指数函数及其性质二

指数函数的性质2普通班用

2.1.2
指数函数及其性质
第二课时
指数函数的性质
1.指数函数概念一般地，函数y=ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R 2.指数函数的图象和性质(见下表)
a>1 图象
0<a<1
性质
(1)定义域：R (2)值域(0，＋∞) (3)过点(0，1)，即x＝0时，y＝1 (4)在R上是增函数在R上是减函数
2 m 2 n 例1、(1)若 ( ) ( ) , 则m与n的大小如何? 3 3
(2)求不等式a a
x 1 x
(a 0, 且a 1)中
x的取值范围
例2．求下列函数的定义域与值域
⑴y ⑵
2 1
x
3 x
y2
⑶
y 3
5 x1
1 x 思考1:函数y 2 与 y ( ) 2 x 的图象 2 y 2x 有什么关系？
x x
x
知识探究一：函数 y a (a 1) 的性质
x
思考3:若a>b>1，则函数 y a 与 y 相对位置关系如何？ x ya y bx
x
b 的图象的
x
y
1
0 x
知识探究二：函数 y a (0;a<1，则函数 y a 与 y 的图象的相对位置关系如何？ y bx y
x
b
x
ya
x
1
0
x
作业：
系统集成 P39-40自学检测1-5
课后巩固演练 1-6,8
P41-42
x
1 y 2
x
8 7
fx =
x 2
6
5

第2课时指数函数及其图象、性质(二) 高一数学

所以f(x)的单调递增区间是(-∞,0],单调递减区间是(0,+∞).
答案:(-∞,0] (0,+∞)
【思考辨析】
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误
的打“×”.
(1)若函数g(x)=af(x)(a>0,且a≠1),则g(x)与f(x)的定义域与值域
相同.( × )
(2)函数y=4-|x|的单调递增区间是(0,+∞),单调递减区间是(-∞,0).
-

=

+3x=f(x),所以 f(x)是偶函数.
(2)由 4x-1≠0 得 x≠0,即函数的定义域为{x|x≠0},∀x∈{x|x≠0},
- +
都有-x∈{x|x≠0},且 f(-x)=
所以函数 f(x)是奇函数.
- -
=
+
-
+
=- - =-f(x),
√

;
(2)f(x)=9x+3x+1.
解:(1)要使函数有意义,应满足 x≥0,故函数的定义域为[0,+∞).
当 x≥0 时,√≥0,所以 0<
√

≤1,故函数的值域为(0,1].
(2)由题意可知函数的定义域为 R.
令 3 =t(t>0),则
x
y=t2+3t=
+

因为 t>0,所以 y= +
(1)当a>1时,y=af(x)的单调区间与y1=f(x)的单调区间完全相同;
(2)当0<a<1时,y=af(x)的单调区间与y1=f(x)的单调区间完全相
反.

指数函数的图像及性质2

2.1.2指数函数及其性质的应用(2)班级：姓名：编者：阮娟萍高一数学备课组问题引航1.能熟练说出指数函数的性质。

2.会求简单复合函数的性质。

3.会利用指数函数的性质比较幂值的大小。

自主探究1．函数)1,0(≠>=a a y a x 的定义域是，值域． 2．函数)1,0(≠>=a a y a x ．当ａ＞１时，若ｘ＞０时，ｙ１，若ｘ＜０时，ｙ１；若ｘ＝１时，ｙ１；当０＜ａ＜１时，若ｘ＞０时，ｙ１，若ｘ＜０时，ｙ１；若ｘ＝１时，ｙ１．3．函数)1,0(≠>=a a y a x 是函数（就奇偶性填）．互动探究1．函数y=a x+2－3(a ＞0且a ≠1)必过定点________．2．函数y ＝a |x|(0＜a ＜1)的图像是（）3．比较下列各题中两个值的大小:(1) 35.27.1 ,7.1 (2) 2.01.08.0 ,8.0--(3) 1.33.09.0 ,7.1 (4) 比较2131a a 与的大小，)1,0(≠>a a 且当堂检测１．函数2121x x y -=+是（） A 、奇函数 B 、偶函数 C 、既奇又偶函数 D 、非奇非偶函数２．函数21x y =的单调递减区间是（）Ａ．（－∞，＋∞）Ｂ．（－∞，０）Ｃ．（０，＋∞）Ｄ．（－∞，０）和（０，＋∞）3．若函数x a y )12(+=是减函数，则a 的取值范围是__________________.4．函数y=4x 与函数y=4-x 的图像关于________对称．*5.已知的大小关系是则c b a c b a ,,,2.1,8.0,8.08.09.07.0===？自我评价你对本节课知识掌握的如何（）A.非常好B.较好C.一般D.较差E.很差。

