高三数学选填专题限时训练
高考数学复习《30分钟选填》 (理科版) 限时训练(25)答案
限时训练（二十五）答案部分二、填空题：9.{}2,3,4- 10. 92314.2,⎡⎣解析部分1. 解析 解法一: ()()()()i 1i i 12i a b a b a b ++=-++=+，所以12a b a b -=⎧⎨+=⎩，解得3212a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.故选D.解法二: ()()()()12i 1i 12i 12i i 231i i 1i 1i 1i 222a b +-++-++====+++-.故选D. 2.解析 若1a =，则()1f x x =-，函数()f x 在[)1,+∞上单调递增；若函数()f x x a =-在区间[)1,+∞上为增函数，可得1a …，不一定得出1a =.所以“1a =”是“函数()f x x a =-在区间[)1,+∞上为增函数”的充分不必要条件.故选A. 3.解析 ππtan 2tan 236y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，根据函数图像平移左加右减的规律，将tan 2y x =向右平移π6个单位长度可得πtan 26y x ⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦πtan 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像.故选C.4.解析输出()440134710402862s +⨯=+++⋅⋅⋅+==.故选B.5.解析 91x ⎫-⎪⎭的通项为()92191C rr rr r T x x --+=-，令902r r --=，解得3r =，所以91x ⎫⎪⎭的常数项为()3391C 84-=-.故选C.6.解析 解法一（图像法）：函数()f x 的图像如图所示，观察图像可得函数()f x 的零点个数为2. 故选B.解法二：令()()310x x +-=，解得3x =-或1x =（舍去）；令2ln 0x -+=，解得2e x =，所以函数()f x 有2个零点.故选B.7.解析 由于()2y f x =-是由()y f x =向右平移2个单位长度得到的，且()2y f x =-在[]0,2上单调递减，所以()f x 在[]2,0-上单调递减.由题可得()()22b f f ==-，又因为210-<-<，所以()()()210f f f ->->，即b c a >>.故选A.8.解析 由定义的新运算可得()()()()1x y x y x y x y +⊗-=+-+，所以()()11x y x y +-+<，整理得2210x x y y -+++-<.因为此不等式对任意实数x 恒成立，所以()()2214110y y ∆=-⨯-+-<.解得3122y -<<，即y 的取值范围为31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选D. 9.解析 解方程得{}2,3A =，{}4,2B =-，所以{}2,3,4AB =-.10.解析 画出不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z x y =+过A 点时，z 有最大值，联立方程105350x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得45x y =⎧⎨=⎩，即()4,5A ，所以max 9z =.1=011.解析 依题意，设抛物线22y bx =的焦点为A ，则,02b A ⎛⎫⎪⎝⎭，因为12:5:3F A F A =， 所以:5:322b b c c ⎛⎫⎛⎫+-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得2c b =，所以c e a ====3=. 12.解析 利用正弦定理将cos cos b c B C =中边的关系转化为角的关系，得sin sin cos cos B CB C=，即tan tan B C =，又因为(),0,πB C ∈，所以B C =.因为cos A =()cos πcos2B C B -+=-=⎡⎤⎣⎦()22cos 1B --，所以222cos 13B -=-，得21cos 6B =，又由题可得cos 0B >，故cos B =. 13.解析 因为2AB =，60ABC ∠=， AD 为BC 边上的高，所以1BD =.又因为3CB =，所以13BD BC =.如图所示，13AD AB BD AB BC =+=+，所以111226AO AD AB BC ==+， 所以11,26λμ==，则23λμ+=.14.解析 设平面1AD Q 与直线BC 交于点P ，则P 为BC 的中点，连接,AP QP ，取1BB 的中点E ，11B C 的中点G ，连接11,,A G A E EG .如图所示.易证QP EG ∥，又因为QP ⊂平面1AD Q ，EG ⊄平面1AD Q ,所以//EG 平面1AD Q .同理1//A G 平面1AD Q ，又因为1AG EG G =，所以平面1A GE ∥平面1AD Q .由已知1A F ∥平面1AD Q ，所以1A F ⊂平面1A GE ，设1A F 与平面11BCC B 所成的角为θ，因为11A B ⊥平面11BCC B ，所以111tan A B B Fθ=，当点F 与点E 或点G 重合时，1B F 最大，tan θ有最小值，此时1111tan 212A B B F θ===；当点F 为EG 中点，即1B F EG ⊥时，1B F 最小，tan θ有最大值，此时CBPGED1C1B 1A 1DCBAQ111tan4A BB Fθ===所以tanθ的取值范围是2,⎡⎣.。
高三上册数学限时练习题
高三上册数学限时练习题在高三上学期的数学学习中，进行限时练习是提高学习效率和应试能力的重要方法之一。
该练习旨在巩固学生的数学知识，增强他们的解题能力和时间管理能力。
下面是一套高三上学期数学限时练习题，共分为四个部分：选择题、填空题、计算题和解答题。
希望同学们认真完成每一道题目，并在规定的时间内完成。
选择题：从A、B、C、D四个选项中选出最佳答案，并将其标号填入题前括号内。
1. 已知函数f(x) = 2x - 3，g(x) = x^2 - 4x + 5，求f(g(2))的值是：A. 0B. -1C. 1D. 22. 若a + b = 5，a - b = 3，则a的值为：A. 4B. 2C. 3D. 13. 若a + b = 7，a - b = 1，则ab的值是：A. 6B. 3C. 4D. 24. 已知直线L上有两点A(1, 3)和B(4, y)，且AB的斜率为2，那么y的值是：A. 5B. -1C. 4D. -5填空题：根据题目要求，填入正确的答案。
5. 若三个数a、b、c成等差数列，且a + b + c = 15，那么a的值是______。
6. 设集合A = {1, 2, 3, 4, 5}，集合B = {3, 4, 5, 6, 7}，则A∩B的元素个数为______。
7. 已知直线L1的斜率为k，过点(1, 2)且与L1垂直的直线L2的斜率为______。
计算题：计算下列表达式（化简至最简式）。
8. （3x^2 - 2x + 5）÷（x - 1）9. 方程x^2 - 5x + 6 = 0的根为______。
解答题：根据题目要求，写出解答过程和最终答案。
10. 设Ω是一个底面的半径为3 cm，高度为4 cm的圆柱体，求Ω的体积。
11. 设函数f(x) = ax + b，已知f(1) = 4，f(2) = 7，求f(3)的值。
注意：请同学们在规定时间内尽可能完成以上所有题目，提前预估每题需要用的时间，合理安排每个题目的解答时间。
高三数学：2024届新结构“8+3+3”选填限时训练1_10(解析版)
2024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(1)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1对两个具有线性相关关系的变量x 和y 进行统计时，得到一组数据1,0.3 ,2,4.7 ,3,m ,4,8 ，通过这组数据求得回归直线方程为y=2.4x -2，则m 的值为()A.3B.5C.5.2D.6【答案】A【解析】易知x =1+2+3+44=52,y =13+m4，代入y =2.4x -2得13+m 4=2.4×52-2⇒m =3.故选：A2已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是()A.若m ⎳α,n ⎳α,则m ⎳nB.若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥nC.若m ⊥α，m ⊥n ，则n ⎳αD.若m ⎳α，m ⊥n ，则n ⊥α【答案】B【解析】线面垂直，则有该直线和平面内所有的直线都垂直，故B 正确.故选：B3已知向量a ，b 满足a =3，b =23，且a ⊥a +b，则b 在a 方向上的投影向量为()A.3B.-3C.-3aD.-a【答案】D【解析】a ⊥a +b ，则a ⋅a +b =a 2+a ⋅b =9+a ⋅b =0，故a ⋅b=-9，b 在a 方向上的投影向量a ⋅b a 2⋅a =-99⋅a =-a.故选：D .4若n 为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，则二项式3x +12xn的展开式的常数项是()A.7B.8C.9D.10【答案】A【解析】因为n 为一组从小到大排列的数1，2，4，8，9，10的第六十百分位数，6×60%=3.6，所以n =8，二项式3x +12x8的通项公式为T r +1=C r 8⋅3x 8-r ⋅12x r =C r 8⋅12 r⋅x8-r 3-r，令8-r 3-r =0⇒r =2，所以常数项为C 28×12 2=8×72×14=7，故选：A5折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”.它常以字画的形式体现我国的传统文化，也是运筹帷幄、决胜千里、大智大勇的象征(如图1).图2是一个圆台的侧面展开图(扇形的一部分)，若两个圆弧DE ，AC 所在圆的半径分别是3和6，且∠ABC =120°，则该圆台的体积为()A.5023π B.9π C.7π D.1423π【答案】D【解析】设圆台上下底面的半径分别为r 1,r 2，由题意可知13×2π×3=2πr 1，解得r 1=1，13×2π×6=2πr 2，解得：r 2=2，作出圆台的轴截面，如图所示：图中OD =r 1=1,O A =r 2=2，AD =6-3=3，过点D 向AP 作垂线，垂足为T ，则AT =r 2-r 1=1，所以圆台的高h =AD 2-AT 2=32-1=22，则上底面面积S 1=π×12=π，S 2=π×22=4π，由圆台的体积计算公式可得：V =13×(S 1+S 2+S 1⋅S 2)×h =13×7π×22=142π3，故选：D .6已知函数f x =x 2-bx +c (b >0,c >0)的两个零点分别为x 1,x 2，若x 1,x 2,-1三个数适当调整顺序后可为等差数列，也可为等比数列，则不等式x -bx -c≤0的解集为()A.1,52B.1,52C.-∞,1 ∪52,+∞D.-∞,1 ∪52,+∞ 【答案】A【解析】由函数f x =x 2-bx +c (b >0,c >0)的两个零点分别为x 1,x 2，即x 1,x 2是x 2-bx +c =0的两个实数根据，则x 1+x 2=b ,x 1x 2=c 因为b >0,c >0，可得x 1>0,x 2>0，又因为x 1,x 2,-1适当调整可以是等差数列和等比数列，不妨设x 1<x 2，可得x 1x 2=-1 2=1-1+x 2=2x 1 ，解得x 1=12,x 2=2，所以x 1+x 2=52,x 1x 2=1，所以b =52,c =1，则不等式x -b x -c ≤0，即为x -52x -1≤0，解得1<x ≤52，所以不等式的解集为1,52.故选：A .7已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的左、右焦点分别为F 1，F 2，M ，N 为双曲线一条渐近线上的两点，A 为双曲线的右顶点，若四边形MF 1NF 2为矩形，且∠MAN =2π3，则双曲线C 的离心率为()A.3B.7C.213D.13【答案】C【解析】如图，因为四边形MF 1NF 2为矩形，所以MN =F 1F 2 =2c (矩形的对角线相等)，所以以MN 为直径的圆的方程为x 2+y 2=c 2.直线MN 为双曲线的一条渐近线，不妨设其方程为y =bax ，由y =b a x ,x 2+y 2=c 2,解得x =a y =b ，或x =-a ,y =-b , 所以N a ,b ，M -a ,-b 或N -a ,-b ，M a ,b .不妨设N a ,b ，M -a , -b ，又A a ,0 ，所以AM =a +a 2+b 2=4a 2+b 2，AN =a -a 2+b 2=b .在△AMN 中，∠MAN =2π3，由余弦定理得MN 2=AM 2+AN 2-2AM AN ⋅cos 2π3，即4c 2=4a 2+b 2+b 2+4a 2+b 2×b ，则2b =4a 2+b 2，所以4b 2=4a 2+b 2，则b 2=43a 2，所以e =1+b 2a2=213.故选:C .8已知a =ln 1.2e ,b =e 0.2,c =1.2e 0.2，则有()A.a <b <cB.a <c <bC.c <a <bD.c <b <a【答案】C【解析】令f x =e x -ln x +1 -1,x >0，则f x =e x -1x +1.当x >0时，有e x >1,1x +1<1，所以1x +1<1，所以，f (x )>0在0,+∞ 上恒成立，所以，f (x )在0,+∞ 上单调递增，所以，f (x )>f (0)=1-1=0，所以，f (0.2)>0，即e 0.2-ln1.2-1>0，所以a <b令g x =e x -x +1 ,x >0，则g x =e x -1在x >0时恒大于零，故g x 为增函数，所以x +1ex <1,x >0，而a =ln 1.2e =1+ln1.2>1，所以c <a ，所以c <a <b ，故选：C二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9已知函数f x =sin 2x +3π4 +cos 2x +3π4，则()A.函数f x -π4 为偶函数 B.曲线y =f x 对称轴为x =k π,k ∈ZC.f x 在区间π3,π2单调递增D.f x 的最小值为-2【答案】AC【解析】f x =sin 2x +3π4 +cos 2x +3π4=sin2x cos 3π4+sin 3π4cos2x +cos2x cos 3π4-sin2x sin3π4=-22sin2x +22cos2x -22cos2x -22sin2x =-2sin2x ，即f x =-2sin2x ，对于A ，f x -π4 =-2sin 2x -π2=2cos2x ，易知为偶函数，所以A 正确；对于B ，f x =-2sin2x 对称轴为2x =π2+k π,k ∈Z ⇒x =π4+k π2,k ∈Z ，故B 错误；对于C ，x ∈π3,π2 ,2x ∈2π3,π ，y =sin2x 单调递减，则f x =-2sin2x 单调递增，故C 正确；对于D ，f x =-2sin2x ，则sin2x ∈-1,1 ，所以f x ∈-2,2 ，故D 错误；故选：AC10设z 为复数，则下列命题中正确的是()A.z 2=zz B.