概率论与数理统计 独立事件
概率与统计中的事件独立性
概率与统计中的事件独立性概率与统计是数学领域中重要的分支之一，它研究的是事物发生的可能性以及事物之间的关联程度。
在概率与统计中，事件独立性是一个重要的概念。
本文将介绍事件独立性的定义、性质以及相关的应用。
一、定义事件独立性是指在一系列随机试验中，某一事件的发生与其他事件的发生无关。
具体地说，对于两个事件A和B，如果事件A发生与否不会对事件B的发生产生任何影响，或者说事件B的发生与否不会对事件A的发生产生任何影响，那么我们称事件A和事件B是相互独立的。
二、性质1. 互逆性：如果事件A和事件B相互独立，那么事件A的补事件和事件B也相互独立。
2. 自反性：任意事件与自身都是相互独立的。
3. 偶然性：事件A和事件B相互独立，并不意味着它们是不可能发生的，它们仍然可以同时发生或者同时不发生。
4. 独立性传递性：如果事件A和事件B相互独立，事件B和事件C 相互独立，那么事件A和事件C也相互独立。
三、应用事件独立性在概率与统计中有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：1. 抛硬币：在抛硬币的过程中，每一次的抛硬币都是一个独立事件。
无论前一次抛硬币结果是正面还是反面，对于下一次抛硬币的结果都没有影响，每次抛硬币的概率仍然是50%。
2. 掷骰子：与抛硬币类似，每一次掷骰子的结果都是独立事件。
无论前一次掷骰子的点数是多少，对于下一次掷骰子的结果都没有影响。
3. 抽样调查：在进行抽样调查的时候，每一次的抽样都是独立事件。
例如，在进行市场调研时，每一次的问卷发放都是独立的，一个人接收到问卷并填写与其他人接收到问卷并填写之间没有关联性。
4. 生活中的决策：在日常生活中，我们经常需要根据过去的经验和信息做出决策。
如果我们认为某个事件的发生与其他事件是独立的，我们可以根据概率和统计的知识来进行决策。
总结起来，概率与统计中的事件独立性是一个重要的概念。
它可以帮助我们理解和分析随机事件之间的关系，并且在实际应用中有着广泛的用途。
条件概率与事件独立性21页PPT
解 观察两个小孩性别的随机试验所构成的样本空间 ={(男, 男)、(男, 女)、(女, 男)、(女, 女)}． 则
A={(男,男), (男,女), (女,男)} 表示“两个小孩中至少有一个男孩”，
B={(女,女), (男,女), (女,男)} 表示“两个小孩中至少有一个女孩}”.
显然，P(A)=P(B)=3/4．现在B已经发生，排除了有两个男孩的
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概率论与数理统计
主讲人：程述汉 苏本堂
例4 今有一张足球票，n个人都想得到，故采用抽签的办法分 配这张票，试利用乘法公式说明每人得到足球票的概率都是 1/n．
解 将外形相同的个标签让个人依次抽取，事先将足球票放在
某标签中．记Ai={第i人抽到足球票} ，则 Ai A1L Ai1Ai ．由公
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1.4.2 事件的独立性
一、事件的独立性 一般地 P(A|B)≠P(A), 即B的发生，会对A的发生产生影响，但
在某些情况下有Ｐ(A|B)＝P(A)，如：
设盒中3个白球，2个红球，从中取球两次，每次一个，就 a)不
放回取样; b)放回取样; 求下列事件的概率：
P(A)=0.2， P(B)=0.18， P(AB)=0.12，
则 P(A| B) P(AB) 0.12 0.67, P(B) 0.18
P(B | A) P(AB) 0.12 0.60, P(A) 0.2
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二、乘法公式
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若Ｐ(B)>0, 则 P(AB) = P(B)·P(A |B)
定理1 若P(A1 A2… An-1)>0，则 P(A1 A2… An)＝ P(A1 ) P(A2| A1) P(A3| A1 A2) … P(An ｜A1 A2… An-1). 证 反复应用两个事件的乘法公式，得到
概率论与数理统计 第一章-4-事件的独立性
1. P(B|A)>0， 3. P(A|B)=0 ，
2. P(A|B)=P(A)， 4. P(AB)=P(A)P(B)。
定理4.3 若两事件A、B相互独立，则 A与B, A与B, A与B也相互独立。
证明: 仅证A与 B 独立。
P(AB) P(A B) P(A AB)
概率论与数理统计
张保田 第一章 概率论的基本概念
第四节 事件的独立性
一、两事件的独立性 先看一个例子：
