2020届高三数学二轮复习备考限时训练(4)
【2020】高考数学二轮复习小题限时练四理
(建议用时：40分钟)1.设集合M＝{－1，0，1}，N＝{x|x2≤x}，则M∩N＝______.解析因为N＝{x|x2≤x}＝{x|0≤x≤1}，所以M∩N＝{0，1}.答案{0，1}2.一支田径队有男女运动员98人，其中男运动员有56人.按男女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员人数是________.解析设应抽取的女运动员人数是x，则x98－56＝2898，易得x＝12.答案123.复数11＋i＝________.解析11＋i＝1－i（1＋i）（1－i）＝1－i2＝12－12i.答案12－12i4.某算法的伪代码如图所示，该算法输出的结果是________.I←1S←1While S≤24S←S×II←I＋1End WhilePrint I解析逐次写出运行结果.该伪代码运行5次，各次S和I的值分别是1和2；2和3；6和4；24和5；120和6，所以该算法输出的I＝6.答案 65.将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，则点数相同的概率是_______ _.＝63×12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－33×32＝6＋36. 答案6＋36 9.设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，2和a ，且长为a 的棱与长为2的棱异面，则a 的取值范围是________.解析由题知令BD ＝BC ＝AD ＝AC ＝1，AB ＝a ，则DC ＝2，分别取DC ，AB 的中点E ，F ，连接AE 、BE 、EF .由于EF ⊥DC ，EF ⊥AB .而BE ＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝ 1－12＝22，BF ＜BE ，AB ＝2BF ＜2BE ＝2. 答案 (0，2)10.过点P (1，1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分成两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为________.解析 当OP 与所求直线垂直时面积之差最大，故所求直线方程为x ＋y －2＝0. 答案 x ＋y －2＝011.两座相距60 m 的建筑物AB 、CD 的高度分别为20 m 、50m，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为________. 解析 在△ACD 中，容易求得AD ＝2010，AC ＝305，又CD ＝50，由余弦定理可得cos∠CAD ＝AD2＋AC2－CD22AD·AC ＝22，所以∠CAD ＝45°， 即从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.答案 45°12.两个半径分别为r 1，r 2的圆M 、N ，公共弦AB 长为3，如图所示，则AM →·AB→＋AN →·AB →＝________.解析连接圆心MN 与公共弦相交于点C ，则C 为公共弦AB 的中点，且MN ⊥AB ，故AM →·AB →＝|AB →||AM →|·cos∠MAC ＝|AB →|·|AC →|＝12|AB →|2＝92，同理AN →·AB →＝|AB →||AN →|·cos∠NAC ＝|AB →||AC →|＝12|AB →|2＝92，故AM →·AB →＋AN →·AB →＝9.答案 9 13.设a ＝2 0110.1，b ＝ln 2 0122 010，c ＝log 122 0112 010，则a ，b ，c 的大小关系是________. 解析 由指数函数、对数函数图象可知a ＞1，0＜b ＜1，c ＜0，所以a ＞b ＞c . 答案 a ＞b ＞c14.设f (x )＝|lnx |，若函数g (x )＝f (x )－ax 在区间(0，4)上有三个零点，则实数a 的取值范围是________.解析 原问题等价于方程|ln x |＝ax 在区间(0，4)上有三个根，令h (x )＝ln x ⇒h ′(x )＝1x， 由h (x )在(x 0，ln x 0)处切线y －ln x 0＝1x0(x －x 0)过原点得x 0＝e ，即曲线h (x )过原点的切线斜率为1e，而点(4，ln 4)与原点确定的直线的斜率为ln 22，所以实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 22，1e .。
2020届高考数学大二轮复习专题基础保分强化训练四文
基础保分强化训练(四)1．集合A ＝{x |x 2－a ≤0}，B ＝{x |x <2}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，4] B ．(－∞，4) C ．[0,4] D ．(0,4)答案 B解析 当a <0时，集合A ＝∅，满足题意；当a ≥0时，A ＝[－a ，a ]，若A ⊆B ，则a <2，所以0≤a ＜4，所以a ∈(－∞，4)，故选B.2．已知复数z 满足z ＋|z |＝3＋i ，则z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C.43－i D.43＋i 答案 D解析 设z ＝a ＋b i ，其中a ，b ∈R ，由z ＋|z |＝3＋i ，得a ＋b i ＋ a 2＋b 2＝3＋i ，由复数相等可得⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝3，b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43，b ＝1，故z ＝43＋i ，故选D.3．已知直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝2相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“∠AOB ＝120°”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由题意得圆心(0,0)到直线l ：y ＝kx ＋1的距离为d ＝11＋k2，若∠AOB ＝120°，则有11＋k2＝2×12，得k 2＝1即k ＝±1，若k ＝1时，则∠AOB ＝120°，但∠AOB ＝120°时，k ＝－1或k ＝1，故选A.4．将数字1,2,3填入编号为4,5,6的三个方格中，每个方格填上一个数字，则恰有一个方格的编号与所填的数字之差为3的概率是( )A.25B.35C.12D.34 答案 C解析 将数字1,2,3填入编号为4,5,6的三个方格中，其基本事件为(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,2,1)，(3,1,2)，共有6个，其中恰有一个方格的编号与所填的数字之差为3的事件有(1,3,2)，(2,1,3)，(3,2,1)，所以恰有一个方格的编号与所填的数字之差为3的概率P ＝36＝12.故选C.5．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则PA →·(PB →＋PC →)等于( )A ．－49B ．－43 C.43 D.49答案 A解析 如图，∵AP →＝2PM →，∴AP →＝PB →＋PC →，∴PA →·(PB →＋PC →)＝－PA →2，∵AM ＝1且AP →＝2PM →，∴|PA →|＝23，∴PA →·(PB →＋PC →)＝－49，故选A.6．下列函数中，既是奇函数又在(－∞，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝|x |C ．y ＝－x 3D ．y ＝ln (x 2＋1＋x )答案 D解析 sin x 不是单调递增函数，可知A 错误；|－x |＝|x |，则函数y ＝|x |为偶函数，可知B 错误；y ＝－x 3在(－∞，＋∞)上单调递减，可知C 错误；ln (－x2＋1－x )＝ln1x 2＋1＋x＝－ln (x 2＋1＋x )，则y ＝ln (x 2＋1＋x )为奇函数；当x ≥0时， x 2＋1＋x单调递增，由复合函数单调性可知y ＝ln (x 2＋1＋x ) 在[0，＋∞)上单调递增，根据奇函数对称性，可知在(－∞，＋∞)上单调递增，则D 正确．故选D.7．一个几何体的三视图如图所示，图中的三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为( )A ．8－2π3B ．4－π3C ．8－π3D ．4－2π3答案 A解析 由三视图可得该几何体的直观图如图所示，该几何体是一个棱长为2的正方体上、下各挖去一个底面半径为1，高为1的圆锥后剩余的部分，其体积为23－2×13×π×12×1＝8－2π3.故选A.8．已知平面区域Ω1：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y ≤0，y ＋2≥0，Ω2：x 2＋y 2≤9，则点P (x ，y )∈Ω1是P (x ，y )∈Ω2的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 平面区域Ω2：x 2＋y 2≤9，表示圆以及内部部分； Ω1：⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x ＋y ≤0，y ＋2≥0的可行域如图三角形区域：则点P (x ，y )∈Ω1是P (x ，y )∈Ω2的充分不必要条件．故选A.9．若ω>0，函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx 的图象重合，则ω的最小值为( )A.112 B.52 C.12 D.32答案 B解析 函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后，所得函数图象对应的解析式为y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x －π3＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ3＋π3，其图象与函数y ＝sin ωx ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2＋2k π，k ∈Z 的图象重合，∴－π2＋2k π＝－ωπ3＋π3，k ∈Z ，∴ω＝－6k ＋52，k ∈Z ，又ω>0，∴ω的最小值为52，故选B.10．设a ＝log 43，b ＝log 52，c ＝log 85，则( ) A ．a <b <c B ．b <c <a C ．b <a <c D ．c <a <b答案 B解析 ∵a ＝log 43＝log 6427＝lg 27lg 64，c ＝log 85＝log 6425＝lg 25lg 64，∴log 43>log 85，即a >c ，∵2<5，5>8，∴c ＝log 85>log 88＝12，b ＝log 52<log 55＝12，∴log 85>log 52，即c >b ，∴log 43>log 85>log 52， 即a >c >b .故选B.11．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过原点的直线与双曲线C 交于A ，B 两点，若∠AF 2B ＝60°，△ABF 2的面积为3a 2，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±2xC ．y ＝±33x D ．y ＝±3x答案 D解析 根据题意，连接AF 1，BF 1，AF 2，BF 2得四边形AF 2BF 1为平行四边形，几何关系如图所示，设|AF 2|＝x ，则|BF 1|＝x ，|BF 2|＝x ＋2a ，△ABF 2的面积为3a 2，∠AF 2B ＝60°，则由三角形面积公式可得3a 2＝12x ·(x ＋2a )·32，化简得x 2＋2ax －4a 2＝0，解得x ＝(5－1)a ，x ＝(－5－1)a (舍去)．所以|BF 2|＝(5＋1)a .在△BF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，由余弦定理可得|F 1F 2|2＝|BF 1|2＋|BF 2|2－2|BF 1|·|BF 2|·cos120°，即(2c )2＝(5－1)2a 2＋(5＋1)2a 2－2(5－1)a ·(5＋1)a cos120°，化简可得c 2＝4a 2，由双曲线中c 2＝a 2＋b 2，可得b 2＝3a 2，即ba＝±3，所以渐近线方程为y ＝±3x ，所以选D.12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x <0，ln x ，x >0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝________. 