2017-2018学年浙江省宁波市九校联考高二(下)期末数学试卷及答案
最新【word精校版】江省宁波市2017学年第二学期九校联考期末考高二数学试题
解得 或 或 ，………………5分
所以原不等式的解集为 . ………………6分
（Ⅱ） ，
所以 ，解得 . ………………9分
法一：令 ，则 ………………11分
又 ，所以 . ………………14分
法二：因为 ，所以 ，………………11分
则 . ………………14分
19.解：（Ⅰ） ， ，
，………………3分
在 上单调递增， ；…………7分
当 时， ，
在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ， ，
而 ，
当 时， ；
当 时， ；…………10分
当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
此时 ；…………12分
当 时， ，所以 在 上单调递增，
此时 ；…………14分
综上所述，当 时， …………15分
宁波市2017学年第二学期九校联考高二数学试题
一、选择题（每小题4分，共40分）
1.已知集合 ， ，则集合 （）
A． B． C． D．
2.下列函数中，在定义域上为增函数的是（）
A． B． C． D．
3.已知函数 ，则下列选项错误的是（）
A． B． C． D．
4.函数 的零点所在的大致区间是（）
A． B． C. D．
（2）求函数 在区间 上的取值范围
21.已知函数 ，
（1）判断函数 的奇偶性；
（2）若 且 ，求函数 在区间 上的最大值
22.已知函数
（1）（ⅰ）讨论函数 的极值点个数；
（ⅱ）若 是函数 的极值点，求证：
（2）若 ， 是 的两个零点，证明：
宁波市2017学年期末九校联考高二数学参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.
2017-2018学年浙江省宁波市九校联考高二(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年浙江省宁波市九校联考高二（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．（4分）椭圆的长轴长、焦距分别为（）A．2，1B．4，2C．，1D．2，22．（4分）下列各式的运算结果为纯虚数的是（）A．i（1+i）B．i2（1+i）C．i（1+i）2D．i2（1+i）2 3．（4分）设为两个非零的空间向量，则“存在正数λ，使得＝”是“＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（4分）设α，β是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，且l⊂α，下列说法正确的是（）A．若m⊥l，则m⊥αB．若m∥l，则m∥αC．若β⊥l，则β⊥αD．若β∥l，则β∥α5．（4分）已知双曲线，四点P1（2，1），P2（1，0），P3（﹣2，），P4（2，）中恰有三点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．56．（4分）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为1，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是三角形，这些三角形的面积之和为（）A．1B．C．D．7．（4分）双曲线的上支与焦点为F的抛物线y2＝2px（p＞0）交于A，B两点，若|AF|+|BF|＝3|OF|，则该双曲线的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±x D．y＝±x 8．（4分）已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝1，BC＝CC1＝2，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．（4分）已知椭圆+y2＝1的右顶点为A，直线l：x＝﹣2上有两点P，Q关于x轴对称（P在Q下方），直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），若直线BQ经过坐标原点，则直线AP的斜率为（）A．B．C．D．10．（4分）如图，水平放置的正四棱台形玻璃容器的高OO1为30cm，两底面边长EF，E1F1的长分别为10cm和70cm．在容器中注入水，水深为8cm．现有一根金属棒l，其长度为30cm．（容器厚度、金属棒粗细均忽略不计）将l放在容器中，l的一端置于点E处，另一端在棱台的侧面上移动，则移动过程中l浸入水中部分的长度的最大值为（）A．18B．24C．12D．15二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．（4分）已知复数z＝，则它的共轭复数＝．12．（6分）抛物线x2＝y的焦点F的坐标为，若该抛物线上有一点P满足|PF|＝，且P在第一象限，则点P的坐标为．13．（6分）某四棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为，表面积为．14．（6分）已知椭圆＝1与双曲线＝1的离心率分别为e1，e2，且有公共的焦点F1，F2，则﹣＝，若P为两曲线的一个交点，则PF1|•|PF2|＝．15．（6分）已知空间向量的模长分别为1，2，3，且两两夹角均为60°．点G为△ABC的重心，若，则x+y+z＝，＝．16．（4分）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等边三角形ABC的边AC所在直线与a，b 都垂直，边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列四个命题：①直线AB与a所成角的最小值为30°；②直线AB与a所成角的最大值为60°；③当直线AB与a成60°角时，AB与b成45°角；④当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；其中为真命题的是．（填写所有真命题的编号）17．（4分）双曲线x2﹣y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2．点P在双曲线上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2，若直线l1，l2的交点Q在双曲线上，则点P的坐标为．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知命题p：椭圆＝1的离心率e∈（，1），命题q：复数z＝（m ﹣1）+i，m∈R的模|z|≥．（Ⅰ）若命题p为真命题，求m的取值范围；（Ⅱ）若命题p和q中至少有一个为假命题，求m的取值范围．19．（15分）由四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1截去三棱锥C1﹣B1CD1后得到的几何体如图所示，四边形ABCD是边长为2的正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：A1O∥平面B1CD1；（Ⅱ）若直线A1O与平面ABB1A1所成角为30°，求线段A1E的长．20．（15分）已知抛物线C：y2＝2px过点P（1，2），C在P处的切线交y轴于点Q，过Q 作直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，直线OA，OB，OP分别与抛物线的准线交于点M，N，R，其中O为坐标原点．（Ⅰ）求抛物线C的方程及其准线方程，并求出点Q的坐标；（Ⅱ）求证：R为线段MN的中点．21．（15分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△P AD为等边三角形，四边形ABCD为等腰梯形，且AB＝BC＝CD＝4，AD＝2．（Ⅰ）若△PBC为等边三角形，证明：平面P AD⊥平面PBC；（Ⅱ）若∠PBA＝∠PCD＝30°，求平面PBA与平面PCD所成钝二面角的余弦值．22．（15分）已知椭圆的左焦点为F（﹣c，0），右顶点为A，点E的坐标为（0，c），△EF A的面积为．过点E的动直线l被椭圆C所截得的线段MN 长度的最小值为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）B是椭圆C上异于顶点的一点，且直线OB⊥l，D是线段OB延长线上一点，且|BD|＝|MN|，⊙D的半径为|DB|，OP，OQ是⊙D的两条切线，切点分别为P，Q，求∠POQ的最大值，并求取得最大值时直线l的斜率．2017-2018学年浙江省宁波市九校联考高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．【解答】解：椭圆，可得a＝2，b＝，c＝1，所以椭圆的长轴长为：4；焦距为：2．故选：B．2．【解答】解：∵i（1+i）＝i+i2＝﹣1+i，i2（1+i）＝﹣1﹣i，i（1+i）2＝i•2i＝2i2＝﹣2，i2（1+i）2＝﹣1×2i＝﹣2i，∴为纯虚数的是i2（1+i）2．故选：D．3．【解答】解：设为两个非零的空间向量，存在正数λ，使得＝”则向量，共线且方向相同，可得＞0．反之不成立，非零向量，的夹角为锐角，满足得＞0．而＝”不成立．∴为两个非零的空间向量，则“存在正数λ，使得＝”是“＞0”的充分不必要条件．故选：A．4．【解答】解：∵l⊂α，由线面垂直的判定定理知：若m⊥l，则m⊥α不一定成立，故A错误；由线面平行的判定定理知：若m∥l，则m∥α，或m⊂α，故B错误；由面面垂直的判定定理知：若β⊥l，则β⊥α，故C正确；由面面平行的判定定理知：若β∥l，则β∥α不一定成立，故D错误；故选：C．5．【解答】解：根据双曲线的性质可得P3（﹣2，），P4（2，）中在双曲线上，则P1（2，1），一定不在双曲线上，则P2（1，0）在双曲线上，∴a＝1，，解得b2＝，∴c2＝a2+b2＝，∴c＝，∴e＝＝，故选：A．6．【解答】解：由三视图可画出直观图，该立体图中只有2个三角形的面，S三角形＝+＝，故选：C．7．【解答】解：把y2＝2px（p＞0）代入双曲线，可得：b2x2﹣2pa2y﹣a2b2＝0，∴x A+x B＝，∵|AF|+|BF|＝3|OF|，∴x A+x B+2×＝3×，∴＝，∴＝2．∴该双曲线的渐近线方程为：y＝±2x．故选：B．8．【解答】解：如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角，MN＝AB1＝，NP＝BC1＝，作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；∵PQ＝2，MQ＝AC，△ABC中，由余弦定理得：AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC＝4+1﹣2×2×1×（﹣）＝7，∴AC＝，∴MQ＝，在△MQP中，MP＝＝在△PMN中，由余弦定理得：cos∠MNP＝＝＝﹣，又异面直线所成角的范围是（0，]，∴AB1与BC1所成角的余弦值为．故选：D．9．【解答】解：设Q（﹣2，y1），则P（﹣2，﹣y1），y1＞0，直线BQ为：，即y＝﹣，联立，得＝4，解得，∴B（，﹣），∵k AB＝k AP，∴＝，解得y1＝2，（舍负），∴直线AP的斜率为k AP＝＝．故选：D．10．【解答】解：作出棱台的截面图如图，设金属棒在GG1上的点为M，金属棒与水面的交点为N，在平面E1EGG1中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，由已知可得，EG＝，，EQ＝30，NP＝8，则，由勾股定理得＝．∴，则sin，cos∠EGM＝．在三角形EGM中，由正弦定理可得：，可得sin∠EMG＝，则cos∠EMG＝．∴sin∠GEM＝sin（∠EGM+∠EMG）＝sin∠EGM•cos∠EMG+cos∠EGM•sin∠EMG ＝＝．在Rt△NPE中，得EN＝．故选：B．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．【解答】解：∵z＝＝，∴．故答案为：2+i．12．【解答】解：抛物线x2＝y的焦点F的坐标为（0，），该抛物线上有一点P满足|PF|＝，且P在第一象限，可得y+＝，解得y＝1，则x＝1，所以P的坐标（1，1）．故答案为：（0，）；（1，1）．13．【解答】解：由三视图知几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为h，四棱锥的底面是正方形，边长为2，棱锥的高为2，∴几何体的体积V＝＝．表面积为：2×2+2××2×2+2××2×2 ＝8+4．故答案为：；8+4．14．【解答】解：由题意可知双曲线的焦点在x轴上，故而椭圆的焦点在x轴上，∴4﹣m＝1+n，即m+n＝3．椭圆的离心率e1＝，双曲线的离心率e2＝，∴﹣＝4﹣m﹣（1+n）＝3﹣m﹣n＝0．∵P在椭圆上，∴|PF1|+|PF2|＝4，又P在双曲线上，∴||PF1|﹣|PF2||＝2，不妨设|PF1|＞|PF2|，则|PF1|＝3，|PF2|＝1，∴|PF1|•|PF2|＝3．故答案为：0，3．15．