第5章1 有旋流动

◆ 已知速度场，先求偏导，得涡量；再进行面积分，求涡通量 和涡管强度， 未免有些重复，且不方便。
更方便的办法：直接对流速进行曲线积分，求得速度环量， 由此确定涡通量和涡管强度。
通过曲面面积A的涡通量 I = Ω n dA = Ω •ndA = Ω •dA
A A A
∫
∫
r v
∫
r
r
r r r r Ω n = Ω • n = Ωcos(Ω , n) r ＝ Ω 在曲面 A 法线方向的分量
AB 1
BC DA
2
− x1 )
∫ u • dL = ∫ Ω • ndA
L A
r
r
r r
L y x
∫ ucosαdL = ∫ ucosαdL = 0 ∫ ucosαdL = −u (x
CD 2 2
其中 A为张于L上的任何曲面，其法线方向与环量的积分方向符合右 手螺旋法则。 单连通区域——该区域之中任一封闭周线均可连续地收缩成一点而 不越过区域的边界。（反之称为多连通区域）
U∞
例： 有势质量力作用下的理想、正压 流体，无穷远处的均匀来流，在远处原 是无旋，则绕物体的流动亦是无旋的。 势流理论
但是： 壁面附近横向速度梯度和切应力存在，有旋且粘滞性作用不可 忽略，但该有旋区域常局限于壁面附近一个薄层内（边界层）； 物体背后可能产生分离流动形成尾涡区，此处不能按有势流动 处理。 边界层和尾涡区之外流动可以近似认为是有势流动。
A1 A2
A1
r r r r ∫ n • Ω d A = − ∫ n ′ • Ωd A = − I 1
A1
⇒
-I1 + I2 = 0 证毕
17
18
若截面面积 A＝dA （涡管元） 则
5.1.4 涡旋随时间的变化
开尔文环量定理（汤姆孙定理）： 在有势质量力作用下的理想、正压流体，沿任一封闭流体线 的速度环量不随时间变化。 流体线——在运动过程中始终由原来的流体质点组成的线。 流体线在运动过程中保持其连续性和拓扑性质，即不会断裂或 与其他流体线相交 1 r ∇p = ∇Π 证明：有势质量力 f = ∇W ，正压流体 ρ r r du 1 = f − ∇p = ∇ ( W − Π ) 理想流体 dt ρ
I = Γ = u 0 2πr0 = 2πωr02
u kx = − u ky
13 14
例3：孤立涡管 分析： 将涡管看成孔洞，只讨论封闭曲线C、 L之间无旋流区域，则A为双联通区域
C L
例4 封闭周线C包围N个孤立涡管，涡管强度分别为I1，……， IN，，计算C上的速度环量ΓC 。
A
ΓC − ΓL = ∫ Ω n dA = 0
A
v Ω=0
解1：C所包围的区域A中包含了各个 涡管截面在内，单连通。 路径L1、…、LN等环绕各个涡管截面 其速度环量
▲平面流动
涡线微分方程
Ω x = Ωy = 0
dy dx dz = = Ω x (x , y , z , t ) Ω y (x , y , z , t ) Ω z (x , y , z , t )
已知涡量场，可以求解涡线，方法与求解流线的方法类似。
3
4
2．涡管：涡线构成的管状曲面 3．涡管强度I =通过涡管截面A的涡通量 4．涡通量
z
r n
A dA
= u1 ( x 2 − x1 ) + 0 + u2 (x1 − x 2 ) + 0 = −(u2 − u1 )(x 2 − x1 ) < 0
或：
r r Γ = ∫ u • dL = ∫ ucosαdL
L L
AB：u=u1，cosα=1， BC、DA：cosα=0，
∫ ucosαdL = u (x
第5章 有旋流动和有势流动
5.1 有 旋 流 动
有旋流动
已知：流体微团的转动角速度
r ω≠0
实际流动大多是有涡的，如： 物体绕流背后的漩涡区 壁面附近的剪切流动层 大气中的涡流（龙卷风、台风等）
…………
r 1 r 1 r ω = rotu = ∇ × u 2 2
定义：流动的涡量
r i r r r r ∂ Ω = 2ω = rotu = ∇ × u = ∂x ux
2
r j ∂ ∂y uy
r k ∂ ∂z uz1来自5.1.1 涡线、涡管、涡通量
涡量的分量
Ωx =
∂u z ∂u y − ∂y ∂z ∂u y
，
Ωy =
∂u x ∂u z − ∂z ∂x
r r 1．涡线：某瞬时，处处与 Ω 相切的曲线。 Ω1
，
（恒定流动的涡线形状不随时间改变）
r Ω2
r Ω3
∂u Ωz = − x ∂y ∂x
v r
Γ=I为曲线涡的涡管强度
r du r
