2014年4月全国自考 高数(一)00020 真题及参考答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(四川卷,解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试理科参考答案〔四川卷〕一．选择题：本大题共10小题，每一小题5分，共50分．在每一小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．集合2{|20}A x x x =--≤，集合B 为整数集，如此A B ⋂= A ．{1,0,1,2}- B ．{2,1,0,1}-- C ．{0,1} D ．{1,0}- 【答案】A【解析】{|12}A x x =-≤≤，B Z =，故A B ⋂={1,0,1,2}- 2．在6(1)x x +的展开式中，含3x 项的系数为A ．30B ．20C ．15D ．10 【答案】C【解析】含3x 项为24236(1)15x C x x ⋅=3．为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上 所有的点A ．向左平行移动12个单位长度B ．向右平行移动12个单位长度C ．向左平行移动1个单位长度D ．向右平行移动1个单位长度 【答案】A【解析】因为，故可由函数sin 2y x =的图象上所有的点向左平行移动12个单位长度得到4．假设0a b >>，0c d <<，如此一定有A ．a b c d >B ．a b c d <C ．a b d c >D ．a b d c < 【答案】D【解析】由1100c d d c <<⇒->->，又0a b >>，由不等式性质知：0a b d c ->->，所以a bd c <5．执行如图1所示的程序框图，如果输入的,x y R ∈，如此输出的S 的最大值为A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】C【解析】当001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩时，函数2S x y =+的最大值为2，否如此，S 的值为1.6．六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能拍甲，如此不同的排法共有 A ．192种 B ．216种 C ．240种 D ．288种 【答案】B【解析】当最左端为甲时，不同的排法共有55A 种；当最左端为乙时，不同的排法共有14C 44A 种。
2014年高考全国卷1理科数学试题及标准答案-(word版)
2０14年普通高等学校招生全国统一考试全国课标1理科数学注意事项：1． 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分。
答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮搽干净后,再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.３. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,答在本试题上无效.4． 考试结束,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一.选择题：共12小题，每小题５分，共６0分。
在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项。
1． 已知集合A ＝｛x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x <2=,则A B ⋂= A .[-2,-1] B .[-1,２) C .[-1,1］ D ．[1，２)２. 32(1)(1)i i +-＝ A ．1i + B ．1i - C .1i -+ D .1i --3. 设函数()f x ，()g x 的定义域都为R,且()f x 时奇函数,()g x 是偶函数，则下列结论正确的是 A .()f x ()g x 是偶函数 B .|()f x ｜()g x 是奇函数C .()f x ｜()g x ｜是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数4. 已知F 是双曲线C :223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 A .3 B ．３ C .3m D .3m5. ４位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D .78６． 如图,圆O 的半径为1，A 是圆上的定点,P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为７. 执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203B .165C .72D .1588. 设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈,且1sin tan cos βαβ+=，则 A .32παβ-= B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+= 9． 不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题:1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥,3P :(,),23x y D x y ∀∈+≤,4p :(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A ．2p ,3PB .1p ,4pC .1p ,2pD .1p ，3P10. 已知抛物线C :28y x =的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个焦点,若4FP FQ =,则||QF =A .72B .52C .３D .2 11. 已知函数()f x =3231ax x -+,若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0,则a 的取值范围为A .(２,＋∞)B ．(-∞，-2）C .(1，+∞）D .(-∞，-1)12． 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为A .62B .42C .6D .4第Ⅱ卷。
(word完整版)2014年高考全国卷1理科数学试题及答案-(word版),推荐文档
2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标1理科数学注意事项:1. 本试卷分第I 卷(选择题)和第n 卷(非选择题)两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第I 卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效 3. 回答第n 卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效 4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回•第I 卷•选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1. 2已知集合A={ x |x 2x 30} , B={ x | — 2< x V 2=，则 A B =2. 3. A .[-2,-1]C .[-1,1]D .[1,2)(1 i)3 (1 i)2A .1 iB .1 iC .D . 1 i设函数f(x) , g(x)的定义域都为 R , 且f (x)时奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是A . f (x) g(x)是偶函数B .| f (x) |g(x)是奇函数C . f (x) |g(x) |是奇函数D .| f (x) g(x)是奇函数 4.已知F 是双曲线C : x 2 my 2 3m(m 0)的一个焦点，则点 F 到C 的一条渐近线的距离为A . 