上海市各区县2016届高三上学期期末考试数学理试题汇编：圆锥曲线

（第7题图）yA xF B O上海市各区县2016届高三上学期期末考试数学理试题汇编圆锥曲线一、填空题1、（宝山区2016届高三上学期期末）抛物线212y x =-的准线与双曲线22193x y -=的两条渐近线所围成的三角形的面积等于 ．2、（崇明县2016届高三上学期期末）在△ABC 中，AN ＝4，BC ＝62，∠CBA ＝4π，.若双曲线Γ以 AB 为实轴，且过点C ，则Γ的焦距为3、（奉贤区2016届高三上学期期末）若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p =________4、（虹口区2016届高三上学期期末）如图，已知双曲线C 的右焦点为F ，过它的右顶点A 作实轴的垂线，与其一条渐近线相交于点B C 的焦距为4，OFB ∆为等边三角形（O 为坐标原点，即双曲线 C 的中心），则双曲线C 的方程为_________________.5、（黄浦区2016届高三上学期期末）已知k ∈Z ，若曲线222x y k +=与曲线xy k =无交点，则k = ．6、（金山区2016届高三上学期期末）以椭圆1162522=+y x 的中心为顶点，且以该椭圆的右焦点为焦点的抛物线方程是7、（静安区2016届高三上学期期末）已知抛物线2y ax =的准线方程是14y =-，则a = . 8、（闵行区2016届高三上学期期末）点P 、Q 均在椭圆2222:11x y a a Γ+=-(1)a >上运动，12F F 、是椭圆Γ的左、右焦点，则122PF PF PQ +-的最大值为 .9、（普陀区2016届高三上学期期末）设P 是双曲线22142x y -=上的动点，若P 到两条渐近线的距离分别为12,d d ，则12d d ⋅=_________.10、（松江区2016届高三上学期期末）已知抛物线2:4C y x =的准线为l ，过(1,0)M 且斜率为k 的直线与l 相交于点A ，与抛物线C 的一个交点为B ．若2AM MB =，则 k = ▲ ．11、（杨浦区2016届高三上学期期末）抛物线C 的顶点为原点O ，焦点F 在x 轴正半轴，过焦点且倾斜角为4π的直线l 交抛物线于点,A B ，若AB 中点的横坐标为3，则抛物线C 的方程为_______________.填空题参考答案：1、332、83、224、2213y x -= 5、1±6、y 2=12x7、18、2a9、4310、22± 11、x 4y 2= 12、 13、 14、 15、 16、 17、 二、选择题1、（嘉定区2016届高三上学期期末）已知圆M 过定点)0,2(，圆心M 在抛物线x y 42=上运动，若y 轴截圆M 所得的弦为AB ，则||AB 等于（ ）A ．4B ．3C ．2D ．12、（青浦区2016届高三上学期期末）已知抛物线22(0)y px p =>与双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，若l 为双曲线一、三象限的一条渐近线，则l 的倾斜角所在的区间可能是………………………（ ）. （A ）0,6π⎛⎫⎪⎝⎭ （B ） ,64ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ （C ）,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭ （D ） ,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭3、（松江区2016届高三上学期期末）已知双曲线2215x y m -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为.A 52y x =±.B 55y x =± .C 53y x =± .D 355y x =±选择题参考答案：1、A2、D3、AHJ（第23题图）FMxyA B No三、解答题1、（宝山区2016届高三上学期期末）已知椭圆2212x y +=上两个不同的点A,B 关于直线1(0)2y mx m =+≠对称．（1）若已知)21,0(C ，M 为椭圆上动点，证明：210≤MC ； （2）求实数m 的取值范围；（3）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）．2、（奉贤区2016()221x y -+2()221x y ++其中(),x y 对应点的曲线方程是C ． (1)、求C 的标准方程；(2)、直线1:0l x y m -+=与曲线C 相交于不同两点,M N ，且满足MON ∠为钝角，其中O 为直角坐标原点，求出m 的取值范围．3、（虹口区2016届高三上学期期末）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为,F 短轴的两个端点分别为,A B 、且2,AB =ABF ∆为等边三角形 .(1) 求椭圆C 的方程；(2) 如图，点M 在椭圆C 上且位于第一象 限内，它关于坐标原点O 的对称点为N ； 过点 M 作x 轴的垂线，垂足为H ，直线NH 与椭圆C 交于另一点J ，若12HM HN ⋅=-，试求以线段NJ 为直径的圆的方程；（3）已知12l l 、是过点A 的两条互相垂直的直线，直线1l 与圆22:4O x y +=相交于P Q 、两点，xyOBA直线2l 与椭圆C 交于另一点R ；求PQR ∆面积取最大值时，直线1l 的方程.4、（黄浦区2016届高三上学期期末）已知椭圆Γ：22221x y a b+=（0a b >>），过原点的两条直线1l 和2l 分别与Γ交于点A 、B 和C 、D ，得到平行四边形ACBD ． （1）当ACBD 为正方形时，求该正方形的面积S ．（2）若直线1l 和2l 关于y 轴对称，Γ上任意一点P 到1l 和2l 的距离分别为1d 和2d ，当2212d d +为定值时，求此时直线1l 和2l 的斜率及该定值．（3）当ACBD 为菱形，且圆221x y +=内切于菱形ACBD 时，求a ，b 满足的关系式．