【解答】解：根据题意得，点G为△ABC的重心，设BC中点为D，则＝＝（+）∴﹣＝（﹣+﹣）∴＝++，∴x＝y＝z＝，∴x+y+z＝1；2＝（）2×（12+22+32+2×1×2×+2×1×3×+2×2×3×）＝，∴＝，故答案为1，，16．【解答】解：由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，以a，b，AC所在直线分别为x，y，z轴，画出图形如图：不妨设图中所示等边三角形ABC的边长为2，由题意可得B的运动轨迹为以AC的中点为圆心，为半径的圆面，设A（0，0，2），＝（2，0，0），＝（0，2，0），B（cosα，sinα，1），即有＝（cosα，sinα，﹣1），可得直线AB与直线a所成角的余弦为||＝||＝|cosα|≤，可得直线AB与a所成角的最小值为30°，故①正确；直线AB与a所成角的最大值为90°，故②错误；当直线AB与a成60°角时，即有cosα＝，可得cosα＝，sinα＝，直线AB与直线b所成角的余弦为sinα＝，AB与b成45°角，故③正确，④错误．故答案为：①③．17．【解答】解：双曲线x2﹣y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2．点P在双曲线上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1，过点F2作直线PF2的垂线l2，若直线l1，l2的交点Q在双曲线上，可知F1，F2，P，Q，四点共圆，F1P⊥PF2．设P（m，n），m＞0，n＞0；F1（﹣1，0），F2（1，0），可得，解得m＝，n＝，所以P（，）．故答案为：（，）．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．【解答】解：（Ⅰ）椭圆方程为＝1，当m＞4时，e＝＝∈（，1），解得m＞8；当0＜m＜4时，e＝＝∈（，1），解得0＜m＜2；综上可知，椭圆的离心率e∈（，1）时，m的取值范围是0＜m＜2或m＞8；（Ⅱ）命题p和q中至少有一个为假命题时，有p真q假，p假q真，p假q假三种情况；考虑其反面，即p真q真；q为真时，复数z＝（m﹣1）+i，m∈R的模|z|≥，∴≥，解得m≤﹣2或m≥4；∴当命题p、q为真命题时，m的取值范围是m＞8；∴命题p和q中至少有一个为假命题时，m的取值范围是m≤8．19．【解答】证明：（Ⅰ）取B1D1中点O1，连结CO1，A1O1，∵ABCD﹣A1B1C1D1为四棱柱，∴A1O1∥CD，A1O1＝CO，∴四边形A 1OCO为平行四边形，∴A1O∥O1C，又O1C⊂平面B1CD1，A1O⊄平面B1CD1，∴A1O∥平面B1CD1．解：（Ⅱ）如图，建立空间直角坐标系，设A1E＝a，则A（0，0，0），B（2，0，0），O（1，1，0），A1（0，1，a），＝（﹣1，0，1），＝（2，0，0），＝（0，1，a），设平面ABB1A1的法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，得＝（0，﹣a，1），由题意得sin30°＝|cos＜，＞|＝＝，解得a＝1，∴线段A1E的长为1．20．【解答】解：（Ⅰ）由抛物线C：y2＝2px过点P（1，2），得p＝2，所以抛物线的方程y2＝4x，准线方程为x＝﹣1，设切线PQ的方程为x﹣1＝m（y﹣2），由，得y2﹣4my+8m﹣4＝0，△＝0，即16m2﹣4（8m﹣4）＝0，解得m＝1，从而PQ的方程为y＝x+1，得Q（0，1），证明：（Ⅱ）设直线l的方程为x＝t（y﹣1），l与抛物线C的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），由，得y2﹣4ty+4t＝0，则y1+y2＝4t，y1y2＝4t，因为点P的坐标为（1，2），所以点R的坐标为（﹣1，﹣2），直线OA的方程为y＝x，结合y12＝4x1，从而直线OA：y＝x，可得点M的坐标为（﹣1，﹣），同理点N的坐标为（﹣1，﹣），因为﹣﹣＝＝﹣＝﹣4＝2×（﹣2），故R为线段MN的中点．21．【解答】（Ⅰ）证明：取AD中点E，BC中点F，连接PE，PF，EF，由于△P AD，△PBC均为等边三角形，可得PE＝，PF＝2，又四边形ABCD为等腰梯形，可得EF＝，从而PE2+PF2＝EF2，故PE⊥PF，又由PE⊥AD，AD∥BC，得PE⊥BC，从而PE⊥平面PBC，因此，平面P AD⊥平面PBC；（Ⅱ）解：延长CD，BA交于点G，连接PG，可得PG为平面PBA与平面PCD的交线，在△PBA中，由正弦定理可得∠BP A＝90°，从而PB＝，同理可得∠CPD＝90°，PC＝，又在底面ABCD中，可计算得CG＝BG＝8，结合∠PBA＝∠PCD＝30°，可知△PBG≌△PCG，作CH⊥PG于H，连接BH，可得BH⊥PG，从而∠BHC为二面角B﹣PG﹣C的平面角，由余弦定理可得，PG＝2，从而可计算出BH＝CH＝，∴cos∠BHC＝．∴平面PBA与平面PCD所成钝二面角的余弦值为．22．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得c（c+a）＝b2，由b2＝a2﹣c2，可得2c2+ca﹣a2＝0，可得a＝2c，b＝c，设椭圆方程为+＝1，当直线l的斜率不存在时，|MN|＝2c，当直线l的斜率存在时，可设l：y＝kx+c，代入椭圆方程可得（3+4k2）x2+8kcx﹣8c2＝0，|MN|＝•＝4c•＝2c•＜2c，可得k＝0时，|MN|取得最小值c，由c＝，解得c＝1，则椭圆方程为+＝1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得|MN|＝4•，圆D的半径r＝|MN|＝•4•，直线OB的方程为y＝﹣x，代入椭圆方程可得x B2＝，可得|OB|＝•＝2•，由题意可得sin＝＝，要求∠POQ的最大值，即求的最小值，＝•＝•，可令u＝3+4k2，则u＞3，∈（0，），可得＝•＝•＝≥1，当且仅当＝2，即u＝，k＝±时，上式取得等号，可得sin≤，即≤，即∠POQ的最大值为，综上可得，∠POQ的最大值为，此时直线l的斜率为±．。
宁波九校高二下期末考数学试卷
16．已知函数
f
(
x)
x3
4
x
2
2x,
b, x 0， 若函数 g(x)
x 0.
f [ f (x 1)] 恰有 3 个不同的零
点，则实数 b 的取值范围是___▲___．
17 ． 已 知 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 f (x) 的 导 函 数 为 f '(x) ， 若 f (x) 满 足 ： 当 x 0 时 ，
512
512
所以
EX
0
27 512
1
135 512
2
225 512
3
125 512
15 8
．
----------12 分 ----------15 分
19．（本小题满分 15 分）
（Ⅰ）令 gx f x b 4x3 ax ，则 g x gx，
所以 gx 是奇函数，故 gx 的图象关于原点对称，
A． f x 1 x 1 x
B． f x2 x 1
C． f sin x x 1
D． f ax 2xa 0, a 1
9．从1，2，3，，20 中选取四元数组 a1, a2 , a3, a4 ，且满足 a2 a1 3, a3 a2 4,
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步骤.
18．（本小题满分 14 分）
（Ⅰ） PX
2
C2 5
C1 3
C3 8
15 28
.
----------6 分
（Ⅱ）
X
可能的取值为 0，1，2，3 ， PX
k
C3k
5 8
k
1
5 8
3k
k
浙江省宁波市九校联考高二数学下学期期末试卷(含解析)
2015-2016学年浙江省宁波市九校联考高二（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知U=R，集合A={x|x≥0}，B={x|2≤x≤4}，则A∩（∁U B）=（）A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4} C．{x|0＜x≤2或x≥4} D．{x|0≤x＜2或x＞4} 2．已知a=（），b=（），c=（），则下列关系中正确的是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b3．函数y=x3和y=log2x在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．4．若（1﹣2x）5=a0+a1x+…+a5x5（x∈R），则（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3+a5）2=（）A．243 B．﹣243 C．81 D．﹣815．已知离散型随机变量ξ～B（n，p），且E（2ξ+1）=5.8，D（ξ）=1.44，那么n，p的值分别为（）A．n=4，p=0.6 B．n=6，p=0.4 C．n=8，p=0.3 D．n=24，p=0.16．设函数f（x）=，记f1（x）=f（f（x）），f2（x）=f（f1（x）），…，f n+1（x）=f（f n（x）），n∈N*，那么下列说法正确的是（）A．f（x）的图象关于点（﹣1，1）对称，f2016（0）=0B．f（x）的图象关于点（﹣1，﹣1）对称，f2016（0）=0C．f（x）的图象关于点（﹣1，1）对称，f2016（0）=1D．f（x）的图象关于点（﹣1，﹣1）对称，f2016（0）=17．把7个字符1，1，1，A，A，α，β排成一排，要求三个“1”两两不相邻，且两个“A“也不相邻，则这样的排法共有（）A．12种B．30种C．96种D．144种8．已知定义在[1，+∞）上的函数f（x）=给出下列结论：①函数f（x）的值域为（0，8]；②对任意的n∈N，都有f（2n）=23﹣n；③存在k∈（，），使得直线y=kx与函数y=f（x）的图象有5个公共点；④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在n∈N，使得（a，b）⊆（2n，2n+1）”其中正确命题的序号是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分9．计算：（1）（）﹣160.25= ；（2）log93+lg3•log310= ．10．若二项式（﹣）n的展开式共有7项，则n= ；展开式中的第三项的系数为．（用数字作答）11．已知定义在R上的奇函数f（x）=，则f（1）= ；不等式f（f（x））≤7的解集为．12．我省新高考采用“7选3”的选考模式，即从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术这7门科目中选3门作为选考科目，那么所有可能的选考类型共有种；甲、乙两人根据自己的兴趣特长以及职业生涯规划愿景进行选课，甲必选物理和政治，乙不选技术，则两人至少有一门科目相同的选法共有种（用数学作答）13．掷两颗质地均匀的骰子，在已知它们的点数不同的条件下，有一颗是6点的概率是．14．已知a为实数，若函数f（x）=|x2+ax+2|﹣x2在区间（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围为．15．设函数f（x）=e x（x3﹣3x+2﹣c）+x（x≥﹣2），若不等式f（x）≥0恒成立，则实数c 的最大值是．三、解答题（本大题共5小题，共74分）16．已知对任意的n∈N*，存在a，b∈R，使得1×（n2﹣12）+2×（n2﹣22）+3×（n2﹣32）+…+n（n2﹣n2）=（an2+b）（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）用数学归纳法证明上述恒等式．17．一个口袋装有大小相同的小球9个，其中红球2个、黑球3个、白球4个，现从中抽取2次，每次抽取一个球．（Ⅰ）若有放回地抽取2次，求两次所取的球的颜色不同的概率；（Ⅱ）若不放回地抽取2次，取得红球记2分，取得黑球记1分，取得白球记0分，记两次取球的得分之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．18．已知函数f（x）=x2﹣2x﹣t（t为常数）有两个零点，g（x）=．（Ⅰ）求g（x）的值域（用t表示）；（Ⅱ）当t变化时，平行于x轴的一条直线与y=|f（x）|的图象恰有三个交点，该直线与y=g（x）的图象的交点横坐标的取值集合为M，求M．19．定义：若两个二次曲线的离心率相等，则称这两个二次曲线相似．如图，椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，右顶点为A，以其短轴的两个端点B1，B2及其一个焦点为顶点的三角形是边长为6的正三角形，M是C上异于B1，B2的一个动点，△MB1B2的重心为G，G点的轨迹记为C1．（Ⅰ）（i）求C的方程；（ii）求证：C1与C相似；（Ⅱ）过B1点任作一直线，自下至上依次与C1、x轴的正半轴、C交于不同的四个点P，Q，R，S，求的取值范围．20．已知函数f（x）=lnx﹣ax2+（1﹣a）x，其中a∈R，f（x）的导函数是f′（x）．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）在曲线y=f（x）的图象上是否存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），使得直线AB的斜率k=f′（）？