上海市各区县2016届高三上学期期末考试数学理试题汇编：圆锥曲线
（第7题图）
y
A x
F B O
上海市各区县2016届高三上学期期末考试数学理试题汇编
圆锥曲线
一、填空题
1、（宝山区2016届高三上学期期末）抛物线2
12y x =-的准线与双曲线22
193
x y -=的两条渐近线所围成的三角形的面积等于 ．
2、（崇明县2016届高三上学期期末）在△ABC 中，AN ＝4，BC ＝62，∠CBA ＝4
π
，.若双曲线Γ以 AB 为实轴，且过点C ，则Γ的焦距为
3、（奉贤区2016届高三上学期期末）若抛物线2
2(0)y px p =>的准线经过双曲线2
2
1x y -=的一个焦点，则p =________
4、（虹口区2016届高三上学期期末）如图，已知双曲线C 的右焦点为F ，过它的右顶点A 作实轴的垂线，与其一条渐近线相交于点B C 的焦距为4，OFB ?为等边三角形（O 为坐标原点，即双曲线 C 的中心），则双曲线C 的方程为_________________.
5、（黄浦区2016届高三上学期期末）已知k ∈Z ，若曲线222
x y k +=与曲线
xy k =无交点，则k = ．
6、（金山区2016届高三上学期期末）以椭圆
116
252
2=+y x 的中心为顶点，且以该椭圆的右焦点为焦点的抛物线方程是
7、（静安区2016届高三上学期期末）已知抛物线2
y ax =的准线方程是1
4
y =-
，则a = . 8、（闵行区2016届高三上学期期末）点P 、Q 均在椭圆22
22
:11
x y a a Γ+=-(1)a >上运动，12F F 、是椭圆Γ的左、右焦点，则122PF PF PQ +-的最大值为 .
9、（普陀区2016届高三上学期期末）设P 是双曲线22
142
x y -=上的动点，若P 到两条渐近线的距
离分别为12,d d ，则12d d ?=_________.
10、（松江区2016届高三上学期期末）已知抛物线2
:4C y x =的准线为l ，过(1,0)M 且斜率为k 的直线与l 相交于点A ，与抛物线C 的一个交点为B ．若2AM MB =，则 k = ▲ ．
11、（杨浦区2016届高三上学期期末）抛物线C 的顶点为原点O ，焦点F 在x 轴正半轴，过焦点
且倾斜角为
4
π
的直线l 交抛物线于点,A B ，若AB 中点的横坐标为3，则抛物线C 的方程为_______________.
填空题参考答案：
1、33
2、8
3、22
4、2
213
y x -= 5、1±
6、y 2=12x
7、1
8、2a
9、
4
3
10、22± 11、x 4y 2
= 12、 13、 14、 15、 16、 17、 二、选择题
1、（嘉定区2016届高三上学期期末）已知圆M 过定点)0,2(，圆心M 在抛物线x y 42
=上运动，若y 轴截圆M 所得的弦为AB ，则||AB 等于（ ）
A ．4
B ．3
C ．2
D ．1
2、（青浦区2016届高三上学期期末）已知抛物线2
2(0)y px p =>与双曲线
22
22
1(0,0)x y a b a b -=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，若l 为双曲线一、三象限的一条渐近线，则l 的倾斜角所在的区间可能是………………………（ ）. （A ）0,
6π??
??? （B ） ,64ππ?? ??? （C ）,43ππ??
??? （D ） ,32ππ??
???
3、（松江区2016届高三上学期期末）已知双曲线
22
15
x y m -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点相同，则此双曲线的渐近线方程为
.A 52y x =±
.B 55y x =± .C 53y x =± .D 355
y x =±
选择题参考答案：
1、A
2、D
3、A
H
J
（第23题图）
F
M
x
y
A B N
o
三、解答题
1、（宝山区2016届高三上学期期末）已知椭圆2
212
x y +=上两个不同的点A,B 关于直线1
(0)2
y mx m =+≠对称．
（1）若已知)21
,0(C ，M 为椭圆上动点，证明：2
10≤MC ； （2）求实数m 的取值范围；
（3）求AOB ?面积的最大值（O 为坐标原点）．
2、（奉贤区2016()
2
21x y -+2()
2
21x y ++其中(),x y 对应点的曲线方程是C ． (1)、求C 的标准方程；
(2)、直线1:0l x y m -+=与曲线C 相交于不同两点,M N ，且满足MON ∠为钝角，其中O 为直角坐标原点，求出m 的取值范围．
3、（虹口区2016届高三上学期期末）
已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为,F 短轴的两个端点分别为,A B 、且
2,AB =ABF ?为等边三角形 .
(1) 求椭圆C 的方程；
(2) 如图，点M 在椭圆C 上且位于第一象 限内，它关于坐标原点O 的对称点为N ； 过点 M 作x 轴的垂线，垂足为H ，直线NH 与椭圆
C 交于另一点J ，若12
HM HN ?=-，试求以线段NJ 为直径的圆的方程；
（3）已知12l l 、是过点A 的两条互相垂直的直线，直线1l 与圆22
:4O x y +=相交于P Q 、两点，
x
y
O
B
A
直线2l 与椭圆C 交于另一点R ；求PQR ?面积取最大值时，直线1l 的方程.
