图形中动点问题的专题训练

C

D 1.（2012临沂）已知，在矩形ABCD 中，AB=a ，BC=b ，动点M 从点A 出发沿边AD 向点D 运动．

（1）如图1，当b=2a ，点M 运动到边AD 的中点时，请证明∠BMC=90°；

（2）如图2，当b ＞2a 时，点M 在运动的过程中，是否存在∠BMC=90°，若存在，请给与证明；若不存在，请说明理由； （3）如图

3，当b ＜2a 时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

2. 例8：如图，在矩形ABCD 中，AB=12cm ，BC=6cm ，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2厘米/秒的速度移动；点Q 沿DA 边从点D 开始向点A

以1厘米/秒的速度移动。如果Ｐ、Ｑ同时出发，用t 秒表示

移动的时间（0≤ t ≤6），那么：

（1）当t 为何值时，三角形QAP 为等腰三角形？

（2）求四边形QAPC 的面积，提出一个与计算结果

有关的结论；

（3）当t 为何值时，以点Q 、A 、P 为顶点的三角形

与△ABC 相似？

3.如图，(50)(30).A B --，，，点C 在y 轴的正半轴上，CBO ∠=45，CD AB ∥，

90CDA =∠.点P 从点(40)Q ，出发，沿x 轴向左

以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为t 秒.

（1） 求点C 的坐标；

（2） 当15BCP =∠时，求t 的值；

4. 已知：如图，正比例函数y=ax 的图象与反比例函数y=

k

的图象交于点A (3，2)．

（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；

（2）根据图象回答，在第一象限内，当x 取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？

（3）M (m,n )是反比例函数图象上的一动点，其中0

A 作直线AC ∥y 轴交x 轴于点C ，交直线M

B 于点D ．当四边形OADM 的面积为6时，请判断线段BM 与DM 的大小关系，并说明理由．

5.(2013河南省)如图，在等边三角形ABC 中，6BC cm =,射线AG BC ∥，点E 从点A 出发沿射线AG 以1/cm s 的速度运动，同时点F 从点B 出发沿射线BC 以2/cm s 的速度运动，设运动时间为()t s

（1）连接EF ，当EF 经过AC 边的中点D 时， 求证：CDF ADE ??? （2）填空：

①当为 s 时，四边形ACFE 是菱形；

②当为 s 时，以,,,A F C E 为顶点的四边形是直角梯形。

6、（2013?资阳）在一个边长为a （单位：cm ）的正方形ABCD 中，点E 、M 分别是线段AC ，CD 上的动点，连结DE 并延长交正方形的边于点F ，过点M 作MN ⊥DF 于H ，交AD 于N ．

（1）如图1，当点M 与点C 重合，求证：DF=MN ；

（2）如图2，假设点M 从点C 出发，以1cm/s 的速度沿CD 向点D 运动，点E 同时从点A 出发，以cm/s 速度沿AC 向点C 运动，运动时间为t （t ＞0）；

①判断命题“当点F 是边AB 中点时，则点M 是边CD 的三等分点”的真假，并说明理由． ②连结FM 、FN ，△MNF 能否为等腰三角形？若能，请写出a ，t 之间的关系；若不能，请说明理由．

7. 8、(2013年武汉)已知四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 边上的点，DE 与CF 交于点G ．

（1）如图①，若四边形ABCD 是矩形，且DE ⊥CF ，求证

CD

AD

CF DE =

； （2）如图②，若四边形ABCD 是平行四边形，试探究：当∠B 与∠EGC 满足什么关系时，

使得CD

AD CF DE =

成立？并证明你的结论； （3）如图③，若BA =BC =6，DA =DC =8，∠BAD ＝90°，DE ⊥CF ，请直接写出CF

DE

的值．

E

F G A

B

C

D 第24题图①

第24题图②

A B

C

D F G

E 第24题图③

A

B C

D F G

E

1.解答：（1）证明：∵b=2a ，点M 是AD 的中点， ∴AB=AM=MD=DC=a ，

又∵在矩形ABCD 中，∠A=∠D=90°， ∴∠AMB=∠DMC=45°， ∠BMC=90°． （2）解：存在，

理由：若∠BMC=90°， 则∠AMB=∠DMC=90°， 又∵∠AMB+∠ABM=90°， ∴∠ABM=∠DMC ， 又∵∠A=∠D=90°， ∴△ABM ∽△DMC ， ∴

=

， 设AM=x ，则=

， 整理得：x 2﹣bx+a 2

=0，∵b ＞2a ，a ＞0，b ＞0，

∴△=b 2

﹣4a 2

＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，且两根均大于零，符合题意， ∴当b ＞2a 时，存在∠BMC=90°， （3）解：不成立．