若z =(1-2i )2，则复平面内z对应的点位于第二象限C.z 2=z 2D.若z =1，则z +i 的最大值为2【答案】ABD【解析】对于A ，设z =a +bi ，故z =a -bi ，则z 2=a 2+b 2，zz =(a +bi )(a -bi )=a 2+b 2，故z 2=zz成立，故A 正确，对于B ，z =(1-2i )2=-4i -3，z =4i -3，显然复平面内z对应的点位于第二象限，故B 正确，对于C ，易知z 2=a 2+b 2，z 2=a 2+b 2+2abi ，当ab ≠0时，z 2≠z 2，故C 错误，对于D ，若z =1，则a 2+b 2=1，而z +i =a 2+(b +1)2=2b +2，易得当b =1时，z +i 最大，此时z +i =2，故D 正确.故选：ABD11已知菱形ABCD 的边长为2，∠ABC =π3．将△DAC 沿着对角线AC 折起至△D AC ，连结BD ．设二面角D -AC -B 的大小为θ，则下列说法正确的是()A.若四面体D ABC 为正四面体，则θ=π3B.四面体D ABC 的体积最大值为1C.四面体D ABC 的表面积最大值为23+2D.当θ=2π3时，四面体D ABC 的外接球的半径为213【答案】BCD【解析】如图，取AC 中点O ，连接OB ,OD ，则OB =OD ，OB ⊥AC ,OD ⊥AC ，∠BOC 为二面角D AC -B 的平面角，即∠BOC =θ．若D ABC 是正四面体，则BD =BC ≠BO ，△OBD 不是正三角形，θ≠π3，A 错；四面体D ABC 的体积最大时，BO ⊥平面ACD ，此时B 到平面ACD 的距离最大为BO =3，而S △ACD=34×22=3，所以V =13×3×3=1，B 正确；S △ABC =S △DAC =3，易得△BAD ≅△BCD ，S △BAD=S △BCD=12×22sin ∠BCD =2sin ∠BCD ，未折叠时BD =BD =23，折叠到B ,D 重合时，BD =0，中间存在一个位置，使得BD =22，则BC 2+D C 2=BD 2，∠BCD =π2，此时S △BAD=S △BCD=2sin ∠BCD 取得最大值2，所以四面体D ABC 的表面积最大值为23+2 ，C 正确；当θ=2π3时，如图，设M ,N 分别是△ACD 和△BAC 的外心，在平面AOD 内作PM ⊥OD ，作PN ⊥OB ，PM ∩PN =P ，则P 是三棱锥外接球的球心，由上面证明过程知平面OBD 与平面ABC 、平面D AC 垂直，即P ,N ,O ,M 四点共面，θ=2π3，则∠PON =π3，ON =13×32×2=33，PN =ON tan π3=33×3=1，PB =PN 2+BN 2=12+233 2=213为球半径，D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12设集合M =x log 2x <1 ，N =x 2x -1<0 ，则M ∩N =．【答案】x 0<x <12【解析】因为log 2x <1=log 22，所以0<x <2，即M =x log 2x <1 =x 0<x <2 ，因为2x -1<0，解得x <12，所以N =x 2x -1<0 =x x <12，所以，M ∩N =x 0<x <12 .故答案为：x 0<x <12 13已知正项等比数列a n 的前n 项和为S n ，且S 8-2S 4=6，则a 9+a 10+a 11+a 12的最小值为.【答案】24【解析】设正项等比数列a n 的公比为q ，则q >0，所以，S 8=a 1+a 2+a 3+a 4+a 5+a 6+a 7+a 8=a 1+a 2+a 3+a 4+q 4a 1+a 2+a 3+a 4 =S 41+q 4 ，则S 8-2S 4=S 4q 4-1 =6，则q 4>1，可得q >1，则S 4=6q 4-1，所以，a 9+a 10+a 11+a 12=q 8a 1+a 2+a 3+a 4 =S 4q 8=6q 8q 4-1=6q 4-1+1 2q 4-1=6q 4-1 2+1+2q 4-1 q 4+1=6q 4-1 +1q 4-1+2 ≥62q 4-1 ⋅1q 4-1+2 =24，当且仅当q 4-1=1q 4-1q >1 时，即当q =42时，等号成立，故a 9+a 10+a 11+a 12的最小值为24.故答案为：2414已知F 为拋物线C :y =14x 2的焦点，过点F 的直线l 与拋物线C 交于不同的两点A ，B ，拋物线在点A ,B 处的切线分别为l 1和l 2，若l 1和l 2交于点P ，则|PF |2+25AB的最小值为.【答案】10【解析】C :x 2=4y 的焦点为0,1 ，设直线AB 方程为y =kx +1，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 .联立直线与抛物线方程有x 2-4kx -4=0，则AB =y 1+y 2+2=k x 1+x 2 +4=4k 2+4.又y =14x 2求导可得y =12x ，故直线AP 方程为y -y 1=12x 1x -x 1 .又y 1=14x 21，故AP :y =12x 1x -14x 21，同理BP :y =12x 2x -14x 22.联立y =12x 1x -14x 21y =12x 2x -14x 22可得12x 1-x 2 x =14x 21-x 22 ，解得x =x 1+x 22，代入可得P x 1+x 22,x 1x 24 ，代入韦达定理可得P 2k ,-1 ，故PF =4k 2+4.故|PF |2+25AB=4k 2+4+254k 2+4≥24k 2+4 ×254k 2+4=10，当且仅当4k 2+4=254k 2+4，即k =±12时取等号.故答案为：102024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(2)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1抛物线y =12x 2的焦点坐标为()A.18,0B.12,0 C.0,18D.0,12【答案】D 【解析】由y =12x 2可得抛物线标准方程为：x 2=2y ，∴其焦点坐标为0,12 .故选：D .2二项式3x 2-1x 47的展开式中常数项为()A.-7B.-21C.7D.21【答案】A 【解析】二项式3x 2-1x47的通项公式为Tr +1=C r 7⋅3x 27-r⋅-1x4r=Cr 7⋅-1 r⋅x14-14r 3，令14-14r 3=0⇒r =1，所以常数项为C 17⋅-1 =-7，故选：A3已知集合A =x log 2x ≤1 ，B =y y =2x ,x ≤2 ，则()A.A ∪B =BB.A ∪B =AC.A ∩B =BD.A ∪(C R B )=R【答案】A【解析】由log 2x ≤1，则log 2x ≤log 22，所以0<x ≤2，所以A =x log 2x ≤1 =x 0<x ≤2 ，又B =y y =2x ,x ≤2 =y 0<y ≤4 ，所以A ⊆B ，则A ∪B =B ，A ∩B =A .故选：A ．4若古典概型的样本空间Ω=1,2,3,4 ，事件A =1,2 ，甲：事件B =Ω，乙：事件A ,B 相互独立，则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若B =Ω，A ∩B =1,2 ，则P A ∩B =24=12，而P A =24=12，P B =1，所以P A P B =P A ∩B ，所以事件A ,B 相互独立，反过来，当B =1,3 ，A ∩B =1 ，此时P A ∩B =14，P A =P B =12，满足P A P B =P A ∩B ，事件A ,B 相互独立，所以不一定B =Ω，所以甲是乙的充分不必要条件.故选：A5若函数f x =ln e x -1 -mx 为偶函数，则实数m =()A.1B.-1C.12D.-12【答案】C【解析】由函数f x =ln e x -1 -mx 为偶函数，可得f -1 =f 1 ，即ln e -1-1 +m =ln e -1 -m ，解之得m =12，则f x =ln e x -1 -12x (x ≠0)，f -x =ln e -x -1 +12x =ln e x -1 -x +12x =ln e x -1 -12x =f x故f x =ln e x -1 -12x 为偶函数，符合题意.故选：C6已知函数y =f (x )的图象恰为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)x 轴上方的部分，若f (s -t )，f (s )，f (s +t )成等比数列，则平面上点(s ，t )的轨迹是()A.线段(不包含端点) B.椭圆一部分C.双曲线一部分D.线段(不包含端点)和双曲线一部分【答案】A【解析】因为函数y =f (x )的图象恰为椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)x 轴上方的部分，所以y =f (x )=b ⋅1-x 2a2(-a <x <a )，因为f (s -t )，f (s )，f (s +t )成等比数列，所以有f 2(s )=f (s -t )⋅f (s +t )，且有-a <s <a ,-a <s -t <a ,-a <s +t <a 成立，即-a <s <a ,-a <t <a 成立，由f 2(s )=f (s -t )⋅f (s +t )⇒b ⋅1-s 2a 22=b ⋅1-(s -t )2a 2⋅b ⋅1-(s +t )2a 2，化简得：t 4=2a 2t 2+2s 2t 2⇒t 2(t 2-2a 2-2s 2)=0⇒t 2=0，或t 2-2a 2-2s 2=0，当t 2=0时，即t =0，因为-a <s <a ，所以平面上点(s ，t )的轨迹是线段(不包含端点)；当t 2-2a 2-2s 2=0时，即t 2=2a 2+2s 2，因为-a <t <a ，所以t 2<a 2，而2a 2+2s 2>a 2，所以t 2=2a 2+2s 2不成立，故选：A7若tan α+π4=-2，则sin α1-sin2α cos α-sin α=()A.65B.35C.-35D.-65【答案】C【解析】因为tan α+π4 =tan α+tan π41-tan αtan π4=tan α+11-tan α=-2，解得tan α=3，所以，sin α1-sin2αcos α-sin α=sin αsin 2α+cos 2α-2sin αcos α cos α-sin α=sin αcos α-sin α 2cos α-sin α=sin αcos α-sin 2α=sin αcos α-sin 2αcos 2α+sin 2α=tan α-tan 2α1+tan 2α=3-91+9=-35.故选：C .8函数f x =2ln xx,x >0sin ωx +π6,-π≤x ≤0，若2f 2(x )-3f (x )+1=0恰有6个不同实数解，正实数ω的范围为()A.103,4B.103,4 C.2,103D.2,103【答案】D【解析】由题知，2f 2x -3f x +1=0的实数解可转化为f (x )=12或f (x )=1的实数解，即y =f (x )与y =1或y =12的交点，当x >0时，f x =2ln xx ⇒f (x )=21-ln x x 2所以x ∈0,e 时，f (x )>0，f x 单调递增，x ∈e ,+∞ 时，f (x )<0，f x 单调递减，如图所示：所以x =e 时f x 有最大值：12<f (x )max =2e<1所以x >0时，由图可知y =f (x )与y =1无交点，即方程f (x )=1无解，y =f (x )与y =12有两个不同交点，即方程f (x )=12有2解当x <0时，因为ω>0，-π≤x ≤0，所以-ωπ+π6≤ωx +π6≤π6，令t =ωx +π6，则t ∈-ωπ+π6,π6则有y =sin t 且t ∈-ωπ+π6,π6，如图所示：因为x >0时，已有两个交点，所以只需保证y =sin t 与y =12及与y =1有四个交点即可，所以只需-19π6<-ωπ+π6≤-11π6，解得2≤ω<103．故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9已知复数z 1,z 2是关于x 的方程x 2+bx +1=0(-2<b <2,b ∈R )的两根，则下列说法中正确的是()A.z 1=z 2B.z 1z 2∈R C.z 1 =z 2 =1D.若b =1，则z 31=z 32=1【答案】ACD【解析】Δ=b 2-4<0，∴x =-b ±4-b 2i 2，不妨设z 1=-b 2+4-b 22i ，z 2=-b2-4-b 22i ，z 1=z 2，A 正确；z 1 =z 2 =-b 22+4-b 222=1，C 正确；z 1z 2=1，∴z 1z 2=z 21z 1z 2=z 21=b 2-22-b 4-b 22i ，b ≠0时，z 1z 2∉R ，B 错；b =1时，z 1=-12+32i ，z 2=-12-32i ，计算得z 21=-12-32i =z 2=z 1 ，z 22=z 1=z 2 ，z 31=z 1z 2=1，同理z 32=1，D 正确．故选：ACD ．10四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，P A 与底面垂直，P A =2，AB =1，动点M 在线段PC 上，则()A.不存在点M ，使得AC ⊥BMB.MB +MD 的最小值为303C.四棱锥P -ABCD 的外接球表面积为5πD.点M 到直线AB 的距离的最小值为255【答案】BD【解析】对于A ：连接BD ，且AC ∩BD =O ，如图所示，当M 在PC 中点时，因为点O 为AC 的中点，所以OM ⎳P A ，因为P A ⊥平面ABCD ，所以OM ⊥平面ABCD ，又因为AC ⊂平面ABCD ，所以OM ⊥AC ，因为ABCD 为正方形，所以AC ⊥BD .又因为BD ∩OM =O ，且BD ，OM ⊂平面BDM ，所以AC ⊥平面BDM ，因为BM ⊂平面BDM ，所以AC ⊥BM ，所以A 错误；对于B ：将△PBC 和△PCD 所在的平面沿着PC 展开在一个平面上，如图所示，则MB +MD 的最小值为BD ，直角△PBC 斜边PC 上高为1×56，即306，直角△PCD 斜边PC 上高也为1×56，所以MB +MD 的最小值为303，所以B 正确；对于C ：易知四棱锥P -ABCD 的外接球直径为PC ，半径R =12PC =1222+12+12=62，表面积S =4πR 2=6π，所以C 错误；对于D ：点M 到直线AB 距离的最小值即为异面直线PC 与AB 的距离，因为AB ⎳CD ，且AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，所以AB ⎳平面PCD ，所以直线AB 到平面PCD 的距离等于点A 到平面PCD 的距离，过点A 作AF ⊥PD ，因为P A ⊥平面ABCD ，所以P A ⊥CD ,又AD ⊥CD ,且P A ∩AD =A ,故CD ⊥平面P AD ，AF ⊂平面P AD ，所以AF ⊥CD ，因为PD ∩CD =D ，且PD ，CD ⊂平面PCD ，所以AF ⊥平面PCD ，所以点A 到平面PCD 的距离，即为AF 的长，如图所示，在Rt △P AD 中，P A =2，AD =1，可得PD =5，所以由等面积得AF =255，即直线AB 到平面PCD 的距离等于255，所以D 正确，故选：BCD .11今年是共建“一带一路”倡议提出十周年.某校进行“一带一路”知识了解情况的问卷调查，为调动学生参与的积极性，凡参与者均有机会获得奖品.