不等关系.
不等式1：不等式,不等关系
3、1不等关系与不等式学习过程知识点1、不等式的定义用不等号（<，>，≤，≥，≠）表示不等关系的式子叫不等式。
如：()()f x g x >，()()f xg x ≤等等，用“<”或“>”号连结的不等式叫做严格不等式；用“≤”或“≥”号连结的不等式，叫做非严格不等式。
知识点2、不等式的分类（1）按成立的条件分：如果不论用什么实数代替不等式中的字母，它都能成立，这样的不等式叫绝对不等式。
如：a a >+12、45+>+x x 、1)1(2->+x 等均为绝对不等式。
如果只有用某些范围内的实数代替不等式中的字母，它才能成立，这样的不等式叫条件不等式。
如：x x >-12、12+<x x 等均为条件不等式。
如果用无论什么样的实数值代替不等式中的字母，不等式都不成立，这样的不等式叫矛盾不等式。
如1|1||1|<++-x x 、22-<a 等均为矛盾不等式。
绝对不等式、条件不等式与矛盾不等式相互之间没有包容性，即三者中任意二个都不能同时成立。
（2）按不等号开口方向分：在两个不等式中，如果每一个的左边都大于右边，或每一个的左边都小于右边，这样的两个不等式叫同向不等式。
如：132+>+a a 与1332+>-a a 是同向不等式。
如果一个不等式的左边大于右边，而另一个不等式的左边小于右边，那么这两个不等式叫异向不等式。
如423+>+a a 与425322+<-a a 是异向不等式。
知识点3、不等式的性质与推论 ①对称性：a b b a <⇔>； ②传递性：b a >，c a c b >⇒>；③加法性质：c b c a b a +>+⇒>；（这是不等式移项法则的基础）推论：b a >，d b c a d c +>+⇒>；（这是同向不等式相加法则的依据，它还可以推广到任意有限个同向不等式的两边分别相加，所得不等式与原不等式同向） ④乘法性质：b a >，bc ac c >⇒>0；b a >，bc ac c <⇒<0； 推论1：0>>b a ，bd ac d c >⇒>>0推论2：0>>b a ，N n ∈，nn b a n >⇒>1；⑤开方性质：0>>b a ，N n ∈，n nb a n >⇒>1。
北师大版数学八年级下册2.1《不等关系》教案
北师大版数学八年级下册2.1《不等关系》教案一. 教材分析《不等关系》是北师大版数学八年级下册第2.1节的内容，主要介绍不等式的概念和基本性质。
这一节内容是学生学习不等式的重要基础，对于培养学生的逻辑思维和解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习这一节内容前，已经学习了有理数、方程等基础知识，对于数学符号和运算有一定的了解。
但他们对不等式的概念和性质可能还比较陌生，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。
三. 教学目标1.了解不等式的概念和基本性质。
2.学会用不等式表示实际问题中的不等关系。
3.培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.不等式的概念和基本性质。
2.如何用不等式表示实际问题中的不等关系。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法，引导学生通过观察、思考、讨论和操作，自主探索不等式的概念和性质，提高学生的参与度和实践能力。
六. 教学准备1.PPT课件2.教学案例和练习题3.小组讨论材料七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT课件，展示一些实际问题中的不等关系，如身高、体重、温度等，引导学生思考如何用数学符号表示这些不等关系。
2.呈现（10分钟）介绍不等式的概念和基本性质，通过示例和讲解，让学生理解不等式的含义和运用。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，选取一些实际问题，尝试用不等式表示不等关系，并互相交流分享。
4.巩固（10分钟）针对每组的问题，选取几个进行讲解和分析，引导学生正确理解和运用不等式。
5.拓展（10分钟）让学生尝试解决一些不等式相关的应用题，提高学生解决实际问题的能力。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调不等式的概念和性质，提醒学生注意运用时的细节。
7.家庭作业（5分钟）布置一些有关不等式的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
8.板书（课后整理）总结本节课的主要内容和知识点，方便学生复习和回顾。
教学过程每个环节所用的时间如上所示，供您参考。
不等关系与不等式
1.掌握不等式的性质及其推论，并能证明这些结论. 2.利用不等式的有关基本性质研究不等关系.