4、（黄浦区2016届高三上学期期末）已知椭圆Γ：22
221x y a b
+=（0a b >>），过原点的两条直线1
l 和2l 分别与Γ交于点A 、B 和C 、D ，得到平行四边形ACBD ． （1）当ACBD 为正方形时，求该正方形的面积S ．
（2）若直线1l 和2l 关于y 轴对称，Γ上任意一点P 到1l 和2l 的距离分别为1d 和2d ，当22
12d d +为
定值时，求此时直线1l 和2l 的斜率及该定值．
（3）当ACBD 为菱形，且圆221x y +=内切于菱形ACBD 时，求a ，b 满足的关系式．
5、（嘉定区2016届高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy 内，动点P 到定点)0,1(-F 的距离与P 到定直线4-=x 的距离之比为
2
1
． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；
（2）若轨迹C 上的动点N 到定点)0,(m M （20< 3 -，问四边形11B ABA 的面积S 是否为定值？请说明理由． 6、（金山区2016届高三上学期期末）在平面直角坐标系中，已知椭圆112 24:2 2=+y x C ，设点()00,y x R 是椭圆C 上一点，从原点O 向圆()()8:2 02 0=-+-y y x x R 作两条切线，切点分别为Q P ,． (1) 若直线OQ OP ,互相垂直，且点R 在第一象限内，求点R 的坐标； (2) 若直线OQ OP ,的斜率都存在，并记为21,k k ，求证：01221=+k k ． 7、（静安区2016届高三上学期期末）设P 1和P 2是双曲线22 221x y a b -=上的两点，线段P 1P 2的中点 为M ，直线P 1P 2不经过坐标原点O . (1)若直线P 1P 2和直线OM 的斜率都存在且分别为k 1和k 2，求证:k 1k 2=22 a b ； (2)若双曲线的焦点分别为1(3,0)F -、2(3,0)F ，点P 1的坐标为(2，1) ，直线OM 的斜率为 3 2 ，求由四点P 1、 F 1、P 2、F 2所围成四边形P 1 F 1P 2F 2的面积. 8、（闵行区2016届高三上学期期末） 已知椭圆Γ的中心在坐标原点，且经过点3(1,)2 ，它的一个焦点与抛物线2 :4y x E =的焦点重合． （1）求椭圆Γ的方程； （2）斜率为k 的直线l 过点()1,0F ，且与抛物线E 交于A B 、两点，设点(1,)P k -，PAB △的面积为3k 的值； （3）若直线l 过点()0,M m （0m ≠），且与椭圆Γ交于C D 、两点，点C 关于y 轴的对称点为Q ，直线QD 的纵截距为n ，证明：mn 为定值. 9、（浦东新区2016届高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，对于点),(00y x P 、直线 :l 0=++c by ax ，我们称002 2 a b δ= +),(00y x P 到直线:l 0=++c by ax 的方向距离。 （1）设椭圆14 22 =+y x 上的任意一点),(y x P 到直线02:,02:21=+=-y x l y x l 的方向距离分别为21δδ、 ，求21δδ的取值范围。 （2）设点)0,(t E -、)0,(t F 到直线l ：02sin 2cos =-+ααy x 的方向距离分别为1η、2η，试问是否存在实数t ，对任意的α都有121=ηη成立？若存在，求出t 的值；不存在，说明理由。 （3）已知直线l ：0=+-n y mx 和椭圆E ：122 22=+b y a x （0>>b a ），设椭圆E 的两个焦点2 1,F F 到直线l 的方向距离分别为1λ、2λ满足2 21b >λλ，且直线l 与x 轴的交点为A 、与y 轴的交点为B ， 试比较AB 的长与a b +的大小。 10、（普陀区2016届高三上学期期末）如图，椭圆22 1259x y +=的左、右两个焦点分别为12,F F ，A 为 椭圆的右顶点，点P 在椭圆上且127arccos 8 PF F ∠=. （1）计算1PF 的值； （2）求1PF A ?的面积. O x A y P 1 F 11、（青浦区2016届高三上学期期末）已知椭圆M 的对称轴为坐标轴，且抛物线2 4y x =的焦点 F 是椭圆M 的一个焦点，以F 为圆心，以椭圆M 的短半轴长为半径的圆与直线 2220l x y -+=：相切． （1）求椭圆M 的方程； （2）已知直线y x m =+与椭圆M 交于A B 、两点，且椭圆M 上存在点P 满足OP OA OB =+，求m 的值． 12、（松江区2016届高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，C 、D 两点的坐标为(1,0),(1,0)C D , 曲线E 上的动点P 满足23PC PD ．又曲线E 上的点A 、B 满足 OA OB ⊥． （1）求曲线E 的方程； （2）若点A 在第一象限，且3 2 OA OB = ，求点A 的坐标； （3）求证：原点到直线AB 的距离为定值． 13、（徐汇区2016届高三上学期期末）已知直线1l 、2l 与曲线()2 2 :10,0W mx ny m n +=>>分别 相交于点A 、B 和C 、D ，我们将四边形ABCD 称为曲线W 的内接四边形． （1） 若直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22 :1W x y +=分成长度相等的四段弧，求 22a b +的值； （2） 若直线12:210,:210l y x l y x ==与圆2 2 :4W x y +=分别交于点A 、B 和C 、D ， 求证：四边形ABCD 为正方形； （3） 求证：椭圆2 2:12 x W y +=的内接正方形有且只有一个，并求该内接正方形的面积． 14、（杨浦区2016届高三上学期期末）如图，曲线Γ由两个椭圆1T ：()22 2210x y a b a b +=>>和 椭圆2T ：()22 2210y x b c b c +=>>组成，当,,a b c 成等比数列时，称曲线Γ为“猫眼曲线”. （1）若猫眼曲线Γ过点(0,2M -，且,,a b c 的公比为 2 2 ，求猫眼曲线Γ的方程； o y x （2） 对于题（1）中的求猫眼曲线Γ，任作斜率为()0k k ≠且不过原点的直线与该曲线相交，交 椭圆1T 所得弦的中点为M ，交椭圆2T 所得弦的中点为N ，求证： ON OM k k 为与k 无关的定值； （3） 2的直线l 为椭圆2T 的切线，且交椭圆1T 于点,A B ，N 为椭圆1T 上的任意一点（点 N 与点,A B 不重合），求ABN ?面积的最大值. 解答题参考答案 1、解：（1）设),,(y x M 则2 212 x y +=, 于是 22)21(-+=y x MC =22)2 1 (22-+-y y 4 9 2+ --= y y --------------------------------------------------------2分 2 5)21(2++-= y 因11≤≤-y , 所以，当2 1- =y 时，210max =MC .即210≤MC ----------------------------4分 （2）由题意知0m ≠，可设直线AB 的方程为1 y x b m =- +. ------------------------------5分 由2 21,21,x y y x b m ?+=????=-+?? 消去y ，得 222 2 22102m b x x b m m +-+-=. --------------------------------------------------------7分 因为直线1 y x b m =-+与椭圆2212x y +=有两个不同的交点， 所以,2 24 220b m ?=-++>， 即2 2 21b m <+ ①----------------------------8分 将AB 中点22 22(,)22mb m b M m m ++ --------------------------------------------------------9分 代入直线方程1 2 y mx =+解得22 22m b m +=- ② 由①②得63m <- 或6 3 m > --------------------------------------------------------10分 （3）令166((0,)t m = ∈，即23 (0,)2 t =， 则 2 1 23 2212242+ + +-? += t t t t AB --------------------------------------------11分 且O 到直线AB 的距离为221 21 t d t + = + -----------------------------------------------12分 设AOB ?的面积为()S t ，所以 2 22)21(22121)(22≤+--=?= t d AB t S --------------------------14分 当且仅当2 1 2 t = 时，等号成立. 故AOB ?面积的最大值为2 2 . ---------------------------------------------------16分 2、（1()2 2221(1)4x y x y -+++= 1分 所以点(),P x y 对应的曲线方程C 是椭圆 2分 24,2a a =∴= ． 3分 1c = 4分 2,1,3a c b ∴=== 5分 22 143 x y += 6分 （2）、联立方程组220 143 x y m x y -+=???+ =??消去y ，得22 784120x mx m ++-= 7分 () 2226428412336480m m m ?=--=-> 8分 27m ∴< 9分 设1122(,),(,)M x y N x y 得212412 7 m x x -= 10分 方法一 可计算212312 7 m y y -= 11分 由MON ∠为钝角，则0OM ON ?<，12120x x y y +< 22412312 077 m m --+< 12分 所以2 24 7 m < 13分 242242 77 m ∴- << 14分 方法二 或者()()()2 1212121212122x x y y x x x m x m x x m x x m +=+++=+++ 11分 ( )222 2412 872407 7 7 m m m m m --= -+=< 12分 所以2 24 7 m < 13分 24242 77 m ∴- << 14分 3、解：（1）由题意，得22222,3,,b c b b c a =? ?=??+=? ……(2分) 2, 1,3. a b c ?=?=?? =?