3B .3C . ■3mD . 3m5. 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率AlB .8 C.86.如图，圆 O 的半径为1, A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线 OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为 M , 将点M 至U 直线OP 的距离表示为x 的函数f (x)，贝U y = f (x)在[0,]上的图像大致7 5A .B .C .3D .22 21，若f (x)存在唯一的零点x °，且x ° >0,则a 的取值范围为A . (2, +s)B . (-g, -2)C . (1, +s)12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为a,b,k 分别为1,2,3，则输出的 AB .C .352(o‘2)，(0,—)，且 tanA ■ 3B .22C .3-D .215』，则cos9.不等式组y 2y 的解集记为 4D •有下面四个命题:Pi:(x,y) D,x 2y 2，P 2 :(x,y) D,x 2y 2 B :(x, y) D, x 2y 3， P 4 :(x,y)D, x 2y其中真命题是A . p 2， l~3B . P 1， P 4C . P 1， P 2D . P 1，P 310.已知抛物线C : UUUT4FQ ， Q 是直线PF 与C 的一个焦点,uuu 若FP 则 | QF |= 3211.已知函数f(x)=ax 3x若输入的7.执行下图的程序框图,8.设 F ，准线为，P 是I 上一点，y 28x 的焦点为A.6 2 B .4 2 C.6 D .4本卷包括必考题和选考题两个部分。
全国2002年4月高等教育自学考试高等数学(一)试题参考答案
全国2002年4月高等教育自学考试高等数学(一)试题参考答案课程代码：00020一、单项选择题(每小题1分，共40分)1.B2.D3.D4.C5.A6.D7.A8.C9.D 10.A11.C 12.C 13.C 14.B 15.D16.C 17.B 18.B 19.A 20.B21.A 22.D 23.C 24.C 25.C26.D 27.B 28.C 29.A 30.C31.D 32.A 33.A 34.C 35.B36.B 37.A 38.C 39.C 40.D二、计算题（一）(每小题4分，共12分)41．解 令u=4x ,有原式=4u 2u lim 22u --→ =2u 1lim 2u +→ =41 42．解 方程两边对x 求偏导数，有2x+2z xz 4x z ∂∂=∂∂ (4-2z)xz ∂∂=2x x z ∂∂=z2x - 43.解 p=-ctgx,q=2xsinx,于是y=⎰+⎰⎰-)c dx qe (e pdx pdx =sinx()c xdx 2+⎰=(x 2+c)sinx三、计算题（二）（每小题7分，共28分）44．解 )x s e c x t g x (s e c t g xx s e c 1)t g x x (s e c t g x x s e c 1y 2++='++=' =secx45.解 设x=tg θ，则dx=sec 2θd θ,x=1时，θ=4π；x=3,θ=3π，于是原式=⎰ππθθθθ3422sec tg d sec=⎰ππθθ342sin sin d =-θsin 134ππ=3322-46．解 令a n =n)3(5nn -+，则 R=))3(5(n ))3(5)(1n (lim a a lim 1n 1n n n n 1n n n ++∞→+∞→-+-++= =1n n n )53(1)53(5151lim +∞→-+-+ =51 于是此级数的收敛半径为51 47．解 令x=rcos θ,y=rsin θ,则原式=⎰⎰πππθ202rdr sin r d =-2⎰πππ2r cos rd =-⎰ππππ-π22)rdr cos r cos r (2 =-62π四、应用题（每小题8分，共16分）48．解方程组⎩⎨⎧=-=x2y x 3y 2得交点（-3，-6），（1，2）.S=()d x x 2)x 3(132⎰--- =〔3x-23x x 31-〕1-3 =332 49.解 总利润函数为L （x ）=R(x)-C(x)=(20x-x 2)-()15x 29x 6x 3123++- =-20x 5,15x 9x 5x 3123≤≤--+ 令9x 10x )x (L 2-+-='=-（x-1）(x-9)=0,得驻点x=9,x=1（舍去）由台时利润最大故知当每批生产900,08)9(L ,10x 2)x (L <-=''+-=''。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷,解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试〔江苏卷〕答案解析数 学Ⅰ一、填空题：本大题共14小题，每一小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上． 1、集合}4,3,1,2{A --=,}3,2,1{B -=,如此B A = ▲ ． 【答案】}3,1{-【解析】根据集合的交集运算，两个集合的交集就是所有既属于集合A 又属于集合B 的元素组成的集合，从所给的两个集合的元素可知，公共的元素为-1和3，所以答案为}3,1{-【点评】此题重点考查的是集合的运算，容易出错的地方是审错题目，把交集运算看成并集运算。
属于根底题，难度系数较小。
2、复数2)25(i z -=(i 为虚数单位〕，如此z 的实部为▲ ．【答案】21【解析】根据复数的乘法运算公式，i i i i z 2021)2(2525)25(222-=+⨯⨯-=-=，实部为21，虚部为-20。
【点评】此题重点考查的是复数的乘法运算公式，容易出错的地方是计算粗心，把12-=i 算为1。
属于根底题，难度系数较小。
〔第33、右图是一个算法流程图，如此输出的n 的值是▲ ． 【答案】5【解析】根据流程图的判断依据，此题202>n是否成立，假设不成立，如此n 从1开始每次判断完后循环时，n 赋值为1+n ；假设成立，如此输出n 的值。
此题经过4次循环，得到203222,55>===n n ，成立，如此输出的n 的值为5【点评】此题重点考查的是流程图的运算，容易出错的地方是判断循环几次时出错。
属于根底题，难度系数较小。
4、从6,3,2,1这4个数中一次随机地取2个数，如此所取2个数的乘积为6的概率是▲ ．【答案】31【解析】将随机选取2个数的所有情况“不重不漏〞的列举出来：〔1，2〕，〔1，3〕〔1，6〕，〔2，3〕，〔2，6〕，〔3，6〕，共6种情况，满足题目乘积为6的要求的是〔1，6〕和〔2，3〕，如此概率为31。
【点评】此题主要考查的知识是概率，题目很平稳，考生只需用列举法将所有情况列举出来，再将满足题目要求的情况选出来即可。
全国2014年4月高等教育自学考试
全国2014年4月高等教育自学考试数量方法(二)试题课程代码：00994本试卷共5页，满分l00分，考试时间l50分钟。
考生答题注意事项：1．本卷所有试题必须在答题卡上作答。
答在试卷上无效，试卷空白处和背面均可作草稿纸。
2．第一部分为选择题。
必须对应试卷上的题号使用28铅笔将“答题卡’’的相应代码涂黑。
3．第二部分为非选择题。
必须注明大、小题号。
使用0．5毫米黑色字迹签字笔作答。
4．合理安排答题空间。
超出答题区域无效。
第一部分 选择题一、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。
错涂、多涂或未涂均无分。
1￥在一次《数量方法》考试中，某班的平均成绩是80分，标准差是4分，则该班考试成绩的变异系数是 A ￥0.05 B ￥0.2 C ￥5 D ￥20答案：A 解析：05.0804x===σν 2￥对于峰值偏向右边的单峰非对称直方图，一般来说 A ￥平均数>中位数>众数 B ￥平均数<中位数<众数 C ￥平均数>众数>中位数 D ￥平均数<众数<中位数答案：B解析：单峰偏右，众数偏右变大，平均值不变，所以选B3￥将一枚硬币抛掷两次的样本空间Ω={00，01，10,11}（用0表示出现正面，用1表示出现反面）。
“第一次出现正面”可以表示为 A ￥{01,11} B ￥{10,11} C ￥{00,01} D ￥{00,11}答案：C 解析：略4￥某夫妇按照国家规定，可以生两胎。
