测量平差条件方程t的判定知识分享

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测量平差[3]

第七章
间接平差
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 线性化（变量代换法） v xi = x0 + mxi′ cosα − myi′ sin α − xi ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ v yi = y0 + myi′ cosα + mxi′ sin α − yi
X
0 2
X
0 T 3
] = [100.078
100.099 101.266] ( m)
T
第七章
⎡− 1 1 ⎢ 0 −1 ⎢ ⎢− 1 0 V =⎢ 6,1 ⎢1 0 ⎢0 1 ⎢ ⎢0 0 ⎣ 0⎤ ⎡3⎤ ⎢3⎥ 1⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢11⎥ 1⎥ ˆ− ⎢ ⎥ ⎥x 0⎥ 3,1 ⎢ 0 ⎥ ⎢0⎥ 0⎥ ⎥ ⎢ ⎥ 1⎥ ⎢0⎥ ⎦ ⎣ ⎦
n×1
ˆ L = L +V
第七章
间接平差
例：选择独立、足够的参数
C = 2km P = diag [2 2 2 1 1 1]
T
1 0.023 1
2 1.114 1
3 1.142 1
4 0.079 2
5 0.099 2
6 1.210 2 h(m) S(km)
n=6, t=3, r=3
X = X
0
[
0 1
ΔZ BC 3 6 BC
ˆ v ΔX AB = X 1 − X A − ΔX AB ˆ v = X − Y − ΔY
ΔY AB 2 A AB
ˆ v ΔZ AB = X 3 − Z A − ΔZ AB ˆ v ΔX AC = X 4 − X A − ΔX AC ˆ v = X − Y − ΔY
ΔY AC 5 A AC
第七章
间接平差
在三角网平差中，通常选m个待定点的坐标平差值作为待估参数，即t=2m 。 h 这样选，既足数，又独立，而且容易写出参数与观测值之间的函数关系。一般地，角度观测值可由右图表示，于是有：

测量平差——精选推荐

测量平差一．测量平差基本知识 1.测量平差定义及目的在设法消除系统误差、粗差影响下，其基本任务是求待定量的最优估量和评定其精度。

人们把这一数据处理的整个过程叫测量平差。

测量平差的目的：一是通过数据处理求待定量的最优估值；二是评定观测成果的质量。

2.协方差传播律及协方差传播律是观测值(向量)与其函数(向量)之间精度传递的规律。

①观测值线性函数的方差：函数向量：Y=F(X) Z=K(X)其误差向量为：ΔY=F ΔX ΔZ=K ΔX则随机向量与其函数向量间的方差传递公式为⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫====F D K D K D F D K D K D F D F D TXZYTXYZTXZTXY②多个观测值线性函数的协方差阵t×n×n ×t×n T n XX t t ZZ K D K D =③非线性的协方差传播T XX ZZ K KD D =3.权及常用的定权方法①权表示比例关系的数字特征称之为权，也就是权是表征精度的相对指标。

权的意义不在于它们本身数值的大小，而在于它们之间所存在的比例关系。

()n i iiP ,...,2,1220==σσ i P 为观测值i L 的权，20σ是可以任意选定的比例常数。

②单位权方差权的作用是衡量观测值的相对精度，称其为相对精度指标。

确定一组权时，只能用同一个0σ，令0σσ=i ，则得:iiP ===02202021σσσσ上式说明20σ是单位权(权为1)观测值的方差，简称为单位权方差。

凡是方差等于20σ的观测值，其权必等于1。

权为1的观测值，称为单位权观测值。

无论2σ取何值，权之间的比例关系不变。

③测量中常用的定权方法 ⅰ.水准测量的权NC P h =式中，N 为测站数。

SC P h =式中，S 为水准路线的长度。

ⅱ.距离量测的权ii S C P =式中，i S 为丈量距离。

ⅲ.等精度观测算术平均值的权CP ii N=式中，i N 为i 次时同精度观测值的平均值。

平差知识点总结

平差知识点总结(总10页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-CompanY One 1-CAL-本页仅作为文档封面，使甬请直接删除测量平差知识点观测误差包括：粗差、系统误差、偶然误差。

