公务员行测考试容斥问题速解宝典题集完整版
完整版容斥原理习题加答案
1. 现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有（）【答案】B【解析】直接代入公式为：50=31+40+4- A H B得A H B=25,所以答案为B。
2. 某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。
其中25%是白色的, 75%是蓝色的。
如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？（）A 、15B、25C 、35D40【答案】C【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A H B,本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B,小号占50%蓝色占75%直接代入公式为：100=50+75+10- A H B，得：A H B=353. 某高校对一些学生进行问卷调查。
在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人,【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字 24,再推其他部分数字：根据每个区域含义应用公式得到：总数=各集合数之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数=63+89+47— {(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15=199— { (x+z+y ) +24+24+24}+24+15根据上述含义分析得到：x+z+y 只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以 x+z+y 的值为46人；得本题答案为120.4. 对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。
其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜 欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有 12人，则只喜欢看电影的有多少人( )A.22 人B.28 人C.30 人D.36 人【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字 12,再推其他部分数字：根据各区域含义及应用公式得到：总数=各集合数之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数100= 58+38+52- {18+16+ (12+ x ) }+12+0,因为该题中，没有三种都不喜 欢的人，所以三集合之外数为 0,解方程得到：x = 14。
考公务员的容斥问题
容斥原理基本解题思路:1.容斥原理公式法，适用于“条件与问题”都可直接代入公式的题目。
两个集合：|A∪B|=|A|+|B|-|A∩B|三个集合：|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|B∩C|-|C∩A|+|A∩B∩C|2.文氏图示意法，条件或者所求不完全能用上述两个公式表示时，利用文氏图来解决。
一、两集合标准型两集合标准型核心公式满足条件I的个数+满足条件Ⅱ的个数-两者都满足的个数=总个数-两者都不满足的个数【例1】（国家2006一类-42）现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都做错的有4人，则两种实验都做对的有多少人？（）A. 27B. 25C. 19D. 10［答案］B［解析］根据公式“物理实验做正确人数+化学实验做正确人数-两种实验都做正确人数＝总人数-两种实验都做错人数”可得：40+31-x＝50-4，解得x＝25。
【例2】（广东2006上-11）一个俱乐部，会下象棋的有69人，会下围棋的有58人，两种棋都不会下的有12人，两种棋都会下的有30人，问这个俱乐部一共有多少人？（）A. 109人B. 115人C. 127人D. 139人［答案］A［解析］根据公式“会下象棋人数+会下围棋人数-两种都会下人数＝总人数-两种都不会下人数”可得：69+58-30＝x-12，解得x＝109。
【例3】（北京社招2007-18）电视台向100人调查昨天收看电视情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。
