公务员考试容斥问题
国考：公式法解容斥问题(三集合标准型)
国考：公式法解容斥问题（三集合标准型）河北公务员考试的《行测职业能力测验》包括五大部分内容：言语理解与表达、数量关系、判断推理、常识判断和资料分析，主要考察考生是否具有从事公务员职业必须具备的基本素质和潜在能力。
河北华图教育精心整理了河北公务员行测真题及其他公务员笔试资料供考生备考学习。
在行测考试当中，有一类问题叫做容斥问题。
什么题目我们归结为容斥问题呢？一般情况下，有符合A，有符合B，有符合AB，有AB都不符合等这一类题干，我们就把他归结为容斥问题。
容斥问题可以分为二集合容斥和三集合容斥。
解题思路有画图法和公式法。
一般情况下，只要我们能牢牢地背会相关公式，考试的时候就能很快的做出答案，节省考试时间。
今天我们一起来看一下三集合容斥标准型公式。
三集合容斥标准型公式：A+B+C-AB-BC-AC+ABC=总数-都不符合。
下面我们一起来看寄到容斥问题的例题：【例】（2009-国家-81）如图所示，X、Y、Z 分别是面积为64、180、160 的三张不同形状的纸片。
它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住的面积为290。
且X 与Y、Y 与Z、Z 与X 重叠部分面积分别为24、70、36。
问阴影部分的面积是多少？（）A.15B.16C.14D.18【解析】此题为容斥原理问题，根据三集合容斥标准型公式：A+B+C-AB-BC-AC+ABC=总数-都不符合。
根据题意，设阴影部分为x，列方程有：290=64+180+160-24-70-36+x，解得x＝16。
选择B。
由此可见，如果能够熟练地记住公式，其实这类问题我们完全可以在1分钟以内做出来的。
我们再来看一道例题：【例】对39 种食物中是否含有甲、乙、丙三种维生素进行调查，结果如下：含甲的有17 种，含乙的有18 种，含丙的有15 种，含甲、乙的有7 种，含甲、丙的有6种，含乙、丙的有9 种，三种维生素都不含的有7 种，则三种维生素都含的有多少种？（）A.4B.6C.7D.9【解析】根据题意列方程：17+18+15-7-6-9+7=39-x，解出x=4。
2023年容斥原理+周期问题-国家公务员考试行测解题技巧
容斥原理+周期问题-2022国家公务员考试行测解题技巧本文我给大家介绍一下行测容斥原理+周期问题。
一、容斥原理1、两集合容斥原理（一）题型辨别题干中涉及两个集合，各集合之间消失交叉重叠的状况（二）基础公式A+B-AAB二总数-都不2、三集合容斥原理（一）题型辨别题干中涉及三个集合，各集合之间消失交叉重叠的状况（二）基础公式①标准型公式：A+B+C-A n B-A n C-B A C+A A B n C二总数-都不题型特点：题干中给出AGB、BAC、ACC的数值。
②非标准公式：A+B+C-满意两项-满意三项X2二总数-都不常识公式：满意一项+满意两项+满意三项=总数-都不题型特点：题干中给出“只满意两个”、“三个均满意”的数值。
二、周期问题1、周期余数（一）题型特征题干中给出周期，问第n个或经过n个后为哪一个（天）（二）解题思路（1）找周期：找准周期的起点和终点，确定总数（2）算余数：总数♦每个周期的个数二周期数量……余数（n）（3）做等价：余数n就等价于该周期的第n项（余几数几）2、周期相遇（一）题型特征题干中消失多个小周期，求再次相遇。
（二）解题思路1.已知每个主体的小周期，则相遇的大周期为小周期的最小公倍数。
2.通过周期计算余数。
3、日期小常识一模一样且循环消失的就是周期。
常考类型：星期日期、十二生肖、甲乙丙丁循环值班。
平年与闰年：年份除以4,能整除为闰年，否则为平年；若年份后两位为零，则除以400,能整除为闰年，否则为平年。
平年：365天；闰年：366天。
大月与小月：大月31 天（1、3、5、7、8、10、12）；小月30 天（4、6、9、11）；2月（平年28天，闰年29天）。