将一颗均匀骰子连掷两次，
设
B ={第二次掷出6点}，
A={第一次掷出6点}，
显然 P(B A) 1 P(B) 6
6
66
这就是说：已知事件A发生，并不影响事
件B发生的概率，这时称事件B独立于事件A。
= P(A) －P(AB) = P(A) － P(A) P(B)
A、B独立
=P(A)[1 －P(B)]
=P(A)P( B ),
故A与 B 独立。
二、多个事件的独立性 将两事件独立的定义推广到三个事件：
定义4.4 对于三个事件A、B、C，若
P(AB)= P(A)P(B)，
P(AC)= P(A)P(C) ,
例如：
甲、乙两人向同一目标射击，记 A={甲命中}, B={乙命中}，A与B是否独立？
由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，
故认为A、B独立 。
(即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率)。
再如： 一批产品共n件，从中抽取2件，设
A1={第1件是合格品}， A2={第2件是合格品} (1) 若抽取是有放回的, 则A1与A2独立。
P(B A) P(B) P(AB) P(B)
P( A)
概率论与数理统计第6节 随机事件的独立性和伯努利概型
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练习答案
3.解 (2)设每人射击 n次，Ai表示“甲第 i次击中目标”， Bi表示“乙第 i次击中目标”， i 1,2,.n,
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客人们不知布丰先生要干什么，只好客随主意， 一个个加入了试验的行列。一把小针扔完了，把 它捡起来又扔。而布丰先生本人则不停地在一旁 数着、记着，如此这般地忙碌了将近一个钟头。 最后，布丰先生高声宣布：“先生们，我这里记 录了诸位刚才的投针结果，共投针2212次，其 中与平行线相交的有704次。总数2212与相交数 704的比值为3.142。”说到这里，布丰先生故 意停了停，并对大家报以神秘的一笑，接着有意 提高声调说：“先生们，这就是圆周率π的近似 值！”
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d
d/2
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一、两个事件的独立性
定义1 设A, B是两个事件，且 P(B) 0,若 P(A B) P(A),
则称事件A与B相互独立。
根据条件概率公式，有：P(A B)=
P( AB) P(B)
如果A与B相互独立，有 P(A B) P(A),
结论若A1, A2 ,, An相互独立，则将这 n个事件中若干个 Ai换作对立事件，则所得 的n个事件仍然是独立事件 。
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二、多个事件的独立性
例2 三人独立地破译一份密码，已知各人能 译出的概率分别为1 ，1 ，1 ，求这密码能被破译的概率。
534
解1 设Ai 第i个人译出密码 ，i 1,2,3, B 密码能被破译 ，显然B A1 A2 A3, 于是有
概率论与数理统计：事件的独立性与相关性.ppt
例5 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人 击中的概率分别为 0.4, 0.5, 0.7, 飞机被一人击中 而被击落的概率为0.2 ,被两人击中而被击落的概 率为 0.6 , 若三人都击中飞机必定被击落, 求飞机 被击落的概率.
解 设 Ai 表示有 i 个人击中飞机, A, B, C 分别表示甲、乙、丙击中飞机 ,
系统由元件组成,常见的元件连接方式：
串联 并联
1
2
1
2
例6 一个元件(或系统)能正常工作的概率称为 元件(或系统)的可靠性.如图所示,设有 4 个独立 工作的元件1,2,3,4 按先串联再并联的方式联结 ( 称为串并联系统) ,设第 i 个元件的可靠性为 pi ( i 1,2,3,4). 试求系统的可靠性.
证明 不妨设A.B独立,则
P( AB ) P( A B ) P( A ) P( AB ) P( A ) P( A )P( B ) P( A )(1 P( B )) P( A )P( B )
其他类似可证. 注意: 判断事件的独立性一般有两种方法:
① 由定义判断,是否满足公式; ② 由问题的性质从直观上去判断.
有必然联系
AB
推论1: A.B为两个事件,若P(A)>0, 则A与B独立等价于P(B|A)=P(B). 若P(B)>0, 则A与B独立等价于P(A|B)=P(A).