ΓdL
r Γ sinα dL du = 4π r 2
整个曲线涡在M点的诱导速度
r du
r r r Γ dL × r u= ∫ 4π L r 3
M *
v r
α
r Γ dL
23
24
r edu
r r Γ sinαdL ⋅ edu u= 2 ∫ 4π L r r 为 du 方向的单位长度矢量
3．多连通区域中的斯托克斯定理 设区域中有一孔洞，周线 C 环绕 孔洞——所包围的 A 为多连通区 域。
Ωx = 0
Ωy = 0
∂u Ωz = − x = 2c ∂x ∂y
∂uy
为常数
以线段BE将区域A切割开， 作新周线C ′ ＝C＋ L＋BE＋EB， 所包围的区域A为单连通区域。
I = ∫ Ωn dA = ∫ Ω z dA = 2cπa 2 = Γ
r Γ u= 2πR
Γ
R
u
5.2.3 一组直线涡（涡系）的诱导速度
（1）涡系产生的诱导速度场等于各个涡产生的诱导速度场之和； （2）每个涡的运动速度＝其他涡在其涡心产生的诱导速度之和。 （矢量和） 位于点（xk,yk）强度为Γk的直线涡 在点M（x,y）的诱导速度为
—无限长直线涡的诱导速度
如：半径为r0的无限长圆柱体，以角速度ω转动，相当于一个涡管 则
21
22
5.2.1 曲线涡的诱导流速、毕奥－萨伐尔公式
曲线涡上任一点O处微元 dL 在点M处产生诱导速度为
r
5.2 旋涡的诱导流速
在一个有旋区域周围的流体中会形成一定的流动——诱导流速。 （注意：在有旋区域之外的诱导流速场是无旋的） 本节介绍孤立涡管元（曲线涡）在无界流体中的诱导流速。
r r r Γ dL × r du = ——毕奥－萨伐尔公式 4π r 3 r r 其方向垂直于 dL、 r 所在平面。
AB
+∫
x1 x2
BC
+∫
CD
+∫
DA
y1
Γ = ∫ ux dx + uy dy + uz dz
L
◆ 积分时注意dx、dy等沿 曲线路径的变化。 （柱坐标系）
Γ = ∫ ux | y = y1 dx + ∫ u y | x = x 2 dy + ∫ u x | y = y 2 dx + ∫ u y | x = x1 dy
沿封闭流体线 L 的速度环量Γ的变化率（加速度环量）
dI = Ω1dA1 = Ω 2dA2
或 ω1dA1 = ω2 dA2
推论1° 同一时刻，同一涡管元，截面积越小的地方涡量越大。 推论2°涡管截面不可能收缩为0（否则涡量为无穷大），因此涡 管的两端不可能在流体内部消失
涡管或者是环形，或者两端延伸 到流体的边界上或无穷远处。 例：龙卷风，江河中的漩涡和泡、漩。
r n
I1
ΓC = ΓL1 + L + ΓL N = I 1 + L + I N
r
r n′
A2
I2
r
r
r n
r
A1
侧面Ω n = 0
结论： 沿围绕若干孤立涡管的任意路径的速度环量 = 这些涡管的涡管强度之和。
∫ Ω ⋅ ndA = ∫∫∫ ∇ ⋅ ΩdV
A V
r r
r r r r = 0 = ∫ n • Ω d A + ∫ n • Ω dA
19
r dΓ d r r du r = ∫ u • dL = ∫ • dL = ∫ d ( W − Π ) = 0 L L L dt dt dt ，证毕。
20
推论： 1°涡旋不生不灭定理（拉格朗日定理） ：在有势质量力作用下的 理想、正压流体的运动，若某时刻某部分流体内无旋，则该部分 流体在以前、以后时间内也无旋；反之，若某时刻某部分流体内 有旋，则该部分流体在以前、以后时间内均有旋。 2°涡管及涡管强度保持定理（亥姆霍兹定理） ：在有势质量力作 用下的理想、正压流体的运动，某时刻组成涡管的质点将永远组 成涡管，其涡管强度在运动过程中保持不变。 破坏涡旋保持性的三个因素：粘滞性、斜压性和非保守质量力。
r n
A
r Ω
dA
5
6
5.1.2 速度环量 斯托克斯定理 1. 速度环量
沿封闭曲线L的速度环量
例 1 求图示剪切流动中沿矩形封闭路径 L 的速度环量。
y u2 y2 u D
各段 uy= 0, dz=0
C
r r Γ = ∫ u • dL = ∫ ucosαdL
L L
切向速度分量
r u
dy=0
L y1 A x1 B x2 x
A
涡管之外为无旋流动
∴
ΓC = ΓL = I
ΓL1 = I1 , LL , ΓLN = I N r r ΓC = ∫ u • dL = ∫ Ω n dA = ∫ Ω n dA + L + ∫ Ω n dA