若存在，求出x1与x2的关系；若不存在，请说明理由．2015-2016学年浙江省宁波市九校联考高二（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知U=R，集合A={x|x≥0}，B={x|2≤x≤4}，则A∩（∁U B）=（）A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4} C．{x|0＜x≤2或x≥4} D．{x|0≤x＜2或x＞4} 【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先求出补集∁U B，再根据并集的定义求出A∪（∁U B）．【解答】解：∵B={x|2≤x≤4}，∴∁U B={x|x＜1或x＞4}，∵A={x|x≥0}，∴A∪（∁U B）={x|0≤x＜1或x＞4}，故选：D．2．已知a=（），b=（），c=（），则下列关系中正确的是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．a＞c＞b D．c＞a＞b【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数与幂函数的单调性即可得出．【解答】解：∵，∴b=（）＞c=（），∵，∴a=（）＞b=（），∴a＞b＞c．故选：A．3．函数y=x3和y=log2x在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】直接根据幂函数和对数函数的单调性即可判断．【解答】解：函数y=x3为单调递增函数，且过定点（1，1），y=log2x为单调递增函数，且过定点（1，0），故选：A．4．若（1﹣2x）5=a0+a1x+…+a5x5（x∈R），则（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3+a5）2=（）A．243 B．﹣243 C．81 D．﹣81【考点】二项式系数的性质．【分析】可令x=1，求得a0+a1+…+a5=﹣1，再令x=﹣1求得a0﹣a1+…﹣a5=243，而（a0+a2+a4）2﹣（a+a3+a5）2=（a0+a2+a4+a1+a3+a5）（a0+a2+a4﹣a1﹣a3﹣a5），问题得以解决．1【解答】解：∵（1﹣2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，∴令x=1，有a0+a1+…+a5=﹣1再令x=﹣1，有a0﹣a1+...﹣a5=35 (243)∴（a0+a2+a4）2﹣（a1+a3+a5）2=（a0+a2+a4+a1+a3+a5）（a0+a2+a4﹣a1﹣a3﹣a5）=﹣243．故选：B．5．已知离散型随机变量ξ～B（n，p），且E（2ξ+1）=5.8，D（ξ）=1.44，那么n，p的值分别为（）A．n=4，p=0.6 B．n=6，p=0.4 C．n=8，p=0.3 D．n=24，p=0.1【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】由已知求出E（ξ）=2.4，D（ξ）=1.44，利用二项分布的性质列出方程组，能求出n，p的值．【解答】解：∵离散型随机变量ξ～B（n，p），且E（2ξ+1）=5.8，D（ξ）=1.44，∴2E（ξ）+1=5.8，∴E（ξ）=2.4，∴，解得n=6，p=0.4．故选：B．6．设函数f（x）=，记f1（x）=f（f（x）），f2（x）=f（f1（x）），…，f n+1（x）=f（f n（x）），n∈N*，那么下列说法正确的是（）A．f（x）的图象关于点（﹣1，1）对称，f2016（0）=0B．f（x）的图象关于点（﹣1，﹣1）对称，f2016（0）=0C．f（x）的图象关于点（﹣1，1）对称，f2016（0）=1D．f（x）的图象关于点（﹣1，﹣1）对称，f2016（0）=1【考点】函数的值．【分析】根据函数f（x），求出f1（x）、f2（x），…，f n+1（x）的解析式，即可得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=，∴f1（x）=f（f（x））=x，f2（x）=f（f1（x））=，…，f n+1（x）=f（f n（x）），n∈N*；又f（x）==﹣1+，所以f（x）的图象关于点（﹣1，﹣1）对称，且f2016（0）==1．故选：D．7．把7个字符1，1，1，A，A，α，β排成一排，要求三个“1”两两不相邻，且两个“A“也不相邻，则这样的排法共有（）A．12种B．30种C．96种D．144种【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】先求出两个“A“没有限制的排列，再排除若A，A相邻时的排列，问题得以解决．【解答】解：先排列A，A，α，β，若A，B不相邻，有A22C32=6种，若A，B相邻，有A33=6种，共有6+6=12种，从所形成了5个空中选3个插入1，1，1，共有12C53=120，若A，A相邻时，从所形成了4个空中选3个插入1，1，1，共有6C43=24，故三个“1”两两不相邻，且两个“A“也不相邻，则这样的排法共有120﹣24=96种，故选：C．8．已知定义在[1，+∞）上的函数f（x）=给出下列结论：①函数f（x）的值域为（0，8]；②对任意的n∈N，都有f（2n）=23﹣n；③存在k∈（，），使得直线y=kx与函数y=f（x）的图象有5个公共点；④“函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在n∈N，使得（a，b）⊆（2n，2n+1）”其中正确命题的序号是（）A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①根据分段函数的表达式结合函数的最值进行求解判断，②利用f（2n）=f（1）进行求解判断，③作出函数f（x）和y=kx的图象，利用数形结合进行判断，④根据分段函数的单调性进行判断．【解答】解：①当1≤x＜2时，f（x）=﹣8x（x﹣2）=﹣8（x﹣1）2+8∈（0，8]，②∵f（1）=8，∴f（2n）=f（2n﹣1）=f（2n﹣2）=f（2n﹣3）=…=f（20）=f（1）=×8=23﹣n，故②正确，③当x≥2时，f（x）=f（）∈0，4]，故函数f（x）的值域为（0，8]；故①正确，当2≤x＜4时，1≤＜2，则f（x）=f（）= [﹣8（﹣1）2+8]=﹣4（﹣1）2+4，当4≤x＜8时，2≤＜4，则f（x）=f（）= [﹣4（﹣1）2+4]=﹣2（﹣1）2+2，作出函数f（x）的图象如图：作出y=x和y=x的图象如图，当k∈（，），使得直线y=kx与函数y=f（x）的图象有3个公共点；故③错误，④由分段函数的表达式得当x∈（2n，2n+1）时，函数f（x）在（2n，2n+1）上为单调递减函数，则函数f（x）在区间（a，b）上单调递减”的充要条件是“存在n∈N，使得（a，b）⊆（2n，2n+1）”为真命题．，故④正确，故选：C二、填空题:本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分9．计算：（1）（）﹣160.25= ；（2）log93+lg3•log310= 3 ．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【分析】根据对数和指数幂的运算性质计算即可．【解答】解：（1）（）﹣160.25=﹣24×0.25=﹣1=；（2）log93+lg3•log310=+lg3=2+1=310．若二项式（﹣）n的展开式共有7项，则n= 6 ；展开式中的第三项的系数为60 ．（用数字作答）【考点】二项式系数的性质．【分析】根据展开式中的项数共有7项可求出n的值是6，利用二项展开式的通项公式求出通项，令r的指数为2，将r的值代入通项求出展开式中的第三项的系数．【解答】解：∵二项式（﹣）n的展开式共有7项，∴n=6展开式的通项为T r+1=（﹣2）r C6r，展开式中的第三项即r=2时，所以展开式中的第三项的系数为4C62=60故答案为：6，6011．已知定义在R上的奇函数f（x）=，则f（1）= ﹣1 ；不等式f（f（x））≤7的解集为（﹣∞，2] ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】由奇函数关于原点对称的性质，即可求得f（1）；不等式f（f（x））≤7的解集等价于f（x）≥﹣3的解集，即可求得答案．【解答】解：∵R上的奇函数f（x）=，∴f（1）=﹣f（﹣1）=﹣[（）﹣1﹣1]=﹣1，∵不等式f（f（x））≤7，f（﹣3）=7，∴f（x）≥﹣3，∵R上的奇函数f（x）=，∴g（x）=1﹣2x，∴f（x）≥﹣3等价于或，可以解得x≤2，即不等式f（f（x））≤7的解集为（﹣∞，2]．故答案为：﹣1；（﹣∞，2]．12．我省新高考采用“7选3”的选考模式，即从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术这7门科目中选3门作为选考科目，那么所有可能的选考类型共有35 种；甲、乙两人根据自己的兴趣特长以及职业生涯规划愿景进行选课，甲必选物理和政治，乙不选技术，则两人至少有一门科目相同的选法共有92 种（用数学作答）【考点】排列、组合及简单计数问题．【分析】①直接根据组合定义即可求出，②利用间接法，先求出甲必选物理和政治，乙不选技术的种数，再排除两人没有科目相同的选法，问题得以解决．【解答】解：①从政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术这7门科目中选3门作为选考科目，那么所有可能的选考类型共有C73=35种，②甲必选物理和政治，乙不选技术，则甲乙的选法为C51C63=100种，其中没有相同的科目，若甲选技术，则乙有C43=4种，若甲不选技术，甲有4种，乙只有1种，故有4×1=4种，则其中没有相同的科目的为4+4=8种，故两人至少有一门科目相同的选法共有100﹣8=92，故答案为：35，9213．掷两颗质地均匀的骰子，在已知它们的点数不同的条件下，有一颗是6点的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】掷两颗质地均匀的骰子，它们的点数不同，列举出所有的基本事件和其中有一颗是6点包含的基本事件个数，由此能求出它们的点数不同的条件下，有一颗是6点的概率．【解答】解：掷两颗质地均匀的骰子，它们的点数不同，所有的基本事件为：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），共有30个，其中有一颗是6点包含的基本事件个数有10个，∴它们的点数不同的条件下，有一颗是6点的概率p==．故答案为：．14．已知a为实数，若函数f（x）=|x2+ax+2|﹣x2在区间（﹣∞，﹣1）和（2，+∞）上单调递减，则实数a的取值范围为[﹣8，0）．【考点】分段函数的应用；函数的单调性及单调区间．【分析】将函数表示为分段函数形式，结合一元二次函数的单调性的性质进行判断即可．【解答】解：f（x）=|x2+ax+2|﹣x2=，设x2+ax+2=0的两个根分别为x1，x2，（x1＜x2），则f（x）=，∵当x≥x2时，函数f（x）=ax+2，函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，∴a＜0，当x1＜x＜x2时，抛物线的对称轴为x=﹣=﹣．若函数f（x）在（2，+∞）上单调递减，则﹣≤2，得﹣8≤a＜0．若f（x）在区间（﹣∞，﹣1）递减，则x1=≥﹣1，即﹣a﹣≥﹣2，则≥a﹣2，∵﹣8≤a＜0，∴≥a﹣2恒成立，综上﹣8≤a＜0，故答案为：[﹣8，0）15．设函数f（x）=e x（x3﹣3x+2﹣c）+x（x≥﹣2），若不等式f（x）≥0恒成立，则实数c 的最大值是﹣2e2．【考点】函数恒成立问题．【分析】问题转化为c≤x3﹣3x+2+，（x≥﹣2），令h（x）=x3﹣3x+2+，（x≥﹣2），求出h（x）的最小值，从而求出c的最大值即可．【解答】解：∵函数f（x）=e x（x3﹣3x+2﹣c）+x（x≥﹣2），若不等式f（x）≥0恒成立，则c≤x3﹣3x+2+，（x≥﹣2），令h（x）=x3﹣3x+2+，（x≥﹣2），h′（x）=（x﹣1）[3（x+1）﹣e﹣x]，令h′（x）＞0，解得：x＞1或x＜x0，（﹣1＜x0＜0），令h′（x）＜0，解得：x0＜x＜1，∴h（x）在[﹣2，x0）递增，在（x0，1）递减，在（1，+∞）递增，∴h（x）的最小值是h（﹣2）或h（1），而h（﹣2）=﹣2e2＜h（1）=，∴c≤﹣2e2，c的最大值是﹣2e2；故答案为：﹣2e2．三、解答题（本大题共5小题，共74分）16．已知对任意的n∈N*，存在a，b∈R，使得1×（n2﹣12）+2×（n2﹣22）+3×（n2﹣32）+…+n（n2﹣n2）=（an2+b）（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）用数学归纳法证明上述恒等式．【考点】数学归纳法．