答案 1e解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝ln 1e ＝－1，∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝f (－1)＝e －1＝1e .13．如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的飞行高度为10000 m ，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15°，经过420 s 后看山顶的俯角为45°，则山顶的海拔高度为________ m ．(取2＝1.4，3＝1.7)答案 2650解析 如图，作CD 垂直于AB 的延长线于点D ，由题意知∠A ＝15°，∠DBC ＝45°，∴∠ACB ＝30°，AB ＝50×420＝21000.又在△ABC 中，BCsin ∠A ＝ABsin ∠ACB，∴BC ＝2100012×sin15°＝10500(6－2)．∵CD ⊥AD ，∴CD ＝BC ·sin∠DBC ＝10500×(6－2)×22＝10500×(3－1)＝7350.故山顶的海拔高度h ＝10000－7350＝2650(m)．14．将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多1项的规则排成如下数阵：记数阵中的第1列数a 1，a 2，a 4，…构成的数列为{b n }，S n 为数列{b n }的前n 项和．若S n＝2b n －1，则a 56＝________.答案 1024解析 当n ≥2时，∵S n ＝2b n －1，∴S n －1＝2b n －1－1，∴b n ＝2b n －2b n －1，∴b n ＝2b n －1(n ≥2且n ∈N *)，∵b 1＝2b 1－1，∴b 1＝1，∴数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列，∴b n ＝2n －1.设a 1，a 2，a 4，a 7，a 11，…的下标1,2,4,7,11，…构成数列{c n }，则c 2－c 1＝1，c 3－c 2＝2，c 4－c 3＝3，c 5－c 4＝4，…，c n －c n －1＝n －1，累加得，c n －c 1＝1＋2＋3＋4＋…＋(n －1)，∴c n ＝n n －12＋1，由c n ＝n n －12＋1＝56，得n ＝11，∴a 56＝b 11＝210＝1024.。
(通用版)2020版高考数学大二轮复习考前强化练4客观题124标准练D文
考前强化练4 客观题12+4标准练D一、选择题1.(2019山西临汾一中、忻州一中、长治二中等五校高三联考,理2)复数的共轭复数在复平面内对应的点位于() A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.(2019河北邢台二中二模,理1)已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B的真子集个数为() A.0 B.1 C.2 D.3=5,则=()3.(2019湖北武汉高三调研,文3)若角α满足-A. B. C.5或 D.54.(2019辽宁丹东高三质检二,文7)据中国古代数学名著《九章算术》中记载,公元前344年,先秦法家代表人物商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升,其三视图如图所示(单位:寸),其体积为12.6立方寸.若取圆周率π=3,则图中的x值为()A.1.5B.2C.3D.3.15.若数列{a n}是正项数列,且+…+=n2+n,则a1++…+等于()A.2n2+2nB.n2+2nC.2n2+nD.2(n2+2n)6.将函数f(x)=cos2sin-2cos+(ω>0)的图象向左平移个单位长度,得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)在0,上为增函数,则ω的最大值为()A.2B.4C.6D.87.(2019陕西宝鸡中学高三二模,文6)设D为椭圆x2+=1上任意一点,A(0,-2),B(0,2),延长AD至点P,使得|PD|=|BD|,则点P的轨迹方程为()A.x2+(y-2)2=20B.x2+(y-2)2=5C.x2+(y+2)2=20D.x2+(y+2)2=58.如图是计算函数y=---的值的程序框图,则在①②③处应分别填入的是()A.y=-x,y=0,y=x2B.y=-x,y=x2,y=0C.y=0,y=x2,y=-xD.y=0,y=-x,y=x29.设等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a1=9,a2为整数,且S n≤S5,则数列的前9项和为()A.-B.-C.-9D.810.已知函数f(x)=e x+-ln x的极值点为x1,函数g(x)=e x+x-2的零点为x2,函数h(x)=的最大值为x3,则()A.x1>x2>x3B.x2>x1>x3C.x3>x1>x2D.x3>x2>x111.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,其准线经过双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点,点M为这两条曲线的一个交点,且|MF|=p,则双曲线的离心率为()A.B.2C.D.+112.已知函数f(x),若在其定义域内存在实数x满足f(-x)=-f(x),则称函数f(x)为“局部奇函数”,若函数f(x)=4x-m·2x-3是定义在R上的“局部奇函数”,则实数m的取值范围是()A.[-)B.[-2,+∞)C.(-∞,2)D.[-2)二、填空题13.已知向量m=(1,2),n=(2,3),则m在m-n方向上的投影为.14.长郡中学某次高三文数周测,张老师宣布这次考试的前五名是:邓清、武琳、三喜、建业、梅红,然后让五人分别猜彼此名次.邓清:三喜第二,建业第三;武琳:梅红第二,邓清第四;三喜:邓清第一,武琳第五;建业:梅红第三,武琳第四;梅红:建业第二,三喜第五.张老师说:每人的两句话都是一真一假,已知张老师的话是真的,则五个人从一到五的排名次序为.15.(2019山东济宁高三二模,文16)已知三棱锥P-ABC的四个顶点均在体积为36π的球面上,其中PA⊥平面ABC,底面ABC为正三角形,则三棱锥P-ABC体积的最大值为.16.P为双曲线=1右支上一点,F1,F2分别为双曲线的左、右焦点,且=0,直线PF2交y轴于点A,则△AF1P的内切圆半径为.参考答案考前强化练4客观题12+4标准练D1.A解析因为z=-i,所以i,故选A.2.D解析集合A中,x2+y2=1,表示以原点为圆心,1为半径的圆,集合B中y=x,表示一条直线,在同一个坐标系中画出图象,得到两函数有两个交点,则A∩B真子集的个数是22-1=3.故选D.=5,∴-=5,故选D.3.D解析∵--4.C解析由三视图可知,该几何体是由一个圆柱和一个长方体组合而成,由题意可知,12.6=π×2×1.6+(5.4-1.6)×1×x,解得x=3.5.A解析∵+…+=n2+n,∴n=1时,=2,解得a1=4.=(n-1)2+n-1,n≥ 时,+…+-相减可得=2n,∴a n=4n2.n=1时也满足.∴=4n.则a1++…+=4(1+2+…+n)=4×=2n2+2n.故选A.6.C解析f(x)=cos2sin-2cos+=sinωx-2=sinωx-cosωx=2sinωx-,f(x)的图象向左平移个单位长度,得y=2sinωx+-的图象,∴函数y=g(x)=2sinωx.又y=g(x)在0,上为增函数,∴,即,解得ω≤6 所以ω的最大值为6.7.C解析由题意得|PA|=|PD|+|DA|=|DB|+|DA|,又点D为椭圆x2+=1上任意一点,且A(0,-2),B(0,2)为椭圆的两个焦点,∴|DB|+|DA|=2,∴|PA|=2,故点P的轨迹是以点A为圆心,半径为2 的圆,故点P的轨迹方程为x2+(y+2)2=20.故选C.8.B解析由题意及框图可知,在①应填“y=-x”;在②应填“y=x2”;在③应填“y= ”.9.A解析由题意S n=n2+a1-n=n2+9-n,d<0,d∈Z,对称轴n=,当d=-1时,对称轴n=,不满足S n≤S5,若d=-2,对称轴n=5满足题意,∴d=-2,a n=a1+(n-1)×(-2)=11-2n,而=-,∴前9项和为+…+=-++…+=-=---=-.10.A解析∵f'(x)=e x+x-在(0,+∞)上单调递增,且f'=>0,f'=<0,∴x1∈且 +x1-=0.∵函数g(x)=e x+x-2在(0,+∞)上单调递增,且g=>0,g=-2<0,∴x2∈.又g(x1)=+x1-2=-x1+x1-2=-2>0=g(x2),且g(x)单调递增,∴x1>x2.由h'(x)=-,可得h(x)max=h(e)=,即x3=,∴x1>x2>x3.故选A.11.D解析抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,其准线方程为x=-,∵准线经过双曲线的左焦点,∴c=.∵点M为这两条曲线的一个交点,且|MF|=p,∴M的横坐标为,代入抛物线方程,可得M的纵坐标为±p.将M的坐标代入双曲线方程,可得=1, ∴a=-p,∴e=1+.故选D.12.B解析根据“局部奇函数”的定义可知,方程f(-x)=-f(x)有解即可,即4-x-m·2-x-3=-(4x-m·2x-3),∴4-x+4x-m(2-x+2x)-6=0,化为(2-x+2x)2-m(2-x+2x)-8=0有解,令2-x+2x=t(t≥ 则有t2-mt-8=0在[2,+∞)上有解,设g(t)=t2-mt-8,图象抛物线的对称轴为t=,①若m≥ 则Δ=m2+32>0,满足方程有解;②若m<4,要使t2-mt-8=0在t≥ 时有解,则需:解得- ≤m<4.--综上得实数m的取值范围为[-2,+∞).13.-解析∵向量m=(1,2),n=(2,3),∴m-n=(-1,-1).∴m·(m-n)=-1-2=-3,=-.则m在m-n方向上的投影为·--14.邓清、梅红、建业、武琳、三喜解析假设邓清说话中“三喜第二为真,建业第三为假” 则梅红说话中“建业第二为真,三喜第五为假” 这与邓清说话中“三喜第二为真,建业第三为假”矛盾,所以邓清说话中“三喜第二为假,建业第三为真”.则梅红说话中“建业第二为假,三喜第五为真” 进而三喜说话中“邓清第一为真,武琳第五为假” 从而武琳说话中“梅红第二为真,邓清第四为假” 推出建业说话中“梅红第三为假,武琳第四为真”.15.9解析由球的体积公式可得πR3=36π,解得R=3.不妨设底面正三角形的边长为2a,则S△ABC=·2 ·2 · 6 °=a2.设棱锥的高为h,由三棱锥的性质可得R2=a2+2=9,解得h2=36- 6a2,据此可得:h2-△= ·3a 4·36- 6a 2= 6·12-6≤6·- 63=6 ×64=81.故 -≤ V P-ABC ≤ 当且仅当 =12- 6 a 2,a 2=时等号成立. 综上可得,三棱锥P-ABC 体积的最大值为9. 16.2 解析∵PF 1⊥PF 2,△APF 1的内切圆半径为r ,∴|PF 1|+|PA|-|AF 1|=2r , ∴|PF 2|+2a+|PA|-|AF 1|=2r , ∴|AF 2|-|AF 1|=2r-4,∵由图形的对称性知:|AF 2|=|AF 1|, ∴r=2.。
2020高三二轮数学模拟卷理(4)答案
