Wilcoxon符号秩检验-吴喜之例子
(完整)非参数统计wilcoxon秩和检验
Wilcoxon 秩和检验Wilcoxon 符号秩检验是由威尔科克森（F·Wilcoxon)于1945年提出的.该方法是在成对观测数据的符号检验基础上发展起来的,比传统的单独用正负号的检验更加有效。
1947年，Mann 和Whitney 对Wilcoxon 秩和检验进行补充，得到Wilcoxon —Mann-Whitney 检验，由后续的Mann-Whitney 检验又继而得到Mann —Whitney-U 检验。
一、 两样本的Wilcoxon 秩和检验由Mann ，Whitney 和Wilcoxon 三人共同设计的一种检验，有时也称为Wilcoxon 秩和检验,用来决定两个独立样本是否来自相同的或相等的总体.如果这两个独立样本来自正态分布和具有相同方差时,我们可以采用t 检验比较均值。
但当这两个条件都不能确定时，我们常替换t 检验法为Wilcoxon 秩和检验。
Wilcoxon 秩和检验是基于样本数据秩和。
先将两样本看成是单一样本(混合样本）然后由小到大排列观察值统一编秩.如果原假设两个独立样本来自相同的总体为真，那么秩将大约均匀分布在两个样本中，即小的、中等的、大的秩值应该大约均匀被分在两个样本中。
如果备选假设两个独立样本来自不相同的总体为真,那么其中一个样本将会有更多的小秩值,这样就会得到一个较小的秩和；另一个样本将会有更多的大秩值，因此就会得到一个较大的秩和。
设两个独立样本为:第一个x 的样本容量为1n ,第二个y 样本容量为2n ，在容量为21n n n +=的混合样本（第一个和第二个)中，x 样本的秩和为x W ，y 样本的秩和为y W ，且有2)1(21+=+++=+n n n W W y x (1）我们定义 2)1(111+-=n n W W x (2） 2)1(222+-=n n W W y (3)以x 样本为例，若它们在混合样本中享有最小的1n 个秩，于是2)1(11+=n n W x ，也是x W 可能取的最小值；同样y W 可能取的最小值为2)1(22+n n 。
Wilcoxon符号秩检验
04 Wilcoxon符号秩检验 的优缺点
优点
无需假设数据分布
Wilcoxon符号秩检验是一种非参 数检验方法，不需要假设数据服 从特定的分布，因此对于不符合 正态分布的数据也能得到较为准 确的结果。
对异常值不敏感
由于Wilcoxon符号秩检验是基于 秩次的检验方法，因此对于异常 值的存在并不敏感，能够得到较 为稳健的结果。
适用于配对样本
Wilcoxon符号秩检验适用于配对 样本的比较，能够充分利用样本 信息，提高检验的效能。
缺点
检验效能较低
相比于参数检验方法，如t检验，Wilcoxon符号秩检验的检 验效能较低，即当存在真实的差异时，该方法可能无法准 确地检测出差异。
对样本量要求较高
为了得到较为准确的检验结果，Wilcoxon符号秩检验需要 较大的样本量。当样本量较小时，该方法的准确性可能会 受到影响。
正态分布，因此适用于更广泛的数据
类型。
符号秩检验的定义
符号
在Wilcoxon符号秩检验中，首先计算每对观测值 之间的差值，并根据差值的正负赋予相应的符号 （+或-）。
检验统计量
根据符号和秩次计算检验统计量，通常使用 Wilcoxon符号秩统计量（W）或标准化后的z统 计量。这些统计量用于衡量两组观测值之间的差 异显著性。
非参数统计方法
Wilcoxon符号秩检验是一种非参数统 计方法，用于比较两个相关样本、配 对观测值或重复测量之间的差异。
稳健性
由于不对数据分布做严格假设， Wilcoxon符号秩检验对于异常值和偏 离正态分布的数据具有较好的稳健性 。
无需正态分布假设
与参数检验（如t检验）不同，
Wilcoxon符号秩检验不需要数据服从
SAS讲义_第二十七课符号检验和Wilcoxon符号秩检验
SAS讲义_第二十七课符号检验和Wilcoxon符号秩检验第二十七课符号检验和Wilcoxon 符号秩检验在统计推断和假设检验中，传统的检验统计量都叫做参数检验，因为它们都依赖于确定的概率分布，这个分布带有一组自由的参数。
参数检验被认为是依赖于分布假定的。
通常情况下，我们对数据进行分析时，总是假定误差项服从正态分布，这是人们易于接受的事实，因为正态分布的原始出发点就是来自于误差分布，至于当样本相当大时，数据的正态近似，这是由于大样本理论所保证的。