学案8：2.1.2 指数函数及其性质(二)

2.1.2 指数函数及其性质(二)自主学习学习目标1．理解指数函数的单调性与底数a 的关系，能运用指数函数的单调性解决一些问题．2．理解指数函数的底数a 对函数图象的影响．基础自测1．下列一定是指数函数的是( )A ．y ＝－3xB ．y ＝x x (x >0，且x ≠1)C ．y ＝(a －2)x (a >3)D ．y ＝(1－2)x2. 指数函数y ＝a x 与y ＝b x 的图象如图，则( )A ．a <0，b <0B ．a <0，b >0C ．0<a <1，b >1D ．0<a <1,0<b <13．函数y ＝πx 的值域是( )A ．(0，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．RD ．(－∞，0)4．若指数函数f (x )＝(a ＋1)x 是R 上的减函数，那么a 的取值范围为( )A ．a <2B ．a >2C ．－1<a <0D ．0<a <1题型探究类型一比较大小问题【例1】比较下列各题中两个值的大小：(1)3π与33.14； (2)0.99－1.01与0.99－1.11； (3)1.40.1与0.90.3.规律方法比较两指数大小时，若底数相同，则先构造出该底数的指数函数，然后利用单调性比较；若底数不同，则考虑选择中间量，通常选择“1”作为中间量．变式迁移1 比较⎝⎛⎭⎫4313，223，⎝⎛⎭⎫－233，⎝⎛⎭⎫3412的大小．类型二解简单的指数不等式【例2】如果a 2x ＋1≤a x －5(a >0，且a ≠1)，求x 的取值范围．规律方法解a f (x )>a g (x )(a >0且a ≠1)此类不等式主要依据指数函数的单调性，它的一般步骤为变式迁移2 已知(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x ，则x 的取值范围是____________．类型三指数函数的最值问题【例3】 (1)函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2，求a 的值； (2)如果函数y ＝a 2x ＋2a x －1(a >0且a ≠1)在[－1,1]上有最大值14，试求a 的值．规律方法指数函数y ＝a x (a >1)为单调增函数，在闭区间[s ，t ]上存在最大、最小值，当x ＝s 时，函数有最小值a s ；当x ＝t 时，函数有最大值a t .指数函数y ＝a x (0<a <1)为单调减函数，在闭区间[s ，t ]上存在最大、最小值，当x ＝s 时，函数有最大值a s ；当x ＝t 时，函数有最小值a t .变式迁移3 (1)函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为6，求a 的值；(2)0≤x ≤2，求函数y ＝4x －12－3·2x ＋5的最大值和最小值．课堂小结1．指数函数的定义及图象是本节的关键．通过图象可以求函数的值域及单调区间．2．利用指数函数的性质可以比较两个指数幂的大小(1)当两个正数指数幂的底数相同时，直接利用指数函数的单调性比较大小．(2)当两个正数指数幂的底数不同而指数相同时，可利用两个指数函数的图象比较它们的大小．(3)当两个正数指数幂的底数不同而且指数也不相同时，可考虑能否利用“媒介”数来比较它们的大小．3．通过本节的学习，进一步体会分类讨论思想在解题中的应用．当堂检测一、选择题1．下图分别是函数①y ＝a x ；②y ＝b x ；③y ＝c x ；④y ＝d x 的图象，a ，b ，c ，d 分别是四数2，43，310，15中的一个，则相应的a ，b ，c ，d 应是下列哪一组( )A.43，2，15，310B.2，43，310，15C.310，15，2，43D.15，310，43，2 2．