5、（嘉定区2016届高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy 内，动点P 到定点)0,1(-F 的距离与P 到定直线4-=x 的距离之比为21． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若轨迹C 上的动点N 到定点)0,(m M （20<<m ）的距离的最小值为1，求m 的值． （3）设点A 、B 是轨迹C 上两个动点，直线OA 、OB 与轨迹C 的另一交点分别为1A 、1B ，且直线OA 、OB 的斜率之积等于43-，问四边形11B ABA 的面积S 是否为定值？请说明理由．6、（金山区2016届高三上学期期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆11224:22=+y x C ，设点()00,y x R 是椭圆C 上一点，从原点O 向圆()()8:2020=-+-y y x x R 作两条切线，切点分别为Q P ,．(1) 若直线OQ OP ,互相垂直，且点R 在第一象限内，求点R 的坐标； (2) 若直线OQ OP ,的斜率都存在，并记为21,k k ，求证：01221=+k k ．7、（静安区2016届高三上学期期末）设P 1和P 2是双曲线22221x y a b-=上的两点，线段P 1P 2的中点为M ，直线P 1P 2不经过坐标原点O .(1)若直线P 1P 2和直线OM 的斜率都存在且分别为k 1和k 2，求证:k 1k 2=22ab ；(2)若双曲线的焦点分别为1(3,0)F -、2(3,0)F ，点P 1的坐标为(2，1) ，直线OM 的斜率为32，求由四点P 1、 F 1、P 2、F 2所围成四边形P 1 F 1P 2F 2的面积.8、（闵行区2016届高三上学期期末） 已知椭圆Γ的中心在坐标原点，且经过点3(1,)2，它的一个焦点与抛物线2:4y x E =的焦点重合． （1）求椭圆Γ的方程；（2）斜率为k 的直线l 过点()1,0F ，且与抛物线E 交于A B 、两点，设点(1,)P k -，PAB △的面积为3k 的值；（3）若直线l 过点()0,M m （0m ≠），且与椭圆Γ交于C D 、两点，点C 关于y 轴的对称点为Q ，直线QD 的纵截距为n ，证明：mn 为定值.9、（浦东新区2016届高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，对于点),(00y x P 、直线:l 0=++c by ax ，我们称0022a bδ=+),(00y x P 到直线:l 0=++c by ax 的方向距离。

（1）设椭圆1422=+y x 上的任意一点),(y x P 到直线02:,02:21=+=-y x l y x l 的方向距离分别为21δδ、，求21δδ的取值范围。

（2）设点)0,(t E -、)0,(t F 到直线l ：02sin 2cos =-+ααy x 的方向距离分别为1η、2η，试问是否存在实数t ，对任意的α都有121=ηη成立？若存在，求出t 的值；不存在，说明理由。

（3）已知直线l ：0=+-n y mx 和椭圆E ：12222=+by a x （0>>b a ），设椭圆E 的两个焦点21,F F 到直线l 的方向距离分别为1λ、2λ满足221b >λλ，且直线l 与x 轴的交点为A 、与y 轴的交点为B ，试比较AB 的长与a b +的大小。

10、（普陀区2016届高三上学期期末）如图，椭圆221259x y +=的左、右两个焦点分别为12,F F ，A 为椭圆的右顶点，点P 在椭圆上且127arccos 8PF F ∠=. （1）计算1PF 的值；（2）求1PF A ∆的面积.O xAy P1F11、（青浦区2016届高三上学期期末）已知椭圆M 的对称轴为坐标轴，且抛物线24y x =的焦点F 是椭圆M 的一个焦点，以F 为圆心，以椭圆M 的短半轴长为半径的圆与直线2220l x y -+=：相切．（1）求椭圆M 的方程；（2）已知直线y x m =+与椭圆M 交于A B 、两点，且椭圆M 上存在点P 满足OP OA OB =+，求m 的值．12、（松江区2016届高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，C 、D 两点的坐标为(1,0),(1,0)C D , 曲线E 上的动点P 满足23PCPD ．又曲线E 上的点A 、B 满足OA OB ⊥．（1）求曲线E 的方程；（2）若点A 在第一象限，且32OA OB =，求点A 的坐标； （3）求证：原点到直线AB 的距离为定值．13、（徐汇区2016届高三上学期期末）已知直线1l 、2l 与曲线()22:10,0W mx ny m n +=>>分别相交于点A 、B 和C 、D ，我们将四边形ABCD 称为曲线W 的内接四边形．（1） 若直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22:1W x y +=分成长度相等的四段弧，求22a b +的值；（2） 若直线12:210,:210l y x l y x ==与圆22:4W x y +=分别交于点A 、B 和C 、D ，求证：四边形ABCD 为正方形；（3） 求证：椭圆22:12x W y +=的内接正方形有且只有一个，并求该内接正方形的面积．14、（杨浦区2016届高三上学期期末）如图，曲线Γ由两个椭圆1T ：()222210x y a b a b +=>>和椭圆2T ：()222210y x b c b c+=>>组成，当,,a b c 成等比数列时，称曲线Γ为“猫眼曲线”.（1）若猫眼曲线Γ过点(0,2M -，且,,a b c 的公比为22，求猫眼曲线Γ的方程；oyx（2） 对于题（1）中的求猫眼曲线Γ，任作斜率为()0k k ≠且不过原点的直线与该曲线相交，交椭圆1T 所得弦的中点为M ，交椭圆2T 所得弦的中点为N ，求证：ONOMk k 为与k 无关的定值； （3） 2的直线l 为椭圆2T 的切线，且交椭圆1T 于点,A B ，N 为椭圆1T 上的任意一点（点N 与点,A B 不重合），求ABN ∆面积的最大值.