但有些资料不一定满足上述要求，或不能测量具体数值，其观察结果往往只有程度上的区别，如颜色的深浅、反应的强弱等，此时就不适用参数检验的方法，而只能用非参数统计方法（non-parametric statistical analysis ）来处理。
这种方法对数据来自的总体不作任何假设或仅作极少的假设，因此在实用中颇有价值，适用面很广。
一、单样本的符号检验符号检验（sign test ）是一种最简单的非参数检验方法。
它是根据正、负号的个数来假设检验。
首先需要将原始观察值按设定的规则，转换成正、负号，然后计数正、负号的个数作出检验。
该检验可用于样本中位数和总体中位数的比较，数据的升降趋势的检验，特别适用于总体分布不服从正态分布或分布不明的配对资料，有时当配对比较的结果只能定性的表示，如试验前后比较结果为颜色从深变浅、程度从强变弱，成绩从一般变优秀，即不能获得具体数字，也可用符号检验，例如用正号表示颜色从深变浅，用负号表示颜色从浅变深。
用于配对资料时，符号检验的计算步骤为：首先定义成对数据指定正号或负号的规则，然后计数正号的个数+S 及负号的个数-S ，由于在具体比较配对资料时，可能存在配对资料的前后没有变化，或等于假设中的中位数，此时仅需要将这些观察值从资料中剔除，当然样本大小n 也随之减少，故修正样本大小-++=S S n 。
当样本n 较小时，应使用二项分布确切概率计算法，当样本n 较大时，常利用二项分布的正态近似。
wilcoxon符号秩检验例题
wilcoxon符号秩检验例题假设有两组数据A和B，每组数据有10个观测值。
现在要进行Wilcoxon符号秩检验来判断两组数据是否来自同一分布。
以下是示例数据：组 A：12, 15, 18, 20, 22, 25, 28, 30, 32, 35组 B：10, 13, 15, 18, 20, 23, 24, 25, 29, 34首先，对A组和B组数据求差值，得到：2, 2, 3, 2, 2, 2, 4, 5, 3, 1然后，对这些差值按绝对值大小进行排序，得到：1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 5为每个差值找到它在排序后的序列中的秩次，即为：1, 2.5, 2.5, 2.5, 2.5, 2.5, 7, 7, 9, 10接下来，计算差值的积和，分别为：S+ = 1 + 2.5 + 2.5 + 2.5 + 2.5 + 2.5 + 7 + 7 + 9 + 10 = 46根据Wilcoxon符号秩检验的原假设，两组数据来自同一分布，因此预期差值和为0。
然后，计算Wilcoxon秩和的标准误差，使用以下公式计算：标准误差 = sqrt(n * (n+1) * (2n+1) / 6)其中，n为样本数量，对本例，n = 10，代入公式得到：标准误差= sqrt(10 * (10+1) * (2*10+1) / 6) ≈ 7.18最后，计算z统计量，使用以下公式计算：z = (S+ - n(n+1)/4) / 标准误差代入数据得到：z = (46 - 10(10+1)/4) / 7.18 ≈ 1.29由于样本数量较小（n=10），可以使用标准正态分布的临界值来判断结果的显著性。
对于双侧检验，若|z| > 1.96，则认为结果是显著的。
在本例中，|z| < 1.96，因此不能拒绝原假设，即认为两组数据来自同一分布。
请注意，这只是一个示例，Wilcoxon符号秩检验可以应用于更多情况和不同的数据。
Wilcoxon符 秩检验
2020/3/23
• 对称性 • 性质 2.3 在总体的分布关于原点0对称时，W＋服
从对称分布，对称中心为n(n+1)/4，即：对所有 的d=0, 1, 2, … , n(n+1)/4，有 P ( W+ = n(n+1)/4 － d )
2020/3/23
•（关键）性质 2.1 令S
ni
i1
ui,
则在总体的分
布关于原点0对称时，W＋与S同分布。
注： S是W＋当Ri＝i时的特殊情况。研究W＋的分 布可转为研究S的分布。
2020/3/23
• 概率分布 • 性质 2.2 在总体的分布关于原点0对称时，W＋
的概率分布为 P ( W+ = d )=P ( S＝d )=t n(d)/2n,
2020/3/23
• 再看看例2.2的置信区间。 求出其Walsh平均，共55个值。取α=0.05
，则求得k=9时，有 P(W+ ≤ 9)≤0.025，P (W+≥ 55－9)≤0.025，
所以θ的95％的置信区间为 [ W (10), W (46)]＝[ 8.02, 12.73 ]。
2020/3/23
§2.2 Wilcoxon符号秩检验