粗差：即粗大误差，或者说是一种大量级的误观测差，是由观测过程中的差错造成的。

发现粗差的方法：进行必要的重复测量或多余观测，采用必要而又严格的检核、验算等，发现后舍弃或重测。

系统误差：在相同条件下进行一系列观测，如果误差在大小、符号表现出一致性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或者为一常数，这种误差称为系统误差。

消除或削弱的方法:采取合理的操作程序（正、倒镜,中间法，对向观测等）；用公式改正，即加改正裁（如钢尺量距时的尺长误差等）。

偶然误差：在相同条件下进行一系列观测，如果误差在大小、符号上表现出偶然性，即就单个误差而言，该误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差，或者随机误差。

采臥措施：处理带仔偶然误差的观测值，就是木课程的内容，也叫做测量平差。

偶然谋差又称随机误差，有以I、•四个特性：1）一定观测条件下，误差绝对值有一泄限值（有限性）；2）绝对•值较小的课差比绝对值较人的课差出现概率人（渐降性）：3）绝对值相等的正负误差出现概率相同（对称性）；4）偶然谋差的数学期望为零（抵偿性）。

衡量精度的指标有五个，分别眉中矗、平均矗、或然i灵差、极限i灵差以及相对中谋差。

其中中矗和极限误差以及相对中保差是工程測量中常用的指标。

5、相对谋差颠差、屮促差、极限促差等指标，对于菜些观测结果，有时还•侮全表达观测结果的好坏，例如，分别丈1000m及500⑴的两段距离，它们的中课差均为±2cn】，虽然两者■的中误差相同，但就M位长度而言，两者精度并彳、相同。

显然询耆的郴对蒂度比后者耍高。

一般:而言，一些与长度有关的观测俺或其函数值，单纯用中误苣还不能区分出蒂度的高低，所以常用相对课差。

测量平差第五章

1
1
v1
AP1AT K W 0
1v2

9

0
4Ka 12 0
vv43

Ka 3

Lˆ1 Lˆ2

Lˆ3 Lˆ4

L1

L2

L3 L4

v1 v2 v3 v4

A)dSb

(Sc

Sb
cos
A)dSc
]
由图5-10知： SbSc sin A Sbhb （2倍三角形面积） Saha
Sb Sc cos A Sa cos C，Sc Sb cos A Sa cos B
代入上式，得： dA

1 ha
(dSa
cos CdSb
cos
BdS c )
1
1

1

Lˆ1 Lˆ2 Lˆ3 Lˆ4

360

0
W AL A0 [1 1
573216
1
1]
730308

360

12
1265128
1023320
③计算改正数和平差值 1
一、测角网条件方程
圆周条件只有一个！
图形条件不只列三个，但独立的只有三个！
§5.2 条件方程
各边均与D有关，即以D为极，故称为极条件。在中点多边形测角网中，ai、bi、ci通常按顺时针编号，且ci以中点为顶点，称为圆周角或间隔角；ai称为求距角；bi称为传距角。这样，在列极条件时规律性很强！

测量平差知识大全

➢绪论➢测量平差理论➢4种基本平差方法➢讨论点位精度➢统计假设检验的知识➢近代平差概论✧绪论§1-1观测误差测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。

一、误差来源观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面：1. 测量仪器；2. 观测者；3. 外界条件。

二、观测误差分类1. 偶然误差定义，例如估读小数；2. 系统误差定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距；系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。

3. 粗差定义，例如观测时大数读错。

误差分布与精度指标§2-1 正态分布概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。

一、一维正态分布§2-2偶然误差的规律性2. 直方图由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。

3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线）在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。