解答题参考答案1、解：（1）设),,(y x M 则2212x y +=, 于是 22)21(-+=y x MC =22)21(22-+-y y492+--=y y --------------------------------------------------------2分 25)21(2++-=y因11≤≤-y ,所以，当21-=y 时，210max =MC .即210≤MC ----------------------------4分（2）由题意知0m ≠，可设直线AB 的方程为1y x b m=-+. ------------------------------5分由221,21,x y y x b m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩消去y ，得 222222102m b x x b m m +-+-=. --------------------------------------------------------7分 因为直线1y x b m=-+与椭圆2212x y +=有两个不同的交点， 所以,224220b m∆=-++>， 即2221b m <+①----------------------------8分将AB 中点2222(,)22mb m bM m m ++ --------------------------------------------------------9分 代入直线方程12y mx =+解得2222m b m +=-②由①②得63m <-或63m > --------------------------------------------------------10分 （3）令166((0,)t m =∈，即23(0,)2t =， 则 21232212242+++-⋅+=t t t t AB --------------------------------------------11分且O 到直线AB 的距离为22121t d t +=+ -----------------------------------------------12分 设AOB ∆的面积为()S t ，所以222)21(22121)(22≤+--=⋅=t d AB t S --------------------------14分 当且仅当212t =时，等号成立.故AOB ∆面积的最大值为22. ---------------------------------------------------16分2、（1()22221(1)4x y x y -+++= 1分所以点(),P x y 对应的曲线方程C 是椭圆 2分24,2a a =∴= ． 3分 1c = 4分 2,1,3a c b ∴===5分22143x y += 6分 （2）、联立方程组220143x y m x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得22784120x mx m ++-= 7分()2226428412336480m m m ∆=--=-> 8分27m ∴< 9分设1122(,),(,)M x y N x y得2124127m x x -= 10分方法一可计算2123127m y y -= 11分由MON ∠为钝角，则0OM ON ⋅<，12120x x y y +<22412312077m m --+< 12分 所以2247m <13分 24224277m ∴-<< 14分 方法二或者()()()21212121212122x x y y x x x m x m x x m x x m +=+++=+++ 11分()222241287240777m m m m m--=-+=< 12分所以2247m <13分 2424277m ∴-<< 14分 3、解：（1）由题意，得22222,3,,b c b b c a =⎧⎪=⎨⎪+=⎩……(2分)2,1,3.a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩解得故椭圆C 的方程为22 1.4x y += ……(4分) （2）设00(,),M x y 则由条件，知000000,0,(,),(,0).x y N x y H x >>--且 从而000(0,),(,).HM y HN x y ==--于是由200000012(0,)(,),0,22HM HN y x y y y y ⋅=⋅--=-=->=及得 再由点M 在椭圆C 上，得220001, 2.4x y x +==求得 所以22(2,),(2,),(2,0);M N H ……(6分) 进而求得直线NH 的方程: 420.x y -=由22420,1,4x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩71(2,2).510J 求得 ……(8分) 进而22711311(22)(22)34,(22).5102555NJ NJ =+++=-线段的中点坐标为， 因此以线段NJ 为直径的圆的方程为：2211153(2)(2).5550x y += ……(10分) （3）当直线1l 的斜率不存在时，直线2l 与椭圆C 相切于点A ，不合题意；当直线1l的斜率为0时，可以求得2 3.PQR S ∆= ……(12分)当直线1l 的斜率存在且不为0时，设其方程为1(0),y k x k =-≠则点O 到直线1l 的距离为21d k =+从而由几何意义，得2224342,1k PQ d k +=-=+由于21,l l ⊥故直线2l 的方程为11,y x k=--可求得它与椭圆C 的交点R 的坐标为22284,;44k k k k ⎛⎫--- ⎪++⎝⎭于是2222228481144k k k AR k k ⎛⎫-+⎛⎫=-+-+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭212843PQRS PQ AR k ∆+⋅==故 ……(15分) 2433,u k =+>令则232321613131313PQR u u u uS ∆=≤++= 当且仅当1013(3),u k =>=即时，上式取等号. 