十二生肖：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪。
国考：公式法解容斥问题(三集合非标准型)
国考：公式法解容斥问题（三集合非标准型）河北公务员考试的《行测职业能力测验》包括五大部分内容：言语理解与表达、数量关系、判断推理、常识判断和资料分析，主要考察考生是否具有从事公务员职业必须具备的基本素质和潜在能力。
河北华图教育精心整理了河北公务员行测真题及其他公务员笔试资料供考生备考学习。
在行测考试当中，有一类问题叫做容斥问题。
什么题目我们归结为容斥问题呢？一般情况下，有符合A，有符合B，有符合AB，有AB都不符合等这一类题干，我们就把他归结为容斥问题。
容斥问题可以分为二集合容斥和三集合容斥。
解题思路有画图法和公式法。
一般情况下，只要我们能牢牢地背会相关公式，考试的时候就能很快的做出答案，节省考试时间。
今天我们一起来看一下三集合容斥非标准型公式。
三集合容斥非标准型公式：A+B+C-只满足两个条件-只满足三个条件=总数-都不符合。
下面我们一起来看寄到容斥问题的例题：【例】（2012-河北-43）某乡镇对集贸市场36 种食品进行检查，发现超过保质期的7种，防腐添加剂不合格的9种，产品外包装标识不规范的6种。
其中，两项同时不合格的5种，三项同时不合格的2种。
问三项全部合格的食品有多少种？（）A.14B.21C.23D.32【解析】此题为容斥原理问题，根据三集合容斥标准型公式：A+B+C-只满足两个条件-只满足三个条件=总数-都不符合。
根据容斥原理，不合格的产品共有7＋9＋6－5－2×2＝13（种），合格产品有36－13＝23（种），选择C。
由此可见，如果能够熟练地记住公式，其实这类问题我们完全可以在1分钟以内做出来的。
我们再来看一道例题：【例】（2011-国家-74）某市对52种建筑防水卷材产品进行质量抽检，其中有8种产品的低温柔度不合格，10种产品的可溶物含量不达标，9种产品的接缝剪切性能不合格，同时两项不合格的有7种，有1种产品这三项都不合格。
则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种？（）A.37B.36C.35D.34【解析】套用三集合容斥非标准型公式：不合格产品=8＋10＋9－7－2×1＝18，即不合格的产品共18 种，则合格产品的数量＝52－18＝34。
公考行测数量关系-容斥原理
1、某乡镇对集贸市场36种食品进行检查，发现超过保质期的7种，防腐添加剂不合格的9种，产品外包装标识不规范的6种。
其中，两项同时不合格的5种，三项同时不合格的2种。
问三项全部合格的食品有多少种：答：本题注意按照不合格得到三个类，进行容斥原理分析，分别设三项全部合格、仅一项不合格的产品有、种，根据题意可得：，，联立解得，，因此三项全部合格的食品有23种。
2、某通讯公司对3542个上网客户的上网方式进行调查，其中1258个客户使用手机上网，1852个客户使用有线网络上网，932个客户使用无线网络上网。
如果使用不只一种上网方式的有352个客户，那么三种上网方式都使用的客户有多少个：答：设三种上网方式都使用的客户有x人，根据三集合容斥原理非标准公式：A+B+C-只满足两个条件的个数-2×满足三个条件的个数=总数-三个条件都不满足的个数，可得方程1258+1852+932-（352-x）-2x=3542，解得x=148.3、一旅行团共有50位游客到某地旅游，去A景点的游客有35位，去B景点的游客有32位，去C景点的游客有27位，去A、B景点的游客有20位，去B、C景点的游客有15位，三个景点都去的游客有8位，有2位游客去完一个景点后先行离团，还有1位游客三个景点都没去。
那么，50位游客中有多少位恰好去了两个景点：答：方法一：设去A、C景点的游客有人，根据容斥原理标准公式可得：，可得；因此恰好去了两个景点的有人（可根据尾数法选择）。