已知a ＝30.2，b ＝0.2－3，c ＝(－3)0.2，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．b >c >a3．若(12)2a ＋1<(12)3－2a ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1，＋∞) B ．(12，＋∞) C ．(－∞，1) D ．(－∞，12)4．设13<(13)b <(13)a <1，则( ) A ．a a <a b <b a B ．a a <b a <a b C ．a b <a a <b a D ．a b <b a <a a5．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a x ， x >14－a 2x ＋2， x ≤1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．(1，＋∞) B ．(1,8) C ．(4,8) D ．[4,8)二、填空题6．当x ∈[－1,1]时，函数f (x )＝3x －2的值域是____________．7．a ＝0.80.7，b ＝0.80.9，c ＝1.20.8，则a ，b ，c 的大小关系是____________．8．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，则不等式f (x )<－12的解集是__________．三、解答题9．解不等式a x ＋5<a 4x －1 (a >0，且a ≠1)．10．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －1＋12·x 3. (1)求f (x )的定义域； (2)判断f (x )的奇偶性； (3)求证：f (x )>0.【参考答案】基础自测1．C 2.C 3.A 4.C题型探究【例1】解 (1)构造函数y ＝3x .∵a ＝3>1，∴y ＝3x 在(－∞，＋∞)上是增函数．∵π>3.14，∴3π>33.14.(2)构造函数y ＝0.99x .∵0<a ＝0.99<1，∴y ＝0.99x 在(－∞，＋∞)上是减函数．∵－1.01>－1.11，∴0.99－1.01<0.99－1.11.(3)分别构造函数y ＝1.4x 与y ＝0.9x .∵1.4>1,0<0.9<1，∴y ＝1.4x 与y ＝0.9x在(－∞，＋∞)上分别为增函数和减函数．∵0.1>0，∴1.40.1>1.40＝1.∵0.3>0，∴0.90.3<0.90＝1，∴1.40.1>1>0.90.3，∴1.40.1>0.90.3.变式迁移1 解将⎝⎛⎭⎫4313，223，⎝⎛⎭⎫－233，⎝⎛⎭⎫3412分成如下三类：(1)负数⎝⎛⎭⎫－233； (2)大于0小于1的数⎝⎛⎭⎫3412；(3)大于1的数⎝⎛⎭⎫4313，223.∵⎝⎛⎭⎫4313<413，而413＝223， ∴⎝⎛⎭⎫－233<⎝⎛⎭⎫3412<⎝⎛⎭⎫4313<223. 【例2】解 (1)当0<a <1时，由于a 2x ＋1≤a x －5，∴2x ＋1≥x －5，解得x ≥－6.(2)当a >1时，由于a 2x ＋1≤a x －5，∴2x ＋1≤x －5，解得x ≤－6.综上所述，x 的取值范围是：当0<a <1时，x ≥－6；当a >1时，x ≤－6.变式迁移2 (12，＋∞) 解析 a 2＋a ＋2＝(a ＋12)2＋74>1. ∴y ＝(a 2＋a ＋2)x 在R 上是增函数．