如果他们每胎只生一个孩子，则他们有一个男孩和一个女孩的概率为A ￥12B ￥14C ￥18D ￥116答案：A解析：样本有男男、男女、女男、女女四个，其中一男一女的有两个，故为21 5￥设A 、B 、C 为任意三个事件，则“这三个事件都发生”可表示为 A ￥ABC B ￥ABC C ￥A B C ∪∪ D ￥ABC答案：D解析：三个事件都发生，即为ABC 的交集，选D6￥事件A 、B 相互对立，P (A )=0.3，()0.7P AB =，则P (AB )= A ￥0 B ￥0.3 C ￥0.4 D ￥1 答案：A解析：因为AB 为对立事件，故P （AB ）=07￥将各种方案的最坏结果进行比较，从中选出收益最大的方案，此选择准则称为 A ￥极小极大原则 B ￥极大极小原则 C ￥极小原则 D ￥极大原则答案：B解析：将各种方案的最坏结果进行比较，从中选出收益最大的方案，此选择准则称为极大极小原则。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学理科试卷及答案
2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的XX、XX号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一．选择题：共 12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合 A={x|x22x 3 0}，B={x|－2≤x＜2＝，则A B=A.[-2,-1]B.[-1,2）C.[-1,1]D.[1,2）(1i)32.=(1i)2A.1iB.1iC. 1 iD.1 i3.设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)时奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数4.已知F是双曲线C：x2my23m(m 0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为A.3B.3C.3mD.3m5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A. 1B.3C.5D.78 8 8 86.如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x)，则y=f(x)在[0,]上的图像大致为7.执行下图的程序框图，若输入的a,b,k分别为1,2,3，则输出的M=A. 20B.16C.7D.153 5 2 88.设(0,)，1 sin (0,)，且tan，则2 2 cosA.3B.2C.3D.22 2 2 2x y19.不等式组的解集记为D.有下面四个命题：x 2y4p1：(x,y) D,x 2y2，p2：(x,y) D,x 2y2,P3：(x,y) D,x 2y 3，p4：(x,y) D,x 2y1.其中真命题是A.p，PB.p，pC.p，pD.p，P2314121310.已知抛物线C：y28x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个焦点，若FP 4FQ，则|QF|=A. 7B.5C.3D.22 211.已知函数f(x)=ax33x21，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值X围为A.（2，+∞）B.（-∞，-2）C.（1，+∞）D.（-∞，-1）12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A.62B.42C.6D.4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(全国大纲卷)数学试题(文科)解析版
2014年普通高等学校统一考试（大纲）文科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集合{1,2,4,6,8},{1,2,3,5,6,7}M N ==，则M N 中元素的个数为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．72.已知角α的终边经过点(4,3)-，则cos α=（ ） A ．45 B ．35 C ．35- D ．45-3.不等式组(2)0||1x x x +>⎧⎨<⎩的解集为（ ）A ．{|21}x x -<<-B ．{|10}x x -<<C ．{|01}x x <<D ．{|1}x x >4.已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为（ ） A ．16 B ．36 C ．13D ．335.函数3ln(1)(1)y x x =+>-的反函数是（ ） A ．3(1)(1)x y e x =->- B ．3(1)(1)xy e x =->- C ．3(1)()x y e x R =-∈ D ．3(1)()xy e x R =-∈6.已知a b 、为单位向量，其夹角为060，则(2)a b b -•=（ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．27. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种8.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若243,15,S S ==则6S =（ ） A ．31 B ．32 C ．63 D ．649. 已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为33，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B ∆的周长为43，则C 的方程为（ ）A ．22132x y +=B ．2213x y += C ．221128x y += D ．221124x y +=10.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高位4，底面边长为2，则该球的表面积为（ ） A ．814π B ．16π C ．9π D ．274π11.双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为23，则C的焦距等于（ ）A ．2B ．22C ．4D ．4212.奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且(1)1f =，则(8)(9)f f +=（ ） A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．1第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 6(2)x -的展开式中3x 的系数为 .（用数字作答）14.函数cos 22sin y x x =+的最大值为 .15. 设x 、y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩，则4z x y =+的最大值为.16. 直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线，若1l 与2l 的交点为（1,3），则1l 与2l 的夹角的正切值等于 .三、解答题 （本大题共6小题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（17）（本小题满分10分）数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n+2=2a n+1-a n +2.（1）设b n =a n+1-a n ，证明{b n }是等差数列； （2）求数列{a n }的通项公式.解：（1）由a n+2=2a n+1-a n +2得a n+2- a n+1=a n+1-a n +2，即b n+1=b n +2,又b 1=a 2-a 1=1. 所以{b n }是首项为1，公差为2的等差数列；（1） 由（1）得b n =1+2（n-1），即a n+1-a n =2n-1.