方法二：设有名游客恰好去了两个景点，根据容斥原理非标准公式可得：（可根据尾数法选择），可得人。
4、工厂组织工人参加技能培训，参加车工培训的有17人，参加钳工培训的有16人，参加铸工培训的有14人，参加两项及以上培训的人占参加培训总人数的2/3，三项培训都参加的有2人，问总共有多少人参加了培训？答：设参加培训的总人数为n。
根据三集合容斥原理非标准公式：A+B+C-只满足两个条件的个数-2×满足三个条件的个数=总数-三个条件都不满足的个数，可得方程17+16+14-（n-2）-2×2=n，解得n=27。
国考行测容斥原理解题技巧
二、 三集合类型
国考行测容斥原理解题技巧
在行测考试中，容斥原理题令很多考生头疼不已，因为容斥原理题看起来复杂多变，让考生 一时找不着头绪。 但该题型还是有着非常明显的内在规律， 只要考生能够掌握该题型的内在 规律，看似复杂的问题就能迎刃而解，下面就该题型分两种情况进行剖析，相信能够给考生 带来一定的帮助。
一、 两集合类型
1、 解题技巧 题目中所涉及的事物属于两集合时， 容斥原理适用于条件与问题都可以直接代入公式的题目， 公式如下： A B A B A B . 快速解题技巧：总数=两集合数之和+两集合之外数-两集合公共数 2、 真题示例 【例1】 现有 50 名学生都做物理、化学实验，如果做物理实验正确的有 40 人，化学实 验做正确的有 31 人，两种实验都做错的有 4 人，则两种实验都做对的有（ ） 人 A、27 人 B、25 人 C、19 人 D、10 人 【答案】B 【解析】直接代入公式为：50=40+31+4-A ∩B 解得 A B 25 ，所以答案为 B 。 【注】这里应设 A =物理实验做正确的人数，B =化学实验做正确的人数，U=做物理、化学实 验的人数，则 A=40，B=31，U=50， A B 4 ，
U=A+B+A B-A BAU NhomakorabeaB
【例2】
某服装厂生产出来的一批衬衫大号和小号各占一半，其中 25%是白色的，75%是 蓝色的。如果这批衬衫共有 100 件，其中大号白色衬衫有 10 件，小号蓝色衬衫 有多少件？（ ） A、15 B 、25 C 、35 D、40 【答案】C 【解析】这是一种新题型，该种题型直接从求解出发，本题设小号和蓝色分别为 A、B，小 号占 50%，蓝色占 75%，直接代入公式为： 100=50+75+10-A B ， 解得， A B=35 。
带你了解公务员容斥问题
带你了解容斥问题二集合容斥两集合容斥公式：A∪B=A+B-A∩B=总数-一个都不满足的1. 某班有60人，参加物理竞赛的有30人，参加数学竞赛的有32人，两科都没有参加的有20人。
同时参加物理、数学两科竞赛的有多少人：A.28人B.26人C.24人D.22人【答案】D【解析】两集合容斥公式：A∪B=A+B-A∩B=总数-一个都不满足的。
根据题意有：30+32-x=60-20，尾数法，x的尾数为2。
因此，本题答案为D。
2.车间共有50名工人，年底进行考核，有12人业务能力为优，10人政治表现为优，没有一项考核成绩为优的有34人，车间要向上级单位推荐2名两项考核均为优的工人作为先进个人的候选人。
问有多少种推荐方案？A.12B.15C.18D.21【答案】B【解析】总人数为50人，没有一项为优的为34人，则至少一项考核为优的：50-34=16人，12人业务能力为优，10人政治表现为优，则两项全部为优的人数：10+12-16=6人。
从中任选两人，则有C62=15种。
因此，本题答案为B。