161323,13>故当10k =时，()max 161313PQR S ∆=此时直线1l的方程为：101.y x =-（也可写成 10220.x y ±++=） ……(18分)4、[解]（1）因为ACBD 为正方形，所以直线1l 和2l 的方程为y x =和y x =-．（1分）点A 、B 的坐标11(,)x y 、22(,)x y 为方程组2222,1y x x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩的实数解，将y x =代入椭圆方程，解得22221222a b x x a b==+． 根据对称性，可得正方形ACBD 的面积22212244a S b a b x =+=．（4分）（2）由题设，不妨设直线1l 的方程为y kx =（0k ≠），于是直线2l 的方程为y kx =-．设00(,)P x y ，于是有2200221x y a b +=，又00121d k =+00221d k =+，（6分）222222200000012222()()22111kx y kx y k x y d d k k k -+++=+=+++，将2220021x y b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭代入上式， 得22222222000222212222212211x b k x b k x b a a d d k k ⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+==++，（8分）对于任意0[,]x a a ∈-，上式为定值，必有2220b k a -=，即b k a=±，（9分）因此，直线1l 和2l 的斜率分别为b a 和b a-，此时222212222a b d d a b +=+．（10分）（3）设AC 与圆221x y +=相切的切点坐标为00(,)x y ，于是切线AC 的方程为001x x y y +=．点A 、C 的坐标11(,)x y 、22(,)x y 为方程组22220011x y x x y y ab ⎧+=+=⎪⎨⎪⎩的实数解．① 当00x =或00y =时，ACBD 均为正方形，椭圆均过点(1,1)，于是有22111a b+=．（11分）② 当00x ≠且00y ≠时，将001(1)y x x y =-代入22221x y a b+=，整理得222222222000()2(1)0b y a x x x a x a b y +-+-=，于是222012222200(1)a b y x x b y a x -=+，（13分） 同理可得222012222200(1)b a x y y b y a x -=+．（15分） 因为ACBD 为菱形，所以AO CO ⊥，得0AO CO ⋅=，即12120x x y y +=，（16分）于是22222200222222220000(1)(1)0a b y b a x b y a x b y a x --+=++，整理得22222200()a b a b x y +=+，由22001x y +=， 得2222a b a b +=，即22111a b +=．（18分）综上，a ，b满足的关系式为22111a b +=．5、（1）设),(y x P ，由题意，21|4|)1(22=+++x y x ， ……………………………（2分）化简得124322=+y x ， ………………（3分）所以，动点P 的轨迹C 的方程为13422=+y x ． ………………………………（4分） （2）设),(y x N ，则3241413)()(||2222222++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=+-=m mx x x m x y m x MN )1(3)4(4122m m x -+-=，22≤≤-x ． ………………………………（2分） ①当240≤<m ，即210≤<m 时，当m x 4=时，2||MN 取最小值1)1(32=-m ，解得322=m ，36=m ，此时2364>=x ，故舍去． …………………（4分） ②当24>m ，即221<<m 时，当2=x 时，2||MN 取最小值1442=+-m m ， 解得1=m ，或3=m （舍）． …………………………………………………（6分） 综上，1=m ．（3）解法一：设),(11y x A ，),(22y x B ，则由43-=⋅OB OA k k ，得432121-=x x y y ，（1分）221221)()(||y y x x AB -+-=，因为点A 、B 在椭圆C 上，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132121x y ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132222x y ， 所以，22212221169y y x x =)4)(4(92221x x --=，化简得42221=+x x ． …………（2分）①当21x x =时，则四边形11B ABA 为矩形，12y y -=，则432121=x y ，由⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132121x y ，得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=413432121x x ，解得221=x ，2321=y ， ||||4||||111y x B A AB S =⋅=34=． ……………………………………（3分） ②当21x x ≠时，直线AB 的方向向量为),(1212y y x x d --=，直线AB 的方程为)()(21121212=-+---y x y x y x x x y y ，原点O到直线AB的距离为2122121221)()(||y y x x y x y x d -+--=所以，△AOB 的面积||21||211221y x y x d AB S AOB -=⋅⋅=∆， 根据椭圆的对称性，四边形11B ABA 的面积AOB S S ∆=4||21221y x y x -=，……（4分） 所以，)2(4)(4212221212221212212y x y y x x y x y x y x S +-=-=48)(124132341342221212222212221=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x x x x x ，所以34=S ． 