振型分解反应谱法

附录一 振型分解反应谱法振型分解反应谱法作为弹性多自由体系的主要分析方法，很有必要对振型分解反应谱法有充分的了解。

本文仅作为大家参考之用，如有理解上的错误或者不当，敬请谅解。

1、单自由度体系在地震作用下的运动 如图（1）所示，根据达朗贝尔原理有： 0=++s I c f f f （1）也即：g u m ku u c um -=++ （2） 方程两边同时除以m ，可化为：g u u u u-=++22ωξω （3） 式中，2/k m ω= ，令ωξm c2=，为体系阻尼比。

2、多自由度体系在地震作用下的运动类似于单自由度体系分析过程，体系运动方程为：g u m u k u c u m ][}]{[}]{[}]{[-=++ （4）无阻尼体系自由振动时，0=g u，0=c ，上式即为： }0{}]{[}]{[=+u k um （5） 根据方程解的特征，设其解的形式为：)sin(}{}{ϕωφ+=t u （6）代入（5）式有：}0{)sin(}]){[]([2=+⋅-ϕωφωt m k （7）由于0)sin(≠+ϕωt则}0{}]){[]([2=-φωm k （8）另外，}0{}{≠φ，故特征方程为：0][][2=-m k ω （9）由（9）式可以求出2ω，进而可以求得各阶振型对应的圆频率2i ω，再代入（8）式可求对应于各个2i ω的特征向量}{i φ，即为振型。

振型φ：多自由度体系自由振动时，各质点在任意时刻位移比值是一定的，不随时间变化，即体系自由振动过程中形状保持不变。

振型是结构形状保持不变的振动形式，振型的形状是唯一的。

N 个自由度的体系具有N 个振型。

则结构的变形总可以表示成这N 个振型的线性组合：{}∑==Ni i i q u 1φ （10）其中i q 称为正则坐标。

3、振型的正交性由于}0{}]{[}]{[2=-φωφm k （11） 则}0{}]{[}]{[2=-r r r m k φωφ （12）（12）式两边同时左乘T n }{φ，)(r n ≠，得到：}]{[}{}]{[}{2r T n r r T n m k φφωφφ= （13）同理，}]{[}{}]{[}{2n Tr n n T r m k φφωφφ=，该式两边同时转置一次，得到：}]{[}{}]{[}{2r T n n r T n m k φφωφφ= （14）（13），（14）两式左右对应相减，得到：0}]{[}){22=-r T n n r m φφωω（ )(n r ≠ （15）因为22n r ωω≠所以 0}]{[}{=r Tn m φφ )(n r ≠ （16） 同理亦有 0}]{[}{=r Tn k φφ )(n r ≠ （17）即所说的振型关于质量和刚度矩阵满足正交性质。

对于阻尼：根据瑞雷阻尼的基本假定，若用矩阵形式表达，即：][][][k b m a c += （18）由于该式是线性表达式，根据前面推导的振型正交性质，可以得出：0}]{[}{=r T n c φφ )(n r ≠ （19）但要注意的是，体系振型关于质量和刚度矩阵满足正交性质是无条件的，而振型关于阻尼矩阵满足正交性质却是有一定条件的，阻尼不满足正交的情况下就不能在理论上严格的对结构进行振型分解来求解。

3.1 振型正交性质的物理意义①振型关于质量矩阵的正交性：第n 阶振型的惯性力在经历第r 阶振型时所做的功为0； ②振型关于刚度矩阵的正交性：与第n 阶振型位移有关的弹性力在经历第r 阶振型时所做的功为0；③总体来说就是各个振型按照自己的规律振动，而相互之间没有干扰，从而为把方程求解分解成按各个振型分别求解提供了可能。

4、具有经典阻尼的多自由度体系在)()(t sp t P =激励下的反应这种荷载形式是一个固定的分布向量乘以常数，具有振型类似的特征，但是实际结构是很少会受到这种形式的荷载作用，但它对于后面要进行的地震作用下的响应分析是有重要作用的。

4.1 运动方程求解（后面u 与φ等参数都是表示向量）如图（2）所示，得到体系的平衡方程：)(][][][t sp u k u c um =++ （20）由公式（10），把)()(t q t u i i i φ=代人，则：∑∑∑===⋅=++Ni Ni i i i i Ni i i t p s q k q c q m 111)()]([)]([)]([φφφ （21）方程前乘T n φ，根据振型的正交性质，上式可化为：)(t p s q K q C q M Tn n n n n n n ⋅⋅=++φ （22）其中[]n Tn n m M φφ= 称为广义质量 []n Tn n c C φφ= 称为广义阻尼 []n Tn n k K φφ= 称为广义刚度上式两边同时除以n M ，由2n n nK M ω=，并另n n nn M C ωξ2=得到：)(22t p M sq q qnTn nn n n n n ⋅=++φωωξ （23）令nTn n M s⋅=Γφ，称为振型参与系数。

则（23）式化为：)(22t p q q q n n n n n n n Γ=++ωωξ （24）n Γ是一个与振型正则化方式(即φ的取值)及荷载分布向量有关的一个量，它反映了外部激励对振型的影响程度。