解得 故椭圆C 的方程为22 1.4 x y += ……(4分) （2）设00(,),M x y 则由条件，知000000,0,(,),(,0).x y N x y H x >>--且 从而000(0,),(,).HM y HN x y ==-- 于是由2 000000 12(0,)(,),0,22 HM HN y x y y y y ?=?--=-=->=及得 再由点M 在椭圆C 上，得2 20001, 2.4 x y x +==求得 所以22(2, ),(2,),(2,0);M N H ……(6分) 进而求得直线NH 的方程: 420.x y -= 由22420, 1,4 x y x y ?-=??+=? ?71 (2,2).510J 求得 ……(8分) 进而2271 1311 ( 22)( 22)34,(22).510 2 555 NJ NJ =+++ = -线段的中点坐标为， 因此以线段NJ 为直径的圆的方程为：2211153 (2)(2).5550 x y += ……(10分) （3）当直线1l 的斜率不存在时，直线2l 与椭圆C 相切于点A ，不合题意；当直线1l 的斜率为0时，可以求得2 3.PQR S ?= ……(12分) 当直线1l 的斜率存在且不为0时，设其方程为1(0),y k x k =-≠则点O 到直线1l 的距离为 2 1 d k = +从而由几何意义，得22 243 42,1k PQ d k +=-=+ 由于21,l l ⊥故直线2l 的方程为11,y x k =--可求得它与椭圆C 的交点R 的坐标为 22284,;44k k k k ??--- ?++??于是2 2 2222 8481144k k k AR k k ??-+? ?=-+-+= ? ?++???? 212843 PQR S PQ AR k ?+?==故 ……(15分) 2433,u k =+>令则232321613131313 PQR u u u u S ?=≤++= 当且仅当10 13(3),u k =>=即时，上式取等号. 161323,13>故当10k =时，()max 161313 PQR S ?=此时直线1l 的方程为： 10 1.y x =-（也可写成 10220.x y ±++=） ……(18分) 4、[解]（1）因为ACBD 为正方形，所以直线1l 和2l 的方程为y x =和y x =-．（1分） 点A 、B 的坐标11(,)x y 、22(,)x y 为方程组222 2,1y x x y a b =?? ?+=??的实数解， 将y x =代入椭圆方程，解得2222 1222 a b x x a b ==+． 根据对称性，可得正方形ACBD 的面积222 122 44a S b a b x =+=．（4分） （2）由题设，不妨设直线1l 的方程为y kx =（0k ≠），于是直线2l 的方程为y kx =-． 设00(,)P x y ，于是有22 00 221x y a b +=，又00121d k =+00221d k =+，（6分） 22222 2 200000012 222()()22111kx y kx y k x y d d k k k -+++=+=+++，将2220021x y b a ??=- ??? 代入上式， 得2 222 2 22 2 00 02222 12222212211 x b k x b k x b a a d d k k ????+--+ ? ?????+==++，（8分） 对于任意0[,]x a a ∈-，上式为定值，必有22 20b k a -=，即b k a =±，（9分） 因此，直线1l 和2l 的斜率分别为b a 和b a -，此时2222 12222a b d d a b +=+．（10分） （3）设AC 与圆221x y +=相切的切点坐标为00(,)x y ，于是切线AC 的方程为001x x y y +=． 点A 、C 的坐标11(,)x y 、22(,)x y 为方程组222 20011x y x x y y a b ?+=+=? ???的实数解． ① 当00x =或00y =时，ACBD 均为正方形，椭圆均过点(1,1)，于是有2211 1a b +=．（11分） ② 当00x ≠且00y ≠时，将001(1)y x x y =-代入22 221x y a b +=， 整理得2 22 22222 20 00 ()2(1)0b y a x x x a x a b y +-+-=，于是222 0122222 00 (1) a b y x x b y a x -=+，（13分） 同理可得222 0122222 00 (1) b a x y y b y a x -=+．（15分） 因为ACBD 为菱形，所以AO CO ⊥，得0AO CO ?=，即12120x x y y +=，（16分） 于是222222 0022 222222 0000 (1)(1)0a b y b a x b y a x b y a x --+=++，整理得22222200()a b a b x y +=+，由22 001x y +=， 得2222a b a b +=，即22111a b +=．（18分）综上，a ，b 满足的关系式为22 11 1a b +=． 5、（1）设),(y x P ，由题意，2 1 |4|)1(22=+++x y x ， ……………………………（2分） 化简得12432 2 =+y x ， ………………（3分） 所以，动点P 的轨迹C 的方程为13 422=+y x ． ………………………………（4分） （2）设),(y x N ，则3241413)()(||2 222 2 2 2 ++-=???? ? ?-+-=+-=m mx x x m x y m x MN )1(3)4(4 1 22m m x -+-=，22≤≤-x ． ………………………………（2分） ①当240≤ 10≤ ||MN 取最小值1)1(32=-m ， 解得3 2 2 = m ，36=m ，此时2364>= x ，故舍去． …………………（4分） ②当24>m ，即 22 1 < （3）解法一：设),(11y x A ，),(22y x B ，则由4 3 - =?OB OA k k ，得432121-=x x y y ，（1分） 221221)()(||y y x x AB -+-=， 因为点A 、B 在椭圆C 上，所以???? ??-=413212 1 x y ，???? ? ?-=4132 22 2x y ， 所以，22212221169y y x x =)4)(4(92221x x --=，化简得42 221=+x x ． …………（2分） ①当21x x =时，则四边形11B ABA 为矩形，12y y -=，则43 2121=x y ， 由???? ??-=413212 1 x y ，得??? ? ??-=413432121x x ，解得221=x ，232 1=y ， ||||4||||111y x B A AB S =?=34=． ……………………………………（3分） ②当21x x ≠时，直线AB 的方向向量为),(1212y y x x d --= ，直线AB 的方程为 )()(21121212=-+---y x y x y x x x y y ，原点 O 到直线 AB 的距离为 2 122 121221) ()(||y y x x y x y x d -+--= 所以，△AOB 的面积||2 1 ||211221y x y x d AB S AOB -=??= ?， 根据椭圆的对称性，四边形11B ABA 的面积AOB S S ?=4||21221y x y x -=，……（4分） 所以，)2(4)(42 12 221212 22 12 12212 y x y y x x y x y x y x S +-=-= 48)(124132341342 221212222212 221=+=?????????? ??-++???? ? ?-=x x x x x x x x ，所以34=S ． 所以，四边形11B ABA 的面积为定值34． ……………………………………（6分） 解法二：设),(11y x A ，),(22y x B ，则),(111y x A --，),(221y x B --， 由4 3 - =?OB OA k k ，得432121-=x x y y ， …………………………………………（1分） 因为点A 、B 在椭圆C 上，所以???? ??-=413212 1 x y ，??? ? ??-=4132 22 2x y ， 所以，22212221169y y x x =)4)(4(92221x x --=，化简得42 221=+x x ． …………（2分） 直线OA 的方程为011=-y x x y ，点B 到直线OA 的距离21 2 1 1221||y x y x y x d +-= ， △1ABA 的面积||||2 1 122111y x y x d AA S ABA -=??= ?， ……………………（3分） 根据椭圆的对称性，四边形11B ABA 的面积12ABA S S ?=||21221y x y x -=，……（4分） 所以， )2(4)(42 12 221212 22 12 12212 y x y y x x y x y x y x S +-=-= 48)(124132341342 221212222212 221=+=?????????? ??-++???? ? ?-=x x x x x x x x ，所以34=S ． 所以，四边形11B ABA 的面积为定值34． ………………………………（6分） 解法三：设),(11y x A ，),(22y x B ，则),(111y x A --，),(221y x B -- 由4 3 - =?OB OA k k ，得432121-=x x y y ， …………………………………………（1分） 因为点A 、B 在椭圆C 上，所以???? ??-=413212 1 x y ，??? ? ??-=4132 22 2x y ， 所以，22212221169y y x x =)4)(4(92221x x --=，化简得42 221=+x x ． …………（2分） △1ABA 的面积1 11 211 1 12 11 1 y x y x y x S ABA --=?||1221y x y x -=， ……………………（3分） 根据椭圆的对称性，四边形11B ABA 的面积12ABA S S ?=||21221y x y x -=，……（4分） 所以，所以，)2(4)(42 12 221212 22 12 12212 y x y y x x y x y x y x S +-=-= 48)(124132341342221212222212 221=+=?????????? ??-++???? ? ?-=x x x x x x x x ，所以34=S ． 