三集合容斥①三集合容斥标准公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-一个都不满足的3.针对100名旅游爱好者进行调查发现，28人喜欢泰山，30人喜欢华山，42人喜欢黄山，8人既喜欢黄山又喜欢华山，10人既喜欢泰山又喜欢黄山，5人既喜欢华山又喜欢泰山，3人喜欢这三个景点，则不喜欢这三个景点中任何一个的有多少人：A.20B.18C.15D.12【答案】A【解析】设不喜欢这三个景点中任何一个的有x，根据三集合容斥原理标准型公式A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-一个都不满足的，代入数据求得：28+30+42-8-10-5+3=100-x，尾数法，x尾数为0。
因此，本题答案为A。
4.某公司招聘员工，按规定每人至多可投考两个职位，结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为：A.7人B.8人C.5人D.6人【答案】A【解析】设同时报乙、丙职位人数为x，根据三集合标准型容斥公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C=总数-一个都不满足的，由题意可知，满足三个条件和一个都不满足的人数均为0，代入数据求得：22+16+25-8-6-x+0=42-0，尾数法，x尾数为7。
公考行测数量关系-容斥原理
1、某乡镇对集贸市场36种食品进行检查，发现超过保质期的7种，防腐添加剂不合格的9种，产品外包装标识不规范的6种。
其中，两项同时不合格的5种，三项同时不合格的2种。
问三项全部合格的食品有多少种：答：本题注意按照不合格得到三个类，进行容斥原理分析，分别设三项全部合格、仅一项不合格的产品有、种，根据题意可得：，，联立解得，，因此三项全部合格的食品有23种。
2、某通讯公司对3542个上网客户的上网方式进行调查，其中1258个客户使用手机上网，1852个客户使用有线网络上网，932个客户使用无线网络上网。
如果使用不只一种上网方式的有352个客户，那么三种上网方式都使用的客户有多少个：答：设三种上网方式都使用的客户有x人，根据三集合容斥原理非标准公式：A+B+C-只满足两个条件的个数-2×满足三个条件的个数=总数-三个条件都不满足的个数，可得方程1258+1852+932-（352-x）-2x=3542，解得x=148.3、一旅行团共有50位游客到某地旅游，去A景点的游客有35位，去B景点的游客有32位，去C景点的游客有27位，去A、B景点的游客有20位，去B、C景点的游客有15位，三个景点都去的游客有8位，有2位游客去完一个景点后先行离团，还有1位游客三个景点都没去。
那么，50位游客中有多少位恰好去了两个景点：答：方法一：设去A、C景点的游客有人，根据容斥原理标准公式可得：，可得；因此恰好去了两个景点的有人（可根据尾数法选择）。
方法二：设有名游客恰好去了两个景点，根据容斥原理非标准公式可得：（可根据尾数法选择），可得人。
4、工厂组织工人参加技能培训，参加车工培训的有17人，参加钳工培训的有16人，参加铸工培训的有14人，参加两项及以上培训的人占参加培训总人数的2/3，三项培训都参加的有2人，问总共有多少人参加了培训？答：设参加培训的总人数为n。
根据三集合容斥原理非标准公式：A+B+C-只满足两个条件的个数-2×满足三个条件的个数=总数-三个条件都不满足的个数，可得方程17+16+14-（n-2）-2×2=n，解得n=27。
公务员考试数量关系运算
一、容斥原理容斥原理关键就两个公式：1. 两个集合的容斥关系公式：A+B=A∪B+A∩B2. 三个集合的容斥关系公式：A+B+C=A∪B∪C+A∩B+B∩C+C∩A-A∩B∩C请看例题：【例题1】某大学某班学生总数是32人，在第一次考试中有26人及格，在第二次考试中有24人及格，若两次考试中，都没及格的有4人，那么两次考试都及格的人数是( )A.22B.18C.28D.26【解析】设A=第一次考试中及格的人数(26人),B=第二次考试中及格的人数(24人),显然,A+B=26+24=50; A∪B=32-4=28，则根据A∩B=A+B-A∪B=50-28=22。
答案为A。