∴x >1－x ，解得x >12. ∴x 的取值范围是(12，＋∞)．【例3】解 (1)①若a >1，则f (x )在[1,2]上递增，最大值为a 2，最小值为a .∴a 2－a ＝a 2，即a ＝32或a ＝0(舍去). ②若0<a <1，则f (x )在[1,2]上递减，最大值为a ，最小值为a 2.∴a －a 2＝a 2，即a ＝12或a ＝0(舍去)，综上所述，所求a 的值为12或32. (2)设t ＝a x ，则原函数可化为y ＝(t ＋1)2－2，对称轴为t ＝－1.①若a >1，∵x ∈[－1,1]，∵t ＝a x 在[－1,1]上递增，∴0<1a≤t ≤a ； ∴y ＝(t ＋1)2－2当t ∈[1a，a ]时递增．故当t ＝a 时，y max ＝a 2＋2a －1.由a 2＋2a －1＝14，解得a ＝3或a ＝－5(舍去，∵a >1)．②若0<a <1，t ＝a x 在[－1,1]上递减，t ∈[a ，1a]， y max ＝a －2＋2a －1－1＝14，解得a ＝13或a ＝－15(舍去)．综上，可得a ＝13或3. 变式迁移3 解 (1)∵f (x )＝a x 在[1,2]上是单调函数，∴f (x )在1或2时取得最值．∴a ＋a 2＝6，解得a ＝2或a ＝－3，∵a >0，∴a ＝2.(2)y ＝12·22x －3·2x ＋5＝12(22x －6·2x )＋5 ＝12(2x －3)2＋12. ∵x ∈[0,2]，1≤2x ≤4，∴当2x ＝3时，y 最小值＝12，当2x ＝1时，y 最大值＝52. 当堂检侧1．C2．B 【解析】c <0，b ＝53>3,1<a <3，∴b >a >c .3．B 【解析】函数y ＝(12)x 在R 上为减函数， ∴2a ＋1>3－2a ，∴a >12. 4．C 【解析】由已知条件得0<a <b <1，∴a b <a a ，a a <b a ，∴a b <a a <b a .5．D 【解析】因为f (x )在R 上是增函数，故结合图象知 ⎩⎪⎨⎪⎧ a >14－a 2>04－a 2＋2≤a，解得4≤a <8.6.⎣⎡⎦⎤－53，1 7．c >a >b 【解析】y ＝0.8x 为减函数，∴0.80.7>0.80.9，且0.80.7<1，而1.20.8>1，∴1.20.8>0.80.7>0.80.9.8．(－∞，－1)【解析】∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(1－2x )＝2x －1.当x >0时，由1－2－x <－12得x ∈∅；当x ＝0时，f (0)＝0<－12不成立；因此当x <0时，由2x －1<－12得x <－1.综上可知x ∈(－∞，－1)．9．解当a >1时，原不等式可变为x ＋5<4x －1.解得x >2；当0<a <1时，原不等式可变为x ＋5>4x －1.解得x <2.故当a >1时，原不等式的解集为(2，＋∞)；当0<a <1时，原不等式的解集为(－∞，2)．10．(1)解由2x －1≠0，得x ≠0.∴函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)解由于函数f (x )的定义域关于原点对称，f (－x )＝⎝⎛⎭⎫12－x －1＋12·(－x )3 ＝－⎝⎛⎭⎫2x 1－2x ＋12x 3＝⎝⎛⎭⎫12x －1＋12·x 3 ＝f (x )，所以f (x )为偶函数．(3)证明当x >0时，12x －1>0，x 3>0， ∴f (x )>0，又∵f (x )为偶函数，∴x <0时，f (x )>0，综上所述，对于定义域内的任意x 都有f (x )>0.。