所以，四边形11B ABA 的面积为定值34． ……………………………………（6分） 6、解：(1)由题意得：圆R 的半径为22，因为直线OQ OP ,互相垂直，且与圆R 相切，所以四边形OPRQ 为正方形，故42== r OR ，即162 020 =+y x ① ………………3分 又()00,y x R 在椭圆C 上，所以112 24: 2 20=+y x C ②…………………………………5分 由①②及R 在第一象限，解得2200==y x ,…………………………………………7分 (2)证明：因为直线OP ：y=k 1x ，OQ ：y=k 2x 均与圆R 相切，……………………8分 所以 221||2 1001=+-k y x k ，化简得082)8(201002120 =-+--y k y x k x 同理有082)8(2 02002220=-+--y k y x k x ………………………………………………10分 所以k 1、k 2是方程082)8(2 000220=-+--y k y x k x 的两个不相等的实数根， 所以88 202 021--=x y k k ，………………………………………………………………………11分 又因为()00,y x R 在椭圆C 上，所以112 24: 20 20=+y x C ， 即20202 112x y -=，所以2182142 020 21-=-- =x x k k ，即2k 1k 2+1=0．………………………14分 7、(1)解法1：设不经过点O 的直线P 1P 2方程为1y k x l =+，代入双曲线22 221x y a b -=方程得： 22222222211()20b a k x a k lx a b a l ----=. 设 P 1坐标为11(,)x y ，P 2坐标为22(,)x y ，中点坐标为M (x,y),则121 2 ,22 x x y y x y ++= =，21122 22 1 2a k l x x b a k +=-， 222121212121 y y b a k k k x x a k +-==+ +，所以，222222 1211a k k a k b a k =+-，k 1k 2=22b a 。 另解：设P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2)，中点M (x,y),则 1212,22x x y y x y ++==且22 112 222 2222 1(1)1(2) x y a b x y a b ?-=????-=?? （1）-（2）得： 1212121222 ()()()() 0x x x x y y y y a b +-+--=。 因为,直线P 1P 2和直线OM 的斜率都存在,所以(x 1+x 2)(x 1-x 2)≠0， 等式两边同除以(x 1+x 2)(x 1-x 2)，得： 121222 121211 0y y y y a x x x x b +--??=+- 即 k 1k 2=2 2b a 。…………6分 （2）由已知得2222221 1, 3 a b a b ?-=???+=? ,求得双曲线方程为2212x y -=， 直线P 1 P 2斜率为22b a 31 23 ÷=， 直线P 1 P 2方程为1 1(2)3 y x -= -, 代入双曲线方程可解得 210 1 (,)77P --(中点M 坐标为23 (,)77. 面积 12121883 327F F y y ?-== 另解: 线段P 1 P 2中点M 在直线3 2 y x =上.所以由中点M((x ,y ),可得点P 2的坐标为2(22,31)P x x --,代入双曲线方程可得2 2(22)(31)12x x ---=,即2720x x -=，解得27x = （37y =），所以2101 (,)77 P --。面积12121833277F F y y ?-== 8、[解]（1）设椭圆的方程为()2 2 2210x y a b a b +=>>，由题设得22 221 9141 a b a b ?+=???=+? ，…2分 2243 a b ?=∴?=?，∴椭圆Γ的方程是22 143x y += …………………………4分 （2）设直线:(1)l y k x =-，由2 (1),4, y k x y x =-??=?得2222 2(2)0k x k x k -++= l 与抛物线E 有两个交点，0k ≠，216(1)0k ?=+>， 则42422 2 4(44)44(1)1k k k k AB k k ++-+=+= …………………………6分 (1,)P k -到l 的距离2 31 k d k = +，又43PAB S =△222314(1)4321 k k k k +∴?=+ 22433k k =+，故3k =． ………………………10分 （3） ()()1122,,,C x y D x y ，点C 关于y 轴的对称点为11(,)Q x y -， 则直线211121:()y y CD y y x x x x --=--，设0x =得121211212121 ()x y y x y x y m y x x x x --=-=-- 直线211121:()y y QD y y x x x x --= ++，设0x =得121211212121 ()x y y x y x y n y x x x x -+=+=++14分 2222 211222 21 x y x y mn x x -∴=-，又2211143x y +=，2222143x y +=22113(4)4y x ∴=-，22 223(4)4y x =- 22222222211221 12 2222 2 1 21 33(4)(4) 443x x x x x y x y mn x x x x ?--?--∴===--．………………………16分 9、解答：（1）由点),(y x P 在椭圆1422=+y x 上，所以4 122 x y -= 由题意521y x -=δ、5 22y x +=δ，于是5425422221-=-=x y x δδ………………2分 又22≤≤-x 得402 ≤≤x ，即545421≤≤-δδ…………………………………………4分 （也可以先求出585)4(2222 221=+= +y x δδ，再利用基本不等式易得5 45421≤≤-δδ） （2）假设存在实数t ，满足题设， 由题意αααη221sin 4cos 2cos +--=t αααη222sin 4cos 2 cos +-=t ， 于是1sin 4cos ) 2cos )(2cos (2 221=+---=α αααηηt t ………………………………………………6分 0cos )3(sin 4cos cos 4222222=-?+=-ααααt t 对任意的α都成立 只要032 =-t 即可，所以3±=t 故存在实数t ，3±=t ，对任意的α都有121=ηη成立。……………………………9分 （学生通过联想，判断直线02sin 2cos =-+ααy x 是椭圆14 22=+y x 的切线，又证明2 21b =ηη从而得到3±=t 也给分） （3）设21,F F 的坐标分别为)0,(c -、)0,(c ，于是2 22b a c -= 211m n mc ++-=λ、221m n mc ++=λ于是22222211b m c m n >+-=λλ2 222a m b n +>? 又)0,(m n A -，),0(n B 即2 222||n m n AB +=……………………………………………12分 所以2 22222222222)(2b a ab b a a m b m b a n m n +=++≥+++>+ 综上AB >a b +…………………………………………………………………………14分 10、 11、解：（1）因为抛物线2 4y x =的焦点F 是椭圆M 的一个焦点，即(1,0)F 又椭圆M 的对称轴为坐标轴，所以设椭圆方程为22221,0x y a b a b +=>>,且22 1a b -= 又以F 为圆心，以椭圆M 的短半轴长为半径的圆与直线2220l x y -+=：相切 即2 102 11(22)b -+= =+,所以椭圆M 的方程是2 212x y += （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y 2222 3422022 y x m x mx m x y =+??++-=? +=? 222(4)12(22)8240m m m ?=--=-+>33m ?-<<1212,(,)OP OA OB P x x y y =+∴++又121242,33x x m y y m +=-+=， 即42 (,)33 P m m -在椭 圆2 212 x y +=上,即22423()2()2332m m m -+=?=± 12、解（1）由2CD =，232PC PD 知，曲线E 是以C 、D 为焦点，长轴3圆， ……………… 1分 设其方程为22 221x y a b +=，则有3,1a c ==， ∴曲线E 的方程为22 132x y += ……………… 3分 （2）设直线OA 的方程为(0)y kx k =>，则直线OB 的方程为1 (0)y x k k =- > 由22236x y y kx ?+=?=? 得222236x k x +=，解得212 623x k =+.………………4分 同理，由则22236 1x y y x k ?+=??=-?? 解得22 22623k x k =+. ………………5分 由32 OA OB = 知22 43OA OB =， 即22 222 6164(1)3(1)2323k k k k k +?=+?++ ………………6分 解得2 6k =，因点A 在第一象限，故6k = ………………7分 此时点A 的坐标为3035 ………………8分 （3）设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 当直线AB 平行于坐标轴时，由OA OB ⊥知A 、B 两点之一为y x =±与椭圆的交点， 由22236x y y x ?+=?=±?解得30 530 5 x y ? =±?? ? ?=± ?? 此时原点到直线AB 的距离为305d =…10分 当直线AB 不平行于坐标轴时，设直线AB 的方程x my b =+， 由22236x y x my b ?+=?=+? 得 222 (23)4260m y bmy b +++-= ………………12分 由12120x x y y += 得1212()()0 my b my b y y +++= 即2 2 1212(1)()0 m y y mb y y b ++++= 因 2 1212 22426 ,2323bm b y y y y m m -+=-=++ ………………14分 代入得 2222222 264(1)02323 b b m m b m m -+-+=++ 即22 56(1)b m =+……15分 原点到直线AB 的距离2630 551 b d m === + ………………16分 13、解：（1）由于直线1:l y x a =+和2:l y x b =+将单位圆22 :1W x y +=分成长度相等的四段弧， 所以2AB CD == ，在等腰直角OAB ?中，圆心()0,0O 到直线1:l y x a =+的距离为 2 12 2 a d a = = =，同理1b =，∴222a b +=------------------------------------4分 （2）由题知，直线12,l l 关于原点对称，因为圆2 2 :4W x y +=的圆心为原点O ，所以AB DC =，故四边形ABCD 为平行四边形.