55曲线与方程
ProeCreoUG曲线方程大全及关系式、函数的说明资料
Proe Creo UG 曲线方程大全及关系式、函数的说明资料Pro/E 各种曲线方程集合 1.碟形弹簧 圓柱坐标 方程：r = 5 theta = t*3600z =(sin(3.5*theta-90))+24*t图1圆柱坐标（cylindrical ） 方程： r=ttheta=10+t*(20*360) z=t*3图34.蝴蝶曲线 球坐标方程：rho = 8 * t theta = 360 * t * 4 phi = -360 * t * 8图4图5笛卡儿坐标方程：x = 4 * cos ( t *(5*360))y = 4 * sin ( t *(5*360))z = 10*t图611.心脏线圓柱坐标方程：a=10r=a*(1+cos(theta))theta=t*360Pro/E 各种曲线方程集合（二）Array22.外摆线迪卡尔坐标方程：theta=t*720*5b=8a=5x=(a+b)*cos(theta)-b*cos((a/b+1)*theta)y=(a+b)*sin(theta)-b*sin((a/b+1)*theta)z=0图22 23. Lissajous 曲线theta=t*360a=1b=1c=100n=3x=a*sin(n*theta+c)y=b*sin(theta) Array图23 24.长短幅圆内旋轮线卡笛尔坐标方程：a=5b=7c=2.2theta=360*t*10x=(a-b)*cos(theta)+c*cos((a/b-1)*theta)y=(a-b)*sin(theta)-c*sin((a/b-1)*theta)图2425.长短幅圆外旋轮线卡笛尔坐标方程：theta=t*360*10a=5b=3c=5x=(a+b)*cos(theta)-c*cos((a/b+1)*theta)y=(a+b)*sin(theta)-c*sin((a/b+1)*theta)图2526. 三尖瓣线a=10x = a*(2*cos(t*360)+cos(2*t*360))y = a*(2*sin(t*360)-sin(2*t*360))图2627.概率曲线！方程：笛卡儿坐标x = t*10-5y = exp(0-x^2)图2728.箕舌线笛卡儿坐标系a = 1x = -5 + t*10y = 8*a^3/(x^2+4*a^2)图2829.阿基米德螺线柱坐标a=100theta = t*400r = a*theta图2930.对数螺线柱坐标theta = t*360*2.2a = 0.005r = exp(a*theta)图3031.蔓叶线笛卡儿坐标系a=10y=t*100-50solvex^3 = y^2*(2*a-x)for x图3132.tan曲线笛卡儿坐标系x = t*8.5 -4.25y = tan(x*20)图3233.双曲余弦x = 6*t-3y = (exp(x)+exp(0-x))/2图3334.双曲正弦x = 6*t-3y = (exp(x)-exp(0-x))/2图34 35.双曲正切y = (exp(x)-exp(0-x))/(exp(x)+exp(0-x))图3536.一峰三驻点曲线x = 3*t-1.5y=(x^2-1)^3+1图3637.八字曲线x = 2 * cos ( t *(2*180))y = 2 * sin ( t *(5*360))z = 0图37r=t*(10*180)+1theta=10+t*(20*180)z=t图3839.圆x = cos ( t *(5*180))y = sin ( t *(5*180))z = 0图39 40.封闭球形环绕曲线rho=2theta=360*tphi=t*360*10图4041.柱坐标螺旋曲线x = 100*t * cos ( t *(5*180))y = 100*t * sin ( t *(5*180))z = 0Pro/E 各种曲线方程集合（三）42.蛇形曲线x = 2 * cos ( (t+1) *(2*180))y = 2 * sin ( t *(5*360))z = t*(t+1)图4243.8字形曲线柱坐标theta = t*360r=10+(8*sin(theta))^2图4344.椭圆曲线笛卡尔坐标系a = 10b = 20theta = t*360x = a*cos(theta)y = b*sin(theta)图4445.梅花曲线柱坐标theta = t*360r=10+(3*sin(theta*2.5))^2图4546.另一个花曲线theta = t*360r=10-(3*sin(theta*3))^2z=4*sin(theta*3)^2图4647.改一下就成为空间感更强的花曲线了;)theta = t*360r=10-(3*sin(theta*3))^2z=(r*sin(theta*3))^2图4748.螺旋上升的椭圆线a = 10b = 20theta = t*360*3x = a*cos(theta)y = b*sin(theta)z=t*12图4849.甚至这种螺旋花曲线theta = t*360*4r=10+(3*sin(theta*2.5))^2z = t*16图4950 鼓形线笛卡尔方程r=5+3.3*sin(t*180)+ttheta=t*360*10z=t*10图50 51 长命锁曲线笛卡尔方程：a=1*t*359.5b=q2*t*360c=q3*t*360rr1=w1rr2=w2rr3=w3x=rr1*cos(a)+rr2*cos(b)+rr3*cos(c)y=rr1*sin(a)+rr2*sin(b)+rr3*sin(c)图5152 簪形线球坐标方程：rho=200*ttheta=900*tphi=t*90*10图52 53.螺旋上升曲线r=t^10theta=t^3*360*6*3+t^3*360*3*3z=t^3*(t+1)图5354.