Wilcoxon符号秩检验 ( Wilcoxon signed-rank test )是非参数统计中符号检验 法的改进，它不仅利用了观察值和原假设中心 位置的差的正负，还利用了差的值的大小的信 息。虽然是简单的非参数方法，但却体现了秩 的基本思想。
Wilcoxon符号秩检验 吴喜之例子
吴喜之《非参数统计》第35页例子现在用一个例子来说明如何应用Wilcoxon符号秩检验，并表明它和符号检验在解决同样的位置参数检验问题时的不同。
下面是亚洲十个国家1966年的每1000新生儿中的（按从小到大次序排列）死亡数（按世界银行：“世界发展指标”，1998）国家每1000新生儿中的死亡数日本 4以色列 6韩国9斯里兰卡15叙利亚31中国33伊朗36印度65孟加拉国77巴基斯坦88这里想作两个检验作为比较。
一个是H0：M≥34H1：M<34，另一个是H0：M≤16H1：M>16。
之所以作这两个检验是因为34和16在这一列数中的位置是对称的，如果用符号检验，结果也应该是对称的。
现在来看Wilcoxon符号秩检验和符号检验有什么不同，先把上面的步骤列成表：上面的Wilcoxon 符号秩检验在零假设下的P-值可由n 和W 查表得到，该P-值也可以由计算机统计软件把数据和检验目标输入后直接得到。
从上面的检验结果可以看出，在符号检验中，两个检验的p-值都是一样的（等于0.3770）不能拒绝任何一个零假设。
而利用Wilcoxon 符号秩检验，不能拒绝H 0：M ≥34，但可以拒绝H 0：M ≤16。
理由很明显。
34和16虽然都是与其最近端点间隔4个数（这也是符号检验结果相同的原因），但34到它这边的4个数的距离（秩）之和（为W=29）远远大于16到它那边的4个数的距离之和（为W=10）。
所以说Wilcoxon 符号秩检验不但利用了符号，还利用了数值本身大小所包含的信息。
当然，Wilcoxon 符号秩检验需要关于总体分布的对称性和连续性的假定。
详细计算过程Wilcoxon 符号秩检验亚洲十国，每千人婴儿中的死亡数为：4、6、9、15、33、31、36、65、77、88 假设检验：16:0=D M H ；16:<-D M H手算xD=x-16D 的绝对值D 的秩符号 4 -12 12 4 - 6 -10 10 3 - 9 -7 7 2 - 15 -1 1 1 - 31 15 15 5 + 33 17 17 6 + 36 20 20 7 + 65 49 49 8 + 77 61 61 9 + 88 727210+由D 的符号和D 绝对值的秩可以算得：101234=+++=-T 451098756=+++++=+T根据n=10，45=+T 查表得到+T 的右尾概率为P=0.042，由于P<0.05，因此拒绝0H 。
两总体的比较与检验
三、Mood检验
A<c(321,266,256,388,330,329,303,334,299,221,365,250,258,3 42,343,298,238,317,354) B<c(488,598,507,428,807,342,512,350,672,589,665,549,451,4 81,514,391,366,468) mood.test(A,B) Mood two-sample test of scale data: A and B Z = -0.1929, p-value = 0.8471 alternative hypothesis: two.sided
7
二、Mann-Whitney U检验
与Wilcoxon 秩和统计量等价的有Mann-Whitney U统计量。 令Wxy为把所有的X的观察值和Y的观察值做比较之后，Y的观察 值大于X的观察值的个数，称Wxy为Mann-Whitney U统计量。
8
二、Mann-Whitney U检验
例子2：有糖尿病的和正常的老鼠体重为： 糖尿病鼠：42,44,38,52,48,46,34,44,38 正常老鼠：34,43,35,33,34,26,30,31,31,27,28,27,30,37,32 检验这两组的体重是否显著不同（α=0.05）？
A<-A+diff mood.test(A,B) Mood two-sample test of scale data: A and B Z = -2.4846, p-value = 0.01297 alternative hypothesis: tα=0.05,故拒 绝原假设，认为这两个村的内部 差异是不同的。
14
三、Mood检验
威尔科克森配对符号秩检验例