易知，O 点在对角线,AC BD 上. 联立224210 x y y x +=???=??解得2 541060x x -+=，由121210655x x x x +==得 (12121212210210OA OB x x y y x x x x ?=+=+- )1212410 52101062101005 x x x x =-++=-+=，所以OA OB ⊥， 于是AC BD ⊥，因为4AC BD ==，所以四边形ABCD 为正方形.----------------9分 （3） 证明：假设椭圆2 2:12 x W y +=存在内接正方形，其四个顶点为,,,A B C D . 当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 、CD 的方程为,x m x n ==，因为,,,A B C D 在椭圆上， 所以2 2 2 2 ,1,1,,1,,12222m m n n A m B m C n D n ????- --- ? ???，由四边形ABCD 为正方形，易知，66m n = =AB 、CD 的方程为66x x ==ABCD 的面积262683 S = =.---------------------12分 当直线 AB 的斜率存在时，设直线AB 、CD 的方程分别为 ():,:0,0AB CD l y kx m l y kx n k m =+=+≠≠， 显然m n ≠.设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，联立22 1 2x y y kx m ?+=???=+?得 ()2 2 2 124220k x kmx m +++-=，所以2121222422 ,1212km m x x x x k k -+=-=++ 2020高考虽然延期，但是每天练习一定要跟上，加油！ 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2， －1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （4 1 ，－1） B. （4 1，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 1 1 c a ＜2 2 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=u u u u r u u u u r 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ．(0, 2 D ．,1)2 6.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） A B ．3 C D ．92 7.（全国二9）设1a >，则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是（ B ） A ． B ． C ．(25)， D ．(2 8.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ，焦点在X 轴上且长轴长为 A B C D - 2020．1 注意事项： 1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合{}{} 223021=A x x x B x x x Z A B =--≤=-≤<∈?，且，则A.{}21--， B.{}10-， C.{}20-， D.{} 11-，2．设()11i a bi +=+(i 是虚数单位)，其中,a b 是实数，则a bi += A ．1 B.2 C.3 D.2 3．已知随机变量ξ服从正态分布()21N σ ，，若()40.9P ξ<=，则()21P ξ-<<=A ．0.2 B.0.3C ．0.4D ．0.6 4．《算数书》是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，叉以高乘之，三十六成一．该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与h ，计算其 体积V 的近似公式2136V L h ≈ ，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3．若圆锥体积的近似公式为2275V L h ≈，则π应近似取为A.22 7 B.25 8 C.157 50 D.355 113 5．函数()()y f x y g x ==与的图象如右图所 示，则的部分图象可能是 本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟． 试题（数学）高三数学 山东省潍坊市2020届高三期末 黑池中学2018级高三数学期末模拟试题理科（四） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 1.已知集合{}2,101，， -=A ，{} 2≥=x x B ，则A B =I A ．{}2,1,1- B.{ }2,1 C.{}2,1- D. {}2 2.复数1z i =-,则z 对应的点所在的象限为 A ．第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3 .下列函数中,是偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减的函数是 A ．2x y = B ．y x = C ．y x = D ．2 1y x =-+ 4.函数 y=cos 2(x + π4 )－sin 2(x + π4 )的最小正周期为 A. 2π B. π C. π2 D. π 4 5. 以下说法错误的是 （ ） A ．命题“若x 2 -3x+2=0,则x=1”的逆否命题为“若x≠1,则x 2 -3x+2≠0” B ．“x=2”是“x 2 -3x+2=0”的充分不必要条件 C ．若命题p:存在x 0∈R,使得2 0x -x 0+1<0,则﹁p:对任意x∈R,都有x 2 -x+1≥0 D ．若p 且q 为假命题,则p,q 均为假命题 6.在等差数列{}n a 中, 1516a a +=,则5S = A ．80 B ．40 C ．31 D ．-31 7.如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积为 A ．π16+ B ．π416+ C ．π8+ D ．π48+ 8.二项式6 21()x x +的展开式中，常数项为 A ．64 B ．30 C ． 15 D ．1 9.函数3 ()ln f x x x =-的零点所在的区间是 A ．(1,2) B ．(2,)e C ． (,3)e D ．(3,)+∞ 10.执行右边的程序框图，若0.9p =，则输出的n 为 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 开始 10n S ==， S p 2016上海高考理科数学真题及答案 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________ 2、设i i Z 23+= ，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________ 3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________ 4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米） 5、已知点(3,9)在函数x a x f +=1)(的图像上，则________)()(1 =-x f x f 的反函数 6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为3 2 arctan ，则该正四棱柱的高等于____________ 7、方程3sin 1cos2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ 学.科.网 8、在n x x ??? ? ? -23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________ 9、已知ABC ?的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________ 10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组1 1ax y x by +=?? +=? 无解，则b a +的取值范围是____________ 11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为. 12.在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ?的取值范围是. 13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=?? ? ? ? - sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为. 14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A Λ的中心， ()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点 P 落在第一象限的概率是. 二、选择题（5×4=20） 15.设R a ∈，则“1>a ”是“12 >a ”的（ ） 高三文科数学圆锥曲线综合复习讲义 一、基础知识【理解去记】 1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0 山东省 高三高考模拟卷（一） 数学（理科） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间 120分钟 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．把复数z 的共轭复数记作z ，i 为虚数单位，若i z +=1，则(2)z z +?= A ．42i - B ．42i + C ．24i + D ．4 2．已知集合}6|{2--==x x y x A ， 集合12{|log ,1}B x x a a ==>，则 A ．}03|{<≤-x x B ．}02|{<≤-x x C ．}03|{<<-x x D ．}02|{<<-x x 3．从某校高三年级随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其频率分布直方图如图所示： 若某高校A 专业对视力的要求在0．