设置3个不同颜色的抽奖箱，每个箱子中的小球大小相同质地均匀，其中红色箱子中放有红球3个，黄球2个，绿球2个；黄色箱子中放有红球4个，绿球2个；绿色箱子中放有红球3个，黄球2个，要求参与者先从红色箱子中随机抽取一个小球，将其放入与小球颜色相同的箱子中，再从放入小球的箱子中随机抽取一个小球，抽奖结束.若第二次抽取的是红色小球，则获得奖品，否则不能获得奖品，已知甲同学参与了问卷调查，则()A.在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为47B.在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为1314C.甲获得奖品的概率为2449D.若甲获得奖品，则甲先抽取绿球的机会最小【答案】ACD【解析】设A 红，A 黄，A 绿，分别表示先抽到的小球的颜色分别是红、黄、绿的事件，设B 红表示再抽到的小球的颜色是红的事件，在甲先抽取的是黄球的条件下，甲获得奖品的概率为：P B 红∣A 黄 =P B 红A 黄 P A 黄=27×4727=47，故A 正确；在甲先抽取的不是红球的条件下，甲没有获得奖品的概率为：P B 红 ∣A 红 =P A 红 B 红 P A 红 =P A 黄B 红 +P A 绿B 红 P A 红 =27×37+27×1247=1328，故B 错误；由题意可知，P A 红 =37,P A 黄 =27,P A 绿 =27,P B 红∣A 红 =37,P B 红∣A 黄 =47，P B 红∣A 绿 =12，由全概率公式可知，甲获得奖品的概率为：P =P A 红 P B 红∣A 红 +P A 黄 ⋅P B 红∣A 黄 +P A 绿 ⋅P B 红∣A 绿 =37×37+27×47+27×12=2449，故C 正确；因为甲获奖时红球取自哪个箱子的颜色与先抽取小球的颜色相同，则P A 红∣B 红 =P A 红 ⋅P B 红∣A 红 P B 红=37×37×4924=38，P A 黄∣B 红 =P A 黄 ⋅P B 红∣A 黄P B 红=27×47×4924=13，P A 绿∣B 红 =P A 绿 ⋅P B 红∣A 绿 P B 红 =27×12×4924=724，所以甲获得奖品时，甲先抽取绿球机会最小，故D 正确.故选：ACD .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12已知△ABC 的边BC 的中点为D ，点E 在△ABC 所在平面内，且CD =3CE -2CA ，若AC =xAB +yBE，则x +y =．【答案】11【解析】因为CD =3CE -2CA ，边BC 的中点为D ，所以12CB=3BE -BC +2AC ，因为12CB =3BE -3BC +2AC ，所以52BC =3BE +2AC ，所以52BC =52AC -AB =3BE +2AC ，所以5AC -5AB =6BE +4AC ，即5AB +6BE =AC ，因为AC =xAB +yBE ，所以x =5，y =6，故x +y =11.故答案为：1113已知圆锥母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为时，圆锥的体积最大，最大值为．【答案】①.63②.16327π【解析】设圆锥的底面半径为r ，圆锥的母线与底面所成的角为θ,θ∈0,π2 ，易知cos θ=r 2.圆锥的体积为V =13πr 2⋅4-r 2=43πcos 2θ⋅2sin θ=8π3cos 2θ⋅sin θ=8π31-sin 2θ sin θ令x =sin θ,x ∈0,1 ，则y =1-sin 2θ sin θ=-x 3+x ，y =-3x 2+1当y >0时，x ∈0,33，当y<0时，x ∈33,1 ，即函数y =-x 3+x 在0,33 上单调递增，在33,1上单调递减，即V max =8π333-33 3 =163π27，此时cos θ=1-323 =62.故答案为：62；163π2714已知双曲线C ：x 2-y 23=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，右顶点为E ，过F 2的直线交双曲线C 的右支于A ，B 两点(其中点A 在第一象限内)，设M ，N 分别为△AF 1F 2，△BF 1F 2的内心，则当F 1A ⊥AB 时，AF 1=；△ABF 1内切圆的半径为．【答案】①.7+1##1+7②.7-1##-1+7【解析】由双曲线方程知a =1,b =3,c =2，如下图所示：由F 1A ⊥AB ，则AF 1 2+AF 2 2=F 1F 2 2=16，故AF 1 -AF 2 2+2AF 1 AF 2 =16，而AF 1 -AF 2 =2a =2，所以AF 1 AF 2 =6，故AF 2 2+2AF 2 -6=0，解得AF 2 =7-1，所以AF 1 =7+1，若G 为△ABF 1内切圆圆心且F 1A ⊥AB 可知，以直角边切点和G ,A 为顶点的四边形为正方形，结合双曲线定义内切圆半径r =12AF 1 +AB -BF 1 =12AF 1 +AF 2 +BF 2 -BF 1所以r =1227+BF 2 -BF 1 =1227-2 =7-1；故答案为：7+1，7-1；2024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(3)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1有一组按从小到大顺序排列数据：3，5，x ，8，9，10，若其极差与平均数相等，则这组数据的中位数为()A.7B.7.5C.8D.6.5【答案】B【解析】依题意可得极差为10-3=7，平均数为163+5+x +8+9+10 =1635+x ，所以1635+x =7，解得x =7，所以中位线为7+82=7.5.故选：B .2已知集合A =x x -1 >2 ，B =x log 4x <1 ，则A ∩B =()A.3,4B.-∞,-1 ∪3,4C.1,4D.-∞,4【答案】A【解析】由x -1 >2，得x <-1或x >3，所以A =x x <-1或x >3 ，由log 4x <1，得0<x <4，所以B =x 0<x <4 ，所以A ∩B =x 3<x <4 .故选：A .3已知向量a =(2,0)，b =sin α,32，若向量b 在向量a 上的投影向量c =12,0 ，则|a +b |=()A.3B.7C.3D.7【答案】B【解析】由已知可得，b 在a 上的投影向量为a ⋅b |a |⋅a |a |=2sin α2×2(2,0)=(sin α,0)，又b 在a 上的投影向量c =12,0 ，所以sin α=12，所以b =12,32，所以a +b =52,32 ，所以|a +b |=52 2+322=7.故选：B .4如图是两个底面半径都为1的圆锥底面重合在一起构成的几何体，上面圆锥的侧面积是下面圆锥侧面积的2倍，AP ⊥AQ ，则PQ =()A.74B.262C.52D.3【答案】C【解析】设两圆锥的高OP =x ，OQ =y ，则AP =x 2+1，AQ =y 2+1，由AP ⊥AQ ，有AP 2+AQ 2=PQ 2，可得x 2+1+y 2+1=x +y 2，可得xy =1，又由上下圆锥侧面积之比为2:1，即π×1×P A =2×π×1×QA ，可得P A =2QA ，则有x 2+1=2y 2+1，即x 2=4y 2+3，代入y =1x整理为x 4-3x 2-4=0，解得x =2(负值舍)，可得y =12，OP =x +y =2+12=52．故选：C ．5已知Q 为直线l :x +2y +1=0上的动点，点P 满足QP=1,-3 ，记P 的轨迹为E ，则()A.E 是一个半径为5的圆B.E 是一条与l 相交的直线C.E 上的点到l 的距离均为5D.E 是两条平行直线【答案】C【解析】设P x ,y ，由QP=1,-3 ，则Q x -1,y +3 ，由Q 在直线l :x +2y +1=0上，故x -1+2y +3 +1=0，化简得x +2y +6=0，即P 轨迹为E 为直线且与直线l 平行，E 上的点到l 的距离d =6-112+22=5，故A 、B 、D 错误，C 正确.故选：C .6已知x +1 x -1 5=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5+a 6x 6，则a 1+a 3的值为()A.-1B.1C.4D.-2【答案】C【解析】在x +1 x -1 5=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5+a 6x 6中，而x +1 x -1 5=x x -1 5+x -1 5，由二项式定理知x -1 5展开式的通项为T r +1=C r 5x 5-r (-1)r ，令5-r =2，解得r =3，令5-r =3，r =2，故a 3=C 35(-1)3+C 25(-1)2=0，同理令5-r =1，解得r =4，令5-r =0，解得r =5，故a 1=C 45(-1)4+C 55(-1)5=4，故a 1+a 3=4.故选：C7已知P 为抛物线x 2=4y 上一点，过P 作圆x 2+(y -3)2=1的两条切线，切点分别为A ，B ，则cos ∠APB 的最小值为()A.12B.23C.34D.78【答案】C【解析】如图所示：因为∠APB =2∠APC ，sin ∠APC =AC PC=1PC，设P t ,t 24，则PC 2=t 2+t 24-3 2=t 416-t 22+9=116t 2-4 2+8，当t 2=4时，PC 取得最小值22，此时∠APB 最大，cos ∠APB 最小，且cos ∠APB min =1-2sin 2∠APC =1-21222=34，故C 正确.故选：C8已知函数f x ,g x 的定义域为R ,g x 为g x 的导函数且f x +g x =3,f x -g 4-x =3，若g x 为偶函数，则下列结论一定成立的是()A.f -1 =f -3B.f 1 +f 3 =65C.g 2 =3D.f 4 =3【答案】D【解析】对于D ，∵g x 为偶函数，则g x =g -x ，两边求导可得g x =-g -x ，则g x 为奇函数，则g 0 =0，令x =4，则f 4 -g 0 =3，f 4 =3，D 对；对于C ，令x =2，可得f 2 +g 2 =3f 2 -g 2 =3 ，则f 2 =3g 2 =0 ，C 错；对于B ，∵f x +g x =3，可得f 2+x +g 2+x =3，f x -g 4-x =3可得f 2-x -g 2+x =3，两式相加可得f 2+x +f 2-x =6，令x =1，即可得f 1 +f 3 =6，B 错；又∵f x +g x =3，则f x -4 +g x -4 =f x -4 -g 4-x =3，f x -g 4-x =3，可得f x =f x -4 ，所以f x 是以4为周期的函数，所以根据以上性质不能推出f -1 =f -3 ，A 不一定成立.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9下列结论正确的是()A.若a <b <0，则a 2>ab >b 2B.若x ∈R ，则x 2+2+1x 2+2的最小值为2C.若a +b =2，则a 2+b 2的最大值为2D.若x ∈(0,2)，则1x +12-x ≥2【答案】AD【解析】因为a 2-ab =a (a -b )>0，所以a 2>ab ，因为ab -b 2=b (a -b )>0，所以ab >b 2，所以a 2>ab >b 2，故A 正确；因为x 2+2+1x 2+2≥2的等号成立条件x 2+2=1x 2+2不成立，所以B 错误；因为a 2+b 22≥a +b 2 2=1，所以a 2+b 2≥2，故C 错误；因为1x +12-x =12(x +2-x )1x +12-x =122+2-x x +x 2-x ≥12(2+2)=2，当且仅当1x =12-x，即x =1时，等号成立，所以D 正确.故选：AD10若函数f x =2sin 2x ⋅log 2sin x +2cos 2x ⋅log 2cos x ，则()A.f x 的最小正周期为πB.f x 的图像关于直线x =π4对称C.f x 的最小值为-1D.f x 的单调递减区间为2k π,π4+2k π ,k ∈Z【答案】BCD【解析】由sin x >0,cos x >0得f x 的定义域为2k π,π2+2k π ,k ∈Z .对于A ：当x ∈0,π2时，x +π∈π,32π 不在定义域内，故f x +π =f x 不成立，易知f x 的最小正周期为2π，故选项A 错误；对于B ：又f π2-x =2cos 2x ⋅log 2cos x +2sin 2x ⋅log 2sin x =f x ，所以f x 的图像关于直线x =π4对称，所以选项B 正确；对于C ：因为f x =sin 2x ⋅log 2sin 2x +cos 2x ⋅log 2cos 2x ，设t =sin 2x ，所以函数转化为g t =t ⋅log 2t +1-t ⋅log 21-t ,t ∈0,1 ,g t =log 2t -log 21-t ，由g t >0得，12<t <1.g t <0得0<t <12.所以g t 在0,12 上单调递减，在12,1 上单调递增，故g (t )min =g 12=-1，即f (x )min =-1，故选项C 正确；对于D ：因为g t 在0,12 上单调递减，在12,1 上单调递增，由t =sin 2x ，令0<sin 2x <12得0<sin x <22，又f x 的定义域为2k π,π2+2k π ,k ∈Z ，解得2k π<x <π4+2k π,k ∈Z ，因为t =sin 2x 在2k π,π4+2k π 上单调递增，所以f x 的单调递减区间为2k π,π4+2k π ,k ∈Z ，同理函数的递增区间为π4+2k π,π2+2k π ,k ∈Z ，所以选项D 正确.故选：BCD .11已知数列a n 的前n 项和为S n ，且2S n S n +1+S n +1=3，a 1=α0<α<1 ，则()A.当0<α<13-14时，a 2>a 1B.a 3>a 2C.数列S 2n -1 单调递增，S 2n 单调递减D.当α=34时，恒有nk =1S k -1 <54【答案】ACD【解析】由题意可得：S n +1=32S n +1，a 1=α，由S n +1=32S n +1可知：S n +1=1⇔S n =1，但S 1=α∈0,1 ，可知对任意的n ∈N *，都有S n ≠1，对于选项A ：若0<α<13-14，则a 2-a 1=S 2-2a 1=32α+1-2α=3-2α-4α22α+1=4α+1+13 13-14-α2α+1>0，即a 2>a 1，故A 正确；对于选项B ：a 3-a 2=S 3-2S 2+S 1=6α+32α+7-62α+1+α=α-1 4α2+32α+39 2α+1 2α+7<0，即a 3<a 2，故B 错误.对于选项C ：因为S n +1-1=-2S n -1 2S n +1，S n +1+32=3S n +32 2S n +1，则S n +1-1S n +1+32=-23⋅S n -1S n +32，且S 1-1S 1+32=α-1α+32<0，可知S n -1S n+32是等比数列，则S n -1S n +32=α-1α+32⋅-23n -1，设A =α-1α+32<0，t =232n -2，可得S 2n =3-3At 3+2At =3253+2At -1 ，S 2n -1=1+32At 1-At =521-At-32，因为At =A 232n -2，可知A 23 2n -2 为递增数列，所以数列S 2n -1 单调递增，S 2n 单调递减，故C 正确；对于选项D ：因为S n +1=32S n +1，S n +1-34=32S n +1-34=33-2S n 42S n +1，由S 1=α=34，可得S 2-34>0，即S 2>34，则S 2≤65，即34<S 2≤65；由34<S 2≤65，可得S 3-34>0，即S 3>34，则S 3<65，即34<S 3<65；以此类推，可得对任意的n ∈N *，都有S n ≥S 1=α=34，又因为S n +1-1S n -1=22S n +1，则S n +1-1 ≤22α+1S n -1 =45S n -1 ，所以∑nk =1S k -1 ≤541-45 n <54，故D 正确.