圆周角练习题
九年级下册数学练习题——圆周角
九年级下册数学练习题——圆周角（1）（1）在⊙O中，如果弦AB所对的圆周角为70°，那么劣弧AB所对的圆心角是（）A．140° B．70° C．35° D．145°（2）如图,已知AB和CD是⊙O中两条相交的直径,联结AD、CB，那么α和β的关系是（）（3）如图，AC是⊙O的直径，AB、CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD．如果∠BAC=32°，则∠AOD等于（）A.16° B．32° C．48° D．64°（4）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，若∠BAD=110°，则∠BCD等于( )A．110° B.90° C.70° D.20°（5）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC、BD把四边形的四个角分成八个角，这八个角中相等的角的对数至少有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对（6）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E在BC延长线上，若∠=︒A50，则∠DCE等于（）A. 40︒B. 50︒C. 70︒D. 130︒(7)．已知：如图，∠APC=∠CPB= 60.△ABC 是 三角形.(8). 已知:如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠BOD ＝80°，求∠BAD和∠BCD 的度数.(9)．已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，AB=AC ，∠BOC=120°．求：∠ABO 的度数.（10）．如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，延长AD 交△ABC 的外接圆于E ，已知AB=6cm ，BD=2cm ，BE=2.4cm ．求DE 的长．（2）1、如图1，AB为⊙O的直径，点C、D、E均在⊙O上，则∠1+∠2=2、如图2，A、B、C为⊙O上的三点，∠ABO=65°，∠BCA=3、如图3，∠ADB=90°，∠C=30°，则∠ABD=4、如图4，A、B、C、D四点共圆，则图中相等的圆周角共有对5、如图5，∠ACB=60°，则∠AEB= ,∠AOB=6、如图6，AB为⊙O直径，∠BAC=20°，则∠D= °7、如图7，四边形ABCD为⊙O内接四边形，∠BOD=140°，则∠BCD=8、圆内接平行四边形一定是9、弦AB分圆周为1:5两部分，则弦AB所对的圆周角的度数为10、如图8，AB为⊙O直径，∠D=130°，则∠BAC=11、RT⊿ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm,则它的外接圆的圆心与顶点C的距离为12、点P（2，-3）关于原点对称点的坐标是13、点A（a,1）和点B（5，b）关于原点对称，则a+b=14、一个点到圆上的点的最大距离是13，最小距离是7，则圆的直径是14、圆O中，弦AB=6，O到AB距离是4，则圆O半径是15、圆O直径为10，弦AB=8，P为AB上一动点，则OP的取值范围是16、如图9，圆O中，弦AB=10，OE⊥弦AP于E，OF⊥弦BP于F，则EF=17、如图10，⊙O中，∠AOB=100°，则∠C=18、如图11，AB为⊙O直径，∠CAB=25°，则∠D=19、如图12，⊿ABC内接于⊙O，∠A=30°，BC=4，则⊙O直径为二、⊙O半径OA⊥OB，弦AC⊥BD于E。
圆周角定理练习题
圆周角定理练习题一、选择题1. 圆周角定理指出，圆周角的度数是它所对弧的中心角的度数的多少？A. 1/2B. 1/3C. 2倍D. 3倍2. 在圆中，如果一个圆周角的度数是30°，那么它所对的弧的中心角的度数是多少？A. 60°B. 90°C. 120°D. 180°3. 已知圆的半径为5，圆周角为40°，求该圆周角所对的弦长。
A. 4B. 5C. 8D. 10二、填空题4. 若圆周角α的度数为60°，则它所对的弧的中心角的度数为______。
5. 在圆中，如果圆周角的度数是中心角度数的一半，那么该圆周角所对的弧长是半径的______倍。
6. 已知圆的半径为r，圆周角为θ，根据圆周角定理，该圆周角所对的弦长为______。
三、判断题7. 圆周角定理只适用于圆的内部角。
（对/错）8. 如果一个圆周角的度数是90°，那么它所对的弧的中心角的度数是180°。
（对/错）9. 圆周角定理同样适用于圆的外部角。
（对/错）四、简答题10. 解释圆周角定理的含义，并给出一个实际应用的例子。
11. 如何利用圆周角定理计算圆内接四边形的对角线长度？五、计算题12. 在半径为10的圆中，有一个圆周角为60°，求该圆周角所对的弧长。
13. 已知圆的半径为8，圆周角为120°，求该圆周角所对的弦长。
14. 一个圆周角的度数是45°，求它所对的弧的中心角的度数，并计算该圆周角所对的弦长，如果圆的半径为15。
六、证明题15. 证明：如果两个圆周角所对的弧相等，那么这两个圆周角的度数也相等。
16. 证明：在同一个圆中，相等的圆周角所对的弧长也相等。
七、应用题17. 在一个半径为7的圆中，有一个圆周角为80°，求该圆周角所对的弦长，并计算该弦所对的圆心角的度数。
18. 如果在一个圆中，有一个圆周角的度数是圆心角度数的1/3，求这个圆周角的度数，如果圆心角的度数是120°。
圆周角的专项练习30题(有答案)ok
圆周角定理专项练习30题（有答案）1．如图AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，若AC=8cm，AB=10cm，OD⊥BC于点D，求BD的长．2．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=40°，∠APD=65°．（1）求∠B的大小；（2）已知AD=6，求圆心O到BD的距离．3．已知AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，D为上任意一点，E为弦BD上一点，且BE=AD，求证：△CDE为等腰直角三角形．4．如图，AB是圆O的直径，AD=DC，∠CAB=30°，AC=2．求AD的长．5．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，它们相交于点P，连接AD，BD．已知AD=BD=4，PC=6，求CD的长．6．如图，已知点C、D在以O为圆心，AB为直径的半圆上，且OC⊥BD于点M，CF⊥AB于点F交BD于点E，BD=8，CM=2．（1）求⊙O的半径；（2）求证：CE=BE．7．如图，A是以EF为直径的半圆上的一点，作AG⊥EF交EF于G，又B为AG上一点，EB的延长线交半圆于K，求证：（1）△AEB∽△KEA；（2）AE2=EB•EK．8．如图，BC是⊙O的直径，P为⊙O上一点，点A是的中点，AD⊥BC，垂足为D，PB分别与AD、AC相交于点E、F．（1）若∠BAD=36°，求∠ACB，∠ABP；（2）如果AE=3，求BE．9．如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，弦AD交BC于点E，AE=4，ED=5，（1）求证：AD平分∠BDC；（2）求AC的长；（3）若∠BCD的平分线CI与AD相交于点I，求证：AI=AC．10．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，AB=6，AC=5，求tanA的值．11．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD=60°，∠CEB=100°．求∠ADC的度数．12．已知如图，在⊙O中，弦BC平行于半径OA，AC交BO于M，∠C=25°．求∠AMB的度数．13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BD是直径，且BD=2，连接CD，求BC的长．14．已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC，且AB=5cm，求DE的长．15．已知如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=，D是BC中点，作半径是的圆经过点A和D且交AB于F，交AC于E．求∠ADF的正弦值．16．如图，在△ABC中，AB是⊙O的直径，⊙O与AC交于点D，AB=，∠B=60°，∠C=75°，求∠BOD的度数．17．如图：在⊙O中，AB是直径，∠ACB的平分线交⊙O于点D，AD=5cm．求：BD与⊙O半径的长．18．如图，AB是⊙O的直径，P是弦AC延长线上的一点，且AC=PC，直线PB交⊙O于点D，若∠BDC=30°，求∠P的度数．19．如图，△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，AB=cm，以AB为直径的⊙O交BC于点D，求CD的长？20．如图，已知AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径．（1）求证：AC•AB=AD•AE；（2）若AB=6，AC=5，AD=3，求⊙O的面积．21．如图，⊙0为四边形ABCD的外接圆，AC为⊙0的直径，CD∥AB，点E、F分别在BC和AD上，且EF经过圆心0．求证：OE=OF．22．如图，等腰三角形ABC中，以腰AB为直径的⊙O交底边BC于点D，交AC于点E，连接DE．（1）求证：BD=DE；（2）若⊙O的半径为3，BC=4，求CE的长．23．如图，已知⊙0的半径为5，AB是⊙0的直径，点C、D都在⊙0上，若∠D=30°，求AC的长．24．如下图，已知△ABC内接于⊙O，若∠C=45°，AB=4，求⊙O的面积．25．如图，⊙O的直径AB为4cm，弦AC为3cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求：①BC的长；②AD与BD的长．26．如图，⊙O为四边形ABCD的外接圆，圆心O在AD上，OC∥AB．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AC=8，AC：CD=2：1，试求⊙O的半径．27．如图，点A、B、C、D在圆上，AB=8，BC=6，AC=10，CD=4，求AD的长．28．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ACD=50°，∠ADC=45°，求∠CDB及∠CEB的度数．29．如图所示，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O于点D，点E在⊙O上．（1）若∠AOD=54°，求∠DEB的度数；（2）若DC=2，AB=8，求⊙O的直径．30．如图，已知△ABC内接于⊙O，AE平分∠BAC，且AD⊥BC于点D，连接OA．求证：∠OAE=∠EAD．参考答案：1．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°；∵OD⊥BC，∴OD∥AC，又∵AO=OB，∴OD是△ABC的中位线，即BD=BC；Rt△ABC中，AB=10cm，AC=8cm；由勾股定理，得：BC==6cm；故BD=BC=3cm2．（1）∵∠APD=∠C+∠CAB，∴∠C=65°﹣40°=25°，∴∠B=∠C=25°；（2）作OE⊥BD于E，则DE=BE，又∵AO=BO，∴，圆心O到BD的距离为3．