【分析】（Ⅰ）分别取n=1，2，得到关于a，b的方程组解得即可，（Ⅱ）先根据当n=1时，把n=1代入求值等式成立；再假设n=k时关系成立，利用变形可得n=k+1时关系也成立，综合得到对于任意n∈N*时都成立【解答】解：（Ⅰ）由题意1×（n2﹣12）+2×（n2﹣22）+3×（n2﹣32）+…+n（n2﹣n2）=（an2+b），上述等式分别取n=1，2得，解得，（Ⅱ）由（Ⅰ）得1×（n2﹣12）+2×（n2﹣22）+3×（n2﹣32）+…+n（n2﹣n2）=（n2﹣1），证明：①当n=1时，左边=1×（12﹣12）=0，右边=×12（12﹣1）=0，等式成立，②假设当n=k时，等式成立，即1×（k2﹣12）+2×（k2﹣22）+3×（k2﹣32）+…+k（k2﹣k2）=k2（k2﹣1），则当n=k+1时，左边=1×[（k2﹣12）+（2k+1）]+2×[（k2﹣22）+（2k+1）]+…+k[（k2﹣k2）+（2k+1）]，=1×（k2﹣12）+2×（k2﹣22）+3×（k2﹣32）+…+k（k2﹣k2）+（2k+1）（1+2+3+…+k），=k2（k2﹣1）+（2k+1）k（k+1），=k（k+1）（k2+3k+2），=（k+1）2k（k+2），=（k+1）2[（k+1）2﹣1]，所以当n=k+1时等式成立，综上所述，对任意n∈N*，原等式成立．17．一个口袋装有大小相同的小球9个，其中红球2个、黑球3个、白球4个，现从中抽取2次，每次抽取一个球．（Ⅰ）若有放回地抽取2次，求两次所取的球的颜色不同的概率；（Ⅱ）若不放回地抽取2次，取得红球记2分，取得黑球记1分，取得白球记0分，记两次取球的得分之和为随机变量X，求X的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设事件A为“两次所取的球颜色不同”，利用对立事件概率计算公式能求出两次所取的球的颜色不同的概率．（Ⅱ）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）设事件A为“两次所取的球颜色不同”，则P（A）=1﹣[（）2+（）2+（）2]=．（Ⅱ）由题意得X的可能取值为0，1，2，3，4，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，∴X的分布列为：X 0 1 2 3 4PEX==．18．已知函数f（x）=x2﹣2x﹣t（t为常数）有两个零点，g（x）=．（Ⅰ）求g（x）的值域（用t表示）；（Ⅱ）当t变化时，平行于x轴的一条直线与y=|f（x）|的图象恰有三个交点，该直线与y=g（x）的图象的交点横坐标的取值集合为M，求M．【考点】二次函数的性质；函数的值域．【分析】（Ⅰ）求出t的范围，根据基本不等式的性质求出g（x）的值域即可；（Ⅱ）求出t=，得到＞﹣1，解不等式即可．【解答】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=x2﹣2x﹣t（t为常数）有两个零点，∴△=4（1+t）＞0，解得：t＞﹣1，g（x）==（x﹣1）++2，∵|（x﹣1）+|=|x﹣1|+≥2，当且仅当x=1±时取“=”，∴（x﹣1）+≤﹣2或（x﹣1）+≥2，∴g（x）≤2﹣2或g（x）≥2+2，即g（x）的值域是（﹣∞，2﹣2]∪[2﹣2，+∞）；（Ⅱ）当x=1时，f（x）取最小值﹣t﹣1，由|f（x）|的图象得，平行x轴的直线y=x+1与函数y=|f（x）|的图象恰有三个交点，由=t+1得，（x﹣2）t=x2﹣x+1，显然x≠2，∴t=，由于t＞﹣1，∴＞﹣1，即＞0，解得：﹣1＜x＜1或x＞2，∴M=（﹣1，1）∪（2，+∞）．19．定义：若两个二次曲线的离心率相等，则称这两个二次曲线相似．如图，椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，右顶点为A，以其短轴的两个端点B1，B2及其一个焦点为顶点的三角形是边长为6的正三角形，M是C上异于B1，B2的一个动点，△MB1B2的重心为G，G点的轨迹记为C1．（Ⅰ）（i）求C的方程；（ii）求证：C1与C相似；（Ⅱ）过B1点任作一直线，自下至上依次与C1、x轴的正半轴、C交于不同的四个点P，Q，R，S，求的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）（i）设C的方程： +=1（a＞b＞0），则，求出a，b，即可求C的方程；（ii）求出轨迹C1，可得离心率相等，即可证明C1与C相似；（Ⅱ）设直线方程为y=kx﹣3（k＞0），代入椭圆方程，求出相应线段的长，可得=构造函数，利用导数确定函数的单调性，即可确定的取值范围．【解答】（Ⅰ）（i）解：设C的方程： +=1（a＞b＞0），则，∴a=6，b=3，∴C的方程： =1；（ii）证明：设G（x，y），M（x0，y）（x0≠0），则x0=3x，y0=3y把点M（3x，3y）的坐标代入C的方程，得轨迹C1的方程为=1（x≠0），∴轨迹C1也为椭圆（除去（0，﹣1），（0，1）两点），求得a1=2，c1=，e1=，∵C的离心率e=，∴e1=e，∴C1与C相似；（Ⅱ）解：设直线方程为y=kx﹣3（k＞0），代入C的方程得（1+4k2）x2﹣24kx=0，∴x S=，y S=，∴=，代入C1的方程得（1+4k2）x2﹣24kx+32=0，由k＞0，△＞0得k＞，由韦达定理得x P+x R=，x P x R=，∴|PR|2=（1+k2）[﹣]．∵|AQ|=6﹣=，∴=令f（k）=（k）则f′（k）=•＜0∴f（k）在（，+∞）上是减函数，∴）=∴0＜＜．20．已知函数f（x）=lnx﹣ax2+（1﹣a）x，其中a∈R，f（x）的导函数是f′（x）．（Ⅰ）求函数f（x）的极值；（Ⅱ）在曲线y=f（x）的图象上是否存在不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2）（x1≠x2），使得直线AB的斜率k=f′（）？若存在，求出x1与x2的关系；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求导数，讨论a的符号，这样便可判断导数的符号，从而可判断每种情况是否存在极值，若存在便可求出该极值；（Ⅱ）先根据条件求出斜率，而可得到，这样便可根据条件得出，然后换元，并设x1＞x2，t＞1，从而得出；求导数并可判断导数符号g′（t）＞0，从而g（t）＞g（1），而g（1）=0，这即说明g（t）=0无解，从而得出满足条件的两点A，B不存在．【解答】解：（Ⅰ）由已知得，f′（x）=（1）当a≤0时，∵x＞0，∴f′（x）＞0；∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，此时函数f（x）无极值；（2）当a＞0时，；∴当x时，g′（x）＞0；当x时，g′（x）＜0；∴函数f（x）在上是增函数，在上是减函数；∴当时，f（x）有极大值，无极小值；综上所述，当a≤0时，函数f（x）无极值，当a＞0时，f（x）有极大值，无极小值．（Ⅱ）由题意得，===．．由得，；即，即；令，不妨设x1＞x2，则t＞1，记；，所以g（t）在（1，+∞）上是增函数；所以g（t）＞g（1）=0，所以方程g（t）=0无解，则满足条件的两点A，B不存在．。
宁波2017学年第二学期期末九校联考高二数学试题
宁波市2017-2018学年期末九校联考高二数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.题号12345678910答案C B A C D A C B D B二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.10；4312.6；313.240；x x 160-14.1；Z),2,12(∈-k k k 15.3016.9217.),254[+∞三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.解：（Ⅰ）由题意可得⎪⎩⎪⎨⎧≤+---∈≥-,01243)2)((,N ,22*n n n n n ………………3分所以⎪⎩⎪⎨⎧≤+-∈≥,0189,N ,42*n n n n ，即⎪⎩⎪⎨⎧≤--∈≥,0)6)(3(,N ,4*n n n n 解得4=n 或5=n 或6=n ，………………5分所以原不等式的解集为}6,5,4{.………………6分（Ⅱ）n n n n x a x a x a a x x )2()2()2()]2(31[)53(2210-++-+-+=-+=- ，所以1352)1(93222=-==n n C a n ，解得6=n .………………9分法一：令37=x ，则662210663332)5373(a a a a ++++==-⨯ ………………11分又100==n C a ，所以63206621=-=+++a a a a .………………14分法二：因为)6,5,4,3,2,1,0(36==r C a r r r ，所以r r r C a 63=，………………11分则 ++=+++261666221333C C a a a 6312666=-=+C .………………14分19.解：（Ⅰ）8181=⨯⨯=S ，242882=⨯⨯+=S ，4948753825247538222223=⨯⨯+=⨯⨯+=S S ，………………3分由此猜想()()()2*2211N 21n n S n n +-=∈+（Ⅱ）①当1n =时，()()2122118==921S +-+，等式成立，………………7分②假设当k n =时，等式成立，即()()2221121k k S k +-=+，………………8分则当1+=k n 时，()22+18(1)21(23)k k k S S k k +=++=+()()()22222118(1)+211(23)2k k k k k +++++-()()()()222222222[211]8(1)218(1)==212(23)(23)(23)(23)(231)k k k k k k k k k k k +-+++++++-+++++()()22222(23)21=(21)(123)2k k k k k -+++++2222==(23)1[2(1)1)]1(23)[2(1)1]k k k k +-++-+++所以当1+=k n 时，等式也成立，综上，对任意的*N n ∈，()()2221121n n S n +-=+.………………15分20.解：（Ⅰ）x x x x x x x f 333e )3sin 3(cos )1(sin e 3e cos )(′-+=-+⋅=………3分则曲线)(x f y =在))0(,0(f P 处的切线斜率为31)0(′-=f ，…………4分又1)0(-=f ,…………5分则切线方程为)0)(31()1(--=--x y ，即1)31(--=x y .…………7分（Ⅱ）由（Ⅰ）得x x x x x f 33e ]3)πsin(2[e3sin 3(cos )(′-+=-+=,…………8分令0)(′=x f ，得6π=x 或2π=x ，则当6π≤0<x 或π2π≤<x 时，0)(′<x f ，………………6分………………10分………………14分当2π6π<<x 时，0)(′>x f ，所以)(x f 在]6π0[，和π]2π[，单调递减，在)2π6π(，上单调递增，…………12分又1)0(-=f ，6π3e 216π(-=f ，02π(=f ，π3e )π(-=f ，则π3min e )(-=x f ，0)(max =x f ，…………14分所以函数)(x f 在区间]π,0[上的取值范围是]0e [π3，-.…………15分21.解：（Ⅰ）①当0=a 时，()||f x x x bx=+因为)(||)(x f bx x x x f -=--=-，所以函数)(x f 为奇函数.…………3分②当0≠a 时，非奇非偶；…………5分（Ⅱ）⎩⎨⎧<++-≥-+=ax x a x a x x a x x f 2,)22(2,)22()(221︒当01a <≤时，有121a a a -<≤+，()y f x =在[]0,4上单调递增，()()4248M a f a ==-；…………7分2︒当12a <<时，01124a a a <-<+<<，()y f x =在[]0,1a +上单调递增，在[]1,2a a +上单调递减，在[]2,4a 上单调递增，所以()()(){}1,4max M a f f a +=，()()2(81,2441)f a f a a =+=-+，而()()()()222481411023f f a a a a a --=++--+=，①当15a <<时，()()4248M a f a ==-；②当52a -≤<时，()()21(1)M a f a a ==++；…………10分3︒当23a ≤<时，1142a a a -<+<≤，所以()y f x =在[]0,1a +上单调递增，在[]1,4a +上单调递减，此时()()()211M a f a a =+=+；…………12分4︒当3a ≥时，14a +≥，所以()y f x =在[]0,4上单调递增，此时()()848M a f a ==-；…………14分综上所述，当[]0,2x ∈时，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<≤-+-<<-=3,883534,)1(5340,824)(2a a a a a a a M …………15分22.解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(1,)-+∞（ⅰ）22)1(2)1(111)('x a x x a x x f +-+=+-++=，…………1分①当1≤a 时，012>+≥-+x a x ，所以)(x f 在)1(∞+-，上单调递增，此时无极值点；…………2分②当1>a 时，)21(--∈a x ，时，0)('<x f ，)(x f 在)21(--a ，单调递减，)2(∞+-∈，a x 时，)(x f 在(2,)a -+¥单调递增，所以)(x f 有一个极小值点2-a ，综上所述，1≤a 时，无极值点；1>a 时，有一个极小值点2-a .