲线的离心率为〔〕A B．C．D．12．设数列是公比为q的等比数列，令，假设数列有连续四项在集合中，那么公比q=〔〕A．B．C．D．第二卷〔一共90分〕二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分,把最简答案填在答题卡的横线上〕13．的展开式中的系数为．14．某所方案招聘男老师X名，女老师y名，X和y须满足约束条件那么该校招聘的老师人数最多是名．15．设抛物线的焦点为F,经过点P 〔1, 5〕的直线l与抛物线相交于A, B两点，且点P恰为线段AB的中点，那么|AF| + |B F|=．________16．O为正内的一点，且满足，假设的面积与的面积比值为3,那么的值是________．三、解答题〔本大题一一共6小题,70分．解容许写出必要的文字说明、证明过程或者演箅步骤〕．17．〔本小题满分是10分〕函数，的局部图象如下图．〔1〕求函数f〔x〕的解析式；〔2〕如何由函数f〔x〕的图象通过适当的平移与伸缩变换得到函数y=Sinx的图象，写出变换过程．18．〔本小题满分是12分〕某单位为了提髙员工身体素质，特于近期举办了一场跳绳比赛，其中男员工12人，女员工18人，其成绩编成如右所示的茎叶图〔单位：分〕．假设分数在175分以上〔含175分〕者定为“运动健将〞，并给以特别奖励，其它人员那么给予“运动积极分子〞称号，同时又特别提议给女“运动健将〞休假一天的待遇．〔1〕假设用分层抽样的方法从“运动健将〞和“运动积极分子〞中提取10人，然后再从这10人中选4人，那么至少有1人是“运动健将〞的概率是多少？〔2〕假设从所有“运动健将〞中选3名代表，用表示所选代表中女“运动健将〞的人数，试写出的分布列，并求的数学期望．19．〔本小题满分是12分〕各项全不为零的数列的前Ii项和为，且，其中〔1〕求数列的通项公式；〔2〕在平面直角坐标系内，设点，试求直线OP n斜率的最小值〔O 为坐标原点〕．20．〔本小题满分是12分〕如图，在正三棱柱中，，N是CC1的中点，M是线段AB1上的动点，且AM =〔1〕假设，求证：；〔2〕求二面角的余弦值；〔3〕假设直线MN与平面MN所成角的大小为，求的最大值．21．〔本小题满分是12分〕椭圆E:的右焦点为F 〔c, 0〕,且a〉b〉c〉0,设短轴的一个端点为D,原点O到直线DF的间隔为，过原点和X轴不重合的直线与椭圆E相交于C,G两点，且．〔1〕求椭圆E的方程；〔2〕是否存在过点P〔2,l〕的直线l与椭圆E相交于不同的两点A,B,且使得成立？假设存在，试求出直线l的方程；假设不存在，请说明理由．22．〔本小题满分是12分〕：函数．〔其中e为自然对数的底数，e=2．71828…〉．〔1〕当a=0时，求函数的图象在点X=O处的切线方程；〔2〕当时，试求函数f〔x〕的极值；〔3〕假设，那么当时，函数y=f〔x〕的图象是否总在不等式y〉x所表示的平面区域内，请写出判断过程．制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O二二年二月七日。
贵州省铜仁市2023届高三上学期期末质量监测数学(理)试题含答案
铜仁市2022~2023学年度第一学期期末质量监测试卷高三数学（理科）本试卷共4页，23题（含选考题）．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{2,},{9,6}P x x y Q =+=，且P Q =，则整数x ，y 分别为（）A.6，3B.6，3或93,22C.3，6D.3，6或93,222.若复数(512i)(cos isin )()z θθθ=-+∈R （其中i 是虚数单位），则||z =（）A.5B.12C.13D.173.在三维空间中，三个非零向量,,OA OB OC 满足,,OA OB OB OC OC OA ⊥⊥⊥，则ABC 是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.直角或锐角三角形4.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为()A.6斤B.9斤C.9.5斤D.12斤5.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点A B ，是抛物线C 上不同两点，且A B ，中点的横坐标为3，则||||+=AF BF （）A .4B.5C.6D.86.已知实数x ，y 满足|1||1||2||2|6x x y y ++-+++-=，则2x y +的取值范围是（）A.[3,3]- B.[3,4]- C.[4,4]- D.[6,6]-7.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论错误的是（）A.111A CB D ⊥B.若E 是棱BC 的中点，则//BD 平面11EB D C.正方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为3π D.1ACD △的面积是348.已知等比数列{}n a 的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为n T ，且354a a a =，则使得1n T >的n 的最小值为（）A.5B.6C.7D.89.如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面CBD ，6AB BC CD AD BD =====，点M 在AC 上，2AM MC =，过点M 作三棱锥A BCD -外接球的截面，则截面圆周长的最小值为（）A.12πB.10πC.8πD.10.已知p ，q 是方程()()2254560t t t t -+-+=的根，则函数32()1g x px qx x =++-在(,)-∞+∞上是递增函数的概率是（）A.34B.712 C.716D.91611.已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若12AF a =，则（）A .2||AB AF > B.2||AB AF = C.2||AB AF < D.22||AB AF =12.设函数()f x '是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '->，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（）A.(,1)(0,1)-∞-⋃B.(1,0)(1,)-⋃+∞C.(,1)(1,0)-∞-⋃- D.(0,1)(1,)⋃+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，13.一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为42的样本，那么应抽取女运动员人数是____________．14.过点(1,1)P 的直线l 将圆22:(2)4M x y -+=分成两段弧，当劣弧所对圆心角最小时，直线l 的斜率k =__________．15.已知函数cos (02π)y x x =≤≤的图像与直线1y =所围区域的面积是ω，则函数cos sin y x x ωω=-的一个单调递减区间是_____________．