第四章参数的最小二乘法估计
一元线性回归模型及参数的最小二乘估计课件-高二数学人教A版(2019)选择性必修第三册
§8.2 一元线性回归模型及其应用 第1课时 一元线性回归模型及参数的最小二乘估计
1 一元线性回归模型 2 最小二乘法和
经验回归方程
3 利用经验回归方程
进行预测
01 一元线性回归模型
知识梳理
一元线性回归模型：我们称
Y＝bx＋a＋e， Ee＝0，De＝σ2
为Y关于x的_一__元__线__性__回__归_
8
∑i＝1xiyi－8 x b^ ＝ 8
∑i＝1x2i －8 x
y
2
＝132245－6－8×8×52×25982＝14，
所以a^ ＝ y －b^ x ＝98－14×52＝12，故经验回归方程为y^＝14x＋12.
(2)若该次考试数学平均分为120分，物理平均分为91.5分，试由(1)的结 论预测数学成绩为128分的同学的物理成绩.
n
(xi－ x )2
n
x2i －n x 2
i＝1
i＝1
由题意可得 x ＝15×(1＋1.5＋2＋2.5＋3)＝2， y ＝15×(0.9＋0.7＋0.5＋0.3＋0.2)＝0.52.
5
(xi－ x )(yi－ y )＝－1×0.38－0.5×0.18＋0.5×(－0.22)＋1×(－0.32)
i＝1
(1)(2)(3)(4)(5)回归模型，(6)(7)函数模型.
练1习1 若某地财政收入x与支出y满足一元线性回归模型y＝bx＋a＋e(单
位：亿元)，其中b＝0.7，a＝3，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入10亿
元，年支出预计不会超过
A.9亿元 C.10亿元
《计量经济学》第四章知识
《计量经济学》第四章知识第四章古典线性回归模型在引论中，我们推出了满足凯恩斯条件的消费函数与收入有关的一个最普通模型：C=α+βX+ε，其中α＞0，0＜β＜1ε是一个随机扰动。
这是一个标准的古典线性回归模型。
假如我们得到如下例1的数据例1 可支配个人收入和个人消费支出年份可支配收入个人消费1970 751.6 672.11971 779.2 696.81972 810.3 737.11973 864.7 767.91974 857.5 762.81975 847.9 779.41976 906.8 823.11977 942.9 864.31978 988.8 903.21979 1015.7 927.6 来源：数据来自总统经济报告，美国政府印刷局，华盛顿特区，1984。
（收入和支出全为1972年的十亿美元）一、线性回归模型及其假定一般地，被估计模型具有如下形式：y i=α+βx i+εi，i=1,…,n,其中y是因变量或称为被解释变量，x是自变量或称为解释变量，i标志n个样本观测值中的一个。
这个形式一般被称作y对x的总体线性回归模型。
在此背景下，y称为被回归量，x称为回归量。
构成古典线性回归模型的一组基本假设为：1. 函数形式：y i=α+βx i+εi，i=1,…,n,2. 干扰项的零均值：对所有i，有：E[εi]=0。
σ是一个常数。
3. 同方差性：对所有i，有：Var[εi]=σ2，且24. 无自相关：对所有i ≠j ，则Cov[εi ,εj ]=0。
5. 回归量和干扰项的非相关：对所有i 和j 有Cov[x i ,εj ]=0。
6. 正态性：对所有i ，εi 满足正态分布N （0，2σ）。
模型假定的几点说明：1、函数形式及其线性模型的转换具有一般形式i i i x g y f εβα++=)()(对任何形式的g(x)都符合我们关于线性模型的定义。
[例] 一个常用的函数形式是对数线性模型：βAx y =。
第四章平差数学模型与最小二乘法
几何模型中选定元素多于必要元素的元素 2、多余元素——几何模型中选定元素多于必要元素的元素 多余元素 几何模型中选定元素 当几何模型中选定的元素多余必要元素数t 当几何模型中选定的元素多余必要元素数t时，独立量间会产生一个几 作为必要元素， 作为必要元素，则能唯一地确定 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ∆ABC形状与大小 。若选定了 L 1、 L 2 、 L 3 和 S 2 ，则有 L1 + L2 + L3 = 180° 形状与大小