2020年普通高等学校招生全国统一考试高考仿真模拟卷(四)(时间：120分钟；满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M＝{x|1≤x＜3}，N＝{1，2}，则M∩N＝( )A．{1} B．{1，2}C．{2} D．[1，2]2．若复数z满足(z－1)i＝4＋2i，则|z|＝( )A．25 B.17C．5 D．173．某市A，B，C，D四所中学报名参加某高校2017年自主招生考试的学生人数如下表所示：考试的学生中随机抽取50名参加问卷调查．则A，B，C，D四所中学抽取的学生人数分别为( )A．15，20，10，5 B．15，20，5，10C．20，15，10，5 D．20，15，5，104．等比数列{a n}的前n项和为S n，则“a2＜0且a5＜0”是“数列{S n}单调递减”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2－c 2＝ab ＝3，则△ABC 的面积为( )A.34B.34 C.32D.326．设a ＝log 123，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130.2，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12，则( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c7．若非零向量a 、b 满足|a |＝2|b |＝4，(a －2b )·a ＝0，则a 在b 方向上的投影为( ) A ．4 B ．8 C.14D.188．执行如图所示的程序框图，若输出的n ＝7，则输入的整数K 的最大值是( )A ．18B ．50C ．78D ．3069．已知一个封闭的长方体容器中装有两个大小相同的铁球，若该长方体容器的三个相邻侧面的面积分别为6，8，12，则铁球的直径最大只能为( )A. 3 B ．2 C.5D ．410．P 为圆C 1：x 2＋y 2＝9上任意一点，Q 为圆C 2：x 2＋y 2＝25上任意一点，PQ 中点组成的区域为M ，在C 2内部任取一点，则该点落在区域M 上的概率为( )A.1325B.35C.1225πD.35π 11．已知F 是双曲线C ：x 2a2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，过点F 作垂直于x 轴的直线交该双曲线的一条渐近线于点M ，若|FM |＝2a ，记该双曲线的离心率为e ，则e 2＝( )A.1＋172B.1＋174C.2＋52D.2＋5412．已知函数f (x )＝x 2＋(a ＋8)x ＋a 2＋a －12(a <0)，且f (a 2－4)＝f (2a －8)，则f （n ）－4a n ＋1(n ∈N *)的最小值为( )A.374B.358C.283D.274题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知函数f (x )＝tan x ＋sin x ＋2 017，若f (m )＝2，则f (－m )＝________.14．已知x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －5≥0，x ＋y －7≤0，x －2≥0若z ＝x ＋ay 的最小值为4，则实数a的值为________．15．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n －1，则数列b n ＝a 2n －7a n ＋6的最小值为________．16.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，它的外观是如图所示的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根等长的正四棱柱体分成三组，经90°榫卯起来．若正四棱柱的高为4，底面正方形的边长为2，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积至少为________．(容器壁的厚度忽略不计，结果保留)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝cos x (23sin x ＋cos x )－sin 2x .(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，不等式f (x )≥m 有解，求实数m 的取值范围．18．(本小题满分12分)某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛．经过初赛、复赛，甲、乙两个代表队(每队3人)进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分．假设甲队中每人答对的概率均为34，乙队中3人答对的概率分别为45，34，23，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分．(1)求ξ的分布列和数学期望；(2)求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率．19．(本小题满分12分)如图1，正方形ABCD 的边长为4，AB ＝AE ＝BF ＝12EF ，AB∥EF ，把四边形ABCD 沿AB 折起，使得AD ⊥底面AEFB ，G 是EF 的中点，如图2.(1)求证：AG⊥平面BCE；(2)求二面角C AE F的余弦值．20．(本小题满分12分)设函数f(x)＝ln x，g(x)＝e x，h(x)＝ax2＋bx＋c.(1)若a＝1，b＝c＝0，求函数F(x)＝f(x)h(x)的单调区间；(2)若a＝c＝0，b>0，且G(x)＝g(x)－h(x)≥m(m∈R)对任意的x∈R都成立，求mb的最大值．21．(本小题满分12分)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)在第一象限内的点P(2，t)到焦点F 的距离为52.(1)若N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，过点N ，P 的直线l 1与抛物线相交于另一点Q ，求|QF ||PF |的值；(2)若直线l 2与抛物线C 相交于A ，B 两点，与圆M ：(x －a )2＋y 2＝1相交于D ，E 两点，O 为坐标原点，OA ⊥OB ，试问：是否存在实数a ，使得|DE |为定值？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．(本小题满分10分)选修44：坐标系与参数方程已知在一个极坐标系中点C 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3.(1)求出以C 为圆心，半径长为2的圆的极坐标方程(写出解题过程)并画出图形； (2)在直角坐标系中，以圆C 所在极坐标系的极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，点P 是圆C 上任意一点，Q ()5，－3，M 是线段PQ 的中点，当点P 在圆C 上运动时，求点M 的轨迹的普通方程．23．(本小题满分10分)选修45：不等式选讲 设函数f (x )＝|x －a |，a ∈R.(1)若a ＝1，解不等式f (x )≥12(x ＋1)；(2)记函数g (x )＝f (x )－|x －2|的值域为A ，若A ⊆[－1，3]，求a 的取值范围．高考仿真模拟卷(四)答案1．解析：选B.因为M ＝{x |1≤x ＜3}，N ＝{1，2}，所以M ∩N ＝{1，2}．故选B. 2．解析：选C.由(z －1)i ＝4＋2i ，得z －1＝4＋2ii ＝2－4i ，所以z ＝3－4i ，所以|z |＝5.3．解析：选D.由题意知，四所中学报名参加某高校2017年自主招生考试的学生总人数为100，抽取的学生人数与学生总人数的比值为50100＝12.所以应从A ，B ，C ，D 四所中学抽取的学生人数分别为20，15，5，10.4．解析：选C.因为a 5＝a 2q 3＜0，a 2＜0，所以q ＞0，所以a n ＜0恒成立，所以S n －S n －1＝a n ＜0，{S n }单调递减，故为充分条件；S n －S n －1＝a n ＜0⇒a 2＜0，a 5＜0，故为必要条件．故选C.5．解析：选B.依题意得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，C ＝60°，因此△ABC 的面积等于12ab sin C ＝12×3×32＝34.6．解析：选A.因为a ＝log 123<log 122＝－1，0<b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130.2<1，c ＝2>1，所以a <b <c .7．解析：选A.由(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0，得a ·b ＝a 22＝|a |22＝8，从而a 在b 方向上的投影为a ·b |b |＝82＝4，故选A.8．解析：选C.第一次循环S ＝2，n ＝2，第二次循环S ＝6，n ＝3，第三次循环S ＝2，n ＝4，第四次循环S ＝18，n ＝5，第五次循环S ＝14，n ＝6，第六次循环S ＝78，n ＝7，需满足S ≥K ，此时输出n ＝7，所以18<K ≤78，所以整数K 的最大值为78.9．解析：选B.设长方体三条棱的长分别为a ，b ，c ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝6bc ＝8ac ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝2c ＝4.再结合题意可得，铁球的直径最大只能为2. 故选B.10．解析：选B.设Q (x 0，y 0)，中点M (x ，y )，则P (2x －x 0，2y －y 0)代入x 2＋y 2＝9，得(2x －x 0)2＋(2y －y 0)2＝9，化简得：⎝⎛⎭⎪⎫x －x 022＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y 022＝94，又x 20＋y 20＝25表示以原点为圆心半径为5的圆，故易知M 的轨迹是在以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，y 02为圆心，以32为半径的圆绕原点一周所形成的图形，即在以原点为圆心，宽度为3的圆环带上，即应有x 2＋y 2＝r 2(1≤r ≤4)，那么在C 2内部任取一点落在M 内的概率为16π－π25π＝1525＝35.故选B.11．解析：选A.由题意得，F (c ，0)，该双曲线的一条渐近线为y ＝－bax ，将x ＝c 代入y ＝－b a x 得y ＝－bca，所以bc a＝2a ，即bc ＝2a 2，所以4a 4＝b 2c 2＝c 2(c 2－a 2)，所以e 4－e 2－4＝0，解得e 2＝1＋172，故选A.12．解析：选A.二次函数f (x )＝x 2＋(a ＋8)x ＋a 2＋a －12图象的对称轴为直线x ＝－a ＋82，由f (a 2－4)＝f (2a －8)及二次函数的图象，可以得出a 2－4＋2a －82＝－a ＋82，解得a ＝－4或a ＝1，又a <0，所以a ＝－4，所以f (x )＝x 2＋4x ，所以f （n ）－4a n ＋1＝n 2＋4n ＋16n ＋1＝（n ＋1）2＋2（n ＋1）＋13n ＋1＝n ＋1＋13n ＋1＋2≥2（n ＋1）·13n ＋1＋2＝213＋2，又n ∈N *，所以当且仅当n ＋1＝13n ＋1，即n ＝13－1时等号成立，当n ＝2时，f （n ）－4a n ＋1＝283，n ＝3时，f （n ）－4a n ＋1＝294＋2＝374<283，所以最小值为374，故选A. 13．解析：因为函数f (x )＝tan x ＋sin x ＋2 017，所以f (－x )＝－tan x －sin x ＋2 017，从而f (－x )＋f (x )＝4 034，又f (m )＝2，所以f (－m )＝4 032.答案：4 03214．解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，假设z ＝x ＋ay 在点C (2，1)处取得最小值，则2＋a ＝4，a ＝2，此时y ＝－12x ＋12z ，其在点C (2，1)处取得最小值，符合题意．假设z ＝x ＋ay 在点B (2，5)处取得最小值，则2＋5a ＝4，a ＝25，此时y ＝－52x ＋52z ，其在点C 处取得最小值，不符合题意．假设z ＝x ＋ay 在点A (8，－1)处取得最小值，则8－a ＝4，a ＝4，此时y ＝－14x ＋14z ，其在点A 处取得最小值，符合题意．所以a 的值为2或4.答案：2或415．解析：由S n ＝2n －1，得a 1＝S 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1－2n －1＋1＝2n －1，a 1＝1适合上式，所以a n ＝2n－1.则b n ＝a 2n－7an ＋6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －722－254. 所以当n ＝3时(b n )min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－722－254＝－6.故答案为－6. 答案：－616．解析：该球形容器最小时，十字立方体与球内接，此时球直径2R 等于由两个正四棱柱组合而成的几何体的对角线，即2R ＝42＋42＋22＝6，球形容器的表面积为4πR 2＝36π. 答案：36π 17．解：(1)f (x )＝23sin x cos x ＋cos 2x －sin 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以函数f (x )的最小正周期T ＝π.