3．连接AC、BC，由圆周角定理得∠CBE=∠CAD，∵CO⊥AB，∴点C是弧ABC的中点，∴AC=BC，又∵BE=AD∴△ACD≌△BCE，∴CD=CE．∠ADC=∠BEC，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵∠BEC=∠DCE+∠CDB，∠ADC=∠ADB+∠CDB，∴∠DCE=∠ADB=90°，即△DCE是等腰直角三角形．4．连接OD；∵D 是的中点，∴OD垂直平分AC；∴∠AOD=90°﹣∠CAB=60°；又∵OA=OD，∴△OAD是等边三角形；∴OA=AD；Rt△ABC中，∠CAB=30°，AC=2；∴AB==4，OA=2；即：AD=OA=2．故AD的长为2．5．连接AC，∵AD=BD，∴=．∵∠C=∠BAD，又∵∠ADP=∠CDA，∴△ADP∽△CDA．∴=，即AD2=CD•DP．∵AD=4，PC=6，设CD=x，则42=x（x﹣6），解得：x1=8，x2=﹣2（不合题意，舍去）∴CD=8．6．1）解：∵OC为⊙O的半径，OC⊥BD，∴；∵DB=8，∴MB=4（1分）设⊙O的半径为r，∵CM=2，∴OM=r﹣2，在Rt△OMB中，根据勾股定理得（r﹣2）2+42=r2，解得r=5；（2）证明：方法一：连接AC、CB，∵AB是直径，∴∠ACB=90°．∴∠ACF+∠FCB=90°．又∵CF⊥AB，∴∠CAF+∠ACF=90°∴∠FCB=∠CAF∵OC为⊙O的半径，OC⊥BD，∴C 是的中点，∴∠CAF=∠CBD．∴∠FCB=∠DBC．∴CE=BE；方法二：如图，连接BC，补全⊙O，延长CF交⊙O于点G；又∵CF⊥AB，AB为直径，∴=．∴OC为⊙O的半径，OC⊥BD．∴C 是的中点，∴=．∴=．∴∠FCB=∠DBC．∴CE=BE．7．（1）连接AK、AF，∴∠K=∠F=90°﹣∠AEF=90°﹣∠AEG．∠EAG=90°﹣∠AEG．∴∠K=∠EAG∠KEA=∠AEB．∴△AEB∽△KEA．（2）由①得△AEB∽△KEA，∴．∴AE2=EB•EK．8．（1）因为BC是⊙O的直径所以∠CAB=90°所以∠ABD+∠ACB=90°因为AD⊥BC所以∠ABD+∠BAD=90°所以∠ACB=∠BAD=36°因为A 是的中点，则所以∠ABP=∠ACB=36°．（2）因为∠ABP=∠ACB，∠BAD=∠ACB所以∠ABP=∠BAD因为AE=3所以BE=3．9．（1）∵AB=AC，∴；∴AD平分∠BDC；解：（2）∵∠ACB=∠ADB，∠CDA=∠ADB，∴∠CDA=∠ACB；∵∠CAE=∠DAC，∴△ACE∽△ADC；∴，即；∴AC=6；证明：（3）∠AIC=∠ADC+∠DCI，∠ACI=∠BCI+∠ACB；∴∠AIC=∠ACI；∴AI=AC．10．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，AC=5，∴BC===．∴tanA==．11．连接BC．∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠ACD=60°，∴∠BCE=30°，∵∠CEB=100°，∴∠B=50°，∴∠ADC=∠B=50°．12．∵BC∥OA，∠C=25°，∴∠A=∠C=25°，在⊙O中，∵∠O=2∠C，∴∠O=50°，又∵∠AMB=∠A+∠O，∴∠AMB=75°13．在⊙O中，∵∠A=45°，∠D=45°，∵BD为⊙O的直径，∴∠BCD=90°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BC=BD•sin45°，∵BD=2，∴14．连接AE，BD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵DE∥AC，∴∠ADE=∠CAD，∴∠ADE=∠BAD，∴AE=BD，∴AB=DE，∵AB=5cm，∴DE=5cm15．连接EF，ED（1分）在△ABC中∵AB=AC，∠BAC=90°，BD=CD，∴AD=，∠DAF=∠DCE=45°，∠ADC=90°，∴∠ADE+∠EDC=90°，在⊙O中，∵∠BAC=90°，∴EF是⊙O的直径，（3分）∴∠FDE=90°，∴∠FDA+∠ADE=90°，∴∠EDC=∠FDA，∴△EDC≌△FDA，∴AF=CE，（4分）设AF=x，则CE=x，AE=AC﹣CE=﹣x，∵⊙O 的半径是，∴EF=，在Rt△AEF 中，，解得，∠ADF=∠AEF，（5分）∴当x=1时，sin∠ADF=sin∠AEF==，当x=时，sin∠ADF=sin∠AEF==，∴∠ADF 的正弦值为或．16．在△ABC中，∵∠B=60°，∠C=75°，∴∠A=45°．∵AB是⊙O的直径，⊙O与AC交于点D，∴∠DOB=2∠A=90°．故答案为：90°17．∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，∴∠ACD=∠BCD，∴AD=BD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∵AD=5cm，∴BD=5cm；在Rt△ABD中，2AD2=AB2，∴AB=5cm，∴圆的半径为cm．18．连接BC，∵AB是直径，∴BC⊥AC，（2分）∵AC=CP，∴AB=BP，（3分）∴∠P=∠A，（4分）∵∠A=∠D=30°，（5分）∴∠P=30°．19．连接AD．（1分）∵AB是⊙O的直径．∴∠ADB=90°．（3分）在Rt△ADB中，AD=AB•sinB=2sin45°=2×=2（6分）在Rt△ADC中，CD=，即CD 的长为m．20．（1）证明：连接BE，∵AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径，∴∠ADC=∠ABE=90°，∵∠C=∠E，∴△ADC∽△ABE．∴AC：AE=AD：AB，∴AC•AB=AD•AE；（2）解：∵AB=6，AC=5，AD=3，∴AE===10，∴OA=5，∴⊙O的面积为：π×52=25π21．∵AC为⊙0的直径，∴∠B=∠D=90°，∵CD∥AB，∴∠B+∠BCD=180°，∴∠BCD=90°，∴∠BCD+∠D=90°，∴AD∥BC，∴∠FAO=∠ECO，在△AOF和△COE中，，∴△AFO≌△CEO（ASA），∴OE=OF22．（1）证明：连接AD，∵AB为圆O的直径，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴D为BC的中点，即BD=CD，∵∠DEC为圆内接四边形ABDE的外角，∴∠DEC=∠B，∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠DEC=∠C，∴DE=DC，∴BD=DE；（2）解：∵∠DEC=∠B，∠C=∠C，∴△DEC∽△ABC，∴=，即=，则EC=．23．连接BC．∵AB是⊙0的直径，∴∠ACB=90°，在直角△ABC中，∠A=∠D=30°，AB=2×5=10．∴AC=AB•cosA=10×=5．24．连接OA，OB；则OA=OB，∠AOB=2∠C；（2分）∵∠C=45°，∴∠AOB=90°，∴OA2+OB2=AB2；（4分）又∵AB=4，∴2OA2=42，OA2=8；（6分）∴S⊙O=π•OA2=8π．25．①∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∵AB=4，AC=3，∴BC===；②∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD=45°，∵∠ABD=∠ACD，∠BCD=∠BAD，∴∠DAB=∠DBA=45°，∴AD=DB，∵AD2+BD2=AB2，∴AD=DB=2，26．（1）证明：∵OC∥AB，∴∠OCA=∠CAB，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠OAC=∠CAB，即AC平分∠DAB；（2）解∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°，∵AC=8，AC：CD=2：1，∴CD=4，在Rt△ACD中，AD==4，∴OA=AD=2，∴⊙O的半径为2．27．△ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，∴AC2=AB2+BC2，∴∠B=90°，∴AC为直径，∴∠D=90°，Rt△ADC中，AD====2．∴AD的长为2．28．连接BC，则∠ACB=90°（圆周角定理），∵∠CBA=∠ADC=45°，∴∠CAB=90°﹣∠CBA=45°（直角三角形的两个锐角互余）；∴∠CEB=∠CAB+∠ACD=45°+50°=95°（外角定理）．∠CDB=∠CAB=45°．综上可得：∠CDB=45°，∠CEB=95°29．（1）∵OD⊥AB∴弧AD=弧BD∴∠DEB=∠AOD=×54°=27°…3分（2）∵OD⊥AB∴AC=AB=×8=4设⊙O的半径为R，则OC=R﹣2在Rt△AOC中，由勾股定理得：42+（R﹣2）2=R2解得：R=5∴⊙O的直径为1030．连接OE，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE=∠CAE，∴=，∴OE⊥BC，∵AD⊥BC，∴OE∥AD，∴∠OEA=∠EAD，∵OA=OE，∴∠OEA=∠OAE，∴∠OAE=∠EAD．11。
圆周角习题精选
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圆周角 习题精选一、选择题1．如图,⊙O 的两弦AD ，BC 相交于点E ，连接AC ，BD ，AO,BO 。
若∠ACB=60°，则下列结论正确的是（）A ．∠AOB=60°B ．∠ADB=60°C ．∠AEB=60°D ．∠AEB=30°2．如图⊙O 中弦AB 所对的圆心为40°，那么弦所对的圆周角为（） A ．20° B ．80°C ．20°或160°D ．80°或100°3．在△ABC 中，AC=24,BC=10，AB=26，则圆的半径是（） A ．26 B ．13 C ．8 D ．44．如图,A,B,C,D 是⊙O 上四个点，AB ，DC 的延长线交于E 点，,分别为100°，30°，则∠E 的度数为（)A ．70°B ．35°C ．60°D ．30°A DB C5.如图，A,B ，C,D 是⊙O 上四个点,AB ，DC 的延长线交于E 点，，分别为100°,30°,则∠E 的度数为(）A.70°B.35° C 。
60° D.30°6．如图，在⊙O 中，弦AD=CD ，则图中相等的圆周角的对数是（) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8二、填空题1．如图，A ，B ，C 为⊙O 上三点，如果∠OAB=46°，则∠ACB=____________．A D BC2．如图，⊙O 上B,D 两点位于弦AC 的两侧，。
圆周角习题精选