蘑菇曲线rho=t^3+t*(t+1)theta=t*360phi=t^2*360*20*20图5455. 8字曲线a=1b=1x=3*b*cos(t*360)+a*cos(3*t*360)Y=b*sin(t*360)+a*sin(3*t*360)图5556.梅花曲线theta=t*360r=100+50*cos(5*theta)z=2*cos(5*theta)图5657.桃形曲线rho=t^3+t*(t+1)theta=t*360phi=t^2*360*10*10图5758.名稱:碟形弹簧建立環境:pro/e圓柱坐r = 5theta = t*3600z =(sin(3.5*theta-90))+24图5859.环形二次曲线笛卡儿方程：x=50*cos(t*360)y=50*sin(t*360)z=10*cos(t*360*8)图5960 蝶线球坐标：rho=4*sin(t*360)+6*cos(t*360^2)theta=t*360phi=log(1+t*360)*t*360图6061.正弦周弹簧笛卡尔：ang1=t*360ang2=t*360*20x=ang1*2*pi/360y=sin(ang1)*5+cos(ang2)z=sin(ang2)Pro/E 各种曲线方程集合（四）62.环形螺旋线x=（50+10*sin(t*360*15))*cos(t*360)y=(50+10*sin(t*360*15))*sin(t*360)z=10*cos(t*360*5)图6263.内接弹簧x=2*cos(t*360*10)+cos(t*180*10)y=2*sin(t*360*10)+sin(t*180*10)z=t*6图6364.多变内接式弹簧x=3*cos(t*360*8)-1.5*cos(t*480*8)y=3*sin(t*360*8)-1.5*sin(t*480*8)z=t*8图6465.柱面正弦波线柱坐标：方程r=30theta=t*360z=5*sin(5*theta-90)图65 66. ufo （漩涡线）. 球坐标：rho=t*20^2theta=t*log(30)*60phi=t*7200图6667. 手把曲线thta0=t*360thta1=t*360*6r0=400r1=40r=r0+r1*cos(thta1)x=r*cos(thta0)y=r1*sin(thta1)z=0图6768.篮子圆柱坐标r=5+0.3*sin(t*180)+ttheta=t*360*30z=t*5图6869. 圆柱齿轮齿廓的渐开线方程：afa=60*tx=10*cos(afa)+pi*10*afa/180*sin(afa)x=10*sin(afa)-pi*10*afa/180*cos(afa)z=0注：afa为压力角，取值范围是0到60，10为基圆半径。
曲线与方程 知识讲解(非常有用)
曲线与方程编稿：辛文升审稿：孙永钊【考纲要求】1.了解轨迹的背景、含义和概念2.能根据所给的条件，选择恰当的直角坐标系求出曲线的轨迹方程，画出某些简单方程所表示的曲线；3.在形成概念的过程中，培养分析、抽象和概括等思维能力，4.掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，以及坐标法、待定系数法等常用的数学方法；渗透数形结合思想。
【知识网络】轨迹数学思想与方法求轨迹方程的常用方法轨迹的概念、意义【考点梳理】【高清课堂：曲线与方程408396知识要点】考点一：曲线与方程的定义1.“曲线的方程”、“方程的曲线”的定义：在直角坐标系中，如果某曲线C 上的点与一个二元方程0),(=y x f 的实数解建立了如下关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解（轨迹的纯粹性）；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点（轨迹的完备性）；那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。
2.定义的理解：设P={具有某种性质(或适合某种条件)的点}，{(,)|(,)0}Q x y f x y ==，若设点00(,)M x y ，用集合的观点，上述定义中的两条可以表述为：（1）00(,)M P x y Q ∈⇒∈，即P Q ⊆；（2）00(,)x y Q M P ∈⇒∈，即Q P ⊆。
以上两条还可以转化为它们的等价命题(逆否命题)：（1）00(,)x y Q M P ∉⇒∉；（2）00(,)M P x y Q ∉⇒∉。
显然，当且仅当P Q ⊆且Q P ⊆，即Q P =时，才能称方程0),(=y x f 为曲线C 的方程；曲线C 为方程0),(=y x f 的曲线(图形)．要点诠释：在领会定义时，要牢记关系(1)、(2)两者缺一不可，它们都是“曲线的方程”和“方程的曲线”的必要条件．两者满足了，“曲线的方程”和“方程的曲线”才具备充分性．只有符合关系(1)、(2)，才能将曲线的研究转化为方程来研究，即几何问题的研究转化为代数问题．这种“以数论形”的思想是解析几何的基本思想和基本方法考点二：求曲线方程的一般步骤求简单的曲线方程的一般步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对表示曲线上任意一点M 的坐标；（2）写出适合条件P 的点M 的集合()P M ；（3）用坐标表示条件()P M ，列出方程0),(=y x f ;（4）化方程0),(=y x f 为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点上述方法简称“五步法”，在步骤④中若化简过程是同解变形过程；或最简方程的解集与原始方程的解集相同，则步骤⑤可省略不写，因为此时所求得的最简方程就是所求曲线的方程。