【例题2】电视台向100人调查前一天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。
问两个频道都没看过的有多少人?【解析】设A=看过2频道的人(62)，B=看过8频道的人(34)，显然，A+B=62+34=96;A∩B=两个频道都看过的人(11)，则根据公式A∪B=A+B-A∩B=96-11=85，所以，两个频道都没看过的人数为100-85=15人。
二、作对或做错题问题【例题】某次考试由30到判断题，每作对一道题得4分，做错一题倒扣2分，小周共得96分，问他做错了多少道题?A.12B.4C.2D.5【解析】方法一：假设某人在做题时前面24道题都做对了,这时他应该得到96分,后面还有6道题,如果让这最后6道题的得分为0,即可满足题意.这6道题的得分怎么才能为0分呢?根据规则,只要作对2道题,做错4道题即可,据此我们可知做错的题为4道,作对的题为26道。
方法二：作对一道可得4分,如果每作对反而扣2分,这一正一负差距就变成了6分.30道题全做对可得120分,而现在只得到96分,意味着差距为24分,用24÷6=4即可得到做错的题,所以可知选择B。
三、植树问题核心要点提示：①总路线长②间距(棵距)长③棵数。
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题型1 三者容斥问题计算【例题精讲】甲、乙、丙三人练习投篮，一共投150次，共64次没投进，甲乙共进48次，乙丙共进69次，乙进多少次？【甘肃2013行测】A.28次B.31次C.30次D.33次【题干分析】由“甲、乙、丙三人练习投篮，一共投150次，共64次没投进”知题干中涉及3个互不相交的集合---甲乙丙分别投进的次数，所以直接画图不能得到乙进多少次；并且知道三个集合之和为86.由“甲乙共进48次，乙丙共进69次”可知两个集合间的数量关系，所以可以通过集合间的数量关系计算。
【答案】B 。
解析：甲乙丙共投进次数：甲+乙+丙=150-64=86，甲+乙=48，乙+丙=69，故乙=（甲+乙）+（乙+丙）-（甲+乙+丙）=48+69-86=31次，选B 。
【总结】三者容斥问题的计算中，如果题干给出的集合没有明显的文氏图关系，无法根据文氏图列出等量关系，而只是给出了集合间的数量关系，要根据数量关系列等式求解。
【习题精练】1.某公司针对A 、B 、C 三种岗位招聘了35人，其中只能胜任B 岗位的人数等于只能胜任C 岗位人数的2倍，而只能胜任A 岗位的人数比能兼职别的岗位的人多1人，在只能胜任一个岗位的人群中，有一半不能胜任A 岗位，则招聘的35人中能兼职别的岗位的有（ ）【2013上海行测A 、B 】A.10人B.11人C.12人D.13人【答案】B 。
解析：设只胜任C 岗的有x 人，只胜任B 岗的有2x 人；能够兼职的有y 人，只能胜任A 岗的有y +1人。
则x +2x +y +(y +1)=35，整理得3x +2y =34。
只能胜任一个岗位的人中一半不能胜任A 岗，即只能胜任B 岗和C 岗的人数之和与只能胜任A 岗的人数相等，于是x +2x =y +1，把3x =y +1代入上一个方程解得y =11人。
题型2 容斥的极值问题----求公共部分的最值【例题精讲】1.某中学在高考前夕进行了四次语文模拟考试，第一次得90分以上的学生为70％，第二次是75％，第三次是85％，第四次是90％，请问在四次考试中都得90分以上的学生至少是多少？（河北2011）Ａ．40％ Ｂ．30％ Ｃ．20％ Ｄ．10％【题干分析】由“第一次得90分以上的学生为70％，第二次是75％，第三次是85％，第四次是90％”知题干中涉及到四个集合；由问法“请问在四次考试中都得90分以上的学生至少是多少？”知所求问题是四个集合公共部分的最小值。
题干总人数并未告诉可结合特值法直接利用公式求解。
【答案】C 。