圆周角习题精选阶段测试一、选择题1．在⊙O中，∠AOB=84°，则弦AB所对的圆周角是___________．[ ] A．42°；B．138°；C．84°；D．42°或138°．2．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD把四边形的四个角分成八个角，这八个角中相等的角的对数至少有___________．[ ]A．1对；B．2对；C．3对；D．4对．3．如图，AC是⊙O的直径，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB∥C D．如果∠BAC=32°，则∠AOD=___________．[ ]A．16°；B．32°；C．48°；D．64°．二、计算题4．如图，AD是△ABC外接圆的直径，AD=6cm，∠DAC=∠AB C．求AC的长．5．已知：△DBC和等边△ABC都内接于⊙O，∠BCD=75°（如图）．求∠ABD、∠DBC的度数．6．如图，圆内接△ABC的外角∠MAB的平分线交圆于E，EC=8cm．求BE的长．7．如图，等腰三角形ABC的顶角为50°，AB=AC，以AB为直径的圆交AC、BD与点E、D，连接DE，1、求角EDC的度数2、证明：BD=BC8．如图，AB是⊙O的直径，AB=2cm，点C在圆周上，且∠BAC=30°，∠ABD=120°，CD⊥BD于D．求BD的长．9．如图，△ABC中，∠B=60°，AC=3cm，⊙O为△ABC的外接圆．求⊙O的半径．10．已知等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10cm，求它的外接圆半径．22．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，延长AD交△ABC的外接圆于E，已知AB=a，BD=b，BE=c．求AE的长．23．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，延长AD交△ABC的外接圆于E，已知AB=6cm，BD=2cm，BE=2．4cm．求DE的长．24．如图，梯形ABCD内接于⊙O，AB∥CD，的度数为60°，∠B=105°，⊙O的半径为6cm．求BC的长．25．已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=4cm，E为OB的中点，弦CD⊥AB于E．求CD的长．26．如图，AB为⊙O的直径，E为OB的中点，CD为过E点并垂直AB的弦．求∠ACE的度数．27．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=38°，以C为圆心，BC为半径作圆，交AB于D，求的度数．28．如图，△ABC内接于圆O，AD为BC边上的高．若AB=4cm，AC=3cm，AD=2．5cm，求⊙O的半径．29．设⊙O的半径为1，直径AB⊥直径CD，E是OB的中点，弦CF过E点（如图），求EF的长．30．如图，在⊙O中直径AB，CD互相垂直，弦CH交AB于K，且AB=10cm，CH=8cm．求BK∶AK的值．31．如图，⊙O 的半径为40cm ，CD 是弦，A 为的中点，弦AB 交CD 于F ．若AF =20cm ，BF =40cm ，求O 点到弦CD 的弦心距．32．如图，四边形ABCD 内接于以AD 为直径的圆O ，且AD =4cm ，AB =CB =1cm ，求CD 的长．三、证明题33．如图，已知△ABC 内接于半径为R 的⊙O ，A 为锐角． 求证：ABCsin =2R34．已知：如图，在△ABC 中，AD ，BD 分别平分∠BAC 和∠ABC ，延长AD 交△ABC 的外接圆于E ，连接BE ．求证：BE =DE ．35．如图，已知D为等边三角形ABC外接圆上的上的一点，AD交BC边于E．求证：AB为AD和AE的比例中项．36．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交BC于D．求证：D为BC 的中点．37．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC交⊙O于E．求证：AE平分∠OA D．38．已知：如图，△ABC的AB边是⊙O的直径，另两边BC和AC分别交⊙O于D，E 两点，DF⊥AB，交AB于F，交BE于G，交AC的延长线于H．求证：DF2=HF·GF．39．已知：如图，圆内接四边形ABCD中，BC=C D．求证：AB·AD+BC2=AC2．40．已知：如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是中点，DE⊥AB于E，交AC于F，DB交AC于G．求证：AF=FG．41．如图，AB是⊙O的弦，P是AB所对优弧上一点，直径CD⊥AB，PB交CD于E，延长AP交CD的延长线于F．求证：△EPF∽△EO A．42．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，M为上一点，AM的延长线交DC于F．求证：∠AMD=∠FM C．43．已知：如图，AB，AC分别为⊙O的直径与弦，CD⊥AB于D，E为⊙O外一点，且AE=AC，BE交⊙O于F，连结ED，CF．求证：∠ACF=∠AE D．44．如图，⊙O的半径OD，OE分别垂直于弦AB和AC，连结DE交AB，AC于F，G．求证：AF2=AG2=DF·GE．45．如图，△ABC内接于圆，D是AB上一点，AD=AC，E是AC延长线上一点，AE=AB，连接DE交圆于F，延长ED交圆于G．求证：AF=AG．46．已知：如图，⊙O的两条直径AB⊥CD，E是OD的中点，连结AE，并延长交⊙O 于M，连结CM，交AB于F．求证：OB=3OF．47．已知：如图，△ABC是等边三角形，以AC为直径作圆交BC于D，作DE⊥AC交圆于E．（1）求证：△ADE是等边三角形；（2）求S△ABC∶S△ADE．48．已知：如图，半径都是5cm的两等圆⊙O1和⊙O2相交于点A，B，过A作⊙O1的直D，且AD∶DC=3∶2，E为DC的中点．径AC与⊙O2交于点（1）求证：AC⊥BE；（2）求AB的长．49．如图，已知在直角三角形ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，AD是⊙O的直径，且D 点在AB上．参考答案一、选择题1．D 2．D 3．D 4．D二、计算题DE⊥直线OB于E，∠DOE=30°，应用勾股定理求出BD的长．8．9 cm或4 cm．提示：连接AC，B C．由AB为直径可知∠ACB=90°．又CD⊥AB 于D，所以CD2=AD·BD，即CD2=AD·（AB－AD）．又AB=13，CD=6，所以36=AD （13－AD），AD2－13AD+36=0，解出AD=9（cm）或AD=4（cm）．11．50°．提示：延长DF，DG分别交⊙O于C'，E'，因为∠CFA=∠DFB，∠DGA=∠EGB，所以∠CFA=∠C'FA，∠EGB=∠E'G B．因为AB为⊙O的直径，所以根据轴对称图形的性质可知为100°，就有∠FDG=50°．又因为∠DAB=∠ABC=90°．所以AC和BD为⊙O的直径．所以△APC与△BPD为直角三角形．所以PA2+ PC2= AC2，PB2+PD2=BD2，就有PA2+PB2+PC2+PD2=AC2+BD2=4．知BC//A D．所以AC=B D．又AD为直径，所以∠ABD=90°．在Rt△ABD中，AD=2R，AB=a，所以15．提示：根据圆周角度量定理有：（∠A+∠B）的度数=m°，（∠B+∠C）的度数=n°，（∠C+∠A）的度数=p°．由前面三个等式得：16．75°．提示：由BC，DF分别为⊙O的直径，可得∠A=∠DEF=90°．又AB=AC，所以∠ABC=45°．在Rt△DEF中，由EF=是240°，∠DBE=120°．所以∠ABD+∠CBE=120°－45°=75°．17．50°，50°，80°．提示：连接AD，则AD平分∠A．于D，则AD=CD，∠AOD=DO C．由∠B=60°可得∠OAD=30°．所解法二过A作直径AD，连接CD，则∠ACD=90°，∠ADC=∠ABC=60°；又知AC=3，这就容易求出A D．=90°，所以BE2=AB2－AE2=82－22=60．又因为BF∶FC=5∶1，故设BF=5x，FC=x，则BC=6x．因为EF⊥BC，所以BE2=BF·BC，解法二连接BE，则BE⊥AC，所以BE2=82－22=60．在直角三角形BCE中ABC外接圆于E，连接CE，则AD⊥BC，BD=CD=5．由垂径定理知：AE为△ABC外接圆的直径，所以∠ACE=90°．在Rt△ADC中，AD=23．0.8 cm．提示：只需证明△ABE∽△BDE．CE．26．60°．提示：连接OC，B C．只需证明△OCB为等边三角形，则∠ABC=60°，而∠ACB=90°，所以∠CAB=30°，即可求出∠ACE=60°．27．76°．提示：延长BC交⊙C于E，连接DE，只需证明∠28．2.4 cm．提示：连接AO并延长交⊙O于E，则AE为⊙O4.8．所以⊙O的半径为2.4（cm）．30．7∶1．提示：连接H D．只需证明△CKO∽△CDH．所以31．25 cm．提示：连接AO并延长交⊙O于E，则AE为⊙OCD，OM就是CD的弦心距．只需证明△AMF∽△ABE，由此得32．3.5cm．提示：解法一连接OB交弦AC于G．连接B D．只需证明△ABG∽△DA B．由此求出AG，进而求出OG，而CD=2OG．解法二设AB的延长线与DC的延长线相交于点E，在△BCE和△OAB中，∠BCE=∠OAB，∠EBC=∠D=2∠ADB=∠BO A．所以△BCE∽△OAB，从而BC∶CE=OA∶A B．所以CE=三、证明题33．提示：作直径BD，连接CD，则∠BCD=90°，且∠A=∠D．在34．提示：只需证明∠BDE=∠DBE．证明时利用三角形外角定理及圆周角定理的推论．35．提示：连接B D．只需证明△ABE∽△AD B．36．提示：连接A D．37．提示：证法一延长AO交⊙O于M，延长AD交⊙O于N．连证法二过A作直径AM，连接MB，则∠AMB=∠ACB，又∠ABM=∠ADC=直角，所以∠BAM=∠DAC，从而AE平分∠OA D．·GF=BF·AF．再根据射影定理得DF2=AF·FB，所以DF2=HF·GF．39．提示：连接BD交AC于E．只需证明△BEC∽△ABC∽△AC·AE=AC（AC－EC）=AC2－AC·E C．40．提示：连接A D．由AB为直径得∠ADB=90°．再由DE⊥∠ADE，∴AF=DF．这就容易证出AF=FG．41．提示：∠AEO=（∠BEO）=∠FEP，∠OAE=（∠AOC－∠AEO=∠APB－∠FEP）=∠F．42．提示：连接M B．因为AB是⊙O的直径，所以∠AMB=∠从而∠AMD=∠FM C．43．提示：连接B C．因为AB为⊙O直径，所以∠ACB=90°．因为CD⊥AB于D，所以AC2=AD·A B．又因为AE=AC，所以△ADE，就有∠AED=∠ABE=∠ACF．44．提示：连接AD，AE，应用三角形外角定理，先证明∠AFG=AF·AG=DF·GE，就有AF2=AG2=DF·GE．45．提示：先证明△ABC≌△AED，连接BF，则∠G=∠ADF－∠GAB=∠ACB－∠GFB=∠AFG，所以AF=AG．46．提示：设⊙O的半径长为1．连接M D．显然△CAE∽△OF．47．（1）提示：在△ADE中，∠ADE=60°，∠DEA=∠DCA=60°．所以△ADE是一个等边三角形．48．（1）提示：连接BD，B C．因为⊙O1与⊙O2是等圆，又因为E为DC中点，所以BE⊥A C．所以AD=6，DC=4，所以DE=2，AE=8．因为AC为⊙O1直径，所以∠ABC=90°，又因为BE⊥AC，所以AB2=AE·AC=80，得出AB=49．（1）提示：连接E D．因为AD为直径，所以∠AED=90°．又ACB=90°，CD⊥AB，所以AC2=AD·AB，BC2=AB·BD，由此（2）2∶1．提示：AE∶CE=AD2∶CD2=2∶1．。
圆周角定理练习题
圆周角定理练习题一、选择题1. 在圆中，若弦AB的长是8cm，弦CD的长是6cm，且AB与CD 平行，则圆周角ACB的度数是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°2. 在半径为5cm的圆中，若一个圆周角所对的弧长是10π cm，则这个圆周角的度数是（）A. 90°B. 120°C. 150°D. 180°3. 下列关于圆周角的说法，错误的是（）A. 圆周角等于其所对弧的一半B. 同弧或等弧所对的圆周角相等C. 圆周角定理是圆内接四边形的性质D. 圆周角等于圆心角的一半二、填空题1. 在圆中，若一个圆周角是40°，则它所对的弧是______。