2.1.2指数函数及其性质2

③ 1.7 ，0.9
0 .3
3.1
解③ ：根据指数函数的性质，得 3.1 0.3 1.7 1 且 0.9 1
3.2
3.2
3
3
2.8
2.8
2.6
2.6
2.4
2.4
2.2
2.2
2
2
1.8
1.8
fx = 0.9x
fx = 1.7x
1.6
1.6
1.4
1.4
1.2
1.2
1
1
0.8
0.8
0.6
2a 1 1 1 a a , 且a 1 2
1 2 a 1
作出函数图像： 1。列表 2。描点
3。连线
y
y= 2- x
4 3 2 1 -3 -2 -1 0 1 2 3
y=2x
x
指数函数: y=ax (a >0且a=1) a>1 0<a<1 y y y=ax y=ax 图 (0<a<1) (a>1)
(0,1)
y=1
y=1
(0,1)
象
0
当 x < 0 时，0＜y < 1；定
x
0
x
当义域 : R x < 0 时，y > 1；性当 x > 0 时，y域 : ( 0 , + ∞ 当)x > 0 时，0＜y < 1 。值 > 1. 必过点： 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 . ( 质在 R 上是增函数在 R 上是减函数
a 和a
1 2
1 3
的大小，其中a>0

2.1.2指数函数及其性质(2)课件人教新课标

课堂小结
1. 指数复合函数的单调性； 2. 指数函数图象的变换．
a＞1
0＜a＜1
图
y
y＝ax y＝ax
y
(a＞1) (0＜a＜1)
象
(0,1)
y＝1
(0,1) y＝1
O
x
O
x
定义域 R；值域(0，＋∞)
性过点(0，1)，即x＝0时，y＝1
质在R上是增函数
在R上是减函数
x＞0时，ax＞1; x＞0时，0＜ax＜1;
x＜0时，0＜ax＜1 x＜0时，ax＞1
复习引入
练习
1.解不等式：
复习引入
练习
2.
复习引入
练习
3. 函数y＝a x－1＋4恒过定点
.
A．(1，5) C．(0，4)
B．(1，4) D．(4，0)
复习引入
练习
4. 下列函数中，值域为(0，＋∞)的函数
是
()
讲授新课
一、指数函数图象的变换 1.说明下列函数图象与指数函数y＝2x的图象关系，并画出它们的图象:
9 8 7 6 5 4 3 2 1
-4 -2 O
2 4x
作出图象，显示出函数数据表
x
-3
-2 -1 0 1 2 3
0.125 0.25 0.5 1 2 4 8
0.0625 0.125 0.25 0.5 1 2 4
0.03125 0.0625 0.125 0.25 0.5 1 2
y
9 8 7 6 5 4 3 2 1
2.1.2指数函数及其性质
复习引入
指数函数的图象和性质：
a＞1
0＜a＜1
图象
定义域 R；值域(0，＋∞)

指数函数及其性质 (2)

教学设计《指数函数及其性质》湖南省保靖县雅丽中学数学组徐立新一、教材分析（一）教材背景本节课选自人教版必修一第二章第一节第二课时.指数函数是在学习了函数的定义及其图像、性质，掌握了研究函数的一般思路之后，学习的第一个重要的基本初等函数.（二）本课的地位和作用在讲授本节课前，学生已经研究了基本的函数概念及性质及二次函数、反比例函数及特殊的幂函数等，从方法上讲学生已经清楚了如何借助于图象研究性质，基本能够按类比迁移的方式来研究指数函数的性质，这也为本节课学生的自主探究提供了可能；与此同时，指数函数也是后面学习对数函数、三角函数的基础，因此这段内容在教材中起着重要的承上启下作用。

（三）重难点分析重点：本节课是围绕指数函数的概念和图象，并依据图象特征归纳其性质展开的。

因此本节课的教学重点是掌握指数函数的图象和性质。

难点： 1、对于底数用 a >1 和0< a <1 时函数图象的不同特征，学生不容易归纳认识清楚。

因此，弄清楚底数a对函数图象的影响是本节的难点之一。

2、底数互为倒数的两个函数图象间的关系。

二、教学目标知识与技能：1、理解指数函数的概念，能画出具体指数函数的图象；2、掌握函数的基本性质，能利用函数的单调性解决问题。

过程与方法：1、学会采用类比研究的方法探讨指数函数问题的数学思维方法，提高合情猜想能力；2、在数学实验平台上，经历列表描点、绘制具体函数图象、图象的动态变换三个步骤体验指数函数的图象特征，并归纳函数性质。