不等式：用不等号连接的式子，叫作不等式． 说明： (1)不等号的种类：＞、＜、≥、≤、≠． (2) 不等式研究的范围是实数集R．
对于任意两个实数 a、b，在“a＞b，a = b，a＜b”
用“＜”或“＞”填空
（１） 如果 a b, c d ，则 a c __＞__ b d ； （２） 如果 a b 0, c d 0 ，则 ac _＞___ bd ； （３） 如果 a b 0 ，则 a2 _＞___ b2 ； （４） 如果 a b 0 ，则 a _＞___ b .
解: 设住宅窗户面积和地板面积分别为 a,b ,同时增加的面积为 m ,
根据问题的要求 a b, 且 a 10% . b
由于 a m a m(b a) 0, b m b b(b m)
于是 a m a , 又 a 10%, bm b b
因此, a m a 10%. bm b
初中时我们曾经学过哪些不等式的性质?
１（对称性）：如果a>b，那么b<a;如果b<a，那么a>b. 2（传递性）：如果a>b，b>c，那么a>c.
3（可加性）：如果a>b，则a+c>b+c. 不等式的两边都加上同一个实数，不等号方向不变.
4（可乘性）：如果a>b，c>0，则ac>bc； 如果a>b，c<0，则ac<bc.
所以,同时增加相 等的窗户面积和地板面积后,住宅的 采光条件变好了!
一般地,设 a,b 为正实数,且 a b, m 0 ,则 am a. bm b 日常生活中,还有哪些实例满足例3中的不等式?
不等关系与不等式 课件
用不等式(组)表示不等关系
[典例] 某家电生产企业计划在每周工时不超过40 h的情 况下，生产空调、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20 台．已知生产这些家电产品每台所需工时如下表：
家电名称 空调
彩电
冰箱
工时(h)
1 2
用不等式性质求解取值范围 [典例] 已知1＜a＜4,2＜b＜8，试求2a＋3b与a－b的取值 范围． [解] ∵1＜a＜4,2＜b＜8，∴2＜2a＜8,6＜3b＜24. ∴8＜2a＋3b＜32. ∵2＜b＜8，∴－8＜－b＜－2. 又∵1＜a＜4，∴1＋(－8)＜a＋(－b)＜4＋(－2)， 即－7＜a－b＜2. 故2a＋3b的取值范围是(8,32)，a－b的取值范围是(－7,2)．
数式的大小比较
[典例] (1)已知x<1，比较x3－1与2x2－2x的大小；
(2)已知a>0，试比较a与1a的大小． [解] (1)(x3－1)－(2x2－2x) ＝(x－1)(x2＋x＋1)－2x(x－1) ＝(x－1)(x2－x＋1)
＝(x－1)x－122＋34. ∵x<1，∴x－1<0.又x－122＋34>0， ∴(x－1)x－122＋34<0. ∴x3－1<2x2－2x.
(2)因为a－1a＝a2－a 1＝a－1aa＋1， 因为a>0，所以当a>1时，a－1aa＋1>0，有a>1a； 当a＝1时，a－1aa＋1＝0，有a＝1a； 当0<a<1时，a－1aa＋1<0，有a<1a. 综上，当a>1时，a>1a； 当a＝1时，a＝1a； 当0<a<1时，a<1a.
3-1《不等式与不等关系》课件(共29张PPT)
abab0 a b ab 0 abab0
作差比较法
这既是比较大小(或证明大小)的基本方法,又是推导不等式的性质Байду номын сангаас基础.
作差比较法其一般步骤是:
作差→变形→判断符号→确定大小.