16.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≤时，()[]f x x x =-（符号[]x 表示不超过x 的最大整数），若方程()log ||(0,1)a f x x a a =>≠有6个不同的实数解，则a 的取值范围是__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ．且有关系式：2cos2cos22cos 2sin sin A B C A B +=+．（1）求C ；（2）求证：2c ≥．18.如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠= ，30BAC ∠= ，114A A AC AC ===，E ，F 分别是11,AC A B 的中点．（1）证明：EF BC ⊥；（2）求二面角11C A C B --的正弦值．19.如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务.A 市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了100人，并将这100人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过3000元）：消费金额（单位：百元）[]0,5(]5,10(]10,15(]15,20(]20,25(]25,30频数2035251055()1由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额Z （单位：元）近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μx （每组数据取区间的中点值，660σ=）.现从该市任取20名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在390元至2370元之间的人数为X ，求X 的数学期望；()2A 市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值100元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动.规则是：在某张方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第60格共61个方格.棋子开始在第0格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是12，其中01P =），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从k 到1k +），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从k 到2k +）.重复多次，若这枚棋子最终停在第59格，则认为“闯关成功”，并赠送500元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第60格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束.①设棋子移到第n 格的概率为n P ，求证：当159n ≤≤时，{}1n n P P --是等比数列；②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由.参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+=，()220.9545P μσξμσ-<+= ，()330.9973P μσξμσ-<+= .20.已知点()0,1F ，直线l ：y =4，P 为曲线C 上的任意一点，且PF 是P 到l 的距离的12.（1）求曲线C 的方程；（2）若经过点F 且斜率为()0k k ≠的直线交曲线C 于点M ､N ，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点H ，求证：FH MN为定值.21.已知函数()ln ()f x x a x a =-∈R ．（1）讨论函数的单调性及极值，并判断方程e 2ln 0x x x ---=的实根个数；（2）证明：454e 4ln x x x x x +≥+．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4—4：坐标系与参数方程]22.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为cos 34πθρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是11,2112x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩（t 是参数）．（1）求直线l 及曲线C 的直角坐标方程；（2）求直线l 被曲线C 截得弦AB 的长．[选修4—5：不等式选讲]23.设不等式|21||21|4x x ++-<的解集为,,M a b M ∈．（1）求证：115236a b -<；（2）试比较|2|a b -与|2|ab -的大小，并说明理由．铜仁市2022~2023学年度第一学期期末质量监测试卷高三数学（理科）本试卷共4页，23题（含选考题）．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{2,},{9,6}P x x y Q =+=，且P Q =，则整数x ，y 分别为（）A.6，3B.6，3或93,22C.3，6D.3，6或93,22【答案】C 【解析】【分析】由集合相等元素对应相同解方程组.【详解】由集合相等的定义，有296x x y =⎧⎨+=⎩，解得9232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，不合题意舍去，或269x x y =⎧⎨+=⎩，解得36x y =⎧⎨=⎩，满足题意．故选：C ．2.若复数(512i)(cos isin )()z θθθ=-+∈R （其中i 是虚数单位），则||z =（）A.5B.12C.13D.17【答案】C 【解析】【分析】根据复数的模的性质、模长公式和共轭复数的模的性质可求出结果.【详解】因为|||(512i)(cos isin )||512i ||cos isin |z θθθθ=-+=-⋅+=13=，所以||||13z z ==．故选：C ．3.在三维空间中，三个非零向量,,OA OB OC满足,,OA OB OB OC OC OA ⊥⊥⊥ ，则ABC 是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.直角或锐角三角形【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件推出0AC AB ⋅>，得CAB ∠为锐角．同理可得,ABC BCA ∠∠也为锐角．由此可得答案.