问两个频道都没有看过的有多少人？（）A. 4B. 15C. 17D. 28［答案］B［解析］根据公式“看过2频道人数+看过8频道人数-两个频道都看过人数＝总人数-两个频道都没有看过人数”可得：62+34-11＝100-x，解得x＝15。
【例4】（广东2008-13）60个人上身着白上衣或黑上衣，下身着蓝裤子或黑裤子。
国行测备一秒辨别并解决容斥问题.doc
2018国考行测备考一秒辨别并解决容斥问题容斥问题是我们数量关系中的一种常见题型，但是有一些题需要我们去辨别出来它属于容斥问题，只有准确的辨认出题型才会轻松地解决问题，所以让我们来看一下，如何快速辨认并解决容斥问题。
首先来看一下容斥问题的特点：有符合条件A，符合条件B，即符合A又符合B 的称为都(符合)，既不符A又不符合B 的称为都不(符合)。
想要一秒辨别是否属于容斥，重点在都与都不，只要明显找出其中一个，就基本可以断定属于容斥，解决容斥问题最直接的方法就是画图法，画图第一步就是确定都与都不，有都即有重叠部分，有都不即有外框，图画出来把各个部分的数据标出之后根据面积相等计算得出结果即可。
例1、某单位派60名运动员参加运动会开幕式，他们着装白色或黑色上衣，黑色或蓝色裤子。
其中有12人穿白上衣蓝裤子，有34人穿黑裤子，29人穿黑上衣，那么穿黑上衣黑裤子的有多少人?( )A. 12B. 14C. 15D. 29解析：此题一看问题问的是即穿黑上衣又穿黑裤子的，就是有都的部分，有都可以判定为容斥，题中又出现穿白上衣蓝裤子即为都不的部分，有都和都不，画图时既有重叠部分又有外框，将给出的各部分数据标出，根据面积相等可以列出等式：60=34+29-X+12 X=15，此题正确答案为C。
例2、一名外国游客到北京旅游，他要么上午出去游玩，下午在旅馆休息，要么上午休息，下午出去游玩，而下雨天他只能一天都待在屋里。
期间，不下雨的天数是12天，他上午待在旅馆的天数为8天，下午待在旅馆的天数为12天，他在北京共待了( )。
A. 16天B. 20天C. 22天D. 24天解析：明显看出有一天都待在屋里即有都，判定容斥问题，读题得出有都没有都不，画图只重叠，各部分数据标出后根据面积相等列式：12+X=8+12-X X=4, 12+4=16。
此题正确答案A。
都、都不，如果你还分不清楚，画图，如果你还搞不懂，式子，如果你还不知道怎样列，那么......你该做什么你懂得。
行测数学运算16种题型之容斥原理问题
行测数学运算16种题型之容斥原理问题核心公式：（1）两个集合的容斥关系公式：A＋B＝A∪B＋A∩B（2）三个集合的容斥关系公式：A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C【例1】对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。
其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有：A．22人 B．28人 C．30人 D．36人【解析】设A＝喜欢看球赛的人（58），B＝喜欢看戏剧的人（38），C＝喜欢看电影的人（52）A∩B＝既喜欢看球赛的人又喜欢看戏剧的人（18）B∩C＝既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人（16）A∩B∩C＝三种都喜欢看的人（12）A∪B∪C＝看球赛和电影、戏剧至少喜欢一种（100）根据公式：A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩CC∩A＝A＋B＋C－（A∪B∪C＋A∩B＋B∩C－A∩B∩C）＝148－（100＋18＋16－12）＝26所以，只喜欢看电影的人＝C－B∩C－C∩A＋A∩B∩C＝52－16－26＋12＝22【例2】某大学某班学生总数为32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没有及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是( )。
A.22B.18C.28D.26【解析】设A＝第一次考试中及格的人(26)，B＝第二次考试中及格的人(24)显然，A＋B＝26＋24＝50；A∪B＝32-4＝28，则根据公式A∩B＝A＋B-A∪B＝50-28＝22所以，答案为A。
【例3】某单位有青年员工85人，其中68人会骑自行车，62人会游泳，既不会骑车又不会游泳的有12人，则既会骑车又会游泳的有( )人A.57B.73C.130D.69【解析】设A＝会骑自行车的人(68)，B＝会游泳的人(62)显然，A＋B＝68＋62＝130；A∪B＝85-12＝73，则根据公式A∩B＝A＋B-A∪B＝130-73＝57所以，答案为A。