(2)由题意可知，不等式f (x )≥m 有解，即m ≤f (x )max .因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，故当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值，且最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2.从而可得m ≤2 .18．解：(1)由题意知，ξ的所有可能取值为0，10，20，30. P (ξ＝0)＝15×14×13＝160，P (ξ＝10)＝45×14×13＋15×34×13＋15×14×23＝960＝320，P (ξ＝20)＝45×34×13＋45×14×23＋15×34×23＝2660＝1330，P (ξ＝30)＝45×34×23＝25.所以ξ的分布列为所以E (ξ)＝0×160＋10×320＋20×1330＋30×25＝1336.(2)记“甲队得30分，乙队得0分”为事件A ，“甲队得20分，乙队得10分”为事件B ，则A ，B 互斥．又P (A )＝⎝⎛⎭⎫343×160＝91 280， P (B )＝C 23⎝⎛⎭⎫342×14×320＝811 280，故甲、乙两队总得分之和为30分且甲队获胜的概率为P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )＝901 280＝9128. 19．解：(1)证明：连接BG ，因为BC ∥AD ，AD ⊥底面AEFB ，所以BC ⊥底面AEFB ，又AG ⊂底面AEFB ，所以BC ⊥AG ，因为AB ＝12EF ，且AB ∥EF ，所以AB 綊EG ，因为AB＝AE ，所以四边形ABGE 为菱形，所以AG ⊥BE ，又BC ∩BE ＝B ，BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，所以AG ⊥平面BCE .(2)由(1)知四边形ABGE 为菱形，AG ⊥BE ，AE ＝EG ＝BG ＝AB ＝4， 设AG ∩BE ＝O ，所以OE ＝OB ＝23，OA ＝OG ＝2， 以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A (－2，0，0)，E (0，－23，0)，F (4，23，0)，C (0，23，4)，D (－2，0，4)，所以AC →＝(2，23，4)，AE →＝(2，－23，0)，设平面ACE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧AC →·n ＝0，AE →·n ＝0，所以⎩⎨⎧2x ＋23y ＋4z ＝0，2x －23y ＝0，令y ＝1，则x ＝3，z ＝－3，即平面ACE 的一个法向量为n ＝(3，1，－3)，易知平面AEF 的一个法向量为AD →＝(0，0，4)，设二面角C -AE -F 的大小为θ，由图易知θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以cos θ＝|n ·AD →||n |·|AD →|＝437×4＝217.20．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )h (x )＝x 2ln x ，F ′(x )＝2x ln x ＋x (x >0)． 令F ′(x )>0，得x >1e，故F (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞；令F ′(x )<0，得0<x <1e，故F (x )的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫0，1e .(2)由题意知，G (x )＝e x －bx ，故G ′(x )＝e x －b ， 又b >0，令G ′(x )＝e x －b ＝0，得x ＝ln b ，故当x ∈(－∞，ln b )时，G ′(x )<0，此时G (x )单调递减；当x ∈(ln b ，＋∞)时，G ′(x )>0，此时G (x )单调递增．故G (x )min ＝b －b ln b ，所以m ≤b －b ln b ，则mb ≤b 2－b 2ln b . 设r (b )＝b 2－b 2ln b (b >0)，则r ′(b )＝2b －(2b ln b ＋b )＝b －2b ln b ，由于b >0，令r ′(b )＝0，得ln b ＝12，b ＝e ，当b ∈(0，e)时，r ′(b )>0，r (b )单调递增；当b ∈(e ，＋∞)时，r ′(b )<0，r (b )单调递减，所以r (b )max ＝e 2，即当b ＝e ，m ＝12e 时，mb 取得最大值e2.21．解：(1)因为点P (2，t )到焦点F 的距离为52，所以2＋p 2＝52，解得p ＝1，故抛物线C 的方程为y 2＝2x ，P (2，2)，所以l 1的方程为y ＝45x ＋25，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝45x ＋25，y 2＝2x ，可解得x Q ＝18，又|QF |＝x Q ＋12＝58，|PF |＝52，所以|QF ||PF |＝5852＝14.(2)设直线l 2的方程为x ＝ny ＋m (m ≠0)，代入抛物线方程可得y 2－2ny －2m ＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝2n ，y 1y 2＝－2m ，① 由OA ⊥OB 得，(ny 1＋m )(ny 2＋m )＋y 1y 2＝0， 整理得(n 2＋1)y 1y 2＋nm (y 1＋y 2)＋m 2＝0，②将①代入②解得m ＝2或m ＝0(舍去)，满足Δ＝4n 2＋8m >0， 所以直线l 2：x ＝ny ＋2，因为圆心M (a ，0)到直线l 2的距离d ＝|a －2|1＋n 2， 所以|DE |＝2 12－（a －2）21＋n 2，显然当a ＝2时，|DE |＝2，所以存在实数a ＝2，使得|DE |为定值． 22．解：(1)如图，设圆C 上任意一点A (ρ，θ)，则∠AOC ＝θ－π3或π3－θ.由余弦定理得4＋ρ2－4ρcos(θ－π3)＝4，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎫θ－π3.作图如图所示．(2)在直角坐标系中，点C 的坐标为(1，3)，可设圆C 上任意一点P (1＋2cos α，3＋2sin α)，又令M (x ，y )，由Q (5，－3)，M 是线段PQ 的中点，得M 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝6＋2cos α2y ＝2sin α2(α为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos αy ＝sin α(α为参数)，所以点M 的轨迹的普通方程为(x －3)2＋y 2＝1.23．解：(1)由于a ＝1，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x <1.x －1，x ≥1.当x <1时，由f (x )≥12(x ＋1)，得1－x ≥12(x ＋1)，解得x ≤13；当x ≥1时，由f (x )≥12(x ＋1)，得x －1≥12(x ＋1)，解得x ≥3.综上，不等式f (x )≥12(x ＋1)的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，13∪[3，＋∞)． (2)当a <2时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，x ≤a ，2x －2－a ，a <x <2，2－a ，x ≥2，g (x )的值域A ＝[a －2，2－a ]，由A ⊆[－1，3]，得⎩⎪⎨⎪⎧a －2≥－1，2－a ≤3，解得a ≥1，又a <2，故1≤a <2； 当a ≥2时，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2，x ≤2，－2x ＋2＋a ，2－a ，x ≥a ，2<x <a ，g (x )的值域A ＝[2－a ，a －2]，由A ⊆[－1，3]，得⎩⎪⎨⎪⎧2－a ≥－1，a －2≤3，解得a ≤3，又a ≥2，故2≤a ≤3. 综上，a 的取值范围为[1，3]．。
2020-2021学年高考总复习数学(理)二轮复习模拟试题及答案解析四
最新高考数学二模试卷（理科）一、选择题.共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合A={x∈R|﹣3＜x＜2}，B={x∈R|x2﹣4x+3≥0}，则A∩B=（）A．（﹣3，1] B．（﹣3，1）C．[1，2）D．（﹣∞，2）∪[3，+∞）2．复数=（）A．B．C．D．3．在极坐标系中，直线l的方程为，则点到直线l的距离为（）A．B．C．D．4．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．﹣10 B．﹣3 C． 4 D．55．已知数列{a n}中，a n=﹣4n+5，等比数列{b n}的公比q满足q=a n﹣a n﹣1（n≥2），且b1=a2，则|b1|+|b2|+…+|b n|=（）A．1﹣4n B．4n﹣1 C．D．6．设变量x，y满足约束条件，则23x﹣y的取值范围是（）A．B．C．D．7．已知正三角形ABC的边长为1，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点，且，则的最大值为（）A．B．C．D．8．设m，n∈R，若直线l：mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且坐标原点O 到直线l的距离为，则△AOB的面积S的最小值为（）A．B． 2 C． 3 D．4二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上）9．的展开式中含x5的项的系数为（用数字作答）．10．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则sinC= ，△ABC的面积S= ．11．如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上的点，且DF=CF=，AF=2BF，若CE与圆相切，且CE=，则BE= ．12．一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为92m2，则h= m．13．已知双曲线的离心率为，顶点与椭圆的焦点相同，那么该双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为．14．设定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，f′（x）是f（x）的导函数．当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π）且时，．则函数y=f （x）﹣cosx在[﹣3π，3π]上的零点个数为．三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间．16．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AD=1，E为CD的中点，F为AA1的中点．（I）求证：AD1⊥平面A1B1E；（II）求证：DF∥平面AB1E；（III）若二面角A﹣B1E﹣A1的大小为45°，求AB的长．17．为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45]．（Ⅰ）求图中x的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[35，40）岁的人数；（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动，再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．18．已知函数，其中a为正实数，e=2.718…．（I）若是y=f（x）的一个极值点，求a的值；（II）求f（x）的单调区间．19．已知椭圆C：的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点P在椭圆上，且△PF1F2的周长为6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若点P的坐标为（2，1），不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，点P到直线l的距离为d，且M，O，P三点共线．