【详解】因为,,OA OB OB OC OC OA ⊥⊥⊥，所以0,0,0OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅==，()()AB AC OB OA OC OA ⋅=-⋅- 22||0OB OC OA OB OC OA OA OA =⋅-⋅-⋅+=> ，所以cos 0||||AB ACCAB AB AC ⋅∠=>⋅，即知CAB ∠为锐角．同理可知,ABC BCA ∠∠也为锐角．故ABC 是锐角三角形．故选：A ．4.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金箠，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤，在细的一端截下1尺，重2斤，问依次每一尺各重多少斤？”根据上题的已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，问第二尺与第四尺的重量之和为()A.6斤B.9斤C.9.5斤D.12斤【答案】A 【解析】【详解】由题意得，金箠的每一尺的重量依次成等差数列，从细的一端开始，第一段重2斤，第五段重4斤，由等差中项性质可知，第三段重3斤，第二段加第四段重326⨯=斤.5.已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点A B ，是抛物线C 上不同两点，且A B ，中点的横坐标为3，则||||+=AF BF （）A .4B.5C.6D.8【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线焦半径公式求解即可.【详解】解：由题知24p =，即2p =，设()()1122,,,A x y B x y ，因为A B ，中点的横坐标为3，所以126x x +=，所以，由抛物线焦半径公式得12||||628AF BF x x p +=++=+=故选：D ．6.已知实数x ，y 满足|1||1||2||2|6x x y y ++-+++-=，则2x y +的取值范围是（）A.[3,3]-B.[3,4]- C.[4,4]- D.[6,6]-【答案】C 【解析】【分析】根据绝对值三角不等式取等号的条件，将|1||1||2||2|6x x y y ++-+++-≥转化为11x -≤≤且22y -≤≤，再根据不等式的性质可求出结果.【详解】因为|1||1||(1)(1)|2x x x x ++-≥+--=，当且仅当(1)(1)0x x +-≤，即11x -≤≤时，等号成立，|2||2||(2)(2)|4y y y y ++-≥+--=，当且仅当(2)(2)0y y +-≤，即22y -≤≤时，等号成立，所以|1||1||2||2|6x x y y ++-+++-≥，当且仅当11x -≤≤且22y -≤≤时，等号成立，所以|1||1||2||2|6x x y y ++-+++-=等价于11x -≤≤且22y -≤≤，所以222x -≤≤，所以424x y -≤+≤.故选：C7.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论错误的是（）A.111A CB D ⊥B.若E 是棱BC 的中点，则//BD 平面11EB D C.正方体1111ABCD A B C D -的外接球的表面积为3π D.1ACD △的面积是34【答案】D 【解析】【分析】对于A,连接11A C ，利用线面垂直的判定定理可得11B D ⊥平面11A CC ，即可判断；对于B ，利用线面平行的判定定理即可判断；对于C ，利用正方体外接球的直径长度为体对角线长度即可判断；对于D ，1ACD △为等边三角形，利用面积公式即可【详解】对于A ，连接11A C ，由正方体可得1CC ⊥平面111D C B A ，11B D ⊂平面1111D C B A ，所以111CC B D ⊥，在正方形1111B A 中，1111AC B D ⊥，因为1111CC A C C ⋂=，111,A C C C ⊂平面11A CC ，所以11B D ⊥平面11A CC ，因为1AC ⊂平面11A CC ，所以111A C B D ⊥，故A 正确；对于B ，因为11//BB DD ，11=BB DD ，所以四边形11BDD B 是平行四边形，所以11//BD B D ，因为BD ⊄平面11EB D ，11B D ⊂平面11EB D ，所以//BD 平面11EB D ，故B 正确；对于C,正方体1111ABCD A B C D -，所以外接球的表面积为234π3π2⎛⨯= ⎝⎭，故正确，对于D ，因为1ACD △是正三角形，其边长为，所以它的面积为213sin 6022⨯⨯︒=，即D 错误．故选：D ．8.已知等比数列{}n a 的各项均为正数且公比大于1，前n 项积为n T ，且354a a a =，则使得1n T >的n 的最小值为（）A.5 B.6C.7D.8【答案】D 【解析】【分析】设公比为q ，则1q >，由23544a a a a ==，得41a =，根据{}n a 为递增数列，推出1234567801a a a a a a a a <<<<=<<<<< ，再推出11T <，21T <，31T <，41T <，51T <，61T <，71T =，81T >可得结果.【详解】设公比为q ，则1q >，由23544a a a a ==，得41a =，因为1n n n a a q a +=>，所以{}n a 为递增数列，所以1234567801a a a a a a a a <<<<=<<<<< ，所以111T a =<，2121T a a =<，31231T a a a =<，412343431T a a a a T a T ==⋅=<，512345T a a a a a =121a a =<，6123456T a a a a a a =21261411a a a a a a ===<，71234567T a a a a a a a =717263544()()()1a a a a a a a a ===，8123456787881T a a a a a a a a T a a ==⋅=>，所以n 的最小为8.故选：D ．9.如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABD ⊥平面CBD ，6AB BC CD AD BD =====，点M 在AC 上，2AM MC =，过点M 作三棱锥A BCD -外接球的截面，则截面圆周长的最小值为（）A.12πB.10πC.8πD.【答案】D 【解析】【分析】根据特设求出外接球的半径，再根据圆心到平面距离最大时，截面面积最小即可求解.【详解】由题意知，ABD △和BCD 为等边三角形，如图所示，取BD 中点为E ，连接,AE CE ，则AE BD ⊥，由平面ABD ⊥平面CBD ，平面ABD ⋂平面CBD BD =，故⊥AE 平面CBD ，AE ===，球心O 在平面BCD 的投影为BCD △的外心1O ，过O 作OH AE ⊥于H ，易得11,OH O E OO HE ∥∥，则在Rt OHA △中，OH AH ==，所以外接球半径R ==OM ，因为2,,2AH HE OH CE AM MC ==∥，所以H ，O ，M 三点共线，所以23MH CE OM MH OH ===-=，当M 为截面圆圆心时，截面圆的周长最小，此时，截面圆半径r ==，所以截面圆周长的最小值为2C r π==，故选:D ．