9以上，则该班学生中能报A 专业的人数为 A ．10 B ．20 C ．8 D ．16 4．下列说法正确的是 A ．函数x x f 1)(=在其定义域上是减函数 B ．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件 C ．命题“R x ∈?，220130x x ++>”的否定是“R x ∈?，220130x x ++<” D ．给定命题q p 、，若q p ∧是真命题，则p ?是假命题 5．将函数x x x f 2sin 2cos )(-=的图象向左平移 8 π个单位后得到函数)(x F 的图象，则下列说法中正确的是 A ．函数)(x F 是奇函数，最小值是2- B ．函数)(x F 是偶函数，最小值是2- 2016年高考上海数学试卷（文史类） 考生注意： 1．本试卷共4页，23道试题，满分150分.考试时间120分钟. 2．本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分. 3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名. 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1．设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为_______. 2．设32i i z += ，其中i 为虚数单位，则z 的虚部等于______. 3．已知平行直线1210l x y +-=： ，2210l x y ++=：，则1l 与2l 的距离是_____. 4．某次体检，5位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.80,1.69,1.76，则这组数据的中位数是______（米）. 5．若函数()4sin cos f x x a x =+的最大值为5，则常数a =______. 6．已知点（3,9）在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数1 ()f x -=______. 7．若,x y 满足0,0,1,x y y x ≥?? ≥??≥+? 则2x y -的最大值为_______. 8．方程3sin 1cos2x x =+在区间[]0,2π上的解为_____. 9 ．在2 )n x 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于____. 10．已知△ABC 的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于____. 11．某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为______. 12.如图，已知点O (0,0),A (1.0),B (0,?1),P 是曲线y =则OP BA ×uu u r uu r 的取值范 围是 . 2020-2021高三数学上期末试题含答案 一、选择题 1．“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称，把干支顺序相配正好六十为一周，周而复始，循环记录，这就是俗称的“干支表”甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、癸等十个符号叫天干，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥等十二个符号叫地支，如公元1984年农历为甲子年，公元1985年农历为乙丑年，公元1986年农历为丙寅年，则公元2047年农历为 A ．乙丑年 B ．丙寅年 C ．丁卯年 D ．戊辰年 2．已知实数,x y 满足0{20 x y x y -≥+-≤则2y x -的最大值是( ) A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2 3．若直线()10,0x y a b a b +=>>过点(1,1)，则4a b +的最小值为（ ） A ．6 B ．8 C ．9 D ．10 4．已知等差数列{}n a ,前n 项和为n S ,5628a a +=,则10S =( ) A ．140 B ．280 C ．168 D ．56 5．在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ?为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ） A ．2a b = B ．2b a = C ．2A B = D ．2B A = 6．设数列{}n a 是等差数列，且26a =-，86a =，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则（ ）． A ．45S S < B ．45S S = C ．65S S < D ．65S S = 7．“0x >”是“1 2x x +≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 8．已知数列{}n a 满足112,0,2 121,1, 2n n n n n a a a a a +? ≤ 1、(广东省广州执信中学、中山纪念中学、深圳外国语学校三校期末联考)设1F 、2F 分别是 椭圆22 154 x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ?的最大值和最小值； （Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由. 解：（Ⅰ）易知)0,1(),0,1(,1,2,521F F c b a -=∴=== 设P （x ，y ），则1),1(),1(2 221-+=--?---=?y x y x y x PF 35 1 1544222+=-- +x x x ]5,5[-∈x ， 0=∴x 当，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ?有最小值3； 当5±=x ，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ?有最大值4 （Ⅱ）假设存在满足条件的直线l 易知点A （5，0）在椭圆的外部，当直线l 的斜率不 存在时，直线l 与椭圆无交点，所在直线l 斜率存在，设为k 直线l 的方程为)5(-=x k y 由方程组22 22221(54)5012520054 (5)x y k x k x k y k x ?+ =?+-+-=??=-? ，得 依题意220(1680)0k k ?=-><< ，得 当5 5 55< <- k 时，设交点C ),(),(2211y x D y x 、，CD 的中点为R ),(00y x ， 则4 5252,455022 2102221+=+=+=+k k x x x k k x x .4 520)54525()5(22200+-=-+=-=∴k k k k k x k y 又|F 2C|=|F 2D|122-=??⊥?R F k k l R F 一．选择题：每题5分，共60分 1．已知集合{}2,1,0,1,2--=A ，()(){}021|<+-=x x x B ，则=B A （ ） A ．{}0,1- B ．{}1,0 C ．{}1,0,1- D ．{}2,1,0 2．若a 为实数，且()()i i a ai 422-=-+，则=a （ ） A ．1-B ．0C ．1D ．2 3．已知命题p ：对任意R x ∈，总有02>x ；q ：“1>x ”是“2>x ”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是（ ） A ．q p ∧ B ．q p ?∧? C ．q p ∧? D ．q p ?∧ 4．等比数列{}n a 满足31=a ，21531=++a a a ，则=++753a a a （ ） A ．21 B ．42 C ．63 D ．84 5．设函数()()???≥<-+=-1 ,21,2log 112x x x x f x ，则()()= +-12log 22f f （ ） A ．3 B ．6 C ．9 D ．12 6．某几何体的三视图（单位：cm ）若图所示，则该几何体的体积是（ ） A ．372cm B ．390cm C ．3108cm D ．3138cm 7．若圆1C ：122=+y x 与圆2C ：08622=+--+m y x y x 外切，则=m （ ） A ．21 B ．19 C ．9 D ．11- 8．执行如图所示的程序框图，如果输入3=n ，则输出的=S （ ） A ．76 B ． 73C ．98 D ．9 4 9．已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（ ）A ． 332πB ．π4C ．π2D ．3 4π 10．在同一直角坐标系中，函数()()0≥=x x x f a ，()x x g a log =的图像可能是（ ） 11．已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，ABM ?为等腰三角形，且顶角为 120，则E 的离心率为（ ）A ．5B ．2 C ．3D ．2 12．设函数()x f '是奇函数()x f ()R x ∈的导函数，()01=-f ，当0>x 时，()()0<-'x f x f x ，则使得()0>x f 成立的x 的取值范围是（ ） A ． ()()1,01, -∞-B ．()()+∞-,10,1 C ．()()0,11,--∞- D ．()()+∞,11,0 第II 卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选做题，考生根据要求做答． 二．填空题：每题5分，共20分 13．设向量a ，b 不平行，向量b a +λ与b a 2+平行，则实数=λ． 14．若x ，y 满足约束条件?? ? ??≤-+≤-≥+-022020 1y x y x y x ，则y x z +=的最大值为． 2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题 理数(三) 本试卷共6页，23题(含选考题)。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上．并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第I 卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合( ){}2ln 330A x x x =-->，集合{}231,B x x U R =->=，则()U C A B ?