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Proe Creo UG 曲线方程大全及关系式、函数的说明资料Pro/E 各种曲线方程集合 1.碟形弹簧 圓柱坐标 方程：r = 5theta = t*3600z =(sin(3.5*theta-90))+24*t图12.葉形线.圆柱坐标（cylindrical ） 方程： r=ttheta=10+t*(20*360) z=t*3图3图5笛卡儿坐标方程：x = 4 * cos ( t *(5*360))y = 4 * sin ( t *(5*360))z = 10*t图611.心脏线圓柱坐标方程：a=10r=a*(1+cos(theta))theta=t*360Pro/E 各种曲线方程集合（二）Array22.外摆线迪卡尔坐标方程：theta=t*720*5b=8a=5x=(a+b)*cos(theta)-b*cos((a/b+1)*theta)y=(a+b)*sin(theta)-b*sin((a/b+1)*theta)z=0图22 23. Lissajous 曲线theta=t*360a=1b=1c=100n=3x=a*sin(n*theta+c)y=b*sin(theta)图23 24.长短幅圆内旋轮线卡笛尔坐标b=7c=2.2theta=360*t*10x=(a-b)*cos(theta)+c*cos((a/b-1)*theta)y=(a-b)*sin(theta)-c*sin((a/b-1)*theta)图24 25.长短幅圆外旋轮线卡笛尔坐标方程：theta=t*360*10a=5b=3c=5x=(a+b)*cos(theta)-c*cos((a/b+1)*theta)y=(a+b)*sin(theta)-c*sin((a/b+1)*theta)图2526. 三尖瓣线a=10x = a*(2*cos(t*360)+cos(2*t*360))y = a*(2*sin(t*360)-sin(2*t*360))图26 27.概率曲线！方程：笛卡儿坐标x = t*10-5y = exp(0-x^2)图27 28.箕舌线笛卡儿坐标系a = 1x = -5 + t*10y = 8*a^3/(x^2+4*a^2)图28 29.阿基米德螺线柱坐标a=100theta = t*400r = a*theta图29 30.对数螺线柱坐标theta = t*360*2.2a = 0.005r = exp(a*theta)图30 31.蔓叶线笛卡儿坐标系a=10y=t*100-50solvex^3 = y^2*(2*a-x)for x图31 32.tan曲线笛卡儿坐标系x = t*8.5 -4.25y = tan(x*20)图32 33.双曲余弦x = 6*t-3y = (exp(x)+exp(0-x))/2图33 34.双曲正弦x = 6*t-3y = (exp(x)-exp(0-x))/2图34 35.双曲正切y = (exp(x)-exp(0-x))/(exp(x)+exp(0-x))图35 36.一峰三驻点曲线x = 3*t-1.5y=(x^2-1)^3+1图36 37.八字曲线x = 2 * cos ( t *(2*180))y = 2 * sin ( t *(5*360))z = 0图37r=t*(10*180)+1theta=10+t*(20*180)z=t图38 39.圆x = cos ( t *(5*180))y = sin ( t *(5*180))z = 0图39 40.封闭球形环绕曲线rho=2phi=t*360*10图40 41.柱坐标螺旋曲线x = 100*t * cos ( t *(5*180))y = 100*t * sin ( t *(5*180))z = 0Pro/E 各种曲线方程集合（三）42.蛇形曲线x = 2 * cos ( (t+1) *(2*180))y = 2 * sin ( t *(5*360))z = t*(t+1)图42 43.8字形曲线柱坐标theta = t*360r=10+(8*sin(theta))^2图43 44.椭圆曲线笛卡尔坐标系a = 10b = 20theta = t*360x = a*cos(theta)y = b*sin(theta)图44 45.梅花曲线柱坐标theta = t*360r=10+(3*sin(theta*2.5))^2图45 46.另一个花曲线theta = t*360r=10-(3*sin(theta*3))^2z=4*sin(theta*3)^2图46 47.改一下就成为空间感更强的花曲线了;)theta = t*360r=10-(3*sin(theta*3))^2z=(r*sin(theta*3))^2图4748.螺旋上升的椭圆线a = 10b = 20theta = t*360*3x = a*cos(theta)y = b*sin(theta)z=t*12图48 49.甚至这种螺旋花曲线theta = t*360*4r=10+(3*sin(theta*2.5))^2z = t*16图49 50 鼓形线笛卡尔方程r=5+3.3*sin(t*180)+ttheta=t*360*10z=t*10图50 51 长命锁曲线笛卡尔方程：a=1*t*359.5b=q2*t*360c=q3*t*360rr1=w1rr2=w2rr3=w3x=rr1*cos(a)+rr2*cos(b)+rr3*cos(c)y=rr1*sin(a)+rr2*sin(b)+rr3*sin(c)图51 52 簪形线球坐标方程：rho=200*ttheta=900*tphi=t*90*10图52 53.螺旋上升曲线r=t^10theta=t^3*360*6*3+t^3*360*3*3z=t^3*(t+1)图53 54.