求的最大值．20．已知函数f（x）=2ae x+1，g（x）=lnx﹣lna+1﹣ln2，其中a为常数，e=2.718…，函数y=f （x）的图象与坐标轴交点处的切线为l1，函数y=g（x）的图象与直线y=1交点处的切线为l2，且l1∥l2．（Ⅰ）若对任意的x∈[1，5]，不等式成立，求实数m的取值范围．（Ⅱ）对于函数y=f（x）和y=g（x）公共定义域内的任意实数x．我们把|f（x0）﹣g（x0）|的值称为两函数在x0处的偏差．求证：函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域的所有偏差都大于2．参考答案与试题解析一、选择题.共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合A={x∈R|﹣3＜x＜2}，B={x∈R|x2﹣4x+3≥0}，则A∩B=（）A．（﹣3，1] B．（﹣3，1）C．[1，2）D．（﹣∞，2）∪[3，+∞）考点：交集及其运算．专题：计算题．分析：求解一元二次不等式化简集合B，然后直接利用交集运算求解．解答：解：由x2﹣4x+3≥0，得：x≤1或x≥3．所以B={x∈R|x2﹣4x+3≥0}={x∈R|x≤1或x≥3}，又A={x∈R|﹣3＜x＜2}，所以A∩B={x∈R|﹣3＜x＜2}∩{x∈R|x≤1或x≥3}={x|﹣3＜x≤1}．故选A．点评：本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．2．复数=（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：直接利用复数的除法运算进行化简．解答：解：．故选B．点评：本题考查了复数的除法运算，复数的除法，采用分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．3．在极坐标系中，直线l的方程为，则点到直线l的距离为（）A．B．C．D．考点：点的极坐标和直角坐标的互化；点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，直接使用点到直线的距离公式求出结果．解答：解：点的直角坐标为（﹣，），直线：l：即ρsinθ+ρcosθ=1，化为直角坐标方程为x+y﹣1=0．由点到直线的距离公式得d==，故选B．点评：本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，把极坐标方程化为直角坐标方程是解题的突破口．4．执行如图所示的程序框图，输出的s值为（）A．﹣10 B．﹣3 C． 4 D．5考点：程序框图．分析：首先分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量S的值，模拟程序的运行，运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．解答：解：按照程序框图依次执行为k=1，S=1；S=2×1﹣1=1，k=2；S=2×1﹣2=0，k=3；S=2×0﹣3=﹣3，k=4；S=2×（﹣3）﹣4=﹣10，k=4≥5，退出循环，输出S=﹣10．故选A．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，一般都可以反复的进行运算直到满足条件结束，本题中涉及到三个变量，注意每个变量的运行结果和执行情况．5．已知数列{a n}中，a n=﹣4n+5，等比数列{b n}的公比q满足q=a n﹣a n﹣1（n≥2），且b1=a2，则|b1|+|b2|+…+|b n|=（）A．1﹣4n B．4n﹣1 C．D．考点：数列的求和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：先由a n=﹣4n+5及q=a n﹣a n﹣1求出q，再由b1=a2，求出b1，从而得到b n，进而得到|b n|，根据等比数列前n项和公式即可求得|b1|+|b2|+…+|b n|．解答：解：q=a n﹣a n﹣1=（﹣4n+5）﹣[﹣4（n﹣1）+5]=﹣4，b1=a2=﹣4×2+5=﹣3，所以=﹣3•（﹣4）n﹣1，|b n|=|﹣3•（﹣4）n﹣1|=3•4n﹣1，所以|b1|+|b2|+…+|b n|=3+3•4+3•42+…+3•4n﹣1=3•=4n﹣1，故选B．点评：本题考查等差、等比数列通项公式及等比数列的前n项和公式，考查学生的运算能力，属中档题．6．设变量x，y满足约束条件，则23x﹣y的取值范围是（）A．B．C．D．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象根据截距的大小进行判断，先设出目标函数z=3x﹣y的取值范围，最后根据指数函数的性质即可得出23x﹣y的取值范围．解答：解：∵变量x，y满足约束条件，设目标函数为：z=3x﹣y，直线4x﹣y+1=0与x+2y﹣2=0交于点A（0，1），直线2x+y﹣4=0与x+2y﹣2=0交于点C（2，0），直线4x﹣y+1=0与2x+y﹣4=0交于点B（，3），分析可知z在点B处取得最小值，z min=3×﹣1=﹣，z在点C处取得最大值，z max=3×2﹣0=6，∴﹣≤3x﹣y≤6，∴≤23x﹣y≤64．故选：C．点评：本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．解题的关键是准确理解目标函数的几何意义．7．已知正三角形ABC的边长为1，点P是AB边上的动点，点Q是AC边上的动点，且，则的最大值为（）A．B．C．D．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用向量的运算法则和数量积即可化为关于λ的二次函数，利用二次函数的单调性即可得出最大值．解答：解：如图所示，===﹣+（λ﹣1）+=（λ﹣λ2+1）×1×1×cos60°﹣λ+λ﹣1==，（0≤λ≤1）．当时，则的最大值为．故选D．点评：熟练掌握向量的运算法则和数量积的运算性质、二次函数的单调性是解题的关键．8．设m，n∈R，若直线l：mx+ny﹣1=0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且坐标原点O 到直线l的距离为，则△AOB的面积S的最小值为（）A．B． 2 C． 3 D．4考点：点到直线的距离公式；三角形的面积公式．专题：计算题．分析：由距离公式可得，面积为S=•=，由基本不等式可得答案．解答：解：由坐标原点O到直线l的距离为，可得=，化简可得，令x=0，可得y=，令y=0，可得x=，故△AOB的面积S=•=≥=3，当且仅当|m|=|n|=时，取等号，故选C点评：本题考查点到直线的距离公式，涉及基本不等式的应用和三角形的面积，属基础题．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中的横线上）9．的展开式中含x5的项的系数为36 （用数字作答）．考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：先求出的展开式的通项为T r+1==，然后令9﹣2r=5可求r，代入即可求解解答：解：由题意可得，的展开式的通项为T r+1==令9﹣2r=5可得r=2即展开式中含x5的项的系数为=36故答案为：36点评：本题主要考查了利用二项展开式的通项求解指定项，属于基础试题10．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则sinC= ，△ABC的面积S= ．考点：正弦定理；三角形的面积公式；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用同角三角函数的基本关系求得sinA，利用正弦定理求得a的值，再由余弦定理求出c，再由正弦定理求得sinC的值．从而求得△ABC的面积S=的值．解答：解：△ABC中，由cosA=，可得sinA=．由正弦定理可得，即，解得a=．再由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即=25+c2﹣10c•，解得c=．再由正弦定理可得，即，解得sinC=．故△ABC的面积S===，故答案为，．点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，属于中档题．11．如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上的点，且DF=CF=，AF=2BF，若CE与圆相切，且CE=，则BE= ．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题．分析：利用相交弦定理可得BF•AF=DF•FC，解出BF；再利用切割线定理可得CE2=BE•EA，解得BE．解答：解：由相交弦定理得BF•AF=DF•FC，∵，∴，解得BF=1，∴AF=2．∵CE与圆相切，∴由切割线定理可得CE2=BE•EA，∴，∵BE＞0，解得BE=．故答案为．点评：熟练掌握相交弦定理和切割线定理是解题的关键．12．一个几何体的三视图如图所示，若该几何体的表面积为92m2，则h= 4 m．考点：由三视图求面积、体积．分析：由题可知，图形是一个的底面是直角梯形的四棱柱，利用表面积，求出h即可．解答：解：由题可知，三视图复原的几何体是一个底面是直角梯形的四棱柱，几何体的表面积是：两个底面积与侧面积的和，所以：=92，解得h=4．故答案为：4．点评：本题考查三视图与几何体的关系，几何体的表面积的求法，考查空间想象能力与计算能力．13．已知双曲线的离心率为，顶点与椭圆的焦点相同，那么该双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求得椭圆的焦点，求得双曲线的顶点，从而可得几何量，即可求得双曲线的焦点坐标、渐近线方程．解答：解：∵椭圆的焦点为（±，0）∴双曲线的顶点为（±，0），离心率为，∴a=，，∴c=2，∴b==∴该双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为．故答案为：．点评：本题考查椭圆、双曲线的几何性质，考查双曲线的标准方程，属于基础题．14．设定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，f′（x）是f（x）的导函数．当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π）且时，．则函数y=f （x）﹣cosx在[﹣3π，3π]上的零点个数为 6 ．考点：根的存在性及根的个数判断；导数的运算．专题：函数的性质及应用．分析：根据x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π）且时，，确定函数的单调性，再利用函数的图形，即可得到结论．解答：解：∵x∈（0，π）且x≠时，（x﹣）f′（x）＜0∴x∈（0，），函数单调增，x∈（，π），函数单调减．∵x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1，在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出y=cosx和y=f（x）草图如下，由图知y=f（x）﹣cosx在[﹣3π，3π]上的零点个数为6个．故答案为：6．点评：本题考查函数的单调性，考查函数的零点，考查函数的周期性与奇偶性，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（I）把x=直接代入函数的解析式，化简求得f（）的值．（II）由cosx≠0，得x≠kπ+，（k∈z ）．化简函数的解析式为sin（2x+），从而求得f（x）的最小正周期．再由2kπ+≤2x+≤2kπ+，x≠kπ+，k∈z，求得x的范围，即可求得函数的减区间．解答：解：（I）由函数的解析式可得=+=0+=．…（4分）（II）∵cosx≠0，得x≠kπ+，（k∈z ）故f（x）的定义域为{x|x≠kπ+，（k∈z ）}．因为=sinx（cosx﹣sinx）+=sin2x﹣sin2x+=sin2x﹣+=sin2x+cos2x=sin（2x+），所以f（x）的最小正周期为T==π．由2kπ+≤2x+≤2kπ+，x≠kπ+，k∈z，得kπ+≤x≤kπ+，x≠kπ+，k∈z，所以，f（x）的单调递减区间为（kπ+，kπ+），（kπ+，kπ+），k∈z．…（13分）点评：本题主要考查二倍角公式、两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性，属于中档题．16．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AD=1，E为CD的中点，F为AA1的中点．