威尔科克森配对符号秩检验例随机地抽取10名学生的记分册中某门课程期中和期末考试分数如表16.17第(2)和第(3)栏数据。
试在0.05显著性水平下作威尔科克森符号秩检验。
表16.17 威尔科克森配对等级计算表*解: 计算步骤如下:第1步:列出1x 和2x 的观察值; 第2步:计算12x x d -=; 第3步:把等级恢复原正负符号。
计算过程见表16.17。
由表16.17,秩和分别按正差和负差计算,用Σ秩(+)和Σ秩(-)表示,以此为基础,形成零假设:0H Σ秩(+)=Σ秩(-),即总体分布相同。
更具体地说,该假设表明该总体中的正差和负差是在均值0的两端对称分布的。
两个秩和中较小者,我们称为威尔科克森T-统计量。
该检验统计量:T=Σ秩(-)=10.5。
查威尔科克森T 值的临界值表(附表I),当n=10-1=9, 05.0=α时,双尾检验的临界值5=αT 。
由于T T <α,因此不能否定0H ,即两次成绩没有显著差别。
在大样本情形下,T 是近似正态分布的,其均值和方差分别为:()41+=n n T μ (16.7)*表16.17的说明:① 在威氏检验中,i d 要用绝对值,把它们放在一起,按从1至n 的顺序排列秩次,差别最小者,其秩次为1。
② 以原i d 值的符号(+或-)给这些秩加上相应符号。
③ 若排秩时出现秩次相同,采用平均秩次。
④ 若i d 值为0,就去掉该项。
()()241212++=n n n T σ (16.8)因此,我们可以计算: TTT T z σμ-= (16.9)。
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吴喜之《非参数统计》第35页例子
现在用一个例子来说明如何应用Wilcoxon符号秩检验，并表明它和符号检验在解决同样的位置参数检验问题时的不同。
下面是亚洲十个国家1966年的每1000新生儿中的（按从小到大次序排列）死亡数（按世界银行：“世界发展指标”，1998）
：M≥34?H1：M<34，
这里想作两个检验作为比较。
一个是H
另一个是H
：M≤16?H1：M>16。
之所以作这两个检验是因为34和16在这一列数中的位置是对称的，如果用符号检验，结果也应该是对称的。
现在来看Wilcoxon符号秩检验和符号检验有什么不同，先把上面的步骤列成表：
上面的Wilcoxon符号秩检验在零假设下的P-值可由n和W查表得到，该P-值也可以由计算机统计软件把数据和检验目标输入后直接得到。
从上面的检验结果可以看出，在符号检验中，两个检验的p-值都是一样的（等于0.3770）不能
：M≥34，但可拒绝任何一个零假设。
而利用Wilcoxon符号秩检验，不能拒绝H
：M≤16。
理由很明显。
34和16虽然都是与其最近端点间隔4个数（这以拒绝H
也是符号检验结果相同的原因），但34到它这边的4个数的距离（秩）之和（为W=29）远远大于16到它那边的4个数的距离之和（为W=10）。
所以说Wilcoxon 符号秩检验不但利用了符号，还利用了数值本身大小所包含的信息。
当然，Wilcoxon符号秩检验需要关于总体分布的对称性和连续性的假定。
详细计算过程
Wilcoxon符号秩检验
亚洲十国，每千人婴儿中的死亡数为：4、6、9、15、33、31、36、65、77、88
假设检验：16:0=D M H ；16:<-D M H 手算
由D 的符号和D 绝对值的秩可以算得：
根据n=10，45=+T 查表得到+T 的右尾概率为P=0.042，由于P<0.05，因此拒绝0H 。
SPSS
Ranks
N
Mean Rank
Sum of Ranks
死亡数 - 常数 Negative Ranks
4a 2.50 10.00 Positive Ranks 6b
7.50
45.00
Ties
0c Total
10
a. 死亡数 < 常数
b. 死亡数 > 常数
Ranks
N Mean Rank Sum of Ranks 死亡数- 常数Negative Ranks 4a 2.50 10.00 Positive Ranks 6b7.50 45.00
Ties
0c
Total
10
a. 死亡数< 常数
c. 死亡数= 常数
Test Statistics b
死亡数- 常数
Z -1.784a
Asymp. Sig. (2-tailed) .074
Exact Sig. (2-tailed) .084
Exact Sig. (1-tailed) .042
Point Probability .010
a. Based on negative ranks.