…………4分（ⅱ）法一：由（ⅰ）得02x a =-，则20+=x a ，所以000)1ln()(x x x f -+=，……5分即证010e ln(1)0x x --+>，令1()e ln(1)x h x x -=-+，…………6分11'()e 1x h x x -=-+，11()e 1x g x x -=-+，121'()e 0(1)x g x x -=+³+，所以)()('x g x h =在)1(∞+-，上为增函数，因为11(0)(1)(1)0e 2g g ×=-<，所以存在)1,0(1∈x 使得111111()'()e 01x g x h x x -==-=+，则)(x h 在)1(1x ，-单调递减，在)(1∞+，x 单调递增，所以11min 11()()e ln(1)x h x h x x -==-+0111112111>+=-++=x x x x ，所以11()e ln(1)()0x h x x h x -=-+³>，从而有0100e )(x x f x -<-.…………9分法二：由（ⅰ）得20-=a x ，则20+=x a ，所以000)1ln()(x x x f -+=，…………5分令x x x h -+=)1ln()(，则1111)('+-=-+=x x x x h ，所以)(x h 在)0,1(-单调递增，在),0(+∞单调递减，所以0)0()()(max ==≤h x h x h ，…………7分令1()e x g x x -=-，则1'()e 1x g x -=-，所以)(x g 在)1,1(-单调递减，在(1,)+¥单调递增，0)1()()(min ==≥g x g x g ，所以()()h x g x <恒成立，即证0100()e x f x x -<-.…………9分（Ⅱ）法一：不妨设21x x <，由（Ⅰ）得)21(1--∈a x ，，)2(2∞+-∈，a x ，1>a 且2≠a ，令)42()()(x a f x f x g ---=))21((--∈a x ，，…………11分=)('x g 2222)32(2)1(2)421(242)1(2x a x a x a x x a a x a x a x ----++-+=--+-+--++-+0)32()1()2()1(4222<--+-+-=x a x a x a 则)(x g 在)21(--a ，上单调递减，…………13分所以0)2()(1=->a g x g 即)42()(11x a f x f -->，所以)42()(12x a f x f -->，因为)2,1(1--∈a x ，所以)32,2(421--∈--a a x a ，由（Ⅰ）得)(x f 在)2(∞+-，a 单调递增，所以1242x a x -->，即4221->+a x x .…………15分法二：不妨设21x x <，由（Ⅰ）得)21(1--∈a x ，，)2(2∞+-∈，a x ，1>a 且2≠a 因为0)0(=f ，…………10分1当00x >时，所以01=x ，要证4221->+a x x ，即证022x x >，因为)(x f 在()0,x +¥上单调递增，故只需证)2()(02x f x f >，即证0)2(0<x f ，因为000002(1)(2)ln(21)21x x f x x x +=+-+，令021(1,)u x =+Î+¥，1()ln 22u h u u u=-+，2222211121(1)'()02222u u u h u u u u u -+-=--=-=-<，所以)(u h 单调递减，则()(1)0h u h <=，从而0)2(0<x f ，即4221->+a x x .…………13分2当010x -<<时，所以20x =，要证4221->+a x x ，即证102x x >，因为)(x f 在0x （-1,）上单调递减，故只需证10()(2)f x f x <，即证0(2)0f x >，因为000002(1)(2)ln(21)21x x f x x +=+-+，令021(1,1)u x =+Î-，1()ln 22u h u u u =-+，2222211121(1)'()02222u u u h u u u u u-+-=--=-=-<，所以)(u h 单调递减，则()(1)0h u h >=，从而0(2)0f x >，即4221->+a x x .…………15分。
2017-2018学年(新课标)最新浙江省宁波市高二下期末联考数学试卷有答案-精品试题
2017-2018学年浙江省宁波市九校联考高二下学期期末模拟试题数学一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.1.设集合2{|13}{|320}A x x B x x x =-≤≤=-+<,,则=)(B C A R （ ）A.[1,1)(2,3)-UB.]3,2[]1,1[ -C. )2,1(D.R 2.已知i 是虚数单位，则ii-+11= （ ） A.1 B.1- C. i - D.i3.已知曲线x x f ln )(=在点))2(,2(f 处的切线与直线01=++y ax 垂直，则实数a 的值为 ( )A.21 B.2- C. 2 D.21-4.下面四个条件中，使a b >成立的必要而不充分的条件是 （ ）A.1a b ->B.1a b +>C.a b >D.33a b >5.已知函数1ln 1)(--=x x x f ，则)(x f y =的图像大致为 （ ）A.B.C.D. 6.从1,2,3,,9L 这九个整数中同时取四个不同的数，其和为偶数，则不同取法共有 （ ）A.62B.64C.65D.66 7.已知n m b n am b a a b ,,,,111则--==<<的大小关系为 （ ）A. n m <B. n m =C. n m >D. n m ,的大小关系不确定，与b a ,的取值有关8.已知下列各式：①1)1|(|2+=+x x f ；②x x f =+)11(2；③||)2(2x x x f =-； ④x x x f -+=33|)(|.其中存在函数)(x f 对任意的R x ∈都成立的是 （ ） A.①④ B.③④ C.①② D.①③9.设函数)0(log )(2>++=a b ax x x f ,若存在实数b ,使得对任意的[])0(2,>+∈t t t x 都有a x f +≤1|)(|，则t 的最小值是 （ ） A.2 B.1 C.43 D.32 10.定义在R 上的可导函数)(x f 满足32)()(x x f x f =--,当(]0,∞-∈x 时,3)(2x x f <' 实数a 满足1332)()1(23+-+-≥--a a a a f a f ,则a 的取值范围是 （ ） A.⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，23 B.⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-23, C. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+，21 D.⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-21,二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11.若,3log ,2log n m a a ==则=+nm a 2 ,用n m ,表示6log 4为 .12.已知nxx )212(-的展开式中二项式系数和为64，则=n ,该展开式中常数项 为 .13.已知函数10,2,122,4)(≠>⎩⎨⎧>++≤+-=a a x a a x x x f x 且其中.若21=a 时方程b x f =)(有两个不同的实根，则实数b 的取值范围是 ；若)(x f 的值域为[)∞+，2，则实数a 的 取值范围是 .14.函数x x e e x x x f --+-=2)(3的奇偶性为 ,在R 上的增减性为 (填 “单调递增”、“单调递减”或“有增有减”）.15.小明和爸爸妈妈、爷爷奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排.若小 明的父母至少有一人与小明相邻，则不同的坐法总数为 . 16.已知a x a x x a x x x f 22|1||1|)(-+--+-+=）（0>x 的最小值为23，则实数=a . 17.已知函数）R b a b ax x x f ∈++=,()(2在区间(]1,0上有零点0x ，则)31914(00-+x x ab 的最大值是 .三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18.已知*∈N n ，(1)(2)(),n S n n n n =+++L 213(21)nn T n =⨯⨯⨯⨯-L . (Ⅰ)求 321321,,,,,T T T S S S ；(Ⅱ)猜想n S 与n T 的关系，并用数学归纳法证明.19.(Ⅰ)已知1021001210(21)(1)(1(1)x a a x a x a x -=+-+-++-L ），其中,1,2,10i a R i ∈=L .（i ）求01210a a a a ++++L ；（ii ）求7a .(Ⅱ)2017年5月,北京召开“一带一路”国际合作高峰论坛.组委会将甲、乙、丙、 丁、戊五名志愿者分配到翻译、导游、礼仪、司机四个不同的岗位，每个岗位至 少有一人参加，且五人均能胜任这四个岗位. （i ）若每人不准兼职，则不同的分配方案有几种？（ii)若甲乙被抽调去别的地方，剩下三人要求每人必兼两职，则不同的分配方案 有几种？20.已知R a ∈,函数)(x f 满足.12)2(22-+-=a ax x f x (Ⅰ)求)(x f 的解析式,并写出)(x f 的定义域； (Ⅱ)若)(x f 在]2,2[2212+--a a a 上的值域为[]0,1-，求实数a 的取值范围.21.已知函数()1e1xf x x-=-+. (Ⅰ)证明: 当[]0,3x ∈时,xex911+≥-. (Ⅱ)证明: 当[]2,3x ∈时, 0)(72<<-x f .22.已知1-<a ，函数)(|1|)(33R x ax x x x f ∈++-=. (Ⅰ)求函数)(x f 的最小值；(Ⅱ)已知存在实数),1(,≤<n m n m 对任意),,(0n m t ∈总存在两个不同的),,1(,21+∞∈t t 使得)()(2)(210t f t f t f ==-，求证：274≤-m n .九校联考高二数学参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） BDCBA DCADD二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 11.12 ，2m n m + 12.6，60 13.）（49,2 ,),1()1,21[+∞⋃14.奇，单调递增 15.84 16.45 17. 14410)31914()(,170002≥-+=--=x x x g ax x b 题：20000()()()ab g x a x ax g x ⋅=--[])()(000x g a x a x --≤3432000()1()44439x g x x x x ⋅≤=-+求导知其在11220,,,,,13333⎛⎤⎡⎤⎡⎤⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦⎣⎦上分别递增、递减、递增，故1441)}1(),31(max{=⋅⋅≤g ab g ab 其.)21,21,1(0时等号成立-=-==b a x方法2：200002002222200000011()493113=92()11313131(1)(1)942362362144ax b x x ab x ax b x ax b x x x x x +=-+-+⎡⎤≤=-=-≤⎢⎥⎣⎦g 可得则（-）（-）三、解答题：本大题共5小题，共74分 18.（本小题满分14分）解：(Ⅰ)120,12,2332211======T S T S T S ； ……（3分） (Ⅱ)猜想：n n S T =（*n N ∈） ……（4分） 证明：(1)当1n =时，11S T =； ……（6分） （2）假设当()*1n k k k N=≥∈且时，kk ST =，即(1)(2)()213(21)k k k k k k +++=⨯⨯⨯-L L ，……（8分） 则当1n k =+时111)(12)(11)(1)(11)k S k k k k k k k k +=++++++-+++++L （ =(2)(3)(2)(21)(22)k k k k k ++++L=213(21)(21)(22)1k k k k k ⨯⨯⨯-⨯+++L =11213(21)(21)k k k k T ++⨯⨯⨯-+=L . ……（13分） 即1+=k n 时也成立,由（1）（2）可知*n N ∈，n n S T =成立 ……（14分） 19.（本小题满分15分）解：(Ⅰ)（i ）令,2=x 则10012103(59049)a a a a ++++=L 即.