蘑菇曲线rho=t^3+t*(t+1)theta=t*360phi=t^2*360*20*20图54 55. 8字曲线a=1b=1x=3*b*cos(t*360)+a*cos(3*t*360)Y=b*sin(t*360)+a*sin(3*t*360)图55 56.梅花曲线theta=t*360r=100+50*cos(5*theta)z=2*cos(5*theta)图5657.桃形曲线rho=t^3+t*(t+1)theta=t*360phi=t^2*360*10*10图57 58.名稱:碟形弹簧建立環境:pro/e圓柱坐r = 5theta = t*3600z =(sin(3.5*theta-90))+24图58 59.环形二次曲线笛卡儿方程：x=50*cos(t*360)y=50*sin(t*360)z=10*cos(t*360*8)图59 60 蝶线球坐标：rho=4*sin(t*360)+6*cos(t*360^2)theta=t*360phi=log(1+t*360)*t*360图60 61.正弦周弹簧笛卡尔：ang1=t*360ang2=t*360*20x=ang1*2*pi/360y=sin(ang1)*5+cos(ang2)z=sin(ang2)Pro/E 各种曲线方程集合（四）62.环形螺旋线x=（50+10*sin(t*360*15))*cos(t*360)y=(50+10*sin(t*360*15))*sin(t*360)z=10*cos(t*360*5)图62 63.内接弹簧x=2*cos(t*360*10)+cos(t*180*10)y=2*sin(t*360*10)+sin(t*180*10)z=t*6图63 64.多变内接式弹簧x=3*cos(t*360*8)-1.5*cos(t*480*8)y=3*sin(t*360*8)-1.5*sin(t*480*8)z=t*8图64 65.柱面正弦波线柱坐标：方程r=30theta=t*360z=5*sin(5*theta-90)图65 66. ufo （漩涡线）球坐标：rho=t*20^2theta=t*log(30)*60phi=t*7200图66 67. 手把曲线thta0=t*360thta1=t*360*6r0=400r1=40r=r0+r1*cos(thta1)x=r*cos(thta0)y=r1*sin(thta1)z=0图67 68.篮子圆柱坐标r=5+0.3*sin(t*180)+ttheta=t*360*30z=t*5图68 69. 圆柱齿轮齿廓的渐开线方程：afa=60*tx=10*cos(afa)+pi*10*afa/180*sin(afa)x=10*sin(afa)-pi*10*afa/180*cos(afa)z=0注：afa为压力角，取值范围是0到60，10为基圆半径。
第3讲空间解析几何—曲面、曲线及其方程
第3讲 空间解析几何—曲面、曲线及其方程本节主要内容第三节 曲面及其方程1 曲面方程的概念2 旋转曲面3 柱 面 4二次曲面第四节 空间曲线及其方程1 空间曲线的一般方程2 空间曲线的参数方程3 空间曲线在坐标面上的投影讲解提纲：第七章 空间解析几何与向量代数第三节 曲面及其方程一、 曲面方程的概念空间曲面研究的两个基本问题是：1．已知曲面上的点所满足的几何条件，建立曲面的方程;2．已知曲面方程，研究曲面的几何形状.二、旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周形成的曲面叫做旋转曲面，旋转曲线和定直线分别叫做旋转曲面的母线和轴。
三、柱面平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L 形成的轨迹叫做柱面，定曲线C 叫做柱面的准线，动直线L 叫做柱面的母线。
四、二次曲面三元二次方程0),,(=z y x F 所表示的曲面称为二次曲面。
例题选讲：曲面方程的概念例1 建立球心在点),,(0000z y x M 、半径为R 的球面方程. 解：易得球面方程为2222000()()()x x y y z z R -+-+-=例2 求与原点O 及)4,3,2(0M 的距离之比为1:2的点的全体所组成的曲面方程. 解：易得曲面方程为22224116()(1)()339x y z +++++=。
例3 已知()1,2,3,A ()2,1,4,B - 求线段AB 的垂直平分面的方程.解：设点(,,)M x y z 为所求平面上的任一点，由 A M B M ==整理得26270x y z -+-=。
例4方程2222440x y z x y z ++-++=表示怎样的曲面？旋转曲面例5 将xOz 坐标面上的抛物线25z x =分别绕x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程.解：易得旋转曲面的方程225y z x +=例6 直线L 绕另一条与L 相交的定直线旋转一周, 所得旋转曲面称为叫圆锥面. 两直线的交点称为圆锥面的顶点, 两直线的夹角α)20(πα<<称为圆锥面的半顶角. 试建立顶点在坐标原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为α的圆锥面方程解：在yoz 坐标平面上，直线L 的方程为 c o tz y α= 可得圆锥面的方程为2222()z x y α=+柱面例7 分别求母线平行于x 轴和y 轴，且通过曲线222222216x y z x y z ⎧++=⎨-+=⎩的柱面方程.解：母线平行于x 轴的柱面方程：22316y z -= 母线平行于y 轴的柱面方程：223216x z += 二次曲面.