因式分解、配方、 通分等手段
比较两个数(式)的大小的方法:
例2．比较x2－x与x－2的大小.
am a
am a
作差
变形 定符号 确定大小
问题探究（三）不等式的性质的应用
性质１:对称性
a<b
b>a
性质２:传递性
a b，b c a c
性质３:可加性
a b ac bc
性质４:同正可乘性
a b，c 0 ac bc a b，c 0 ac bc
性质５:加法法则 (同向不等式可相加)
故选A．
变式 5、给出下列结论： ①若 ac>bc，则 a>b； ②若 a<b，则 ac2<bc2； ③若1a<1b<0，则 a>b； ④若 a>b，c>d，则 a－c>b－d； ⑤若 a>b，c>d，则 ac>bd. 其中正确结论的序号是________．
[答案] ③
问题探究（四）利用不等式的性质求取值范围
例 6、已知－6<a<8,2<b<3，分别求 2a＋b，a－b，ab的取值范围．
分析:欲求 a－b 的取值范围，应先求－b 的取值范围，欲求 ab的取值范围，应先求1b的取值范围．
解析:∵－6<a<8，∴－12<2a<16， 又∵2<b<3，∴－10<2a＋b<19. ∵2<b<3，∴－3<－b<－2，∴－9<a－b<6. ∵2<b<3，∴13<1b<12， ∵－6<a<8，∴－2<ab<4.
不等关系
§3.1 不等关系教学目标一、知识与技能：通过具体情景，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式（组）的实际背景；掌握作差比较法判断两实数或代数式大小二、过程与方法：经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其基本方法；通过解决具体问题，体会数学在生活中的重要作用，培养严谨的思维习惯三、情感态度与价值观：体会实际与建摸，关系比较的方法与思路教学重点，难点(1)通过具体情景，建立不等式模型；(2) 掌握作差比较法判断两实数或代数式大小．教学流程一．问题情境在日常生活、生产实际和科学研究中经常要进行大小、多少、高低、轻重、长短和远近的比较，反映在数量关系上就是相等与不等两种情况。
等的情况常常成为等式与方程，不等的情况呢？引入主题：不等关系。
二．学生活动1、看书：P67~P682、思考1：如何刻画不等关系？（可以用不等式(组)来刻画不等关系．表示不等关系的式子叫做不等式,常用(<>≤≥≠，，，，)表示不等关系.）3、如何建立不等关系？建立不等式模型：通过具体情景，对问题中包含的数量关系进行认真、细致的分析，找出其中的不等关系，并由此建立不等式．练习1、某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm两种．按照生产的要求，600mm钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？解：假设截得的500mm钢管x根，截得的600mm钢管y根．根据题意，应有如下的不等关系：5006004000, 3,,.x yx yx Ny N+≤⎧⎪≥⎪⎨∈⎪⎪∈⎩说明：关键是找出题目中的限制条件，利用限制条件列出不等关系练习2、某校学生以面粉和大米为主食．已知面食每100克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位；米饭每100克含蛋白质3个单位，含淀粉7个单位．某快餐公司给学生配餐，现要求每盒至少含8个单位的蛋白质和10个单位的淀粉．设每盒快餐需面食x百克、米饭y百克，试写出,x y满足的条件．解：,x y 满足的条件为63847100x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩．三．建构数学找出数值后，常常需要判断两个数的大小关系，如何判断呢？根据a-b>0⇔a>b,故常用作差比较法来比较两实数大小的方法；具体步骤是：作差——变形——判断四．数学运用例1、a m b m ++与a b（其中0b a >>，0m >）． 分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开，合并同类项之后，判断差值正负，并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小． 解：()()()()()a m ab a m a b m m b a b m b b b m b b m ++-+--==+++， ∵0b a >>，0m >，∴()0()m b a b b m ->+，所以a m a b m b +>+． 作差——变形——判断中，第一种常用的变形就是分解因式，根据各因式的符号判断整个符号。
八年级不等关系知识点总结
八年级不等关系知识点总结关于八年级不等关系的知识点总结
八年级是初中学习中一个重要的环节，也是学生初步接触不等关系的年级。
不等关系能够培养学生善于观察与思考的能力，同时也能够提升学生的逻辑思维和数学技巧。
因此，对于八年级的学生来说，掌握不等关系的知识点是至关重要的。
下面就来总结一下八年级不等关系的重点知识。
一、不等式的基本性质
1.1 传递性质
不等式的传递性是指，若a<b,b<c，则a<c。
1.2 对称性质
不等式的对称性是指，若a<b，则b>a。
1.3 反称性质
不等式的反称性是指，若a<b，则不可能有b<=a。
二、不等式的解法
2.1 联立法
联立法是指，将不等关系联立到一起，通过消元的方法求出不