于是111()(21)nnk k k k a a k +==-=-∑∑于是a n -a 1=n 2-2n ，即a n =n 2-2n +1+a 1.又a 1=1，所以{a n }的通项公式为a n =n 2-2n +2.（18）（本小题满分10分）△ABC的内角A,B,C的对边分别是a，b，c，已知3acosC=2ccosA,tanA=13,求B.解：由题设和正弦定理得，3sinAcosC=2sinCcosA, 所以3tanAcosC=2sinC.因为tanA=13，所以cosC=2sinC.tanC=1 2 .所以tanB=tan[180︒-(A+C)]=-tan(a+c)=tan tan1tan tanA CA C+--=-1,即B=135︒.（19）（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB=90︒，BC=1，AC=CC1=2.(1)证明：AC1⊥A1B;(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3，求二面角A1-AB-C的大小.解法一：（1）∵A1D⊥平面ABC, A1D⊂平面AA1C1C,故平面AA1C1C⊥平面ABC,又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C，连结A1C，因为侧面AA1C1C是棱形，所以AC1⊥A1C,由三垂线定理的AC1⊥A1B.(2) BC⊥平面AA1C1C，BC⊂平面BCC1B1,故平面AA1C1C⊥平面BCC1B1,作A1E⊥C1C,E为垂足，则A1E⊥平面BCC1B1,又直线A A1∥平面BCC1B1，因而A1E为直线A A1与平面BCC1B1间的距离，A13，因为A1C为∠ACC1的平分线，故A1D=A13作DF⊥AB，F为垂足，连结A1F,由三垂线定理得A1F⊥AB，故∠A1FD为二面角A1-AB-C的平面角，由AD=1=,得D 为AC 的中点，DF=125AC BC AB ⨯⨯=,tan ∠A 1FD=1A DDF=,所以二面角A 1-AB-C 的大小为解法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C-x y z ，由题设知A 1D 与z 轴平行，z 轴在平面AA 1C 1C 内. （1）设A 1（a ，0，c ），由题设有a ≤2，A （2,0,0）B （0,1,0），则AF =(-2，1，0),1(2,0,0),(2,0,)AC AA a c =-=-，111(4,0,),(,1,)AC AC AA a c BA a c =+=-=-，由12AA =2=，即2240a a c -+=，于是11AC BA ⋅=2240a a c -+=①,所以11AC BA ⊥.（2）设平面BCC 1B 1的法向量(,,)m x y z =，则m CB ⊥，1,m CB m BB ⊥⊥,即10,0m CB m BB ⋅=⋅=，因11(0,1,0),(2,0,)CB BB AA a c ==-，故y=0，且（a-2）x -c z =0，令x =c ，则z =2-a ，(,0,2)m c a =-，点A到平面BCC 1B 1的距离为cos ,CA m CA m CA c mc ⋅⋅<>===，又依题设，点A 到平面BCC 1B 1的距c= .代入①得a=3（舍去）或a=1.于是1(1AA =-，设平面ABA 1的法向量(,,)n p q r =，则1,n AA n AB⊥⊥,即10,0n AA n AB ⋅=⋅=.0p-=且-2p +q =0，令p =，则q =2，r=1，(3,2n =，又(0,0,1)p =为平面ABC 的法向量，故cos 1,4n p n p n p⋅<>==，所以二面角A 1-AB-C 的大小为arccos 1420. （本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别是0.6，0.5,0.5,0.4，各人是否使用设备相互独立，（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；(2)实验室计划购买k 台设备供甲、乙、丙、丁使用，若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k ”的概率小于0.1，求k 的最小值.解：记A i 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i=0,1,2.B 表示事件：甲需使用设备.C 表示事件：丁需使用设备.D 表示事件：同一工作日至少3人需使用设备.E 表示事件：同一工作日4人需使用设备.F 表示事件：同一工作日需使用设备的人数大于k. （1）D=A 1·B ·C+A 2·B+A 2·B ·CP(B)=0.6，P(C)=0.4，P(A i )=220.5,0,1,2i C i ⨯=.所以P(D)=P(A 1·B ·C+A 2·B+A 2·B ·C )= P(A 1·B ·C)+P(A 2·B)+P(A 2·B ·C ) = P(A 1P)·P(B)·P(C)+P(A 2)·P(B)+P(A 2)·p (B )·p (C )=0.31. (2)由（1）知，若k=3，则P(F)==0.31>0.1.又E=B ·C ·A 2,P(E)=P(B ·C ·A 2)= P(B)·P(C)·P(A 2)=0.06； 若k=4，则P(F)=0.06<0.1. 所以k 的最小值为3.21. （本小题满分12分）函数f(x )=a x 3+3x 2+3x (a ≠0).（1）讨论函数f(x )的单调性；（2）若函数f(x )在区间（1，2）是增函数，求a 的取值范围.解：（1）2()363f x ax x '=++，2()3630f x ax x '=++=的判别式△=36（1-a ）. （i ）若a ≥1，则()0f x '≥，且()0f x '=当且仅当a=1，x =-1，故此时f （x ）在R 上是增函数.（ii ）由于a ≠0，故当a<1时，()0f x '=有两个根：1211x x a a---==， 若0<a<1,则当x ∈（－∞，x 2）或x ∈（x 1，+∞）时，()0f x '>，故f （x ）在（－∞，x 2），（x 1，+∞）上是增函数；当x ∈（x 2，x 1）时，()0f x '<，故f （x ）在（x 2，x 1）上是减函数；（2）当a>0，x >0时, ()0f x '>，所以当a>0时，f （x ）在区间（1，2）是增函数.若a<0时，f （x ）在区间（1,2）是增函数当且仅当(1)0f '≥且(2)0f '≥，解得504a -≤<. 综上，a 的取值范围是5[,0)(0,)4-+∞. 22. （本小题满分12分）已知抛物线C:22(0)y px p =>的焦点为F ，直线y=4与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且54QF PQ =. (1)求抛物线C 的方程；(2)过F 的直线l 与C 相交于A,B 两点，若AB 的垂直平分线l '与C 相交于M,N 两点，且A,M,B,N 四点在同一个圆上，求直线l 的方程.解：（1）设Q （x 0，4），代入由22(0)y px p =>中得x 0=8p， 所以088,22p p PQ QF x p p ==+=+，由题设得85824p p p+=⨯，解得p =－2（舍去）或p =2.所以C 的方程为24y x =.（2）依题意知直线l 与坐标轴不垂直，故可设直线l 的方程为1x my =+，（m ≠0）代入24y x =中得2440y my --=，设A （x 1,y 1）,B(x 2,y 2),则y 1+y 2=4m ，y 1y 2=－4，故AB 的中点为D （2m 2+1,2m ），2124(1)AB y m =-=+，有直线l '的斜率为－m ，所以直线l '的方程为2123x y m m=-++，将上式代入24y x =中，并整理得2244(23)0y y m m+-+=. 设M(x 3,y 3),N(x 4,y 4),则234344,4(23)y y y y m m+=-=-+. 故MN的中点为E（223422224(23,),m m MN y m m m+++-=-=）. 由于MN 垂直平分AB ，故A,M,B,N 四点在同一个圆上等价于12AE BE MN ==,从而2221144AB DE MN +=,即222222224224(1)(21)4(1)(2)(2)m m m m m m m +++++++=，化简得m 2-1=0，解得m =1或m =－1，所以所求直线l 的方程为x -y-1=0或x +y-1=0.。