故选：ACD .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12在(1+ax )n (其中n ∈N *,a ≠0)的展开式中，x 的系数为-10，各项系数之和为-1，则n =.【答案】5【解析】由题意得(1+ax )n 的展开式中x 的系数为aC 1n =-10，即an =-10，令x =1，得各项系数之和为(1+a )n =-1，则n 为奇数，且1+a =-1，即得a =-2,n =5，故答案为：513已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的左、右焦点分别F 1，F 2，椭圆的长轴长为22，短轴长为2，P 为直线x =2b 上的任意一点，则∠F 1PF 2的最大值为.【答案】π6【解析】由题意有a =2，b =1，c =1，设直线x =2与x 轴的交点为Q ，设PQ =t ，有tan ∠PF 1Q =PQ F 1Q=t3，tan ∠PF 2Q =PQ F 2Q=t ，可得tan ∠F 1PF 2=tan ∠PF 2Q -∠PF 1Q =t -t31+t23=2t t 2+3=2t +3t ≤2t 23t =33，当且仅当t =3时取等号，可得∠F 1PF 2的最大值为π6.故答案为：π614已知四棱锥P -ABCD 的底面为矩形，AB =23，BC =4，侧面P AB 为正三角形且垂直于底面ABCD ，M 为四棱锥P -ABCD 内切球表面上一点，则点M 到直线CD 距离的最小值为.【答案】10-1【解析】如图，设四棱锥的内切球的半径为r ，取AB 的中点为H ，CD 的中点为N ，连接PH ，PN ，HN ，球O为四棱锥P-ABCD的内切球，底面ABCD为矩形，侧面P AB为正三角形且垂直于底面ABCD，则平面PHN截四棱锥P-ABCD的内切球O所得的截面为大圆，此圆为△PHN的内切圆，半径为r，与HN，PH分别相切于点E，F，平面P AB⊥平面ABCD，交线为AB，PH⊂平面P AB，△P AB为正三角形，有PH⊥AB，∴PH⊥平面ABCD，HN⊂平面ABCD，∴PH⊥HN，AB=23，BC=4，则有PH=3，HN=4，PN=5，则△PHN中，S△PHN=12×3×4=12r3+4+5，解得r=1.所以，四棱锥P-ABCD内切球半径为1，连接ON.∵PH⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴CD⊥PH，又CD⊥HN，PH,HN⊂平面PHN，PH∩HN=H，∴CD⊥平面PHN，∵ON⊂平面PHN，可得ON⊥CD，所以内切球表面上一点M到直线CD的距离的最小值即为线段ON的长减去球的半径，又ON=OE2+EN2=10.所以四棱锥P-ABCD内切球表面上的一点M到直线CD的距离的最小值为10-1.故答案为：10-12024届高三二轮复习“8+3+3”小题强化训练(4)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1已知双曲线的标准方程为x 2k -4+y 2k -5=1，则该双曲线的焦距是()A.1B.3C.2D.4【答案】C【解析】由双曲线方程可知a 2=k -4,b 2=5-k ，所以c 2=k -4+5-k =1，c =1，2c =2．故选：C2在等比数列a n 中，a 1+a x =82，a 3a x -2=81，前x 项和S x =121，则此数列的项数x 等于()A.4B.5C.6D.7【答案】B【解析】由已知条件可得a 1+a x =82a 3a x -2=a 1a x =81，解得a 1=1a x =81 或a 1=81a x =1 .设等比数列a n 的公比为q .①当a 1=1，a x =81时，由S x =a 1-a x q 1-q =1-81q1-q=121，解得q =3，∵a x =a 1q x -1=3x -1=81，解得x =5；②当a 1=81，a x =1时，由S x =a 1-a x q 1-q =81-q 1-q =121，解得q =13，∵a x =a 1q x -1=81×13x -1=35-x =1，解得x =5.综上所述，x =5.故选：B .3对任意实数a ，b ，c ，在下列命题中，真命题是()A.“ac 2>bc 2”是“a >b ”的必要条件B.“ac 2=bc 2”是“a =b ”的必要条件C.“ac 2=bc 2”是“a =b ”的充分条件D.“ac 2≥bc 2”是“a ≥b ”的充分条件【答案】B【解析】对于A ，若c =0，则由a >b ⇏ac 2>bc 2，∴“ac 2>bc 2”不是“a >b ”的必要条件，A 错．对于B ，a =b ⇒ac 2=bc 2，∴“ac 2=bc 2”是“a =b ”的必要条件，B 对，对于C ，若c =0，则由ac 2=bc 2，推不出a =b ，“ac 2=bc 2”不是“a =b ”的充分条件对于D ，当c =0时，ac 2=bc 2，即ac 2≥bc 2成立，此时不一定有a ≥b 成立，故“ac 2≥bc 2”不是“a ≥b ”的充分条件，D 错误，故选：B ．4已知m 、n 是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，则下列命题中正确的是()A.若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB.若α⊥β，β⊥γ，则α∥βC.若m ∥α，m ∥β，则α∥βD.若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n【答案】D【解析】A选项：令平面ABCD为平面α，A1B1为直线m，B1C1为直线n，有：m∥α，n∥α，但m∩n=B1，A错误；B选项：令平面ABCD为平面β，令平面B1BCC1为平面α，令平面A1ABB1为平面γ，有：α⊥β，β⊥γ，而α⊥β，B错误；C选项：令平面ABCD为平面α，令平面A1ABB1为平面β，C1D1为直线m，有：m∥α，m∥β，则α∥β，而α⊥β，C错误；D选项：垂直与同一平面的两直线一定平行，D正确.故选：D5将甲、乙等8名同学分配到3个体育场馆进行冬奥会志愿服务，每个场馆不能少于2人，则不同的安排方法有()A.2720B.3160C.3000D.2940【答案】D【解析】共有两种分配方式，一种是4:2:2，一种是3:3:2，故不同的安排方法有C48C24C222!+C38C35C222!A33=2940.故选：D6若抛物线y2=4x与椭圆E:x2a2+y2a2-1=1的交点在x轴上的射影恰好是E的焦点，则E的离心率为()A.2-12 B.3-12 C.2-1 D.3-1【答案】C【解析】不妨设椭圆与抛物线在第一象限的交点为A，椭圆E右焦点为F，则根据题意得AF⊥x轴，c2=a2-a2-1=1，则c=1，则F1,0，当x=1时，y2=4×1，则y A=2，则A1,2，代入椭圆方程得12a2+22a2-1=1，结合a2-1>0，不妨令a>0；解得a=2+1，则其离心率e=ca=12+1=2-1，故选：C.7已知等边△ABC 的边长为3，P 为△ABC 所在平面内的动点，且|P A |=1，则PB ⋅PC 的取值范围是()A.-32,92B.-12,112C.[1,4]D.[1,7]【答案】B【解析】如下图构建平面直角坐标系，且A -32,0 ，B 32,0 ，C 0,32，所以P (x ,y )在以A 为圆心，1为半径的圆上，即轨迹方程为x +322+y 2=1，而PB =32-x ,-y ,PC =-x ,32-y ，故PB ⋅PC =x 2-32x +y 2-32y =x -34 2+y -34 2-34，综上，只需求出定点34,34 与圆x +322+y 2=1上点距离平方范围即可，而圆心A 与34,34 的距离d =34+32 2+34 2=32，故定点34,34与圆上点的距离范围为12,52，所以PB ⋅PC ∈-12,112.故选：B 8设a 、b 、c ∈0,1 满足a =sin b ，b =cos c ，c =tan a ，则()A.a +c <2b ，ac <b 2B.a +c <2b ，ac >b 2C.a +c >2b ，ac <b 2D.a +c >2b ，ac >b 2【答案】A【解析】∵a 、b 、c ∈0,1 且a =sin b ，b =cos c ，c =tan a ，则c =tan a =tan sin b ，先比较a +c =sin b +tan sin b 与2b 的大小关系，构造函数f x =sin x +tan sin x -2x ，其中0<x <1，则0<sin x <1，所以，cos1<cos sin x <1，则f x =cos x +cos xcos 2sin x -2=cos x -2 cos 2sin x +cos x cos 2sin x，令g x =cos x -1-12x 2 ，其中x ∈0,1 ，则g x =x -sin x ，令p x =x -sin x ，其中0<x <1，所以，p x =1-cos x >0，所以，函数g x 在0,1 上单调递增，故g x >g 0 =0，所以，函数g x 在0,1 上单调递增，则g x =cos x -1-12x 2 >0，即cos x >1-12x 2，因为x ∈0,1 ，则0<sin x <sin1，所以，cos sin x >1-12sin 2x =1-121-cos 2x =121+cos 2x ，所以，cos 2sin x >141+cos 2x 2，因为cos x -2<0，所以，cos x -2 cos 2sin x +cos x <14cos x -2 1+cos 2x 2+cos x=14cos 5x -2cos 4x +2cos 3x -4cos 2x +5cos x -2 =14cos x -1 3cos 2x +cos x +2 <0，所以，对任意的x ∈0,1 ，f x =cos x -2 cos 2sin x +cos xcos 2sin x <0，故函数f x 在0,1 上单调递减，因为b ∈0,1 ，则f b =sin b +tan sin b -2b <f 0 =0，故a +c <2b ，由基本不等式可得0<2ac ≤a +c <2b (a ≠c ，故取不了等号)，所以，ac <b 2，故选：A .二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9某大学生做社会实践调查，随机抽取6名市民对生活满意度进行评分，得到一组样本数据如下：88、89、90、90、91、92，则下列关于该样本数据的说法中正确的是()A.均值为90B.中位数为90C.方差为2D.第80百分位数为91【答案】ABD【解析】由题意可知，该组数据的均值为x =88+89+90+90+91+926=90，故A 正确；中位数为90+902=90，故B 正确；方差为s 2=1688-90 2+89-90 2+90-90 2×2+91-90 2+92-90 2 =53，故C 错误；因为6×80%=4.8，第80百分位数为91，故D 正确.故选：ABD .10设M ，N ，P 为函数f x =A sin ωx +φ 图象上三点，其中A >0，ω>0，ϕ <π2，已知M ，N 是函数f x 的图象与x 轴相邻的两个交点，P 是图象在M ，N 之间的最高点，若MP 2+2MN ⋅NP=0，△MNP 的面积是3，M 点的坐标是-12,0 ，则()A.A =2B.ω=π2C.φ=π4D.函数f x 在M ，N 间的图象上存在点Q ，使得QM ⋅QN <0【答案】BCD【解析】MP 2+2MN ⋅NP =MP 2-2NM ⋅NP =MP 2-2NM ⋅12NM =T 4 2+A 2 -T 22=A 2-3T 216=0，而S △MNP =AT 4=3，故A =3，T =4=2πω，ω=π2，A 错误、B 正确；-12⋅π2+φ=k π，φ=k π+π4(k ∈Z )，而ϕ <π2，故φ=π4，C 正确；显然，函数f x 的图象有一部分位于以MN 为直径的圆内，当Q 位于以MN 为直径的圆内时，QM⋅QN<0，D 正确，故选:BCD .11设a 为常数，f (0)=12,f (x +y )=f (x )f (a -y )+f (y )f (a -x )，则()．A .f (a )=12B .f (x )=12成立C f (x +y )=2f (x )f (y )D .满足条件的f (x )不止一个【答案】ABC 【解析】f (0)=12,f (x +y )=f (x )f (a -y )+f (y )f (a -x )对A ：对原式令x =y =0，则12=12f a +12f a =f a ，即f a =12，故A 正确；对B ：对原式令y =0，则f x =f x f a +f 0 f a -x =12f x +12f a -x ，故f x =f a -x ，对原式令x =y ，则f 2x =f x f y +f y f x =2f x f y =2f 2x ≥0，故f x 非负；对原式令y =a -x ，则f a =f 2x +f 2a -x =2f 2x =12，解得f x =±12，又f x 非负，故可得f x =12，故B 正确；对C ：由B 分析可得：f x +y =2f x f y ，故C 正确；对D ：由B 分析可得：满足条件的f x 只有一个，故D 错误.故选：ABC .三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12在复平面内，复数z =-12+32i 对应的向量为OA ，复数z +1对应的向量为OB ，那么向量AB 对应的复数是．。
高三数学综合复习：选择填空限时练(二)