10.已知p ，q 是方程()()2254560t t t t -+-+=的根，则函数32()1g x px qx x =++-在(,)-∞+∞上是递增函数的概率是（）A.34B.712 C.716D.916【答案】D 【解析】【分析】求出方程的解集，得出p ，q 的所有取值，再得到所求事件所需条件的p ，q 取值，即可得到所求事件的概率.【详解】因为方程()()2254560t t t t -+-+=的根的集合为{1,2,3,4}，所以有{1,2,3,4},{1,2,3,4}p q ∈∈．记事件A 为“函数32()1g x px qx x =++-在(,)-∞+∞上是递增函数”．对函数32()1g x px qx x =++-求导，得2()321g x px qx +'=+．由题意，知2()3210g x px qx '=++≥在(,)-∞+∞上恒成立，有0p >，且()2221(2)434303q p q p p q ∆=-⨯=-≤⇒≥．当1q =时，有13p ≥，所以p 可以取到1，2，3，4这4个值；当2q =时，有43p ≥，所以p 可以取到2，3，4这3个值；当3q =时，有3p ≥，所以p 可以取到3，4这2个值；当4q =时，有163p ≥，所以p 的值不存在．综合以上，事件A 包含的基本事件共有4329++=种．因为{1,2,3,4},{1,2,3,4}p q ∈∈，所以所有的基本事件共有4416⨯=种．则所求事件的概率为9()16P A =．故选：D ．11.已知12,F F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线的左支交于点A ，与右支交于点B ，若12AF a =，则（）A.2||AB AF > B.2||AB AF = C.2||AB AF < D.22||AB AF =【答案】B 【解析】【分析】由已知条件和双曲线的定义可得12AF a =，24AF a =，12F F =，2BF AB =，由122cos cos 0F AF BAF ∠+∠=，应用余弦定理，化简可得2AB AF =【详解】由双曲线定义和题设条件，得212AF AF a -=，c =，12F F =．如图所示，因为12AF a =，所以24AF a =．又由双曲线定义，得122BF BF a -=,因为112BF AF AB a AB =+=+，所以212BF BF a AB =-=．在12AF F △和2ABF △中，122πF AF BAF ∠+∠=，有122cos cos 0F AF BAF ∠+∠=，应用余弦定理，得222222121222122022AF AF F F AB AF BF AF AF AB AF +-+-+=，得222222224162802242AB AF AB a a a a a AB AF +-+-+=⋅⋅，化简得2122AF AB =，所以2AB AF =．故选：B ．12.设函数()f x '是奇函数()()f x x ∈R 的导函数，(1)0f -=，当0x >时，()()0xf x f x '->，则使得()0f x >成立的x 的取值范围是（）A.(,1)(0,1)-∞-⋃B.(1,0)(1,)-⋃+∞C.(,1)(1,0)-∞-⋃-D.(0,1)(1,)⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】构函数函数()()f x F x x=，根据()f x 为奇函数，得()F x 为偶函数.求导并利用已知得到()F x 在(0,)+∞上单调递增，再根据()F x 为偶函数得到()F x 在(,0)-∞上单调递减，利用()F x 的单调性可求出结果.【详解】设()()f x F x x=，因为()f x 为奇函数，所以()()f x f x -=-，所以()()()()f x f x F x F x x x---===--，所以()F x 为偶函数，对()F x 求导得2()()()xf x f x F x x''-=，因为当0x >时，()()0xf x f x '->，所以()0F x '>，则()F x 在(0,)+∞上单调递增，又因为()F x 为偶函数，则()F x 在(,0)-∞上单调递减，因为(1)(1)(1)(1)011f f F F ---====，所以当0x >时，()()00()0(1)1f x f x F x F x x>⇒>⇒>=⇒>，当0x <时，()()00f x f x x>⇒<()0(1)F x F ⇒<=-10⇒-<<x ，所以使得()0f x >成立的x 的取值范围是(1,0)(1,)-⋃+∞.故选：B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，13.一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人．按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为42的样本，那么应抽取女运动员人数是____________．【答案】18【解析】【分析】求出男女运动员的比例，从而求出答案.【详解】女运动员的人数为985642-=，故男女运动员的人数比例为56:424:3=，所以女生应抽取3421843⨯=+人．故答案为：1814.过点(1,1)P 的直线l 将圆22:(2)4M x y -+=分成两段弧，当劣弧所对圆心角最小时，直线l 的斜率k =__________．【答案】1【解析】【分析】转化为PM l ⊥可求出结果.【详解】劣弧所对的圆心角最小时，劣弧所对的弦长最短，此时，PM l ⊥，因为(2,0)M ，所以1111012PMk k =-=-=--．故答案为：1.15.已知函数cos (02π)y x x =≤≤的图像与直线1y =所围区域的面积是ω，则函数cos sin y x x ωω=-的一个单调递减区间是_____________．【答案】711,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦（答案不唯一）【解析】【分析】由割补法求出所围区域的面积得到ω，函数解析式化简后利用整体代入法求单调递减区间.【详解】如图所示，区域1S 与2S ，区域3S 与4S 组成的图形是中心对称图形，面积分别对应相等，故函数cos (0y x x =≤≤的图像与直线1y =所围区域的面积等于矩形OABC 的面积，由2πOA =，1OC =，矩形OABC 的面积为2π，所以2πω=．于是πcos sin cos 2πsin 2π2π4y x x x x x ωω⎛⎫=-=-=+ ⎪⎝⎭．由()π2π2π2ππZ 4k x k k ≤+≤+∈，解得()13Z 88k x k k -≤≤+∈．函数cos sin y x x ωω=-的单调递减区间是()13,Z 88k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦令1k =，其中一个单调递减区间是711,88⎡⎤⎢⎣⎦.故答案为：711,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦16.