理由：若∠BMC=90°， 由（2）可知x 2

﹣bx+a 2

=0， ∵b ＜2a ，a ＞0，b ＞0，

∴△=b 2﹣4a 2

＜0， ∴方程没有实数根，

∴当b ＜2a 时，不存在∠BMC=90°，即（2）中的结论不成立．

2.分析：（1）当三角形QAP 为等腰三角形时，由于∠A 为直角，只能是AQ=AP ，建立等量关系，t t -=62，即2=t 时，三角形QAP 为等腰三角形；

（2）四边形QAPC 的面积=ABCD 的面积—三角形QDC 的面积—三角形PBC 的面积

=6

)212(21

1221612?--??-?x x =36，

即当P 、Q 运动时，四边形QAPC 的面积不变。

（3）显然有两种情况：△PAQ ∽△ABC ，△QAP ∽△ABC ，

由相似关系得61262=-x

x 或126

62=

-x x ，解之得3=x 或2.1=x

3.解：（1）45BCO CBO ==∠∠， 3.OC OB ∴== 又

点C 在y 轴的正半轴上，

∴点C 的坐标为（0，3） ················································································ 2分

（2）当点P 在点B 右侧时，如图2.

若15BCP =∠，得30PCO =∠. 故tan 303OP OC ==

此时4t =当点P 在点B 左侧时，如图3，由15BCP =∠，

得60PCO =∠，故tan 6033PO OC ==. 此时4t =+.

t ∴的值为4或4+·········································································· 6分

4解：（1）将A(3，2)分别代入y ＝

x

k ，y ＝ax 中， 得2＝3k

，3a ＝2

∴k ＝6，a ＝32 ∴反比例函数的表达式为：y ＝x 6 正比例函数的表达式为y ＝3

2

x

（2）观察图象，得 在第一象限内，当0＜x ＜3时，反比例函数的值大于正比例函数的值

（3）BM ＝DM ∵S △OMB ＝S △OAC ＝

2

1

×|k |＝3 ∴S 矩形OBDC ＝S 四边形OADM + S △OMB +S △OAC ＝3+3+6＝12 即OC·OB ＝12 ∵OC ＝3 ∴OB ＝4 即n ＝4 ∴632

m n == ∴MB ＝

23 MD ＝3－23＝2

3

, ∴MB=MD 5. 证明：∵AG BC ∥ ∴EAD ACB ∠=∠ ∵D 是AC 边的中点 ∴AD CD = 又∵ADE CDF ∠=∠ ∴CDF ADE ??? 【解析】①∵当四边形ACFE 是菱形时，∴AE AC CF EF === 由题意可知：,26AE t CF t ==-，∴6t =

②若四边形ACFE 是直角梯形，此时EF AG ⊥ 过C 作CM AG ⊥于M ，

3AG =，可以得到AE CF AM -=， 即(26)3t t --=，∴3t =，

此时，C F 与重合，不符合题意，舍去。

若四边形若四边形AFCE 是直角梯形，此时AF BC ⊥， ∵△ABC 是等边三角形，F 是BC 中点， ∴23t =，得到3

2

t = 经检验，符合题意。 6.

t=CM=CD

AB=∴

EC AC=

a t=

=t=CD ，∴，∴

，即

=t t=，∴，即

．∴

t=a 7. （1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠ADC ＝90°， ∵DE ⊥CF ，∴∠ADE ＝∠DCF ，∴△ADE ∽△DCF ，∴DC AD

CF DE =

． （2）当∠B+∠EGC ＝180°时，

DC AD

CF DE =

成立，证明如下： 在AD 的延长线上取点M ，使CM ＝CF ，则∠CMF ＝∠CFM ．

∵AB ∥CD ，∴∠A ＝∠CDM ， ∵∠B+∠EGC ＝180°，

∴∠AED ＝∠FCB ，∴∠CMF ＝∠AED ． ∴△ADE ∽△DCM ，

M

E

G

F D

C

B

A

第24题图②

∴DC

AD

CM DE =

，即DC AD CF DE =． （3）2425=CF DE ．