2. 在圆中，若一个圆心角是80°，则它所对的圆周角是______。
3. 在圆中，若两个圆周角相等，那么它们所对的______相等。
三、解答题1. 在圆中，已知弦AB的长是10cm，弦CD的长是8cm，且AB与CD平行。
求圆周角ACB和CDB的度数。
2. 在半径为6cm的圆中，已知一个圆周角是120°，求它所对的弧长。
3. 在圆中，已知一个圆周角是60°，求它所对的圆心角的度数。
4. 证明：在圆中，若两个圆周角相等，那么它们所对的弧相等。
5. 画出圆，并在圆中作出一个圆周角和一个圆心角，使它们相等。
标出角的大小。
四、判断题1. 在同一个圆中，所有的圆周角都相等。
（）2. 如果一个圆周角是直角，那么它所对的弧一定是半圆。
（）3. 圆周角定理表明，圆周角的度数是圆心角度数的一半。
（）4. 任何圆的直径所对的圆周角都是直角。
（）5. 如果两个圆周角所对的弧相等，那么这两个圆周角一定相等。
（）五、作图题1. 在圆中，作一个圆周角，使其度数为45°，并标出它所对的弧。
2. 在圆中，作一个圆心角，使其度数为135°，并标出它所对的圆周角。
新人教版数学九年级上册24.1.4圆周角课时练习(解析版)
新人教版数学九年级上册24.1.4圆周角课时练习一、选择题1、在⊙O中，同弦所对的圆周角（）A、相等B、互补C、相等或互补D、都不对2、如图，在⊙O中，弦AD=弦DC ，则图中相等的圆周角的对数是（）A、5对B、6对C、7对D、8对3、下列说法正确的是（）A、顶点在圆上的角是圆周角B、两边都和圆相交的角是圆周角C、圆心角是圆周角的2倍D、圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半4、下列说法错误的是（）A、等弧所对圆周角相等B、同弧所对圆周角相等C、同圆中，相等的圆周角所对弧也相等D、同圆中，等弦所对的圆周角相等5、如图，AB和CD都是⊙O的直径，∠AOC=50°，则∠C的度数是（）A、20°B、25°C、30°D、50°6、如图，已知CD为⊙O的直径，过点D的弦DE平行于半径OA ，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是（）A、25°B、40°C、30°D、50°7、在⊙O中，同弦所对的圆周角( )A、相等B、互补C、相等或互补D、都不对8、下列说法正确的是( )A、顶点在圆上的角是圆周角B、两边都和圆相交的角是圆周角C、圆心角是圆周角的2倍D、圆周角度数等于它所对圆心角度数的一半9、如图，把一个量角器放在∠BAC的上面，请你根据量角器的读数判断∠BAC的度数是( )A、30°B、60°C、15°D、20°10、如图，A、B、C是⊙O上的三点,∠ACB=30°,则∠AOB等于( )A、75°B、60°C、45°D、30°11、用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？( )A、B、C、D、12、已知A、C、B是⊙O上三点，若∠AOC=40°，则∠ABC的度数是( )A、10°B、20°C、40°D、80°13、如图24-1-4-17所示，AB为⊙O的直径，P、Q、R、S为圆上相异四点，下列叙述正确的是( )A、为锐角B、为直角C、为钝角D、二、填空题14、如图,已知A、B、C、D、E均在⊙O上,且AC为⊙O的直径,则∠A+∠B+∠C=________度.15、如图24-1-4-5，OB、OC是⊙O的半径，A是⊙O上一点，若已知∠B=20°，∠C=30°，则∠A=________.16、在半径为1的⊙O中，弦AB、AC分别是和，则∠BAC的度数是________.17、如图24-1-4-16所示，AB是⊙O的直径，C、D、E都是⊙O上的点，则∠1＋∠2=________.18、如图，在⊙O中，△ABC是等边三角形，AD是直径，则∠ADB=________°,∠ABD=________°19、如图，OE、OF分别为⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF ，那么________（只需写一个正确的结论）.20、圆周角是24度，那么它所对的弧是________度.三、解答题21、如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10 cm，弦AC=6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D ，求BC、AD 和BD的长.22、如图(1)，已知△ABC是等边三角形，以BC为直径的⊙O交AB、AC于D、E.求证：(1)△DOE是等边三角形.(2)如图(2)，若∠A=60°，AB≠AC ，则(1)中结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由.23、四边形ABCD中，AB∥DC ，BC=b，AB=AC=AD=a，如图24-1-4-11，求BD的长.图24-1-4-1124、在足球比赛中，甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点，如图24-1-4-12.此时，甲自己直接射门好，还是迅速将球传给乙，让乙射门好？25、如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC ，交AC于D ，BC=4 cm.(1)求证：AC⊥OD；(2)求OD的长；答案解析部分一、选择题1、【答案】C【考点】圆周角定理【解析】【解答】同弦所对的圆周角有两个不同的度数，它们互补.因此同弦所对的圆周角相等或互补. 【分析】此题考查了圆周角定理，要考虑全面.2、【答案】D【考点】圆周角定理【解析】【解答】先找同弧所对的圆周角：弧AD所对的∠1=∠3；弧DC所对的∠2= ∠4；弧BC所对的∠5=∠6；弧AB所对的∠7=∠8.找等弧所对的圆周角，因为弧AC=弧DC ，所以∠1=∠4，∠1=∠2，∠4=∠3，∠2=∠3.由上可知，相等的圆周角有8对.【分析】在同圆或等圆中，判断两个圆周角是否相等，即看它们所对的弧是否相等，因等角对等弧，等弧对等角.3、【答案】D【考点】圆周角定理【解析】【解答】本题考查圆周角和圆心角的联系，解决本题的关键为在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半.【分析】此题考查了圆周角定理.4、【答案】D【考点】圆周角定理【解析】【解答】同圆或是等圆中才存在等弦所对的圆周角相等或互补.【分析】此题考查了原周角定义，本题为常考题，容易弄错的是在同圆中等弦所对的圆周角相等，而忽略还有互补.5、【答案】B【考点】圆周角定理【解析】【解答】同弧所对的圆心角等于所对圆周角的二倍，∠AOC的对顶角∠BOD也为50度，弧BD所对的圆周角为∠C，所对的圆心角为∠BOD，∠BOD为∠C的二倍，故选B选项.【分析】此题考查了圆周角和圆心角的相互联系.6、【答案】A【考点】平行线的性质，圆周角定理【解析】【解答】根据两直线平行内错角相等和同弧所对的圆心角等于所对圆周角的二倍，可以得到∠C 的度数是25度.【分析】此题考查了圆周角定义.7、【答案】C【考点】圆周角定理【解析】【解答】同圆或是等圆中等弦所对的圆周角相等或互补.【分析】此题考查了圆周角定义，要考虑全面.8、【答案】D【考点】圆周角定理【解析】【解答】根据圆周角的定义做题，考察圆周角和圆心角的联系，记住圆周角的度数等于它所对圆心角的一半.【分析】此题考查了圆周角定义，审题一定要仔细，结合基础知识做题.9、【答案】C【考点】圆周角定理【解析】【解答】根据圆周角和圆心角的关系解决问题，根据量角器我们可以读出∠BOC的度数为30度，∠BOC为圆心角，∠BAC为圆周角，他们是二倍的关系，故选择C选项.【分析】此题考查了圆周角定义，利用圆心角去推出圆周角的度数.10、【答案】B【考点】圆周角定理【解析】【解答】根据圆周角和圆心角的关系解决问题，弧AB所对的圆心角和圆周角分别为∠AOB和∠ACB，圆心角为圆周角的二倍，故本题选择B选项.【分析】此题考查了圆周角和圆心角的联系，做题时要注意利用所给的条件结合图像去发现所求问题和所给条件之间的相互联系.11、【答案】B【考点】圆周角定理【解析】【解答】A和C中的直角显然不是圆周角，因此不正确，D中的直角只满足圆周角的一个特征，也不是圆周角，因而不能判断是否为半圆形.选B.【分析】本题考查圆周角定理的推论及圆周角定义在实际生产中的应用.认真观察图形，可得只有B符合定理的推论.实际问题应读懂题意，看懂图形.12、【答案】B【考点】圆周角定理【解析】【解答】根据圆周角和圆心角的关系解决问题，由“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”解答.【分析】此题考查了原周角和圆心角的联系.13、【答案】B【考点】圆周角定理【解析】【解答】AB为直径，根据直径所对的圆周角是直角，所以∠APB、∠AQB、∠ARB、∠ASB都是直角,由于四个角都是直角，所以∠ASB=∠ARB=90°.【分析】直径所对的圆周角等于90度.二、填空题14、【答案】90【考点】圆周角定理【解析】【解答】所求的弧等于半圆周的一半，即90度，∠A随对的弧加上∠B所对的弧加上∠C所对的弧等于弧AC ，弧AC所对的圆心角为180度，所以所对的圆周角为90度.【分析】根据圆周角的定义做题，注意圆心角和圆周角之间的相互联系.15、【答案】50°【考点】圆周角定理【解析】【解答】连结AO ，则AO=OB ，OA=OC ，所以∠A=∠B+∠C=20°+30°=50°.【分析】根据圆周角的定义做题，注意作好辅助线，利用半径相等构造等腰三角形，然后转化角度. 16、【答案】15°或75°【考点】勾股定理，圆周角定理【解析】【解答】图(1)和图(2)，分两种情况，作直径AD ，连结BD ，易知∠BAD=30°，∠CAO=45°，∴∠BAC=15°或75°.图1 图2【分析】根据圆周角的定义做题，要考虑全面.17、【答案】90°【考点】等边三角形的性质，圆周角定理【解析】【解答】∠1所对的弧是弧AE，∠2所对的弧是弧BE ，而弧AE＋弧BE=弧AB是半圆，因此连结AD ，∠ADB的度数是90°，所以∠ADB=∠1＋∠2.本题也可以连结EO ，得到圆心角∠EOA和∠EOB,而∠EOA＋∠EOB=180°，所以∠1＋∠2=90°.【分析】根据圆周角的定义做题.18、【答案】60；90【考点】圆周角定理【解析】【解答】同弧所对的圆周角相等，所以∠ADB=60度，直径所对的圆周角等于90度.【分析】根据圆周角的定义做题，要注意所给条件中等边三角形个内角的度数，及圆周角所对半圆弧的度数.19、【答案】AB=CD【考点】圆心角、弧、弦的关系【解析】【解答】在同圆或是等圆中，等弦的弦心距相等.【分析】根据弦心距做题，在同圆或是等圆中，等弦的弦心距相等.20、【答案】48【考点】圆周角定理【解析】【解答】弧的度数等于它所对的圆心角的度数，圆心角与圆周角为2倍的关系.【分析】根据圆周角和圆心角的联系做题.三、解答题21、【答案】解：∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°.在Rt△ACB中，BC= = =8.∵CD平分∠ACB ，∴弧AD=弧BD.∴AD=BD.在Rt△ADB中，AD=BD= AB=5 (cm).【考点】勾股定理，圆周角定理【解析】【解答】∵AB是直径，∴∠ACB=∠ADB=90°.在Rt△ACB中，BC= = =8.∵CD平分∠ACB，∴弧AD=弧BD.∴AD=BD.在Rt△ADB中，AD=BD= AB=5 (cm).