已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≤时，()[]f x x x =-（符号[]x 表示不超过x 的最大整数），若方程()log ||(0,1)a f x x a a =>≠有6个不同的实数解，则a 的取值范围是__________．【答案】(2,3]【解析】【分析】当01a <<时，不符合题意；当1a >时，根据方程()log (0,1)a f x x a a =>≠有6个不同的实数解，结合图象可知函数[]y x x =-与log (0,1)a y x a a =>≠图象有6个交点，即可求解.【详解】由题意知，()log (0,1)a f x x a a =>≠有6个不同的实数解，即为函数[]y x x =-与log (0,1)a y x a a =>≠图象有6个交点.当01a <<时，显然不成立；当1a >时，如图所示，只需log 21log 31a a<⎧⎨≥⎩，解得23a <≤.故答案为：(]2,3.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.设ABC 的内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ．且有关系式：2cos2cos22cos 2sin sin A B C A B +=+．（1）求C ；（2）求证：2c ≥．【答案】（1）2π3C =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及正弦定理和余弦定理得到1cos 2C =，再根据C 的范围可求出结果；（2）利用三角形的面积公式可得3ab =，再根据余弦定理以及不等式知识可证不等式成立.【小问1详解】因为2cos2cos22cos 2sin sin A B C A B +=+，所以()22212sin 12sin 21sin 2sin sin A B C A B -+-=-+，即222sin sin sin sin sin A B C A B +=-，由正弦定理得222a b c ab +-=-，所以2221cos 22a b c C ab +-==-，又因为0πC <<，所以2π3C =．【小问2详解】因为12πsin 323ab ab ==，由余弦定理，得2222π2cos3c a b ab =+-22a b ab =++23ab ab ab ≥+=，当且仅当a b =时等号成立，所以2c ≥．18.如图，已知三棱柱111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥平面ABC ，90ABC ∠= ，30BAC ∠= ，114A A AC AC ===，E ，F 分别是11,AC A B 的中点．（1）证明：EF BC ⊥；（2）求二面角11C A C B --的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）连接1A E ，根据题意得1A E AC ⊥，根据面面垂直的性质定理得1A E ⊥平面ABC ，1A E BC ⊥，根据线面垂直的判定定理得到BC ⊥平面1A EF ，再得到EF BC ⊥；（2）以E 为原点，在平面ABC 中，过点E 作AC 的垂线为x 轴，1,EC EA 所在直线分别为y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用平面的法向量可求出结果.【小问1详解】连接1A E ，∵E 是AC 的中点，11A A A C AC ==，∴1A E AC ⊥，又∵平面11A ACC ⊥平面ABC ，平面11A ACC ⋂平面ABC AC =，1A E ⊂平面11A ACC ，∴1A E ⊥平面ABC ，因为BC ⊂平面ABC ，∴1A E BC ⊥，又1,A F AB AB BC ⊥//，∴1BC A F ⊥，因为1A E ⊂平面1A EF ，1A F ⊂平面1A EF ，111A E A F A ⋂=，∴BC ⊥平面1A EF ，因为EF ⊂平面1A EF ，∴EF BC ⊥．【小问2详解】以E 为原点，在平面ABC 中，过点E 作AC 的垂线为x 轴，1,EC EA 所在直线分别为y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，1(0,2,0),(0,2,0)A B A C -，∴1((BA BC =-=，易知平面11ACC A 的法向量为(1,0,0)m =，设平面1A CB 的法向量为(,,)n x y z =，则100n BA y n BC y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ,令x =，∴3,y z ==，∴n =，5cos ,5||m n m n m n ⋅<>==⋅∣，所以25sin ,5m n <>== .∴二面角11C A C B --的正弦值为255.19.如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务.A 市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了100人，并将这100人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过3000元）：消费金额（单位：百元）[]0,5(]5,10(]10,15(]15,20(]20,25(]25,30频数2035251055()1由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额Z （单位：元）近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x （每组数据取区间的中点值，660σ=）.现从该市任取20名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在390元至2370元之间的人数为X ，求X 的数学期望；()2A 市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值100元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动.规则是：在某张方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第60格共61个方格.棋子开始在第0格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是12，其中01P =），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从k 到1k +），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从k 到2k +）.重复多次，若这枚棋子最终停在第59格，则认为“闯关成功”，并赠送500元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第60格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束.