当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。

因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。

4. 偶然误差的特性第三章协方差传播律及权在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。

例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。

现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。

测量程序设计_条件平差和间接平差

程序代码如下：
disp(‘-------水准网间接平差示例-------------’) disp(‘已知高程’) Ha = 5.015 % 已知点高程，单位m Hb = 6.016 % 已知点高程，单位m
A h2 D h1
C h6 E h7 B h4
h5
h3
disp(‘观测高差，单位m’)
L = [1.359; 2.009; 0.363; 1.012; 0.657; -0.357] disp(‘系数矩阵B’)
则： PV AT K
V P A K QA K
T
1 T
4、法方程：将条件方程 AV+W=0代入到改正数方程V=QATK 中，则得到：
AQAT K W 0
r1 r1 r1
记作：由于
N aa K W 0
rr
R( Naa ) R( AQAT ) R( A) r
Naa为满秩方阵， K Naa1W ( AQAT )1 ( AL A0 )
if H(1,1)+H(2,1)-H(3,1)+HA-HB==0 && H(2,1)H(4,1)==0 disp(‘检核正确') else disp(‘检核错误') end disp(‘平差后的高程值') HC = HA + H(1,1) HD = HA + H(1,1) + H(4,1)
二、间接平差的基本原理
其中l＝L－d.
ˆ 设误差Δ和参数X的估计值分别为V 和 X
则有
ˆ V AX l
X0 为了便于计算，通常给参数估计一个充分接近的近似值
ˆ ˆ X X0 x
则误差方程表示为

误差理论与测量平差基础第五章条件平差

在三角测量中，要确定各三角点的平面坐标，必须先建立平面坐标系，只要已知任意一个点的坐标、任意一条边的方位角和任意一条边的边长，那么，这个平面图形在平面坐标系中的位置、大小和方向就唯一地确定了。因此，三角测量中的基准数据为：位置基准 2个（任意一点的坐标 x0 , y0 ）、方位基准 1个（任意一条边的方位角 0 ）以及长度基准 1个（任意一条边的边长 S0 ）。这四个基准数据等价于已知两个点的坐标。

第五章——条件平差
4、 GPS基线向量网三维无约束平差条件方程列立举例
图1
图2
图1中r =3· （3-3）+3=3，即三个条件方程。这三个条件方程如下：
v x AB v xBC v xCA (x AB x BC xCA ) v y AB v yBC v yCA (y AB y BC y CA ) v z AB v z BC v zCA (z AB z BC z CA )
教材：5－4，5－5 习题：5.2.11， 5.2.12
第五章——条件平差
7、三角网中条件方程的列立举例
图1中，n=3，t=2，r=1，即一个图形条件。图2中，n=8，t=4，r=4，即三个图形条件，一个极条件。
第五章——条件平差
图3中，n=15,t=8,r=15-8=7，即5个图形条件，一个圆周条件，一个极条件。由以上三例知，三角形只有图形条件；大地四边形有图形条件和极条件两类条件；只有中点多边形才有全部的三类条件。
（2）
第五章——条件平差
补充：矩阵微分公式
第五章——条件平差
2.2 求偏导
d 2V T P 2 K T A 0 dV
（3）（4）（5）

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测量平差条件方程t的判定§3-4 三角网条件平差计算2学时三角网测量的目的，是通过观测三角形的各角度或边长，计算三角网中各未知点的坐标、边的长度及方位角等。

三角网按条件平差计算时，首要的问题是列出条件方程。

因此了解三角网的构成，总结其条件方程的种类及各种条件方程的组成规律是十分重要的。

三角网的种类比较多，网的布设形式也比较复杂。

根据观测内容的不同，有测角网、测边网、边角同测网等；根据网中起始数据的多少，有自由三角网和非自由三角网。

自由三角网是指仅具有必要起算数据的三角网，网中没有多余的已知数据。

如果测角三角网中，只有两个已知点（或者已知一个已知点的坐标、一条已知边的长度和一个已知的方位角），根据数学理论，以这两个已知点为起算数据，再结合必要的角度测量值，就能够解算出网中所有未知点的坐标。