【分析】已知条件中若有直径，则利用圆周角定理的推论得到直角三角形，然后利用直角三角形的性质解题.22、【答案】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°.∵OB=OC=OE=OD ，∴△OBD和△OEC都为等边三角形.∴∠BOD=∠EOC=60°.∴∠DOE=60°.∴△DOE为等边三角形.（2）解:当∠A=60°，AB≠AC时，（1）中的结论仍然成立.证明：连结CD.∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC=90°.∴∠ADC=90°.∵∠A=60°，∴∠ACD=30°.∴∠DOE=2∠ACD=60°.∵OD=OE ，∴△DOE为等边三角形.【考点】等边三角形的性质，圆周角定理【解析】【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°.∵OB=OC=OE=OD，∴△OBD和△OEC都为等边三角形.∴∠BOD=∠EOC=60°.∴∠DOE=60°.∴△DOE为等边三角形.（2）当∠A=60°，AB≠AC时，（1）中的结论仍然成立.证明：连结CD.∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC=90°.∴∠ADC=90°.∵∠A=60°，∴∠ACD=30°.∴∠DOE=2∠ACD=60°.∵OD=OE，∴△DOE为等边三角形.【分析】△ABC是等边三角形，所以∠B、∠C均为60°，利用60°的圆周角定理，可知△DOB、△EOC均为等边三角形.第二种情形类似.23、【答案】解：∵AB=AC=AD=a，∴点B、C、D到A点距离相等.故以A为圆心，以a为半径作⊙A ，并延长BA交⊙A于E ，连结DE.∵AB∥CD ，∴弧BC=弧DE.∴BC=DE=b.∵BE为⊙A的直径，∴∠EDB=90°.在Rt△EDB中，BD= = ，∴BD的长为.【考点】勾股定理，圆周角定理【解析】【解答】∵AB=AC=AD=a，∴点B、C、D到A点距离相等.故以A为圆心，以a为半径作⊙A，并延长BA交⊙A于E，连结DE.∵AB∥CD，∴弧 BC=弧DE.∴BC=DE=b.∵BE为⊙A的直径，∴∠EDB=90°.在Rt△EDB中，BD= = ，∴BD的长为 .【分析】由AB=AC=AD=a可以得到点B、C、D在以A为圆心，以a为半径的圆上，因而可以作出该圆，利用圆的知识解决该题.本题考查圆的定义和圆周角定理及其推论.24、【答案】考虑过M、N及A、B中任一点作圆，这里不妨过M、N、B作圆，则A点在圆外，设MA交⊙O于C，则∠MAN＜∠MCN，而∠MCN=∠MBN，所以∠MAN＜∠MBN.因此在B点射门为好.【考点】圆周角定理【解析】【解答】考虑过M、N及A、B中任一点作圆，这里不妨过M、N、B作圆，则A点在圆外，设MA交⊙O于C ，则∠MAN＜∠MCN ，而∠MCN=∠MBN ，所以∠MAN＜∠MBN.因此在B点射门为好..【分析】在真正的足球比赛中情况比较复杂,这里仅用数学方法从两点的静止状态来考虑，如果两个点到球门的距离相差不大，要确定较好的射门位置，关键是看这两点各自对球门MN的张角大小，当张角较小时，则容易被对方守门员拦截.25、【答案】（1）证明:∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°.∵OD∥BC ，∴∠ADO=∠C=90°.∴AC⊥OD.（2）解:∵OD∥BC ，又∵O是AB的中点，∴OD是△ABC的中位线.∴OD= BC= ×4=2（cm）.【考点】三角形中位线定理，圆周角定理【解析】【解答】（1）证明:∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°.∵OD∥BC，∴∠ADO=∠C=90°.∴AC⊥OD.（2）∵OD∥BC，又∵O是AB的中点，∴OD是△ABC的中位线.∴OD= BC= ×4=2（cm）.【分析】根据圆周角定理的推论以及三角形中位线定理计算.。
人教版九年级数学上册《圆周角》题组训练(含答案解析)
提技能·题组训练圆周角定理及其推论1.( 滨州中考 ) 如图 , 在☉ O中, 圆心角∠ BOC=78°, 则圆周角∠ BAC的大小为 ()A.156°B.78 °C.39°【解析】选C.∠BOC是所对的圆心角D.12°, ∠ BAC是所对的圆周角,∴∠ BAC=∠ BOC=39°.2.( 海南中考 ) 如图 , 在☉ O中 , 弦 BC=1,点 A 是圆上一点 , 且∠ BAC=30°, 则☉ O的半径是 ()A.1B.2C.D.【解析】选A. 方法一 : 连接OB,OC.∵∠ BAC=30°, ∴∠ BOC=2∠ BAC=60° ,∵OB=OC,∴△ OBC是等边三角形 ,∴OB=OC=BC =1.方法二 : 作直径 CD,连接 BD.则∠ CBD=90°, ∵∠ BDC=∠ BAC=30°, ∴CD=2BC=2,∴OC=CD=1.3.( 长春中考 ) 如图 , △ABC内接于☉ O,∠ABC=71° , ∠ CAB=53° , 点 D 在上,则∠ ADB的大小为()A.45°B.53 °C.56 °D.71 °【解析】选 C.在△ ABC中, ∵∠ ABC=71° , ∠ CAB=53°,∴∠ C=180°-71 °-53 °=56° , ∴∠ ADB=∠C=56°.D,则∠ BOD=. 4.( 佛山中考 ) 图中圆心角∠ AOB=30° , 弦 CA∥ OB,延长CO与圆交于点【解析】因为圆心角∠ AOB=30°, 弦 CA∥OB,所以∠ AOB=∠CAO=30°,又 OA=OC,所以∠ CAO=∠ ACO=30° , 所以∠ AOD=∠ CAO+∠ ACO=60° =∠ AOB+∠ BOD,所以∠BOD=30°.答案 : 30°5.( 贵阳中考 ) 如图 ,AD,AC 分别为☉ O的直径和弦 , ∠CAD=30°,B 是 AC上一点 ,BO⊥AD,垂足为【解析】在Rt△AOB中 , ∠A=30° ,BO=5cm,∴AO=5cm,∵AD是直径 ,∴AD=10cm,∠C=90°, 在 Rt△ ADC中,∠A=30°,AD=10cm,∴CD=5cm.答案: 56. 如图 , 正方形ABCD的顶点都在☉O上 ,P是弧DC上的一点 , 则∠ BPC=.【解析】连接 BD,则 BD是直径 ,∴△ BCD是等腰直角三角形 ,∴∠ BDC=45°, ∴∠ BPC=∠ BDC=45°.答案 : 45°【知识归纳】圆周角与直径1.当题目中出现了直径时 , 常作辅助线 , 利用直径所对的圆周角是直角解决问题 .2.当出现 90°的圆周角时 , 常连接该圆周角所对的弦 , 则该弦为直径 .7. 如图 , 在☉ O中, 直径 AB与弦 CD相交于点 P, ∠CAB=40°, ∠APD=65° .(1)求∠B 的大小 .(2)已知 AD=6,求圆心 O到 BD的距离 .【解析】 (1) ∵∠ APD=∠C+∠CAB,∴∠ C=65°-40 °=25° .∴∠ B=∠C=25° .(2) 过点 O作 OE⊥ BD于 E, 则 DE=BE.又∵ AO=BO,∴OE= AD= ×6=3.∴圆心 O到 BD的距离为 3.圆内接四边形1. 如图 , 四边形 ABCD内接于☉ O,如果∠ BOD=130°, 则∠ BCD的度数是 ()A.115°B.130°C.65°D.50°【解析】选 A. ∵∠ BOD=130°, ∴∠ A= ∠BOD=65°, ∵∠2.( 莱芜中考 ) 如图 , 在☉ O中 , 已知∠ OAB=22.5°, 则∠C 的度数为 ()A. 135 °B.122.5 °C.115.5°D.112.5 °【解析】选 D.如图, 作所对的圆周角 .∵OA=OB,∴∠ OBA=∠ OAB=22.5° . ∴∠ AOB=180 ° - ∠ OAB-∠ OBA =180° -22.5 ° -22.5 °=135° .∴∠ D= ∠ AOB=×135°=67.5 °.∵四边形 ACBD是圆内接四边形 ,∴∠ C+∠D=180° .∴∠ C=112.5 °.【方法技巧】1. 在圆中 , 求角的度数时 , 常利用圆周角定理和圆内接四边形的对角互补来完成.2.有时需要自己作出与已知角互补的圆周角 , 才能运用圆内接四边形的性质 .3. 四边形 ABCD内接于☉ O,AD∥BC,∠ B=75° , 则∠ C=.【解析】∵AD∥ BC,∴∠ A+∠B=180° ,∴∠ A=180°-75 °=105°,答案 : 75°【变式训练】已知 , 四边形 ABCD内接于☉ O, 且∠ A∶∠ C=1∶2, 则∠ BOD= ° .【解析】∵四边形 ABCD内接于☉ O,∴∠ A+∠C=180°.又∠ A∶∠ C=1∶ 2, 得∠ A=60° .∴∠ BOD=2∠A=120°.答案 : 1204.如图 , △ ABC内接于☉ O,AD为△ ABC的外角平分线 , 交☉ O 于点 D, 连接 BD,CD,判断△DBC的形状 , 并说明理由 .【解析】△DBC为等腰三角形 . 理由如下 :∵四边形 ABCD为☉ O的内接四边形 ,∴∠ DCB+∠DAB=180°,又∠ EAD+∠DAB=180°,∴∠ EAD=∠DCB.又∠ DAC=∠DBC,∠EAD=∠DAC,∴∠ DBC=∠DCB,∴DB=DC,即△ DBC为等腰三角形 .【错在哪？】作业错例课堂实拍A,B 为☉ O上的两点 , ∠ AOB=100° , 若点 C 也在☉ O上, 且点 C不与 A,B 重合 , 求∠ACB的度数 .(1)错因 :____________________________________.(2)纠错 :____________________________________________________________ _________________________________.答案： (1) 点 C也可能在劣弧AB上，需要分情况讨论(2)当 C在优弧AB上时，∠ ACB=1∠AOB=50°，当 C 在劣弧AB上时，∠ ACB=2 180°-50 °=130°。
圆周角定理练习题(A)
1. 2. 《圆周角定理》练习题.选择题（共16小题） 如图，A 、B 、C 三点在O O 上，若/ BOC=76A . 152 °B . 76 如图，O O 是厶ABC A . 30° B . 35° C . 38°D . 14° 的外接圆，/ ACO=45 ° C . 40° D . 45° 。