（I）求证：AD1⊥平面A1B1E；（II）求证：DF∥平面AB1E；（III）若二面角A﹣B1E﹣A1的大小为45°，求AB的长．考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（I）利用长方体的性质可得A1B1⊥AD1．由于侧面四边形ADD1A1为正方形，可得对角线A1D⊥AD1，利用线面垂直的判定定理即可证明；（II）取AB1的中点为N，连接NF．利用三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理即可得到四边形NEDF为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明结论；（III）通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得出．解答：（I）证明：在长方体体ABCD﹣A1B1C1D1中，∵A1B1⊥平面A1ADD1，∴A1B1⊥AD1．∵AA1=AD，∴四边形ADD1A1为正方形，∴A1D⊥AD1，又A1B1∩A1D=A1，∴AD1⊥平面A1B1D．又，∴四边形A1B1CD为平行四边形．又E在CD上，∴AD1⊥平面A1B1E；（II）取AB1的中点为N，连接NF．∵F为AA1的中点，∴，∵E为CD的中点，∴，而，∴，因此四边形NEDF为平行四边形，∴DF∥NE，而NE⊂平面AB1E，DF⊄平面AB1E．∴DF∥平面AB1E．（III）如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，设AB=a，则A（0，0，0），D（0，1，0），D1（0，1，1），E，B1（a，0，1）．则，，．由（I）可知AD1⊥平面A1B1E，∴是平面A1B1E的一个法向量．设平面AB1E的一个法向量为，则，得．令x=1，则，z=﹣a，∴．∴==．因为二面角A﹣B1E﹣A1的大小为45°，∴，解得a=1，即AB的长为1．点评：熟练掌握长方体的性质、正方形的性质、线面垂直的判定定理、三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理、通过建立空间直角坐标系利用两个平面的法向量的夹角解决二面角的方法是解题的关键．17．为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄分组区间是：[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45]．（Ⅰ）求图中x的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[35，40）岁的人数；（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加中心广场的宣传活动，再从这20名中采用简单随机抽样方法选取3名志愿者担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．专题：概率与统计．分析：（I）利用小矩形的面积等于频率计算即得结论；（II）利用分层抽样的方法从中选取20名，可知X的可能取值为0、1、2、3，进而计算可得结论．解答：解：（I）∵小矩形的面积等于频率，∴除[35，40）外的频率和为0.70，∴，∴500名志愿者中年龄在[35，40）岁的人数为0.06×5×500=150（人）；（II）用分层抽样的方法，从中选取20名，则其中年龄“低于35岁”的人有12名，“年龄不低于35岁”的人有8名．故X的可能取值为0，1，2，3，∴，，，，故X的分布列为X 0 1 2 3P∴数学期望E（X）=+1•+2•+3•=．点评：本题考查离散型随机变量的期望，注意解题方法的积累，属于中档题．18．已知函数，其中a为正实数，e=2.718…．（I）若是y=f（x）的一个极值点，求a的值；（II）求f（x）的单调区间．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（I）依题意，由f′（）=0，即可求得a的值；（II）求f′（x）=，令f′（x）=0可求得方程ax2﹣2ax+1=0的根，将f′（x）与f（x）的变化情况列表，可求得f（x）的单调区间．解答：解：f′（x）=．（I）因为x=是函数y=f（x）的一个极值点，所以f′（）=0，因此a﹣a+1=0，解得a=．经检验，当a=时，x=是y=f（x）的一个极值点，故所求a的值为．…（4分）（II）f′（x）=（a＞0），令f′（x）=0得ax2﹣2ax+1=0…①（i）当△=（﹣2a）2﹣4a＞0，即a＞1时，方程①两根为x1==，x2=．此时f′（x）与f（x）的变化情况如下表：x （﹣∞，）（，）（，+∞）f′（x）+ 0 ﹣0 +f（x）↗极大值↘极小值↗所以当a＞1时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，），（，+∞）；f（x）的单调递减区间为（，）．（ii）当△=4a2﹣4a≤0时，即0＜a≤1时，ax2﹣2ax+1≥0，即f′（x）≥0，此时f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增．所以当0＜a≤1时，f（x）的单调递增区间为（﹣∞，+∞）．…（13分）点评：本题考查利用导数研究函数的极值，考查利用导数研究函数的单调性，求得f′（x）=0之后，将f′（x）与f（x）的变化情况列表是关键，属于中档题．19．已知椭圆C：的两个焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=2，点P在椭圆上，且△PF1F2的周长为6．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若点P的坐标为（2，1），不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，设线段AB的中点为M，点P到直线l的距离为d，且M，O，P三点共线．求的最大值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（I）利用椭圆的定义和焦距的定义可得2c=2，2a+2c=6．解得a，c，再利用b2=a2﹣c2解出即可；（II）设直线l的方程为y=kx+m（m≠0）．与椭圆的方程联立，得到判别式△＞0及根与系数的关系，由中点坐标公式得到中点M的坐标，利用M，O，P三点共线，得到k OM=k OP，解得k，再利用弦长公式和点到直线的距离公式即可得到|AB|2及d2，利用二次函数的单调性即可得出最值解答：解：（I）由题意得2c=2，2a+2c=6．解得a=2，c=1，又b2=a2﹣c2=3，所以椭圆C的方程为．（II）设A（x1，y1），B（x2，y2）．当直线l与x轴垂直时，由椭圆的对称性可知，点M在x轴上，且与O点不重合，显然M，O，P三点不共线，不符合题设条件．故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0）．由消去y整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0．①则△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，∴，．所以点M的坐标为．∵M，O，P三点共线，∴k OM=k OP，∴，∵m≠0，∴．此时方程①为3x2﹣3mx+m2﹣3=0，则△=3（12﹣m2）＞0，得．x1+x2=m，．∴|AB|2==，又=，∴==，故当时，的最大值为．点评：熟练掌握椭圆的定义和焦距的定义及b2=a2﹣c2、直线与椭圆相交问题转化为把直线l的方程与椭圆的方程联立得到判别式△＞0及根与系数的关系、中点坐标公式、三点共线得到k OM=k OP、弦长公式和点到直线的距离公式、二次函数的单调性是解题的关键．本题需要较强的计算能力．20．已知函数f（x）=2ae x+1，g（x）=lnx﹣lna+1﹣ln2，其中a为常数，e=2.718…，函数y=f （x）的图象与坐标轴交点处的切线为l1，函数y=g（x）的图象与直线y=1交点处的切线为l2，且l1∥l2．（Ⅰ）若对任意的x∈[1，5]，不等式成立，求实数m的取值范围．（Ⅱ）对于函数y=f（x）和y=g（x）公共定义域内的任意实数x．我们把|f（x0）﹣g（x0）|的值称为两函数在x0处的偏差．求证：函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域的所有偏差都大于2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；其他不等式的解法．专题：新定义．分析：（Ⅰ）分别求得切点处的导数值，可得方程，进而可得a值，不等式可化为m＜x﹣，令h（x）=x﹣，求导数可得函数h（x）在[1，5]上是减函数，从而可得m＜h（5）即可；（Ⅱ）可得a=，进而可得|f（x）﹣g（x）|=|e x﹣lnx|，通过构造函数q（x）=e x﹣x﹣1，可得e x﹣1＞x …①，构造m（x）=lnx﹣x+1，可得lnx+1＜x…②，由①②得e x﹣1＞lnx+1，即e x﹣lnx＞2，还可得e x＞lnx，综合可得结论．解答：解：（Ⅰ）函数y=f（x）的图象与坐标轴的交点为（0，2a+1），又f′（x）=2ae x，∴f′（0）=2a，函数y=g（x）的图象与直线y=1的交点为（2a，1），又g′（x）=，g′（2a）=由题意可知，2a=，即a2=又a＞0，所以a=…（3分）不等式可化为m＜x﹣f（x）+即m＜x﹣，令h（x）=x﹣，则h′（x）=1﹣（）e x，∵x＞0，∴≥，又x＞0时，e x＞1，∴（）e x＞1，故h′（x）＜0∴h（x）在（0，+∞）上是减函数即h（x）在[1，5]上是减函数因此，在对任意的x∈[1，5]，不等式成立，只需m＜h（5）=5﹣，所以实数m的取值范围是（﹣∞，5﹣）…（8分）（Ⅱ）证明：y=f（x）和y=g（x）公共定义域为（0，+∞），由（Ⅰ）可知a=，∴|f（x）﹣g（x）|=|e x﹣lnx|令q（x）=e x﹣x﹣1，则q′（x）=e x﹣1＞0，∴q（x）在（0，+∞）上是增函数故q（x）＞q（0）=0，即e x﹣1＞x …①令m（x）=lnx﹣x+1，则m′（x）=，当x＞1时，m′（x）＜0；当0＜x＜1时，m′（x）＞0，∴m（x）有最大值m（1）=0，因此lnx+1＜x…②由①②得e x﹣1＞lnx+1，即e x﹣lnx＞2又由①得e x＞x+1＞x由②得lnx＜x﹣1＜x，∴e x＞lnx∴|f（x）﹣g（x）|=e x﹣lnx＞2故函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域的所有偏差都大于2…（13分）点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，以及切线的方程，涉及新定义，属中档题．。
2020届高考数学二轮复习限时练四理
限时练(四)(限时：40分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设A ＝{x |y ＝3－x }，B {x |4x －x 2＞0}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |x ≤0} B ．{x |0＜x ≤3} C ．{x |x ≤4}D ．{x |x ∈R}解析：因为A ＝{x |y ＝3－x }＝{x |3－x ≥0}＝{x |x ≤3}，B ＝{x |4x －x 2＞0}＝{x |x 2－4x ＜0}＝{x |0＜x ＜4}，所以A ∩B ＝{x |0＜x ≤3}．答案：B2．已知i 为虚数单位，复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则下列关于复数z 说法正确的是( ) A ．z ＝－1－i B ．|z |＝2 C ．z ·z －＝2D ．z 2＝2解析：由条件知z ＝2i 1－i ＝2i·（1＋i ）2＝－1＋i ，A 错误；|z |＝2，B 错误；z ·z －＝(－1＋i)·(－1－i)＝2，C 正确；z 2＝(－1＋i)2＝－2i ≠2，D 错误．答案：C3．设a ＝20.9，b ＝323，c ＝log 123，则a ，b ，c 的大小为( )A ．b ＞c ＞aB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．a ＞b ＞c解析：0＜a ＝20.9＜2，c ＝log 123＝－log 23＜0，又b 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3233＝9＞8，则b ＞2.故b ＞a ＞c .答案：C4．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，点D 为BC 边上一点，且BD →＝2DC →，则AB →·AD →＝( )A.13B.23 C ．