2014年普通高等学校招生全国统一考试数学(课标全国Ⅰ)文 (2)
2014年普通高等招生全国统一考试(课标全国Ⅰ)数学(文科)第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.(2014课标全国Ⅰ,文1)已知集合M={x|-1<x<3},N={x|-2<x<1},则M ∩N=( ). A .(-2,1) B .(-1,1)C .(1,3)D .(-2,3)答案:B解析:由已知得M ∩N={x|-1<x<1}=(-1,1),故选B . 2.(2014课标全国Ⅰ,文2)若tan α>0,则( ). A .sin α>0 B .cos α>0 C .sin 2α>0D .cos 2α>0 答案:C解析:由tan α>0知角α是第一或第三象限角,当α是第一象限角时,sin 2α=2sin αcos α>0;当α是第三象限角时,sin α<0,cos α<0,仍有sin 2α=2sin αcos α>0,故选C . 3.(2014课标全国Ⅰ,文3)设z=11+i+i,则|z|=( ).A .12B .√22C .√32D .2答案:B解析:因为z=11+i +i =1-i (1+i )(1-i )+i =1-i 2+i =12+12i,所以|z|=|12+12i|=√(12)2+(12)2=√22,故选B .4.(2014课标全国Ⅰ,文4)已知双曲线x 2a 2−y23=1(a>0)的离心率为2,则a=( ).A .2B .√62 C .√52D .1答案:D 解析:由已知得√a 2+3a=2,且a>0,解得a=1,故选D .5.(2014课标全国Ⅰ,文5)设函数f (x ),g (x )的定义域都为R ,且f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,则下列结论中正确的是( ).A .f (x )g (x )是偶函数B .|f (x )|g (x )是奇函数C .f (x )|g (x )|是奇函数D .|f (x )g (x )|是奇函数答案:C解析:由于f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,于是f (-x )=-f (x ),g (-x )=g (x ).f (-x )g (-x )=-f (x )g (x )=-[f (x )g (x )],因此f (x )g (x )是奇函数,故A 错;|f (-x )|g (-x )=|-f (x )|g (x )=|f (x )|g (x ),因此|f (x )|g (x )是偶函数,故B 错;f (-x )|g (-x )|=-f (x )|g (x )|=-[f (x )|g (x )|],因此f (x )|g (x )|是奇函数,故C 正确;|f (-x )g (-x )|=|-f (x )g (x )|=|f (x )g (x )|,因此|f (x )g (x )|是偶函数,故D 错.6.(2014课标全国Ⅰ,文6)设D ,E ,F 分别为△ABC 的三边BC ,CA ,AB 的中点,则EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ). A .AD ⃗⃗⃗⃗⃗ B .12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ C .BC⃗⃗⃗⃗⃗ D .12BC ⃗⃗⃗⃗⃗答案:A解析:由于D ,E ,F 分别是BC ,CA ,AB 的中点,所以EB ⃗⃗⃗⃗⃗ +FC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )-12(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=12×2AD⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故选A .7.(2014课标全国Ⅰ,文7)在函数①y=cos |2x|,②y=|cos x|,③y=cos (2x +π6),④y=tan (2x -π4)中,最小正周期为π的所有函数为( ).A .①②③B .①③④C .②④D .①③答案:A解析:由于y=cos |2x|=cos 2x ,所以该函数的周期为2π2=π;由函数y=|cos x|的图象易知其周期为π;函数y=cos (2x +π6)的周期为2π2=π;函数y=tan (2x -π4)的周期为π2,故最小正周期为π的函数是①②③,故选A .8.(2014课标全国Ⅰ,文8)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是( ). A .三棱锥 B .三棱柱 C .四棱锥D .四棱柱 答案:B解析:由所给三视图可知该几何体是一个三棱柱(如图).9.(2014课标全国Ⅰ,文9)执行右面的程序框图,若输入的a ,b ,k 分别为1,2,3,则输出的M=( ).A .203B .72C .165D .158答案:D解析:第一次执行循环体时,n=1,M=1+12=32,a=2,b=32;第二次执行循环体时,n=2,M=2+23=83,a=32,b=83;第三次执行循环体时,n=3,M=32+38=158,a=83,b=158,这时n=4,跳出循环.输出M 的值158.10.(2014课标全国Ⅰ,文10)已知抛物线C :y 2=x 的焦点为F ,A (x 0,y 0)是C 上一点,|AF|=54x 0,则x 0=( ). A .1 B .2 C .4 D .8答案:A解析:由抛物线方程y 2=x 知,2p=1,p 2=14,即其准线方程为x=-14.因为点A 在抛物线上,由抛物线的定义知|AF|=x 0+p2=x 0+14,于是54x 0=x 0+14,解得x 0=1,故选A .11.(2014课标全国Ⅰ,文11)设x ,y 满足约束条件{x +y ≥a ,x -y ≤-1,且z=x+ay 的最小值为7,则a=( ).A .-5B .3C .-5或3D .5或-3答案:B解析:当a=0时显然不满足题意.当a>0时,画出可行域(如图(1)所示的阴影部分),又z=x+ay ,所以y=-1ax+1az ,因此当直线y=-1ax+1az 经过可行域中的A (a -12,a+12)时,z 取最小值,于是a -12+a ·a+12=7,解得a=3(a=-5舍去);当a<0时,画出可行域(如图(2)所示的阴影部分),又z=x+ay ,所以y=-1ax+1az ,显然直线y=-1ax+1az 的截距没有最大值,即z 没有最小值,不合题意. 综上,a 的值为3,故选B .图(1)图(2)12.(2014课标全国Ⅰ,文12)已知函数f (x )=ax 3-3x 2+1,若f (x )存在唯一的零点x 0,且x 0>0,则a 的取值范围是( ). A .(2,+∞) B .(1,+∞)C .(-∞,-2)D .(-∞,-1)答案:C解析:当a=0时,f (x )=-3x 2+1存在两个零点,不合题意;当a>0时,f'(x )=3ax 2-6x=3ax (x -2a), 令f'(x )=0,得x 1=0,x 2=2a,所以f (x )在x=0处取得极大值f (0)=1,在x=2a处取得极小值f (2a)=1-4a2, 要使f (x )有唯一的零点,需f (2a)>0,但这时零点x 0一定小于0,不合题意; 当a<0时,f'(x )=3ax 2-6x=3ax (x -2a ),令f'(x )=0,得x 1=0,x 2=2a,这时f (x )在x=0处取得极大值f (0)=1,在x=2a处取得极小值f (2a)=1-4a2,要使f (x )有唯一零点,应满足f (2a)=1-4a2>0,解得a<-2(a>2舍去),且这时零点x 0一定大于0,满足题意,故a 的取值范围是(-∞,-2).第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2014课标全国Ⅰ,文13)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为 . 答案:23解析:记两本数学书分别为a 1,a 2,语文书为b ,则3本书一共有6种不同的排法:a 1a 2b ,a 1ba 2,a 2a 1b ,a 2ba 1,ba 1a 2,ba 2a 1,其中2本数学书相邻的排法有4种:a 1a 2b ,a 2a 1b ,ba 1a 2,ba 2a 1,故所求概率为46=23.14.