期权价格计算公式

期权价格计算公式
股票的价格变化遵循一维维纳过程，其微分方程如下 dz t s b dt t s a ds ),(),(+=
式中：dz 的差分∆Z 满足如下条件的正态分布
t z ∆=∈∆
在一般情况下，ds 可用下式表示：
sdz sdt ds σμ+=----------- （1）
或表示为：
dz dt s
ds σμ+= 式中：s μ股票价格的期望漂移率，μ 为一个恒定参数；2)(s σ为股票价格波动的方差， σ 为股票价格的波动率，可以通过观察股票价格的动态系列数据获得。

如果存在一个变量 G ，它是股票S 的一种衍生证卷，它的价格是S 和 t 的函数，G(s,t)，那么，S 和G 都受到同一个基本的不确定性因素的影响。

根据ITO 定理，函数G 的行为遵循如下微分方程描述的过程：
Sdz S G dt S S G t G S S G dG σσμ∂∂+∂∂+∂∂+∂∂=)21(2222 -------------（2）
函数G 的漂移率为
222221S S
G t G S S G σμ∂∂+∂∂+∂∂ 方差为
222)(S S
G σ∂∂
如果G 代表股票S 的一种期权，我们想用S 和G 构造一组风险中性的证卷组合。

为此，首先将公式（1）、（2）改写成对应的差分形式：
z S t S S ∆+∆=∆σμ ---------------（3）
z S S
G t S G t G S S G G ∆∂∂+∆∂∂+∂∂+∂∂=∆σμ)21(22 ----------（4） 由于公式（3）、（4）中的z ∆t ∆=∈(）是相同的维纳过程，只要证卷数量的搭配合理，整卷组合就可以消除z ∆。

恰当的证卷组合是：
-1； 卖空一个期权
S G
∂∂+；买入期权价值变化对股票价格的敏感度，也就是他的偏微分那样多的股票。

定义这个证卷组合的价值为∏，表达式为 S S G G ∏∂∂+-= ---------（5）
t ∆时间后，这个证卷组合的价值变化为：
S S G G ∆∂∂+∆-=∆∏ -----------（6）
将（3）、（4）带入（6），消去z ∆，得：
t S S G t G ∆∂∂-∂∂-=∆∏)21(2222σ ---------（7）
由于这个证卷组合是风险中性的，所以，它的收益一定与任何一个无风险证卷的收益相同，就是
∏∏∆=∆t r ---------（8）
将（5）、（7）带入（8），得：
t S S
G G r t S S G t G ∆∂∂-=∆∂∂+∂∂)()21(2222σ 将上式进一步化简，得：
rG S G S S G rS t G =∂∂+∂∂+∂∂222221σ --------（9）
这就是获得诺贝尔奖的Black-Scholes 微分方程。

这个微分方程的解，与它的边界条件有关。

欧式看涨期权的边界条件是，
G=max(S-X,0) 当 t=T 时
欧式看跌期权的边界条件是：
G=max(X-S,0) 当t=T 时
在风险中性世界中，欧式看涨期权到期日的期望价值是： )]0,[max(X S E T -∧
Black-Scholes 证明，欧式看涨期权的价格c 是这个数学期望值的贴现结果，解析表达式为
)()(2)(1d N Xe d SN c t T r ---= ------（10）
其中：
t
T t T r X S d --++=σσ)
)(2/()/ln(21 t T d t T t T r X S d --=---+=σσσ122))(2/()/ln(
式中，N(x)表示标准正态分布变量的累积概率分布函数，所有小于x 的随机变量出现的机会的总和。

同理，看跌期权价格的计算公式如下：
)()(12)(d SN d N Xe p t T r ---=-- ------（11） 返回。