椭球面：1222222=++cz b y a x )0,0,0(>>>c b a抛物面椭圆抛物面 qy p x z 2222+= （同号与q p ）双曲抛物面 z qy p x =+-2222 ( p 与q 同号)双曲面单叶双曲面 1222222=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a双叶双曲面 1222222-=-+c z b y a x )0,0,0(>>>c b a二次锥面 0222222=-+cz b y a x例8 由曲面,0,0,0===z y x 1,122=+=+z y y x 围成的空间区域(在第一卦限部分), 作它的简图.课堂练习 1.求直线11:121x y z L --==绕z 轴旋转所得到的旋转曲面的方程. 2.指出方程221x y -=及22z x =-所表示的曲面. 3 方程()()22234z x y =-+--的图形是怎样的?第四节 空间曲线及其方程一、 空间曲线的一般方程 ⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F二、空间曲线的参数方程 ⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x三、 空间曲线在坐标面上的投影⇒⎩⎨⎧==.0),,(,0),,(z y x G z y x F ⇒=0),(y x H ⎩⎨⎧==00),(z y x H例题选讲：空间曲线的一般方程例1方程组 221493x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩表示怎样的曲线?空间曲线的参数方程例2 若空间一点M 在圆柱面222a y x =+上以角速度ω绕z 轴旋转, 同时又以线速度v 沿平行于z 轴的正方向上升 (其中ω、v 是常数), 则点M 构成的图形叫做螺旋线. 试建立其参数方程.解：取时间t 为参数，在t=0时，动点位于x 轴上的一点(,0,0)A a 处。
圆锥曲线方程知识点总结
圆锥曲线方程知识点总结一、圆锥曲线的基本方程椭圆的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > b > 0)$$其中椭圆的长轴为$2a$，短轴为$2b$，焦距为$\sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$c/a$。
双曲线的标准方程如下：$$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1. (a > 0, b > 0)$$其中双曲线的两个分支的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$。
抛物线的标准方程如下：$$x^2 = 4ay. (a > 0)$$其中抛物线的焦点为$(0, a)$，顶点为$(0, 0)$。
二、圆锥曲线的参数方程圆锥曲线还可以用参数方程表示。
以椭圆为例，其参数方程为：$$\begin{cases}x = a \cos \theta, \\y = b \sin \theta. \\\end{cases}$$其中$\theta$的取值范围为$[0, 2\pi]$。
双曲线和抛物线的参数方程也可以类似地表示。
三、圆锥曲线的极坐标方程圆锥曲线还可以用极坐标方程表示。
以椭圆为例，其极坐标方程为：$$r = \frac{ab}{\sqrt{a^2 \sin^2 \theta + b^2 \cos^2 \theta}}.$$其中$r$为极径，$\theta$为极角。
双曲线和抛物线的极坐标方程也可以类似地表示。
四、圆锥曲线的性质1. 圆锥曲线关于坐标轴的对称性：- 椭圆关于$x$轴和$y$轴都对称；- 双曲线关于$x$轴和$y$轴都对称；- 抛物线关于$y$轴对称。
2. 圆锥曲线的焦点、直径、离心率等：- 椭圆的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 - b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 双曲线的焦点到中心的距离为$c = \sqrt{a^2 + b^2}$，离心率为$e = c/a$；- 抛物线的焦点到中心的距离为$c = a$，离心率为$e = 1$。
各种曲线的方程
1.碟形弹簧圓柱坐标方程：r = 5theta = t*3600z =(sin(3.5*theta-90))+24*t2.葉形线.笛卡儿坐標标方程：a=10x=3*a*t/(1+(t^3))y=3*a*(t^2)/(1+(t^3))3.螺旋线(Helical curve)圆柱坐标（cylindrical）方程：r=ttheta=10+t*(20*360)z=t*34.蝴蝶曲线球坐标方程：rho = 8 * ttheta = 360 * t * 4phi = -360 * t * 85.渐开线采用笛卡尔坐标系方程：r=1ang=360*ts=2*pi*r*tx0=s*cos(ang)y0=s*sin(ang)x=x0+s*sin(ang)y=y0-s*cos(ang)z=06.螺旋线.笛卡儿坐标方程：x = 4 * cos ( t *(5*360))y = 4 * sin ( t *(5*360))z = 10*t7.对数曲线笛卡尔坐标系方程：z=0x = 10*ty = log(10*t+0.0001)8.球面螺旋线采用球坐标系方程：rho=4theta=t*180phi=t*360*209.双弧外摆线卡迪尔坐标方程：l=2.5b=2.5x=3*b*cos(t*360)+l*cos(3*t*360)Y=3*b*sin(t*360)+l*sin(3*t*360)10.星行线卡迪尔坐标方程：a=5x=a*(cos(t*360))^3y=a*(sin(t*360))^311.心脏线圓柱坐标方程：a=10r=a*(1+cos(theta))theta=t*36012.