，则/ BAC 的度数是（ 则/ B 的度数为（ 第2题图 如图，在图中标出的 4个角中，圆周角有（ A . 1 B . 2C . 3D . 4 4. 如图，在O O 中，直径 CD 垂直于弦AB ，若/ A . 25°B . 30 °C . 40° 3.)个. C=25 °D . 5. 如图，已知在O O 中，点A , B,C 均在圆上，/ AOB=80 B . 140 ° C .则/ BOD 的度数是（ 50° °则/ ACB 等于（ )A . 130°OS 06.如图，A . 507. 如图， A . 40 第4题图 MN 是O O 的直径, B . 40°CD 是O O 的直径， B . 50° &如图, 是半圆的直径, AB 第5题图/ PBN=50 °,贝 C . 30°第6题图 MAP 等于（ ）D . 20°A 、B 是O O 上的两点，若/ ABD=20 °则/ ADC C . 60°D . 70 点 D 是•「的中点，/ ABC=50C .65°D . 70° ，则/ DAB 等于（ 的度数为）9. 如图，AB 是O O 的直径，C , D 为圆上两点，/ AOC=130 °则/ D 等于( A . 25°B . 30°C . 3510. 如图，/ 1、/ 2、/ 3、/ 4的大小关系是A . / 4</ 1 </ 2</ 3 C ./4</ 1 </3/211 .如图，AB 是半圆O 的直径， A . 30° B . 45°12 . 如图，在O O 中， OA 丄 BC , / AOC=50 ° 贝9/ ADB 的度数为（ ）A . 15°B . 20°C . 25 °D . 50° 13 . 在O O 中, 点A 、 B 在O O 上，且/ AOB=84 ° 则弦 AB 所对的圆周角是（ ）A . 42°B . 84°C . 42°或 138°D . 84 °或 96°14 .如图所示， 在O O 中，AB 是O O 的直径，/ ACB 的角平分线 CD 交O O 于 D ,则/ ABD的度数等于（ )A . 90°B .60°C . 45°D .30°15 . 已知如图， AB 是O O 的直径， CD 是O O 的弦， / CDB=40 °, 则/ CBA 的度数为（4<Z 1 = / 3<Z 2 4<Z 1<Z 3= /2）B . / D . / / BAC=60 ° D 是半圆上任意一点，那么/ D 的度数是（）16.如图,AB A . 30°是圆的直径， B .AB 丄 CD ，/ BAD=30C . 60°贝AEC D . B第12题图的度数等于（ 70°8小题）二.填空题（共 17.如图，O O 的直径CD 经过弦EF 的中点G ，/DCF=20 °,则/ EOD 等于DBo第11题图第12题图DB50°C. 40°D. 30 °A . 60° B.21. 如图，等腰△ ABC 的底边BC 的长为4cm ，以腰AB 为直径的O O 交BC 于点D ,交 AC 于点E ,贝U DE 的长为 _____ cm . 22.如图，在 世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门PQ 进攻，当他带球冲到 A 点时，同 样乙已经助攻冲到 B 点，丙助攻到C 点•有三种射门方式：第一种是甲直接射门；第二 种是甲将球传给乙，由乙射门•第三种是甲将球传给丙，由丙射门•仅从射门角度考虑， 应选择 ____ 种射门方式. 三•解答题（共16小题）25. 28.如图，AB 是O O 的直径，C 是O O 上的点，AC=6cm , BC=8cm ，/ ACB 的平分 线交O O 于点D ，求AB 和BD 的长.26. 如图，已知 CD 是O O 的直径，弦 AB 丄CD ，垂足为点 M ，点P 是八上一点，且/ BPC=60 °试判断△ ABC 的形状，并说明你的理由.第19题图18. 占 八、第17题图 第18题图如图，点 A 、B 在O O 上，/ AOB=100 °点C 是劣弧 AB 上不与A 、B 重合的任意 则/ C=在O O 中，弦AB=2cm ，/ ACB=30 °则O O 的直径为_ 如图，O O 中弦AB 等于半径R ,则这条弦所对的圆心角是cm .—，圆周角是C第21题图Q3第20题图pB第22题图BB27、如图，△ ABC的高AD、BE相交于点H，延长AD交ABC的外接圆于点G,连接BG . 求证：HD=GD .28. 已知：如图，AB为O O的直径，AB=AC , BC交O O于点D , AC交O O于点E./BAC=40 °(1) 求/ EBC的度数;(2) 求证：BD=CD .29. 如图，△ ABC是O O的内接三角形，/ A=30 °, BC=3cm .求O O的半径.B 30. 如图，AB是O O的直径，过圆上一点C作CD丄AB于点D，点C是弧AF的中点，连接AF交CD于点E,连接BC交AF于点G.(1)求证：AE=CE ;.31. 如图，△ ABC中，AB > AC,/ BAC的平分线交外接圆于于M .(1)求证：BE=CM .(2)求证：AB - AC=2BE .32. 如图，0A是O 0的半径，以OA为直径的O C与O 0的弦AB相交于点 D .求证：AD=BD .33. 如图，已知： AB 是O O 的弦，D 为O O 上一点, 证：M 是弧AB 的中点.35.已知：如图， AE 是O O 的直径，AF 丄BC 于D ，证明：BE=CF .34.如图，△ ABC 的三个顶点都在O O 上，CD 是高, D 是垂足，CE 是直径，求证：/ ACD=BDC 丄AB 于C , DM 平分/ CDO .求BCD5三ODBE36.已知AB 为O O 的直径，弦 BE=DE , AD , BE 的延长线交于点 C ,求证：AC=ABC37.如图，AB 是圆O 的直径，OC 丄AB ，交O O 于点C , D 是弧AC 上一点，E 是AB 上 一点，EC 丄CD ，交BD 于点F .问：AD 与BF 相等吗？为什么？38. 如图，AB是O O的直径，AC、DE是O O的两条弦，且于点DE丄AB，延长AC、DE相交F，求证：/ FCD= / ACE .39. 如图，已知O O是厶ABC的外接圆，AD是O O的直径，作CE丄AD，垂足为E，CE 的延长线与AB交于F.试分析/ ACF与/ ABC是否相等，并说明理由.40. 如图，△ ABC内接于O O, AD ABC的外角平分线，交O O于点D,连接BD , CD , 判断△ DBC的形状，并说明理由.EDB<?41.如图，AB是O O的直径，弦CD丄AB，垂足为点E, G是「'上的任意一点，AG、DC 的延长线相交于点F,/ FGC与/ AGD的大小有什么关系？为什么？42.如图，AB是圆0的直径，C是圆0上一点，D是弧AC中点，DE丄AB垂足为E, AC 分别与DE、DB相交于点F、G,则AF与FG是否相等？为什么？43. 如图，0A是O 0的半径，以0A为直径的O C与O 0的弦AB交于点D，求证：D是AB的中点.44. 如图，在△ ABC中，/ ACB=90 ° D是AB的中点，以边于DC为直径的O O交厶ABC的G , F, E点.求证：(1) F是BC的中点；(2)/ A= / GEF.45. 如图，圆内接四边形ABCD的外角/ DCH= / DCA , DP I AC垂足为P, DH丄BH垂足为H，求证：CH=CP, AP=BH .《圆周角定理》2222222222参考答案与试题解析一•选择题（共16小题）1. （2012?呼伦贝尔）如图，A、B、C三点在O O上，若/ BOC=76 °则/ BAC的度数是（）A. 152°B. 76°C. 38°D. 14°【解答】解：•••；'所对的圆心角是/ BOC，圆周角是/ BAC ,又•••/ BOC=76 °•••/ A=76 °X—=38 ° 故选C.2. （2015?眉山）如图，O O是厶ABC的外接圆，/ ACO=45 °则/ B的度数为（）CA. 30°B. 35°C. 40 °D. 45°【解答】解：I OA=OC，/ ACO=45 °•••/ OAC=45 °•••/ AOC=180 °- 45 °- 45°90 °•••/ B= - / AOC=45 °故选D .3. （2010秋？海淀区校级期末）如图，在图中标出的4个角中，圆周角有（）个.D . 4【解答】解： /1和/3符合圆周角的定义,/ 2顶点不在圆周上,/ 4的一边不和圆相交，故图中圆周角有/ 1和/ 3两个.故选B .4. （ 2015?珠海）如图，在O O 中，直径CD 垂直于弦 AB ，若/ C=25 °则/ BOD 的度数是 （ ）40 ° D . 50°【解答】解：•••在O O 中，直径CD 垂直于弦AB , •••二匸 11,•••/ DOB=2 / C=50 ° 故选：D .5. （ 1997?陕西）如图，已知在O O 中，点 A , B , C 均在圆上，/ AOB=80 °则/ ACB 等•••/ AOB=80 ° •••/ E= 1 / AOB=40 ° 2•••/ ACB=180 °-Z E=140°故选：B .C . 145D . 150 °【解答】解：设点E 是优弧AB 上的一点，连接EA , EBA . 130°B . 140A . 40°B . 50°C . 60°D . 70【解答】解：vZ ABD=20 °• Z C=Z ABD=20 °v CD 是O O 的直径• Z CAD=90 ° 6.如图，MN 是O O 的直径，/ PBN=50 °则/ MAP 等于（） 可得/ MAP= 1 / MOP ，/ NBP=— / NOP ,2 2 •/ MN 为直径，•••/ MOP + Z NBP=180 °•••/ MAP+Z NBP=90 °vZ PBN=50 °• Z MAP=90 °-Z PBN=40 ° 故选B .7. （2007?太原）如图，CD 是O O 的直径，A 、B 是O O 上的两点, 若Z ABD=20 ° 贝UZ ADCA . 50°B . 40°C . 30°D . 20°【解答】解：连接OP ,•••/ ADC=90 ° - 20 °70 ° 故选D .& （ 2013?苏州）如图，AB 是半圆的直径，点 D 是AC 的中点，/ ABC=50 °则/ DAB 等于•••点D 是；的中点，即弧 CD=弧AD , •••/ ABD= / CBD , 而/ ABC=50 °•••/ ABD= X 50°25 ° 2•/ AB 是半圆的直径，•••/ ADB=90 °•••/ DAB=90 ° - 25 °65 ° 故选C .【解答】 解：•••/ AOC=130° •••/ BOC=50 ° •••/。
2022-2023学年苏科版九年级数学上册 《圆周角》同步练习题(含答案)
2022-2023学年苏科版九年级数学上册《2.4圆周角》同步练习题（附答案）一．选择题1．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AO、OC，∠ABC＝70°，AO∥CD，则∠OCD的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°2．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P为⊙O上的动点，连接AP，取AP中点Q，连接CQ，则线段CQ的最大值为（）A．3B．1+C．1+3D．1+3．如图，点A、B分别在x轴、y轴上（OA＞OB），以AB为直径的圆经过原点O，C是的中点，连结AC，BC．下列结论：①∠ACB＝90°；②AC＝BC；③若OA＝4，OB＝2，则△ABC的面积等于5；④若OA﹣OB＝4，则点C的坐标是（2，﹣2）．其中正确的结论有（）A．4个B．3个C．2个D．1个4．如图，AB是半圆O的直径，将半圆沿弦BC折叠，折叠后的圆弧与AB交于点D，再将弧BD沿AB对折后交弦BC于E，若E恰好是BC的中点，则BC：AB＝（）A．B．C．D．5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，P是AC上的一点，PH⊥AB于点H，以PH为直径作⊙O，当CH与PB的交点落在⊙O上时，AP的值为（）A．3B．4C．5D．66．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，若AC＝6，BC＝8，则的值为（）A．B．1C．D．7．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AD＝DC，分别延长BA、CD，交点为E，作BF⊥EC，并与EC的延长线交于点F．若AE＝AO，BC＝6，则CF的长为（）A．B．C．D．二．填空题8．如图，⊙O的半径为，四边形ABCD为⊙O的内接矩形，AD＝6，M为DC中点，E为⊙O上的一个动点，连结DE，作DF⊥DE交射线EA于F，连结MF，则MF的最大值为．9．如图，正方形ABCD的边长是4，F点是BC边的中点，点H是CD边上的一个动点，以CH为直径作⊙O，连接HF交⊙O于E点，连接DE，则线段DE的最小值为．10．