1D ．2解析：以A 为坐标原点，AB 所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，如图所示．则A (0，0)，B (3，0)，C (－1，3)，因为BD →＝2DC →，所以BD →＝23BC →＝23(－4，3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－83，233.则D ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233，所以AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，233，AB →＝(3，0)．所以AB →·AD →＝3×13＋0×233＝1.答案：C5．(2019·湖南师大联考)下面四个推理，不属于演绎推理的是( )A ．因为函数y ＝sin x (x ∈R)的值域为[－1，1]，所以y ＝sin(2x －1)(x ∈R)的值域也是[－1，1]B ．昆虫都是6条腿，竹节虫是昆虫，所以竹节虫有6条腿C ．在平面中，任意三条不同的直线a ，b ，c ，若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .在空间几何中，该结论仍然如此D ．如果一个人在墙上写字的位置与他的视线平行，那么，墙上字迹离地的高度大约是他的身高，凶手在墙上写字的位置与他的视线平行，福尔摩斯量得墙壁上的字迹距地面六尺多，于是，他得出了凶手身高六尺多的结论解析：C 中的推理属于合情推理中的类比推理，A ，B ，D 中的推理都是演绎推理． 答案：C6．(2019·浙江卷)若a ＞0，b ＞0，则“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析：因为a ＞0，b ＞0，若a ＋b ≤4， 所以2ab ≤a ＋b ≤4， 所以ab ≤4，此时充分性成立．当a ＞0，b ＞0，ab ≤4时，令a ＝4，b ＝1，则a ＋b ＝5＞4， 这与a ＋b ≤4矛盾，因此必要性不成立．综上所述，当a ＞0，b ＞0时，“a ＋b ≤4”是“ab ≤4”的充分不必要条件． 答案：A7．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”．其意是：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的一半，连续行走7天，共走了700里．若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内所走的总路程为( )A.17532里 B ．1 050里 C.22 57532里 D ．2 100里解析：由题意，该匹马每日所行路程构成等比数列{a n }，其中首项为a 1，公比q ＝12，S 7＝700，则700＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1271－12，解得a 1＝350×128127，那么S 14＝a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12141－12＝22 57532.答案：C8．(2019·全国卷Ⅰ) 下图是求12＋12＋12的程序框图，图中空白框中应填入( )A ．A ＝12＋AB ．A ＝2＋1AC ．A ＝11＋2AD ．A ＝1＋12A解析：对于选项A ，A ＝12＋A.当k ＝1时，A ＝12＋12， 当k ＝2时，A ＝12＋12＋12，故A 正确．经验证选项B ，C ，D 均不符合题意． 答案：A9．已知函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2－cos ωx (0＜ω＜3)的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0，若要得到一个偶函数图象，则需将函数f (x )的图象( )A ．向左平移2π3个单位长度B ．向右平移2π3个单位长度C ．向左平移π3个单位长度D ．向右平移π3个单位长度解析：f (x )＝3sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6. 又点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0在函数f (x )的图象上，所以π3ω－π6＝k π，则ω＝3k ＋12，k ∈Z.由于0＜ω＜3，所以ω＝12，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6.当将f (x )图象向右平移2π3个单位，得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3－π6的图象， 即y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π2＝－2cos x 2为偶函数． 答案：B10．在侧棱长为a 的正三棱锥OABC 中，若小球P 在三棱锥内部，则小球P 最大的半径为( )A.3＋36a B.3－36aC.2－36a D.2＋36a 解析：依题意，小球P 是正三棱锥OABC 的内切球时，球的半径最大． 设内切球的半径为r ，所以OA ＝OB ＝OC ＝a ， 所以AB ＝AC ＝BC ＝2a ，则V OABC ＝13×12a 2·a ＝a36.又V P OAB ＋V P OBC ＋V P OAC ＋V PABC ＝3×13×a 22·r ＋13×34(2a )2r ＝3＋36a 2r ，所以3＋36a 2r ＝a 36，则r ＝a 3＋3＝3－36a .答案：B11．(2019·全国卷Ⅲ)记不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0表示的平面区域为D .命题p ：∃(x ，y )∈D ，2x ＋y ≥9；命题q ：∀(x ，y )∈D ，2x ＋y ≤12.下面给出了四个命题①p ∨q ②¬p ∨q ③p ∧¬q ④¬p ∧¬q 这四个命题中，所有真命题的编号是( ) A ．①③ B ．①② C ．②③D ．③④解析：法1：画出可行域如图中阴影部分所示．目标函数z ＝2x ＋y 是一条平行移动的直线，且z 的几何意义是直线z ＝2x ＋y 的纵截距．显然，直线过点A (2，4)时，z min ＝2×2＋4＝8，即z ＝2x ＋y ≥8.所以2x ＋y ∈[8，＋∞)． 由此得命题p ：∃(x ，y )∈D ， 2x ＋y ≥9正确．命题q ：∀(x ，y )∈D ，2x ＋y ≤12不正确．所以①③真，②④假．法2：取x ＝4，y ＝5，满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥6，2x －y ≥0，且满足2x ＋y ≥9，不满足2x ＋y ≤12，故p 真，q 假．所以①③真，②④假．答案：A12．设双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点为F ，直线4x －3y ＋20＝0过点F 且与双曲线C 在第二象限的交点为P ，|OP |＝|OF |，其中O 为原点，则双曲线C 的离心率为( )A ．5 B. 5 C.53D.54解析：在直线4x －3y ＋20＝0中，令y ＝0，得x ＝－5，所以c ＝5，取右焦点为F ′，由|OF |＝|OP |＝|OF ′|，可得PF ⊥PF ′.由直线4x －3y ＋20＝0，可得tan ∠F ′FP ＝43，|FF ′|＝10，故|PF |＝6，|PF ′|＝8.所以|PF ′|－|PF |＝2＝2a ，所以a ＝1， 又因为c ＝5，故双曲线C 的离心率e ＝c a＝5. 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确的答案填写在各小题的横线上．)13．若(x ＋a )(1＋2x )5的展开式中x 3的系数为20，则实数a ＝________． 解析：由已知得C 25·22＋a ·C 35·23＝20， 解得a ＝－14.答案：－1414．已知直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c ＞0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，则4b ＋1c的最小值是________．解析：依题意得，圆心坐标是(0，1)，于是有b ＋c ＝1， 4b ＋1c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4b ＋1c (b ＋c )＝5＋4c b ＋bc≥5＋24c b ×bc＝9，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b ＋c ＝1，4c b ＝b c，即b ＝2c ＝23时，4b ＋1c 的最小值为9.答案：915.如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，当点P 在线段BC 1上运动，则下列判断中正确的是________(把所有正确判断的序号都填上)．①平面PB 1D ⊥平面ACD 1； ②A 1P ∥平面ACD 1；③异面直线A 1P 与AD 1所成角的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤0，π3；④三棱锥D 1APC 的体积不变．解析：在正方体中，B 1D ⊥平面ACD 1，B 1D ⊂平面PB 1D ，所以平面PB 1D ⊥平面ACD 1，所以①正确．连接A 1B ，A 1C 1，如图，容易证明平面A 1BC 1∥平面ACD 1，又A 1P ⊂平面A 1BC 1，所以A 1P ∥平面ACD 1，所以②正确．因为BC 1∥AD 1，所以异面直线A 1P 与AD 1所成的角就是直线A 1P 与BC 1所成的角，在△A 1BC 1中，易知所求角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，所以③错误．VD 1APC ＝VCAD 1P ，因为点C 到平面AD 1P 的距离不变，且△AD 1P 的面积不变，所以三棱锥D 1APC 的体积不变，所以④正确．答案：①②④16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，－7≤x ≤0，ln x ，e －2≤x ≤e ，g (x )＝x 2－2x ，设a 为实数，若存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0，则实数a 的取值范围是________．解析：当－7≤x ≤0时，f (x )＝|x ＋1|∈[0，6]．当e －2≤x ≤e 时，f (x )＝ln x 是增函数，f (x )∈[－2，1]， 所以f (x )的值域是[－2，6]． 若存在实数m ，使f (m )－2g (a )＝0， 则有－2≤2g (a )≤6.所以－1≤a 2－2a ≤3，解之得－1≤a ≤3. 答案：[－1，3]。
2020届高三数学二轮复习高考小题标准练四理新人教版