函数模型又分为线性模型和非线性模型两类，非线性模型要线性化。 函数模型又分为线性模型和非线性模型两类，非线性模型要线性化。
一、条件平差法的函数模型
条件平差法： 观测值的真值构成的条件方程为函数模型的平差方法。 条件平差法：以观测值的真值构成的条件方程为函数模型的平差方法。 构成的条件方程为函数模型的平差方法 例如，在图 所示水准网中 所示水准网中， 为已知其高程的水准点 为已知其高程的水准点， 、 、 均为 例如，在图4-2所示水准网中，A为已知其高程的水准点，B、C、D均为 未知点。 未知点。网中观测向量的真值为 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ T L = h1 h2 h3 h4 h5 h6
r ,n n,1 r ,1 r ,1
~ 为常数向量， A0为常数向量，将 L = L + ∆
代入上式， 代入上式，并令
W = AL + A0
(4-2-5) (4-2-6)
则有
A∆ +W = 0
多余观测数r。 （4-2-4）或（4-2-6）式为条件平差的函数模型。条件方程数 多余观测数 。 ） ）式为条件平差的函数模型。条件方程数=多余观测数
若用观测值组成上述两个条件方程，; L2 + L3 − 180° = ω ≠ 0
误差原理第四章 最小二乘法
——在温度 下铜捧长度的测得值；
i
——铜棒的线膨胀系数。
令 y0x1,y0x2为两个待求估计参数，则误差方程可写为
根据误差方程，我们可列出正规方程 又
将以上计算的相应系数值代入上面的正规方程得 解得 即 因此铜棒长度随温度的线性变化规律为
三、不等精度测量线性参数最小二乘法处理 不等精度误差方程转化为等精度误差方程为
4.2精度估计 一、测量数据的精度估计 1. 等精度测量数据的精度估计
例4-4 试求例4-1中铜棒长度的测量精度。 解 已知残余误差方程
可得残余误差为
则标准差为 2．不等精度测量数据的精度估度估计
标准差为
式中 ——测量数据的标准差
2. 不等精度测量的情况 不等精度测量的情况与等精度的类似
例4-5 试求例4-1中铜棒长度和线膨胀系数估计量的精度。 解 已知正规方程为
测量数据 l i 的标准差为
求解不定乘数的方程为
解得 估计量的标准差为 因 故
例4-6 已知 x1 35.3 ，测得x i x j 的值为 l i j ，并已知 l12 69.5 l13 4.4, l14 28.3, l23 64.4, l24 42.1, l34 21.9 试用最小二乘法求 x2 , x3, x4 及其误差。
x (1)直接测量：若条件允许，可直接测量待求量， 所得结果 r 即可作为其近似值。
(2)利用部分方程式进行计算。
例4-3 将下面的非线性残余方程组化成线性的形式。
取方程组中前二式，令 v1 0,v2 0，则可得 R 1 与 R 2
的近似值，即
将函数在 R10 , R20 处展开，取一次项，有
代入残差方程，得线性残差方程 五、对同一量重复测量数据的最小二乘法
第4章 需求回归分析
25 35 -75 65 -35 -65 15 -15 75 -25
625 1225 5625 4225 1225 4225 225 225 5625 625
Y
=175；X =125；∑ (Xi∑(Yi- Y )2=8650；
)( Yi- Y )=10350, X )2=23850；∑(Xi- X
试给出销售量的估计方程。
log Qd log B log b p P log bi I log b0 P0 log bt T
23
幂函数方程的特点：
可以求出相应自变量的边际变化使需求量变化的绝对 数量。但是，这一绝对数量的变化不是既定的常数，而 是受其他自变量数值大小影响。例如： Qd b 1 b0 bt b p aP p I bi P T 0 P 每个系数是相关变量的弹性。例如：
Y
Xi-
X
(Xi-
X
)2
(Xi-
X) ( Yi- Y)
-375 1575 2625 975 1575 975 375 375 2625 -375