……（3分) (ii)令10210012101,(12),x y y a a y a y a y -=+=+++L 则得77710215360.a C == …… （7分）(Ⅱ)（i ）.2404425=⋅A C……（11分）(ii) ()114)))(((233233424324=-+-C C C CC ……（15分）20.（本小题满分15分）解：(Ⅰ)令20,xt =>则,log 2t x =则,1log 2)(log )(2222-+-=a t a t t f 即.1log 2)(log )(2222-+-=a x a x x f ……（5分） 定义域为()+∞,0 ……（7分） (Ⅱ))(x f 在]2,2[2212+--a aa 上的值域为[]0,1-等价于12)(22-+-=a ax x x g在区间]22,1[2+--a a a 上的值域为].0,1[- ……（9分）101+1y x ay x a x a =-⇒==⇒=-=令或由图可得2221a a a a ≤-+≤+ ……（13分）12a a ≤≤≤≤或 ……（15分） 21.（本小题满分15分） 解:(Ⅰ)证明: 要证1e19xx-≥+, 也即证e 19xx ≤+. ……（2分） 令()e 91x F x x =--, 则()'e 9xF x =-. 令()'0F x >, 则2ln 3x >. 因此, 当02ln 3x ≤<时, 有()'0F x <, 故()F x 在[]0,2ln3上单调递减; 当2ln 33x <≤时, 有()'0F x >, 故()F x 在[]2ln3,3上单调递增. ……（5分）所以, ()F x 在[]0,3上的最大值为()(){}max 0,3F F .又()00F =,()33e 280F =-<. 故()[]0, 0,3F x x ≤∈成立, 即[]e 19, 0,3xx x ≤+∈成立. 原命题得证. ……（7分） (Ⅱ) 证明: 由 (I) 得: 当[]2,3x ∈时, ()111e1191xf x x x x -=-≥-+++令()11191t x x x=-++, 则 ()()()()()()()()()()()[]22222222222199119'19911191917280, 2,3.191x x t x x x x x x x x x x x --+-+=-+⋅++=-=++++-=≥∈++（9分）所以, ()t x 在[]2,3上单调递增，即()()[]161622, 2,357567t x t x ≥=->-=-∈所以()f x 72->得证. ……（12分） 下证0)(<x f .即证1+>x e x令),1()(+-=x e x h x则01)(>-='xe x h ，所以)(x h 在[]32，上单调递增, 所以，03)1()(2>-≥+-=e x e x h x ，得证. ……（15分）另证：要证7211911->+-+x x ，即证011892>+-x x ， 令8)19(1189)(22--=+-=x x x x m 在[]32，上递增，所以01)2()(>=≥m x m 得证.22.（本小题满分15分）解：（1）⎩⎨⎧≥-+<+=++-=1,121,1|1|)(333x ax x x ax ax x x x f记)1(12)(),1(1)(321≥-+=<+=x ax x x f x ax x f则a x x f +=2'26)( , 因为 1-<a 则由6,0)('2ax x f -±==得 ……（2分） （i ）时，即1616-<≤-≤-a a，上递增，在上递减，在),1[)()1,()(21+∞-∞x f x f 所以1)1()]([min +==a f x f ……（4分） （ii ）时，即616-<>-a a,上递减，在)1,()(1-∞x f 递增，上递减，在在)6[)6,1[)(2∞+--a a x f , 所以1632)6()(2min --=-=aa a f x f综上，⎪⎩⎪⎨⎧-<≤-+-<--=16,16,1632)(min a a a aa x f……（6分） （2）不妨设,21t t <则由（1）知，若,16-<≤-a 则)(2x f 在),1(+∞上递增，不满足题意，所以6-<a . ……（7分） 所以),6(),6,1(21+∞-∈-∈a t a t ，且 1632)6()(2min --=-=a a a f x f （i ）>-+21a 1632--a a ，即⎩⎨⎧<<--<1)1(2)(22721x f x f a 时，由即 ⎩⎨⎧<+<-+1121x a ax ，解得121<<+x a ，即)1,21(0a t +∈ 所以)1,21(),(a n m +⊆，所以1,21≤+≥n a m ，所以2742<-≤-a m n ……（11分） （ii ）≤-+21a 1632--a a ，即⎪⎩⎪⎨⎧->-<--<≤-)6(2)()1(2)(62272121a f x f f x f a 时，由即⎪⎩⎪⎨⎧-->-++<-+163221121aa ax a ax ，解得63221a x a -<<+， 所以)632,21(),(a a n m -+⊆，所以632,21a n a m -≤+≥ 所以aa m n 21632---≤- 令]23,1(6∈=-u a ，则23113221632uu a a +-=--- 令231132)(u u u +-=ϕ，则0)11(32)(3'>-=u u ϕ 所以 231132)(u u u +-=ϕ在]23,1(∈u 递增， 所以 274)23()(=≤ϕϕu ，所以 274)(≤≤-u m n ϕ. ……（15分）。
2017-2018学年宁波市九校联考高二(上)期末数学试卷解析
为 1，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是三角形，则这些三角形的面积之和为
A．1
B．
3 2
C．
1
2
3
D．
3
2
3
答案：C
7．已知双曲线
x2 a2
y2 b2
1a
0, b
0 的右支与焦点为 F
的抛物线y2 Nhomakorabea2 px p
0
交于
A，B
两点．
若 AF BF 3 OF ，则该双曲线的渐近线方程为
(Ⅱ)若直线 A1O 与平面 ABB1 A1 所成角为 30 ，求线段 A1E 的长．
解析：(Ⅰ)取 B1D1 中点 O1 ，连结 CO1 ， A1O1 ，
∵ ABCD A1B1C1D1 为四棱柱，
∴ A1O1 ∥ CD ， A1O1 CO ，
∴四边形 A1OCO1 为平行四边形，
∴ A1O∥ O1C ，
70cm ．在容器中注入水，水深为 8cm ．现有一根金属棒 l ，其长度为 30cm ．(容器厚度、金属棒粗细
均忽略不计)将 l 放在容器中， l 的一端置于点 E 处，另一端在棱台的侧面上移动，则移动过程中 l 浸
入水中部分的长度的最大值为
A．18 2
B． 24
C．12 2
D．15
答案：B
二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分．
2017-2018 学年宁波市九校联考高二(上)期末数学试卷解析
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求．
浙江省宁波市九校2018-2019学年高二下学期联考数学试题(解析版)
宁波市2018年学年第二学期九校联考高二数学试题一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}12A x x =-≤<，{}03B x x =≤<，则A B =I （ ） A. {}13x x -≤< B. {}02x x ≤<C. {}02x x <<D. {}03x x <<【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的概念和运算，求得A B I . 【详解】依题意得A B =I {}02x x ≤<. 故选：B【点睛】本小题主要考查交集的概念和运算，属于基础题.2.已知()f x 是定义在R 上的函数，则下列函数中一定是偶函数的是（ ） A. ()f x B. ()f xC. []2()f xD. []3()f x【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的定义对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A 选项，构造函数()()g x f x =，则()()()()g x f x f x g x -=-==，所以()f x 是偶函数.对于B 选项，构造函数()()g x f x =，则()()g x f x -=-，无法判断与()g x 是否相等，所以()f x 不一定是偶函数.对于C 选项，构造函数()[]2()g x f x =，则()[]2()g x f x -=-，无法判断与()g x 是否相等，所以[]2()f x 不一定是偶函数.对于D 选项，构造函数()[]3()g x f x =，则()[]3()g x f x -=-，无法判断与()g x 是否相等，所以[]3()f x 不一定是偶函数. 故选：A【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性，属于基础题.3.“11a>”是“01a <<”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】解分式不等式求得“11a>”的取值范围，由此判断出充分、必要条件. 【详解】由11111100a a a a a a -->⇒-=>⇒<，解得01a <<.所以“11a>”是“01a <<”的充分必要条件. 故选：C【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查分式不等式的解法，属于基础题.4.已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. b c a <<【答案】B 【解析】 【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c 【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题． 5.若函数1()f x x=在2x =处的切线与直线y kx =垂直，则实数k 的值是（ ） A.12B. 2C. -4D. 4【答案】D 【解析】 【分析】求得函数1()f x x =在2x =处的切线的斜率，由此求得k 的值. 【详解】()()''22111,224f x f x =-=-=-，依题意有1144k k -⨯=-⇒=.故选：D【点睛】本小题主要考查利用导数求切线的斜率，属于基础题. 6.若31()()nx x n N x++∈的展开式中存在常数项，则下列选项中，n 可为（ ） A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】C 【解析】 【分析】写出二项式展开通项公式，存在常数项，即x 指数可为0，分析即可得结果． 【详解】由二项式展开式通项可得：3r n rr n xC xx --，依题须：410n r -+=，观察选项可知，选C.【点睛】本题考查二项式定理应用，旨在考查考生的求解运算能力，属基础题．7.下列函数()f x 中，满足“任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，()12x x -()()120f x f x ⎡⎤-<⎣⎦”的是（ ）A .()1f x x x=- B. ()3f x x =C. ()ln f x x =D. ()2f x x =【答案】A 【解析】“任意1x ，()20,x ∈+∞，且12x x ≠，()12x x - ()()120f x f x ⎡⎤-<⎣⎦”等价于函数为减函数，四个选项中，只有A 选项符合.8.函数()f x 定义域为(][),22,-∞-+∞U 的是（ ） A. 1()1f x x x+=+ B. 2()1f x x =+C. (sin )1f x x =+D. ()2(0,1)xf a x a a =>≠【答案】A 【解析】 【分析】根据函数定义域的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】对于A 选项，由于(][)1,22,x x+∈-∞-+∞U ，所以()f x 的定义域为(][),22,-∞-+∞U ，所以A 选项正确.对于B 选项，由于[)20,x ∈+∞，所以()f x 的定义域为[)0,+∞，不符合题意.对于C 选项，由于[]sin 1,1x ∈-，所以()f x 的定义域为[]1,1-，不符合题意. 对于D 选项，由于()0,xa ∈+∞，所以()f x 的定义域为()0,∞+，不符合题意.故选：A【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，属于基础题.9.从1，2，3，…，20中选取四元数组（1a ，2a ，3a ，4a ），且满足213a a -≥，324a a -≥，435a a -≥，则这样的四元数组（1a ，2a ，3a ，4a ）的个数是（ ） A. 48C B. 411CC. 414CD. 416C【答案】B 【解析】 【分析】利用捆绑法，求得所求四元数组（1a ，2a ，3a ，4a ）的个数.【详解】将1a 连同其右边的2个空位捆绑，2a 连同其右边的3个空位捆绑，3a 连同其右边的4个空位捆绑，分别看作一个元素，四元数组()1234,,,a a a a 的个数相当于从11个元素中选取4个，故这样的四元数组（1a ，2a ，3a ，4a ）的个数是411C .