= A. ()2,+∞ B. []2,4 C. (]1,3 D. (]2,4 2.设i 为虚数单位，给出下面四个命题： 1:342p i i +>+； ()()22:42p a a i a R -++∈为纯虚数的充要条件为2a =； ()()2 3:112p z i i =++共轭复数对应的点为第三象限内的点； 41:2i p z i +=+的虚部为15 i . 其中真命题的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3.某同学从家到学校途经两个红绿灯，从家到学校预计走到第一个红绿灯路口遇到红灯的概 数学试题 (满分160分，考试时间120分钟) 参考公式： 锥体的体积公式V ＝1 3Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 为锥体的高． 样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2 ＝ 1n (x i －x －)2，其中x －＝ 1n x i . 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． (第3题) 1. 已知集合A ＝{－1，0，1}，B ＝{x|x 2 ＞0}，则A ∩B ＝________． 2. 若复数z 满足z ·i ＝1－i(i 是虚数单位)，则z 的实部为________． 3. 如图是一个算法的流程图，则输出S 的值是________． 4. 函数y ＝2x －1的定义域是________． 5. 已知一组数据17，18，19，20，21，则该组数据的方差是________． 6. 某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中任选2门课程学习，则该同学“选到文科类选修课程”的概率为________． 7. 已知函数f(x)＝? ????1 x －1 ，x ≤0，－x 2 3，x ＞0， 则f(f(8))＝________． 8. 函数y ＝3sin(2x ＋π 3)，x ∈[0，π]取得最大值时自变量x 的值为________． 9. 在等比数列{a n }中，若a 1＝1，4a 2，2a 3，a 4成等差数列，则a 1a 7＝________． 10. 已知cos （π 2 －α） cos α ＝2，则tan 2α＝________． 11. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2 a 2－y 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点为A ，过A 作x 轴的垂线与C 的一条渐近线交于点B.若OB ＝2a ，则C 的离心率为________． 圆锥曲线的综合问题 [知识能否忆起] 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判定直线与圆锥曲线的位置关系时，通常是将直线方程与曲线方程联立，消去变量y (或x )得关于变量x (或y )的方程：ax 2＋bx ＋c ＝0(或ay 2＋by ＋c ＝0)． 若a ≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有： Δ>0?直线与圆锥曲线相交； Δ＝0?直线与圆锥曲线相切； Δ<0?直线与圆锥曲线相离． 若a ＝0且b ≠0，则直线与圆锥曲线相交，且有一个交点． 2．圆锥曲线的弦长问题 设直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长|AB |＝1＋k 2|x 1 －x 2|或 1＋1 k 2|y 1－y 2|. [小题能否全取] 1．(教材习题改编)与椭圆x 212＋y 2 16＝1焦点相同，离心率互为倒数的双曲线方程是( ) A ．y 2－ x 23＝1 B.y 23 －x 2 ＝1 C.34x 2－3 8 y 2＝1 D.34y 2－3 8 x 2＝1 解析：选A 设双曲线方程为y 2a 2－x 2 b 2＝1(a ＞0，b ＞0)， 则????? a 2＋ b 2＝ c 2， c a ＝2，c ＝2， 得a ＝1，b ＝ 3. 故双曲线方程为y 2－ x 2 3 ＝1. 2．(教材习题改编)直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 2 4＝1的位置关系是( ) A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．不确定 解析：选A 由于直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，而(1,1)在椭圆内，故直 第4页 共4页 第一学期期末考试试卷 高 三 数 学 （考试时间120分钟，满分150分） 注意：在本试卷纸上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题． 一、填空题（每小题5分，共60分） 1、已知函数x x f -=11)(的定义域为M ，)1lg()(x x g +=的定义域为N ，则=?N M . 2、数列{}n a 满足 21 =+n n a a )(*∈N n ，且32=a ，则=n a . 3、已知),2(ππα∈，53sin =α，则)4 3tan(π α+等于 . 4、关于x 、y 的二元一次方程组? ??=++=+m my x m y mx 21 无解，则=m . 5、已知圆锥的母线长cm l 15=，高cm h 12=，则这个圆锥的侧面积等于 cm 2. 6、设等差数列{}n a 的首项21=a ，公差2=d ，前n 项的和为n S ，则=-∞→n n n S n a 2 2lim . 7、在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1，2，3，…，18的18名火炬手.若从中任选3人， 则选出的火炬手的编号能组成以2为公比的等比数列的概率为 . 8、阅读右图的程序框图，若输入4=m ，6=n ， 则输出=a ，=i . （注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“:=”，n 整 除a ，即a 为n 的倍数） 9、设常数4 21,0???? ? ?+>x ax a 的展开式中3 x 的系数为23， 则)(lim 2n n a a a +?++∞ →= . 10、集合??? ???<+-=011x x x A ，{}a b x x B <-=，若“a ＝1” 是“φ≠?B A ”的充分条件， 则b 的取值范围是 . 11、（文科）不等式)61(log 2++x x ≤3的解集为 . （理科）在2x y =上取动点(]5,0),,(2∈a a a A ，在y 轴上取点 )4 1 ,0(2++a a M ，OAM ?面积的最大值等于 . 12、已知函数1)4(22)(2+--=x m mx x f ，mx x g =)(，若对于任一实数x ，)(x f 与)(x g 至少有 一个为正数，则实数m 的取值范围是 . 2018年衡水中学高考数学全真模拟试卷（理科） 第1卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．（5分）（2018?衡中模拟）已知集合A={x|x2＜1}，B={y|y=|x|}，则A∩B=（）A．?B．（0，1）C．[0，1）D．[0，1] 2．（5分）（2018?衡中模拟）设随机变量ξ～N（3，σ2），若P（ξ＞4）=0.2，则P（3＜ξ≤4）=（） A．0.8 B．0.4 C．0.3 D．0.2 3．（5分）（2018?衡中模拟）已知复数z=（i为虚数单位），则3=（）A．1 B．﹣1 C．D． 4．（5分）（2018?衡中模拟）过双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F作两渐近线的垂线，垂足分别为P、Q，若∠PFQ=π，则双曲线的渐近线方程为（） A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x 5．（5分）（2018?衡中模拟）将半径为1的圆分割成面积之比为1：2：3的三个扇形作为三个圆锥的侧面，设这三个圆锥底面半径依次为r1，r2，r3，那么r1+r2+r3的值为（） A．B．2 C．D．1 6．（5分）（2018?衡中模拟）如图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是（） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（5分）（2018?衡中模拟）等差数列{a n}中，a3=7，a5=11，若b n=，则数列{b n} 的前8项和为（） A．B．C．D． 8．（5分）（2018?衡中模拟）已知（x﹣3）10=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a10（x+1）10，则a8=（） A．45 B．180 C．﹣180 D．720 2016年上海市春季高考（学业水平考试）数学试卷 2016.1 一. 填空题（本大题共12题，每题3分，共36分） 1. 复数34i +（i 为虚数单位）的实部是 ； 2. 若2log (1)3x +=，则x = ； 3. 直线1y x =-与直线2y =的夹角为 ； 4. 函数()f x = 的定义域为 ； 5. 三阶行列式1 354 001 2 1 --中，元素5的代数余子式的值为 ； 6. 函数1 ()f x a x = +的反函数的图像经过点(2,1)，则实数a = ； 7. 在△ABC 中，若30A ?=，45B ? = ，BC = AC = ； 8. 4个人排成一排照相，不同排列方式的种数为 ；（结果用数值表示） 9. 无穷等比数列{}n a 的首项为2，公比为1 3 ，则{}n a 的各项和为 ； 10. 若2i +（i 为虚数单位）是关于x 的实系数一元二次方程2 50x ax ++=的一个虚根， 则a = ； 11. 函数2 21y x x =-+在区间[0,]m 上的最小值为0，最大值为1，则实数m 的取值范围 是 ； 12. 在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 是圆2 2 650x y x +-+=上的两个动点，且满足 ||AB =||OA OB +的最小值为 ； 二. 选择题（本大题共12题，每题3分，共36分） 13. 满足sin 0α>且tan 0α<的角α属于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限； 14. 半径为1的球的表面积为（ ） A. π B. 4 3 π C. 2π D. 4π 15. 