(完整版)容斥原理习题加答案
1.现有50名学生都做物理、化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对的有( )A、27人B、25人C、19人D、10人【答案】B【解析】直接代入公式为：50=31+40+4－A∩B得A∩B=25，所以答案为B。
2.某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半。
其中25％是白色的，75％是蓝色的。
如果这批衬衫共有100件，其中大号白色衬衫有10件，小号蓝色衬衫有多少件？（）A、15B、25C、35D、40【答案】C【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，将所求答案设为A∩B，本题设小号和蓝色分别为两个事件A和B，小号占50%，蓝色占75%，直接代入公式为：100=50+75+10－A∩B，得：A∩B=35。
3.某高校对一些学生进行问卷调查。
在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人，不参加其中任何一种考试的都15人。
问接受调查的学生共有多少人？（）A．120B．144C．177D．192【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字24，再推其他部分数字：根据每个区域含义应用公式得到：总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数＝63+89+47－{(x+24)+(z+24)+(y+24)}+24+15＝199－{（x+z+y）+24+24+24}+24+15根据上述含义分析得到：x+z+y只属于两集合数之和，也就是该题所讲的只选择两种考试都参加的人数，所以x+z+y的值为46人；得本题答案为120.4.对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。
其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有多少人（）A.22人B.28人C.30人D.36人【答案】A【解析】本题画图按中路突破原则，先填充三集合公共部分数字12，再推其他部分数字：根据各区域含义及应用公式得到：总数=各集合数之和－两两集合数之和＋三集合公共数＋三集合之外数100＝58+38+52－{18+16+（12+ x）}+12+0,因为该题中，没有三种都不喜欢的人，所以三集合之外数为0，解方程得到：x＝14。
2018国家公务员考试行测数量关系经典题目讲解之容斥问题
2018国家公务员考试行测数量关系经典题目讲解之容斥问题在行测数量关系中有许多考点，但有些考点难度不大易于掌握，比如容斥问题、行程问题中的牛吃草模型等，中公教育专家在特为各位考生整理了容斥问题的常见题型及问法：容斥问题从本质上来说是个计数问题，既然是计数问题，那么要去所有的数只能算一次，也就是表明它的计数原则是不重不漏。
它主要有两种常见的题型，具体如下：1.考点一：二者容斥问题。
若用A、B分别表示两个集合元素个数，I表示所有的集合元素个数;那么可得公式： A+B - A ∩B=I -非A非B例题1.有40位同学比赛，答对第一题有27人，答对第二题有25人，两题都答对的有18人，两题都没答对的有多少人?A.8B.10C.6D.4【中公解析】通过题目可以知道这是个二者容斥问题，要求的是非A非B的部分，所以根据公式可知： ,所以都没答对是6人，故此题答案为C。
2.考点二：三者容斥问题。
若用A 、B、C分别表示三个集合的元素个数，I表示全部集合的元素个数，该模型的公式有两种情况：(1)I-非A非B非C=A+B+C-二者部分+A∩B∩C(2)I-非A非B非C=A+B+C-仅二者部分-2 A∩B∩C两个公式之间的差别是在于分清“二者部分”“仅二者部分”，这也是该考点的难点所在。
例题2.某高校对一些学生进行问卷调查。
在接受调查的学生中，准备参加注册会计师考试的有63人;准备参加英语六级考试的有89人;准备参加计算机考试的有47人;三种考试都准备参加的有24人;准备选择两种考试都参加的有46人;不参加其中任何一种考试的都15人。
问接受调查的学生共有多少人?A.120B.144C.177D.192【中公解析】根据题干信息可知，这是三者容斥问题，要求的是全集I的部分。
根据题意，参加两种考试，不包含三个考试都参加的部分，所以指的是“仅二者部分”;所以根据公式(2)可得：。