故选：B【点睛】本小题主要考查计数原理，考查组合数的计算，考查捆绑法，属于基础题.10.已知函数()x a x a f x e e --+=+（其中e 是自然对数的底数）．若33log a b c ==，且1c >，则（ ）A. ()()()f a f b f c <<B. ()()()f b f c f a <<C. ()()()f a f c f b <<D. ()()()f c f b f a <<【答案】C 【解析】 【分析】首先判断出()f x 的单调性，然后比较,,a b c 的大小关系，由此判断出()()()f a f c f b <<. 【详解】由于1()x ax a x a x af x ee e e --+--+==+，()()2'11x a x ax ax ax ax ae fx eeeee---+----=-=-=,当x a ≥时，()'0fx ≥，所以()f x 在[),a +∞上递增.由于33log a b c ==，所以3log ,3ca cb ==，而1c >，结合3log ,3,x y x y y x ===的图像可知a c b <<，所以()()()f a f c f b <<.故选：C【点睛】本小题主要考查对数式与指数式互化，考查指数型复合函数单调性的应用，属于中档题.二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11.设1010910910(2)x a x a x a x a +=++⋯⋯+，则8a =_____；97531a a a a a ++++=____．【答案】 (1). 180 (2).10312- 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式求得8a ，利用赋值法求得97531a a a a a ++++.【详解】依题意二项式展开式的通项公式为10102r rr C x -⋅⋅，令108r -=，解得2r =，所以828102454180a C =⨯=⨯=.由1010910910(2)x a x a x a x a +=++⋯⋯+，令1x =得10109213a a a a =++++L ①，令1x =-得10109211a a a a =-++-L ②，①-②并化简得97531a a a a a ++++=10312-.故答案为：(1). 180 (2). 10312-【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式的运用，考查赋值法求奇次项系数和，属于基础题. 12.已知方程log (53)(0,1)xxa x a a -=>≠，若2是方程的一个解，则a =____；当2a =时，方程的唯一解是_____．【答案】 (1). 4 (2). 1 【解析】 【分析】令2x =代入方程log (53)(0,1)xxa x a a -=>≠，由此求得a 的值. 当2a =时，解对数方程求得方程的解. 【详解】若2是方程的一个解，则()22log 532a -=，即log 162a=，216a=，由于0,1a a >≠，所以4a =. 当2a =时，方程化为()2log 53x xx -=，即253xx x =-，也即235x x x +=，显然1x =是方程的解.故答案为：(1). 4 (2). 1【点睛】本小题主要考查指数式和对数式互化，属于基础题.13.已知函数[][]2,0,1,(),0,1,x f x x x ⎧∈⎪=⎨∉⎪⎩，则1(())2=f f ________；方程(())2f f x =的解集是________． 【答案】 (1). 2 (2). [0,1]{2}⋃ 【解析】 【分析】先求得12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值，然后求得12f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.根据分段函数解析式，求得方程(())2f f x =的解集. 【详解】依题意()112,2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.当()2f x =时，[]{}0,12x ∈⋃.当()[]0,1y f x =∈时，对应的x 的解集为空集；当(){}2y f x =∈时，[]{}0,12x ∈⋃.所以方程(())2f f x =的解集是[]{}0,12⋃. 故答案为：(1). 2 (2). [0,1]{2}⋃【点睛】本小题主要考查分段函数的运用，求函数值和解方程，考查运算能力，属于基础题.14.已知函数()f x =()f x 的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________；若()f x 的值域为)0,⎡+∞⎣，则实数a 的取值范围是________． 【答案】 (1). [2,)+∞ (2). [0,2] 【解析】 【分析】根据()f x 的定义域为R ，结合一元二次不等式恒成立列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围. 根据()f x 的值域为R ，结合一元二次函数的值域列不等式组，解不等式组求得a 的取值范围.【详解】由于()f x 的定义域为R ，所以2016a ax x -+≥恒成立，所以014016a aa >⎧⎪⎨∆=-⨯⨯≤⎪⎩，解得[2,)a ∈+∞.由于()f x 的值域为R ，则216a y ax x =-+的值域包含集合)0,⎡+∞⎣，所以014016a a a >⎧⎪⎨∆=-⨯⨯≥⎪⎩或0a =.解得[]0,2a ∈.故答案为：(1). [2,)+∞ (2). [0,2]【点睛】本小题主要考查函数定义域、值域，考查一元二次不等式恒成立问题的求解，属于中档题. 15.若甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有________种．（用数字作答） 【答案】24 【解析】 分析】先计算出任选两门的事件数，减去两人选法都不同、两人选法都相同的事件数，求得甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法数.【详解】两人各选2门的方法数为224436C C ⨯=.两人选法都相同方法数为246C =；两人选法都不同的方法数为246C =. 所以甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法数为366624--=. 故答案为：24【点睛】本小题主要考查组合数的计算，考查简单排列组合问题，属于基础题.16.已知函数324,0,()2,0,x x b x f x x x ⎧-++<=⎨≥⎩若函数[]()(1)g x f f x =-恰有3个不同的零点，则实数b 的取值范围是________． 【答案】(,25)-∞- 【解析】 【分析】首先分析出0b <，()0f m =有两个根，一个根为0，和一个负根1m ，那么()()10g x f f x =-=⎡⎤⎣⎦需满足()10f x -=或()11f x m -=，显然()10f x -=有两个根，由题意，()11f x m -=必然有一个根，则只需1b m <即可.【详解】当0x <时，()()238380f x x x x x '=-+=--<，则()f x 在(),0-∞上单调递减，此时()()0f x f b >=，令()1f x m -=， 当0b ≥时，()0f m =只有一个解0m =，此时()g x 不可能有三个零点， 故0b <，此时()0f m =有两个根，一个为0，和一个负根1m ， 如下图所示，则()10f x -=，或()111,0f x m m -=<， 显然()10f x -=有两个根，则()11f x m -=必然有一个根， 由图象可知，要使()11f x m -=有一个根，则需1b m <，又321140m m b -++=，所以321114b m m m =-<，所以211410m m -->，解得125m <-，所以25b <-.故答案为：(,25)-∞-【点睛】本小题主要考查函数零点，考查复合函数零点问题，考查数形结合的数学思想方法，属于难题. 17.已知定义在R 上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，若()f x 满足：当0x >时，()()1xf x f x '+>，(1)2019f =，则不等式2018()1f x x≤+的解集是_________． 【答案】[1,0)(0,1]-⋃ 【解析】 【分析】构造函数()()g x xf x x =-，根据导数和函数的单调性的关系，判断()g x 的单调性，根据单调性即可求出不等式的解集.【详解】当0x >时，()()1xf x f x '+>，所以()()10xf x f x '+->，令()()g x xf x x =-，则()()()10g x x f x f x ''=⋅+->，所以()g x 在()0,∞+上为增函数. 由于()f x 为偶函数，所以()g x 为奇函数，且()00g =， 所以()g x 在(),0-∞上为增函数，所以()g x 在R 上为增函数. 因为2018()1,0f x x x≤+≠，所以()2018x f x x ⋅≤+，即()2018x f x x ⋅-≤， 所以()2018g x ≤.因为()()111201912018g f =-=-=， 所以1x ≤，即11x -≤≤，又0x ≠， 所以不等式2018()1f x x≤+的解集是[1,0)(0,1]-⋃. 故答案为：[1,0)(0,1]-⋃【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的奇偶性，考查构造函数法，属于中档题.三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18.某商场进行抽奖活动.已知一抽奖箱中放有8只除颜色外，其它完全相同的彩球，其中仅有5只彩球是红色.现从抽奖箱中一个一个地拿出彩球，共取三次，拿到红色球的个数记为X . （1）若取球过程是无放回的，求事件“2X =”的概率；（2）若取球过程是有放回的，求X 的概率分布列及数学期望()E X .【答案】（1）1528；（2）详见解析. 【解析】 【分析】（1）利用超几何分布概率公式即可计算概率；（2）随机变量X 的可能取值为：0,1,2,3；且53,8X B ⎛⎫⎪⎝⎭:，根据二项分布概率公式可求得每个取值对应的概率，从而得到分布列；利用二项分布数学期望的计算公式求得期望.【详解】（1）根据超几何分布可知：()21533815228C C P X C ===； （2）随机变量X 的可能取值为：0,1,2,3；且53,8X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:()335388kk k P X k C -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，0,1,2,3k =∴分布列如下：()515388E X =⨯=【点睛】本题考查超几何分布的概率问题求解、二项分布的分布列和数学期望的求解，关键是能够明确有放回与无放回所符合的分布类型.19.已知3()4(,)f x x ax b a b R =++∈的图象关于点()0,1中心对称． （Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）若对11x -≤≤，不等式()0f x <无解，求a 的取值的集合． 【答案】（Ⅰ）1b =；（Ⅱ）{}3- 【解析】 分析】（I ）通过构造函数法判断出()f x 图象关于()0,b 中心对称，由此求得b 的值.（II ）由（Ⅰ）知，3()41f x x ax =++，根据对11x -≤≤，不等式()0f x <无解，由()10102f f ⎧-≥⎪⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩求得a 的值，利用因式分解法以及配方法，证得此时()0f x ≥，由此求得a 的值.【详解】（Ⅰ）令2()()4g x f x b x ax =-=+，则()()g x g x -=-，所以()g x 是奇函数，故()g x 的图象关于原点对称，所以()()f x g x b =+的图象关于(0,)b 对称，即1b =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，3()41f x x ax =++，由条件“对11x -≤≤，不等式()0f x <无解”知(1)30f a -=--≥，130222af ⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭，得3a =-．又当11x -≤≤时，231()4314(1)02f x x x x x ⎛⎫=-+=+-≥ ⎪⎝⎭， 所以3a =-，即a 的取值的集合为{}3-．【点睛】本小题主要考查函数的对称性、奇偶性，考查不等式恒成立问题的求解，属于中档题. 20.已知数列{}n a 满足：152a =，且2*12()n n a a n N +=-∈． （Ⅰ）求2a ，3a 的值；（Ⅱ）猜测通项公式n a 的表达式，并用数学归纳法证明你的猜测． 