(2014课标全国Ⅰ,文14)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为.答案:A解析:由丙的说法“三人去过同一城市”知乙至少去过一个城市,而甲说去过的城市比乙多,且没去过B城市,因此甲一定去过A城市和C城市.又乙没去过C城市,所以三人共同去过的城市必为A,故乙去过的城市就是A.15.(2014课标全国Ⅰ,文15)设函数f(x)={e x-1,x<1,x13,x≥1,则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是.答案:(-∞,8]解析:当x<1时,由f(x)=e x-1≤2,解得x≤1+ln2,又x<1,所以x的取值范围是x<1;当x≥1时,由f(x)=x 13≤2,解得x≤8,又x≥1,所以x的取值范围是1≤x≤8.综上,x的取值范围是x≤8,即(-∞,8].16.(2014课标全国Ⅰ,文16)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100m,则山高MN=m.答案:150解析:在Rt△ABC中,由于∠CAB=45°,BC=100m,所以AC=100√2m.在△MAC中,∠AMC=180°-75°-60°=45°,由正弦定理可得ACsin∠AMC =MAsin∠MCA,于是MA=√2×√32√22=100√3(m).在Rt△MNA中,∠MAN=60°,于是MN=MA·sin∠MAN=100√3×√32=150(m),即山高MN=150m.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2014课标全国Ⅰ,文17)已知{a n}是递增的等差数列,a2,a4是方程x2-5x+6=0的根.(1)求{a n}的通项公式;(2)求数列{a n2n}的前n项和.分析:在第(1)问中,通过解出方程的根并结合{a n}是递增数列可确定出a2与a4的值,然后设出{a n}的公差,通过解方程得出a1与d的值,从而求得{a n}的通项公式;在第(2)问中,由第(1)问的结果写出{a n2n}的通项公式,考虑到该数列是由一个等差数列和一个等比数列对应的项相乘得到.因此应采用乘公比错位相减法求其前n项和.解:(1)方程x2-5x+6=0的两根为2,3,由题意得a2=2,a4=3.设数列{a n}的公差为d,则a4-a2=2d,故d=12,从而a1=32.所以{a n}的通项公式为a n=12n+1.(2)设{a n2n }的前n项和为S n,由(1)知a n2n=n+22n+1,则S n=322+423+…+n+12n+n+22n+1,1 2S n=323+424+…+n+12n+1+n+22n+2.两式相减,得12S n=34+(123+…+12n+1)−n+22n+2=34+14(1-12n-1)−n+22n+2.所以S n=2-n+42n+1.18.(本小题满分12分)(2014课标全国Ⅰ,文18)从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,(1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图;(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定?分析:在第(1)问中,按照画频率分布直方图的步骤,先求出各组的频率,再结合组距求出各个小矩形的高即可作出各个小矩形,从而作出频率分布直方图;在第(2)问中,可结合提示与(1)中的频率分布直方图,根据平均数与方差的计算公式代入相关数据进行求解;第(3)问主要考查用样本估计总体,可通过样本数据中“质量指标值不低于95”的频率是否大于0.8来作出判断.解:(1)(2)质量指标值的样本平均数为x=80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100.质量指标值的样本方差为s2=(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100,方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.08=0.68.由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.19.(本小题满分12分)(2014课标全国Ⅰ,文19)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.(1)证明:B1C⊥AB;(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱ABC-A1B1C1的高.分析:在第(1)问中,要证B 1C ⊥AB ,应证明B 1C 与AB 所在的某个平面垂直.结合已知条件知应考虑平面ABO.这是因为由BB 1C 1C 为菱形可知B 1C ⊥BC 1.又AO ⊥平面BB 1C 1C ,必有AO ⊥B 1C ,即得证;在第(2)问中,三棱柱的高即为两底面ABC 与A 1B 1C 1之间的距离,可转化为点B 1到平面ABC 的距离求解,又考虑到O 为B 1C 的中点,因此可先求点O 到平面ABC 的距离,这时只需根据面面垂直的性质作出点O 到平面ABC 的垂线,结合已知即可求出点O 到平面ABC 的距离,从而可得三棱柱的高. 解:(1)连接BC 1,则O 为B 1C 与BC 1的交点.因为侧面BB 1C 1C 为菱形,所以B 1C ⊥BC 1.又AO ⊥平面BB 1C 1C ,所以B 1C ⊥AO ,故B 1C ⊥平面ABO. 由于AB ⊂平面ABO ,故B 1C ⊥AB.(2)作OD ⊥BC ,垂足为D ,连接AD.作OH ⊥AD ,垂足为H. 由于BC ⊥AO ,BC ⊥OD ,故BC ⊥平面AOD , 所以OH ⊥BC.又OH ⊥AD ,所以OH ⊥平面ABC. 因为∠CBB 1=60°,所以△CBB 1为等边三角形, 又BC=1,可得OD=√34.由于AC ⊥AB 1,所以OA=12B 1C=12.由OH ·AD=OD ·OA ,且AD=√OD 2+OA 2=√74,得OH=√2114.又O 为B 1C 的中点,所以点B 1到平面ABC 的距离为√217.故三棱柱ABC-A 1B 1C 1的高为√217.20.(本小题满分12分)(2014课标全国Ⅰ,文20)已知点P (2,2),圆C :x 2+y 2-8y=0,过点P 的动直线l 与圆C 交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点. (1)求M 的轨迹方程;(2)当|OP|=|OM|时,求l 的方程及△POM 的面积.分析:在第(1)问中,由于圆心C 及点P 的坐标已知,因此可利用圆的几何性质得到CM ⊥MP ,然后通过斜率关系或向量的数量积建立点M 的坐标所满足的等式,从而得到点M 的轨迹方程;在第(2)问中,结合(1)的结论可知点M 的轨迹是一个圆,其圆心与原点连线应与l 垂直,由此求出直线l 斜率从而得到其方程,同时可求得△POM 的面积. 解:(1)圆C 的方程可化为x 2+(y-4)2=16,所以圆心为C (0,4),半径为4.设M (x ,y ),则CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x ,y-4),MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2-x ,2-y ). 由题设知CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 故x (2-x )+(y-4)(2-y )=0,即(x-1)2+(y-3)2=2. 由于点P 在圆C 的内部,所以M 的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心,√2为半径的圆. 由于|OP|=|OM|,故O 在线段PM 的垂直平分线上, 又P 在圆N 上,从而ON ⊥PM.因为ON 的斜率为3,所以l 的斜率为-13,故l 的方程为y=-13x+83. 又|OM|=|OP|=2√2,O 到l 的距离为4√105,|PM|=4√105,所以△POM 的面积为165.21.