故答案为A。
例题3.对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。
公务员考试容斥问题
题型1 三者容斥问题计算【例题精讲】甲、乙、丙三人练习投篮，一共投150次，共64次没投进，甲乙共进48次，乙丙共进69次，乙进多少次？【甘肃2013行测】A.28次B.31次C.30次D.33次【题干分析】由“甲、乙、丙三人练习投篮，一共投150次，共64次没投进”知题干中涉及3个互不相交的集合---甲乙丙分别投进的次数，所以直接画图不能得到乙进多少次；并且知道三个集合之和为86.由“甲乙共进48次，乙丙共进69次”可知两个集合间的数量关系，所以可以通过集合间的数量关系计算。
【答案】B 。
解析：甲乙丙共投进次数：甲+乙+丙=150-64=86，甲+乙=48，乙+丙=69，故乙=（甲+乙）+（乙+丙）-（甲+乙+丙）=48+69-86=31次，选B 。
【总结】三者容斥问题的计算中，如果题干给出的集合没有明显的文氏图关系，无法根据文氏图列出等量关系，而只是给出了集合间的数量关系，要根据数量关系列等式求解。
【习题精练】1.某公司针对A 、B 、C 三种岗位招聘了35人，其中只能胜任B 岗位的人数等于只能胜任C 岗位人数的2倍，而只能胜任A 岗位的人数比能兼职别的岗位的人多1人，在只能胜任一个岗位的人群中，有一半不能胜任A 岗位，则招聘的35人中能兼职别的岗位的有（ ）【2013上海行测A 、B 】A.10人B.11人C.12人D.13人【答案】B 。
解析：设只胜任C 岗的有x 人，只胜任B 岗的有2x 人；能够兼职的有y 人，只能胜任A 岗的有y +1人。
则x +2x +y +(y +1)=35，整理得3x +2y =34。
只能胜任一个岗位的人中一半不能胜任A 岗，即只能胜任B 岗和C 岗的人数之和与只能胜任A 岗的人数相等，于是x +2x =y +1，把3x =y +1代入上一个方程解得y =11人。
题型2 容斥的极值问题----求公共部分的最值【例题精讲】1.某中学在高考前夕进行了四次语文模拟考试，第一次得90分以上的学生为70％，第二次是75％，第三次是85％，第四次是90％，请问在四次考试中都得90分以上的学生至少是多少？（河北2011）Ａ．40％ Ｂ．30％ Ｃ．20％ Ｄ．10％【题干分析】由“第一次得90分以上的学生为70％，第二次是75％，第三次是85％，第四次是90％”知题干中涉及到四个集合；由问法“请问在四次考试中都得90分以上的学生至少是多少？”知所求问题是四个集合公共部分的最小值。
2013国家公务员考试行测练习题之容斥原理答案解析
2013国家公务员考试⾏测练习题之容斥原理答案解析1.【答案】B。
解析：根据题⼲叙述选修甲课程的对应为集合A=40，选修⼄课程的对应为集合B=36，选修丙课程的对应集合C=30。
兼选甲、⼄的对应为A∩B=28，兼选甲、丙的对应为A∩C=26，兼选⼄、丙的对应为B∩C=24。
甲、⼄、丙均选的对应为A∩B∩C=20。
三门课程均未选的对应为50-A∪B∪C。
A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=40+36+30-28-26-24+20=48三门均未选的有50-A∪B∪C=50-48=2⼈。
2.【答案】B。
解析：矩形ABCD的⾯积为8×6=48ｍ2，阴影部分⾯积等于ABCD⾯积-空⽩部分⾯积。
三⾓形BDF⾯积对应为X，三⾓形AFC⾯积对应为Y，则空⽩部分⾯积对应为X∪Y，四边形OEFG⾯积对应为X∩Y。
选择容斥原理1，X∪Y=X+Y-X∩Y；所求为48-X∪Y。
6.【答案】B。
解析：求取物品的件数，可从最差情况考虑。
两双颜⾊相同，最差情况是把⼀种颜⾊的袜⼦全部都拿出来，另外两种颜⾊都只拿出⼀只，再拿出来⼀只必然会与先前拿出来的配成⼀双，即⼀共拿出3+2+1=6只。
7.【答案】C。
解析：要求取多少球→求取物品的件数，考虑最差情况。
要保证⾄少有4个号码相同，最差的情况：1、2、3、4、5每个号码各取了3个，这时再取⼀个，⼀定有⼀个号码有4个，所以⼀共要取5×3+1=16个⼩球。
8.【答案】A。
解析：求同⼀抽屉中最多的物品数，利⽤抽屉原理解题。
因为每场球赛有2个球队参加，所以11场球赛共有11×2=22队次参加，把10个⾜球队看成10个抽屉，由于22÷10=2……2（n=10，m=2），根据抽屉原理2，赛得最多的球队⾄少赛了2+1=3场⽐赛。
10.【答案】A。
解析：求⾄少有⼏个办公室桌⼦数⼀样，即求有⼏个抽屉中物品⼀样多。
可从任意的办公室桌⼦不同构造抽屉。