证明：A.B独立<=>P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)
<=>P(B|A)=P(B)
推论2:在 A与 B, 与A B,A与 ，B与 A这四B 对事件中, 若有一对独立,则另外三对也相互独立。
第五节 事件的独立性与相关性
一、两个事件的独立性与相关性 二、有限个事件的独立性 三、相互独立事件的性质 四、Bernoulli概型 五、小结
概率论与数理统计完整公式
概率论与数理统计完整公式概率论与数理统计是数学的一个分支，研究随机现象和随机变量之间的关系、随机变量的分布规律、经验规律及参数估计等内容。
在概率论与数理统计的学习中，有许多重要的公式需要掌握。
以下是概率论与数理统计的完整公式。
一、概率论公式：1.全概率公式：设A1，A2，…，An为样本空间S的一个划分，则对任意事件B，有：P(B)=P(B│A1)·P(A1)+P(B│A2)·P(A2)+…+P(B│An)·P(An)2.贝叶斯公式：对于样本空间S的一划分A1，A2，…，An，其中P(Ai)>0，i=1,2，…，n，并且B是S的任一事件，有：P(Ai│B)=[P(B│Ai)·P(Ai)]/[P(B│A1)·P(A1)+P(B│A2)·P(A2)+…+P (B│An)·P(An)]3.事件的独立性：若对事件A，B有P(AB)=P(A)·P(B)，则称事件A，B相互独立。
4.概率的乘法公式：对于独立事件A1，A2，…，An，有：P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)5.概率的加法公式：对事件A，B有：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)6.条件概率的计算：对事件A，B有：P(A，B)=P(AB)/P(B)7.古典概型的概率计算：设事件A在n次试验中发生k次的次数服从二项分布B(n,p)，则其概率可表示为：P(X=k)=C(n,k)·p^k·(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)=n!/[k!(n-k)!]二、数理统计公式：1.样本均值的期望和方差：样本的均值X̄的期望和方差分别为： E(X̄) = μ，Var(X̄) = σ^2 / n，其中μ 为总体的均值，σ^2 为总体方差，n 为样本容量。
2.样本方差的期望：样本方差S^2的期望为：E(S^2)=σ^2，其中σ^2为总体方差。
1.5独立性及伯努利概型 《概率论与数理统计》课件
n 个事件相互独立，则必须满足 2n n1个等式.
显然 n 个事件相互独立，则它们中的任意
m （2 mn）个事件也相互独立.
2.事件独立性的性质
定理1.5.1 四对事件{A、B}，{ A , B }，{A，B }、
{ A 、B }中有一对相互独立，则其它三对也相互独立.
证明 不失一般性.设事件 A 与 B 独立，仅证 A 与 B
相互独立，其余情况类似证明 因为 P ( A B ) P ( B A ) P ( B A ) P B ( B ) P ( A )B
又 A 与 B 独立，所以 P (A)B P (A )P (B )
从而 P ( A B ) P ( B ) P ( A ) P ( B ) P ( B ) 1 P ( ( A ) P ) ( A ) P ( B ) 所以， A 与 B 相互独立.
AB=｛（男、女），（女、男）｝
于是
P(A)= 1 , P(B)= 3 , P(AB)= 1
2
4
2
由此可知 P(AB) P(A) P(B).
所以 A与B 不独立.
2）有三个小孩的家庭，样本空间Ω=｛（男、
男、男），（男、男、女），（男、女、男），
（女、男、男）（男、女、女），（女、女、男），
（女、男、女），（女、女、女）｝
= 1 P(A1A2An) = 1 P(A 1)P(A 2)P(A n)
这个公式比起非独立的场合，要简便的多，它 在实际问题中经常用到.