如图，点D为边长是4的等边△ABC边AB左侧一动点，不与点A，B重合的动点D 在运动过程中始终保持∠ADB＝120°不变，则四边形ADBC的面积S的最大值是．11．如图，在Rt△ABC中，已知∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，D是线段BC上的一点，以C为圆心，CD为半径的半圆交AC边于点E，交BC的延长线于点F，射线BE交于点G，则BE•EG的最大值为．三．解答题12．如图，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°．（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论．（2）证明：P A+PB＝PC．13．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积．14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是劣弧上一点，AG，DC的延长线交于点F．（1）求证：∠FGC＝∠AGD．（2）若G是的中点，CE＝CF＝2，求GF的长．15．已知⊙O的直径为10，点A、点B、点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC、BD、CD的长；（2）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长．16．如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．（1）求证：AM•MB＝CM•MD；（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM•MB的值．17．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆上，∠BAD是△ABC的一个外角，它的平分线交⊙O 于点E．不使用圆规，请你仅用一把不带刻度的直尺作出∠BAC的平分线．并说明理由．18．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，延长BC至点D，使DC＝CB，延长DA与⊙O的另一个交点为E，连接AC，CE．（1）求证：∠B＝∠D；（2）若AB＝4，BC﹣AC＝2，求CE的长．19．已知⊙O的直径AB与弦CD垂直相交于点E．取上一点H，连CH，与AB相交于点F，连接BC．（1）如图1，连接AH，作AG⊥CH于G，求证：∠HAG＝∠BCE；（2）如图2，若H为的中点，且HD＝3，求HF的长．20．如图，在△ACE中，AC＝CE，⊙O经过点A，C且与边AE，CE分别交于点D，F，点B是上一点，且，连接AB，BC，CD．（1）求证：△CDE≌△ABC；（2）若AC为⊙O的直径，填空：①当∠E＝时，四边形OCFD为菱形；②当∠E＝时，四边形ABCD为正方形．21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB＝BC．（1）求∠ADB的度数；（2）过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF之间满足的等量关系，并说明理由．22．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F，（1）求证：CF＝BF；（2）若CD＝12，AC＝16，求⊙O的半径和CE的长．23．如图，点A、B、C在⊙O上，用无刻度的直尺画图．（1）在图①中，画一个与∠B互补的圆周角；（2）在图②中，画一个与∠B互余的圆周角．24．如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，弦CD与AB相交于点N，∠ANC＝30°，ON：AN ＝2：3，OM⊥CD，垂足为M．（1）求OM的长；（2）求弦CD的长．25．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，延长DC交AB的延长线于点E．（1）若∠ADC＝86°，求∠CBE的度数；（2）若AC＝EC，求证：AD＝BE．参考答案一．选择题1．解：∵∠ABC＝70°，∴∠AOC＝2∠ABC＝140°，∵AO∥CD，∴∠AOC+∠OCD＝180°，∴∠COD＝40°．故选：A．2．解：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．∵AQ＝QP，∴OQ⊥P A，∴∠AQO＝90°，∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大（也可以通过CQ≤QK+CK求解）在Rt△OCH中，∵∠COH＝60°，OC＝2，∴OH＝OC＝1，CH＝，在Rt△CKH中，CK＝＝，∴CQ的最大值为1+，故选：D．3．解：∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，故①符合题意；∵C是中点，∴AC＝BC，故②符合题意；∵AB2＝OB2+OA2＝22+42，∴AB＝2，∵△ACB是等腰直角三角形，∴AC＝BC＝AB＝，∴△ACB的面积为＝5，故③符合题意；作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∵∠BCE+∠BCD＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠BCE＝∠ACD，∵AC＝BC，∴△ACD≈△BCE，∴CD＝CE，AD＝BE，∴OECD是正方形，设正方形的边长为a，∴OA﹣a＝OB+a，∴2a＝OA﹣OB＝4，∴a＝2，∴点C坐标为：（2，﹣2），故④符合题意，故选：A．4．解：过D点作BC的垂线，垂足为M，延长DM交于D′，连接CD、DE、BD′，过点C作CF⊥AB于点F，如图所示：由等圆中圆周角相等所对的弧相等得：＝＝＝，∴AC＝CD＝DE，∴CM＝EM，∵E是BC的中点，∴CM＝BC，∵AB是半圆O的直径，∴AC⊥BC，∵DM⊥BC，∴DM∥AC，∴AD＝AB，设∠ABC＝α，则∠ACF＝α，∵AC＝CD，∴AD＝2AF，∴＝，∴AB＝2AC，BC＝＝AC，∴＝＝，∴BC：AB＝；故选：B．5．解：如图所示，当CH与PB的交点D落在⊙O上时，∵HP是直径，∴∠HDP＝90°，∴BP⊥HC，∴∠HDP＝∠BDH＝90°，又∵∠PHD+∠BHD＝90°，∠BHD+∠HBD＝90°，∴∠PHD＝∠HBD，∴HD2＝PD•BD，同理可证CD2＝PD•BD，∴HD＝CD，∴BD垂直平分CH，∴BH＝BC＝3，在Rt△ACB中，AB＝＝＝10，∴AH＝10﹣6＝4，∵∠A＝∠A，∠AHP＝∠ACB＝90°，∴＝，∴AP＝5，故选：C．6．解：如图，过点E作EM⊥BC于M，EN⊥AC于N，过点D作DH⊥BC于H，DG⊥CA 交CA的延长线于G．∴AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵CD平分∠ACD，∴＝，∴AD＝BD，∵EM⊥BC，EN⊥AC，DH⊥BC，DG⊥AC，∴EM＝EN，DH＝DH，∵•AC•BC＝•AC•EN+•BC•EM，∴EM＝EN＝，∵∠ECN＝∠CEN＝45°，∴CN＝EN＝，∴EC＝，∵∠AGD＝∠DHB＝90°，AD＝BD，DG＝DH，∴Rt△DGA≌Rt△DHB（HL），∴AG＝BH，同法可证，Rt△CGD≌Rt△CHB（HL），∴CG＝CH，∴AC+BC＝CG﹣AG+CH+BH＝2CG＝14，∴CG＝DG＝7，∴CD＝7，∴DE＝7﹣＝，∴＝＝．7．解：如图，连接AC，BD，OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝∠BDA＝90°．∵BF⊥EC，∴∠BFC＝90°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠BCF＝∠BAD，∵OD是⊙O的半径，AD＝CD，∴OD垂直平分AC，∴OD∥BC，∴＝，而AE＝AO，即OE＝2OB，BE＝3OB，BC＝6∴＝＝＝，＝2，∴OD＝4，CE＝DE，又∵∠EDA＝∠EBC，∠E公共角，∴DE•DE＝4×12，∴DE＝4，∴CD＝2，则AD＝2，∴＝，∴CF＝．故选：A．二．填空题8．解：如图，连接AC交BD于点O，以AD为边向上作等边△ADJ，连接JF，JA，JD，JM．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∵AD＝6，AC＝4，∴sin∠ACD＝＝，∴∠ACD＝60°，∴∠FED＝∠ACD＝60°，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴∠EFD＝30°，∵△JAD是等边三角形，∴∠AJD＝60°，∴∠AFD＝∠AJD，∴点F的运动轨迹是以J为圆心JA为半径的圆，∴当点F在MJ的延长线上时，FM的值最大，此时FJ＝6，JM＝＝，∴FM的最大值为6+，故答案为：6+．9．解：连接CE，∵CH是⊙O的直径，∴∠CEH＝90°，∴∠CEF＝180°﹣90°＝90°，∴点E在以CF为直径的⊙M上，连接EM、DM，∵正方形ABCD的边长是4，F点是BC边的中点，∴BC＝CD＝4，∠BCD＝90°，CF＝BC＝2，∴FM＝MC＝EM＝1，在Rt△DMC中，DM＝＝＝，∵DE≥DM﹣EM，∴当且仅当D、E、M三点共线时，线段DE取得最小值，∴线段DE的最小值为﹣1，故答案为：﹣1．10．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝4，∠ACB＝∠ABC＝∠BAC＝60°，∵∠ADB＝120°，∴∠ADB+∠ACB＝180°，∴四边形ACBD是圆内接四边形，∴OA＝OB＝AB＝＝4，∴⊙O直径为8．如图，作四边形ACBD的外接圆⊙O，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△BHC，∴CD＝CH，∠DAC＝∠HBC，∵四边形ACBD是圆内接四边形，∴∠DAC+∠DBC＝180°，∴∠DBC+∠HBC＝180°，∴点D，点B，点H三点共线，∵DC＝CH，∠CDH＝60°，∴△DCH是等边三角形，∵四边形ADBC的面积S＝S△ADC+S△BDC＝S△CDH＝CD2，∴当CD最大时，四边形ADBC的面积最大，∴当CD为⊙O的直径时，CD的值最大，即CD＝8，∴四边形ADBC的面积的最大值为CD2＝16，故答案为：16．11．解：如图，过点C作CH⊥EG于点H．∵CH⊥EG，∴EH＝GH，∵∠A＝∠CHE＝90°，∠AEB＝∠CEH，∴BE•EH＝AE•EC，∴BE•2EH＝2•AE•EC，∴EB•EG＝2AE•EC，设EC＝x，在Rt△ABC中，AC＝＝＝8，∴EB•EG＝2x•（8﹣x）＝﹣2（x﹣4）2+32，∵﹣2＜0，∴x＝4时，BE•EG的值最大，最大值为32，故答案为：32．三．解答题12．（1）解：△ABC是等边三角形，理由如下：由圆周角定理得，∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠CPB＝60°，∴△ABC是等边三角形；（2）证明：在PC上截取PH＝P A，∵∠APC＝60°，∴△APH为等边三角形，∴AP＝AH，∠AHP＝60°，在△APB和△AHC中，，∴△APB≌△AHC（AAS）∴PB＝HC，∴PC＝PH+HC＝P A+PB．13．（1）证明：∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC，∵AB＝AC，∴BE＝CE，∵AE＝EF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AC＝AB，∴四边形ABFC是菱形．