选择填空限时练(二)(推荐时间：45分钟)一、选择题1． 设两集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}，B ＝{y |y ＝x 2}，则用阴影部分表示A ∩B 正确的是( )答案 A解析 A ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝(－∞，1)， B ＝{y |y ＝x 2}＝[0，＋∞)，A ∩B ＝[0,1)，故选A. 2． i 为虚数单位，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 014＝( )A ．－iB ．－1C ．iD ．1答案 B解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 014＝i 2 014＝i 2＝－1.3． 设{a n }是等比数列，则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 设等比数列{a n }的公比为q ，若a 1<a 2<a 3，则q >0，且a 1<a 1q <a 1q 2，解得a 1>0，q >1，或a 1<0,0<q <1，所以数列{a n }为递增数列；反之，若数列{a n }是递增数列，显然有a 1<a 2<a 3，所以a 1<a 2<a 3是数列{a n }是递增数列的充要条件．故选C. 4． 平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |的值为( )A. 3 B ．2 3C ．4D ．12答案 B解析 由已知|a |＝2，|a ＋2b |2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2 ＝4＋4×2×1×cos 60°＋4＝12， 所以|a ＋2b |＝2 3.5． 已知函数f (x )＝x 2－ln|x |x，则函数y ＝f (x )的大致图象为( )答案 A解析 依题意，①当x >0时， f ′(x )＝2x －1－ln x x 2＝2x 3＋ln x －1x 2，记g (x )＝2x 3＋ln x －1，则函数g (x )在(0，＋∞)上是增函数， 注意到g (e －2)＝2e －6－3<0，g (1)＝1>0， 函数g (x )在(e －2,1)上必存在唯一零点x 0， e －2<x 0<1，g (x 0)＝0， 当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )<0； 当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0，即函数f (x )在(0，x 0)上是减函数，在(x 0，＋∞)上是增函数； ②当x <0时，f (x )＝x 2－ln (－x )x，f (－1)＝1>0，结合各选项知，选A.6． 阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出i 的值为 ( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案 B解析 第一次循环，i ＝1，a ＝2； 第二次循环，i ＝2，a ＝5； 第三次循环，i ＝3，a ＝16； 第四次循环，i ＝4，a ＝65>50； ∴输出i ＝4.7． 设函数f (x )和g (x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( )A ．f (x )＋|g (x )|是偶函数B ．f (x )－|g (x )|是奇函数C ．|f (x )|＋g (x )是偶函数D ．|f (x )|－g (x )是奇函数答案 A解析 由题意知f (x )与|g (x )|均为偶函数．A 项，偶＋偶＝偶；B 项，偶－偶＝偶，错；C 项与D 项分别为偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇，均不恒成立．8． 已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点，则cos ∠AFB等于( )A.45B.35 C ．－35D ．－45答案 D解析 方法一 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －4，y 2＝4x ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.令B (1，－2)，A (4,4)，又F (1,0)，∴由两点间距离公式得|BF |＝2，|AF |＝5，|AB |＝3 5. ∴cos ∠AFB ＝|BF |2＋|AF |2－|AB |22|BF |·|AF |＝4＋25－452×2×5＝－45.方法二 由方法一得A (4,4)，B (1，－2)，F (1,0)， ∴F A →＝(3,4)，FB →＝(0，－2)， ∴|F A →|＝32＋42＝5，|FB →|＝2.∴cos ∠AFB ＝F A →·FB →|F A →|·|FB →|＝3×0＋4×(－2)5×2＝－45.9． 已知O 是坐标原点，点A (－1,1)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2，x ≤1，y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[－1,2]答案 C解析 OA →·OM →＝－x ＋y ，令z ＝－x ＋y ，做出可行域，求线性规划问题．10．已知一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )A.65π cm 3 B ．3π cm 3 C.23π cm 3D.73π cm 3 答案 D解析 由三视图可知，此几何体是一个底面半径为1 cm 、高为3 cm 的圆柱的上部去掉一个半径为1 cm 的半球所形成的几何体，所其体积为V ＝πr 2h －23πr 3＝3π－23π＝73π(cm 3)．11．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象如图所示．为了得到g (x )＝－A cos ωx (A >0，ω>0)的图象，可以将f (x )的图象( ) A ．向右平移π12个单位长度B ．向右平移5π12个单位长度C ．向左平移π12个单位长度D ．向左平移5π12个单位长度答案 B解析 由图象知，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，g (x )＝－cos 2x ，代入B 选项得sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －5π12＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝－cos 2x . 12．记圆O ：x 2＋y 2＝π2内的正弦曲线y ＝sin x 与x 轴围成的区域为D ，随机往圆O 内投一个点A ，则点A 落在区域D 内的概率是( )A.42 B.43 C.22 D.23 答案 B解析 结合图形可得，D 区域面积为2ʃπ0sin x d x＝2() |－cos x π0＝4，由几何概型可得概率为42＝43. 二、填空题13．已知sin α＝12＋cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4的值为________． 答案 －142解析 将sin α－cos α＝12两边平方，得2sin α·cos α＝34，(sin α＋cos α)2＝74，sin α＋cos α＝72，cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－142. 14．已知各项不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ．若m ∈N *，且a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝________. 答案 10解析 a m －1＋a m ＋1＝2a m ，得2a m －a 2m ＝0，又a m ≠0.所以a m ＝2，则S 2m －1＝(2m －1)(a 1＋a 2m －1)2＝(2m －1)a m ＝2(2m －1)＝38，所以m ＝10.15．已知f (x )＝a ln x ＋12x 2(a >0)，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>2恒成立，则a 的取值范围是________． 答案 [1，＋∞)解析 由k ＝f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2知f ′(x )＝ax ＋x ≥2，x ∈(0，＋∞)恒成立．即a ≥x (2－x )恒成立，因为x (2－x )的最大值为1.所以a ≥1.16．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝1，点P 在AM 上且满足AP →＝2PM →，则AP →·(PB →＋PC →)＝________. 答案 49解析 由AP →＝2PM →知，P 为△ABC 的重心， 所以PB →＋PC →＝2PM →，则AP →·(PB →＋PC →)＝2AP →·PM →＝2|AP →||PM →|cos 0°＝2×23×13×1＝49.。
高考数学复习《30分钟选填》 (文科版) 限时训练(20)答案
限时训练（二十）答案部分一、选择题二、填空题10. 3- 11. 1 13. 1614. []1,1-解析部分1. 解析 ()3sin 240sin 18060sin 602=+=-=-.故选D. 2. 解析 由题可得216914b-=，解得23b =，所以2227c a b =+=，所以c e a ==. 故选C.3. 解析 1x =，2y =，220z =<−−→是2x =，2y =，420z =<−−→是2x =，4y =，820z =<−−→是4x =，8y =，3220z =>−−→否输出32z =.故选B.4. 解析 因为x ∈R 时，20x …，所以命题p 是假命题；当tan 0α=或tan 0β=时，都有()tan tan tan αβαβ+=+，所以命题q 是真命题，所以()p q ⌝∧是真命题.故选C.5. 解析 由题可得{}15B x x =-<< ，若A B ⊆，则有2125a a --⎧⎨+⎩……，解得13a剟.故选A.6. 解析 因为143n n a a +=+，所以()1141n n a a ++=+.又因为114a +=，所以{}1n a +是以4为首项，4为公比的等比数列，所以1214442n n n n a -+=⨯==，所以221n n a =-．故选D.7. 解析 令()0f x …，即2230x x -++…，解得13x-剟，所以当[]01,3x ∈-时，()00f x …，所以根据几何概型知成立的概率()()311442P --==--. 故选B.8. 解析 由()3233f x x ax bx =++可得()2363f x x ax b '=++.因为()f x 有两个极值点1x ，2x ，所以()0f x '=有两个根1x ，2x ，且[]11,0x ∈-，[]21,2x ∈，又因为()f x '的图像开口向上，所以有()()()()10001020f f f f '-⎧⎪'⎪⎨'⎪⎪'⎩…………，即2102144a b b a b a b -⎧⎪⎪⎨+-⎪⎪+-⎩…………，对应的可行域如图阴影部分所示，所以点(),a b 在平面aOb 上所构成区域的面积111111121121222222S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=.故选D.9. 解析 221i i i 1i i iz --===--，所以z =10. 解析 ()()2,11,1x y +=++=-a b ，所以2111x y +=⎧⎨+=-⎩，解得12x y =-⎧⎨=-⎩，所以3x y +=-.11. 解析 由题意可得3600b a =，所以33360010800b a a =⨯=，所以这辆车的行驶速度/h x ==.12. 解析 画出不等式组所表示的可行域，如图中所示的阴影部分.联立11y x y x =-⎧⎨=-+⎩，得()1,0B .由z x =+，得y =+.由图可知，当y x z =+经过点4()1,0B 时，z 取得最小值，min 1z =.13. 解析 由三视图可知该几何体是底面为直角三角形，高为1的倒置的三棱锥，将其放入正方体中如图所示，所以111111326V ⎛⎫=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭.14. 解析 解法一：如图所示，在圆O 上任取一点N ，连接ON ，在OMN △中， 由正弦定理得sin sin ON OM OMN ONM =∠∠，即sin sin ON ONM OM ONM OMN∠==∠∠.又因为3π0,4ONM ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以(]sin 0,1ONM ∠∈，故(OM ∈，即2012x +…，得011x -剟，所以0x 的取值范围是[]1,1-.解法二：过点M 作圆O 的切线，切点为Q ，连接OQ ，如图所示，则)45,90OMQ ⎡∠∈⎣，111CA所以2sin sin 45OMQ ∠=….又在Rt OMQ △中，1sin OQ OMQ OM OM∠==，所以12OM…，即OM …，所以011x -剟，即0x 的取值范围是[]1,1-.评注 对于存在性问题，可利用转化思想，将其转化为最值求解.。
高三数学题限时练习题
高三数学题限时练习题第一题：已知函数f(f)=ff^2+ff+f，其中f，f，f为常数，且f≠0。
已知当f=2时，f(f)=3；当f=1时，f(f)=1。
请回答以下问题：1. 根据已知条件，列出函数f(f)的方程式。
2. 求函数f(f)的导函数f′(f)。
3. 若函数f(f)的极值点为f=−1，求函数f(f)在f=−1处的极值。
解答：1. 假设函数f(f)的方程式为f(f)=ff^2+ff+f。
由已知条件可以得到如下方程组：3 = 4f+2f+f (1)1 = f+f+f (2)解方程组 (1) 和 (2)，可以得到f=1，f=-1，f=3。
因此，函数f(f)的方程式为f(f)=f^2−f+3。
2. 函数f(f)的导函数f′(f)可以通过求函数f(f)的变化率来得到。
根据导数的定义，有：f′(f) = lim(f→0) (f(f+f)−f(f))/f对函数f(f)=f^2−f+3进行求导，得到：f′(f) = 2f−1所以，函数f(f)的导函数f′(f)为2f−1。
3. 函数f(f)的极值点为f=−1，可以通过求导数为0的点来求得。
令f′(f)=0，有：2f−1 = 0解方程得到f = 1/2。
即函数f(f)在f=−1处的极值为f=1/2。
第二题：已知函数f(f)=f^3+ff^2+ff+f，其中f，f，f为常数。
请回答以下问题：1. 当f=2时，f(f)=1；当f=1时，f′(f)=2。
根据已知条件，列出函数f(f)的方程式以及函数f(f)的导函数f′(f)的方程式。
2. 求函数f(f)的导函数f′(f)的导函数f′′(f)。
3. 若函数f(f)的极值点为f=−1，求函数f(f)在f=−1处的极值。
解答：1. 假设函数f(f)的方程式为f(f)=f^3+ff^2+ff+f。
根据已知条件可以得到如下方程组：1=8+4f+2f+f (1)2=3+2f+f (2)解方程组 (1) 和 (2)，可以得到f=-2，f=3，f=-4。
选填专练9——高三二轮数学复习课时作业
数学(理)
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解析 对于 A，根据相关系数的意义可知，A 正确；对于 B，由 ξ～N(1，σ2)， 知 μ＝1，即概率密度函数的图象关于直线 x＝1 对称，所以 P(ξ＜0)＝P(ξ＞2)＝0.2， 则 P(1＜ξ＜2)＝1－2P2ξ＜0＝0.3，B 错误；对于 C，根据线性回归直线的性质可知， C 正确；对于 D，根据残差图的意义可知， D 正确．
a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝( D )
A．242
B．243
C．404
D．405
解析 令 t＝x＋2，则原式为(t＋2)5＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4＋a5t5，两边求导， 可得 5(t＋2)4＝a1＋2a2t＋3a3t2＋4a4t3＋5a5t4，当 t＝1 时，有 a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5 ＝5×34＝405.故选 D.