在6 (1)x +的二项展开式中，2 x 项的系数为（ ） A. 2 B. 6 C. 15 D. 20 全省联考卷理科数学（一） 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。 第Ⅰ卷（选择题，共50分） 一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一 个是符合题目要求的。 1.}42/{≤≤∈=x N x A ,}032/{2 <--∈=x x Z x B 则=B A （ ） A ．}32/{<≤x x B ．}32/{≤≤x x C ．}2{ D ．}3,2{ 2.已知() 2323i z i +?=-（i 是虚数单位），那么复数z 对应的点位于复平面内的（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3. 设m n ,是不同的直线，βα,是不同的平面，下列命题正确的是 ( ) A.若,//,m n n α⊥则α⊥m B.若,,m n n ⊥⊥α则α//m C.若α//,m m n ⊥，则α⊥n D.若ββα⊥⊥m ,，则α//m 4.1ln 03== =-+x x x y y ax 在与曲线处的切线平行，则a 的值为（ ） A ． a=1 B ．a=-1 C ．a=2 D ．a=1 5.运行如图所示的程序框图，则输出的结果S 为（ ） A ．2014 B ．2013 C ．1008 D ．1007 6.函数x x x y ln = 的图象可能是（ ） A ． B ． C ． D ． 7.某学校安排甲、乙、丙、丁四位同学参加数学、物理、化学竞赛，要求每位同学仅报一科， 每科至少有一位同学参加，且甲、乙不能参加同一学科，则不同的安排方法有（ ） (A)36种 (B)30 (C)24种 (D)6种 第六节 圆锥曲线综合 考纲解读 1.掌握与圆锥曲线有关的最值、定值和参数范围问题. 2.会处理动曲线（含直线）过定点的问题. 3.会证明与曲线上的动点有关的定值问题. 4.会按条件建立目标函数，研究变量的最值及取值范围问题，注意运用数形结合法和几何法求某些量的最值. 命题趋势研究 从内容上看，预测2015年高考主要考查两大类问题：一是根据条件，求出表示平面曲线的方程；二是通过方程，研究平面曲线的性质，其热点有：①以客观题的形式考查圆锥曲线的基本概念和性质；②求平面曲线的方程和轨迹；③圆锥曲线的有关元素计算、关系证明或范围确定；④涉及圆锥曲线对称变换、最值或位置关系的有关问题. 从形式上看，以解答题为主，难度较大. 从能力要求上看，要求学生具备一定的数形结合、分析问题和解决问题及运算能力. 知识点精讲 一、定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下： （1）变量----选择适当的量为变量. （2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数. （3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值. 求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值. 二、求最值问题常用的两种方法 （1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几何法. （2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函数的最值.求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这就是代数法. 三、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视” （1）重视定义在解题中的作用(把定义作为解题的着眼点). （2）重视曲线的几何特征特别是平面几何性质与方程的代数特征在解题中的作用. （3）重视根与系数的关系在解题中的作用(涉及弦长、中点要用根与系数的关系). 四、求参数的取值范围 据已知条件及题目要求等量或不等量关系，再求参数的范围. 题型归纳及思路提示 题型150 平面向量在解析几何中的应用 思路提示 解决平面向量在解析几何中的应用要把几何特征转化为向量关系，并把向量用坐标表示.常见的应用有如下两个方面. （1）用向量的数量积解决有关角的问题.直角?0a b =,钝角?0a b <(且,a b 不反向), 2009届江苏省东台中学高三第一学期期末数学考试试题卷 一、填空题： 1.设集合???? ??∈==Z n n x x M ,3sin π，则满足条件M P =?? ? ???????-23,23Y 的集合P 的个数是 ___个 2. 若 cos 2π2sin 4αα=- ? ?- ? ? ?，则cos sin αα+= 3．已知O 为直角坐标系原点，P 、Q 的坐标满足不等式组?? ? ??≥-≤+-≤-+010220 2534x y x y x ，则POQ ∠cos 的 最小值为__________ 4.设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且PA PB =，若直线PA 的方程为 10x y -+=，则直线PB 的方程是_____________________ 5.已知函数)(x f 在1=x 处的导数为1，则x f x f x 2) 1()1(lim 0-+→=___________ 6.若两个函数的图象经过若干次平依后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出下 列三个函数：()1sin cos ,f x x x =+ ( )2f x x =，()3sin f x x =则___________________为“同形”函数 7.椭圆12 2 =+by ax 与直线x y -=1交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜 率为 b a 则,23=________ 8.一次研究性课堂上，老师给出函数)(| |1)(R x x x x f ∈+= ，三位同学甲、乙、丙在研究此 函数时分别给出命题： 甲：函数f (x )的值域为（－1，1）； 乙：若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)； 丙：若规定| |1)()),(()(),()(11x n x x f x f f x f x f x f n n n +===-则对任意* ∈N n 恒成 立. 你认为上述三个命题中正确的个数有__________个 9.过定点P （1,2）的直线在x y 轴与轴正半轴上的截距分别为a b 、,则422 a b +的最小值为 10.若直线2y a =与函数|1|(0x y a a =->且1)a ≠的图象有两个公共点，则a 的取值范围 是 11.“已知数列{}n a 为等差数列，它的前n 项和为n S ，若存在正整数(),m n m n ≠，使得 m n S S =，则0m n S +=。”，类比前面结论，若正项数列{}n b 为等比数列， 12. Rt △ABC 中,斜边AB=1,E 为AB 的中点,CD ⊥AB,则))((??的最大值为_________. 2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 上海 数学试卷（理工农医类） 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________ 2、设i i Z 23+= ，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________ 3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________ 4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米） 5、已知点(3,9)在函数x a x f +=1)(的图像上，则________)()(1 =-x f x f 的反函数 6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为3 2 arctan ，则该正四棱柱的高等于____________ 7、方程3sin 1cos2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ 学.科.网 8、在n x x ??? ? ? -23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________ 9、已知ABC ?的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________ 10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组1 1 ax y x by +=?? +=?无解，则b a +的取值范围是____________ 11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为. 12.在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ?的取值范围是. 13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=?? ? ? ? - sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组()c b a ,,的组数为. 14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A Λ的中心， ()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点P 落在第一象限的概率是. 椭圆与双曲线的性质 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长 轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线 方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=，则椭圆 的焦点角形的面积为122 tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应 于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除 去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）2020高考数学圆锥曲线试题(含答案)
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