解析：假设总人数为100，第一次有70人得到90分以上，同理，第二次是75，第三次是85，第四次是90，所以四次考试得90分以上的至少有70+75+85+90-300=20人，所占比例为20÷100=20%，答案选C 。
【总结】容斥的极值问题----求公共部分的最小值的解题方法是：min ()A B A B I =+- ；min ()2A B C A B I =+- ；min ()3A B C D A B I=+- （其中I 表示全集）。
依此类推可以得到多个集合公共部分的最小值。
【习题精练】1.某班有70%的学生喜欢打羽毛球，75%的学生喜欢打乒乓球，问喜欢打乒乓球的学生中至少有百分之几喜欢打羽毛球？【2013浙江行测A 、B 】A.30%B.45%C.60%D.70%1.【答案】C 。
解析：至少有70%+75%-1=45%的人既喜欢打羽毛球又喜欢打乒乓球，所以占喜欢打乒乓球的学生的%75%45=60%。
【例题精讲】2.一个班里有30名学生，有12人会跳拉丁舞，有8人会跳肚皮舞，有10人会跳芭蕾舞。
问至多有几人会跳两种舞蹈？【浙江2012行测】Ａ．12人 Ｂ．14人 Ｃ．15人 Ｄ．16人【题干分析】由“有12人会跳拉丁舞，有8人会跳肚皮舞，有10人会跳芭蕾舞”知涉及到三个集合，由问法“至多有几人会跳两种舞蹈”知为极值问题，所以题型特征为涉及到3个集合的至多型极值问题。
从问题入手，应该让会跳一种舞蹈和三种舞蹈的人数尽可能小。
【答案】Ｃ。
解析：由三个集合的容斥原理公式可知，为使跳两种舞蹈的人数最多，则应让只跳一种舞蹈的人数最少、会跳三种舞蹈的人数最少，可以都为0。
设会跳拉丁舞和肚皮舞的人数、会跳拉丁舞和芭蕾舞的人数、会跳肚皮舞和芭蕾舞的人数分别是a 、b 、c ，则a ＋b ＝12、a ＋c ＝8、b ＋c ＝10，解得a ＝5、b ＝7、c ＝3，则至多有5＋7＋3＝15人会跳两种舞蹈。
【总结】容斥的极值问题，问法中出现了最多的字眼，要从问题入手，让其他集合尽可能小。
题型3 文氏图解决二者容斥问题【例题精讲】1．某科研单位共有68名科研人员，其中45人具有硕士以上学历，30人具有高级职称，12人兼而有之。
没有高级职称也没有硕士以上学历的科研人员是多少人？Ａ．13 Ｂ．10 Ｃ．8 Ｄ．5（河北2011）【题干分析】由题干“其中45人具有硕士以上学历，30人具有高级职称，12人兼而有之”出现两个集合以及两个集合的交集，可知是二者容斥问题。
容斥问题用画文氏图的方法即可解得。
【答案】D 。
解析：根据容斥原理，具有硕士学历或高级职称的有45＋30－12=63人，则既没有高级职称也没有硕士以上学历的科研人员有68－63=5人。
【总结】对于题干中出现把一个总体分成两个集合，研究两个集合间关系的问题，即是我们所说的二者容斥问题，利用画文氏图的方法，把题目当中的已知条件，展现在图形当中，更直观易解。
【习题精练】1.某班对50名学生进行体检，有20人近视，12人超重，4人既近视又超重。
该班有多少人既不近视又不超重？A.22人B.24人C.26人D.28人（2013浙江行测A 、B ）【答案】A 。
解析：根据题意，该班近视与超重的有20+12-4=28人，则该班既不近视又不超重的人有50-28=22人。
2.某外语班30人中，8人学习英语、12人学习日语、3人两种都学，则既不学英语又不学日语的有几人？A.12B.13C.14D.15（2012新疆行测政法干警）【答案】Ｂ。
解析：根据容斥原理公式，可得所求为30－（8＋12－3）＝13人。
3.运动会上100名运动员排成一列，从左向右依次编号为1-100，选出编号为3的倍数的运动员参加开幕式队列，而编号为5的倍数的运动员参加闭幕式队列。
问既不参加开幕式又不参加闭幕式队列的运动员有多少人？（ ）A.46B.47C.53D.54（2012-北京）【答案】Ｃ。