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数学(理)
又点 O 是△ABC 的外心，所以 BD⊥AC. 3
在 Rt△BAD 中，cos∠BAC＝AADB＝22＝34. 所以 cos∠BAC 的值为34.
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数学(理)
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14．(2022·西北工业大学附属中学模拟)运行如图所示的程序框图，设输出数据构
成的集合为 A，从集合 A 中任取一个元素 a，则函数 y＝xa，x∈[0，＋∞)是增函数的 3
13．已知 O 是△ABC 的外心，AB＝2，AC＝3，若A→O＝xA→B＋yA→C，且 xy≠0，x 3
＋2y＝1，则 cos∠BAC 的值为 4 .
解析 如图所示，
数学(理)
因为A→O＝xA→B＋yA→C，xy≠0，x＋2y＝1， 所以A→O＝(1－2y)A→B＋yA→C， 即A→O－A→B＝y(A→C－A→B－A→B)， 于是有B→O＝y(B→C－A→B)＝y(B→C＋B→A)， 取 AC 的中点为 D，则B→C＋B→A＝2B→D， 所以B→O＝2yB→D.
高考数学选择、填空题专项训练(共40套)[附答案]
三基小题训练一一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数y =2x +1的图象是 （ ）2.△ABC 中，cos A =135，sin B =53,则cos C 的值为 （ ）A.6556B.－6556C.－6516D. 65163.过点（1，3）作直线l ，若l 经过点（a ,0）和(0,b )，且a ,b ∈N *，则可作出的l 的条数为（ ）A.1B.2C.3D.多于34.函数f (x )=log a x (a ＞0且a ≠1)对任意正实数x ,y 都有 （ ）A.f (x ·y )=f (x )·f (y )B.f (x ·y )=f (x )+f (y )C.f (x +y )=f (x )·f (y )D.f (x +y )=f (x )+f (y )5.已知二面角α—l —β的大小为60°，b 和c 是两条异面直线，则在下列四个条件中，能使b 和c 所成的角为60°的是（ ）A.b ∥α,c ∥βB.b ∥α,c ⊥βC.b ⊥α,c ⊥βD.b ⊥α,c ∥β6.一个等差数列共n 项，其和为90，这个数列的前10项的和为25，后10项的和为75，则项数n 为 （ ）A.14B.16C.18D.207.某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有 （ ）A.8种B.10种C.12种D.32种8.若a ,b 是异面直线，a ⊂α,b ⊂β,α∩β=l ，则下列命题中是真命题的为（ ）A.l 与a 、b 分别相交B.l 与a 、b 都不相交C.l 至多与a 、b 中的一条相交D.l 至少与a 、b 中的一条相交9.设F 1，F 2是双曲线42x －y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且1PF ·2PF =0，则|1PF |·|2PF |的值等于（ ） A.2B.22C.4D.810.f (x )=(1+2x )m +(1+3x )n (m ,n ∈N *)的展开式中x 的系数为13，则x 2的系数为（ ）A.31B.40C.31或40D.71或8011.从装有4粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率（ ）A.小B.大C.相等D.大小不能确定12.如右图，A 、B 、C 、D 是某煤矿的四个采煤点，l 是公路，图中所标线段为道路，ABQP 、BCRQ 、CDSR 近似于正方形.已知A 、B 、C 、D 四个采煤点每天的采煤量之比约为5∶1∶2∶3，运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比.现要从P 、Q 、R 、S 中选出一处设立一个运煤中转站，使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在（ ）A.P 点B.Q 点C.R 点D.S 点二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上）13.抛物线y 2=2x 上到直线x －y +3=0距离最短的点的坐标为_________.14.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是2，3，6，这个长方体对角线的长是_________.15.设定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x +1)+f (x )=1,且当x ∈［1,2］时，f (x )=2－x ,则f (8.5)=_________.16.某校要从甲、乙两名优秀短跑选手中选一名选手参加全市中学生田径百米比赛，该校预先对这两名选手测试了8次，测试成绩如下：第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 第7次 第8次 甲成绩（秒） 12.1 12.2 13 12.5 13.1 12.5 12.4 12.2 乙成绩（秒）1212.412.81312.212.812.312.5根据测试成绩，派_________（填甲或乙）选手参赛更好，理由是____________________. 答案：一、1.A 2.D 3.B 4.B 5.C 6.C 7.B 8.D 9.A 10.C 11.B 12.B二、13.（21，1） 14.6 15. 21三基小题训练二一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如图，点O 是正六边形ABCDEF 的中心，则以图中点 A 、B 、C 、D 、E 、F 、O 中的任意一点为始点，与始点不 同的另一点为终点的所有向量中，除向量OA 外，与向量OA 共线的向量共有（ ）A ．2个B ． 3个C ．6个D ． 7个2．已知曲线C ：y 2=2px 上一点P 的横坐标为4,P 到焦点的距离为5,则曲线C 的焦点到准线的距离为 ( )A ． 21B ． 1C ． 2D ． 43．若(3a 2 －312a ) n 展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是 （ ）A ．4B ．5C ． 6D ． 84． 从5名演员中选3人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为 （ ）A ． 203B ． 103C ． 201D ． 1015．抛物线y 2=a(x+1)的准线方程是x=－3，则这条抛物线的焦点坐标是（ ） A.（3，0） B.（2，0） C.（1，0） D.（-1，0）6．已知向量ｍ＝（a ，b ），向量ｎ⊥ｍ，且｜ｎ｜＝｜ｍ｜，则ｎ的坐标可以为（ ） A.（a ，－b ） B.（－a ，b ） C.（b ，－a ） D.（－b ，－a ）7. 如果S =｛x ｜x =2n +1,n ∈Z ｝,T =｛x ｜x =4n ±1,n ∈Z ｝,那么A.S TB.T SC.S=TD.S ≠T8．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有 （ ）A ．36种B ．48种C ．72种D ．96种9．已知直线l 、m ，平面α、β，且l ⊥α,m β.给出四个命题：（1）若α∥β,则l ⊥m ; (2)若l ⊥m ,则α∥β;(3)若α⊥β,则l ∥m ;(4)若l ∥m ,则α⊥β,其中正确的命题个数是( )A.4B.1C.3D.2EF DOC BA10．已知函数f(x)＝log 2(x 2－ax ＋3a)在区间[2，＋∞)上递增，则实数a 的取值范围是（ ）A.(－∞，4)B.(－4，4]C.(－∞，－4)∪[2，＋∞)D.[－4，2)11．4只笔与5本书的价格之和小于22元，而6只笔与3本书的价格之和大于24元，则2只笔与3本书的价格比较（ ）A ．2只笔贵B ．3本书贵C ．二者相同D ．无法确定12．若α是锐角，sin(α－6π)=31,则cos α的值等于 A.6162- B. 6162+ C. 4132+ D. 3132-二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．答案填在题中横线上． 13．在等差数列｛a n ｝中，a 1=251,第10项开始比1大，则公差d 的取值范围是___________.14．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面边长与侧棱长的比为2∶1，则直线AB 1与CA 1所成的角为 。
高三数学(理)二轮复习：选择填空题限时训练(二)
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作选择填空题限时训练(二) (满分：80分， 测试时间：50分钟)(见学生用书P 199)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z ＝( ) A ．3－4i B ．3＋4i C ．－3－4i D ．－3＋4i解析：z ＝253＋4i ＝25（3－4i ）（3＋4i ）（3－4i ）＝25（3－4i ）25＝3－4i. 答案：A2．设样本数据x 1，x 2，…，x 10的均值和方差分别为1和4，若y i ＝x i ＋a (a 为非零常数，i ＝1，2，…，10)，则y 1，y 2，…，y 10的均值和方差分别为( )A ．1＋a ，4B ．1＋a ，4＋aC．1，4 D．1，4＋a 解析：由题意知y i＝x i＋a，则y－＝110(x1＋x2＋…＋x10＋10×a)＝110(x1＋x2＋…＋x10)＋a＝x－＋a＝1＋a，方差s2y＝110[(x1＋a－(x－＋a))2＋(x2＋a－(x－＋a))2＋…＋(x10＋a－(x－＋a))2]＝110[(x1－x－)2＋(x2－x－)2＋…＋(x10－x－)2]＝s2x＝4.答案：A3．等差数列{a n}中a5＋a6＝4，则log2(2a1·2a2·2a3·…·2a10)＝()A．10 B．20C．40 D．2＋log25解析：由等差数列的性质得a1＋a10＝a2＋a9＝…＝a5＋a6＝4，log2(2a1·2a2·2a3·…·2a10)＝log2(2a1＋a2＋a3＋…＋a10)＝log2220＝20，故答案为B.答案：B4．在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为()A．30 B．20C．15 D．10解析：(1＋x)6展开式中通项T r＋1＝C r6x r，令r＝2可得，T3＝C26x2＝15x2，∴(1＋x)6展开式中x2项的系数为15，∴在x(1＋x)6的展开式中，含x3项的系数为15.答案：C5．按如图所示的程序框图运行后，输出的结果是63，则判断框中的整数M的值是()A．5 B．6C．7 D．8解析：第一次执行完循环体，S＝3，A＝2，此时判断框的条件成立，第二次执行完循环体，S＝7，A＝3，此时判断框的条件成立，第三次执行完循环体，S＝15，A＝4，此时判断框的条件成立，第四次执行完循环体，S＝31，A＝5，此时判断框的条件成立，第五次执行完循环体，S＝63，A＝6，此时判断框的条件不成立，∴A≤5，故答案为A.答案：A6．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()A．(綈p)∨(綈q) B．p∨(綈q)C．(綈p)∧(綈q) D．p∨q解析：(1)“至少有一位学员没有降落在指定范围”即甲没有降落在指定范围或者乙没有降落在指定范围或者甲、乙都没有降落在指定范围．又命题p是“甲降落在指定范围”，可知命题綈p是“甲没有降落在指定范围”；同理，命题綈q是“乙没有降落在指定范围”，所以“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p)∨(綈q)．答案：A7．某几何体的三视图如图所示则该几何体的表面积为()A．54 B．60C．66 D．72解析：由三视图知，几何体是直三棱柱削去一个同底的三棱锥，如图所示．三棱柱的高为5，削去的三棱锥的高为3，三棱锥与三棱柱的底面是直角边长分别为3和4的直角三角形，∵AB⊥平面BEFC，∴AB⊥BC.∵FC＝2，AD＝BE＝5，∴DF＝5，BC＝5.∴几何体的表面积S＝12×3×4＋12×3×5＋5＋22×4＋5＋22×5＋3×5＝60.答案：B8．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( )A ．1和20B ．9和10C ．9和11D ．10和11解析：设在第n 棵树旁放置所有树苗，前来领取树苗所走路程总和为f (n )．则f (n )＝[10(n －1)＋10(n －2)＋…＋10]＋[10＋10×2＋10×3＋…＋10(20－n )]＝5n (n －1)＋5(20－n )(21－n ) ＝10n 2－210n ＋2 100 ＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2122＋1 9952，∵n 为正整数，∴n ＝10或11时，f (n )有最小值． 答案：D9．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f(x)dx ，则⎠⎛01f(x)dx ＝( )A ．－1B ．－13 C.13 D ．1 解析：若⎠⎛01f(x)dx ＝－1，则：f(x)＝x 2－2， ∴x 2－2＝x 2＋2⎠⎛01(x 2－2)dx＝x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－2x 1＝x 2－103， 显然A 不正确； 若⎠⎛01f(x)dx ＝－13， 则：f(x)＝x 2－23，∴x 2－23＝x 2＋2⎠⎛01⎝⎛⎭⎪⎫x 2－23d x ＝x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－23x 1＝x 2－23，显然B 正确； 若⎠⎛01f(x)dx ＝13， 则：f(x)＝x 2＋23， ∴x 2＋23＝x 2＋2⎠⎛01⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋23dx ＝x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋23x 1＝x 2＋2，显然C 不正确； 若⎠⎛01f(x)d x ＝1，则：f(x)＝x 2＋2， ∴x 2＋2＝x 2＋2⎠⎛01(x 2＋2)dx＝x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋2x 1＝x 2＋143， 显然D 不正确． 答案：B10．设函数f 1(x)＝x 2，f 2(x)＝2(x －x 2)，f 3(x)＝13|sin 2πx|，a i ＝i99，i ＝0，1，2，…，99.记I k ＝|f k (a 1)－f k (a 0)|＋|f k (a 2)－f k (a 1)|＋…＋|f k (a 99)－f k (a 98)|，k ＝1，2，3，则( )A ．I 1<I 2<I 3B ．I 2<I 1<I 3C ．I 1<I 3<I 2D ．I 3<I 2<I 1解析：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫i 992－⎝⎛⎭⎪⎫i －1992＝199×2i －199， 故I 1＝199×⎝ ⎛⎭⎪⎫199＋399＋599＋…＋2×99－199 ＝199×99299＝1；由2×⎪⎪⎪⎪⎪⎪i 99－i －199－⎝ ⎛⎭⎪⎫i 992＋⎝⎛⎭⎪⎫i －1992 ＝2×199⎪⎪⎪⎪⎪⎪99－（2i －1）99，故I 2＝2×199×9899＋9699＋…＋299＋099＋299＋499＋…＋9899＝9 800992＝992－1992<1；I 3＝13⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2π·199－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2π·099＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2π·299⎪⎪⎪－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2π·199＋…＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2π·9999－⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin 2π·9899＝13sin 2π·2499＋sin 2π·2599－sin 2π·7499－sin 2π·7599 ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 2π·2599－2sin 2π·7499>1. 故I 2<I 1<I 3. 答案：B11．在区间[0，2]上随机取两个数x ，y ，则xy ∈[0，2]的概率是( )A.1－ln 22B.3－2ln 24C.1＋ln 22D.1＋2ln 22解析：可设两个数为x ，y ，则所有的基本事件满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2，所研究的事件满足0≤y ≤2x ，如图总的区域是一个边长为2的正方形，它的面积是4，满足0≤y ≤2x 的区域面积是4－∫21⎝⎛⎭⎪⎫2－2xd x ＝4－(2x －2ln x)21 ＝4－[(4－2ln 2)－(2－2ln 1)] ＝2＋2ln 2，则0≤xy ≤2的概率为p ＝2＋2ln 24＝1＋ln 22. 