(本小题满分12分)(2014课标全国Ⅰ,文21)设函数f (x )=a ln x+1-a 2x 2-bx (a ≠1),曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线斜率为0.(1)求b ;(2)若存在x 0≥1,使得f (x 0)<aa -1,求a 的取值范围.分析:在第(1)问中,根据导数的几何意义将问题转化为f'(1)=0,即可求出b 的值;在第(2)问中,将条件“存在x 0≥1,使得f (x 0)<a a -1”转化为“在[1,+∞)上,f (x )min <aa -1恒成立”,因此关键是求出f (x )在[1,+∞)上的最小值.而f (x )解析式中含有参数a ,故在求出f'(x )后,应对a 的取值进行分类讨论,分别针对每一种情况求出f (x )的最小值,从而建立关于a 的不等式,求出a 的取值范围. 解:(1)f'(x )=ax+(1-a )x-b.由题设知f'(1)=0, 解得b=1.(2)f (x )的定义域为(0,+∞),由(1)知,f (x )=a ln x+1-a 2x 2-x , f'(x )=a x +(1-a )x-1=1-a x (x -a1-a )(x-1).①若a ≤12,则a1-a≤1,故当x ∈(1,+∞)时,f'(x )>0,f (x )在(1,+∞)单调递增.所以,存在x 0≥1,使得f (x 0)<a a -1的充要条件为f (1)<a a -1,即1-a 2-1<aa -1,解得-√2-1<a<√2-1.②若12<a<1,则a 1-a >1,故当x ∈(1,a 1-a )时,f'(x )<0;当x ∈(a 1-a ,+∞)时,f'(x )>0.f (x )在(1,a1-a)单调递减,在(a1-a,+∞)单调递增. 所以,存在x 0≥1,使得f (x 0)<a a -1的充要条件为f (a 1-a )<a a -1. 而f (a 1-a )=a ln a 1-a +a 22(1-a )+a a -1>a a -1,所以不合题意.③若a>1,则f (1)=1-a 2-1=-a -12<aa -1.综上,a 的取值范围是(-√2-1,√2-1)∪(1,+∞).请考生从第22,23,24题中任选一题做答,并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑,按所涂题号进行评分;多涂、多答,按所涂的首题进行评分;不涂,按本选考题的首题进行评分.22.(本小题满分10分)(2014课标全国Ⅰ,文22)选修4—1:几何证明选讲如图,四边形ABCD 是☉O 的内接四边形,AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ,且CB=CE. (1)证明:∠D=∠E ;(2)设AD 不是☉O 的直径,AD 的中点为M ,且MB=MC ,证明:△ADE 为等边三角形.分析:在第(1)问中,由圆内接四边形的性质可知∠CBE=∠D ,又CB=CE ,所以∠CBE=∠E ,从而可证∠D=∠E ;在第(2)问中,由条件MB=MC ,再结合圆的性质知OB=OC ,可确定MO 是弦BC 的垂直平分线,考虑到M 是AD 的中点,必有MO 也是AD 的垂直平分线,从而可证得AD ∥BC ,然后再结合第(1)问可推得△ADE 的三个内角相等,推得△ADE 为等边三角形.(1)证明:由题设知A ,B ,C ,D 四点共圆,所以∠D=∠CBE.由已知得∠CBE=∠E , 故∠D=∠E.(2)解:设BC 的中点为N ,连接MN ,则由MB=MC ,知MN ⊥BC ,故O 在直线MN 上.又AD 不是☉O 的直径,M 为AD 的中点,故OM ⊥AD ,即MN ⊥AD.所以AD ∥BC ,故∠A=∠CBE. 又∠CBE=∠E ,故∠A=∠E.由(1)知,∠D=∠E ,所以△ADE 为等边三角形.23.(本小题满分10分)(2014课标全国Ⅰ,文23)选修4—4:坐标系与参数方程已知曲线C:x 24+y29=1,直线l:{x=2+t,y=2-2t(t为参数).(1)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程;(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.分析:在第(1)问中,可根据参数方程与普通方程的关系求解;在第(2)问中,可由曲线C的参数方程设出点P的坐标,结合点到直线的距离公式与三角函数的定义得出|PA|与θ的关系,通过三角变换求得|PA|的最值.解:(1)曲线C的参数方程为{x=2cosθ,y=3sinθ(θ为参数).直线l的普通方程为2x+y-6=0.(2)曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ)到l的距离为d=√55|4cosθ+3sinθ-6|,则|PA|=dsin30°=2√55|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tanα=43.当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为22√55.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为2√55.24.(本小题满分10分)(2014课标全国Ⅰ,文24)选修4—5:不等式选讲若a>0,b>0,且1a +1b=√ab.(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.分析:在第(1)问中,根据基本不等式,结合已知条件中的等式可推得ab的最小值,然后再对a3+b3运用基本不等式,结合ab的最小值即可求得a3+b3的最小值;在第(2)问中,可考虑根据基本不等式求出2a+3b的取值范围,即可作出相应的判断.解:(1)由√ab=1a +1b√ab,得ab≥2,且当a=b=√2时等号成立.故a3+b3≥2√a3b3≥4√2,且当a=b=√2时等号成立.所以a3+b3的最小值为4√2.(2)由(1)知,2a+3b≥2√6√ab≥4√3.由于4√3>6,从而不存在a,b,使得2a+3b=6.。
全国2014年4月自学考试00020高等数学(一)试题答案
全国2014年4月高等教育自学考试高等数学(一)试题课程代码：00020一、单项选择题(本大题共10小题，每小题3分，30分)在每小题列出的四个知识点。
备选项中只有一个知识点。
是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑。
错涂、多涂或未涂均无分。
1.下列运算正确的是（B ）A.ln6+ln3=ln9B.ln6-ln3=ln2C.(1n6)•(ln3)=ln18D.ln6ln2ln3= 【解析】A ：ln6+ln3=ln18B ：6ln6ln3ln ln23-== C ：(1n6)•(ln3)≠ln18D ：ln6ln2ln3≠ 2.设函数f(x)可导，且1f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则导数f'(x)=（D ） A.1x B.-1xC.21xD.-21x第1章（上）第6个知识点。
【解析】1()f x x =，令1u x =，则有1()f u u=， 因为函数与自变量的符号无关， 所以1()f u u =跟1()f x x=表示的是同一个函数， 211()()f x x x''==- 3.设函数f (x ，y )=xy x y -，则11,f y x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=（C ）A.1y x -B.x y yx- C.1x y - D.22x y x y- 第1章（下）第2个知识点。
【解析】因为函数与自变量的符号无关， 所以(,)xy f x y x y =-跟(,)uv f u v u v=-表示的是同一个函数， 题目要求的是11(,)f y x ，则有11,u v y x ==， 1111111(,)11y x xy xy f x y x y y x x y y x xy xy xy⨯====----4.函数f(x)=sin x +cos x 是（C ）A.奇函数B.偶函数C.非奇非偶函数D.既是奇函数又是偶函数 第1章（下）第3个知识点。
【解析】f （-x)=sin(-x)+cos(-x)=-sinx+cosx 。
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B.