（2）设CD＝x．连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∴AB2﹣AD2＝CB2﹣CD2，∴（7+x）2﹣72＝42﹣x2，解得x＝1或﹣8（舍弃）∴AC＝8，BD＝＝，∴S菱形ABFC＝8．∴S半圆＝•π•42＝8π．14．（1）证明：如图1，连接AC，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴＝，∴AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∵点A、D、C、G在⊙O上，∴∠FGC＝∠ADC，∵∠AGD＝∠ACD，∴∠FGC＝∠AGD；（2）解：如图，过点G作GH⊥DF于点H．∵∠DAG+∠DCG＝180°，∠DCG+∠FCG＝180°，∴∠DAC＝∠FCG，∵＝，∴AG＝CG，∵∠AGD＝∠FGC，∴△DAG≌△FCG（ASA），∴CF＝AD＝3，DG＝FG，∵GH⊥DF，∴DH＝FH，∵AB⊥CD，∴DE＝EC＝2，∴DF＝2+2+3＝7，∴DH＝HF＝3.5，∴AE＝＝＝，∴AF＝＝＝，∵GH∥AE，∴＝，∴＝，∴GF＝．15．解：（1）如图①，∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB＝∠BDC＝90°．∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6，∴由勾股定理得到：AC＝＝＝8．∵AD平分∠CAB，∴＝，∴CD＝BD．在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2，∴易求BD＝CD＝5；（2）如图②，连接OB，OD，∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°，∴∠DAB＝∠CAB＝30°，∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．又∵OB＝OD，∴△OBD是等边三角形，∴BD＝OB＝OD．∵⊙O的直径为10，则OB＝5，∴BD＝5．16．解：（1）∵∠A＝∠C，∠D＝∠B，∴，即AM•MB＝CM•MD．（2）连接OM、OC．∵M为CD中点，∴OM⊥CD在Rt△OMC中，∵OC＝3，OM＝2∴CM＝DM＝，由（1）知AM•MB＝CM•MD．∴AM•MB＝•＝5．17．解：作直径EF交⊙O于F，连接AF，则AF是∠BAC的平分线．理由是：∵EF是⊙O的直径，∴∠EAF＝90°，即∠EAO+∠OAF＝90°，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠EAO，∴∠CAF＝∠OAF，∴AF是∠BAC的平分线．18．（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，又∵DC＝CB，∴AD＝AB，∴∠B＝∠D；（2）解：设BC＝x，则AC＝x﹣2，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，∴（x﹣2）2+x2＝42，解得：x1＝1+，x2＝1﹣（舍去），∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，∴∠D＝∠E，∴CD＝CE，∵CD＝CB，∴CE＝CB＝1+．19．（1）证明：如图1中，∵AB⊥CD，∴∠CEB＝90°，∵AG⊥CH，∴∠AGH＝90°，∵∠GAH+∠AHG＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∠ABC＝∠AHG，∴∠HAG＝∠BCE．（2）解：如图2中，连接AC，AD，DF．∵AB⊥CD，∴CE＝DE，∴AC＝AD，FC＝FD，∴∠FCD＝∠FDC，∠ACD＝∠ADC，∴∠ACF＝∠ADF，∵＝，∴∠ADF＝∠DCH＝∠ADH，∴∠ACF＝∠DCF＝∠FDC＝∠ADF，∵∠HFD＝∠FCD+∠FDC＝2∠FCD，∠HDF＝2∠FCD，∴∠HDF＝∠HFD，∴FH＝DH＝3．20．证明：（1）∵，∴∠BAC＝∠DCE，∵∠CDE是圆内接四边形ABCD的外角，∴∠CDE＝∠ABC，在△CDE和△ABC中，，∴△CDE≌△ABC（AAS）；（2）如图，①连接AF，∵AC是直径，∴OA＝OC，∠ADC＝∠AFC＝90°，∵四边形OCFD是菱形，∴DF∥AC，OD∥CE，∵OA＝OC，∴AD＝DE（经过三角形一边的中点平行于一边的直线必平分第三边），∵DF∥AC，∴CF＝EF（经过三角形一边的中点平行于一边的直线必平分第三边），∵∠AFC＝90°，∴AC＝AE（垂直平分线上的点到两端点的距离相等），∵AC＝CE，∴AC＝AE＝CE，∴△ACE是等边三角形，∴∠E＝60°；故答案为：60°；②∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝90°，∴∠ACD＝45°，∵AC＝CE，CD⊥AE，∴∠DCE＝∠ACD＝45°，∴∠ACE＝90°，∵AC＝CE，∴△ACE是等腰直角三角形．∴∠E＝45°．故答案为：45°．21．解：（1）如图1，∵AC为直径，∴∠ABC＝90°，∴∠ACB+∠BAC＝90°，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝45°，∴∠ADB＝∠ACB＝45°；（2）线段EA，CF，EF之间满足的等量关系为：EA2+CF2＝EF2．理由如下：如图2，设∠ABE＝α，∠CBF＝β，∵AD∥BF，∴∠EBF＝∠ADB＝45°，又∠ABC＝90°，∴α+β＝45°，过B作BN⊥BE，使BN＝BE，连接NC，∵AB＝CB，∠ABE＝∠CBN，BE＝BN，∴△AEB≌△CNB（SAS），∴AE＝CN，∠BCN＝∠BAE＝45°，∴∠FCN＝90°．∵∠FBN＝α+β＝∠FBE，BE＝BN，BF＝BF，∴△BFE≌△BFN（SAS），∴EF＝FN，在Rt△NFC中，CF2+CN2＝NF2，∴EA2+CF2＝EF2；22．解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，又∵CE⊥AB，∴∠CEB＝90°，∴∠2＝90°﹣∠ABC＝∠A，又∵C是弧BD的中点，∴∠1＝∠A，∴∠1＝∠2，∴CF＝BF；（2）∵C是弧BD的中点，∴＝，∴BC＝CD＝12，又∵在Rt△ABC中，AC＝16，∴由勾股定理可得：AB＝20，∴⊙O的半径为10，∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CE，∴CE＝＝9.6．23．解：（1）如图1，∠P即为所求：（2）如图2，∠CBQ即为所求．24．解：∵AB＝10，∴OA＝5，∵ON：AN＝2：3，∴ON＝2，∵∠ANC＝30°，∴∠ONM＝30°，∴OM＝ON＝1；（2）如图，连接OC，由勾股定理得：CM2＝CO2﹣OM2＝25﹣1＝24，∴CM＝2，∴CD＝2CM＝4．25．（1）解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，又∵∠ADC＝86°，∴∠ABC＝94°，∴∠CBE＝180°﹣94°＝86°；（2）证明：∵AC＝EC，∴∠E＝∠CAE，∵AC平分∠BAD，∴∠DAC＝∠CAB，∴∠DAC＝∠E，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC+∠ABC＝180°，又∵∠CBE+∠ABC＝180°，∴∠ADC＝∠CBE，在△ADC和△EBC中，，∴△ADC≌△EBC，∴AD＝BE．。
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圆周角专项练习
一、选择题
1、如图，A、B、C三点在⊙O上，∠AOC=100°，则∠ABC等于（）．
A．140°B．110°C．120°D．130°
2、如图，∠1、∠2、∠
3、∠4的大小关系是（）
A．∠4<∠1<∠2<∠3 B．∠4<∠1=∠3<∠2
C．∠4<∠1<∠3∠2 D．∠4<∠1<∠3=∠2
3、如图，AD是⊙O的直径AC是弦OB⊥AD，若OB=5且∠CAD=30°，则BC等于（）．
A．3
3
2
1
-D．5
4、如图,D是⌒
AC的中点,则图中与∠ABD相等的角的个数是( )
A.4个
B.3个
C.2个
D.1个
5、如图,∠AOB=100°,则∠A+∠B等于( )
A.100°
B.80°
C.50
D.40°
6、在半径为R的圆中有一条长度为R的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( )
A.30°
B.30°或150°
C.60°
D.60°或120°
二、填空题
7、如图，⊙O的直径MN⊥AB于P，∠BMN=30°,则∠AON=________
8、如图，在⊙O中，圆心角∠AOB=90°，则∠ACB=______,若点C分劣弧⌒
AB为1：2两部分，则∠OAC=_______ 9、如图，已知O为△ABC边AB上一点，⊙O经过BC交AC于D，且AD=OB，
∠B=54°，求∠A=________
10、如图，A、B是⊙O的直径，C、D、E都是圆上的点，则∠1+∠2=_______．•
11、如图，已知△ABC为⊙O内接三角形，BC=•1，•∠A=•60•°，•则⊙O•半径为_______．
12、半径为2a的⊙O中，弦AB的长为3
2a，则弦AB所对的圆周角的度数是________．
13、如图所示，在半径为2cm的⊙o中，∠A=30°，则弦BC的长为_________
14、如图在△ABC中，∠A=70°，⊙o截△ABC的三条边所得的弦长相等，则∠BOC=_____
15、如图，⊙O中⌒
AC和
⌒
BD的度数分别是40°和120°，延长BA和DC相交于P，∠P的度数是________
B
D
C
B
A
16、已知⊙o 中弦AB 、CD 交于P 点，若⌒AC ，⌒BD
所对的圆心角度数分别为80°和 60°，则∠
17、如图,四边形ABCD
的四个顶点都在⊙O 上,且AD ∥BC,对角线AC 与BC 相交于点E,那么图中有_________对全等
三角形。
.
18、已知,如图,∠BAC 的邻补角∠BAD=100°,则∠BOC=_______度.
19、如图,A 、B 、C 为⊙O 上三点，若∠OAB=46°,则∠ACB=_______.
20、如图,AB 是半圆O 的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的
距离OE=______.
三、计算与证明
21、如图，⊙C 经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A 与点B ，点A 的坐标为（0，4），M 是圆上一点，∠BMO=120°．
（1）求证：AB 为⊙C 直径．（2）求⊙C 的半径及圆心C 的坐标．
22、如图，四边形ABCD 内接于以AD 为直径的圆O ，且AD =4cm ，AB =CB =1cm ，求CD 的长．
23、已知：如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠BAC 交⊙O 于E ．求证：AE 平分∠OA D ．
24、已知：如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，M 为
上一点，AM 的延长线交DC 于F ．求证：
∠AMD =∠FM C ．。