圆内螺旋线采用柱座标系方程：theta=t*360r=10+10*sin(6*theta)z=2*sin(6*theta)13.正弦曲线笛卡尔坐标系方程：x=50*ty=10*sin(t*360)z=014.太阳线（这本来是做别的曲线的，结果做错了，就变成这样了）15.费马曲线（有点像螺纹线）数学方程：r＊r = a*a*theta圓柱坐标方程1: theta=360*t*5a=4r=a*sqrt(theta*180/pi)方程2: theta=360*t*5a=4r=-a*sqrt(theta*180/pi)由于Pro/e只能做连续的曲线，所以只能分两次做16.Talbot 曲线卡笛尔坐标方程：theta=t*360a=1.1b=0.666c=sin(theta)f=1x = (a*a+f*f*c*c)*cos(theta)/ay = (a*a-2*f+f*f*c*c)*sin(theta)/b17.4叶线（一个方程做的，没有复制）18.Rhodonea 曲线采用笛卡尔坐标系方程：theta=t*360*4x=25+(10-6)*cos(theta)+10*cos((10/6-1)*theta) y=25+(10-6)*sin(theta)-6*sin((10/6-1)*theta)19. 抛物线笛卡儿坐标方程：x =(4 * t)y =(3 * t) + (5 * t ^2) z =020.螺旋线圓柱坐标方程：r = 5theta = t*1800z =(cos(theta-90))+24*t21.三叶线圆柱坐标方程：a=1theta=t*380b=sin(theta)r=a*cos(theta)*(4*b*b-1)22.外摆线迪卡尔坐标方程：theta=t*720*5b=8a=5x=(a+b)*cos(theta)-b*cos((a/b+1)*theta) y=(a+b)*sin(theta)-b*sin((a/b+1)*theta) z=023. Lissajous 曲线theta=t*360a=1b=1c=100n=3x=a*sin(n*theta+c) y=b*sin(theta)24.长短幅圆内旋轮线卡笛尔坐标方程：a=5b=7c=2.2theta=360*t*10x=(a-b)*cos(theta)+c*cos((a/b-1)*theta) y=(a-b)*sin(theta)-c*sin((a/b-1)*theta)25.长短幅圆外旋轮线卡笛尔坐标方程：theta=t*360*10a=5b=3c=5x=(a+b)*cos(theta)-c*cos((a/b+1)*theta) y=(a+b)*sin(theta)-c*sin((a/b+1)*theta)a=10x = a*(2*cos(t*360)+cos(2*t*360)) y = a*(2*sin(t*360)-sin(2*t*360))27.概率曲线！方程：笛卡儿坐标x = t*10-5y = exp(0-x^2)28.箕舌线笛卡儿坐标系a = 1x = -5 + t*10y = 8*a^3/(x^2+4*a^2)柱坐标a=100theta = t*400r = a*theta30.对数螺线柱坐标theta = t*360*2.2 a = 0.005r = exp(a*theta)31.蔓叶线笛卡儿坐标系a=10y=t*100-50solvex^3 = y^2*(2*a-x) for x32.tan曲线笛卡儿坐标系x = t*8.5 -4.25y = tan(x*20)33.双曲余弦x = 6*t-3y = (exp(x)+exp(0-x))/234.双曲正弦x = 6*t-3y = (exp(x)-exp(0-x))/235.双曲正切x = 6*t-3y = (exp(x)-exp(0-x))/(exp(x)+exp(0-x))36.一峰三驻点曲线x = 3*t-1.5y=(x^2-1)^3+137.八字曲线x = 2 * cos ( t *(2*180)) y = 2 * sin ( t *(5*360)) z = 038.螺旋曲线r=t*(10*180)+1 theta=10+t*(20*180) z=t39.圆x = cos ( t *(5*180)) y = sin ( t *(5*180)) z = 040.封闭球形环绕曲线rho=2theta=360*tphi=t*360*1041.柱坐标螺旋曲线x = 100*t * cos ( t *(5*180)) y = 100*t * sin ( t *(5*180)) z = 042.蛇形曲线x = 2 * cos ( (t+1) *(2*180)) y = 2 * sin ( t *(5*360))z = t*(t+1)柱坐标theta = t*360r=10+(8*sin(theta))^244.椭圆曲线笛卡尔坐标系a = 10b = 20theta = t*360x = a*cos(theta)y = b*sin(theta)45.梅花曲线柱坐标r=10+(3*sin(theta*2.5))^246.另一个花曲线theta = t*360r=10-(3*sin(theta*3))^2z=4*sin(theta*3)^247.改一下就成为空间感更强的花曲线了;) theta = t*360r=10-(3*sin(theta*3))^2z=(r*sin(theta*3))^248.螺旋上升的椭圆线a = 10b = 20theta = t*360*3x = a*cos(theta)y = b*sin(theta)z=t*1249.