(Yi- Y)2 225 2025 1225 225 2025 225 625 625 1225 225
-15 45 -35 15 -45 -15 25 -25 35 15
线性方程 自变量边际变 化引发的因 变量变化的 绝对值 相对比率 不变 变 幂函数 变 不变
25
第三节 需求回归分析 步骤
4. 估计结果及解释
可决系数的 值表示模型的 总解释能力
26
ˆ ±tn-k-1Sb b
如果自变量和因变量之间没有关系，参数b将为零。 因此，应检查在95%的置信区间内是否包括零值。若 不是，则 b ˆ 所度量的X和Y之间的关系在统计上显著 ˆ 不显著 significant；如果包括零，则 b 12 nonsignificant 。
最小二乘估计原理
最小二乘估计原理最小二乘估计是一种常用的参数估计方法，它的原理是通过最小化残差平方和来确定模型的参数，从而找到最优的参数估计值。
在统计学和经济学等领域，最小二乘估计被广泛应用于回归分析和时间序列分析等计量经济学问题中。
最小二乘估计的基本原理是基于最小化误差平方和来确定参数的方法。
在回归分析中，我们通常有一组自变量和一个因变量，目标是通过自变量来准确预测因变量。
我们假设因变量与自变量之间存在一种线性关系，并用参数来刻画这种关系。
在最小二乘估计中，我们根据给定的一组样本数据拟合一个线性模型，形式为：Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βkXk + ε其中，Y代表因变量，X1, X2, ..., Xk代表自变量，β0, β1, β2, ..., βk 代表参数，ε表示误差项，即因变量Y的观测值与拟合值之间的差异。
我们的目标是找到最优的参数估计值，即使得误差平方和最小化的参数组合。
为了实现这一目标，我们需要制定一个误差平方和的损失函数。
而在最小二乘估计中，我们选择平方误差和作为损失函数，即损失函数为：L(β0, β1, β2, ..., βk) = Σ(Yi - (β0 + β1X1i + β2X2i + ... + βkXki))^2其中，i代表样本数据的索引，Yi代表第i个样本数据的因变量值，X1i, X2i, ..., Xki代表第i个样本数据的自变量值。
我们的目标是通过最小化损失函数来找到最优的参数估计值。
为了实现这一目标，我们需要对损失函数进行求导，并令其等于零，求得使损失函数最小化的参数。
对损失函数L(β0, β1, β2, ..., βk)进行偏导数求解，得到以下方程组：∂L/∂β0 = -2Σ(Yi - (β0 + β1X1i + β2X2i + ... + βkXki)) = 0∂L/∂β1 = -2ΣX1i(Yi - (β0 + β1X1i + β2X2i + ... + βkXki)) = 0...∂L/∂βk = -2ΣXki(Yi - (β0 + β1X1i + β2X2i + ... + βkXki)) = 0通过解以上方程组，我们可以得到最优的参数估计值，从而得到最小二乘估计。
最小二乘估计的推导
最小二乘估计的推导最小二乘估计是一种常用的参数估计方法，尤其在统计学和经济学领域得到广泛应用。
它的推导涉及到一些数学推理和统计原理，我将在本文中逐步解释和展示最小二乘估计的推导过程，并探讨其应用和优势。
1. 引言最小二乘估计是一种通过最小化观测值与预测值之间的差异来估计参数的方法。
它的基本思想是找到一组参数值，使得观测值与对应的预测值之间的平方差最小化。
这种方法在数据分析和回归分析中非常有用，因为它能够提供可靠的参数估计和预测模型。
2. 最小二乘估计的基本原理最小二乘估计的推导涉及到线性回归模型，即因变量Y与自变量X之间的线性关系。
假设我们有n个观测值，表示为（Xi，Yi），i=1，2，...，n。
我们的目标是找到一条直线Y=aX+b，使得所有观测值到这条直线的距离之和最小化。
距离的平方和可以表示为：S = Σ(Yi - (aXi + b))²我们的目标是最小化这个平方和。
为了找到最优的参数估计，我们需要找到使得S最小的a和b的值。