所以，四边形11B ABA 的面积为定值34． ……………………………………（6分）解法二：设),(11y x A ，),(22y x B ，则),(111y x A --，),(221y x B --， 由43-=⋅OB OA k k ，得432121-=x x y y ， …………………………………………（1分）因为点A 、B 在椭圆C 上，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132121x y ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132222x y ， 所以，22212221169y y x x =)4)(4(92221x x --=，化简得42221=+x x ． …………（2分） 直线OA 的方程为011=-y x x y ，点B 到直线OA 的距离21211221||yx y x y x d +-=，△1ABA 的面积||||21122111y x y x d AA S ABA -=⋅⋅=∆， ……………………（3分） 根据椭圆的对称性，四边形11B ABA 的面积12ABA S S ∆=||21221y x y x -=，……（4分）所以， )2(4)(4212221212221212212y x y y x x y x y x y x S +-=-=48)(124132341342221212222212221=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x x x x x ，所以34=S ． 所以，四边形11B ABA 的面积为定值34． ………………………………（6分） 解法三：设),(11y x A ，),(22y x B ，则),(111y x A --，),(221y x B -- 由43-=⋅OB OA k k ，得432121-=x x y y ， …………………………………………（1分）因为点A 、B 在椭圆C 上，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132121x y ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=4132222x y ， 所以，22212221169y y x x =)4)(4(92221x x --=，化简得42221=+x x ． …………（2分）△1ABA 的面积111211112111y x y x y x S ABA --=∆||1221y x y x -=， ……………………（3分） 根据椭圆的对称性，四边形11B ABA 的面积12ABA S S ∆=||21221y x y x -=，……（4分） 所以，所以，)2(4)(4212221212221212212y x y y x x y x y x y x S +-=-=48)(124132341342221212222212221=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x x x x x ，所以34=S ．所以，四边形11B ABA 的面积为定值34． ……………………………………（6分）6、解：(1)由题意得：圆R 的半径为22，因为直线OQ OP ,互相垂直，且与圆R 相切，所以四边形OPRQ 为正方形，故42==r OR ，即162020=+y x ① ………………3分 又()00,y x R 在椭圆C 上，所以11224:220=+y x C ②…………………………………5分 由①②及R 在第一象限，解得2200==y x ,…………………………………………7分(2)证明：因为直线OP ：y=k 1x ，OQ ：y=k 2x 均与圆R 相切，……………………8分 所以221||21001=+-k y x k ，化简得082)8(201002120=-+--y k y x k x同理有082)8(202002220=-+--y k y x k x ………………………………………………10分所以k 1、k 2是方程082)8(2000220=-+--y k y x k x 的两个不相等的实数根，所以88202021--=x y k k ，………………………………………………………………………11分又因为()00,y x R 在椭圆C 上，所以11224:2020=+y x C ， 即20202112x y -=，所以218214202021-=--=x x k k ，即2k 1k 2+1=0．………………………14分7、(1)解法1：设不经过点O 的直线P 1P 2方程为1y k x l =+，代入双曲线22221x y a b -=方程得：22222222211()20b a k x a k lx a b a l ----=.设 P 1坐标为11(,)x y ，P 2坐标为22(,)x y ，中点坐标为M (x,y),则1212,22x x y y x y ++==，211222212a k lx x b a k +=-， 222121212121y y b a k k k x x a k +-==++，所以，2222221211a k k a k b a k =+-，k 1k 2=22b a 。