例1.5.6 假若每个人血清中含有肝炎病的概率为 0.4%，混合100个人的血清，求此血清中含有肝炎病 毒的概率？
解: 设 A i={第 i 个人血清中含有肝炎病毒}
概率论与数理统计的独立性与条件概率研究
概率论与数理统计的独立性与条件概率研究概率论与数理统计是数学中的重要分支，它们的研究对象是随机事件和随机变量，通过对事件和变量的概率分布进行研究，可以揭示出事件和变量之间的规律。
在概率论与数理统计的研究中，独立性和条件概率是两个重要的概念。
首先，我们来探讨概率论与数理统计中的独立性。
独立性是指两个或多个事件之间的发生与否不相互影响。
在概率论中，如果事件A和事件B是独立的，那么它们的联合概率等于各自概率的乘积。
换句话说，P(A∩B) = P(A) * P(B)。
这个公式可以用来计算两个独立事件同时发生的概率。
独立性在实际生活中有很多应用。
例如，假设有一批产品，每个产品的质量是否合格是一个独立事件。
如果每个产品合格的概率是0.9，那么同时有两个产品合格的概率就是0.9 * 0.9 = 0.81。
这个概率可以帮助我们评估产品质量的可靠性。
然而，并不是所有的事件都是独立的。
有些事件之间存在一定的关联关系，这就引出了条件概率的概念。
条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
在概率论与数理统计中，条件概率可以用来计算事件之间的依赖关系。
条件概率的计算方法是通过已知条件来确定事件发生的概率。
假设事件A和事件B之间存在依赖关系，那么在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率可以表示为P(A|B)。
根据概率的定义，P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
这个公式可以用来计算在已知事件B发生的情况下，事件A同时发生的概率。
条件概率在实际中也有广泛的应用。
例如，在医学诊断中，医生需要根据病人的症状和检查结果来判断病人是否患有某种疾病。
这时，医生会根据已知的症状和检查结果计算疾病的概率，以帮助做出正确的诊断。
除了独立性和条件概率，概率论与数理统计还包括其他重要的概念和方法，如随机变量、概率分布、期望值等等。
这些概念和方法在现代科学和工程领域中有广泛的应用。
例如，在金融领域中，概率论与数理统计可以用来对股票价格的波动进行建模和预测，以帮助投资者做出决策。
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B A
故 P ( AB) P ( A) P ( B )
由此可见两事件互斥但不独立. 两事件互斥
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两事件相互独立.
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可以证明： 特殊地，
当 P ( A) 0, P ( B) 0时，有
A与B 独立 A与B 相容( 不互斥)
或 A与B 互斥 A与B 不独立
证 若A与B 独立, 则 P ( AB) P ( A) P ( B)
P ( A) 0, P ( B) 0
P ( AB) P ( A) P ( B) 0
故 AB
即 A与B 不互斥(相容).
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理解: 若A与B互斥，则 AB =
A1 , A2 ,„, An
也相互独立
即
n个独立事件至少有一个发生的概率等于
1减去各自对立事件概率的乘积.
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若设n个独立事件 A1 , A2 ,„, An 发生的概率 分别为 p1 ,, pn , 则“ A1 , A2 ,„, An 至少有一个发生”的概率为 P(A1…An) =1- (1-p1 ) …(1-pn )
P ( B) P ( A1 A2 A100)
1 P ( A1 A2 A100 )
1 P ( A1 A2 A100) 1 P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A100)
1 [1 P ( A1 )]100
1 (1 0.004)100 1 (0.996)100 0.33
类似可以得出： “ A1 , A2 ,„, An 至少有一个不发生”的概率为
P ( A1 A2 „ An ) 1 P ( A1 ) P ( A2 ) „ P ( An )
=1- p1 … pn
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例3
若每个人血清中含有肝炎病毒的概率为 0.4%, 假设每个人血清中是否含有肝炎 病毒相互独立，混合100个人的血清， 求此血清中含有肝炎病毒的概率.
(2) 问：哪个系统的可靠性更大？
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① 系统Ⅰ. ②
第5节 事件的独立性
一、事件的相互独立性
二、几个重要定理
三、例题讲解 四、小结
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一、事件的相互独立性
(一) 两个事件的独立性
由条件概率，知
P ( AB) P ( A B) P ( B) 一般地， P ( A B) P ( A)
这意味着：事件B的发生对事件A发生的概率
有影响. 然而，在有些情形下又会出现：
P ( A B ) P ( A)
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1.引例
盒中有5个球( 3绿2红), 每次取出一个, A 第一次抽取, 取到绿球, B 第二次抽取, 取到绿球, 3 P( B) P ( B A) 5
有放回地取两次 .记
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事件的独立性在可靠性理论中的应用： 一个元件的可靠性：该元件正常工作的概率.
一个系统的可靠性：由元件组成的系统正常 工作的概率.
例4 设一个系统由2n 个元件组成，每个元件 的可靠性均为 r，且各元件能否正常工作 是相互独立的.
(1) 求下列两个系统Ⅰ和Ⅱ的可靠性；
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3. n 个事件的独立性
定义 若事件 A1，A2 ，… ，An 中任意两个事件 相互独立，即对于一切 1 ≤i< j ≤n, 有
P ( Ai A j ) P ( Ai ) P ( A j )
则称A1，A2， An两两相互独立.