x y yx
替换 化简
00020 高等数学(一)试题 第 1 页 共 11 页
C.
1 x y
D.
x2 y 2 x y
பைடு நூலகம்
4.函数 f(x) =sinx+cosx 是 A.奇函数 C.非奇非偶函数 5.下列各对函数中，为同一函数的是 A.y=ln(x2)与 y=21n|x| C.y=x 与 y= B.y=tan(2x)与 y=2tanx D.y=x-1 与 y=
此题只是简单的计 算
四、综合题(本大题共 4 小题，共 25 分) 21.(本小题 6 分) 设某厂生产收音机 Q 台时的总成本为 C(Q)=2000+10Q(元)，销售价格为 P=800-Q(元)，假定 产销平衡. (1)求利润函数 L(Q)； (2)问该厂生产多少台时可获得最大利润?并求获得最大利润时的价格.
函数在某点取得极值 即此点导数为0 y` a sin x sin 2 x 0 x
1 9.已知函数 y=acosx+ cos2x(其中 a 为常数)在 x= 处取得极值，则 a= 2 2
A.0 C.2 B.1 D.3
2
,a 0
00020 高等数学(一)试题 第 2 页 共 11 页
x 0
f ( x) 1 . x
熟悉求导公式的推导即 很容易求出
13.设函数 f(x)满足 f ′(x)=
1 2 x
，且 f(1)=2,求 f(x).
00020 高等数学(一)试题 第 3 页 共 11 页
f (1) 2 1 c 2 c 1 f ( x) x 1
只需通分 化简
19.计算定积分 I=
2
0
x dx. 2 x2
公式的灵活掌握 看到 x 和 x 2 ，应该想到可 以从 x 凑成 x 2
20.计算二重积分 I=
D
1 dxdy，其中 D 是由直线 y=x，y=1 及 x=5 所围成的平面区域，如 y ln x
图所示.
00020 高等数学(一)试题 第 6 页 共 11 页
10.设函数 f(x)=
ln x ，则下列结论正确的是 x
A.f(x)在(0，+∞)内单调减少 C.f(x)在(0，+∞)内单调增加
B.f(x)在(0，e)内单调减少„ f `( x ) 1 ln x 2 D.f(x)在(0，e)内单调增加
x 只有在(0, e)内f `( x )恒大于0
非选择题部分
注意事项： 用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上，不能答在试题卷上。
二、简单计算题(本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分) 11.求极限 lim
x
x3 3x 2 2 . 5 x3 1
等式上下同除以最高次幂即
x3
12.设函数 f(x)在 x=0 处可导，且 f(0)=1,f′(x)=2.用导数定义求极限 lim
14.求曲线 y=x3-3x2-1 的拐点.
求拐点，即是在找到 二次导数为零时的 x 值，后求出二次导数 在该点处从左右趋近 改点的大小
15.求微分方程 eyy′-e3x=0 的通解.
00020 高等数学(一)试题 第 4 页 共 11 页
三、计算题(本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分)
k 16.已知极限 lim 1 =e2，求常数 k 的值. x x
x
公式的记忆
17.求抛物线 y=x2 上一点，使该点的切线平行于直线 y=4x-3.
平行线斜率相 等 求导
1 ln(1 x) 18.求极限 lim . x 0 x2 x
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B.ln6-ln3=ln2 D.
ln6 ln2 ln3
A.
1 x 1 x2
1 1 xy ，则 f , = x y y x
B.-
1 x 1 x2
f (1 ) x x f ( x) 1 x 1 f `( x) 2 x
C.
D.-
3.设函数厂 f(x,y)= A.
一、单项选择题(本大题共 10 小题，每小题 3 分，30 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“ 答题纸” 的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。 1.下列运算正确的是 A.ln6+ln3=ln9 C.(1n6)•(ln3)=ln18
1 2.设函数 f(x)可导，且 f x ,则导数 f '(x)= x
x 0时，y 1
= x 0
A.a=1，b=4 C.a=1，b=5
B.a=0，b=4 D.a=0，b=5
8.设 y=y(x)是由方程 xy3=y-1 所确定的隐函数，则导数 y′ A.-1 C.1 B.0 D.2
由xy 3 y 1求导 y 3 3xy 2 y` y` y` 1
绝密★考试结束前
全国 2014 年 4 月高等教育自学考试
高等数学(一)试题
课程代码：00020
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分
注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢 笔填写在答题纸规定的位置上。 2.每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。不能答在试题卷上。
3x 4 x a, x < 2 x 2 在 x=2 处连续，则 7.设函数 f ( x) b, x 2, x2
2
X 趋于 0 时，sinx 趋于 x 再与 2 x 2 比较即得
f ( x )在x 2时连续 f (x 2 ) x 2 2 2 4 b 4 f ( x 2 ) 3 x 2 4 x a 3 * 22 4 * 2 a 4 a 0
x 1 x 1
2
B.偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
x
2
y 2 ln x ln x ln x 2
2
6.设函数 f(x)=2x2，g(x)=sinx，则当 x→0 时 A.f(x)是比 g(x)高阶的无穷小量 B.f(x)是比 g(x)低阶的无穷小量 C.f(x)与 g(x)是同阶但非等价的无穷小量 D.f(x)与 g(x)是等价无穷小量