答案：C12．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，A 1，A 2是实轴顶点，F 是右焦点，B(0，b)是虚轴端点，若在线段BF 上(不含端点)存在不同的两点P i (i ＝1，2)，使得△P i A 1A 2(i ＝1，2)构成以A 1A 2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是( )A ．(2，＋∞) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋12，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，5＋12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5＋12 解析：由题意，F(c ，0)，B(0，b)，则直线BF 的方程为bx ＋cy－bc ＝0.∵在线段BF 上(不含端点)存在不同的两点P i (i ＝1，2)，使得△P i A 1A 2(i ＝1，2)构成以A 1A 2为斜边的直角三角形，∴bcb 2＋c2＜a ，即b 2c 2b 2＋c2＜a 2， ∴11c 2＋1b 2＜a 2，整理得e 4－3e 2＋1＜0，∵e ＞1，∴e ＜5＋12，∵a ＜b ，∴a 2＜c 2－a 2，∴e ＞2， ∴2＜e ＜5＋12，故答案为D. 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，则目标函数z ＝x ＋2y ＋1的最大值是______．解析：可行域是由三条直线x ＋y ＝1，x －y ＝－1，2x －y ＝2的交点围成的三角形，平移直线z ＝x ＋2y ＋1可知当过直线x －y ＝－1，2x －y ＝2的交点(3，4)时目标函数z ＝x ＋2y ＋1取得最大值12.答案：1214．如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD ⊥AB ，AD ＝DC ＝2，AB ＝3，点M 是梯形ABCD 内(包括边界)的一个动点，点N是CD 边的中点，则AM→·AN →的最大值是______．解析：AM→·AN →＝|AM →||AN →|cos A ＝5|AM →|cos A ，|AM →|cos A 可看作AM→在向量AN →上的射影，结合图形可知当点M ，C 重合时，射影最大，此时AM →·AN →取得最大值．在△AMN 中AN ＝5，AM ＝22，CN ＝1，∴cos A ＝310.∴AM →·AN →＝5×22×310＝6. 答案：615．已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和，若a 2a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝______．解析：由a 2a 3＝2a 1得a 1q 3＝2，∴a 4＝2.a 4与2a 7的等差中项为54，∴a 4＋2a 7＝52，∴a 7＝14.∵a 7＝a 4q 3，∴q ＝12，∴a 1＝16， ∴S 5＝a 1（1－q 5）1－q＝31. 答案：3116．一个二元码是由0和1组成的数字串x 1x 2…x n (n ∈N *)，其中x k (k ＝1，2，…，n )称为第k 位码元．二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)．已知某种二元码x 1x 2…x 7的码元满足如下校验方程组：⎩⎪⎨⎪⎧x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝0，x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝0，x 1⊕x 3⊕x 5⊕x 7＝0，其中运算⊕定义为：0⊕0＝0，0⊕1＝1，1⊕0＝1，1⊕1＝0. 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k 位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k 等于______．解析：根据新定义，x 4⊕x 5⊕x 6⊕x 7＝1⊕1⊕0⊕1＝0⊕0⊕1＝0⊕1＝1，这与条件矛盾，那么x 4，x 5，x 6，x 7必有一个是错误的；又x 2⊕x 3⊕x 6⊕x 7＝1⊕0⊕0⊕1＝1⊕0⊕1＝1⊕1＝0，这与条件吻合，可以排除x6，x7，即x4，x5必有一个是错误的；又x1⊕x3⊕x5⊕x7＝1⊕0⊕1⊕1＝1⊕1⊕1＝0⊕1＝1，这与条件矛盾，那么只能x5是错误的，故k＝5.答案：5。
高三数学试题-限时训练2-教师版
2025届高三数学选填（2）命题人：一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}12A x x =-≤，{},B t t =-，且B A ⊆，则实数t 的取值范围是（）A ．[]1,1-B ．[]3,3-C ．[)(]1,00,1-D ．[)(]3,00,3- 【答案】C【分析】利用集合间的关系，建立不等式求解，注意集合元素的互异性．由B A ⊆，得1313t t t t -≤≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪≠-⎩，解得110t t -≤≤≠且．故实数t 的取值范围是[)(]1,00,1-⋃.故选：C.2.已知椭圆()222:10x C y a a +=>，则“2a =”是“椭圆C的离心率为2”的（）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由椭圆C 的方程()22210x y a a+=>，可得：当1a >时，可得c =c e a ==，由2e ==2a =；当01a <<时，可得c =，此时椭圆的离心率为1ce ==由e =，解得12a =，所以所以2a =是椭圆CA.3．某班有4名同学报名参加校运会的六个比赛项目，若每项至多报一人，且每人只报一项，则报名方法的种数为（）A ．240B ．360C ．480D ．640【答案】B【详解】每项限报一人，且每人只报一项，因此可由人选项目.第一个人有6种不同的选法，第二个人有5种不同的选法，第三个人有4种不同的选法，第四个人有3种不同的选法，由分步计数原理得报名方法共有6543360⨯⨯⨯=种.故选：B4．已知0,0x y >>，且满足341x y+=，则（）A ．xy 的最小值为48B ．xy 的最小值为148C ．xy 的最大值为48D ．xy 的最大值为148【答案】A【详解】由题意得234()xy xy x y =+，所以2291624()xy xy x y xy=++，所以9162424y x xy x y =++≥=48，当且仅当916y x x y =时取等，此时6,8x y ==，故A 正确.故选：A5．甲、乙两选手进行象棋比赛，每局比赛相互独立，如果每局比赛甲获胜的概率均为23，比赛没有和局的情况，比赛采用5局3胜制，则甲通过4局比赛获得胜利的概率是（）A ．3281B ．827C ．1681D ．12【答案】B【详解】因为比赛采用5局3胜制，则甲通过4局比赛获得胜利时前3局胜2局第4局胜共有23C 种情况，所以甲通过4局比赛获得胜利的概率是2232128C ×=33327⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故选：B.6．设202620250.2026log 2025,log 2024,log 0.2025a b c ===，则（）A ．c<a<bB ．b a c <<C ．b a c <<D ．a b c<<【答案】B【详解】由对数函数的性质得202620262026log 1log 2025log 2026<<，所以01a <<，同理，01b <<，而0.20260.2026log 0.2025log 0.20261c =>=，所以c a >，,c b >220262025log 2025ln 2025ln 2024(ln 2025)log 2024ln 2026ln 2025ln 2024ln 2026a b ==÷=⋅，而(22ln 2024ln 2026ln 2024ln 20262+⎛⎫⋅<= ⎪⎝⎭2220242026ln (ln 2025)2+⎛⎫<= ⎝⎭，所以1>ab，即b a <，综上，.b a c <<故选：B.7．已知函数22,1()1,12x ax x f x a x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是（）A ．4(0,)5B ．4(0,]5C ．(0,1)D ．(0,1]【答案】B【详解】由22,1()1,12x ax x f x a x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩是R 上的增函数，得1021122a a aa ⎧⎪≤⎪⎪>⎨⎪⎪-≤-⎪⎩，解得405a <≤，所以实数a 的取值范围是4(0,]5.故选：B8．已知ABC 三个内角A 、B 、C 的对应边分别为a 、b 、c ，且π3A =，4a =.则下列结论不正确的是（）A ．ABC面积的最大值为B．cos cos b C c B +=C ．BA BC ⋅的最大值为8+D ．cos cos B C 的取值范围为()1,2,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【详解】对于A 选项，因为π3A =，4a =，由余弦定理和基本不等式可得22222162cos 2a b c bc A b c bc bc bc bc ==+-=+-≥-=，即16bc ≤，当且仅当4b c ==时，等号成立，故11πsin sin 16223ABC S bc A bc bc ==⨯=△ABC的面积的最大值为A 正确；对于B 选项，222222cos cos 422a b c a c b b C c B b c a ab ac +-+-+=⋅⋅==，故B 错误；对于C选项，由正弦定理可得sin sin c a C A ==则sin 3c C =，因为π3A =，则2π03B <<，所以ππ5π2333B <+<，由平面向量数量积的定义可得cos 4cos cos BA BC ca B c B C B ⋅=== 323π32313cos sin cos cos 33322B B B B B ⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()2sin cos 16cos 28cos 2133B B B B B =+=++π28cos 282883B B B ⎛⎫=++=++≤+ ⎪⎝⎭当且仅当ππ232B +=时，即当π12B =时，等号成立，故BA BC ⋅的最大值为83+，故C 正确；对于D 选项，因为π3A =，则2π03C <<，由题意可知，cos 0C ≠，所以，ππ2π0,,223C ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2π1cos cos cos 1322cos cos cos 2c C CB C C C C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭==-,当π02C <<时，tan 0C >，则cos 11cos 22=->-B C C ；当π2π23C <<时，tan C <cos 1312cos 222=-<--=-B C C .综上所述，cos cos B C 的取值范围为()1,2,2∞∞⎛⎫--⋃-+ ⎪⎝⎭，故D 正确.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若方程230x x λ++=在区间()2,0-上有实数根，则实数λ的取值可以是（）A ．0B ．14C ．54D ．94【答案】BCD【详解】由题意23x x λ=--在()2,0-上有解，()223992,0,30,244x x x x λ⎛⎫⎛⎤∈-∴=--=-++∈⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦.故选：BCD ．10．某中学为了调查学生热爱阅读是否与学生的性别有关，从1200名女生和1500名男生中通过分层抽样的方式随机抽取180名学生进行问卷调查，将调查的结果得到等高堆积条形图如图所示，则附：22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++．a 0.0500.0100.001ax 3.8416.63510.828A ．可以估计该校学生中热爱阅读的女生人数比男生多B ．用样本的频率估计总体概率，从该校学生中任选1人，其热爱阅读的概率为0.65C ．根据小概率值0.01α=的2χ独立性检验，可以认为学生是否热爱阅读与性别有关D ．根据小概率值0.01α=的2χ独立性检验，可以认为学生是否热爱阅读与性别无关【答案】AC【详解】由题意可知：抽取的女生人数为12001808012001500⨯=+，抽取的男生人数为150018010012001500⨯=+，对于女生：热爱阅读的人数为800.864⨯=，不热爱阅读的人数为800.216⨯=；对于男生：热爱阅读的人数为1000.550⨯=，不热爱阅读的人数为1000.550⨯=；对于选项A ：因为6450>，所以可以估计该校学生中热爱阅读的女生人数比男生多，故A 正确；对于选项B ：其热爱阅读的频率为64500.63180+≈，用样本的频率估计总体概率，从该校学生中任选1人，其热爱阅读的概率为0.63，故B 错误；对于选项CD ：根据题意可得列联表性别热爱阅读合计是否女生641680男生5050100合计11466180零假设0H ：学生是否热爱阅读与性别无关，则220.01180(64501650)17.225 6.6358010011466x ⨯-⨯=≈>=⨯⨯⨯χ，根据根据小概率值0.01α=的2χ独立性检验，可知零假设0H 不成立，所以可以认为学生是否热爱阅读与性别有关，故C 正确，D 错误；故选：AC.11．已知函数2cos π()1xf x x x =-+，则下列判断正确的是（）A ．3(4)f x <B ．|()|1||f x x ≤C ．函数()y f x =的图象存在对称轴D ．函数()y f x =的图象存在对称中心【答案】ABD【详解】对于选项A ：因为cos π1x ≤，当2π,Z x k k =∈时等号成立；221331244x x x ⎛⎫-+=-+≥ ⎪⎝⎭，当12x =时等号成立，则两个式子中等号不会同时成立，所以由不等式性质可得2cos π4()13x f x x x =<-+；故选项A 正确；对于选项B ：显然0x ≠.因为当0x >时，12x x+≥，当且仅当1x =时等号成立，此时111x x +-≥；当0x <时，12x x +≤-，当且仅当=1x -时等号成立，此时113x x+-≤-；所以111x x +-≥，则21111x x x x x-+=+-≥.又因为cos π1x ≤，所以21cos πx x x x-+≤，即2cos π11x x x x ≤-+，故选项B 正确；对于选项C ：因为2cos π()1x f x x x =-+，()()()()()222cos π2cos π2(2)41421221a x a x f a x x a x a a a x a x ---=--+-+---+，R a ∈.显然()(2)f x f a x ≠-，所以函数()y f x =的图象不存在对称轴，故选项C 错误；对于选项D ：因为()()()22cos π1cos π()(1)01111x x f x f x x x x x -+-=+=-+---+，所以函数()y f x =的图象关于点1,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，故选项D 正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知22252259x x ax ax c x x ++≤++≤++对任意x ∈R 恒成立，则a c +=．【答案】172/8.5【详解】由225259x x x x ++=++，可得2x =-，从而7c =，再由22527x x ax ax ++≤++，222259ax ax c x x ++≤++，对任意x ∈R 恒成立，利用判别式法求解，得解.令225259x x x x ++=++，解得2x =-，故7447a a c ≤-+≤，即7c =，则22527x x ax ax ++≤++，所以()()212120a x a x -+-+≥对任意x ∈R 恒成立，所以()()210,Δ21810,a a a ->⎧⎪⎨=---≤⎪⎩即()21,230,a a >⎧⎪⎨-≤⎪⎩解得32a =，同理222259ax ax c x x ++≤++对任意x ∈R 恒成立可得32a =，综上得32a =，则17.2a c +=故答案为：17213．统计学中，协方差(,)Cov x y 用来描述两个变量之间的总体的误差.设一组数据12,,,n x x x 的平均值为x ，另一组数据12,,,n y y y 的平均值为y ，则协方差()()11(,)ni i i Cov x y x xy y n ==--∑.某次考试结束后，抽取了高一年级10名学生的数学成绩x 、物理成绩y 如下表：序号12345678910数学成绩i x 135124118107958774635344物理成绩iy 97788283776567524445已知10166840i i i x y ==∑，则(,)Cov x y =.