【答案】（Ⅰ）2174a =，325716a =；（Ⅱ）112222n n n a ---=+，证明见解析【解析】 【分析】（I ）根据递推关系式，依次求得23,a a 的值.（II ）先猜想出数列{}n a 的通项公式，然后利用数学归纳法进行证明. 【详解】（Ⅰ）依题意，2211724a a =-=，232257216a a =-=． （Ⅱ）由于002212252a -=+=，22222a -=+，2222322a -=+， 猜测112222n n n a ---=+，下证明之．（1）当1n =时，002212252a -=+=，此时成立 （2）假设()*n k k =∈N时，有112222k k ka---=+； 当1n k =+时，()()()1111112222222222221222222222222k k k k k k k kkk a a ----------+=-=+-=+⨯⨯+-=+，即当1n k =+时，也成立．由数学归纳法可知通项公式成立．【点睛】本小题主要考查数列通项公式的求法，考查数学归纳法求数列通项公式，属于中档题. 21.已知函数1()x x f x e+=（其中e 是自然对数的底数），2()1()g x ax a R =-∈． （Ⅰ）求函数()f x 的极值；（Ⅱ）设()()()h x f x g x =-，若a 满足102a <<210a +>，试判断方程()0h x =的实数根个数,并说明理由．【答案】（Ⅰ）()1f x =极大值，但无极小值；（Ⅱ）有2个实数根，利用见解析. 【解析】 【分析】（I ）利用()f x 的导函数()f x '研究()f x 的单调性，由此求得()f x 的极值.（II ）求得()h x 的表达式，求得其导函数()h x '，由此求得()h x 的单调区间、极小值（最小值），结合零点存在性定理，判断出()h x 有两个实数根. 【详解】（Ⅰ）因为1()x x f x e +=，所以()xx f x e'=-． 当0x <时，()0f x '>，此时()f x 单调递增； 当0x >时，()0f x '<，此时()f x 单调递减． 所以(0)1()f x f ==极大值，但无极小值．（Ⅱ）因为21()()()1x x h x f x g x ax e+=-=+-，所以12()22x x xe x a h x ax ax e e -'=-+=⋅ 因为102a <<，所以112a >，于是1ln 02a>．令()0h x '=，得0x =或1ln2x a=． 当0x <时，()0f x '>，此时()f x 单调递增； 当10ln2x a<<时，()0f x '<，此时()f x 单调递减； 当1ln2x a>时，()0f x '>，此时()f x 单调递增． 所以1ln(0)02h h a ⎛⎫<= ⎪⎝⎭．210a +>，所以1ln 2a <，210h a =-=>． 又函数()h x 在R 上连续，故()h x 有一个零点为0，且在1ln 2a ⎛ ⎝上也有一个零点． 综上，方程()0h x =的有2个实数根．【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查利用导数研究函数的零点，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.22.已知函数2()ln(1)()f x x ax x a R =++-∈．（Ⅰ）若对任意0x ≥，都有()0f x ≥成立，求a 的取值范围；（Ⅱ）证明：ln(1ln(1ln(1ln(181++++++⋯⋯+>． 【答案】（Ⅰ）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭；（Ⅱ）见解析 【解析】 【分析】（I ）当0x ≥时，对a 分成0a ≤和0a >两种情况进行分类讨论，结合()f x 的导函数以及()0f x ≥，求得a 的取值范围.（II ）由（Ⅰ）知，当12a =时，对0x ∀≥，都有()0f x ≥，即21ln(1)(0)2x x x x +≥-≥，由此得到1ln1(2,3,4,,2019)2kk⎛+≥-=⋅⋅⋅⎝，利用放缩法得到20192k=>∑、20192110kk=<∑，由此证得不等式成立.【详解】（Ⅰ）当0a≤时，(1)ln21110f a=+-≤-=，不合题意．当0a>时，212(21)(221)()21111ax a x x ax af x axx x x+-+-'=+-==+++，令()0f x'=，得1x=，2122axa-=.若2x>，则有()f x在()20,x上单调递减，()2002xf f⎛⎫<=⎪⎝⎭，不合题意.所以(0)0f=，且2122axa=-≤，解得12a≥，所以a的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当12a=时，对0x∀≥，都有()0f x≥，即21ln(1)(0)2x x x x+≥-≥．所以1ln1(2,3,4,,2019)2kk⎛≥-=⋅⋅⋅⎝．因为2019201920192222019222k k k k=====>==∑∑；201912111111111112345672212221i i i ikk+=⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⋅⋅⋅+++++⎪ ⎪ ⎪++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑L10101101111122122229⎛⎫+⋅⋅⋅+++++⎪++-⎝⎭L1231022011112222102222<⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=．于是20192019201922222019111ln122k k kk k===⎛⎫≥-=-⎪⎝⎭∑∑∑110244.535812≥-⨯>⨯--=．【点睛】本小题主要考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查放缩法证明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.。
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D．
9．（4 分）已知方程 2x﹣1+21﹣x+t（|x﹣1|+2）＝0 有三个解，则 t＝（ ）
A．
B．1
C．
D．﹣1
10．（4 分）已知直线 y＝kx+b 的图象恒在曲线 y＝ln（x+3）的图象上方，则 的取值范围
是（ ）
A．（1，+∞）
B．（2，+∞）
C．（0，+∞）
D．[1，+∞）
二、填空题（本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分）
f（3）f（4）＜0， 所以函数
的零点所在的大致区间为：（3，4）．
故选：C． 【点评】本题考查零点判定定理的应用，是基本知识的考查． 5．【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．
2．（4 分）下列函数中，在定义域上为增函数的是（ ）
A．
B．y＝lnx
C．y＝3﹣x
D．y＝|x|
3．（4 分）已知函数 f（x）＝﹣x，则下列选项错误的是（ ）
A．f（x+1）＝f（x）+1
B．f（3x）＝3f（x）
C．f（f（x））＝x
D．
4．（4 分）函数
的零点所在的大致区间是（ ）
A．（1，2）
故选：B． 【点评】本题考查函数的单调性的判定，关键是掌握常见函数的单调性．
3．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法． 菁优网版权所有 【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于 A，f（x+1）＝﹣（x+1）＝﹣x﹣1，f（x）+1＝﹣x+1，f（x+1）≠f（x）+1，A 错 误；
对于 B，f（3x）＝﹣3x，3f（x）＝3（﹣x）＝﹣3x，f（3x）＝3f（x），正确； 对于 C，f（x）＝﹣x，f（f（x））＝﹣（﹣x）＝x，正确；
种．
16．（4 分）已知函数 f（x）＝ax+ln（x）（a＞0），若对任意的 x1，
，都有
，则 a 的最大值为
．
第 2 页（共 16 页）
17．（4 分）已知函数 三、解答题：共 74 分 18．（14 分）（1）解不等式
（ 2 ） 已 知 （ 3x ﹣ 5 ） n ＝
有零点，则 b2+c2 的取值范围是
；不等式 f（f（x））
＞1 的解集为
．
15．（4 分）甲、乙、丙分别是宁波某高中语文、数学、英语老师，在本次期末考试中，三
人均被安排在第一考场监考，该考场安排了语文、数学、英语、物理、化学、生物共 6
门科目考试．按照规定，甲、乙、丙 3 位老师每人监考 2 门科目，且不监考自己任教学
科，则不同的监考方案共有
22．（16 分）已知函数
．
（1）（ⅰ）讨论函数 f（x）的极值点个数；
（ⅱ）若 x0 是函数 f（x）的极值点，求证：
；
（2）若 x1，x2 是 f（x）的两个零点，证明：x1+x2＞2a﹣4．
第 3 页（共 16 页）
2017-2018 学年浙江省宁波市九校联考高二（下）期末数 学试卷
参考答案与试题解析
11．（6 分）已知复数 z＝（3+i）2，其中 i 为虚数单位，则|z|＝
；若 z（• a+i）是纯虚
数（其中 a∈R），则 a＝
．
12．（6 分）若 3a＝24，blog23＝1，则 3a﹣2b＝
；＝
．
13．（6 分）在
的展开式中，常数项为
；二项式系数最大的项为
．
14．（6 分）已知函数
，则 f（2018）＝
B．（2，3）
C．（3，4）
D．（4，5）
5．（4 分）小明、小红、小泽、小丹去电影院看《红海行动》，四人座位是同一排且相邻的，
若小明、小红不坐一起，则不同的坐法种数为（ ）
A．24
B．10
C．8
D．12
6．（4 分）已知函数 f（x），g（x）分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 f（x）+g（x） ＝2x，则 f（2）﹣g（2）＝（ ）
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【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于 A，y＝﹣ ，为反比例函数，在其定义域不是增函数；不符合题意；
对于 B，y＝lnx，为对数函数，在定义域（0，+∞）上为增函数；符合题意； 对于 C，y＝3﹣x＝（ ）x，为指数函数，在其定义域是减函数；不符合题意；
对于 D，y＝|x|＝
，在其定义域不是增函数；不符合题意；
2017-2018 学年浙江省宁波市九校联考高二（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题 4 分，共 40 分）
1．（4 分）已知集合 A＝{x||x﹣1|＜2}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则集合 A∩B＝（ ）
A．{0，1，2}
B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，0，2，3} D．{0，1，2，3}
．
且 a2＝135，求
．
19．（14 分）已知数列{an}的通项公式
，其前 n 项和为 Sn
（1）求 S1，S2，S3，试猜想 Sn 的表达式； （2）用数学归纳法证明你的猜想．
20．（14 分）已知函数
．
（1）求曲线 y＝f（x）在 P（0，f（0））处的切线方程； （2）求函数 f（x）在区间[0，π]上的取值范围． 21．（16 分）已知函数 f（x）＝x|x﹣2a|+bx，a∈R． （1）判断函数 f（x）的奇偶性； （2）若 b＝2 且 a＞0，求函数 f（x）在区间[0，4]上的最大值 M（a）．
对于 D，f（ ）＝﹣（ ）＝﹣ ，Leabharlann ＝ ＝﹣ ，则 f（ ）＝
，正确；
故选：A． 【点评】本题考查函数值的计算以及函数解析式，属于基础题．
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4．【考点】52：函数零点的判定定理． 菁优网版权所有
【解答】解：函数
是（1，+∞）上的连续增函数，
f（2）＝ln2﹣3＜0；f（3）＝ln3﹣ ＝ln ＜0，f（4）＝ln4﹣1＞0；
一、选择题（每小题 4 分，共 40 分） 1．【考点】1E：交集及其运算．
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【解答】解：A＝{x|x﹣1|＜2，x∈R}＝{x|﹣1＜x＜3}， B＝{﹣1，0.1，2，3}， 则 A∩B＝{0，1，2}． 故选：A． 【点评】本题考查了交集及其运算，考查了绝对值不等式的解法，是基础题． 2．【考点】3E：函数单调性的性质与判断．
A．
B．4
C．0
D．
7．（4 分）已知 a，b，c＞0 且
，
，
，则（ ）
A．a＞b＞c
B．b＞c＞a
C．c＞b＞a
D．a＞c＞b
8．（4 分）已知 f'（x）是函数 f（x）的导函数，且函数 y＝（2﹣x）f'（x）的图象如图所示，
则 f（x）的图象可能是（ ）
第 1 页（共 16 页）
A．
B．
C．