3. 最小化平方和我们可以通过对S求导，令导数等于零，来求解a和b的值。
具体地，我们分别对a和b求导，并令导数等于零：∂S/∂a = -2ΣXi(Yi - (aXi + b)) = 0∂S/∂b = -2Σ(Yi - (aXi + b)) = 0通过求解以上两个方程，我们可以得到最小二乘估计的闭合解：a = (ΣXiYi - n X̄Ȳ) / (ΣXi² - n X̄²)b = Ȳ - a X̄其中，X̄和Ȳ分别表示X和Y的均值，Σ表示求和符号。
4. 应用和优势最小二乘估计在实际应用中具有广泛的用途。
在经济学中，我们可以通过最小二乘估计来估计需求曲线和供给曲线的参数，从而预测市场的走势和变化。
在统计学中，最小二乘估计可以用于拟合数据并构建预测模型。
它是最经典的回归分析方法之一，可用于解释和预测变量之间的关系。
最小二乘估计具有一些优势。
最小二乘估计方法
最小二乘估计方法最小二乘估计方法数学中的最小二乘估计方法广泛应用于数据分析、统计学和经济学等领域，为研究问题提供了一个可靠的数学手段。
最小二乘估计方法的基本思想是基于数据的统计分布特性，使用最小化误差平方和的方法对数据进行拟合估计。
一、基本概念最小二乘法是一种数据拟合方法，它通过拟合方程与观测值之间的残差平方和，来评估拟合程度。
在进行最小二乘法时，首先需要建立合适的函数模型，然后将实际观测值代入模型，获得拟合值。
最后，将残差平方和最小化，确定拟合值。
二、实际应用最小二乘法在实际应用中非常广泛，例如我们可以通过最小二乘法来解决以下问题：1. 数据拟合问题：通过最小化残差平方和来拟合一组数据，可以得到最优解，同时可以帮助我们探索数据之间的关系。
2. 函数拟合问题：对于一些复杂的函数，我们可以使用最小二乘法来确定其参数，从而得到最优的函数拟合。
3. 数据处理问题：在处理实际数据时，我们可以使用最小二乘法来去除数据中的误差，从而得到更准确的结果。
三、特点优势最小二乘法有着广泛的应用和优势，其中一些重要的特点包括：1. 精度高：通过最小二乘法，我们可以在一定程度上排除测量误差，从而得到更精确的估计结果。
2. 建模灵活：最小二乘法的建模过程相对较灵活，可以适应不同的数据分布和模型建立。
3. 稳定性好：对于数据分布存在小波动情况的数据，最小二乘估计方法也有较好的稳定性。
四、总结在科学研究和实际应用中，最小二乘法是一种强大的工具，可以用来拟合数据、解决函数拟合问题以及处理数据中的误差。
它具有精度高、建模灵活和稳定性好等优点，成为了数据科学领域的重要方法之一。
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---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 第四章参数的最小二乘法估计第四章参数的最小二乘法估计第四章最小二乘法与组合测量 1 概述最小二乘法是用于数据处理和误差估计中的一个很得力的数学工具。
对于从事精密科学实验的人们来说，应用最小乘法来解决一些实际问题，仍是目前必不可少的手段。
例如，取重复测量数据的算术平均值作为测量的结果，就是依据了使残差的平方和为最小的原则，又如，在本章将要用最小二乘法来解决一类组合测量的问题。
另外，常遇到用实验方法来拟合经验公式，这是后面一章回归分析方法的内容，它也是以最小二乘法原理为基础。
最小二乘法的发展已经经历了 200 多年的历史，它最先起源于天文和大地测量的需要，其后在许多科学领域里获得了广泛应用，特别是近代矩阵理论与电子计算机相结合，使最小二乘法不断地发展而久盛不衰。
本章只介绍经典的最小二乘法及其在组合测量中的一些简单的应用，一些深入的内容可参阅专门的书籍和文献。
2 最小二乘法原理最小二乘法的产生是为了解决从一组测量值中寻求最可信赖值的问题。
对某量 x 测量一组数据 x1, x2, , xn，假设数据中不存在系统误差和粗大误差，相互独立，服从正态分布，它们的标准偏1 / 22差依次为：1, 2, n 记最可信赖值为，相应的残差 vi xi 。
测值落入(xi, xi dx) 的概率。