①设棋子移到第n 格的概率为n P ，求证：当159n ≤≤时，{}1n n P P --是等比数列；②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由.参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<≤+=，()220.9545P μσξμσ-<+= ，()330.9973P μσξμσ-<+= .【答案】()116.372；()2①证明见解析；②闯关成功的概率大于闯关失败的概率，理由见解析.【解析】【分析】()1根据数据算出1050x =，由Z服从正态分布()21050,660N ，算出概率，即()20,0.8186X B ，进而算出X 的数学期望；()2①棋子开始在第0格为必然事件，01P =.第一次掷硬币出现正面，棋子移到第1格，其概率为12，即112P =.棋子移到第()259n n ≤≤格的情况是下列两种，即棋子先到第2n -格，又掷出反面，其概率为212n P -；棋子先到第n 1-格，又掷出正面，其概率为112n P -.所以211122n n n P P P --=+.即112(1)2n n n n P P P P ----=--，进而求证当159n ≤≤时，{}1n n P P --是等比数列；②由①知1112P -=-，12212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，33212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，L ，112nn n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得21111222n nP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以21111222nn P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()12110,1,2,,5932n n +⎡⎤⎛⎫=--=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，算出相应概率判断出闯关成功的概率大于闯关失败的概率.【详解】解：()12500.27500.3512500.2517500.1x =⨯+⨯+⨯+⨯22500.05+⨯+27500.051050⨯=，因为Z 服从正态分布()21050,660N ，所以()()0.95450.6827390237020.95450.81862P Z P Z μσμσ-<≤=-<≤+=-.所以()20,0.8186X B ，所以X 的数学期望为()200.818616.372E X =⨯=.()2①棋子开始在第0格为必然事件，01P =.第一次掷硬币出现正面，棋子移到第1格，其概率为12，即112P =.棋子移到第()259n n ≤≤格的情况是下列两种，而且也只有两种：棋子先到第2n -格，又掷出反面，其概率为212n P -；棋子先到第n 1-格，又掷出正面，其概率为112n P -，所以211122n n n P P P --=+，即112(1)2n n n n P P P P ----=--，且1012P P -=-，所以当159n ≤≤时，数列{}1n n P P --是首项1012P P -=-，公比为12-的等比数列.②由①知1112P -=-，12212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，33212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，L ，112nn n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，以上各式相加，得21111222n nP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以21111222nn P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()12110,1,2,,5932n n +⎡⎤⎛⎫=--=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.所以闯关成功的概率为6060592121113232P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，闯关失败的概率为5959605811211111223232P P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯--=+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.60595859602111111110323232P P ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+=->⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率.【点睛】本题考查了根据已知数据求平均数，正态分布求概率，等比数列的证明以及数学期望的求法，题目较为综合，属于难题.20.已知点()0,1F ，直线l ：y =4，P 为曲线C 上的任意一点，且PF 是P 到l 的距离的12.（1）求曲线C 的方程；（2）若经过点F 且斜率为()0k k ≠的直线交曲线C 于点M ､N ，线段MN 的垂直平分线交y 轴于点H ，求证：FH MN为定值.【答案】（1）22134x y +=（2）见解析【解析】【分析】（1）设(),P x y ,根据题意列出方程整理即得；（2）直线的方程为1y kx =+,与曲线C 方程联立消去y 整理得：()2243690k xkx ++-=,检验判别式并利用弦长公式求得()2212143k MN k+=+，利用韦达定理和中点坐标公式及直线垂直时的斜率关系得到中垂线的方程，进而求得H 的坐标，得到()223143k FH k +=+,从而证得结论.【小问1详解】设(),P x y142y =-,整理得：22134x y +=,此即为曲线C 的方程；【小问2详解】经过点F 且斜率为()0k k ≠的直线的方程为1y kx =+,与曲线C 方程联立得：221134y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y 整理得：()2243690k x kx ++-=,()()22236494314410k k k ∆=+⨯⨯+=+>恒成立,设()()1122,,,M x y N x y,则()212221214343k MN x k k+=-==++,122643kx x k +=-+，设线段MN 的中点为()00,T x y ,则12023243x x k x k +==-+，0024143y kx k =+=+，线段MN 的中垂线的斜率为1k-，方程为224134343ky x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭,令0x =,解得2143y k =+，即为点H 的纵坐标，∴()22231114343k FH k k+=-=++,∴()()222231143412143k FHk MN k k ++==++（为定值）21.