甚至这种螺旋花曲线theta = t*360*4r=10+(3*sin(theta*2.5))^2 z = t*1650 鼓形线笛卡尔方程r=5+3.3*sin(t*180)+t theta=t*360*10z=t*1051 长命锁曲线笛卡尔方程：a=1*t*359.5b=q2*t*360c=q3*t*360rr1=w1rr2=w2rr3=w3x=rr1*cos(a)+rr2*cos(b)+rr3*cos(c) y=rr1*sin(a)+rr2*sin(b)+rr3*sin(c)52 簪形线球坐标方程：rho=200*ttheta=900*tphi=t*90*1053.螺旋上升曲线r=t^10theta=t^3*360*6*3+t^3*360*3*3 z=t^3*(t+1)54.蘑菇曲线rho=t^3+t*(t+1)theta=t*360phi=t^2*360*20*2055. 8字曲线a=1b=1x=3*b*cos(t*360)+a*cos(3*t*360) Y=b*sin(t*360)+a*sin(3*t*360)56.梅花曲线theta=t*360r=100+50*cos(5*theta) z=2*cos(5*theta)57.桃形曲线rho=t^3+t*(t+1) theta=t*360phi=t^2*360*10*1058.名稱:碟形弹簧建立環境:pro/e圓柱坐r = 5theta = t*3600z =(sin(3.5*theta-90))+2459.环形二次曲线笛卡儿方程：x=50*cos(t*360)y=50*sin(t*360)z=10*cos(t*360*8)60 蝶线球坐标：rho=4*sin(t*360)+6*cos(t*360^2) theta=t*360phi=log(1+t*360)*t*36061.正弦周弹簧笛卡尔：ang1=t*360ang2=t*360*20x=ang1*2*pi/360y=sin(ang1)*5+cos(ang2) z=sin(ang2)62.环形螺旋线x=（50+10*sin(t*360*15))*cos(t*360) y=(50+10*sin(t*360*15))*sin(t*360)z=10*cos(t*360*5)63.内接弹簧x=2*cos(t*360*10)+cos(t*180*10)y=2*sin(t*360*10)+sin(t*180*10)z=t*664.多变内接式弹簧x=3*cos(t*360*8)-1.5*cos(t*480*8) y=3*sin(t*360*8)-1.5*sin(t*480*8)z=t*865.柱面正弦波线柱坐标：方程r=30theta=t*360z=5*sin(5*theta-90)66. ufo （漩涡线）球坐标：rho=t*20^2 theta=t*log(30)*60 phi=t*720067. 手把曲线thta0=t*360 thta1=t*360*6r0=400r1=40r=r0+r1*cos(thta1) x=r*cos(thta0)y=r1*sin(thta1)z=068.篮子圆柱坐标r=5+0.3*sin(t*180)+ttheta=t*360*30z=t*569. 圆柱齿轮齿廓的渐开线方程：afa=60*tx=10*cos(afa)+pi*10*afa/180*sin(afa)x=10*sin(afa)-pi*10*afa/180*cos(afa)z=0注：afa为压力角，取值范围是0到60，10为基圆半径。
双曲线的简单几何性质(直线与双曲线的位置关系)
焦点坐标,离心率.渐近线方程。 解：把方程化为标准方程
可得:实半轴长a=4
虚半轴长b=3 半焦距c=
42 32 5
焦点坐标是(0,-5),(0,5) 离心率:
e
4 渐近线方程: y x 3
c 5 a 4
5 例2:已知双曲线顶点间的距离是16，离心率e ， 4 焦点在x轴上，中心在原点，写出双曲线的方 程，并且求出它的渐近 线和焦点坐标 . 2 2
解： 椭圆的焦点在x轴上，且坐标为
F ， 0)，F （ ， 0） 1 (2 2 2 2 2
双曲线的焦点在x轴上，且c 2 2
3 双曲线的渐近线方程为 y x 3 b 3 ，而c 2 a 2 b 2 ， a 2 b 2 8 a 3 解出 a 2 6，b 2 2 x2 y2 双曲线方程为 1 6 2
xa
x a
ya
或
或
y a
b c 关于 ( a,0) y x e 坐标 a a 轴和 (其中 原点 都对 a c 2 a 2 b2 ) 称 (0, a) y x b
例题讲解
例1 :求双曲线
9y2 16x2 144 的实半轴长,虚半轴长,
y2 x2 2 1 2 4 3
. .
B2 A2
图形
. .
F1(-c,0)
F1
y
y
F2
A1 A2
O
F2(0,c)
B1
B1 F2(c,0)
F2
x
A1 O F1
x F1(0,-c)
方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐近线
பைடு நூலகம்
x y 1 (a b 0) 2 2 a b
高中数学必修一《双曲线及其标准方程》课件
2R
又∵|BC|－|AC|＝±8，
∴sin
A－sin sin C
B＝±180＝±45.]
31
(2)[解] 因为 P 是双曲线左支上的点，所以|PF2|－|PF1|＝6，两 边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，所以|PF1|2＋|PF2|2＝36＋ 2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.
16
(2)法一：∵焦点相同， ∴设所求双曲线的标准方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)，
∴c2＝16＋4＝20，即 a2＋b2＝20.
①
∵双曲线经过点(3 2，2)，∴1a82－b42＝1.
②
由①②得 a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为1x22 －y82＝1.