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公务员行测考试容斥问题速解宝典题集
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公务员行测考试容斥问题速解宝典题集
一、两集合类型
1.解题技巧
题目中所涉及事物属于两集合时，容斥原理适用于条件与问题都可以直接带入公式题目，如下：
A∪B=A+B-A∩B
快速解题：总数=两集合之和+两集合之外数-两集合公共数。
2.真题示例
【例1】现有50名学生都做物理，化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对有：
A27人B25人C19人D10人
【解析】B。
50=31+40+4-A∩B，得A∩B=25。
二、三集合类型
1.解题步骤
解题步骤分三步：①画文氏图；②弄清图形中每一部分所代表含义；③代入公式(A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C)进行求解。
2.解题技巧
解题技巧主要包括一个计算公式和文氏图。
总数=各集合数之和-两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数
3.真题示例
【例2】某高校对一些学生进行问卷调查。
在接受调查的学生中，准备参加会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人，不参加任何一种考试的有15人。
问接受调查问卷的学生共有多少人？
A.120
B.144
C.177
D.192
【解析】A。
填充三个集合公共部分数字24；根据每个区域含义应用公式：总数=各集合之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数=63+89+47-{(x+24)+(z+24)+(y+24)｝+24+15=199-{(x+y+z)+24+24+24｝
+24+15。
x+y+z只属于两集合数之和，该题所讲只选择两种考试参加人数，所以x+y+z值为46人；得本题答案为120。
【例3】对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。
其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有多少人?
A.22人
B.28人
C.30人
D.36人
【解析】A。
总数=各集合之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数。
100=58+38+52-
{18+16+(12+x)｝+12+0，该题没有三种都不喜欢的，所以三集合之外数为0，解方程得：x=14。
52=x+12+4+y=14+12+4+y，得到y=22人。
一、工具的应用
容斥问题研究的是集合与集合之间关系，对应于不同的题型，我们往往要选择不同的工具展示题目中的关系，简化分析过程。
题型不同时要借助的工具也不一样。
普通二者或三者容斥借助文氏图分析;四者容斥往往借助表格;而一些有比较或排序类的容斥题目往往借助线段。
考生要区分不同题型、考点，明确做题工具。
二、结论的不同
不同题型不但解题工具不同，结论、公式也是不同的。
普通的二者和三者容斥考生往往都比较熟悉，下面几个特殊容斥的题目一样值得考生注意：
1、四者容斥
例：有100件衬衫，其中白色和黑色的各50%，大号有25%，小号占75%，白色大号的有10件，请问黑色小号的有几件?
中公分析：这是一道四者容斥的题目，用表格法解决。
依据比例将白色、黑色衬衣的件数和大小号衬衣的件数写在表格最右列和最下行。
大号白色10件，标在大号一列和白色一行的交叉格中，如下表所示：则大号黑色有25-10=15件，小号黑色有50-15=35件。
总结：四者容斥的题目一般都是描述某一事务在两个不同方面的四个不同属性。
利用表格可以快速解题。
2、容斥全极值
N者容斥问N者重合部分的最值即为容斥全极值问题。
考试很少考最大值，一般都是问N者重合部分最小的时候，直接利用结论做：N者极值=N个大集合的和减去(N-1)个全集。
例：某班有100人，其中语文好的有80人，数学好的有78人，英语好的有82人，请问三个科目都好的至少有几人?
中公分析：此题属于三者全极值的问题，带入公式：80+78+82-100×2=40。
即三个科目都好的人至少40人。
3、三者容斥二者最多
三者容斥求其中二者重复部分最多，直接三个大集合之和除以2，求整数部分。
例：某班有100人，其中语文好的有40人，数学好的有32人，英语好的有48人，请问其中只有两科好的至多有几人?