已知函数()ln ()f x x a x a =-∈R ．（1）讨论函数的单调性及极值，并判断方程e 2ln 0x x x ---=的实根个数；（2）证明：454e 4ln x x x x x +≥+．【答案】（1）单调性及极值见解析，原方程有唯一实根（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数分类讨论函数的单调性，求解极值，结合单调性的结论判断方程的实根个数；（2）不等式变形为4ln 4e ln 1(0)x x x x x -≥-+>，换元后即证e 1≥+t t ，构造函数利用导数求解函数最值即可得证.【小问1详解】()ln (R)f x x a x a =-∈，函数定义域为(0,)+∞，()1a x af x x x-'=-=，当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增，无极值；当0a >时，(0,)x a ∈时，()0f x '<，(,)x a ∈+∞时，()0f x '>，()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增，有极小值()(1ln )f a a a =-．方程e 2ln 0x x x ---=可变形为e ln x x x x --=+，即e ln e ln x x x x --+=+，当1a =-时，()ln f x x x =+，有()e()xf f x -=，()f x 在(0,)+∞上单调递增，则有e xx -=，函数e x y -=和y x =的图像只有一个交点，且交点位于第一象限，所以e x x -=在()0,∞+上有唯一实根，故原方程有唯一实根．【小问2详解】证明：由0x >知，所要证的不等式等价于44e ln 1(0)xx x x x+≥+>，等价于4ln 4e ln 1(0)x x x x x -≥-+>．（*）令4ln t x x =-，则不等式（*）等价于e 1≥+t t （**）．构造函数()e 1()t f t t t =--∈R ，求导，得()e 1t f t =-'．当0t <时，()0f t '<，函数()f t 是减函数；当0t >时，()0f t '>，函数()f t 是增函数．所以min ()()(0)0f t f t f ≥==．即（**）成立．故原不等式成立．【点睛】1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.3..证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4—4：坐标系与参数方程]22.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x 轴的正半轴重合，直线l 的极坐标方程为cos 34πθρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，曲线C 的参数方程是11,2112x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩（t 是参数）．（1）求直线l 及曲线C 的直角坐标方程；（2）求直线l 被曲线C 截得弦AB 的长．【答案】（1）230x y --=，221x y -=；（2.【解析】【分析】（1）根据给定方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式和消去参数方程中参数求解作答.（2）联立直线l 与曲线C 的直角坐标方程，利用弦长公式求解作答.【小问1详解】因为cos 34πθρθ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则22cos sin cos 322θθρθ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，即2cos sin 3ρθρθ-=，把cos ,sin x y ρθρθ==代入得，230x y --=，所以直线l 的直角坐标方程是230x y --=；由112112x t t y t t ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩变形得，22222211241124x t t y t t ⎧⎛⎫=++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+- ⎪⎪⎝⎭⎩，则有221x y -=，所以曲线C 的直角坐标方程是221x y -=．【小问2详解】把直线l 的方程23y x =-，代入曲线C 的方程：221x y -=，得22(23)1x x --=，即2312100x x -+=，2Δ12120240=-=>，设()()1122,,,A x y B x y ，则1212104,3x x x x +==，于是AB ===所以直线l 被曲线C 截得弦AB.[选修4—5：不等式选讲]23.设不等式|21||21|4x x ++-<的解集为,,M a b M ∈．（1）求证：115236a b -<；（2）试比较|2|a b -与|2|ab -的大小，并说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）|2||2|a b ab -<-，理由见解析【解析】【分析】（1）分11112222、、≤--<<≥x x x 讨论去绝对值求出集合M ，再利用绝对值三。
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在数列 中， .
（1）求 的值；
（2）求数列 的通项公式；
（3）求 的最大值.
22．（本小题满分12分）
已知函数 .
（1）当 时，求函数 的单调区间和极值；
（2）当 时，若对任意 ，均有 ，求实数 的取值范围；
（3）若 ，对任意 、 ，且 ，试比较 与 的大小.
参考答案
题号
14． .
15． 是函数 的导函数, 的图象如图所示，
请大致画出函数 的一个图象.
16．设 = ，
① 有最小值；②当a=0时， 的值域为R；③当 时， 在区间[2，+∞）上有反函数；④若 在[2，+∞）上单调递增，则 ；其中正确的是_______．
三.解答题:(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
,
∴ 的分布列为
0
1
2
3
∴ 的数学期望 ．
（或 ﹀ ）
20．（本小题满分12分）
解：（1）设P( x，y )，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以 ， 为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴 ，
故曲线C的方程为 ．……4分
（2） 设过点 的直线方程为y=kx+ , ，
其坐标满足
消去y并整理得 .……6分
∴ 。
（2）记完成三个“单位射击组”后出现“单位进步组”的次数 ，求 的分布列与数学期望.