情感价值观：培养学生主动探求知识、合作交流的意识，在学生的亲身操作中，感受数学的力量，坚定数学学习信念。

三、学情分析认知分析: 指数函数及其性质能力分析: 在学生刚刚学习了函数的定义、图象、性质，已经掌握了研究函数的一般思路，对于本节课的学习会有很大帮助。

学习过程中难免会出现困难.本节内容思维量较大，对思维的严谨性和分类讨论、归纳推理能力有较高要求，学生学习起来有一定难度。

指数函数图象及性质(二)

探索指数函数在大数据分析、人工智能和机器学习等领域的应用，为解决实际问题提供新的思路和方法。
谢谢观看
详细描述
当函数值大于0时，指数函数图像向上平移；当函数值小于0时，指数函数图像向下平移。平移的单位长度与平移的常数有关。
横向伸缩
总结词
指数函数图像在x轴方向上的伸缩
详细描述
当底数大于1时，指数函数图像在x轴方向上被压缩；当底数小于1时，指数函数图像在x轴方向上被拉伸。伸缩的程度与底数的大小有关。
象中的规律。
指数函数在解决实际问题中具有独特的优势，能够为决策提供科
学依据。
未来研究的方向和展望
01 02 03 04
深入研究指数函数的性质和特征，探索其在不同领域的应用前景。
结合现代数学和计算机技术，发展指数函数的计算方法和数值模拟技术。
加强指数函数与其他数学分支的交叉研究，推动数学理论的发展和应用。
在物理领域的应用
01
02
03
放射性衰变
放射性衰变是一个指数函数，描述了放射性物质随时间衰减的规律。
电路中的RC电路
在RC电路中，指数函数描述了电流随时间的变化规律。
人口增长模型
一些人口增长模型使用指数函数来描述人口随时间的变化。
在数学领域的应用
求解微分方程
在求解一些初值问题和边值问题时，我们可能需要用到指数函数。
纵向伸缩
总结词
指数函数图像在y轴方向上的伸缩
详细描述
当底数大于1时，指数函数图像在y轴方向上被拉伸；当底数小于1时，指数函数图像在 y轴方向上被压缩。伸缩的程度与底数的大小有关。
03
指数函数的性质研究
单调性
单调增函数

2.1.2 指数函数及其性质第二课时课件(人教A版必修一)

个函数值. ∵底数1.7>1， x ∴y=1.7 在R上是增函数, ∵2.5<3， 2.5 3 ∴1.7 <1.7 , 即： 1.72.5<1.73 .
-0.1 -0.2 x 解：（2）0.8 、0.8 可以看作函数y=0.8 的两
个函数值.
∵底数0<0.8<1， x ∴y=0.8 在R上是减函数, ∵-0.1>-0.2， -0.1 -0.2 ∴0.8 <0.8 , -0.1 -0.2 即： 0.8 <0.8 .
人教新课标版(A) 必修1
2.1
指数函数
2.1.2
指数函数及其性质(2)
复习导入
1．指数函数的定义 x 一般地，函数y=a (a>0,且a≠1)叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域是R．
复习导入
a>1
图象定义域值域性质 R
0<a<1
探究：（3）你看到我国人口数的增长呈现什么趋势？
探究：（4）你是如何看待我国的计划生育政策的？
课堂练习
1．比较下列各题中两个数的大小： 3.5 4 （1）1.9 ，1.9 ；
1．比较下列各题中两个数的大小： -0.2 -0.1 （2）0.6 ，0.6 ；
1．比较下列各题中两个数的大小：（3）1.80.3，0.73.1.
所以，经过x年，人口数为 x x y=13×(1+1%) =13×1.01 （亿）. 当x=20时， 20 y=13×1.01 ≈16（亿）. 所以，经过20年后，我国人口数最多为16亿.
探究：（1）如果人口年均增长率提高1个百分点，利用计算器分别计算20年，33年后我国的人口数.