17
法二：设所求双曲线的方程为16x－2 λ－4＋y2 λ＝1(－4<λ<16)． ∵双曲线过点(3 2，2)，∴161－8 λ－4＋4 λ＝1， 解得 λ＝4 或 λ＝－14(舍去)． ∴双曲线的标准方程为1x22 －y82＝1.
所以双曲线的标准方程为x32－y52＝1.
23
(2)因为焦点在 x 轴上，且 c＝ 6， 所以设双曲线的标准方程为ax22－6－y2a2＝1,0＜a2＜6. 又因为过点(－5,2)，所以2a52 －6－4 a2＝1， 解得 a2＝5 或 a2＝30(舍去)． 所以双曲线的标准方程为x52－y2＝1.
(2)双曲线的定义中，F1、F2 分别为双曲线的左、右焦点，若|MF1| －|MF2|＝2a(常数)，且 2a<|F1F2|，则点 M 的轨迹是什么？
[提示] (1)当距离之差的绝对值等于|F1F2|时，动点的轨迹是两 条射线，端点分别是 F1，F2，当距离之差的绝对值大于|F1F2|时，动 点的轨迹不存在．
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第55课时 曲线与方程
编者：陈彩余 审核：陆海蓉 第一部分 预习案
一、学习目标
1.理解坐标法研究解析几何问题的基本思想，会根据条件求曲线的轨迹方程；
2.掌握常用的几种求轨迹方程的方法．
二、知识回顾
1．曲线与方程
如果曲线C 上点的坐标(x ，y )都是方程f (x ，y )＝0的解，且以方程f (x ，y )＝0的解(x ，y )为坐标的点都在曲线C 上，那么，方程f (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程f (x ，y )＝0的曲线．
2．求动点的轨迹方程的一般步骤
(1)建系——建立适当的坐标系．
(2)设点——设轨迹上的任一点P (x ，y )．
(3)列式——列出动点P 所满足的关系式．
(4)代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为x ，y 的方程式，并化简．
(5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．
3．两曲线的交点
(1)由曲线方程的定义可知，两条曲线交点的坐标应该是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；反过来，方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点．
(2)两条曲线有交点的充要条件是它们的方程所组成的方程组有实数解．可见，求曲线的交点问题，就是求由它们的方程所组成的方程组的实数解问题．
4．注意点
求轨迹方程的常用方法
(1)直接法：直接利用条件建立x ，y 之间的关系F (x ，y )＝0；
(2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程——先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数；
(3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；
(4)代入法(相关点法)：动点P (x ，y )依赖于另一动点Q (x 0，y 0)的变化而变化，并且Q (x 0，y 0)又在某已知曲线上，则可先用x ，y 的代数式表示x 0，y 0，再将x 0，y 0代入已知曲线得要求的轨迹方程；
(5)参数法：当动点P (x ，y )坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x ，y 均用一中间变量(参数)表示，得参数方程，再消去参数得普通方程．
班级_________ 学号_________
姓名_________
三、基础训练
1．已知点A (－2,0)、B (3,0)，动点P (x ，y )满足P A →·PB →＝x 2－6，则点P 的轨迹方程是__________．
2．已知两定点A (－2,0)、B (1,0)，如果动点P 满足P A ＝2PB ，则点P 的轨迹所包围的图形的面积
为________．
3．方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是__________________．
4．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，
且PM ＝MQ ，则Q 点的轨迹方程是______________．
5．若点P 到直线x ＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为__________．
第二部分 探究案
探究一 直接法求轨迹方程
问题1已知M (4,0)，N (1,0)，若动点P 满足MN →·MP →＝6|NP →|.
(1)求动点P 的轨迹C 的方程；
(2)设Q 是曲线C 上任意一点，求Q 到直线l ：x ＋2y －12＝0的距离的最小值．
问题2、如图所示，过点P (2,4)作互相垂直的直线l 1，l 2，若l 1交x 轴于A ，l 2交y 轴于B ，求线段AB 中点M 的轨迹方程．
探究二 定义法求轨迹方程
问题3、已知两个定圆O 1和O 2，它们的半径分别是1和2，且O 1O 2＝4.动圆M 与圆O 1内切，又与圆O 2外切，建立适当的坐标系，求动圆圆心M 的轨迹方程，并说明轨迹是何种曲线．
问题4、已知点F ⎝⎛⎭⎫14，0，直线l ：x ＝－14
，点B 是l 上的动点．若过B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹方程是________．
探究三 相关点法求轨迹方程
问题5、设F (1,0)，M 点在x 轴上，P 点在y 轴上，且MN →＝2MP →，PM →⊥PF →，当点P 在y 轴上运动
时，求点N 的轨迹方程．
问题6、已知长为1＋2的线段AB 的两个端点A 、B 分别在x 轴、y 轴上滑动，P 是AB 上一点，
且AP →＝22
PB →，求点P 的轨迹C 的方程．
探究四 利用参数法求轨迹方程
问题7、已知抛物线y 2＝4px (p >0)，O 为顶点，A 、B 为抛物线上的两动点，且满足OA ⊥OB ，如果OM ⊥AB 于M 点，求点M 的轨迹方程．
我的收获
第三部分 训练案 见附页。