b. Wilcoxon Signed Ranks Test
P值为0.042小于显着性水平0.05，故拒绝
H。
SAS
data a;
input id x;
cards;
1 4
2 6
3 9
4 15
5 31
6 33
7 36
8 65
9 77
10 88
run;
proc univariate mu0=16;
var x;
run;
UNIVARIATE 过程
变量: x
矩
N 10 权重总和10
均值36.4 观测总
和364
标准偏差30.4638219 方差928.044444
偏度峰度-0.9927987
未校平方和21602 校正平方和8352.4
变异系数83.6918184 标准误
差均值
基本统计测度
位置
变异性
均值36.40000 标准偏差30.46382
中位数32.00000 方差928.04444
众数. 极差
84.00000
四分位极差56.00000
位置检验: Mu0=16
检验--统计量--- -------P 值-------
学生t t 2.117609 Pr > |t| 0.0633
符号M 1 Pr >= |M| 0.7539
符号秩S 17.5
Pr >= |S| 0.0840
分位数（定义5）
分位数估计值
100% 最大值
88.0
99%
88.0
95%
88.0
90%
82.5
75% Q3
65.0
50% 中位数
32.0
25% Q1
9.0
10%
5.0
5%
4.0
1%
4.0
0% 最小值
4.0
极值观测
---最小值--- ---最大值---
值观测值
观测
4 1 33
6
6 2 36
7
9 3 65
8
15 4 77
9
31 5 88 10
得到符号秩检验的双侧概率为0.0840，则单侧概率P=0.0420，，小于显着性水平0.05，故拒绝
H
Wilcoxon检验
亚洲十国新生儿死亡率的Wilcoxon符号秩检验:
在这里假定亚洲十国新生儿死亡率是对称性分布。
建立假设组为：
：M≥34?H1：M<34
H
为做出判定，需要计算T+、T-，计算过程见下表
T+=2+8+9+10=29
T-=10(10+1)/2-29=26
根据n=10，T+=29查表，得到T+的右尾概率为0.461>0.05，因此数据支持了原假设，即亚洲十国新生儿死亡率可以认为是千分之34. 下面是SPSS输出结果:
Ranks
N Mean Rank Sum of Ranks
X - M0 Negative Ranks 6a 4.33 26.00
Positive Ranks 4b7.25 29.00
Ties
0c
Total
10
a. X < M0
b. X > M0
c. X = M0
Test Statistics b
X - M0
Z -.153a
Asymp. Sig. (2-tailed) .878
Exact Sig. (2-tailed) .922
Exact Sig. (1-tailed) .461
Point Probability .038
a. Based on negative ranks.
b. Wilcoxon Signed Ranks Test
R程序:
x<-c(4,6,9,15,33,31,36,65,77,88)
wilcox.test(x, mu=34, alternative="greater",exact=TRUE,correct=FALSE,
conf.int=TRUE)
R输出结果:
Wilcoxon signed rank test
data: x
V = 29, p-value = 0.4609
alternative hypothesis: true location is greater than 34
95 percent confidence interval:
17.5 Inf
sample estimates:
(pseudo)median
34.5
SAS输出结果：
data x;
input x;
cards;
-30
-28
-25
-19
-1
-3
2
31
43
54
;
run;
proc univariate data=x;
var x;
run;
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