定义 设 A1，A2 ，… ，An为n 个事件， 若对于任意k(1≤k≤n), 及 1≤i 1< i 2< · · · < i k ≤n
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两个结论
1. 若事件 A1 , A2 , , An ( n 2) 相互独立 , 则 其中任意 k ( 2 k n)个事件也是相互独立 .
2 . 若 n 个 事 件 A1 , A2 , , An ( n 2)相 互 独 立 , 则 将 A1 , A2 , , An 中 任 意 多 个 事 件 换 成 们 它的 对 立事件 , 所 得 的n 个 事 件 仍 相 互 独 立 . (独 立 性 关 于 运算封闭 )
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结论的应用
n 个独立事件和的概率公式:
设事件 A1 , A2 , „, An相互独立,则
P( A1 A2 An ) 1 P ( A1 A2 „ An）
1 P ( A1 A2 „ An )
1 P ( A1 ) P ( A2 ) „ P ( An )
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由于 甲，乙同时射击，甲击中敌机并不影 响乙击中敌机的可能性，所以 A与B独立, 进而 A 与 B 独立.
C A B AB
P (C ) 1 P (C )
1 P( A)P( B ) 1 [1 P ( A)][1 P ( B)] 1 (1 0.6)(1 0.5)
B发生时，A一定不发生.
B
A
P ( A B) 0
这表明: B的发生会影响 A发生的可能性(造成
A不发生), 即B的发生造成 A发生的概率为零. 所以A与B不独立.
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3.性质
(1) 必然事件 及不可能事件与任何事件A 相互独立. 证 ∵ A=A, P()=1
则有
它表示 A 的发生并不影响B 发生的可能性大小 . 若 P ( A) 0，则
P ( B A) P ( B)
P ( AB ) P ( A) P ( B )
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2. 定义
设 A, B 是两事件 , 如果满足等式 P ( AB) P ( A) P ( B )
则 P ( AB) P ( A) P ( B ).
由此可见 两事件相互独立但两事件不互斥 . 两事件相互独立 两事件互斥.
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又如：
1 1 若 P ( A) , P ( B ) (如图) 2 2
则 P ( AB) 0,
1 P ( A) P ( B ) , 4
P ( A) P ( A) P ( B) P ( A)[1 P ( B)] P ( A) P ( B )
③ A B A B (对偶律)
P ( A B ) P ( A B)
1 P ( A B)
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1 P ( A B)
2º 独立与互斥的关系 这是两个不同的概念.
独立是事 互斥是事 件间的概 件间本身 率属性 的关系
两事件相互独立 P ( AB ) P ( A) P ( B ) 二者之间没 有必然联系 两事件互斥 AB 例如
B
AB A
1
1
1 1 若 P ( A) , P ( B ) , 2 2
∴ P(A) = P(A)=1• P(A)= P() P(A)
即 与A独立.
∵ A=, P()=0
∴ P(A) = P()=0= P() P(A) 即 与A独立.
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(2) 若事件A与B相互独立, 则以下三对事件 也相互独立. ① 注 称此为二事件的独立性 关于逆运算封闭.
解 记 Ai {第i个人的血清含有肝炎病 毒}
(i = 1,2,
则
,100)
B {100个人的混合血清中含有 肝炎病毒 }
P ( Ai ) 0.004
B A1 A2 A100
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依题设， A1 , A2 ,, A100相互独立
则称事件 A, B 相互独立, 简称 A, B 独立.
注. 1º若 P ( A) 0, 则
P ( B A) P ( B )
说明
P ( AB) P ( A) P ( B)
事件 A 与 B 相互独立,是指事件 A 的 发生与事件 B 发生的概率无关.
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有 P ( Ai1 Ai2 Aik ) P ( Ai1 ) P ( Ai2 ) P ( Aik )
则称A1，A2， An相互独立.
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注.
A1 , A2 ,, An相互独立 A1 , A2 ,, An两两相互独立
例2
设一个口袋里装有四张形状相同的卡 片.在这四张卡片上依次标有下列各组 数字：110，101，011，000 从袋中任取一张卡片，记 Ai {取到的卡片第i位上的数字为1} (i = 1,2,3) 证明： (1) A1 , A2 , A3两两相互独立;
A 与 B； ② A 与 B； ③ A 与 B.
证 ① A A A( B B ) AB AB
P ( A) P ( AB) P ( AB ) P ( AB ) P ( A) P ( AB)
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又∵ A与B相互独立
P ( AB ) P ( A) P ( AB)
1 [ P ( A) P ( B) P ( AB)]