比如s 具有i m φ][的形式，根据正交性)(1)(0n i n i n =≠=Γ或 ，说明这种荷载只会引起第i 个振型的反应，而不会引起其他振型的反应。

令：nn n qD Γ=，则（24）式可变为：)(22t p D D D n n n n n n =++ωωξ （25）该方程是如图（3）的一个标准的单自由度体系的运动微分方程，求解微分方程得到)(t D n 。

4.2 求激励下的效应对应于此刻第n 阶振型的位移)()()(t D t q t u n n n n n n ⋅Γ⋅=⋅=φφ，则如图（4）所示，对应于此时变形的弹性恢复力为：)(][)(][)(][)(][)(22t D m t D m t D k t u k t f n n n n n n n n n n n n n ωφφωφ⋅Γ=⋅Γ⋅=⋅Γ⋅== （26）令n n n m s φ][Γ=，称之为振型贡献，且1Nnn s s==∑，则（26)式可写为：)()(2t D s t f n n n n ω⋅= （27）n s 是一个n 阶列向量，是个常量，与结构特性及荷载作用方式都有关，而与振型的正则化方式无关。

那么)(t f n 为一个静力部分与动力部分的组合，作用在自由度上的)(t f n 由n s 与)(2t D n n ⋅ω的乘积决定，则在)(t f n 作用下的效应也可以表示为由n s 作用下的效应经动力放大后的总效应，而这个弹性恢复力是用来计算结构各种反应效应的直接量。

如图（5）所示，stn γ为在n s 作用下对应于结构需要求的作用效应值，可以是弯矩、剪力，位移等，则经动力放大后得到该效应的动力反应时程，可表示为：)()(2t D t n n st n n ωγγ⋅= （28）那么总的效应可以表示为：∑==Nn n t t 1)()(γγ （29）总静力效应：∑==Nn stn st1γγ （30）令：st stn n γγγ= （31）n γ称为振型贡献系数，则第n 阶振型的效应可表示为)()(2t D t n n n st n ωγγγ=。

4.2.1 对n γ性质的讨论①n γ是个无量纲的物理量，对于不同的反应量取值是不同；②n γ与正则化方式无关，n n n m s φ][Γ=，nT n T n n m sφφφ][⋅=Γ，上下有两个n φ，n φ的影响被约去；③11=∑=Ni nγ；④n γ有正有负，所以只计算前几个振型并不一定都是小于总效应的，也可能偏大的估计了荷载的作用效应。

4.2.2振型贡献系数与振型参与系数的区别n γ是一个与振型正则化方式无关而与结构特性和激励分布特性有关的量，是衡量各振型对反应量最直观的参数，虽然它不包括动力部分，不能精确反映振型对反应的贡献，但已经能够表现各振型反应的相对大小。

4.2.3 位移也是n f 作用下的一种效应)()(][][1)(][)()(212212t D t D m m t D s k t D u t u n n n n n n n nn n n n n st n n φωφωωωΓ=Γ===-- （32） 这与之前的)()()(t D t q t u n n n n n n Γ==φφ的表达式是相同的，说明效应的表达式具有广泛的适用性。

5、具有经典阻尼的多自由度体系在地震激励下的反应如图（6）所示，以地面为参考系，则各质点受到的惯性力为g um ]][[ι-，它的分布与质量有关，][ι代表地面发生单位位移时各质点发生该方向上的位移，比如转动以及竖向自由度上的位移为0，对于一般受水平方向作用的多自由度体系，常见的简化后的结构计算模型，][ι为]1[。

5.1 求解平衡方程及参数定义如图（6）所示，以地面为参考系，各力分量为：g I uM f ]1][[-=，u c f c ][-=，u k f s ][-= 由牛顿第二定律，可得：um f f f s c I ][=++， （33） 相对于地面，u 为相对于地面的加速度，则上式也可记为：g u m u k u c um ]1][[][][][-=++ （34） 以地面为参考系，右边是体系受到的地震激励，即该参考系下的I f 。

我们可以看到地震激励虽然是一个复杂的随机过程，体现在g u，但它的分布函数是]1][[m ，是一个只与结构特性有关的量。

我们联想到之前介绍的n Γ，n s 等都与激励分布函数有关，那么这部分的影响也一起整合到结构的特性里去了。

类似于前面的分析过程：g Tn n n n n n n um q K q C q M ]1][[φ-=++ （35） 两边同时除以n M ，得到：g nT n nn n n n n uM m q q q⋅-=++]1][[22φωωξ (36) 令nTn n M m ]1][[φ=Γ，这个值与结构特性以及振型正则化方式有关，但却与外部激励无关。

具有性质:{}11=⋅Γ∑=Nn n nφ （37）则（36）式可记为：g n n n n n n n uq q q ⋅Γ-=++22ωωξ （38） 与前面相同，令nnn q D Γ=上式进一步可以化为：g n n n n n n u D D D -=++22ωωξ （39）这里可以通过各种数值积分的方法求解该运动的微分方程，可以得到)(t D n 。

弹性力：)(][)(][)(][)(][)(222t D m t q m t u m t u k t f n n n n n n n n n Γ====φωφωω)(][2t D m n n n n ωφ⋅Γ= （40）令n n n m s φ][Γ= （41）n s 具有的性质：[][]∑==Nn ns m 11 （42）则上式可以写为：)()()(2t A s t D s t f n n n n n n ⋅=⋅=ω （43）式中)(t A n 称为伪加速度反应。