解析：参加开幕式（3的倍数）有[100÷3]=33人，参加闭幕式（5的倍数）有[100÷5]=20人，既参加开幕式又参加闭幕式（既是3的倍数又是5的倍数）有[100÷3÷5]=6人，由容斥原理知，至少参加一项的有33＋20－6＝47人，则既不参加开幕式又不参加闭幕式的有100－47＝53人。
4. 某班有50位同学参加期末考试，结果英文不及格的有15人，数学不及格的有19人，英文和数学都及格的有21人。
那么英文和数学都不及格的有 人。
A. 4B. 5C. 13D. 17（2012上海行测A ）【答案】B 。
解析：英文不及格的有15人，则英文及格的有50-15=35人，数学不及格的有19人，则数学及格的有50-19=31人。
又英文和数学都及格的有21人，根据容斥原理公式，可得所求为50-（35+31-21）=5。
5.有70名学生参加数学、语文考试，数学考试得60分以上的有56人，语文考试得60分以上的有62人，都不及格的有4人，则两门考试都得60分以上的有多少人？Ａ.50 Ｂ.51 Ｃ.52 Ｄ.53（2013天津行测）【答案】Ｃ。
解析：由题意知，数学考试不及格的有70－56＝14人，语文考试不及格的有70－62＝8人，故至少有一门不及格的人数为14＋8－4＝18人，两门都及格的人数为70－18＝52人。
【例题精讲】2.一批游客中每人都去了A 、B 两个景点中至少一个。
只去了A 的游客和没去A 的游客数量相当，且两者之和是两个景点都去了的人数的3倍。
则只去一个景点的人数占游客总人数的比重为（ ）。
（2013-北京） A.32 B.43 C.54 D.65【题干分析】由题干“游客中每人都去了A 、B 两个景点中至少一个”，把游客分成去A 景点、B 景点两个集合，可判断为二者容斥问题。
“只去了A 的游客和没去A 的游客数量相当，且两者之和是两个景点都去了的人数的3倍”，没有直接给出两个集合的数量，而是给出集合的倍数关系，结合文氏图解出两集合的数量关系即可解得。
【答案】B 。
解析：这批游客可分为3种人：一是只去了A ，二是只去了B ，三是既去了A 又去了B 。
没去A 的游客就是只去了B 的游客，所有游客就是只去了A 的游客和没去A 的游客，再加上两个景点都去了的游客。
故所求比重为3÷（3+1）=43。
【总结】对于二者容斥问题中没有直接给出集合的具体数值，利用已知集合间的数量关系，再结合文氏图，即可表示出集合每部分的数量，解得所求。
【习题精练】1.工厂组织职工参加周末公益劳动，有80%的职工报名参加。
其中报名参加周六活动的人数与报名参加周日活动的人数比为2∶1，两天的活动都报名参加的人数为只报名参加周日活动的人数的50%。
问未报名参加活动的人数是只报名参加周六活动的人数的：A.20%B.30%C.40%D.50%（2014国考行测）【答案】D 。
解析：设工厂职工人数为单位1，则报名参加周末公益活动的人数为80%×1=0.8，未报名参加人数为1-0.8=0.2。
设周六报名参加人数为x ，则周日报名参加人数为2x ，且两天都报名参加人数为2x ×50%=x ，那么有x+2x-x=0.8，解得x=0.4，所求为0.2÷0.4=50%，应选择D 。
2.社区活动中心有40名会员，全部由老人和儿童组成。
第一次社区活动组织全体老年会员参加，第二次活动组织全体女性成员参加。
结果共有12人两次活动全部参加，6人两次活动全未参加。
已知老人与儿童的男女比例相同，且老人数量多于儿童。
问社区活动中心的会员内，老人、儿童各多少名？Ａ.30名／10名 Ｂ.18名／22名Ｃ.28名／12名 Ｄ.25名／15名（2012安徽行测）【答案】Ａ。
解析：依题意可知，两次全部参加的为老年女性，共12人，两次都没有参加的是儿童男性，共6人。
可设老年男性为ｘ，儿童女性人数为ｙ。
由40名会员可知，12＋ｘ＋6＋ｙ＝40，由老人与儿童的男女比例相同可知，yx 612 ，解得ｘ＝18（ｘ＝4舍去，因为老人数量多于儿童），ｙ＝4。
所以老人有12＋18＝30人，儿童有6＋4＝10人。