vi21Pi exp( 2) dx 2 i i2 根据概率乘法定理，测量x1, x2, , xn 同时出现的概率为 P Pi vi211n exp[ () ](dx) n2ii i() 显然，最可信赖值应使出现的概率 P 为最大，即使上式中页指数中的因子达最小，即ivi22 i Min 2 o1 权因子：wi 2 即权因子 wi2，则i i 2[wvv] wvii Min 再用微分法，得最可信赖值wxi 1 nii 即加权算术平均值w i 1i 这里为了与概率符号区别，以i 表示权因子。
特别是等权测量条件下，有：[vv] vi2 Min 以上最可信赖值是在残差平方和或加权残差平方和为最小的意义下求得的，称之为最小二乘法原理。
它是以最小二乘方而得名。
为从一组测量数据中求得最佳结果，还可使用其它原理。
例如（1）最小绝对残差和法：vi Min （2）最小最大残差法：maxvi Min （3）最小广义权差法：maxvi minvi Min 以上方法随着电子计算机的应用才逐渐引起注意，但最小二乘法便于解析，至今仍用得最广泛。
3. 线性参数最小二乘法先举一个实际遇到的测量问题，---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 为精密测定三个电容值: x1, x2, x3 采用的测量方案是，分别等权、独立测得 x1, x2, x1 x3, x2 x3, 列出待解的数学模型。
x1 =0. 3 x2 =-0. 4 x1 +x3=0. 5 x2+x3=-0. 3 这是一个超定方程组，即方程个数多于待求量个数，不存在唯一的确定解，事实上，考虑到测量有误差，记它们的测量误差分别为 v1, v2, v3, v4，按最小二乘法原理v 组。
2i Min 分别对 x1, x2, x3 求偏导数，令它们等于零，得如下的确定性方程 (x1-0. 3) +(x1+x3-0. 5) =0 (x2+0. 4) +(x2+x3+0. 3) =0 (x1+x3-0. 5) +(x2+x3+0. 3) =0 可求出唯一解 x1=0. 325, x2=-0. 425, x3=0. 150 这组解称之为原超定方程组的最小二乘解。
以下，一般地讨论线性参数测量方程组的最小二乘解及其精度估计。
一、正规方程组设线性测量方程组的一般形式为：yi ai1x1 ai2x2 aitxt (i 1, 2, , n)即 y1 a11x1 a12x2 a1txty2 a21x1 a22x2 a2txt yn an1x1 an2x2 antxt 式中，有 n 个直接测得值 y1, y2, , yn， t 个待求量 x1, x2, , xt。
nt, 各 yi 等权，无系统误差和粗大误差。
固 yi 含有测量误差，每个测量方程都不严格成立，故有相应的测量残差方程组 vi yi aijxj (i 1, 2, , n) j3 / 221t yi 实测值 xj 待估计量，最佳估计值，最可信赖值axij j 1tj 最可信赖的y 值。
按最小二乘法原理，待求的 xj 应满足 [vv] v [yi aijxj]2 Min 2 i i 1i 1j 1nnt 上式分别对 xj 求偏导数，且令其等于零，经推导得 [a1a1]x1 [a1a2] x2 [a1at]xt [a1] [a2a1] x1 [a2a2]x2 [a2at]xt [a2] 正规方程组 [ata1]x1 [ata2] x2 [atat] xt [at] 式中， aj， y 分别为如下列向量a1j aj aj 2 anj y1 y y 2 yn [alak]和[ajy]分别为如下两列向量的内积：[alak]=a1la1k a2la2k anlank [ajy]=a1jy1 a2jy2 anjyn 正规方程组有如下特点：（1）主对角线系数是测量方程组各列系数的平方和，全为正数。
（2）其它系数关于主对角线对称（3）方程个数等于待求量个数，有唯一解。
由此可见，线性测量方程组的最小二乘解归结为对线性正规方程组的求解。
为了便于进一步讨论问题，下面借助矩阵工具给出正规方程组的矩阵形式。