【答案】474【详解】由已知得1(135124118107958774635344)9010x =+++++++++=，1(97788283776567524445)6910y =+++++++++=，则()()1011(,)10i i i Cov x y x x y y ==--∑()()()()()()112210101[]10x x y y x xy y x x y y =--+--+⋅⋅⋅+--()()112210101210121011010x y x y x y x x x y y y y x x y =++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅+-++⋅⋅⋅++⋅⎡⎤⎣⎦10101111(101010)668490694741010i i i i i i x y x y x y x y x y x y -==-⋅-⋅+⋅=-⋅=-⨯=∑∑.故答案为：474.14．已知双曲线E ：22221x y a b -=（0a >，0b >）的左、右焦点分别为1F ，2F .过点2F 的直线与y 轴交于点B ，与E交于点A ，且2232F B F A =-，点1F 在以AB 为直径的圆上，则E 的渐近线方程为.【答案】5y =±【详解】依题意，设22AF m =，则2113,22BF m BF AF a m ===+，因为点1F 在以AB 为直径的圆上，则190AF B ∠= ，在Rt 1ABF 中，2229(22)25m a m m ++=，则(3)()0a m a m +-=，故a m =或3a m =-(舍去)，所以12214,2,3AF a AF a BF BF a ====，则||5AB a =，故11244cos 55AF a F AF ABa ∠===，所以在12AF F △中，12cos F AF ∠=222164442425a a c a a +-=⨯⨯，整理得2259c a =，则()22259a b a +=，则2254b a =，则2245b a =，故E的渐近线方程为5y =±.故答案为：5y =±.四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知双曲线2222;1(0,0)x y C a b a b -=>>经过点3,2⎛ ⎝⎭，右焦点为(),0F c ，且222,,c a b 成等差数列.(1)求C 的方程；(2)过F 的直线与C 的右支交于,P Q 两点（P 在Q 的上方），PQ 的中点为,M M 在直线:2l x =上的射影为,N O 为坐标原点，设POQ △的面积为S ，直线,PN QN 的斜率分别为12,k k ，试问12k k S-是否为定值，如果是，求出该定值，如果不是，说明理由.【答案】(1)22163x y -=(2)是定值，定值为23【详解】（1）因为2c ，2a ，2b 成等差数列，所以2222a c b =+，又222c a b =+，所以222a b =.将点⎛ ⎝⎭的坐标代入C 的方程得2269412b b-=，解得23b =，所以26a =，所以C 的方程为22163x y -=.（2）依题意可设PQ ：3x my =+，由223163x my x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()222630m y my -++=,设()11,P x y ，()22,Q x y ，12y y >，则1221226232m y y m y y m -⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩.1212,22x x y y M ++⎛⎫ ⎝⎭，122,2y y N +⎛⎫⎪⎝⎭，则1221122112121222222211PN QN y y y y y y y y k k k kx x my my -----=-=-=---++()()()121221212221y y m y y m y y m y y ⎡⎤-++⎣⎦=⎡⎤+++⎣⎦，而()()12121322S OF y y y y =⋅-=-，所以()()121221212231m y y k k S m y y m y y ++-=⎡⎤+++⎣⎦22222222624422663363122m m m m m m m m -+---===--⎛⎫-++ ⎪--⎝⎭，所以12k k S -是定值，定值为23.。
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高三数学选填专题限时训练一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}220A x x x =-<，101x B x x +⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，则()AB =R（ ）.A.{}01x x << B.{}12x x < C.{}01x x < D.{}12x x <<2.已知12a -<<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ ）. A.[)1,5B.⎡⎣C.D.()2,53.从正方形4个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点之间的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）. A.35 B.25 C.15 D.3104.直线l ：1y kx =+与圆O ：221x y +=相交于,A B 两点，则“1k =”是“OAB △的面积为12”的（ ）.A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 5.下列命题正确的是（ ）.A.函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间,36ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递增B.函数44cos sin y x x =-的最小正周期为2πC.函数cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像是关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称的图形D.函数tan 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像是关于直线6x π=成轴对称的图形 6.一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）. A.13π B.12π C.2π D.π俯视图侧视图正视图7.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）. A.1- B.1 C.2- D.28.已知双曲线M ：22221x y a b -=和双曲线N ：22221y x a b-=，其中0b a >>，且双曲线M 与N 的交点在两坐标轴上的射影恰好是两双曲线的焦点，则双曲线M 的离心率是（ ）. A.512+ B.512- C.532+ D.352- 9.已知正实数,m n 满足log log a a m n <()01a <<，则以下不等式成立的是（ ）. A.22mn< B.11m n m n <++ C.11ln ln m n< D.33m m n n +<+ 10.已知函数()122,0log ,0x a x f x x x ⎧⋅⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程()0f f x =⎡⎤⎣⎦有且仅有一个实数解，则实数a 的取值范围是（ ）. A.()(),00,1-∞ B.(),0-∞ C.()0,1 D.()()0,11,+∞11.点(),Q x y 在不等式组22211220y x x y x y --⎧⎪⎨--+⎪⎩所确定的区域内运动，点()1,0P -为定点，则线段PQ 的长度的最小值是（ ）.A.22 B.173 C.5 D.35512.已知点O 是ABC △的外心， 6AB =， 10AC =.若AO x AB y AC =+， 且2105x y +=，则ABC △的面积为（ ）.A.24B.2023 C.18或2023D.24或202 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填写在题中的横线上.开始i =0,S =1,A =2是 否i =i +1 输出A 结束A =1−1Ai >2015？S =S ×A13. 在ABC △中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边，若3A π=，1b =，ABC △则a 的值为 .14. 二项式712x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中31x 的系数是 .15. 若数列{}n a 满足：114a =-，111n n n a a a --⋅=-()1n >，则2015a = . 16. 定义域为[],a b 的函数()y f x =图像的两个端点分别为,A B ，(),M x y 是()f x 图像上任意一点，其中()1x a bλλ=+-[]()0,1λ∈，向量()1ON OA OB λλ=+-，若不等式MNk 恒成立，则称函数()f x 在[],a b 上“k 阶线性近似”.若函数1y x x=-在[]1,2上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围是 .答 案13.14.84 15.5 16. 32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭1. 解析 (0,2)A =，(,1)(1,)B =-∞-+∞，故[]1,1B =-R.由数轴分析可得(]0,1AB =R．故选C.2. 解析 根据题意可设i z a =+，则z =因为12a -<<，则204a <，所以z ⎡∈⎣．故选B ．3. 解析 如图所示，从图中5个点中任意选出2个点组成一条线段，有25C 10=（种）不同的选择方案，其中距离小于正方形边长的有4种， 则距离大于或等于正方形边长的有6种，其概率为P =63105=.故选A.4. 解析 当1k =时，易推知OAB △的面积为12，充分性成立； 当OAB △的面积为12时，由题可得1OA OB ==， 且11sin 22S OA OB AOB =∠=，所以2AOB π∠=，由图形性质转化到直线l 到圆心O 的距离d 为2，即d ==1k =±，必要性不成立.故选A. 5. 解析 当,36x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，22,333x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，故不在sin y x =的某一单调增区间内，故A 错误；44cos sin y x x =-()()2222cos sin cos sin x x x x =-+22cos sin x x =-cos2x =，即T =π，故B 错误； 把6x π=代入cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得0y =，故C 正确；正切函数没有对称轴，仅有对称中心，故D 错误.故选C.6. 解析 分析知该几何体为圆柱的一半，故体积为()2122V =⨯π⨯1⨯=π.故选D.2015，继续2015，继续2015，继续2015，继续2015，继续……为周期的循环， 故当20166723i ==⨯时，退出循环，因此2A =.故选D.8. 解析 如图所示，易知2a c +=，即212c e a ===.故选A.9. 解析 由题意得0n m <<，故根据2xy =在R 上单调递增，A 错误；作差比较或根据函数1xy x =+在()1,-+∞上单调递增，B 错误； 由题意得110m n<<，根据ln y x =在()0,+∞上单调递增，C 正确； 根据3y x x =+在R 上单调递增，D 错误.故选C. 评注 问题的本质就是研究函数的单调性.10. 解析 在()0f f x =⎡⎤⎣⎦中令()t f x =，则()0f t =. 若0a =，验证易知此时不符合题意；若0a ≠，分0a >，0a <讨论其图像大致如图所示．由()0f t =知，()1t f x ==，问题转化为()1t f x ==有且仅有一个实数解. 因此当0a <时，此式恒成立；当0a >时，()f x 与y 轴的交点()0,a 必须在1y =的下方，故01a <<. 综上所述：()(),00,1a ∈-∞.故选A.11. 解析 分解问题，211y x --21,123,1y x x y x x -+<⎧⇔⎨-⎩；xyaaa <0a >0123–1–2–3123–1–2–3OxO yc2a +c 2c22220x y x y--+⇔()()22110x y ---⇔()()20x y x y +-⇔- 020x y x y -⎧⎨+-⎩或020x y x y -⎧⎨+-⎩. 画出可行域，如图所示，分析知点P 到直线21y x =-+的距离为PQ 的最小值，故min 5PQ ==.故选D. 评注 ()()22110x y ---也可以等价为11x y --，采用分类讨论解决.12. 解析 解法一：以点A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系. 设()00A ，，BAC θ∠=，则()6cos ,6sin B θθ，()10,0C . 取AC 的中点D ，连接OD ，则OD AC ⊥. 因为OD OA AD =+12AC xAB y AC =--=12y AC x AB ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 故OD AC ⋅12y AC xA AC B =⎡⎤⎛⎫--⋅⎪⎢⎥⎝=⎭⎣⎦212A C C y A xAB ⎛⎫-- ⎪⎝⎭⋅=110060cos 2y x θ⎛⎫-⨯- ⎪⎝⎭0=，即c 0106os 5x y θ-=-，把2105x y +=代入化简得6cos 02x x θ-=，得0x =或1cos 3θ=. ①当0x =时，12y =， 所以12AO AC =，所以O 点与D 点重合， 即ABC △为直角三角形，故168242S =⨯⨯=；y =②当1cos 3θ=时，sin 3θ=，故1sin 2S AB AC θ=⨯⨯⨯=. 综上所述，ABC △的面积为24或故选D.解法二（构造法）：延长AB 到点E ，使52AE AB =，取AC 中点D . 因为2512522x AO AB y AC ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭225AE xy AD =+， 又因为2105x y +=，即2215xy +=，因此O ，E ，D 三点在一条直线上. 若O 与E 重合，则与O 在AB 的垂直平分线上矛盾；若O 与D 重合，即DA DB DC ==，所以ABC △为直角三角形， 且2B π∠=，故168242S =⨯⨯=； 若O 不与D ，E 重合，则由三点共线知ED AC ⊥. 因为5AD =，15AE =，故1cos 3A =，此时sin A =1sin 2S AB AC A =⨯⨯⨯=综上所述，ABC △的面积为24或故选D.E13. 解析1sin 2S bc A ===，故2c =. 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-11421232=+-⨯⨯⨯=，故a =14. 解析 展开式的第1r +项为()7171C 2rrrr T x x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭7727C 2r r rx --=， 故令723r -=-，即5r =，所以31x的系数为5757C 221484-=⨯=． 15. 分析 通过常规的配凑无法实现，故尝试计算几个观察规律. 解析 因为111n n n a a a --⋅=-，且10n a -≠，故111n n n a a a ---=， 因此25a =，345a =，414a =-，55a =，…， 故数列{}n a 是以3为周期的数列．又因为201536712=⨯+，因此20155a =． 16.解析 由题意得()122M x λλλ=+-⨯=-+， 故12,22M λλλ⎛⎫---⎪-⎝⎭，[]0,1λ∈. ()1ON OA OB λλ=+-()()31,012,2λλ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭332,22λλ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.3312222MN λλλ=--++-111222λλ=--+-()1132222λλ=-+--．令2t λ=-，则[]1,2t ∈，问题转化为1322t kt +-在[]1,2t ∈恒成立时，求k 的取值范围． 令13()22t g t t =+-，因为()1322t g t t =+-在⎡⎣上单调递减，在⎤⎦上单调递增，0故()min 32g t g==，()10g =，()20g =，故()max 0g t =，因此1330,222t t ⎡+-∈-⎢⎣，故32k ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭.。