等式的解。
2.2 分类讨论法
分类讨论法是指，将不等式中的未知数按照大小关系分成几类，分别讨论每一类的解法，最后将结果合并起来。
2.3 取绝对值法
取绝对值法是指，将不等式中的未知数都取绝对值，通过比较
绝对值之间的大小关系来判断不等式的解。
三、不等式的应用
3.1 引理
引理是指，通过不等关系的性质，推导出一些结论，可以用来
简化不等式的求解。
3.2 应用
在生活中，不等关系也有着广泛的应用，如货币兑换、失业率、贷款等方面。
综上所述，不等关系的知识点对于八年级学生来说是至关重要的。
通过深入理解不等关系的基本性质、掌握不等式的解法和应用，可以提升学生的数学思维和问题解决能力。
2.1.1不等关系与重要不等式课件(人教版)
当且仅当 = = 时，等号成立
4 课堂训练
4
课堂训练
C
C
4
课堂训练
≥ 0
+ >
16 ≤ ≤ 18
2 + 2 > 3
5 预习自测
5
预习自测
√
√
×
√
5
预习自测
C
<
= 2 + 5 + 6 − 2 + 5 + 4
=2
∵2＞0，
∴ +2 +3 ＞ +1 +4 .
作差
变形
0是相等与不等的分界
限，它也为比较实数的大
定号
定论
小提供了标杆.
2
实数大小的比较
再
已知，均为正数，且 ≠ ，比较3 + 3与2 + 2的大小
【解】运用作差法：
【问题4】 ：如何证明重要不等式？
2
2
2
证明： (a b ) - 2ab (a b)
当a b时, (a b) 0
2
当a b时, ( a b )2 0
(a 2 b 2 ) 2ab 0,
当 且 仅 当 a b时 ， 等 号 成 立 。
3
一个重要不等式
B
D
（3）S与S’会出现相等的情况吗，什么时候相
当a=b时
等？ 当a=b时，S=S'，即 + =
A
C
E(FGH)
B
综上， + ≥
重要不等式
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6. 不等关系
【学习目标】
1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系.
2. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用.
【要点梳理】
要点一、不等式的概念
一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”
表示不等关系的式子也是不等式．
要点诠释：
(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．
(2)五种不等号的读法及其意义：
(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x ＞5中，
x 表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合
不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．
要点二、不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a ＞b ，那么a ±c ＞b ±c
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc(或)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc(或)． 要点诠释：
对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：
(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条
性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．
(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除
以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．
a b c c
>a b c c
<
【典型例题】
类型一、不等式的概念
1．用不等式表示：
(1)x 与-3的和是负数；
(2)x 与5的和的28％不大于-6;
(3)m 除以4的商加上3至多为5．
举一反三：
【变式】的值一定是（ ）．
A.大于零
B.小于零
C.不大于零
D. 不小于零 2.下列叙述：①a 是非负数则a ≥0；②“a 2减去10不大于2”可表示为a 2-10
＜2； ③“x 的倒数超过10”可表示为
＞10；④“a ，b 两数的平方和为正数”可表示为a 2+b 2＞0．其中正确的个数是（ ）.
A.1个
B.2个
C.3个
D. 4个
类型二、不等式的基本性质
3.判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．
（1）若 b ﹣3a ＜0，则b ＜3a ；
（2）如果﹣5x ＞20，那么x ＞﹣4；
（3）若a ＞b ，则 ac 2＞bc 2
；
（4）若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；
（5）若a ＞b ，则 a （c 2+1）＞b （c 2+1）．
（6）若a ＞b ＞0，则＜． ． 4.如果a ＞b ，c ＜0，那么下列不等式成立的是( ).