高考小题标准练(四)满分80分，实战模拟，40分钟拿下高考客观题满分！一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设不等式x2-x≤0的解集为M，函数f(x)=lg(1-|x|)的定义域为N，则M∩N=( )A.(-1，0]B.[0，1)C.(0，1)D.[0，1]【解析】选B.由x2-x≤0，得M={x|0≤x≤1}，因为1-|x|>0，所以N={x|-1<x<1}，所以M∩N=[0，1).2.已知复数z满足z=，则z的共轭复数的虚部为( )A.2B.-2C.-1D.1【解析】选D.由题意知z====-1-i.3.设命题p：∃α0，β0∈R，cos(α0+β0)=cosα0+cosβ0；命题q：∀x，y∈R，且x≠+kπ，y≠+kπ，k∈Z，若x>y，则tanx>tany.则下列命题中真命题是( ) A.p∧q B.p∧(非q)C.(非p)∧qD.(非p)∧(非q)【解析】选B.当α0=，β0=-时，命题p成立，所以命题p为真命题；当x，y不在同一个单调区间内时命题q不成立，命题q为假命题.故p∧(非q)为真命题.4.设数列{a n}满足a1+2a2=3，点P n(n，a n)对任意的n∈N*，都有=(1，2)，则数列{a n}的前n项和S n为( )A.nB.nC.nD.n【解析】选A.因为=-=(n+1，a n+1)-(n，a n)=(1，a n+1-a n)=(1，2)，所以a n+1-a n=2.所以{a n}是公差为2的等差数列.由a1+2a2=3，得a1=-，所以S n=-+n(n-1)×2=n.5.若执行如图所示的程序框图，则输出的k值是( )A.4B.5C.6D.7【解析】选A.由题知n=3，k=0；n=10，k=1；n=5，k=2；n=16，k=3；n=8，k=4，满足判断条件，输出的k=4.6.已知函数f(x)是定义在R上的函数，若函数f(x+2016)为偶函数，且f(x)对任意x1，x2∈[2016，+∞)(x1≠x2)，都有<0，则( )A.f(2019)<f(2014)<f(2017)B.f(2017)<f(2014)<f(2019)C.f(2014)<f(2017)<f(2019)D.f(2019)<f(2017)<f(2014)【解析】选A.由于函数f(x+2016)为偶函数，故函数f(x)的图象关于直线x=2016对称，又因为对任意x1，x2∈[2016，+∞)(x1≠x2)，都有<0，所以函数f(x)在[2016，+∞)上单调递减，所以f(2019)<f(2018)<f(2017)，因为函数f(x)的图象关于直线x=2016对称，所以f(2014)=f(2018)，所以f(2019)<f(2014)<f(2017).7.函数f(x)=x+cosx的大致图象为( )【解析】选B.因为f(x)=x+cosx，所以f(-x)=-x+cos(-x)=-x+cosx，即函数f(x)为非奇非偶函数，从而排除A，C.又当x=π时，f(π)=π-1<π，故排除D.8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.4B.6C.7D.【解析】选D.该几何体的直观图如图中多面体ADCEG-A1D1C1F所示，它是由棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1截去一个三棱台而形成的，结合已知得所求体积V=23-×2×(×1×++×2×1)=.9.已知直线l：x+ay-1=0(a∈R)是圆C：x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=( )A.2B.4C.6D.8【解析】选C.由于直线x+ay-1=0是圆C：x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴，所以圆心C(2，1)在直线x+ay-1=0上，所以2+a-1=0，所以a=-1，所以A(-4，-1).所以|AC|2=36+4=40.又r=2，所以|AB|2=40-4=36.所以|AB|=6.10.已知函数f=x-，g=，对任意x3≥e，存在0<x1<x2<x3，使得f=f(x3)=g，则实数m的取值范围为( )A. B.C. D.【解析】选A.函数f=x-，f′=1-=，当0<x<1时，f′<0，此时函数f单调递减；当x>1时，f′>0，此时函数f单调递增.对任意x3≥e，存在0<x1<x2<x3，使得f=f=g，则m>0.问题转化为当x≥e时，f>g恒成立，即x->，m<x2-lnx，即m<，设h=x2-lnx，h′=2x-，当x≥e时，h′>0恒成立，则函数h在[e，+∞)上单调递增，当x=e时，h有最小值e2-1，故m<e2-1，又m>0，所以0<m<e2-1.11.在焦点分别为F1，F2的双曲线上有一点P，若∠F1PF2=，|PF2|=2|PF1|，则该双曲线的离心率等于( )A.2B.C.3D.【解析】选D.在△F1PF2中，由余弦定理可得cos==，解得|PF1|=c，则|PF2|=c，由双曲线的定义可得|PF2|-|PF1|=c-c=2a，即=.12.若数列{a n}对于任意的正整数n满足：a n>0且a n a n+1=n+1，则称数列{a n}为“积增数列”.已知“积增数列”{a n}中，a1=1，数列{+}的前n项和为S n，则对于任意的正整数n，有( )A.S n≤2n2+3B.S n≥n2+4nC.S n≤n2+4nD.S n≥n2+3n【解析】选D.因为a n>0，所以+≥2a n a n+1.因为a n a n+1=n+1，所以{a n a n+1}的前n项和为2+3+4+…+(n+1)==，所以数列{+}的前n项和S n≥2×=(n+3)n=n2+3n.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是________.【解析】抛物线y2=4x的焦点为(1，0)，双曲线x2-=1的渐近线为x±y=0，所以抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2-=1的渐近线的距离是=.答案：14.定义符合条件的有序数对(x，y)为“和谐格点”，则当“和谐格点”的个数为4时，实数a的取值范围是__________.【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当“和谐格点”的个数为4时，它们分别是(0，0)，(1，1)，(1，2)，(1，3)，所以a的取值范围是[1，2).答案：[1，2)15.已知△ABC中，AB=3，AC=，点G是△ABC的重心，·=________.【解析】延长AG交BC于点D，则D为BC的中点，·=·=×(+)·(-)=(||2-||2)==-2. 答案：-216.已知函数f(x)满足f(x+1)=-f(x)，且f(x)是偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)=x2.若在区间[-1，3]内，函数g(x)=f(x)-kx-k有4个零点，则实数k的取值范围为__________. 【解析】依题意得f(x+2)=-f(x+1)=f(x)，即函数f(x)是以2为周期的函数.g(x)=f(x)-kx-k在区间[-1，3]内有4个零点，即函数y=f(x)与y=k(x+1)的图象在区间[-1，3]内有4个不同的交点.在坐标平面内画出函数y=f(x)的图象(如图所示)，注意到直线y=k(x+1)恒过点(-1，0)，由题及图象可知，当k∈时，相应的直线与函数y=f(x)在区间[-1，3]内有4个不同的交点，故实数k的取值范围是.答案：。
【精品试卷】2020年高考数学(理科)二轮复习模拟卷(四)(含答案解析)
2020年高考数学（理科）二轮复习模拟卷（四）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2<1}，，则A∩B=()A. ⌀B. {x|x<0}C. {x|−1<x<0}D. {x|0<x<1}2.复数z=(−3−4i)i在复平面内对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a4+a6=−6，则S9=()A. −27B. 27C. −54D. 544.若向量a⃗=(−2,0),b⃗ =(2,1),c⃗=(x,1)满足条件3a⃗+b⃗ 与c⃗共线，则x的值为()A. −2B. −4C. 2D. 45.已知x,y满足约束条件{y≤1x+y+4≥0x−y≤0，则z=x+2y的最小值是()A. −8B. −6C. −3D. 36.己知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. π6+13B. π12+1 C. π12+13D. π4+137.宋元时期，中国数学鼎盛时期中杰出的数学家有“秦(九韶)、李(冶)、杨(辉)、朱(世杰)四大家”，朱世杰就是其中之一．朱世杰是一位平民数学家和数学教育家．朱世杰平生勤力研习《九章算术》，旁通其它各种算法，成为元代著名数学家．他全面继承了前人数学成果，既吸收了北方的天元术，又吸收了南方的正负开方术、各种日用算法及通俗歌诀，在此基础上进行了创造性的研究，写成以总结和普及当时各种数学知识为宗旨的《算学启蒙》，其中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等．如图，是源于其思想的一个程序框图．若输入的a,b分别为3,1，则输出的n=()A. 3B. 4C. 5D. 68.在三角形ABC中，a，b，c分别为角，A，B，C的对边，BC边上的高AD满足AD=2BC，则bc +cb的取值范围为()A. [2,3]B. [2,√5+1]C. [2,√172] D. [2,2√2]9.下列四个结论：①命题“∃x0∈R，sin x0+cos x0<1”的否定是“∀x∈R，sin x+cos x≥1”；②若p∧q是真命题，则﹁p可能是真命题；③“a>5且b>−5”是“a+b>0”的充要条件；④当α<0时，幂函数y=xα在区间(0,+∞)上单调递减。
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C
B
O
圆心 O 到 AC 的距离为来自AD．
2018 备考限时训练〔四〕答案
一、选择题：本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分．在每题给出的四个备选项中，有且只有一项为哪一
项符合题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
D
C
A
A
B
A
B
C
二、填空题：本大题共 5 小题，每题 5 分，共 20 分．其中第 13 题前一空 2 分，后一空 3 分；第 14、 15
俯视图
C． 1个
〔〕 D． 0 个
7. 电流强度 I 〔安〕随时刻 t 〔秒〕变化的函数 I Asin t π 〔 A 0 ， 6
0 〕的图像如下图，那
么当 t
1 时，电流强度是
50
A． 5 安 B ． 5 安
〔〕
C． 5 3 安 D ． 10 安
8.
假设函数 h( x) 2 x k
k 在 (1,
x3
1 〔 〕 A．
6
5 B．
12
7 C．
12
1 D．
3
10. 在 xOy 平面上，横坐标与纵坐标均为整数的点称为整点．
对任意 n N ，连接原点 O 与点 Pn (n , n 4) ，
用 g (n) 表示线段 OPn 上除端点外的整点个数，那么 g(2008)
〔〕
A． 1
B． 2
C． 3
D． 4
二、填空题：本大题共 5 小题，每题 5 分，共 20 分．其中第 13 题前一空 2 分，后一空 3 分；第 14、 15
两小题是选做题，考生只能选做一题，假设两题都做，那么只以第
14 题的得分为最后得分．
11. | u | 3 ， | v | 4 ，以 u 与 v 同向，那么 u v
．
12. 准线方程为 x 2 的抛物线的标准方程是
．
13. 图〔 1〕、〔 2〕、〔3〕、〔 4〕分不包含 1 个、5 个、13 个、25 个第二十九届北京奥运会吉祥物〝福娃迎迎〞，
两小题是选做题，考生只能选做一题，假设两题都做，那么只以第
14 题的得分为最后得分．
11． 12
12． y 2 8x
13． 41， 4(n 1)
14． 8
15． 5
) 上是增函数，那么实数 k 的取值范畴是
〔〕
A． [ 2 , )
B． [2 , )
C． ( , 2]
D． ( , 2]
9. 甲、乙两人各抛掷一次正方体骰子〔它们的六个面分不标有数字
1, 2 , 3, 4 , 5 , 6 〕，设甲、乙所抛掷骰
子朝上的面的点数分不为 x 、 y ，那么满足复数 x y i 的实部大于虚部的概率是
2020 届高三数学二轮复习备考限时训练（ 4）
一、选择题：本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分．
1. 设集合 M {1, 2} ，那么满足条件 M N {1, 2 , 3 , 4} 的集合 N 的个数是
〔〕
A． 1
B． 3
C． 4
D． 8
2. 命题〝假设 p 那么 q 〞为真，那么以下命题中一定为确实是
按同样的方式构造图形，设第
n 个图形包含 f ( n) 个〝福娃迎迎〞，那么 f (5)
；
f (n) f ( n 1)
．〔答案用数字或 n 的解析式表示〕
14. 〔坐标系与参数方程选做题〕在极坐标系中，直线
4 3 sin 交于 A 、 B 两点，那么 AB
π 〔
3 ．
R 〕与圆
4cos
15. 如图，从圆 O 外一点 A 引圆的切线 AD 和割线 ABC ， AD 2 3 ， AC 6 ，圆 O 的半径为 3 ，那么
〔〕
A．假设 p 那么 q
B．假设 q 那么 p C ．假设 q 那么 p D ．假设 q 那么 p
3. 假设 π 2
0 ，那么点 Q(cos , sin ) 位于
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
〔〕 D．第四象限
4. 在等差数列 { an} 中， a5 a7 10 ， Sn 是数列 { an} 的前 n 项和，那么 S11 〔
〕
A． 45
B． 50
C． 55
D． 60
5. 如下图， 一个空间几何体的主视图和左视图差不多上边长为
1 的正方形， 俯视图是一个直径为 1 的圆，
那么那个几何体的全面积为
〔〕
A． 3 π 2
B． 2π C． 3π
主视图
左视图
D． 4π
6. 函数 f ( x) x2 2x 的零点个数是
A． 3 个
B． 2 个