20.（本小题共12分）
在直角坐标系 中，动点P到两定点 ， 的距离之和等于4，设动点P的轨迹为 ，过点 的直线与 交于A，B两点．
（1）写出 的方程；
（2）设d为A、B两点间的距离，d是否存在最大值、最小值；若存在，求出d的最大值、最小值．
河南省焦作市部分学校高三上学期期末调研
数学理
命题焦作一中王强市教研室焦金安
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一项符合题意要求）
1.已知集合 为
A．{2}B．{1，2}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}
2．复数
（A） （B） （C） (D)
17．（本小题共10分）
已知锐角 的三内角A、B、C的对边分别是
（1）求角A的大小；
（2）求 的值.
18.（本小题共12分）
在三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是边长为 的正三角形，点A1在底面ABC上的射影O恰是BC的中点.
（1）求证：面A1AO 面BCC1B1;
（2）当AA1与底面成45°角时，求二面角A1—AC—B的大小；
11.若函数 的定义域被分成了四个不同的单调区间，则实数 的取值范围是
A. B.
C. D.
12.已知 是双曲线 的左、右焦点， 为双曲线左支上一点，若 的最小值为 ，则该双曲线的离心率的取值范围是
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.函数 最小值是.
（3）若D为侧棱AA1上一点，当 为何值时，BD⊥A1C1.
19.（本小题共12分）
甲、乙两个射手进行射击训练，甲击中目标的概率为 ，乙击中目标的概率为 ，每人各射击两发子弹为一个“单位射击组”，若甲击中目标的次数比乙击中目标的次数多，则称此组为“单位进步组”.
（1）求一个“单位射击组”为“单位进步组”的概率；
3．下列四个命题中的真命题为
A． B．
C． D．若 ，则a、b、c成等比数列
4.若圆 与x轴相切,则b的值为
Ａห้องสมุดไป่ตู้-2Ｂ． Ｃ．2Ｄ．不确定
5.如图，ABCD—A1B1C1D1是正方体，则直线BA1与平面DD1B1B所成角的余弦值是
A． B． C． D．
6.已知 ，则向量 与向量 的夹角是
A． B． C． D．
∴当 时，函数 有极小值，
极小值为 ……5分
（2）当 时，∵对任意 ，均有 ，即有对任意 ， 恒成立，
∴对任意 ，只须
由（1）可知，函数 的极小值，即为最小值，∴ ，解得
即 的取值范围为 ……9分
（3）
∵ ， 且 ， ，∴ ，∴ ，
又 ，
∴
∴ ，即 ．……12分
7.若不等式组 所表示的平面区域被直线 分为面积相等的两
部分，则k的值是
A. 1B.2 C. D.
8.已知函数 的最小值为
A．1B． C． D．
9.已知 为偶函数，且 ，当 时， ，若 则
A. B. C. D.
10.将5名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有种
A.240B.150C.60 D. 180
∴ =4
= 。
∵ ，∴k=0时，d取得最小值1。……10分
当k不存在时,过点 的直线方程为x=0,此时交点A、B分别为椭圆C的长轴的两端点，
∴d取最大值4.……12分
综上, d的最大值、最小值存在，分别为4、1．……12分
21．（本小题满分12分）
解（1）由 且 …）
得 ．……2分
（2）由 变形得
，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
C
C
B
D
C
A
C
D
B
D
C
13. 14. 15. 16.②③
17．（本小题共10分）
解：（1）由已知条件及余弦定理得
∴ .
∵ ………………………………5分
（2）
18.（本小题共12分）
证明：（1）连AO,∵⊿ABC为正三角形, ∴AO⊥BC.
又∵A1O⊥面ABC，∴A1O⊥BC，∴BC⊥面A1AO
∴面A1AO⊥面BCC1B1………4分
（2）过O作OE⊥AC于E，连A1E，
∵A1O⊥面ABC，
∴ ，∴∠A1EO即为所求的平面角.
∵正⊿ABC的边长为 ,∠A1AO=45°,
∴ ．
∴二面角A1—AC—B的大小为arctan2．…………8分
（3）过D作DF//A1O交AO于F，则DF⊥面ABC，
连BF，要使BD⊥A1C1，只要使BF⊥AC，
是首项为 公比为 的等比数列
即 （ ）……6分
（3）①当 是偶数时
随 增大而减少
当 为偶数时， 最大值是 ．……9分
当 是奇数时
随 增大而增大且
综上 最大值为 ……12分
22.（本小题满分12分）
解由题意 ， ……2分
（1）当 时，由 得 ，解得 ，
即函数 的单调增区间是 ；
由 得 ，解得 ，即函数 的单调减区间是
∵⊿ABC为正三角形,
∴只要F为△ABC的中心即可，
∴ 时，BD⊥A1C1．…………12分
19.（本小题共12分）
解：（1）设甲击中目标2次时为“单位进步组”的概率为 ，
则
设甲击中目标1次时为“单位进步组”的概率为 ，
则 ．
故一个“单位射击组”成为“单位进步组”的概率为 ．
（2）由（1）知，一个“单位射击组”成为“单位进步组”的概率 不能成为“单位进步组”的概率 . 可能取值为0，1，2，3.