如果三角网中除了必要的起算数据外还有其它的已知数据，或者说已知数据有冗余，就会增加对网形的约束，从而增强其可靠性，这种三角网称之为非自由三角网。

无论多么复杂的三角网，都是由单三角形、大地四边形和中点多边形组合而成的。

在本节，我们先讨论三角网条件平差中条件方程个数的确定问题，然后主要讨论测角三角网的条件方程的形式问题。

一、网中条件方程的个数三角网平差的目的，是要确定三角点在平面坐标系中的坐标最或然值。

如图3-9所示，根据前面学到的测量基础知识，我们知道，必须事先知道三角网中的四个数据，如两个三角点的4个坐标值，或者一个三角点的2个坐标值、一条边的长度和一个方位角，这4个已知数据我们称之为三角网的必要起算数据。

有了必要起算数据，就可以确定三角网在平面坐标系中的位置、网的大小及其方位，就可以计算三角网中未知点的坐标。

要对三角网进行平差计算，还必须先知道网中的总观测数n、判定必要观测数t，从而确定了多余观测数：r = n - t由条件平差原理知，多余观测数与条件方程数是相等的，有了多余观测数，也就确定出了条件方程的个数。

因此，问题的关键是判定必要观测数t。

1.网中有2个或2个以上已知点的情况三角网中有2个或2 个以上已知三角点，就一定具备了4个必要起算数据。

无论是测角网、测边网还是边角同测网，如果有2个已知点相邻，要确定一个未知点的坐标，需要观测两个观测值（2个角，或者1条边和1个角，或者2条边）。

也就是说，确定1个未知点要有2个必要观测值；那么如果网中有p 个未知点，必要观测数应等于未知点个数的两倍。

t = 2 ·p(3-4-1)(1) 测角网图3-9所示，三角网中有2个已知点，待定点个数为p = 6。

如果三角网中观测量全部是角度时。

总观测值个数：n = 23必要观测数：t = 2 · p =12则多余观测数，即条件平差条件方程个数：r = n – t = 11(2) 测边网在图3-9中，如果三角网中观测量全部是边的长度时：总观测值个数：n = 14必要观测数：t = 2 · p =12则多余观测数，即条件平差条件方程个数：r = n – t = 2(3) 边角同测网在图3-9中，如果三角网中的所有的角度值和所有的边长值都进行观测时：总观测值个数：n = 37必要观测数：t = 2 · p =12则多余观测数，即条件平差条件方程个数：r = n – t = 252. 网中已知点少于2个的情况有些情况下，三角网中已知点可能少于2个，只有1个已知点、1个已知边和1个已知方位角，或者没有已知点和已知方位角只有1个已知边。

但是，不管怎样说，1条已知边是必须已知的，或者需要进行观测的。

如果没有已知点，可以假定网中的1个未知点；如果没有已知方位角，可以取网中的1个方向的方位角为某一假定值。

这样也就间接地等价于网中有2个相邻点的坐标是已知的。

(1) 测角网三角网中共有p个三角点、1个已知方位角（也可以没有）、1个已知点（也可以没有已知点）和1个已知边长S（或者也是观测得到的），并观测了所有的角度。

如果已知点和已知方位角都没有，就要进行必要的假设。

则在进行条件平差时，必要观测数为：t = 2 · ( p – 2) (3-4-2) 如图3-10所示，三角网中观测了所有角度值（如果没有已知边时，也观测1条边长作为起算数据）。

网中三角点个数：p = 6角度观测值个数：n = 12必要观测数：t = 2 · ( p – 2) = 8则多余观测数，即条件平差条件方程个数：r = n – t = 4(2) 测边网或边角同测网若三角网中，共有p个三角点和1个已知点（或者也是假定的），并对所有的边长，或者角度和边长进行了观测，观测值总个数为n。