中公分析：三者容斥求二者最多，可以直接计算：(40+32+48)÷2=60人。
以上是中公教育专家总结的几种可能考查容斥问题的特殊题型，因为其与常规题目的差异性，考生如若没能掌握正确的思路则很难做对。
以上题目所体现的思想，希望考生好好体会，力争在考场上遇到这类题目时能快速准确地求解。
一.知识点总结
容斥原理:容斥原理是指计数时先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把重复计算的数目排斥出去。
容斥问题主要分为：两者容斥问题、三者容斥问题。
如何解决容斥问题：利用文氏图(划圈法)。
1.两者容斥问题
解决两者容斥问题的方法：如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，然后减掉重复计算的部分。
简记：元素的总个数=大圈-中圈(A、B为大圈，x为中圈)
方法核心：让每个重叠区域变为一层。
(x为重叠区域)
例：班级一共有240人，每个人必须至少有一门是好的，已知行测好的是160人，申论好的是120人，问既行测好又申论好的有多少人?
(x为既行测好又申论好的人)
中公解析：首先我们只需把行测好、申论好的分别看成集合，然后用文氏图表示出来，其中x为重叠区域，我们需将其变为单层。
160+120-x=240，解得x=40。
2.三者容斥问题
解决三者解决容斥问题的方法：如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，先把A、B、C三个集合的元素个数相加，然后减掉重复计算的部分。
(1、2、3、x均为重叠区域)
简记：元素的总个数=大圈-中圈+数小圈(大圈指三类元素的个数和，中圈指题目中所给重叠区域(1、2、3、1+x、2+x、3+x、1+2+3+x)，小圈为三层重叠区域x，利用此公式，我们只需数小圈即可。
方法核心：让每个重叠区域变为一层。
例：有140人，每个人都至少喜欢一种花，已知喜欢玫瑰花的有80人，喜欢牡丹花的有70人，喜欢百合花的有60人，则分别在以下三种条件下，三种花都喜欢的有多少人?
(1)喜欢玫瑰和牡丹的有30人，喜欢玫瑰和百合的有40人，喜欢牡丹和百合的有50人;
(2)只喜欢两种花的有40人;
(3)至少喜欢两种花的有50人。
中公解析：首先分析三个条件中重叠区域是哪部分，利用元素的总个数=大圈-中圈+数小圈，则大圈
=80+70+60，中圈=30+40+50，其中大圈中x被加了三次，减中圈时x被减了三次，还需加一次x，故，解得
x=50。
(2)大圈=80+70+60，中圈=40，其中大圈中x被加了三次，减中圈时x一次也没有被减，因此需减2x，故，解得x=15。
(3)大圈=80+70+60，中圈=50，其中大圈中x被加了三次，减中圈时x被减了一次，因此需再减一次x，故，解得x=20。
总结：解决容斥问题，最重要的就是要分清题干中所给的重叠区域，然后从三层区域入手(小圈)将重叠区域变为一层。
3.容斥中的极值问题
二.经典例题
1.接受采访的100个大学生中，88人有手机，76人有电脑，其中有手机没电脑的共15人，则这100个学生中有电脑但没手机的共有多少人?
A.25
B.15
C.5
D.3
【答案】D。
中公解析：画出文氏图。
88人有手机，15人有手机没电脑，则88-15=73人既有手机又有电脑，已知76人有电脑，所以有电脑没手机的有76-73=3人。
2.某公司招聘员工，按规定每人最多可报考两个职位。
结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为：
A.5人
B.6人
C.7人
D.8人
【答案】C。
中公解析：：设同时报乙、丙职位的人数为x人，报考甲、乙、丙三个职位的一共有22+16+25=63人，其中报考两个职位的被重复计算了1次，则总的报名人数42=63-(8+6+x)，解得x=7人。