记列向量y1 x1 y x 2Y X 2 V y xt n 和 n t 阶矩阵v1 l1 v l 2---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------L= 2 vn ln a11a12 a1tA aa a21222t aa a nt n1n2 则测量方程组可记为：AX=Y 一般意义下的方程组测量残差方程组记为L1L L 2 Ln 当估计出的 xj 已经是最可信赖的值，则 AX 是 yi 的最佳结果。
最小二乘原理记为 (L-AX) T(L-AX) Min 利用矩阵的导数及其性质有T VT (VV) 2V①x x LT(XTAT) 2()(L-AX) ② x x 2AT(L-AX) 2ATL-2ATAX 令T(VV) 0，得正规方程组的矩阵形式。
x ATAX=AL 展开系数矩阵 ATA 和列向量 ATL，可得代数形式的正规方程组。
上述①②和矩阵的导数有关，因此，我们来分析矩阵最小二乘法。
二、矩阵最小二乘法 1. 矩阵的导数设 n t 阶矩阵。
a11a12a1t(a) (AA A) Ai aa a2tij12t 2122) aa a nt nin2 n 阶列向量（n+1 阶矩阵）V 和 t 阶列向量 X v1 v V 2 vnx1 x X 2 xt V 与 X 的转置（行向量）5 / 22记为 VT 与 XT. 关于向量 X 的标量函数。
(X) (x1x2 xt)定义如下几个导数。
（1）矩阵对标量 x 的导数矩阵内 A 元素 aij 是 x 的函数，对矩阵 AX 的导数，定义为各元素对 x 的导数，构成新的导数矩阵。
若 aij 是变量 x 的函数，则定义 dAdaij () (E-1) dxdx （2）标量函数对向量的导数标量函数，对列向量 X 的导数，等于标量函数对向量 X 的组成元素 xi(i 1～t) 的导数组成的列向量（行向量的转置）y y y yT () (E-2) x x1 x2 xt 标量函数，对行向量 XT 的导数，等于标量函数对向量 X 的组成元素 xi(i 1～t) 的导数组成的行向量。
y y y y y ( ) () T (E-3) xT x1 x2 xt x （3）行（列）向量对列（行）向量的导数 VT (v1v2 vn) 行向量 VT 对列向量 X 的导数等于行向量各组成元素，对列向量各组成元素分别求得v x 1 v1T v v v V x2 i n vn x1 vn x2 (E-4) x x x x v1v n xt xt v1v1 x1 xt V v v v v vnT XT (xT xT xT) x1x VT T t ＝X vn x v n i xt 关于矩阵的导数有如下性质：（1）矩阵 A 和 B 乘积对标量 x 的导数 d(AB) dx---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------AdB dx dA dxB (E-6) （2）常数阵的导数为零矩阵。
dA dx 0 (E-7) （3）向量关于自身转置向量的导数为单位方阵。
XT X=dX dXT I (E-8) （4）向量与向量转置乘积的导数(VTV) VT x=2 xV (E-9) (VTV) TXT 2VV XT (E-10) （5）关于常数矩阵与向量乘积的导数 (E-5) (XTA) A (E-11) X TT(AX) =A (E-12) T X VTT(VAV)=2AV (E-13) X X TT(VAV) =2VA (E-14) XT XT 利用（E-1）、（E-4）、和（E-5）三个定义式，容易证明式（E-6）、（E-7）、（E-8）、和（E-11）、（E-11）成立。
①以下证明式（E-9）注意到式（E-2）和式（E-4）即，标量对列向量求导T ( ) (E-2) x x1x2xt vn x1vn x2(E-4) vn xt v x 1 v1T v v v V x2 行向量对列向量求导( n) X X X X v1 x t vn v12v 2vn 1 x x11 2 式（E-9）左( vi) x v v 2v1i 2vnn x xt tv1vn x x v11T1v V2 22V 右x v v 1 n v x x n tt 类似地，可以证得式（E-10）成立。