在进行条件平差时，由于要加上必须的起算边长，则必要观测（边或者边和角）的个数为t = 2 · ( p – 2)+1 (3-4-3) 如图3-10所示，网中三角点个数：p = 6如果是测边网，则总观测值个数：n = 9必要观测数：t = 2 · ( p – 2) +1=9多余观测数，即条件平差条件方程个数：r = n – t = 0如果是边角同测网，则总观测值个数：n = 21必要观测数：t = 2 · ( p – 2) +1=9多余观测数，即条件平差条件方程个数：r = n – t = 12以上我们仅对几种三角网，讨论了条件平差时必要观测数及多余观测数和条件平差方程数的确定方法，还有很多情况没有涉及到。

在实际平差计算中，应针对不同情况进行具体分析。

二、条件方程的形式三角网中的条件方程主要有以下几种形式：1. 图形条件方程图形条件，又叫三角形内角和条件，或三角形闭合差条件。

在三角网中，一般对三角形的每个内角都进行了观测。

根据平面几何知识，三角形的三个内角的平差值的和应为180˚，如图3-12中的三角形ABP ，其内角平差值的和应满足下述关系：0180ˆˆˆ321=-++οL L L (3-4-4)此即为三角形内角和条件方程。

由于三角形是组成三角网的最基本的几何图形，因此，通常称三角形内角和条件为图形条件。

因此图形条件也是三角网的最基本、最常见的条件方程形式。

与（3-4-4）式相对应的改正数条件方程为0321=-++w v v v (3-4-5))180(321ο-++-=L L L w(3-4-6) 2. 水平条件方程水平条件，又称圆周条件，这种条件方程一般见于中点多边形中。

如图3-12所示，在中点P 上设观测站时，周围的五个角度都要观测。

这五个观测值的平差值之和应等于360˚，即0360ˆˆˆˆˆ1512963=-++++οL L L L L (3-4-7)相应的改正数条件方程为01512963=-++++w v v v v v (3-4-8))360(1512963ο-++++-=L L L L L w(3-4-9)3. 极条件方程极条件是一种边长条件，一般见于中点多边形和大地四边形中。

先看中点多边形的情况。

如图3-12所示，中心P 点为顶点，有五条边，从其中任一条边开始依次推算其它各边的长度，最后又回到起始边，则起始边长度的平差值应与推算值的长度相等。

在图3-12所示的三角网中，我们应用正弦定理，以BP 边为起算边，依次推算AP 、EP 、DP 、CP ，最后回到起算边BP 、，得到下式14131110875421ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin ˆˆL L L L L L L L L L S S BP BP ⋅⋅⋅⋅=整理得0ˆ1ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin 14118521310741=-L L L L L L L L L L (3-4-10)（3-4-10）式即为平差值的极条件方程。

为得到其改正数条件方程形式，可用泰勒级数对上式左边展开并取至一次项：1sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1sin ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin ˆsin 1411852131074114118521310741-=-L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L ρρ''-''+22141185213107411114118521310741cot sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin cot sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin v L L L L L L L L L L L v L L L L L L L L L L L ρρ''-''+55141185213107414414118521310741cot sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin cot sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin v L L L L L L L L L L L v L L L L L L L L L L L ρρ''-''+88141185213107417714118521310741cot sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin cot sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin v L L L L L L L L L L L v L L L L L L L L L L L ρρ''-''+111114118521310741101014118521310741cot sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin cot sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin v L L L L L L L L L L L v L L L L L L L L L L L 0cot sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin cot sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 141414118521310741131314118521310741=''-''+ρρv L L L L L L L L L L L v L L L L L L L L L L L化简，即得极条件的改正数条件方程：1414131311111010887755442211=--+-+-+-+-w v ctgL v ctgL v ctgL v ctgL v ctgL v ctgL v ctgL v ctgL v ctgL v ctgL (3-4-11) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-''-=13107411411852sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin 1L L L L L L L L L L w ρ(3-4-12)在大地四边形中的极条件方程与中点多边形稍有不同。