A ．a+c ＞b+c
B ．c-a ＞c-b
C ．ac ＞bc
D ． 性质1和性质2类似于等式的性质但性质3中，当不等式两边乘以或除以同一个负数时，
不等号的方向要改变．
举一反三：
【变式】根据不等式的基本性质，将“mx＜3”变形为“x＞
”，则m 的取值范围是 ．
a a +1x a
b
c c
>3m
【考点练习】
考点一：不等式的定义
1：下面给出了6个式子①3＞0；②4x+3y＞0；③x＝3；④x﹣1；⑤x+2≤3；⑥2x≠0．其中不等式有（）A．2个B．3个C．4个D．5个
考点二：根据数量关系列不等式
2：用适当的符号表示下列关系：
（1）a是非负数，列不等式为
（2）a 的一半与8的和大于5，列不等式为
（3）x与 17 的和比它的5倍小，列不等式为
（4）x,y 的平方和不小于这两数积的2倍，列不等式为
（5）m 除以3的商加上4至多为9，列不等式为
考点三：不等式关系在生活中的应用
1．如果莱州市2019年6月1日最高气温是33℃，最低气温是24℃，则当天莱州市气温t （℃）的变化范围是（）
A．t＞33B．t≤33C．24＜t＜33D．24≤t≤33
2．学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x辆，租用30座客车y辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是（）
A．两种客车总的载客量不少于500人B．两种客车总的载客量不超过500人C．两种客车总的载客量不足500人D．两种客车总的载客量恰好等于500人3．某种品牌的八宝粥外包装标明：净含量为330±10g则这罐八宝粥的净含量x的范围是4．一瓶饮料净重340g，瓶上标有“蛋白质含量≥0.5%”，设该瓶饮料中蛋白质的含量为xg，则x g．
5．k的值大于﹣1且不大于3，则用不等式表示k的取值范围是．（使用形如a≤x ≤b的类似式子填空．）
6．有理数m，n在数轴上如图，用不等号填空．
（1）m+n0；（2）m﹣n0；（3）m•n0；
（4）m2n；（5）|m||n|．
【课堂达标】
一、选择题
1.下列数学表达式中：①﹣2＜0，2x+3y ＞0，③x=2，④x 2+2xy+y 2
，⑤x≠3，⑥x+1＞2中，不等式有（ ）A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
2．下列不等式表示正确的是( ).
A ．a 不是负数表示为a ＞0
B ．x 不大于5可表示为x ＞5
C ．x 与1的和是非负数可表示为x+1＞0
D ．m 与4的差是负数可表示为m-4＜0
3.式子“①x+y=1；②x ＞y ；③x+2y ；④x-y ≥1；⑤x ＜0”属于不等式的有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
4．已知a ＜b ，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a+3＞b+3 B ．2a ＞2b C ．-a ＜-b D ．a-b ＜0
5．若图示的两架天平都保持平衡，则对a 、b 、c 三种物体的重量判断正确的是（ ）.
A.a>c
B.a<c
C.a<b
D.b<c
6．下列变形中，错误的是（ ）.
A ．若3a+5＞2，则3a ＞2-5
B ．若，则
C ．若，则x ＞-5
D ．若，则 二、填空题
7．用“＞”或“＜”填空：
(1)-10.8________10.4； (2)________； (3)________ (4)0________； (5)(-2)3________ (6)________； (7) ________0.66； (8)-1.11________
213x ->23
x <-115x -<1115x >511
x >1100-1100
15-16-134
-3|2|-11121213
23-
119-
8. ①当a=3，b=5时用不等式表示a 2+b 2与2ab 的大小是_______；
②当a=-3，b=5时用不等式表示a 2+b 2与2ab 的大小是__________；
③当a=1，b=1时用不等式表示a 2+b 2与2ab 的大小是________；
④根据上述数学实验你猜想a 2+b 2与2ab 的大小关系_______；
⑤用a 、b 的其他值检验你的猜想______．
三、解答题
9．已知x ＜y ，比较下列各对数的大小．
(1)8x-3和8y-3； (2)和； (3) x-2和y-1． 516x -
+516
y -+。